Volume of a Combination of Solids Questions in Hindi

(D) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^{2} h$ है।
दिया गया है कि आयतन $V = 550 \, cm^{3}$ और त्रिज्या $r = 5 \, cm$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$550 = \frac{22}{7} \times (5)^{2} \times h$
$550 = \frac{22}{7} \times 25 \times h$
$h = \frac{550 \times 7}{22 \times 25}$
$h = \frac{3850}{550}$
$h = 7 \, cm$.
अतः,बेलन की ऊँचाई $7 \, cm$ है।

(B) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
यहाँ त्रिज्या $r = 5 \, cm$ और ऊँचाई $h = 21 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^{2} \times 21$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 21$
$V = 22 \times 25 \times \frac{21}{21}$
$V = 22 \times 25 = 550 \, cm^{3}$.

(B) शंकु के आयतन का सूत्र इस प्रकार है: $V = \frac{1}{3} \times \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई}$.
यहाँ,आधार का क्षेत्रफल $= 60 \, cm^{2}$ और ऊँचाई $= 15 \, cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times 60 \times 15$
$V = 20 \times 15 = 300 \, cm^{3}$.
अतः,शंकु का आयतन $300 \, cm^{3}$ है।

(A) मान लीजिए कि शंकु और बेलन दोनों की त्रिज्या $r$ है और उनकी ऊँचाई $h$ है।
शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
शंकु के आयतन और बेलन के आयतन का अनुपात $\frac{V_{cone}}{V_{cylinder}} = \frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{1}{3}$ है।
अतः,अनुपात $1: 3$ है।

(C) बेलन के आयतन का सूत्र $V_{cylinder} = \pi r^{2} h$ है।
शंकु के आयतन का सूत्र $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
यह दिया गया है कि दोनों आकृतियों के लिए त्रिज्या $(r)$ और ऊँचाई $(h)$ समान हैं,इसलिए हम उनके आयतन की तुलना कर सकते हैं:
$V_{cylinder} = \pi r^{2} h$
चूँकि $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$,हम लिख सकते हैं कि $\pi r^{2} h = 3 \times (\frac{1}{3} \pi r^{2} h)$।
अतः,$V_{cylinder} = 3 \times V_{cone}$।

(C) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 3 \, cm$ और ऊँचाई $h = 3 \, cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (3)^{2} \times 3$
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 3$
$V = 9 \pi \, cm^{3}$.

(B) त्रिज्या $r$ वाले गोले का आयतन $V$ सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
माना कि दो गोलों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं। दिया गया है कि $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$ है।
उनके आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ होगा।
दिए गए अनुपात का मान रखने पर: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $8:27$ है।

(B) बेलन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है。
यहाँ त्रिज्या $r = 1.4 \, m$ और ऊँचाई $h = 4 \, m$ दी गई है。
मान रखने पर,$V = \frac{22}{7} \times (1.4)^2 \times 4$.
$V = \frac{22}{7} \times 1.96 \times 4 = 22 \times 0.28 \times 4 = 24.64 \, m^3$.
चूँकि $1 \, m^3 = 1000 \, \text{लीटर}$,इसलिए टैंक की क्षमता लीटर में $24.64 \times 1000 = 24640 \, \text{लीटर}$ होगी。

(B) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 6 \, cm$ और ऊँचाई $h = 21 \, cm$ दी गई है।
मान रखने पर,$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6)^{2} \times 21$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 36 \times 21$.
$V = 22 \times 36 = 792 \, cm^{3}$.

(C) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
दिया गया है: $V = 9504\,cm^{3}$,$r = 18\,cm$ और $\pi = \frac{22}{7}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$9504 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (18)^{2} \times h$
$9504 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 324 \times h$
$9504 = 22 \times 108 \times \frac{h}{7}$
$9504 = 2376 \times \frac{h}{7}$
$h = \frac{9504 \times 7}{2376}$
$h = 4 \times 7 = 28\,cm$.
अतः,शंकु की ऊँचाई $28\,cm$ है।

(B) शंकु के छिन्नक का आयतन ज्ञात करने का सूत्र: $V = \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$ है।
यहाँ दिया गया है: $r_{1} = 3\,cm$,$r_{2} = 2\,cm$,और $h = 21\,cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times (3^{2} + 2^{2} + 3 \times 2)$
$V = 22 \times (9 + 4 + 6)$
$V = 22 \times 19$
$V = 418\,cm^{3}$.
अतः,गिलास की धारिता $418\,cm^{3}$ है।

(B) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
माना कि दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं,और उनकी ऊँचाइयाँ $h_1$ और $h_2$ हैं।
दिया गया है कि $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}$ और $\frac{h_1}{h_2} = \frac{4}{5}$ है।
उनके आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{4}{5}\right)$.
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{9}{16} \times \frac{4}{5} = \frac{9 \times 4}{16 \times 5} = \frac{9}{4 \times 5} = \frac{9}{20}$.
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $9:20$ है।

(C) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 1.5\,cm$ दी गई है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times (1.5)^{3}$
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times 1.5 \times 1.5 \times 1.5$
$V = 4 \times \pi \times 0.5 \times 1.5 \times 1.5$
$V = 2 \times \pi \times 2.25$
$V = 4.5 \pi\,cm^{3}$.

(A) $r$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यदि त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए,तो नई त्रिज्या $r' = 2r$ होगी।
नया आयतन $V' = \frac{4}{3} \pi (r')^3$ द्वारा प्राप्त होता है।
सूत्र में $r' = 2r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V' = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$ प्राप्त होता है।
अतः,$V' = 8V$ है।
इस प्रकार,आयतन मूल आयतन का $8$ गुना हो जाता है।

(A) $r$ त्रिज्या और $h$ ऊँचाई वाले शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
यह सूत्र समान आधार त्रिज्या और ऊँचाई वाले बेलन के आयतन का एक-तिहाई भाग होता है।

(D) माना कि दो गोलों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं। दिया गया है कि $r_1 : r_2 = 3 : 4$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
इसलिए,दोनों गोलों के आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ होगा।
दिए गए अनुपात का मान रखने पर,$\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{3}{4} \right)^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $27:64$ है।

(C) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
यहाँ $V = 4.5 \pi \, cm^3$ दिया गया है,इसलिए:
$4.5 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3$
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर:
$4.5 = \frac{4}{3} r^3$
$r^3 = 4.5 \times \frac{3}{4} = \frac{45}{10} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{8}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$r = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} = 1.5 \, cm$
व्यास $d = 2r$ होता है,इसलिए:
$d = 2 \times 1.5 = 3 \, cm$.

(B) आयतन को किसी त्रिविमीय वस्तु द्वारा घेरे गए स्थान के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अंतर्राष्ट्रीय इकाई प्रणाली $(SI)$ में,लंबाई की मूल इकाई मीटर $(m)$ है।
चूंकि आयतन की गणना तीन विमाओं (लंबाई $\times$ चौड़ाई $\times$ ऊंचाई) के गुणनफल के रूप में की जाती है,इसलिए इसकी इकाई लंबाई की इकाई का घन होती है।
अतः,आयतन की इकाई $m \times m \times m = m^3$ है।
- $m$ लंबाई की एक इकाई है।
- $m^2$ क्षेत्रफल की एक इकाई है।
- $cm^2$ भी क्षेत्रफल की एक इकाई है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) घनाकार टैंक का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \text{भुजा}^3$ है।
यहाँ भुजा की लंबाई $1\, m$ दी गई है,इसलिए आयतन $V = (1\, m)^3 = 1\, m^3$ होगा।
हम जानते हैं कि $1\, m^3 = 1000\, \text{लीटर}$ होता है।
अतः,टैंक में संग्रहित किए जा सकने वाले पानी की अधिकतम मात्रा $1000\, \text{लीटर}$ है।

(D) घनाकार टैंक का आयतन $V$ निकालने का सूत्र $V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई}$ है।
दी गई विमाएँ $2 \,m \times 2 \,m \times 2 \,m = 8 \,m^{3}$ हैं।
$m^{3}$ को $cm^{3}$ में बदलने के लिए, हम जानते हैं कि $1 \,m = 100 \,cm$, इसलिए $1 \,m^{3} = (100 \,cm)^{3} = 1,000,000 \,cm^{3} = 10^{6} \,cm^{3}$ होता है।
अतः, $8 \,m^{3} = 8 \times 10^{6} \,cm^{3}$। (विकल्प $A$ सही है)।
हम यह भी जानते हैं कि $1 \,m^{3} = 1000 \text{ लीटर}$ होता है।
इसलिए, $8 \,m^{3} = 8000 \text{ लीटर}$। (विकल्प $C$ सही है)।
चूँकि $1000 \text{ लीटर} = 1 \text{ किलोलीटर}$ होता है, इसलिए $8000 \text{ लीटर} = 8 \text{ किलोलीटर}$ होगा। (विकल्प $B$ सही है)।
चूँकि विकल्प $A, B$ और $C$ सभी सही हैं, इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) हम जानते हैं कि $1\,m = 100\,cm = 10^2\,cm$ होता है।
$1\,m^3$ का मान $cm^3$ में ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण के दोनों पक्षों का घन (cube) करते हैं:
$1\,m^3 = (10^2\,cm)^3$
$1\,m^3 = (10^2)^3\,cm^3$
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1\,m^3 = 10^{2 \times 3}\,cm^3 = 10^6\,cm^3$।
अतः,$1\,m^3 = 10^6\,cm^3$।

(B) अर्धगोले का व्यास $d = 1 \, cm$ है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{1}{2} \, cm$ है।
अर्धगोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$V = \frac{2}{3} \pi \left( \frac{1}{2} \right)^3$
$V = \frac{2}{3} \pi \left( \frac{1}{8} \right)$
$V = \frac{2 \pi}{24} = \frac{\pi}{12} \, cm^3$.

(D) दिए गए भागों का मिलान करने के लिए,हम मानक आयतन सूत्रों की पहचान करते हैं:
$1$. लंबाई $l$,चौड़ाई $b$ और ऊंचाई $h$ वाले घनाभ का आयतन $V = lbh$ होता है। अतः,$1$ का मिलान $d$ से होता है।
$2$. त्रिज्या $r$ और ऊंचाई $h$ वाले शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ होता है। अतः,$2$ का मिलान $a$ से होता है।
$3$. त्रिज्या $r$ और ऊंचाई $h$ वाले बेलन का आयतन $V = \pi r^{2} h$ होता है। अतः,$3$ का मिलान $b$ से होता है।
$4$. त्रिज्या $r$ वाले गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है। अतः,$4$ का मिलान $c$ से होता है।
अतः,सही मिलान $(1-d), (2-a), (3-b), (4-c)$ है।