Surface Area of a Combination of Solids Questions in Hindi

(A) रंगने के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
दिया है:
लट्टू का व्यास $= 3.5 \, cm$
त्रिज्या $(r) = \frac{3.5}{2} = 1.75 \, cm$
लट्टू की कुल ऊँचाई $= 5 \, cm$
शंकु की ऊँचाई $(h) = \text{कुल ऊँचाई} - \text{अर्धगोले की त्रिज्या} = 5 - 1.75 = 3.25 \, cm$
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(1.75)^2 + (3.25)^2} = \sqrt{3.0625 + 10.5625} = \sqrt{13.625} \approx 3.69 \, cm \approx 3.7 \, cm$
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75 = 19.25 \, cm^2$
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 1.75 \times 3.7 = 20.35 \, cm^2$
रंगने के लिए कुल क्षेत्रफल $= 19.25 + 20.35 = 39.6 \, cm^2$.

(B) घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (\text{किनारा})^2 = 6 \times 5 \times 5 \, cm^2 = 150 \, cm^2$.
ध्यान दें कि घन का वह भाग जहाँ अर्धगोला जुड़ा हुआ है,उसे पृष्ठीय क्षेत्रफल में शामिल नहीं किया जाता है।
अतः,ब्लॉक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल} - \text{अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल} + \text{अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}$.
$= 150 - \pi r^2 + 2\pi r^2 = (150 + \pi r^2) \, cm^2$.
दिया गया व्यास $= 4.2 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 2.1 \, cm$ होगी।
$= 150 + \left(\frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1\right) \, cm^2$.
$= 150 + (22 \times 0.3 \times 2.1) \, cm^2 = 150 + 13.86 \, cm^2 = 163.86 \, cm^2$.

(C) माना शंकु की त्रिज्या $r$, शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$, शंकु की ऊँचाई $h$, बेलन की त्रिज्या $r^{\prime}$ और बेलन की ऊँचाई $h^{\prime}$ है।
दिया है: $r = 2.5\, cm$, $h = 6\, cm$, $r^{\prime} = 1.5\, cm$ और $h^{\prime} = 26 - 6 = 20\, cm$.
तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2.5^2 + 6^2} = \sqrt{6.25 + 36} = \sqrt{42.25} = 6.5\, cm$.
शंक्वाकार भाग का वृत्ताकार आधार बेलन के आधार पर टिका है। चूंकि शंकु का आधार बेलन के आधार से बड़ा है, इसलिए शंकु के आधार का शेष भाग (वलय) भी नारंगी रंग से रंगा जाना है।
नारंगी रंग से रंगे जाने वाला क्षेत्रफल = (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (शंकु के आधार का क्षेत्रफल - बेलन के आधार का क्षेत्रफल)
$= \pi r l + (\pi r^2 - \pi (r^{\prime})^2)$
$= 3.14 \times 2.5 \times 6.5 + 3.14 \times (2.5^2 - 1.5^2)$
$= 51.025 + 3.14 \times (6.25 - 2.25)$
$= 51.025 + 3.14 \times 4 = 51.025 + 12.56 = 63.585\, cm^2$.
पीले रंग से रंगे जाने वाला क्षेत्रफल = (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (बेलन के निचले आधार का क्षेत्रफल)
$= 2 \pi r^{\prime} h^{\prime} + \pi (r^{\prime})^2$
$= \pi r^{\prime} (2h^{\prime} + r^{\prime})$
$= 3.14 \times 1.5 \times (2 \times 20 + 1.5)$
$= 4.71 \times 41.5 = 195.465\, cm^2$.
अतः, नारंगी रंग से रंगे जाने वाला क्षेत्रफल $63.585\, cm^2$ है और पीले रंग से रंगे जाने वाला क्षेत्रफल $195.465\, cm^2$ है।

(D) माना $h$ बेलन की ऊँचाई है और $r$ बेलन और अर्धगोले की उभयनिष्ठ त्रिज्या है।
दिया है: $h = 1.45\, m = 145\, cm$ और $r = 30\, cm$।
स्नान-पात्र का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}$
$= 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 30 \times (145 + 30)\, cm^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 30 \times 175\, cm^2$
$= 2 \times 22 \times 30 \times 25\, cm^2$
$= 33000\, cm^2$
चूँकि $1\, m^2 = 10000\, cm^2$,इसलिए:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{33000}{10000}\, m^2 = 3.3\, m^2$।

(A) दिया गया है कि प्रत्येक घन का आयतन $64 \, cm^3$ है।
माना घन की भुजा $a$ है।
तब,$a^3 = 64 \, cm^3$.
$a = \sqrt[3]{64} = 4 \, cm$.
जब दो ऐसे घनों को एक साथ जोड़ा जाता है,तो एक घनाभ बनता है।
परिणामी घनाभ की विमाएँ इस प्रकार हैं:
लंबाई $(l)$ = $4 \, cm + 4 \, cm = 8 \, cm$
चौड़ाई $(b)$ = $4 \, cm$
ऊँचाई $(h)$ = $4 \, cm$
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $2(lb + bh + lh)$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(8 \times 4 + 4 \times 4 + 8 \times 4)$
$= 2(32 + 16 + 32)$
$= 2(80)$
$= 160 \, cm^2$.
अतः,परिणामी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $160 \, cm^2$ है।

(B) यह देखा जा सकता है कि बेलनाकार भाग और अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या $(r)$ समान है (अर्थात,$7 \, cm$)।
अर्धगोलाकार भाग की ऊँचाई = त्रिज्या $= 7 \, cm$।
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h) = 13 - 7 = 6 \, cm$।
बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोलाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi r (h + r)$।
आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (6 + 7)$।
आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 44 \times 13 = 572 \, cm^2$।

(C) यह देखा जा सकता है कि शंक्वाकार भाग और अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या समान है (अर्थात,$r = 3.5 \, cm = \frac{7}{2} \, cm$)।
अर्धगोलाकार भाग की ऊँचाई = त्रिज्या $(r) = 3.5 \, cm = \frac{7}{2} \, cm$।
शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $(h) = 15.5 \, cm - 3.5 \, cm = 12 \, cm$।
शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ का सूत्र $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
$l = \sqrt{\left( \frac{7}{2} \right)^2 + (12)^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + 144} = \sqrt{\frac{49 + 576}{4}} = \sqrt{\frac{625}{4}} = \frac{25}{2} \, cm = 12.5 \, cm$।
खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोलाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi r l + 2 \pi r^2 = \pi r (l + 2r)$।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \left( 12.5 + 2 \times 3.5 \right) = 11 \times (12.5 + 7) = 11 \times 19.5 = 214.5 \, cm^2$।

(D) आकृति से यह देखा जा सकता है कि ऐसे अर्धगोले के लिए संभव अधिकतम व्यास घन की भुजा के बराबर है,अर्थात $7 \, cm$।
अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या $(r) = \frac{7}{2} = 3.5 \, cm$।
ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ घनाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल $+$ अर्धगोलाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $-$ अर्धगोलाकार भाग के आधार का क्षेत्रफल।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6(\text{भुजा})^2 + 2\pi r^2 - \pi r^2 = 6(\text{भुजा})^2 + \pi r^2$।
ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6(7)^2 + \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5$।
$= 6(49) + \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} = 294 + 38.5 = 332.5 \, cm^2$।

(N/A) अर्धगोले का व्यास $=$ घन का किनारा $= l$
अर्धगोले की त्रिज्या $r = \frac{l}{2}$
शेष ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $+$ अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $-$ अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल
$= 6(\text{किनारा})^2 + 2\pi r^2 - \pi r^2$
$= 6l^2 + \pi r^2$
$r = \frac{l}{2}$ रखने पर:
$= 6l^2 + \pi \left(\frac{l}{2}\right)^2$
$= 6l^2 + \frac{\pi l^2}{4}$
$= \frac{24l^2 + \pi l^2}{4}$
$= \frac{l^2}{4}(24 + \pi) \text{ इकाई}^2$

(B) यह देखा जा सकता है कि:
बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r) =$ अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या $(r) = \frac{\text{कैप्सूल का व्यास}}{2} = \frac{5}{2} \, mm = 2.5 \, mm$.
बेलनाकार भाग की लंबाई $(h) = \text{पूरे कैप्सूल की लंबाई} - 2 \times r$
$= 14 \, mm - 2 \times (2.5 \, mm) = 14 \, mm - 5 \, mm = 9 \, mm$.
कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times \text{अर्धगोलाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}$
$= 2 \times (2 \pi r^2) + 2 \pi r h$
$= 4 \pi r^2 + 2 \pi r h$
$= 2 \pi r (2r + h)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times (2 \times 2.5 + 9)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times (5 + 9)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times 14$
$= 2 \times 22 \times 2.5 \times 2$
$= 220 \, mm^2$.

(C) दिया गया है कि,
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h) = 2.1 \, m$
बेलनाकार भाग का व्यास $= 4 \, m$
बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r) = 2 \, m$
शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई $(l) = 2.8 \, m$
उपयोग किए गए कैनवास का क्षेत्रफल = शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
$= \pi rl + 2\pi rh$
$= \pi r(l + 2h)$
$= \frac{22}{7} \times 2 \times (2.8 + 2 \times 2.1)$
$= \frac{44}{7} \times (2.8 + 4.2)$
$= \frac{44}{7} \times 7 = 44 \, m^2$
$1 \, m^2$ कैनवास की लागत $= Rs. \, 500$
$44 \, m^2$ कैनवास की लागत $= 44 \times 500 = Rs. \, 22000$
अतः,तंबू बनाने के लिए कैनवास की लागत $Rs. \, 22000$ होगी।

(D) दिया गया है कि,
शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $(h) =$ बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h) = 2.4 \, cm$
बेलनाकार भाग का व्यास $= 1.4 \, cm$
अतः,बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r) = 0.7 \, cm$
शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^2 + h^2}$
$= \sqrt{(0.7)^2 + (2.4)^2} = \sqrt{0.49 + 5.76}$
$= \sqrt{6.25} = 2.5 \, cm$
शेष ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{बेलनाकार आधार का क्षेत्रफल}$
$= 2 \pi rh + \pi rl + \pi r^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2.4 + \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2.5 + \frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7$
$= 4.4 \times 2.4 + 2.2 \times 2.5 + 2.2 \times 0.7$
$= 10.56 + 5.50 + 1.54 = 17.60 \, cm^2$
शेष ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकटतम $cm^2$ में $18 \, cm^2$ है।

(A) दिया गया है कि,
बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r) =$ अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या $(r) = 3.5 \, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h) = 10 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और दो अर्धगोलों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + 2 \times \text{अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}$
$= 2 \pi r h + 2 \times (2 \pi r^2)$
$= 2 \pi r h + 4 \pi r^2$
$= 2 \pi r (h + 2r)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times (10 + 2 \times 3.5)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times (10 + 7)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 17$
$= 44 \times 0.5 \times 17$
$= 22 \times 17 = 374 \, cm^2$.

(N/A) $(i)$ शंकु के छिन्नक का आयतन $= \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot 45 \cdot [(28)^{2} + (7)^{2} + (28)(7)] \, cm^{3}$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot 45 \cdot [784 + 49 + 196] \, cm^{3}$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot 45 \cdot 1029 \, cm^{3} = 48510 \, cm^{3}$
$(ii)$ तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} - r_{2})^{2}} = \sqrt{(45)^{2} + (28 - 7)^{2}} \, cm$
$= \sqrt{2025 + (21)^{2}} = \sqrt{2025 + 441} = \sqrt{2466} \approx 49.66 \, cm$
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi (r_{1} + r_{2}) l = \frac{22}{7} (28 + 7) (49.66) = \frac{22}{7} \cdot 35 \cdot 49.66 = 110 \cdot 49.66 = 5462.6 \, cm^{2}$
$(iii)$ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi (r_{1} + r_{2}) l + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$
$= 5462.6 + \frac{22}{7} (28)^{2} + \frac{22}{7} (7)^{2}$
$= 5462.6 + 2464 + 154 = 8080.6 \, cm^{2}$

(N/A) बाल्टी की कुल ऊँचाई $40 \, cm$ है,जिसमें आधार की ऊँचाई शामिल है। इसलिए,शंकु के छिन्नक की ऊँचाई $h = 40 - 6 = 34 \, cm$ है।
त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{45}{2} = 22.5 \, cm$ और $r_2 = \frac{25}{2} = 12.5 \, cm$ हैं।
छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{34^2 + (22.5 - 12.5)^2} = \sqrt{1156 + 100} = \sqrt{1256} \approx 35.44 \, cm$ है।
प्रयुक्त धातु की शीट का क्षेत्रफल छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,वृत्ताकार आधार (तली) के क्षेत्रफल और बेलनाकार आधार के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
क्षेत्रफल $= \pi l(r_1 + r_2) + \pi r_2^2 + 2 \pi r_2 h_{base}$
$= \frac{22}{7} \times 35.44 \times (22.5 + 12.5) + \frac{22}{7} \times (12.5)^2 + 2 \times \frac{22}{7} \times 12.5 \times 6$
$= \frac{22}{7} \times (1240.4 + 156.25 + 150) = \frac{22}{7} \times 1546.65 \approx 4860.9 \, cm^2$.
बाल्टी में आने वाले पानी का आयतन छिन्नक का आयतन है:
$V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 34 \times (22.5^2 + 12.5^2 + 22.5 \times 12.5)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 34 \times (506.25 + 156.25 + 281.25) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 34 \times 943.75 \approx 33615.48 \, cm^3$.

(B) चित्र का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि कीप का ऊपरी भाग शंकु के आकार का है और निचला भाग बेलन के आकार का है।
अतः,एक कीप शंकु और बेलन का संयोजन है।

(B) एक छीली हुई पेंसिल एक लंबे बेलनाकार शरीर और एक सिरे पर शंक्वाकार नोक से बनी होती है।
इसलिए,छीली हुई पेंसिल का आकार एक बेलन और एक शंकु का संयोजन है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दी गई आकृति का अवलोकन करने पर,एक सुराही को एक गोलाकार शरीर और एक बेलनाकार गर्दन को जोड़कर बनाया जाता है।
अतः,एक सुराही एक गोला और एक बेलन का संयोजन है।

(D) दी गई आकृति का अवलोकन करने पर,यह स्पष्ट है कि साहुल एक अर्धगोले के आधार को एक शंकु के आधार से जोड़कर बनाया गया है।
अतः,साहुल एक अर्धगोले और एक शंकु का संयोजन है।

(A) एक गिलास (टम्बलर) आमतौर पर ऊपर से चौड़ा और नीचे से संकरा होता है,जिसमें अलग-अलग त्रिज्याओं वाले दो वृत्ताकार आधार होते हैं।
यह ज्यामितीय आकार,जो एक शंकु को उसके आधार के समानांतर एक तल द्वारा काटकर प्राप्त किया जाता है,शंकु का छिन्नक (frustum of a cone) कहलाता है।
अतः,गिलास का आकार शंकु के छिन्नक के रूप में होता है।

(B) चित्र का अवलोकन करने पर,गिल्ली एक केंद्रीय बेलनाकार भाग और उसके वृत्ताकार फलकों पर जुड़े दो शंक्वाकार सिरों से बनी है।
अतः,यह आकार निम्नलिखित का संयोजन है:
$=$ शंकु $+$ बेलन $+$ शंकु
$=$ दो शंकु और एक बेलन

(C) शटलकॉक का आकार दो भागों से मिलकर बना होता है:
$1$. कॉर्क वाला भाग,जो एक अर्धगोले के आकार का होता है।
$2$. पंखों वाला भाग,जो शंकु के छिन्नक (frustum) के आकार का होता है।
अतः,शटलकॉक शंकु के छिन्नक और एक अर्धगोले का संयोजन है।

(B) दिया गया है,बाल्टी के ऊपरी सिरे की त्रिज्या,$R = 28 \, cm$।
बाल्टी के निचले सिरे की त्रिज्या,$r = 7 \, cm$।
बाल्टी की तिर्यक ऊँचाई,$l = 45 \, cm$।
चूँकि बाल्टी एक शंकु के छिन्नक (frustum) के आकार की है,इसलिए इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \pi l (R + r)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times 45 \times (28 + 7)$
$= \frac{22}{7} \times 45 \times 35$
$= 22 \times 45 \times 5$
$= 22 \times 225 = 4950 \, cm^2$।
अतः,बाल्टी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $4950 \, cm^2$ है।

(D) एक ठोस अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r^{2}$ होता है।
जब समान आधार त्रिज्या $r$ वाले दो ठोस अर्धगोलों को उनके वृत्ताकार आधारों के साथ जोड़ा जाता है, तो वे एक पूर्ण ठोस गोला बनाते हैं।
परिणामी ठोस गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों अर्धगोलों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग होता है।
अतः, नए ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^{2} + 2 \pi r^{2} = 4 \pi r^{2}$ होगा।

(A) एक गोले को एक लंबवृत्तीय बेलन में इस प्रकार रखा गया है कि वह बेलन के ऊपरी आधार,निचले आधार और वक्र पृष्ठ को स्पर्श करता है।
चूँकि गोला बेलन के वक्र पृष्ठ को स्पर्श करता है,इसलिए गोले का व्यास बेलन के व्यास के बराबर होना चाहिए।
बेलन की त्रिज्या $r \, cm$ दी गई है,इसलिए बेलन का व्यास $2r \, cm$ होगा।
अतः,गोले का व्यास $2r \, cm$ है।

(A) एक लंबवृत्तीय शंकु एक समकोण त्रिभुज को उसकी समकोण बनाने वाली भुजाओं में से एक के परितः घुमाने से बनी एक ठोस आकृति है।
जब कोई समतल एक लंबवृत्तीय शंकु को उसके आधार के समानांतर काटता है,तो प्राप्त अनुप्रस्थ काट हमेशा एक वृत्त होता है।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि आधार और समतल के बीच के शंकु के भाग को शंकु का छिन्नक (frustum) कहा जाता है,लेकिन अनुप्रस्थ काट स्वयं एक वृत्त ही होता है।

(A) सत्य।
संयुक्त आकृति का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r l$ होता है,जहाँ $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ तिर्यक ऊँचाई है।
अतः,शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r h$ होता है।
इसलिए,संयुक्त आकृति का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r \sqrt{h^{2} + r^{2}} + 2 \pi r h$ है।

(B) असत्य।
$a$ भुजा वाले एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $6 a^{2}$ होता है।
जब ऐसे दो समान घनों को सिरों से जोड़ा जाता है,तो दो फलक (प्रत्येक का क्षेत्रफल $a^{2}$) परिणामी घनाभ के अंदर छिप जाते हैं।
परिणामी घनाभ की विमाएँ लंबाई $l = 2a$,चौड़ाई $b = a$ और ऊँचाई $h = a$ हैं।
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(lb + bh + hl)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $2((2a \times a) + (a \times a) + (a \times 2a)) = 2(2a^{2} + a^{2} + 2a^{2}) = 2(5a^{2}) = 10 a^{2}$।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(FALSE) असत्य।
लट्टू का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल,अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग होता है।
इसका कारण यह है कि अर्धगोले का वृत्ताकार आधार और शंकु का वृत्ताकार आधार एक-दूसरे से जुड़े हुए हैं और बाहर की ओर खुले नहीं हैं। इसलिए,उन्हें संयुक्त ठोस के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में शामिल नहीं किया जाता है।

(B) असत्य।
एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r^{2}$ होता है।
जब दो एकसमान ठोस अर्धगोलों को उनके वृत्ताकार आधारों से जोड़ा जाता है,तो आधार नए ठोस के अंदर छिप जाते हैं।
इसलिए,परिणामी ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल केवल दो वक्र पृष्ठों से मिलकर बना होता है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^{2} + 2 \pi r^{2} = 4 \pi r^{2}$।
चूंकि $4 \pi r^{2} \neq 6 \pi r^{2}$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(B) असत्य।
$r$ त्रिज्या और $h$ ऊँचाई वाले एक बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi rh + 2 \pi r^2$ होता है।
जब एक बेलन को समान त्रिज्या और ऊँचाई वाले दूसरे बेलन के ऊपर रखा जाता है,तो संपर्क बिंदु पर दोनों बेलनों के एक-एक वृत्ताकार आधार छिप जाते हैं।
इस प्रकार,नया आकार $r$ त्रिज्या और $H = 2h$ कुल ऊँचाई वाला एक बेलन बन जाता है।
इस नए बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल इसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और इसके दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफलों का योग होता है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r H + 2 \pi r^2 = 2 \pi r(2h) + 2 \pi r^2 = 4 \pi rh + 2 \pi r^2$।
चूँकि $4 \pi rh + 2 \pi r^2 \neq 4 \pi rh + 4 \pi r^2$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(B) असत्य।
संयुक्त ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और बेलन के निचले आधार के क्षेत्रफल का योग होता है।
$1$. शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi r l$,जहाँ तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
$2$. बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi rh$ है।
$3$. बेलन के निचले आधार का क्षेत्रफल = $\pi r^2$ है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi r l + 2\pi rh + \pi r^2$
$= \pi r (l + 2h + r)$
$= \pi r [\sqrt{r^2 + h^2} + 2h + r]$ है।
चूँकि परिकलित व्यंजक $\pi r [\sqrt{r^2 + h^2} + 2h + r]$ दिए गए व्यंजक $\pi [\sqrt{r^2 + h^2} + 3r + 2h]$ के बराबर नहीं है,इसलिए यह कथन असत्य है।

(B) यह कथन असत्य (False) है।
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = \pi l(r_{1} + r_{2})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र में,तिर्यक ऊँचाई $l$ को $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} - r_{2})^{2}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $h$ ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है और $r_{1}$ तथा $r_{2}$ दो वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ हैं।
तिर्यक ऊँचाई $l$ के लिए दिया गया व्यंजक $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} + r_{2})^{2}}$ गलत है क्योंकि इसमें त्रिज्याओं के अंतर के स्थान पर त्रिज्याओं के योग का उपयोग किया गया है।

(A) सत्य।
प्रयुक्त धात्विक शीट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उन व्यक्तिगत भागों के क्षेत्रफलों का योग है जिनसे वस्तु बनी है।
$1$. बाल्टी एक शंकु का छिन्नक $(ABCD)$ है,इसलिए हम इसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को शामिल करते हैं।
$2$. बाल्टी के छिन्नक के निचले हिस्से में एक वृत्ताकार आधार है,जो बेलन का ऊपरी हिस्सा भी है। चूँकि बाल्टी खुली है और बेलन पर टिकी है,इसलिए प्रयुक्त धात्विक शीट में छिन्नक की वक्र सतह,बेलन की वक्र सतह और बेलन के तल पर स्थित वृत्ताकार आधार $(EF)$ शामिल हैं।
$3$. धात्विक शीट का क्षेत्रफल = (शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (तल पर स्थित वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल)।
जैसा कि आकृति में दिखाया गया है,$ABCD$ एक शंकु का छिन्नक है और $CDEF$ एक खोखला बेलन है।

(N/A) $14 \, cm$ किनारे वाले घन से काटे गए अधिकतम आकार के शंकु की आधार त्रिज्या $r = 7 \, cm$ और ऊँचाई $h = 14 \, cm$ होगी।
तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{7^2 + 14^2} = \sqrt{49 + 196} = \sqrt{245} = 7\sqrt{5} \, cm$.
शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l + \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7\sqrt{5} + \frac{22}{7} \times 7^2 = 154\sqrt{5} + 154 = 154(\sqrt{5} + 1) \, cm^2$.
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (14)^2 = 6 \times 196 = 1176 \, cm^2$.
जब शंकु को काटा जाता है,तो घन के एक फलक से शंकु का वृत्ताकार आधार हट जाता है,लेकिन शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में जुड़ जाता है।
बचे हुए ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= (\text{घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल}) - (\text{शंकु के आधार का क्षेत्रफल}) + (\text{शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल})$.
$= 1176 - \pi r^2 + \pi r l = 1176 - 154 + 154\sqrt{5} = (1022 + 154\sqrt{5}) \, cm^2$.

(B) माना कि छिन्नक के वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
दिया गया है कि वृत्ताकार सिरों की परिधि $18 \,cm$ और $6 \,cm$ है।
अतः,$2 \pi r_1 = 18 \implies r_1 = \frac{9}{\pi} \,cm$.
और $2 \pi r_2 = 6 \implies r_2 = \frac{3}{\pi} \,cm$.
छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ $4 \,cm$ दी गई है।
शंकु के छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = \pi (r_1 + r_2) l$ है।
मान रखने पर:
$CSA = \pi \left( \frac{9}{\pi} + \frac{3}{\pi} \right) \times 4$
$CSA = \pi \left( \frac{12}{\pi} \right) \times 4$
$CSA = 12 \times 4 = 48 \,cm^2$.
अतः,छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $48 \,cm^2$ है।

(N/A) ऊपरी वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r_2) = 4 \, cm$.
निचले वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r_1) = 10 \, cm$.
शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई $(l) = 15 \, cm$.
फेज़ बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल $=$ छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) +$ ऊपरी वृत्ताकार सिरे का क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल $= \pi(r_1 + r_2)l + \pi r_2^2$.
क्षेत्रफल $= \pi(10 + 4) \times 15 + \pi(4)^2$.
क्षेत्रफल $= \pi(14) \times 15 + 16\pi$.
क्षेत्रफल $= 210\pi + 16\pi = 226\pi$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,क्षेत्रफल $= 226 \times \frac{22}{7} = \frac{4972}{7} \, cm^2$.
क्षेत्रफल $= 710 \frac{2}{7} \, cm^2$.
अतः,इसे बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल $710 \frac{2}{7} \, cm^2$ है।

(N/A) बर्तन के ऊपरी सिरे की त्रिज्या $(r_1) = 20 \, cm$
बर्तन के निचले सिरे की त्रिज्या $(r_2) = 8 \, cm$
बर्तन की ऊँचाई $(h) = 16 \, cm$
शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{(r_1 - r_2)^2 + h^2} = \sqrt{(20 - 8)^2 + 16^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, cm$
बर्तन की धारिता $=$ छिन्नक का आयतन $= \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$
$= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times (20^2 + 8^2 + 20 \times 8) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times (400 + 64 + 160) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times 624 = 10449.92 \, cm^3 = 10.44992 \, \text{लीटर }\approx 10.45 \, \text{लीटर}$
$1 \, \text{लीटर}$ दूध की लागत $= Rs. \, 20$
$10.45 \, \text{लीटर}$ दूध की लागत $= 10.45 \times 20 = Rs. \, 209$
उपयोग की गई धातु की शीट का क्षेत्रफल $= \pi (r_1 + r_2) l + \pi r_2^2 = 3.14 \times (20 + 8) \times 20 + 3.14 \times 8^2 = 3.14 \times 28 \times 20 + 3.14 \times 64 = 1758.4 + 200.96 = 1959.36 \, cm^2$
$100 \, cm^2$ धातु की शीट की लागत $= Rs. \, 8$
$1959.36 \, cm^2$ धातु की शीट की लागत $= \frac{1959.36 \times 8}{100} = Rs. \, 156.7488 \approx Rs. \, 156.75$
अतः,दूध की लागत $Rs. \, 209$ है और धातु की शीट की लागत $Rs. \, 156.75$ है।

(A) $\triangle AEG$ में,$\frac{EG}{AG} = \tan 30^{\circ}$। चूँकि $AG = 10 \, cm$,इसलिए $EG = 10 \tan 30^{\circ} = \frac{10}{\sqrt{3}} \, cm$। यह छिन्नक की ऊपरी त्रिज्या $r_1$ है।
$\triangle ABD$ में,$\frac{BD}{AD} = \tan 30^{\circ}$। चूँकि $AD = 20 \, cm$,इसलिए $BD = 20 \tan 30^{\circ} = \frac{20}{\sqrt{3}} \, cm$। यह छिन्नक की निचली त्रिज्या $r_2$ है।
छिन्नक की ऊँचाई $h = 10 \, cm$ है।
छिन्नक का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 10 \left[ \left( \frac{10}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{20}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{10}{\sqrt{3}} \times \frac{20}{\sqrt{3}} \right) \right]$
$V = \frac{220}{21} \left[ \frac{100}{3} + \frac{400}{3} + \frac{200}{3} \right] = \frac{220}{21} \times \frac{700}{3} = \frac{22000}{9} \, cm^3$.
तार की त्रिज्या $r = \frac{1}{32} \, cm$ है। मान लीजिए तार की लंबाई $l$ है।
तार का आयतन = $\pi r^2 l = \frac{22}{7} \times \left( \frac{1}{32} \right)^2 \times l$.
आयतन की तुलना करने पर: $\frac{22000}{9} = \frac{22}{7} \times \frac{1}{1024} \times l$.
$l = \frac{22000}{9} \times \frac{7 \times 1024}{22} = \frac{7168000}{9} \approx 796444.44 \, cm$.
मीटर में बदलने पर: $l = 7964.44 \, m$.

(C) माना समकोण त्रिभुज $ABC$ है जिसकी भुजाएँ $AB = 3\, cm$,$BC = 4\, cm$ और $\angle B = 90^\circ$ हैं।
कर्ण $AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, cm$.
जब त्रिभुज को कर्ण $AC$ के परितः घुमाया जाता है,तो एक दोहरा शंकु बनता है जहाँ उभयनिष्ठ आधार की त्रिज्या $r$,त्रिभुज $ABC$ का कर्ण $AC$ पर शीर्षलंब $OB$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\, cm^2$.
साथ ही,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times OB = \frac{1}{2} \times 5 \times OB$.
अतः,$\frac{1}{2} \times 5 \times OB = 6 \implies OB = \frac{12}{5} = 2.4\, cm$.
दोहरे शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों शंकुओं के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग है: $S = \pi r l_1 + \pi r l_2$,जहाँ $l_1 = AB = 3\, cm$ और $l_2 = BC = 4\, cm$.
$S = \pi r (l_1 + l_2) = 3.14 \times 2.4 \times (3 + 4) = 3.14 \times 2.4 \times 7 = 52.752\, cm^2 \approx 52.75\, cm^2$.

(N/A) छिन्नक भाग के ऊपरी वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r_1) = \frac{18}{2} = 9 \, cm$.
छिन्नक भाग के निचले वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r_2) =$ बेलनाकार भाग के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $= \frac{8}{2} = 4 \, cm$.
छिन्नक भाग की ऊँचाई $(h_1) = 22 - 10 = 12 \, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h_2) = 10 \, cm$.
छिन्नक भाग की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{(r_1 - r_2)^2 + h_1^2} = \sqrt{(9 - 4)^2 + (12)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
आवश्यक टीन की चादर का क्षेत्रफल $=$ छिन्नक भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $+$ बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$.
क्षेत्रफल $= \pi(r_1 + r_2)l + 2\pi r_2 h_2$.
क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times (9 + 4) \times 13 + 2 \times \frac{22}{7} \times 4 \times 10$.
क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 13 \times 13 + \frac{22}{7} \times 80$.
क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times (169 + 80) = \frac{22}{7} \times 249 = \frac{5478}{7} \, cm^2$.
क्षेत्रफल $= 782 \frac{4}{7} \, cm^2$.

(N/A) माना $ABC$ एक शंकु है। शंकु को उसके आधार के समानांतर एक तल द्वारा काटने पर शंकु का छिन्नक $DECB$ प्राप्त होता है। माना छिन्नक के वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ $r_{1}$ और $r_{2}$ हैं,छिन्नक की ऊँचाई $h$ है और इसकी तिर्यक ऊँचाई $l$ है।
$\triangle ABG$ और $\triangle ADF$ में,चूँकि $DF \parallel BG$,समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार:
$\triangle ABG \sim \triangle ADF$
अतः,$\frac{DF}{BG} = \frac{AF}{AG} = \frac{AD}{AB}$
माना पूरे शंकु $ABC$ की ऊँचाई $h_{1}$ और तिर्यक ऊँचाई $l_{1}$ है।
$\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{h_{1}-h}{h_{1}} = \frac{l_{1}-l}{l_{1}}$
$\frac{r_{2}}{r_{1}} = 1 - \frac{l}{l_{1}}$ से,हमें $\frac{l}{l_{1}} = 1 - \frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{r_{1}-r_{2}}{r_{1}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$l_{1} = \frac{r_{1}l}{r_{1}-r_{2}}$ और $(l_{1}-l) = \frac{r_{2}l}{r_{1}-r_{2}}$
छिन्नक $DECB$ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ = शंकु $ABC$ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल - शंकु $ADE$ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
$CSA = \pi r_{1}l_{1} - \pi r_{2}(l_{1}-l)$
$CSA = \pi r_{1} \left( \frac{r_{1}l}{r_{1}-r_{2}} \right) - \pi r_{2} \left( \frac{r_{2}l}{r_{1}-r_{2}} \right)$
$CSA = \frac{\pi l (r_{1}^{2} - r_{2}^{2})}{r_{1}-r_{2}} = \pi l (r_{1} + r_{2})$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ = $CSA$ + ऊपरी वृत्ताकार सिरे का क्षेत्रफल + निचले वृत्ताकार सिरे का क्षेत्रफल
$TSA = \pi (r_{1} + r_{2})l + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$

(D) माना कि घन की भुजा की लंबाई $a \, cm$ है।
दिया गया है,घन का आयतन $a^{3} = 64 \, cm^{3}$ है।
अतः,$a = \sqrt[3]{64} = 4 \, cm$ है।
जब दो ऐसे घनों को एक साथ जोड़ा जाता है,तो वे एक घनाभ बनाते हैं जिसके आयाम इस प्रकार हैं:
लंबाई $(l)$ = $2a = 2 \times 4 = 8 \, cm$
चौड़ाई $(b)$ = $a = 4 \, cm$
ऊंचाई $(h)$ = $a = 4 \, cm$
परिणामी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(lb + bh + hl)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(8 \times 4 + 4 \times 4 + 4 \times 8)$
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(32 + 16 + 32)$
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(80) = 160 \, cm^{2}$.

(B) जब समान आधार त्रिज्या और ऊँचाई वाले दो शंकुओं को उनके आधारों के साथ जोड़ा जाता है,तो आधार का क्षेत्रफल छिप जाता है,और परिणामी आकृति का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों शंकुओं के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग होता है।
दिया गया है:
शंकु की त्रिज्या,$r = 8\, cm$
शंकु की ऊँचाई,$h = 15\, cm$
प्रत्येक शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ इस प्रकार है:
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\, cm$.
परिणामी आकृति का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दो समान शंकुओं के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग है:
पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times (\pi r l)$
$= 2 \times \pi \times 8 \times 17$
$= 272\pi\, cm^2$
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$= 272 \times \frac{22}{7} = \frac{5984}{7} \approx 854.85\, cm^2$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $855\, cm^2$ प्राप्त होता है।

(C) बेलन की वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $CSA = 2 \pi r h$ है,जहाँ $2 \pi r$ आधार की परिधि है और $h$ लंबाई (ऊंचाई) है।
दिया गया है,आधार की परिधि $= 1.5 \,cm$ और लंबाई $h = 25 \,cm$.
एक पेंसिल का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 1.5 \,cm \times 25 \,cm = 37.5 \,cm^2$.
चूंकि $1 \,dm = 10 \,cm$,इसलिए $1 \,dm^2 = 100 \,cm^2$. अतः,$1 \,cm^2 = 0.01 \,dm^2$.
एक पेंसिल का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $dm^2$ में $= 37.5 \times 0.01 = 0.375 \,dm^2$.
$120000$ पेंसिलों के लिए कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 120000 \times 0.375 \,dm^2 = 45000 \,dm^2$.
रंगने का खर्च $= 45000 \,dm^2 \times \operatorname{Rs.} 0.05/dm^2 = \operatorname{Rs.} 2250$.

(A) दोनों शंकुओं के लिए:
त्रिज्या $r = 5 \, cm$ और ऊंचाई $h = 12 \, cm$ है।
बेलन के लिए:
त्रिज्या $r = 5 \, cm$ है।
बेलन की ऊंचाई $H = \text{वस्तु की कुल ऊंचाई} - 2 \times \text{शंकु की ऊंचाई}$.
$H = 41 - 2 \times 12 = 41 - 24 = 17 \, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊंचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.
$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
संयुक्त वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$:
$TSA = \text{बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + 2 \times \text{शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}$.
$TSA = 2 \pi r H + 2 \times (\pi r l) = 2 \pi r (H + l)$.
$TSA = 2 \times 3.14 \times 5 \times (17 + 13)$.
$TSA = 3.14 \times 10 \times 30 = 3.14 \times 300 = 942 \, cm^2$.
अतः,दी गई वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $942 \, cm^2$ है।

(B) शंकु की त्रिज्या $=$ अर्धगोले की त्रिज्या $= r = 5 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $= h = 12 \, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ द्वारा दी जाती है।
$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r)$.
मान रखने पर: $3.14 \times 5 \times (13 + 2 \times 5) = 3.14 \times 5 \times (13 + 10) = 3.14 \times 5 \times 23$.
$= 15.7 \times 23 = 361.1 \, cm^2$.

(C) बेलन की त्रिज्या दोनों अर्धगोलों की त्रिज्या के बराबर है,$r = 7 \, cm$।
बेलन की ऊँचाई वस्तु की कुल ऊँचाई में से दोनों अर्धगोलों की त्रिज्याओं को घटाकर प्राप्त की जाती है:
$h = 34 \, cm - (2 \times 7 \, cm) = 34 - 14 = 20 \, cm$।
संयुक्त वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ और दो अर्धगोलों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग है:
$TSA = CSA_{\text{cylinder}} + 2 \times CSA_{\text{hemisphere}}$
$TSA = 2 \pi r h + 2 \times (2 \pi r^2)$
$TSA = 2 \pi r (h + 2r)$
मान रखने पर:
$TSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (20 + 2 \times 7)$
$TSA = 44 \times (20 + 14)$
$TSA = 44 \times 34 = 1496 \, cm^2$।
अतः,दी गई वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $1496 \, cm^2$ है।

(D) बेलन की त्रिज्या = शंकु की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या = $r = 14 \, cm$.
बेलन की ऊँचाई $H = 22 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $h = 48 \, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ बेलन,शंकु और अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों $(CSA)$ का योग है।
$TSA = CSA_{\text{बेलन}} + CSA_{\text{शंकु}} + CSA_{\text{अर्धगोला}}$
$TSA = 2\pi rH + \pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(2H + l + 2r)$.
मान रखने पर: $TSA = \frac{22}{7} \times 14 \times (2 \times 22 + 50 + 2 \times 14)$.
$TSA = 44 \times (44 + 50 + 28) = 44 \times 122 = 5368 \, cm^2$.
अतः,वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $5368 \, cm^2$ है।

(A) छह घनों को एक पंक्ति में एक-दूसरे के फलकों को स्पर्श करते हुए व्यवस्थित करने से एक घनाभ बनता है।
इस प्रकार बने घनाभ के लिए,लंबाई $l = 6 \times 3 \, cm = 18 \, cm$ है।
चौड़ाई $b = 3 \, cm$ और ऊँचाई $h = 3 \, cm$ है।
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ सूत्र $2(lb + bh + hl)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $TSA = 2(18 \times 3 + 3 \times 3 + 3 \times 18)$.
$TSA = 2(54 + 9 + 54) = 2(117) = 234 \, cm^2$.
अतः,इस प्रकार बने ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $234 \, cm^2$ है।