Surface Area of a Combination of Solids Questions in Hindi

(D) यहाँ, दिए गए शंकु के लिए त्रिज्या $r = 4\, cm$ और ऊँचाई $h = 3\, cm$ है।
सबसे पहले, हम तिर्यक ऊँचाई $l$ की गणना $l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ सूत्र का उपयोग करके करेंगे।
$l = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\, cm$.
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $TSA = \pi r(r + l)$ है।
मान रखने पर, $TSA = \pi \times 4 \times (4 + 5) = \pi \times 4 \times 9 = 36\pi\, cm^{2}$.

(A) दिए गए शंकु के लिए,त्रिज्या $r = 5\,cm$ और ऊँचाई $h = 12\,cm$ है।
सबसे पहले,हम तिर्यक ऊँचाई $l$ की गणना सूत्र $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ का उपयोग करके करेंगे।
$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\,cm$.
शंकु का $CSA$ (वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) $\pi r l$ द्वारा दिया जाता है।
शंकु के आधार का क्षेत्रफल $\pi r^2$ है।
अतः,$CSA$ और आधार के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{\pi r l}{\pi r^2} = \frac{l}{r}$ होगा।
मान रखने पर,हमें $\frac{13}{5}$ प्राप्त होता है,जो $13:5$ है।

(D) गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 4 \pi r^{2}$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 7\,cm$ दी गई है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times (7)^{2}$
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times 49$
$A = 4 \times 22 \times 7$
$A = 88 \times 7 = 616\,cm^{2}$.

(B) अर्धगोले का व्यास $d = 20 \, cm$ है।
अतः, त्रिज्या $r = d / 2 = 20 / 2 = 10 \, cm$ होगी।
अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $2 \pi r^{2}$ होता है।
$r$ का मान रखने पर:
$CSA = 2 \times \pi \times (10)^{2}$
$CSA = 2 \times \pi \times 100$
$CSA = 200 \pi \, cm^{2}$.

(C) अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ का सूत्र $3 \pi r^{2}$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 10 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$TSA = 3 \times \pi \times (10)^{2}$
$TSA = 3 \times \pi \times 100$
$TSA = 300 \pi \, cm^{2}$।

(B) अर्धगोले का व्यास $d = 10 \, cm$ है।
अतः, त्रिज्या $r = d / 2 = 10 / 2 = 5 \, cm$ है।
अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ का सूत्र $3 \pi r^2$ होता है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$TSA = 3 \times \pi \times (5)^2$
$TSA = 3 \times \pi \times 25$
$TSA = 75 \pi \, cm^2$.

(D) अर्धगोले के वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$\pi r^{2} = 154 \, cm^{2}$।
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(2\pi r^{2})$ और आधार के क्षेत्रफल $(\pi r^{2})$ का योग होता है,जो $3\pi r^{2}$ के बराबर है।
अतः,$TSA = 3 \times (\pi r^{2}) = 3 \times 154 = 462 \, cm^{2}$।

(D) माना कि दो गोलों की त्रिज्याएँ $r_{1}$ और $r_{2}$ इकाई हैं।
दिया गया है कि उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{3}{2}$ है।
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 4\pi r^{2}$ होता है।
दोनों गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{4\pi r_{1}^{2}}{4\pi r_{2}^{2}}$ होगा।
इसे सरल करने पर,$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए अनुपात का मान रखने पर: $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$।
अतः,उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $9:4$ है।

(D) मान लीजिए कि गोले और ठोस अर्धगोले दोनों की त्रिज्या $r$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $4 \pi r^2$ है।
ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $3 \pi r^2$ है।
अतः,गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{4 \pi r^2}{3 \pi r^2} = \frac{4}{3}$ होगा।
इस प्रकार,अभीष्ट अनुपात $4:3$ है।

(D) दिया है: बेलनाकार टैंक का व्यास $= 2.1 \, m$.
त्रिज्या $r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{2.1}{2} = 1.05 \, m$ या $\frac{21}{20} \, m$.
ऊँचाई $h = 5 \, m$.
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $2 \pi r h$ है।
मान रखने पर: $CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times 5$.
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times 5 = 2 \times 22 \times \frac{3}{20} \times 5 = 44 \times \frac{15}{20} = 44 \times 0.75 = 33 \, m^2$.
अतः,$CSA = 33 \, m^2$ है।

(B) दिया गया है: ऊँचाई $(h) = 3\,m$,व्यास $= 8\,m$.
त्रिज्या $(r) = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{8}{2} = 4\,m$.
शंकु के लिए,तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$l = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,m$.
शंक्वाकार टैंक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= \pi r l$.
$CSA = 3.14 \times 4 \times 5 = 3.14 \times 20 = 62.8\,m^{2}$.

(A) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 4 \pi r^{2}$ है।
यहाँ $A = \frac{763}{3} \, m^{2}$ और $\pi = 3.14$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{763}{3} = 4 \times 3.14 \times r^{2}$
$\frac{763}{3} = 12.56 \times r^{2}$
$r^{2} = \frac{763}{3 \times 12.56}$
$r^{2} = \frac{763}{37.68}$
$r^{2} \approx 20.25$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r = \sqrt{20.25} = 4.5 \, m$.
अतः,गोले की त्रिज्या $4.5 \, m$ है।

(C) गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 4\pi r^{2}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 1256\,cm^{2}$ और $\pi = 3.14$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$1256 = 4 \times 3.14 \times r^{2}$
$1256 = 12.56 \times r^{2}$
$r^{2} = \frac{1256}{12.56}$
$r^{2} = 100$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $r = 10\,cm$ प्राप्त होता है।

(C) शंकु के छिन्नक के लिए, तिर्यक ऊँचाई $l$ का सूत्र है:
$l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$
यहाँ $h = 4\,cm$, $r_1 = 10\,cm$ और $r_2 = 7\,cm$ दिया गया है:
$l = \sqrt{4^2 + (10 - 7)^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,cm$
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र है:
$CSA = \pi l(r_1 + r_2)$
मान रखने पर:
$CSA = \pi \times 5 \times (10 + 7) = \pi \times 5 \times 17 = 85\pi\,cm^2$

(B) अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करने का सूत्र: $TSA = 3\pi r^{2}$ है।
यहाँ,$TSA = 462\,cm^{2}$ दिया गया है।
अतः,$3\pi r^{2} = 462$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करते हुए,$3 \times \frac{22}{7} \times r^{2} = 462$.
$r^{2} = 462 \times \frac{7}{3 \times 22}$.
$r^{2} = 462 \times \frac{7}{66}$.
$r^{2} = 7 \times 7 = 49$.
$r = \sqrt{49} = 7\,cm$.
व्यास $d = 2r = 2 \times 7 = 14\,cm$ होगा।

(D) भुजा वाले घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $6a^{2}$ होता है।
यहाँ भुजा की लंबाई $a = 4 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में $a$ का मान रखने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (4 \, cm)^{2}$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times 16 \, cm^{2}$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 96 \, cm^{2}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2(lb + bh + hl)$ होता है,जहाँ $l$,$b$ और $h$ क्रमशः घनाभ की लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई हैं।
दी गई विमाएँ $l = 15\,cm$,$b = 12\,cm$ और $h = 10\,cm$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(15 \times 12 + 12 \times 10 + 10 \times 15)$
$= 2(180 + 120 + 150)$
$= 2(450)$
$= 900\,cm^{2}$।

(B) दिए गए अर्धगोले के लिए,त्रिज्या $r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, cm$ है।
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $3 \pi r^{2}$ है।
सूत्र में $r = 1 \, cm$ का मान रखने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 3 \times \pi \times (1)^{2} = 3 \pi \, cm^{2}$ प्राप्त होता है।

(C) बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \pi r h$ होता है।
दिया गया है कि वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $132 \, cm^2$ है और ऊँचाई $h = 3 \, cm$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$132 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 3$
$132 = \frac{132}{7} \times r$
दोनों पक्षों को $\frac{7}{132}$ से गुणा करने पर:
$r = 132 \times \frac{7}{132} = 7 \, cm$.
व्यास $d$ त्रिज्या का दोगुना होता है:
$d = 2r = 2 \times 7 = 14 \, cm$.

(D) बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \pi r(h + r)$ होता है।
दिया गया है,त्रिज्या $r = 7 \, cm$ और ऊँचाई $h = 13 \, cm$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (13 + 7)$
$= 2 \times 22 \times 20$
$= 44 \times 20 = 880 \, cm^{2}$.

(C) दिए गए शंकु के लिए,त्रिज्या $r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, cm$ है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = \pi r l$ होता है,जहाँ $l$ तिर्यक ऊँचाई है।
चूँकि $CSA = 85 \pi \, cm^{2}$ दिया गया है,इसलिए:
$85 \pi = \pi \times 5 \times l$
दोनों पक्षों को $5 \pi$ से विभाजित करने पर:
$l = \frac{85 \pi}{5 \pi} = 17 \, cm$.
अतः,शंकु की तिर्यक ऊँचाई $17 \, cm$ है।

(C) दोनों सिरों पर शंकु के आकार के ढक्कन वाले बेलन में बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और दो शंकुओं का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल शामिल होता है।
$1$. बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi rh$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ बेलन की ऊँचाई है।
$2$. एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl$ है,जहाँ $l$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।
$3$. चूँकि दो ऐसे शंकु हैं,इसलिए उनका संयुक्त वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi rl$ होगा।
$4$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल इन क्षेत्रफलों का योग है: $2\pi rh + 2\pi rl = 2\pi r(h+l)$।