Surface Area of a Combination of Solids Questions in Hindi

(B) $1$. यह वस्तु एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर दो शंकुओं से मिलकर बनी है।
$2$. बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $30 \, cm$.
$3$. प्रत्येक शंकु की ऊंचाई $(h_{cone})$ = $40 \, cm$.
$4$. वस्तु की कुल ऊंचाई = $180 \, cm$.
$5$. बेलन की ऊंचाई $(h_{cyl})$ = $180 - (40 + 40) = 100 \, cm$.
$6$. शंकु की तिर्यक ऊंचाई $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_{cone}^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
$7$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + $2$ $\times$ (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
$8$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $(2 \pi r h_{cyl}) + 2 \times (\pi r l) = 2 \pi r (h_{cyl} + l)$.
$9$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \times 3.14 \times 30 \times (100 + 50) = 188.4 \times 150 = 28260 \, cm^2$.

(C) यह वस्तु एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर दो अर्धगोलों से बनी है।
दिया है: त्रिज्या $r = 21 \, cm$,कुल ऊँचाई $H = 92 \, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $h = H - 2r = 92 - 2(21) = 92 - 42 = 50 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + $2 \times$ (अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi rh + 2(2\pi r^2) = 2\pi r(h + 2r)$.
मान रखने पर: $2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times (50 + 2(21)) = 2 \times 22 \times 3 \times (50 + 42) = 132 \times 92 = 12,144 \, cm^2$.

(D) अर्धगोलाकार गुंबद की त्रिज्या $(r)$ $21\, m$ है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $2\pi r^2$ है।
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21$
$CSA = 2 \times 22 \times 3 \times 21$
$CSA = 44 \times 63 = 2772\, m^2$.
पेंट करने की दर ₹ $80$ प्रति $m^2$ है।
कुल लागत = $CSA \times \text{दर} = 2772 \times 80 = 2,21,760$.
अतः,बाहरी सतह को पेंट करने की कुल लागत ₹ $2,21,760$ है।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $(r)$ = $7\, cm$,ऊँचाई $(h)$ = $24\, cm$.
सबसे पहले,शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ ज्ञात करें: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\, cm$.
पेंट की जाने वाली सतह का क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi rl = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550\, cm^2$.
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 308\, cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $550 + 308 = 858\, cm^2$.
पेंट करने का खर्च = कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $\times$ दर = $858 \times 2 = ₹ 1716$.

(B) यह वस्तु एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर जुड़े दो शंकुओं से बनी है।
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $21 \, cm$.
बेलन की ऊंचाई $(h)$ = $50 \, cm$.
शंकु की ऊंचाई $(H)$ = $28 \, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊंचाई $(l)$ = $\sqrt{r^2 + H^2} = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + $2 \times$ (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 50 = 44 \times 3 \times 50 = 6600 \, cm^2$.
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi r l = \frac{22}{7} \times 21 \times 35 = 22 \times 3 \times 35 = 2310 \, cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $6600 + 2 \times 2310 = 6600 + 4620 = 11220 \, cm^2$.

(C) दिया गया है: त्रिज्या $(r)$ = $3.5\, m$,ऊँचाई $(h)$ = $12\, m$.
सबसे पहले,सूत्र $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ का उपयोग करके शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ ज्ञात करें।
$l = \sqrt{(3.5)^2 + (12)^2} = \sqrt{12.25 + 144} = \sqrt{156.25} = 12.5\, m$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $\pi rl$ द्वारा दिया जाता है।
$CSA = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 12.5 = 22 \times 0.5 \times 12.5 = 11 \times 12.5 = 137.5\, m^2$.
पेंट करने की लागत ₹ $30/m^2$ की दर से है।
कुल लागत = $137.5 \times 30 = ₹ 4125$.

(D) यह वस्तु एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर दो अर्धगोलों से मिलकर बनी है।
दिया गया है: बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $20 \, cm$,कुल ऊँचाई $(H)$ = $80 \, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h)$ = $H - 2r = 80 - 2(20) = 80 - 40 = 40 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + $2 \times$ (अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
$= 2\pi rh + 2(2\pi r^2) = 2\pi r(h + 2r)$.
$= 2 \times 3.14 \times 20 \times (40 + 2 \times 20)$.
$= 125.6 \times (40 + 40) = 125.6 \times 80 = 10048 \, cm^2$.

(A) यह वस्तु एक बेलन,एक अर्धगोले और एक शंकु से मिलकर बनी है।
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $28 \, cm$,बेलन की ऊँचाई $(h_1)$ = $54.5 \, cm$.
अर्धगोले की त्रिज्या $(r)$ = $28 \, cm$.
शंकु की त्रिज्या $(r)$ = $28 \, cm$,शंकु की ऊँचाई $(h_2)$ = $21 \, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{28^2 + 21^2} = \sqrt{784 + 441} = \sqrt{1225} = 35 \, cm$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi rh_1 + 2\pi r^2 + \pi rl$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi r (2h_1 + 2r + l) = \frac{22}{7} \times 28 \times (2 \times 54.5 + 2 \times 28 + 35)$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $22 \times 4 \times (109 + 56 + 35) = 88 \times 200 = 17600 \, cm^2$.

(B) $1$. आयामों की पहचान करें: त्रिज्या $(r)$ = $5 \, cm$,प्रत्येक शंकु की ऊंचाई $(h_{cone})$ = $12 \, cm$,कुल ऊंचाई $(H)$ = $41 \, cm$.
$2$. बेलन की ऊंचाई $(h_{cyl})$ ज्ञात करें: $h_{cyl} = H - 2 \times h_{cone} = 41 - 24 = 17 \, cm$.
$3$. शंकु की तिर्यक ऊंचाई $(l)$ ज्ञात करें: $l = \sqrt{r^2 + h_{cone}^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
$4$. वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दो शंकुओं का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
$5$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r h_{cyl} + 2 \times (\pi r l) = 2 \pi r (h_{cyl} + l)$.
$6$. मान रखने पर: $2 \times 3.14 \times 5 \times (17 + 13) = 31.4 \times 30 = 942 \, cm^2$.

(C) यह वस्तु एक बेलन और एक शंकु के संयोजन से बनी है।
दिया है: बेलन और शंकु की त्रिज्या $(r) = 6 \, cm$,शंकु की ऊँचाई $(h_{cone}) = 8 \, cm$,वस्तु की कुल ऊँचाई $= 20 \, cm$.
बेलन की ऊँचाई $(h_{cyl}) = 20 \, cm - 8 \, cm = 12 \, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^2 + h_{cone}^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $(2 \pi r h_{cyl}) + (\pi r l) = \pi r (2 h_{cyl} + l)$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $3.14 \times 6 \times (2 \times 12 + 10) = 18.84 \times (24 + 10) = 18.84 \times 34 = 640.56 \, cm^2$.

(D) माना अर्धगोलाकार आधार की त्रिज्या $r$ है और शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = 5 \, cm$ है।
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl + 2\pi r^2 = 103.62 \, cm^2$.
दिया है $\pi = 3.14$,अतः $3.14 \times r \times 5 + 2 \times 3.14 \times r^2 = 103.62$.
$15.7r + 6.28r^2 = 103.62$.
$3.14$ से भाग देने पर: $5r + 2r^2 = 33$.
$2r^2 + 5r - 33 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $2r^2 + 11r - 6r - 33 = 0 \implies r(2r + 11) - 3(2r + 11) = 0$.
$(r - 3)(2r + 11) = 0$. चूँकि $r > 0$,इसलिए $r = 3 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, cm$.
वस्तु की कुल ऊँचाई शंकु की ऊँचाई और अर्धगोले की त्रिज्या का योग है: $H = h + r = 4 + 3 = 7 \, cm$.

(A) दिया गया है: शंकु की त्रिज्या $(r)$ = $15 \, cm$,शंकु की ऊँचाई $(h)$ = $20 \, cm$।
सबसे पहले,शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ की गणना करें: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \, cm$।
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi rl = 3.14 \times 15 \times 25 = 1177.5 \, cm^2$।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi r^2 = 2 \times 3.14 \times 15^2 = 2 \times 3.14 \times 225 = 1413 \, cm^2$।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $1177.5 + 1413 = 2590.5 \, cm^2$।

(C) तंबू का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
त्रिज्या $(r)$ = $1.2\, m$.
बेलन की ऊँचाई $(h_1)$ = $4\, m$.
शंकु की ऊँचाई $(h_2)$ = $3.5\, m$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{(1.2)^2 + (3.5)^2} = \sqrt{1.44 + 12.25} = \sqrt{13.69} = 3.7\, m$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi rh_1 = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.2 \times 4 \approx 30.17\, m^2$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi rl = \frac{22}{7} \times 1.2 \times 3.7 \approx 13.95\, m^2$.
कुल क्षेत्रफल = $30.17 + 13.95 = 44.12\, m^2$.
निकटतम पूर्णांक में,उपयोग किया गया कपड़ा $44\, m^2$ है।

(A) यह वस्तु एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर जुड़े दो अर्धगोलों से बनी है।
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $21 \, cm$.
बेलन की ऊँचाई $(h)$ = $18 \, cm$.
अर्धगोलों की त्रिज्या $(r)$ = $21 \, cm$.
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + $2 \times$ (अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 18 = 2 \times 22 \times 3 \times 18 = 2376 \, cm^2$.
दो अर्धगोलों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \times (2 \pi r^2) = 4 \pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 4 \times 22 \times 3 \times 21 = 5544 \, cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2376 + 5544 = 7920 \, cm^2$.

(C) दिया गया है: अर्धगोले की त्रिज्या $(r)$ = $3.5\, cm = \frac{7}{2}\, cm$।
खिलौने की कुल ऊँचाई = $15.5\, cm$।
शंकु की ऊँचाई $(h)$ = कुल ऊँचाई - अर्धगोले की त्रिज्या = $15.5 - 3.5 = 12\, cm$।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(3.5)^2 + 12^2} = \sqrt{12.25 + 144} = \sqrt{156.25} = 12.5\, cm$।
खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
$= \pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r)$।
$= \frac{22}{7} \times 3.5 \times (12.5 + 2 \times 3.5) = 11 \times (12.5 + 7) = 11 \times 19.5 = 214.5\, cm^2$।

(D) यह वस्तु एक अर्धगोले पर रखे गए शंकु से बनी है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
$1$. शंकु की तिर्यक ऊंचाई $(l)$: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
$2$. शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA_{cone})$: $\pi rl = 3.14 \times 5 \times 13 = 204.1 \, cm^2$.
$3$. अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA_{hemi})$: $2\pi r^2 = 2 \times 3.14 \times 5^2 = 2 \times 3.14 \times 25 = 157 \, cm^2$.
$4$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: $CSA_{cone} + CSA_{hemi} = 204.1 + 157 = 361.1 \, cm^2$.

(D) एक बेलन का $CSA$ (वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) उसके दो वृत्ताकार आधारों को छोड़कर वक्र सतह का क्षेत्रफल होता है।
$r$ त्रिज्या और $h$ ऊँचाई वाले बेलन के लिए,$CSA$ की गणना आधार की परिधि $(2 \pi r)$ को ऊँचाई $(h)$ से गुणा करके की जाती है।
अतः,$CSA = 2 \pi r h$.

(A) अर्धगोला,एक गोले का आधा भाग होता है।
चूंकि एक गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \pi r^{2}$ होता है,इसलिए अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ उस मान का आधा होता है।
अर्धगोले का $CSA = \frac{1}{2} \times (4 \pi r^{2}) = 2 \pi r^{2}$।

(C) $r$ त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 4 \pi r^{2}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) त्रिज्या $r$ और तिर्यक ऊँचाई $l$ वाले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $\pi r l$ है।
यहाँ,$r$ वृत्ताकार आधार की त्रिज्या को दर्शाता है और $l$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई को दर्शाता है।

(B) अर्धगोला एक गोले का आधा भाग होता है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $2 \pi r^{2}$ होता है।
अर्धगोले का आधार एक वृत्त होता है जिसका क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ होता है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार के क्षेत्रफल का योग होता है।
$TSA = CSA + \text{आधार का क्षेत्रफल} = 2 \pi r^{2} + \pi r^{2} = 3 \pi r^{2}$.

(D) बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल का योग होता है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= 2 \pi r h$
दो वृत्ताकार आधारों का क्षेत्रफल $= 2 \times (\pi r^{2}) = 2 \pi r^{2}$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= 2 \pi r h + 2 \pi r^{2}$
$2 \pi r$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $TSA = 2 \pi r(r+h)$।

(B) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल का योग होता है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl$
आधार का क्षेत्रफल $= \pi r^{2}$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl + \pi r^{2} = \pi r(l + r)$
जहाँ $r$ आधार की त्रिज्या है और $l$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।

(B) $5$ रुपये का सिक्का एक बेलनाकार आकार का होता है,जिसकी ऊँचाई $h$ बहुत कम होती है।
बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल और उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times (\text{आधार का क्षेत्रफल}) + \text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(\pi r^2) + 2 \pi r h$.
$2 \pi r$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें $2 \pi r(r + h)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही सूत्र $2 \pi r(r + h)$ है।

(B) माना कि दो गोलों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं। दिया गया है कि उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2 = 3 : 5$ है।
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $S = 4\pi r^2$ होता है।
दोनों गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ होगा।
दिए गए अनुपात का मान रखने पर: $\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$।
अतः,उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $9: 25$ है।

(C) दिया गया है: शंकु के छिन्नक की त्रिज्याएँ $R = 10 \, cm$ और $r = 7 \, cm$ हैं। ऊँचाई $h = 4 \, cm$ है।
सबसे पहले,हम छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई $l$ की गणना सूत्र $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$ का उपयोग करके करेंगे।
मान रखने पर: $l = \sqrt{4^2 + (10 - 7)^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, cm$.
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $CSA = \pi (R + r) l$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $CSA = \pi (10 + 7) \times 5 = \pi (17) \times 5 = 85\pi \, cm^2$.
अतः,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $85\pi \, cm^2$ है।

(A) शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = \pi r l$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ तिर्यक ऊँचाई है।
दिया गया है: $r = 12 \, cm$ और $l = 20 \, cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
$CSA = \pi \times 12 \times 20$
$CSA = 240 \pi \, cm^2$.
अतः,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $240 \pi \, cm^2$ है।

(C) एक घन में कुल $6$ फलक होते हैं। $l$ भुजा वाले घन के प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल $l^2$ होता है।
यदि घन एक सिरे से खुला है,तो इसका अर्थ है कि एक फलक कम है।
अतः,एक सिरे से खुले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल शेष $5$ फलकों के क्षेत्रफलों का योग है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 5 \times l^2 = 5l^2$.

(A) एक घन एक त्रिविमीय आकृति है जिसमें $6$ समान वर्गाकार फलक होते हैं।
यदि घन की भुजा की लंबाई $l$ है,तो एक वर्गाकार फलक का क्षेत्रफल $l \times l = l^{2}$ होता है।
चूंकि एक बंद घन में ऐसे $6$ फलक होते हैं,इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सभी $6$ फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है।
अतः,कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times l^{2} = 6 l^{2}$।

(A) एक बेलन के दो वृत्ताकार आधार होते हैं।
चूंकि बेलन का आधार $r$ त्रिज्या वाला एक वृत्त होता है,इसलिए आधार का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र द्वारा दिया जाता है।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^{2}$।
अतः,बेलन के आधार का क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ होता है।

(A) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके ऊपरी और निचले वृत्ताकार आधारों को छोड़कर पार्श्व सतह का क्षेत्रफल होता है।
$r$ त्रिज्या और $h$ ऊँचाई वाले बेलन के लिए,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार की परिधि $(2 \pi r)$ को ऊँचाई $(h)$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
अतः,सूत्र $2 \pi r h$ है।

(B) बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग होता है।
दो वृत्ताकार आधारों का क्षेत्रफल $= 2 \times (\pi r^2) = 2 \pi r^2$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^2 + 2 \pi r h$.
$2 \pi r$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें $2 \pi r(r + h)$ प्राप्त होता है।

(D) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $\pi rl$ है,जहाँ $r$ आधार की त्रिज्या है और $l$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।

(C) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार के वृत्तीय क्षेत्रफल का योग होता है।
$1$. शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r l$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ तिर्यक ऊँचाई है।
$2$. आधार के वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ होता है।
$3$. अतः,कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{आधार का क्षेत्रफल} = \pi r l + \pi r^{2}$.
$4$. $\pi r$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें $\pi r(l + r)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $r$ त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 4 \pi r^{2}$ है।
यह सूत्र गोले की बाहरी सीमा द्वारा घेरे गए कुल क्षेत्रफल को दर्शाता है।

(C) एक गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \pi r^{2}$ होता है।
चूंकि एक अर्धगोला,गोले का ठीक आधा भाग होता है,इसलिए इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल गोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा होगा।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (4 \pi r^{2}) = 2 \pi r^{2}$।

(C) एक लंबवृत्तीय शंकु में,तिर्यक ऊँचाई $(l)$,ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $(h)$ और आधार की त्रिज्या $(r)$ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इसलिए,$l^{2} = h^{2} + r^{2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) अर्धगोला,गोले का आधा भाग होता है। गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $4\pi r^{2}$ होता है,इसलिए अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r^{2}$ होता है।
इसके अतिरिक्त,अर्धगोले का आधार एक वृत्त होता है जिसका क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ होता है।
अतः,अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार के क्षेत्रफल का योग होता है: $2\pi r^{2} + \pi r^{2} = 3\pi r^{2}$।

(D) शंकु एक त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृति है जो एक समतल आधार से ऊपर की ओर एक बिंदु तक संकीर्ण होती जाती है,जिसे शीर्ष कहा जाता है।
परिभाषा के अनुसार,एक लंबवृत्तीय शंकु का आधार एक वृत्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करने का सूत्र है: $TSA = \pi r(r + l) = \pi r^2 + \pi rl$।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र है: $CSA = \pi rl$।
यह जानने के लिए कि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल से कितना अधिक है,हम $TSA$ में से $CSA$ को घटाएंगे:
अंतर $= TSA - CSA$
अंतर $= (\pi r^2 + \pi rl) - (\pi rl)$
अंतर $= \pi r^2 + \pi rl - \pi rl$
अंतर $= \pi r^2$।
अतः,शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल से $\pi r^2$ अधिक है।

(B) $1$ रुपये का सिक्का एक पतले बेलन (cylinder) के आकार का होता है।
एक बेलन जिसकी त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है,उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $A = 2 \pi r h$ है।
यहाँ,$h$ सिक्के की मोटाई को दर्शाता है।

(A) शंकु का छिन्नक तब बनता है जब एक शंकु को उसके आधार के समानांतर एक तल द्वारा काटा जाता है।
मान लीजिए $r_{1}$ और $r_{2}$ छिन्नक के दो वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ हैं,और $l$ छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई है।
शंकु के छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र मूल शंकु और ऊपर से हटाए गए छोटे शंकु के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के अंतर से प्राप्त होता है।
यह सूत्र है: $CSA = \pi l(r_{1} + r_{2})$.

(A) शंकु के छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ उसकी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफलों का योग होता है।
$1$. छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi l(r_{1} + r_{2})$ होता है,जहाँ $l$ तिर्यक ऊँचाई है और $r_{1}, r_{2}$ दो वृत्ताकार आधारों की त्रिज्याएँ हैं।
$2$. ऊपरी वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल $\pi r_{1}^{2}$ है।
$3$. निचले वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल $\pi r_{2}^{2}$ है।
$4$. अतः,कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ इन तीनों भागों का योग है: $TSA = \pi l(r_{1} + r_{2}) + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$.

(B) $5$ रुपये का सिक्का एक पतले बेलन (cylinder) के आकार का होता है।
$r$ त्रिज्या और $h$ ऊँचाई वाले बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफलों का योग होता है।
$TSA = \text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + 2 \times \text{वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल}$
$TSA = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$
$2 \pi r$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$TSA = 2 \pi r(r + h)$
अतः,सही सूत्र $A = 2 \pi r(r + h)$ है।

(B) बेलन का आधार एक वृत्त होता है।
दिया गया है,आधार की त्रिज्या $r = 7 \, cm$ है।
बेलन के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{Area} = \pi r^2$ है।
$r$ का मान और $\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर:
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$\text{Area} = 22 \times 7 = 154 \, cm^2$.
अतः,आधार का क्षेत्रफल $154 \, cm^2$ है।

(C) बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $2 \pi r h$ होता है।
दिया गया है:
त्रिज्या $(r)$ = $1.4 \, cm = \frac{14}{10} \, cm$
ऊँचाई $(h)$ = $10 \, cm$
सूत्र में मान रखने पर:
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{14}{10} \times 10$
$CSA = 2 \times 22 \times 2$
$CSA = 88 \, cm^2$
अतः,बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $88 \, cm^2$ है।

(B) बेलन का आधार एक वृत्त होता है। वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^{2}$ होता है।
यहाँ आधार का क्षेत्रफल $616\,cm^{2}$ दिया गया है।
अतः,$616 = \frac{22}{7} \times r^{2}$.
$r^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$r^{2} = 616 \times \frac{7}{22}$.
$r^{2} = 28 \times 7$.
$r^{2} = 196$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r = \sqrt{196} = 14\,cm$.
अतः,बेलन के आधार की त्रिज्या $14\,cm$ है।

(C) शंकु के लिए,तिर्यक ऊँचाई $l$ का सूत्र $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
यहाँ,त्रिज्या $r = 6 \, cm$ और ऊँचाई $h = 8 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$l = \sqrt{6^2 + 8^2}$
$l = \sqrt{36 + 64}$
$l = \sqrt{100}$
$l = 10 \, cm$.
अतः,शंकु की तिर्यक ऊँचाई $10 \, cm$ है।

(C) शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = \pi r l$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 4 \, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 6 \, cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$CSA = \pi \times 4 \times 6 = 24 \pi \, cm^{2}$।

(B) शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = \pi r l$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 7\, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 15\, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$CSA = \frac{22}{7} \times 7 \times 15$
$CSA = 22 \times 15 = 330\, cm^2$.