Surface Area of a Combination of Solids Questions in Gujarati

(A) રંગવા માટેનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
આપેલ છે:
ભમરડાનો વ્યાસ $= 3.5 \, cm$
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{3.5}{2} = 1.75 \, cm$
ભમરડાની કુલ ઊંચાઈ $= 5 \, cm$
શંકુની ઊંચાઈ $(h) = \text{કુલ ઊંચાઈ} - \text{અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા} = 5 - 1.75 = 3.25 \, cm$
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(1.75)^2 + (3.25)^2} = \sqrt{3.0625 + 10.5625} = \sqrt{13.625} \approx 3.69 \, cm \approx 3.7 \, cm$
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75 = 19.25 \, cm^2$
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 1.75 \times 3.7 = 20.35 \, cm^2$
રંગવા માટેનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 19.25 + 20.35 = 39.6 \, cm^2$.

(B) સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6 \times (\text{ધાર})^2 = 6 \times 5 \times 5 \, cm^2 = 150 \, cm^2$.
નોંધો કે સમઘનનો જે ભાગ પર અર્ધગોલક જોડાયેલ છે તે પૃષ્ઠફળમાં ગણવામાં આવતો નથી.
તેથી,બ્લોકનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= \text{સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ} - \text{અર્ધગોલકના પાયાનું ક્ષેત્રફળ} + \text{અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}$.
$= 150 - \pi r^2 + 2\pi r^2 = (150 + \pi r^2) \, cm^2$.
આપેલ વ્યાસ $= 4.2 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2.1 \, cm$ થાય.
$= 150 + \left(\frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1\right) \, cm^2$.
$= 150 + (22 \times 0.3 \times 2.1) \, cm^2 = 150 + 13.86 \, cm^2 = 163.86 \, cm^2$.

(C) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $r$, શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$, શંકુની ઊંચાઈ $h$, નળાકારની ત્રિજ્યા $r^{\prime}$ અને નળાકારની ઊંચાઈ $h^{\prime}$ છે।
આપેલ છે: $r = 2.5\, cm$, $h = 6\, cm$, $r^{\prime} = 1.5\, cm$ અને $h^{\prime} = 26 - 6 = 20\, cm$.
તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2.5^2 + 6^2} = \sqrt{6.25 + 36} = \sqrt{42.25} = 6.5\, cm$.
શંકુ આકારના ભાગનો વર્તુળાકાર પાયો નળાકારના પાયા પર રહેલો છે। શંકુનો પાયો નળાકારના પાયા કરતાં મોટો હોવાથી, શંકુના પાયાનો બાકી રહેલો ભાગ (રીંગ) પણ નારંગી રંગથી રંગવાનો રહેશે।
નારંગી રંગથી રંગવાનો વિસ્તાર = (શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + (શંકુના પાયાનું ક્ષેત્રફળ - નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ)
$= \pi r l + (\pi r^2 - \pi (r^{\prime})^2)$
$= 3.14 \times 2.5 \times 6.5 + 3.14 \times (2.5^2 - 1.5^2)$
$= 51.025 + 3.14 \times (6.25 - 2.25)$
$= 51.025 + 3.14 \times 4 = 51.025 + 12.56 = 63.585\, cm^2$.
પીળા રંગથી રંગવાનો વિસ્તાર = (નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + (નળાકારના નીચેના પાયાનું ક્ષેત્રફળ)
$= 2 \pi r^{\prime} h^{\prime} + \pi (r^{\prime})^2$
$= \pi r^{\prime} (2h^{\prime} + r^{\prime})$
$= 3.14 \times 1.5 \times (2 \times 20 + 1.5)$
$= 4.71 \times 41.5 = 195.465\, cm^2$.
આમ, નારંગી રંગથી રંગાયેલ ક્ષેત્રફળ $63.585\, cm^2$ અને પીળા રંગથી રંગાયેલ ક્ષેત્રફળ $195.465\, cm^2$ છે।

(D) ધારો કે $h$ એ નળાકારની ઊંચાઈ છે અને $r$ એ નળાકાર અને અર્ધગોળાની સામાન્ય ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $h = 1.45\, m = 145\, cm$ અને $r = 30\, cm$.
પક્ષીઓ માટેના સ્નાનપાત્રની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \text{નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}$
$= 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 30 \times (145 + 30)\, cm^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 30 \times 175\, cm^2$
$= 2 \times 22 \times 30 \times 25\, cm^2$
$= 33000\, cm^2$
કારણ કે $1\, m^2 = 10000\, cm^2$,તેથી:
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{33000}{10000}\, m^2 = 3.3\, m^2$.

(A) આપેલ છે કે,દરેક સમઘનનું ઘનફળ $64 \, cm^3$ છે.
ધારો કે સમઘનની બાજુનું માપ $a$ છે.
તેથી,$a^3 = 64 \, cm^3$.
$a = \sqrt[3]{64} = 4 \, cm$.
જ્યારે આવા બે સમઘનને એકબીજા સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે એક લંબઘન બને છે.
પરિણામી લંબઘનના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
લંબાઈ $(l)$ = $4 \, cm + 4 \, cm = 8 \, cm$
પહોળાઈ $(b)$ = $4 \, cm$
ઊંચાઈ $(h)$ = $4 \, cm$
લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર: $2(lb + bh + lh)$ છે.
પૃષ્ઠફળ = $2(8 \times 4 + 4 \times 4 + 8 \times 4)$
$= 2(32 + 16 + 32)$
$= 2(80)$
$= 160 \, cm^2$.
આમ,પરિણામી લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ $160 \, cm^2$ છે.

(B) અહીં જોઈ શકાય છે કે નળાકાર ભાગ અને અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r)$ સમાન છે (એટલે કે,$7 \, cm$).
અર્ધગોળાકાર ભાગની ઊંચાઈ = ત્રિજ્યા $= 7 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h) = 13 - 7 = 6 \, cm$.
પાત્રની અંદરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = નળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
અંદરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi r (h + r)$.
અંદરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (6 + 7)$.
અંદરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 44 \times 13 = 572 \, cm^2$.

(C) અહીં જોઈ શકાય છે કે શંકુ આકારના ભાગ અને અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા સમાન છે (એટલે કે,$r = 3.5 \, cm = \frac{7}{2} \, cm$ ).
અર્ધગોળાકાર ભાગની ઊંચાઈ = ત્રિજ્યા $(r) = 3.5 \, cm = \frac{7}{2} \, cm$.
શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $(h) = 15.5 \, cm - 3.5 \, cm = 12 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ શોધવાનું સૂત્ર $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ છે.
$l = \sqrt{\left( \frac{7}{2} \right)^2 + (12)^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + 144} = \sqrt{\frac{49 + 576}{4}} = \sqrt{\frac{625}{4}} = \frac{25}{2} \, cm = 12.5 \, cm$.
રમકડાની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r l + 2 \pi r^2 = \pi r (l + 2r)$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \left( 12.5 + 2 \times 3.5 \right) = 11 \times (12.5 + 7) = 11 \times 19.5 = 214.5 \, cm^2$.

(D) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે આવા અર્ધગોલક માટે શક્ય મહત્તમ વ્યાસ એ સમઘનની ધાર જેટલો છે,એટલે કે $7 \, cm$.
અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{7}{2} = 3.5 \, cm$.
પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ $=$ સમઘન ભાગનું પૃષ્ઠફળ $+$ અર્ધગોલક ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $-$ અર્ધગોલક ભાગના પાયાનું ક્ષેત્રફળ.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6(\text{ધાર})^2 + 2\pi r^2 - \pi r^2 = 6(\text{ધાર})^2 + \pi r^2$.
પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6(7)^2 + \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5$.
$= 6(49) + \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} = 294 + 38.5 = 332.5 \, cm^2$.

(N/A) અર્ધગોળાનો વ્યાસ $=$ ઘનની ધાર $= l$
અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા $r = \frac{l}{2}$
બાકી રહેલા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ $=$ ઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $+$ અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $-$ અર્ધગોળાના પાયાનું ક્ષેત્રફળ
$= 6(\text{ધાર})^2 + 2\pi r^2 - \pi r^2$
$= 6l^2 + \pi r^2$
$r = \frac{l}{2}$ મુકતા:
$= 6l^2 + \pi \left(\frac{l}{2}\right)^2$
$= 6l^2 + \frac{\pi l^2}{4}$
$= \frac{24l^2 + \pi l^2}{4}$
$= \frac{l^2}{4}(24 + \pi) \text{ એકમ}^2$

(B) અહીં જોઈ શકાય છે કે:
નળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) =$ અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{\text{કેપ્સ્યુલનો વ્યાસ}}{2} = \frac{5}{2} \, mm = 2.5 \, mm$.
નળાકાર ભાગની લંબાઈ $(h) = \text{કેપ્સ્યુલની કુલ લંબાઈ} - 2 \times r$
$= 14 \, mm - 2 \times (2.5 \, mm) = 14 \, mm - 5 \, mm = 9 \, mm$.
કેપ્સ્યુલનું પૃષ્ઠફળ $= 2 \times \text{અર્ધગોળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{નળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}$
$= 2 \times (2 \pi r^2) + 2 \pi r h$
$= 4 \pi r^2 + 2 \pi r h$
$= 2 \pi r (2r + h)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times (2 \times 2.5 + 9)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times (5 + 9)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times 14$
$= 2 \times 22 \times 2.5 \times 2$
$= 220 \, mm^2$.

(C) આપેલ છે કે,
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h) = 2.1 \, m$
નળાકાર ભાગનો વ્યાસ $= 4 \, m$
નળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) = 2 \, m$
શંકુ આકારના ભાગની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 2.8 \, m$
વપરાયેલ કેનવાસનું ક્ષેત્રફળ = શંકુ આકારના ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + નળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ
$= \pi rl + 2\pi rh$
$= \pi r(l + 2h)$
$= \frac{22}{7} \times 2 \times (2.8 + 2 \times 2.1)$
$= \frac{44}{7} \times (2.8 + 4.2)$
$= \frac{44}{7} \times 7 = 44 \, m^2$
$1 \, m^2$ કેનવાસનો ખર્ચ $= Rs. \, 500$
$44 \, m^2$ કેનવાસનો ખર્ચ $= 44 \times 500 = Rs. \, 22000$
તેથી,તંબુ બનાવવા માટે કેનવાસનો ખર્ચ $Rs. \, 22000$ થશે.

(D) આપેલ છે કે,
શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $(h) =$ નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h) = 2.4 \, cm$
નળાકાર ભાગનો વ્યાસ $= 1.4 \, cm$
તેથી,નળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) = 0.7 \, cm$
શંકુ આકારના ભાગની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{r^2 + h^2}$
$= \sqrt{(0.7)^2 + (2.4)^2} = \sqrt{0.49 + 5.76}$
$= \sqrt{6.25} = 2.5 \, cm$
બાકી રહેલા નક્કર પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= \text{નળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{શંકુ ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ}$
$= 2 \pi rh + \pi rl + \pi r^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2.4 + \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2.5 + \frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7$
$= 4.4 \times 2.4 + 2.2 \times 2.5 + 2.2 \times 0.7$
$= 10.56 + 5.50 + 1.54 = 17.60 \, cm^2$
બાકી રહેલા નક્કર પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ નજીકના $cm^2$ માં $18 \, cm^2$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે,
નળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) =$ અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) = 3.5 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h) = 10 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને બે અર્ધગોલકોની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= \text{નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + 2 \times \text{અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}$
$= 2 \pi r h + 2 \times (2 \pi r^2)$
$= 2 \pi r h + 4 \pi r^2$
$= 2 \pi r (h + 2r)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times (10 + 2 \times 3.5)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times (10 + 7)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 17$
$= 44 \times 0.5 \times 17$
$= 22 \times 17 = 374 \, cm^2$.

(N/A) $(i)$ શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot 45 \cdot [(28)^{2} + (7)^{2} + (28)(7)] \, cm^{3}$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot 45 \cdot [784 + 49 + 196] \, cm^{3}$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot 45 \cdot 1029 \, cm^{3} = 48510 \, cm^{3}$
$(ii)$ તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} - r_{2})^{2}} = \sqrt{(45)^{2} + (28 - 7)^{2}} \, cm$
$= \sqrt{2025 + (21)^{2}} = \sqrt{2025 + 441} = \sqrt{2466} \approx 49.66 \, cm$
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi (r_{1} + r_{2}) l = \frac{22}{7} (28 + 7) (49.66) = \frac{22}{7} \cdot 35 \cdot 49.66 = 110 \cdot 49.66 = 5462.6 \, cm^{2}$
$(iii)$ કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi (r_{1} + r_{2}) l + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$
$= 5462.6 + \frac{22}{7} (28)^{2} + \frac{22}{7} (7)^{2}$
$= 5462.6 + 2464 + 154 = 8080.6 \, cm^{2}$

(N/A) ડોલની કુલ ઊંચાઈ $40 \, cm$ છે,જેમાં પાયાની ઊંચાઈનો સમાવેશ થાય છે. તેથી,શંકુના આડછેદની ઊંચાઈ $h = 40 - 6 = 34 \, cm$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{45}{2} = 22.5 \, cm$ અને $r_2 = \frac{25}{2} = 12.5 \, cm$ છે.
આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{34^2 + (22.5 - 12.5)^2} = \sqrt{1156 + 100} = \sqrt{1256} \approx 35.44 \, cm$ છે.
વપરાયેલી ધાતુની શીટનું ક્ષેત્રફળ એ આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ,વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ અને નળાકાર પાયાની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ક્ષેત્રફળ $= \pi l(r_1 + r_2) + \pi r_2^2 + 2 \pi r_2 h_{base}$
$= \frac{22}{7} \times 35.44 \times (22.5 + 12.5) + \frac{22}{7} \times (12.5)^2 + 2 \times \frac{22}{7} \times 12.5 \times 6$
$= \frac{22}{7} \times (1240.4 + 156.25 + 150) = \frac{22}{7} \times 1546.65 \approx 4860.9 \, cm^2$.
ડોલ કેટલું પાણી સમાવી શકે તે તેનું ઘનફળ એ આડછેદનું ઘનફળ છે:
$V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 34 \times (22.5^2 + 12.5^2 + 22.5 \times 12.5)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 34 \times (506.25 + 156.25 + 281.25) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 34 \times 943.75 \approx 33615.48 \, cm^3$.

(B) આકૃતિનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ગળણીનો ઉપરનો ભાગ શંકુના આકારમાં છે અને નીચેનો ભાગ નળાકારના આકારમાં છે.
તેથી,ગળણી એ શંકુ અને નળાકારનું મિશ્રણ છે.

(B) અણીદાર પેન્સિલ એક લાંબા નળાકાર ભાગ અને એક છેડે શંકુ આકારની અણીની બનેલી હોય છે.
તેથી,અણીદાર પેન્સિલનો આકાર એ નળાકાર અને શંકુનું મિશ્રણ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલી આકૃતિનું અવલોકન કરતા,સુરાહી એ ગોળાકાર ભાગ અને નળાકાર ગળાને જોડીને બનાવવામાં આવે છે.
તેથી,સુરાહી એ ગોલક અને નળાકારનું સંયોજન છે.

(D) આપેલી આકૃતિનું અવલોકન કરતા,તે સ્પષ્ટ છે કે ઓડ (સાહુલ) એ અર્ધગોલકના પાયાને શંકુના પાયા સાથે જોડીને બનાવવામાં આવે છે.
તેથી,ઓડ (સાહુલ) એ અર્ધગોલક અને શંકુનું સંયોજન છે.

(A) ગ્લાસ (પ્યાલો) સામાન્ય રીતે ઉપરના ભાગે પહોળો અને નીચેના ભાગે સાંકડો હોય છે,જેમાં અલગ-અલગ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળાકાર પાયા હોય છે.
આ ભૌમિતિક આકાર,જે શંકુને તેના પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા કાપીને મેળવવામાં આવે છે,તેને શંકુનો આડછેદ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,ગ્લાસનો આકાર શંકુના આડછેદના સ્વરૂપમાં હોય છે.

(B) આકૃતિનું અવલોકન કરતા,ગિલ્લી એક મધ્યવર્તી નળાકાર ભાગ અને તેની બંને વર્તુળાકાર સપાટીઓ પર જોડાયેલા બે શંકુ આકારના ભાગોની બનેલી છે.
તેથી,આ આકાર નીચેનાનું મિશ્રણ છે:
$=$ શંકુ $+$ નળાકાર $+$ શંકુ
$=$ બે શંકુ અને એક નળાકાર

(C) શટલકોકનો આકાર બે ભાગોનો બનેલો છે:
$1$. કોર્કનો ભાગ,જે અર્ધગોલક આકારનો હોય છે.
$2$. પીંછાવાળો ભાગ,જે શંકુના આડછેદ (frustum) આકારનો હોય છે.
તેથી,શટલકોક એ શંકુના આડછેદ અને અર્ધગોલકનું મિશ્રણ છે.

(B) આપેલ છે કે,ડોલના ઉપરના ભાગની ત્રિજ્યા,$R = 28 \, cm$.
ડોલના નીચેના ભાગની ત્રિજ્યા,$r = 7 \, cm$.
ડોલની તિર્યક ઊંચાઈ,$l = 45 \, cm$.
ડોલ શંકુના આડછેદ (frustum) ના આકારની હોવાથી,તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} = \pi l (R + r)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\text{વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times 45 \times (28 + 7)$
$= \frac{22}{7} \times 45 \times 35$
$= 22 \times 45 \times 5$
$= 22 \times 225 = 4950 \, cm^2$.
આમ,ડોલની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4950 \, cm^2$ છે.

(D) એક નક્કર અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2 \pi r^{2}$ છે.
જ્યારે સમાન પાયાની ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા બે નક્કર અર્ધગોળાઓને તેમના વર્તુળાકાર પાયા પરથી જોડવામાં આવે છે, ત્યારે તે એક સંપૂર્ણ નક્કર ગોળો બનાવે છે.
પરિણામી નક્કર ગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ બંને અર્ધગોળાઓની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
તેથી, નવા નક્કર પદાર્થની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^{2} + 2 \pi r^{2} = 4 \pi r^{2}$ થાય.

(A) એક ગોલકને લંબવૃત્તીય નળાકારમાં એવી રીતે સમાવવામાં આવ્યો છે કે તે નળાકારની ઉપરની સપાટી,નીચેની સપાટી અને વક્ર સપાટીને સ્પર્શે છે.
ગોલક નળાકારની વક્ર સપાટીને સ્પર્શતો હોવાથી,ગોલકનો વ્યાસ નળાકારના વ્યાસ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
નળાકારની ત્રિજ્યા $r \, cm$ આપેલી છે,તેથી નળાકારનો વ્યાસ $2r \, cm$ થાય.
આથી,ગોલકનો વ્યાસ $2r \, cm$ છે.

(A) લંબવૃત્તીય શંકુ એ કાટકોણ ત્રિકોણની કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓ પૈકીની એક બાજુની આસપાસ પરિભ્રમણ કરવાથી બનતી ઘન આકૃતિ છે.
જ્યારે કોઈ સમતલ લંબવૃત્તીય શંકુને તેના પાયાને સમાંતર રીતે કાપે છે,ત્યારે મળતો આડછેદ હંમેશા એક વર્તુળ હોય છે.
અહીં નોંધવું જરૂરી છે કે પાયા અને સમતલ વચ્ચેના શંકુના ભાગને શંકુનો આડછેદ (ફ્રસ્ટમ) કહેવામાં આવે છે,પરંતુ આડછેદ પોતે એક વર્તુળ છે.

(A) સાચું.
સંયુક્ત આકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું હોય છે.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi r l$ છે,જ્યાં $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ એ તેની તિર્યક ઊંચાઈ છે.
આમ,શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi r \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ થાય.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2 \pi r h$ છે.
તેથી,સંયુક્ત આકારની કુલ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi r \sqrt{h^{2} + r^{2}} + 2 \pi r h$ થાય.

(B) ખોટું.
$a$ બાજુવાળા એક ઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $6 a^{2}$ હોય છે.
જ્યારે આવા બે સમાન ઘનને એકબીજા સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બે સપાટીઓ (દરેકનું ક્ષેત્રફળ $a^{2}$) લંબઘનની અંદરની તરફ આવી જાય છે.
પરિણામે બનતા લંબઘનના પરિમાણો લંબાઈ $l = 2a$,પહોળાઈ $b = a$ અને ઊંચાઈ $h = a$ થાય છે.
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $2(lb + bh + hl)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2((2a \times a) + (a \times a) + (a \times 2a)) = 2(2a^{2} + a^{2} + 2a^{2}) = 2(5a^{2}) = 10 a^{2}$.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(FALSE) ખોટું.
લટ્ટુ (ભમરડા) નું કુલ પૃષ્ઠફળ એ અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
આનું કારણ એ છે કે અર્ધગોલકનો વર્તુળાકાર પાયો અને શંકુનો વર્તુળાકાર પાયો એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે અને બહારની તરફ ખુલ્લા નથી. તેથી,તેઓ સંયુક્ત ઘન પદાર્થના કુલ પૃષ્ઠફળમાં ગણવામાં આવતા નથી.

(B) ખોટું.
એક અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2 \pi r^{2}$ છે.
જ્યારે બે સમાન ઘન અર્ધગોલકોને તેમના વર્તુળાકાર પાયા પરથી જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પાયા નવા ઘન પદાર્થની અંદર છુપાઈ જાય છે.
તેથી,પરિણામી ઘન પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ ફક્ત બે વક્ર સપાટીઓનું બનેલું હોય છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2 \pi r^{2} + 2 \pi r^{2} = 4 \pi r^{2}$.
અહીં $4 \pi r^{2} \neq 6 \pi r^{2}$ હોવાથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) ખોટું.
$r$ ત્રિજ્યા અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા એક નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ $2 \pi rh + 2 \pi r^2$ છે.
જ્યારે એક નળાકારને તેટલી જ ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ ધરાવતા બીજા નળાકાર પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સંપર્ક બિંદુએ બંને નળાકારના એક-એક વર્તુળાકાર પાયા ઢંકાઈ જાય છે.
આમ,નવો બનતો આકાર $r$ ત્રિજ્યા અને $H = 2h$ કુલ ઊંચાઈ ધરાવતો એક નળાકાર બને છે.
આ નવા નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને તેના બે વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2 \pi r H + 2 \pi r^2 = 2 \pi r(2h) + 2 \pi r^2 = 4 \pi rh + 2 \pi r^2$.
અહીં $4 \pi rh + 2 \pi r^2 \neq 4 \pi rh + 4 \pi r^2$ હોવાથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) ખોટું.
સંયુક્ત પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ,નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને નળાકારના નીચેના પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$1$. શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r l$,જ્યાં તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ છે.
$2$. નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2\pi rh$.
$3$. નળાકારના નીચેના પાયાનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^2$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $\pi r l + 2\pi rh + \pi r^2$
$= \pi r (l + 2h + r)$
$= \pi r [\sqrt{r^2 + h^2} + 2h + r]$.
આમ,ગણતરી કરેલ પદ $\pi r [\sqrt{r^2 + h^2} + 2h + r]$ એ આપેલ પદ $\pi [\sqrt{r^2 + h^2} + 3r + 2h]$ સમાન નથી,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.

(B) આ વિધાન ખોટું (False) છે.
શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi l(r_{1} + r_{2})$ છે.
આ સૂત્રમાં,તિર્યક ઊંચાઈ $l$ ને $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} - r_{2})^{2}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ શિરોલંબ ઊંચાઈ છે અને $r_{1}$ તથા $r_{2}$ એ બે વર્તુળાકાર છેડાઓની ત્રિજ્યાઓ છે.
તિર્યક ઊંચાઈ $l$ માટે આપેલું સૂત્ર $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} + r_{2})^{2}}$ ખોટું છે કારણ કે તેમાં ત્રિજ્યાઓના તફાવતને બદલે ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો લેવામાં આવ્યો છે.

(A) સાચું.
વપરાયેલી ધાતુની શીટનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ વસ્તુ બનાવતા વ્યક્તિગત ભાગોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$1$. ડોલ એ શંકુનો આડછેદ $(ABCD)$ છે,તેથી આપણે તેનું વક્ર પૃષ્ઠફળ ઉમેરીએ છીએ.
$2$. ડોલના આડછેદના નીચેના ભાગે એક વર્તુળાકાર પાયો છે,જે નળાકારનો ઉપરનો ભાગ પણ છે. જોકે,ડોલ ખુલ્લી છે અને નળાકાર પર ગોઠવેલી છે,તેથી વપરાયેલી ધાતુની શીટમાં આડછેદની વક્ર સપાટી,નળાકારની વક્ર સપાટી અને નળાકારના તળિયે રહેલા વર્તુળાકાર પાયા $(EF)$ નો સમાવેશ થાય છે.
$3$. ધાતુની શીટનું ક્ષેત્રફળ = (શંકુના આડછેદનું વક્ર પૃષ્ઠફળ) + (નળાકારનું વક્ર પૃષ્ઠફળ) + (તળિયે રહેલા વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ).
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$ABCD$ એ શંકુનો આડછેદ છે અને $CDEF$ એ પોલો નળાકાર છે.

(N/A) $14 \, cm$ ની ધારવાળા સમઘનમાંથી કાપવામાં આવતા મહત્તમ કદના શંકુની પાયાની ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 14 \, cm$ હશે.
ત્રાંસી ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{7^2 + 14^2} = \sqrt{49 + 196} = \sqrt{245} = 7\sqrt{5} \, cm$.
શંકુનું પૃષ્ઠફળ $= \pi r l + \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7\sqrt{5} + \frac{22}{7} \times 7^2 = 154\sqrt{5} + 154 = 154(\sqrt{5} + 1) \, cm^2$.
સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $= 6 \times (14)^2 = 6 \times 196 = 1176 \, cm^2$.
જ્યારે શંકુ કાપવામાં આવે છે,ત્યારે સમઘનની એક બાજુમાંથી શંકુનો વર્તુળાકાર પાયો દૂર થાય છે,પરંતુ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ કુલ પૃષ્ઠફળમાં ઉમેરાય છે.
બાકી રહેલા ઘન પદાર્થનું પૃષ્ઠફળ $= (\text{સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ}) - (\text{શંકુના પાયાનું ક્ષેત્રફળ}) + (\text{શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ})$.
$= 1176 - \pi r^2 + \pi r l = 1176 - 154 + 154\sqrt{5} = (1022 + 154\sqrt{5}) \, cm^2$.

(B) ધારો કે શંકુના આડછેદના વર્તુળાકાર છેડાઓની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
આપેલ છે કે વર્તુળાકાર છેડાઓની પરિમિતિ $18 \,cm$ અને $6 \,cm$ છે.
તેથી,$2 \pi r_1 = 18 \implies r_1 = \frac{9}{\pi} \,cm$.
અને $2 \pi r_2 = 6 \implies r_2 = \frac{3}{\pi} \,cm$.
આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ $4 \,cm$ આપેલ છે.
શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = \pi (r_1 + r_2) l$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$CSA = \pi \left( \frac{9}{\pi} + \frac{3}{\pi} \right) \times 4$
$CSA = \pi \left( \frac{12}{\pi} \right) \times 4$
$CSA = 12 \times 4 = 48 \,cm^2$.
આમ,આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $48 \,cm^2$ છે.

(N/A) ઉપરના વર્તુળાકાર છેડાની ત્રિજ્યા $(r_2) = 4 \, cm$.
નીચેના વર્તુળાકાર છેડાની ત્રિજ્યા $(r_1) = 10 \, cm$.
શંકુના આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 15 \, cm$.
ફેઝ બનાવવા માટે વપરાતા કાપડનું ક્ષેત્રફળ $=$ શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA) +$ ઉપરના વર્તુળાકાર છેડાનું ક્ષેત્રફળ.
ક્ષેત્રફળ $= \pi(r_1 + r_2)l + \pi r_2^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \pi(10 + 4) \times 15 + \pi(4)^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \pi(14) \times 15 + 16\pi$.
ક્ષેત્રફળ $= 210\pi + 16\pi = 226\pi$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,ક્ષેત્રફળ $= 226 \times \frac{22}{7} = \frac{4972}{7} \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળ $= 710 \frac{2}{7} \, cm^2$.
આમ,તેને બનાવવા માટે વપરાતા કાપડનું ક્ષેત્રફળ $710 \frac{2}{7} \, cm^2$ છે.

(N/A) પાત્રના ઉપરના છેડાની ત્રિજ્યા $(r_1) = 20 \, cm$
પાત્રના નીચેના છેડાની ત્રિજ્યા $(r_2) = 8 \, cm$
પાત્રની ઊંચાઈ $(h) = 16 \, cm$
શંકુના આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{(r_1 - r_2)^2 + h^2} = \sqrt{(20 - 8)^2 + 16^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, cm$
પાત્રની ક્ષમતા $=$ શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$
$= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times (20^2 + 8^2 + 20 \times 8) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times (400 + 64 + 160) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times 624 = 10449.92 \, cm^3 = 10.44992 \, \text{લિટર }\approx 10.45 \, \text{લિટર}$
$1 \, \text{લિટર}$ દૂધની કિંમત $= Rs. \, 20$
$10.45 \, \text{લિટર}$ દૂધની કિંમત $= 10.45 \times 20 = Rs. \, 209$
વપરાયેલી ધાતુની શીટનું ક્ષેત્રફળ $= \pi (r_1 + r_2) l + \pi r_2^2 = 3.14 \times (20 + 8) \times 20 + 3.14 \times 8^2 = 3.14 \times 28 \times 20 + 3.14 \times 64 = 1758.4 + 200.96 = 1959.36 \, cm^2$
$100 \, cm^2$ ધાતુની શીટની કિંમત $= Rs. \, 8$
$1959.36 \, cm^2$ ધાતુની શીટની કિંમત $= \frac{1959.36 \times 8}{100} = Rs. \, 156.7488 \approx Rs. \, 156.75$
આમ,દૂધની કિંમત $Rs. \, 209$ છે અને ધાતુની શીટની કિંમત $Rs. \, 156.75$ છે.

(A) $\triangle AEG$ માં,$\frac{EG}{AG} = \tan 30^{\circ}$. $AG = 10 \, cm$ હોવાથી,$EG = 10 \tan 30^{\circ} = \frac{10}{\sqrt{3}} \, cm$. આ શંકુના આડછેદની ઉપરની ત્રિજ્યા $r_1$ છે.
$\triangle ABD$ માં,$\frac{BD}{AD} = \tan 30^{\circ}$. $AD = 20 \, cm$ હોવાથી,$BD = 20 \tan 30^{\circ} = \frac{20}{\sqrt{3}} \, cm$. આ શંકુના આડછેદની નીચેની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
શંકુના આડછેદની ઊંચાઈ $h = 10 \, cm$ છે.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 10 \left[ \left( \frac{10}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{20}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{10}{\sqrt{3}} \times \frac{20}{\sqrt{3}} \right) \right]$
$V = \frac{220}{21} \left[ \frac{100}{3} + \frac{400}{3} + \frac{200}{3} \right] = \frac{220}{21} \times \frac{700}{3} = \frac{22000}{9} \, cm^3$.
તારની ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{32} \, cm$ છે. ધારો કે તારની લંબાઈ $l$ છે.
તારનું ઘનફળ = $\pi r^2 l = \frac{22}{7} \times \left( \frac{1}{32} \right)^2 \times l$.
ઘનફળ સરખાવતા: $\frac{22000}{9} = \frac{22}{7} \times \frac{1}{1024} \times l$.
$l = \frac{22000}{9} \times \frac{7 \times 1024}{22} = \frac{7168000}{9} \approx 796444.44 \, cm$.
મીટરમાં ફેરવતા: $l = 7964.44 \, m$.

(C) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ છે જેમાં બાજુઓ $AB = 3\, cm$,$BC = 4\, cm$ અને $\angle B = 90^\circ$ છે.
કર્ણ $AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, cm$.
જ્યારે ત્રિકોણને કર્ણ $AC$ ની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે એક બેવડો શંકુ બને છે જ્યાં સામાન્ય પાયાની ત્રિજ્યા $r$ એ ત્રિકોણ $ABC$ નો કર્ણ $AC$ પરનો વેધ $OB$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\, cm^2$.
વળી,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times OB = \frac{1}{2} \times 5 \times OB$.
તેથી,$\frac{1}{2} \times 5 \times OB = 6 \implies OB = \frac{12}{5} = 2.4\, cm$.
બેવડા શંકુનું પૃષ્ઠફળ એ બંને શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે: $S = \pi r l_1 + \pi r l_2$,જ્યાં $l_1 = AB = 3\, cm$ અને $l_2 = BC = 4\, cm$.
$S = \pi r (l_1 + l_2) = 3.14 \times 2.4 \times (3 + 4) = 3.14 \times 2.4 \times 7 = 52.752\, cm^2 \approx 52.75\, cm^2$.

(N/A) શંકુના આડછેદના ઉપરના વર્તુળાકાર છેડાની ત્રિજ્યા $(r_1) = \frac{18}{2} = 9 \, cm$.
શંકુના આડછેદના નીચેના વર્તુળાકાર છેડાની ત્રિજ્યા $(r_2) =$ નળાકાર ભાગના વર્તુળાકાર છેડાની ત્રિજ્યા $= \frac{8}{2} = 4 \, cm$.
શંકુના આડછેદના ભાગની ઊંચાઈ $(h_1) = 22 - 10 = 12 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h_2) = 10 \, cm$.
શંકુના આડછેદના ભાગની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{(r_1 - r_2)^2 + h_1^2} = \sqrt{(9 - 4)^2 + (12)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
જરૂરી ટીન શીટનું ક્ષેત્રફળ $=$ શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $+$ નળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$.
ક્ષેત્રફળ $= \pi(r_1 + r_2)l + 2\pi r_2 h_2$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times (9 + 4) \times 13 + 2 \times \frac{22}{7} \times 4 \times 10$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times 13 \times 13 + \frac{22}{7} \times 80$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times (169 + 80) = \frac{22}{7} \times 249 = \frac{5478}{7} \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળ $= 782 \frac{4}{7} \, cm^2$.

(N/A) ધારો કે $ABC$ એક શંકુ છે. શંકુને તેના પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા કાપતા શંકુનો આડછેદ $DECB$ મળે છે. ધારો કે આડછેદના બે વર્તુળાકાર છેડાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_{1}$ અને $r_{2}$ છે,આડછેદની ઊંચાઈ $h$ છે અને તેની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ છે.
$\triangle ABG$ અને $\triangle ADF$ માં,$DF \parallel BG$ હોવાથી,સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ:
$\triangle ABG \sim \triangle ADF$
તેથી,$\frac{DF}{BG} = \frac{AF}{AG} = \frac{AD}{AB}$
ધારો કે આખા શંકુ $ABC$ ની ઊંચાઈ $h_{1}$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l_{1}$ છે.
$\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{h_{1}-h}{h_{1}} = \frac{l_{1}-l}{l_{1}}$
$\frac{r_{2}}{r_{1}} = 1 - \frac{l}{l_{1}}$ પરથી,$\frac{l}{l_{1}} = 1 - \frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{r_{1}-r_{2}}{r_{1}}$ મળે.
તેથી,$l_{1} = \frac{r_{1}l}{r_{1}-r_{2}}$ અને $(l_{1}-l) = \frac{r_{2}l}{r_{1}-r_{2}}$
આડછેદ $DECB$ ની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ = શંકુ $ABC$ ની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ - શંકુ $ADE$ ની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ
$CSA = \pi r_{1}l_{1} - \pi r_{2}(l_{1}-l)$
$CSA = \pi r_{1} \left( \frac{r_{1}l}{r_{1}-r_{2}} \right) - \pi r_{2} \left( \frac{r_{2}l}{r_{1}-r_{2}} \right)$
$CSA = \frac{\pi l (r_{1}^{2} - r_{2}^{2})}{r_{1}-r_{2}} = \pi l (r_{1} + r_{2})$
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ = $CSA$ + ઉપરના વર્તુળાકાર છેડાનું ક્ષેત્રફળ + નીચેના વર્તુળાકાર છેડાનું ક્ષેત્રફળ
$TSA = \pi (r_{1} + r_{2})l + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$

(D) ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a \, cm$ છે.
આપેલ છે કે,સમઘનનું ઘનફળ $a^{3} = 64 \, cm^{3}$ છે.
તેથી,$a = \sqrt[3]{64} = 4 \, cm$.
જ્યારે બે આવા સમઘનને એકબીજા સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે લંબઘન બનાવે છે જેના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
લંબાઈ $(l)$ = $2a = 2 \times 4 = 8 \, cm$
પહોળાઈ $(b)$ = $a = 4 \, cm$
ઊંચાઈ $(h)$ = $a = 4 \, cm$
પરિણામી લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $2(lb + bh + hl)$ છે.
પૃષ્ઠફળ = $2(8 \times 4 + 4 \times 4 + 4 \times 8)$
પૃષ્ઠફળ = $2(32 + 16 + 32)$
પૃષ્ઠફળ = $2(80) = 160 \, cm^{2}$.

(B) જ્યારે સમાન પાયાની ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ ધરાવતા બે શંકુઓને તેમના પાયા સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પાયાનું ક્ષેત્રફળ અંદરની તરફ જતું રહે છે,અને પરિણામી આકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ બંને શંકુઓની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો થાય છે.
આપેલ છે:
શંકુની ત્રિજ્યા,$r = 8\, cm$
શંકુની ઊંચાઈ,$h = 15\, cm$
દરેક શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ નીચે મુજબ મળે છે:
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\, cm$.
પરિણામી આકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ બે સમાન શંકુઓની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે:
પૃષ્ઠફળ $= 2 \times (\pi r l)$
$= 2 \times \pi \times 8 \times 17$
$= 272\pi\, cm^2$
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા:
$= 272 \times \frac{22}{7} = \frac{5984}{7} \approx 854.85\, cm^2$.
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં લેતા,આપણને $855\, cm^2$ મળે છે.

(C) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $CSA = 2 \pi r h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $2 \pi r$ એ પાયાનો પરિઘ છે અને $h$ એ લંબાઈ (ઊંચાઈ) છે.
આપેલ છે કે,પાયાનો પરિઘ $= 1.5 \,cm$ અને લંબાઈ $h = 25 \,cm$.
એક પેન્સિલની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 1.5 \,cm \times 25 \,cm = 37.5 \,cm^2$.
કારણ કે $1 \,dm = 10 \,cm$,તેથી $1 \,dm^2 = 100 \,cm^2$. તેથી,$1 \,cm^2 = 0.01 \,dm^2$.
એક પેન્સિલની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $dm^2$ માં $= 37.5 \times 0.01 = 0.375 \,dm^2$.
$120000$ પેન્સિલ માટે કુલ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 120000 \times 0.375 \,dm^2 = 45000 \,dm^2$.
રંગવાનો ખર્ચ $= 45000 \,dm^2 \times \operatorname{Rs.} 0.05/dm^2 = \operatorname{Rs.} 2250$.

(A) બંને શંકુ માટે:
ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 12 \, cm$.
નળાકાર માટે:
ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $H = \text{વસ્તુની કુલ ઊંચાઈ} - 2 \times \text{શંકુની ઊંચાઈ}$.
$H = 41 - 2 \times 12 = 41 - 24 = 17 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.
$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
સંયુક્ત વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$:
$TSA = \text{નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + 2 \times \text{શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}$.
$TSA = 2 \pi r H + 2 \times (\pi r l) = 2 \pi r (H + l)$.
$TSA = 2 \times 3.14 \times 5 \times (17 + 13)$.
$TSA = 3.14 \times 10 \times 30 = 3.14 \times 300 = 942 \, cm^2$.
આમ,આપેલી વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $942 \, cm^2$ છે.

(B) શંકુની ત્રિજ્યા $=$ અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા $= r = 5 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $= h = 12 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ દ્વારા મળે છે.
$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= \pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r)$.
કિંમતો મૂકતા: $3.14 \times 5 \times (13 + 2 \times 5) = 3.14 \times 5 \times (13 + 10) = 3.14 \times 5 \times 23$.
$= 15.7 \times 23 = 361.1 \, cm^2$.

(C) નળાકારની ત્રિજ્યા એ બંને અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા જેટલી જ છે,$r = 7 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ એ વસ્તુની કુલ ઊંચાઈમાંથી બંને અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$h = 34 \, cm - (2 \times 7 \, cm) = 34 - 14 = 20 \, cm$.
સંયુક્ત વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ એ નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ અને બે અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે:
$TSA = CSA_{\text{cylinder}} + 2 \times CSA_{\text{hemisphere}}$
$TSA = 2 \pi r h + 2 \times (2 \pi r^2)$
$TSA = 2 \pi r (h + 2r)$
કિંમતો મૂકતા:
$TSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (20 + 2 \times 7)$
$TSA = 44 \times (20 + 14)$
$TSA = 44 \times 34 = 1496 \, cm^2$.
આમ,આપેલી વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $1496 \, cm^2$ છે.

(D) નળાકારની ત્રિજ્યા = શંકુની ત્રિજ્યા = અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા = $r = 14 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $H = 22 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $h = 48 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
આ વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ એ નળાકાર,શંકુ અને અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળો $(CSA)$ નો સરવાળો છે.
$TSA = CSA_{\text{નળાકાર}} + CSA_{\text{શંકુ}} + CSA_{\text{અર્ધગોલક}}$
$TSA = 2\pi rH + \pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(2H + l + 2r)$.
કિંમતો મૂકતા: $TSA = \frac{22}{7} \times 14 \times (2 \times 22 + 50 + 2 \times 14)$.
$TSA = 44 \times (44 + 50 + 28) = 44 \times 122 = 5368 \, cm^2$.
આમ,વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $5368 \, cm^2$ છે.

(A) છ સમઘનને એક હારમાં એકબીજાની સપાટી સાથે અડકે તેમ ગોઠવવાથી એક લંબઘન બને છે.
આમ બનતા લંબઘન માટે,લંબાઈ $l = 6 \times 3 \, cm = 18 \, cm$ છે.
પહોળાઈ $b = 3 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 3 \, cm$ છે.
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2(lb + bh + hl)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $TSA = 2(18 \times 3 + 3 \times 3 + 3 \times 18)$.
$TSA = 2(54 + 9 + 54) = 2(117) = 234 \, cm^2$.
આમ,આ રીતે બનતા ઘન પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ $234 \, cm^2$ છે.