Surface Area of a Combination of Solids Questions in Gujarati

(D) અહીં, આપેલ શંકુ માટે ત્રિજ્યા $r = 4\, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 3\, cm$ છે.
સૌ પ્રથમ, આપણે તિર્યક ઊંચાઈ $l$ ની ગણતરી $l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરીશું.
$l = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\, cm$.
શંકુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $TSA = \pi r(r + l)$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $TSA = \pi \times 4 \times (4 + 5) = \pi \times 4 \times 9 = 36\pi\, cm^{2}$.

(A) આપેલ શંકુ માટે,ત્રિજ્યા $r = 5\,cm$ અને ઊંચાઈ $h = 12\,cm$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે તિર્યક ઊંચાઈ $l$ ની ગણતરી સૂત્ર $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ નો ઉપયોગ કરીને કરીશું.
$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\,cm$.
શંકુનું $CSA$ (વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) $\pi r l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શંકુના પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2$ છે.
તેથી,$CSA$ અને પાયાના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\pi r l}{\pi r^2} = \frac{l}{r}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{13}{5}$ મળે છે,જે $13:5$ છે.

(D) ગોલકની સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^{2}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 7\,cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times (7)^{2}$
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times 49$
$A = 4 \times 22 \times 7$
$A = 88 \times 7 = 616\,cm^{2}$.

(B) અર્ધગોલકનો વ્યાસ $d = 20 \, cm$ છે.
તેથી, ત્રિજ્યા $r = d / 2 = 20 / 2 = 10 \, cm$ થાય.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2 \pi r^{2}$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા:
$CSA = 2 \times \pi \times (10)^{2}$
$CSA = 2 \times \pi \times 100$
$CSA = 200 \pi \, cm^{2}$.

(C) અર્ધગોલકના કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ નું સૂત્ર $3 \pi r^{2}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 10 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$TSA = 3 \times \pi \times (10)^{2}$
$TSA = 3 \times \pi \times 100$
$TSA = 300 \pi \, cm^{2}$.

(B) અર્ધગોલકનો વ્યાસ $d = 10 \, cm$ છે。
તેથી, ત્રિજ્યા $r = d / 2 = 10 / 2 = 5 \, cm$ થાય。
અર્ધગોલકના કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ નું સૂત્ર $3 \pi r^2$ છે。
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$TSA = 3 \times \pi \times (5)^2$
$TSA = 3 \times \pi \times 25$
$TSA = 75 \pi \, cm^2$.

(D) અર્ધગોલકના વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\pi r^{2} = 154 \, cm^{2}$.
અર્ધગોલકનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ એ તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(2\pi r^{2})$ અને પાયાના ક્ષેત્રફળ $(\pi r^{2})$ નો સરવાળો છે,જે $3\pi r^{2}$ બરાબર થાય છે.
તેથી,$TSA = 3 \times (\pi r^{2}) = 3 \times 154 = 462 \, cm^{2}$.

(D) ધારો કે બે ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_{1}$ અને $r_{2}$ એકમ છે.
આપેલ છે કે તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{3}{2}$ છે.
ગોળાના પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર $A = 4\pi r^{2}$ છે.
બે ગોળાઓના પૃષ્ઠફળોનો ગુણોત્તર $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{4\pi r_{1}^{2}}{4\pi r_{2}^{2}}$ થાય.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}$ મળે.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા: $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$.
તેથી,તેમના પૃષ્ઠફળોનો ગુણોત્તર $9:4$ છે.

(D) ધારો કે ગોલક અને નક્કર અર્ધગોલક બંનેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $4 \pi r^2$ છે.
નક્કર અર્ધગોલકનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $3 \pi r^2$ છે.
તેથી,ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને અર્ધગોલકના કુલ પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $\frac{4 \pi r^2}{3 \pi r^2} = \frac{4}{3}$ થાય.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $4:3$ છે.

(D) આપેલ છે: નળાકાર ટાંકીનો વ્યાસ $= 2.1 \, m$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{2.1}{2} = 1.05 \, m$ અથવા $\frac{21}{20} \, m$.
ઊંચાઈ $h = 5 \, m$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2 \pi r h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times 5$.
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times 5 = 2 \times 22 \times \frac{3}{20} \times 5 = 44 \times \frac{15}{20} = 44 \times 0.75 = 33 \, m^2$.
તેથી,$CSA = 33 \, m^2$ થાય.

(B) આપેલ છે: ઊંચાઈ $(h) = 3\,m$,વ્યાસ $= 8\,m$.
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{8}{2} = 4\,m$.
શંકુ માટે,તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ દ્વારા મળે છે.
$l = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,m$.
શંકુ આકારની ટાંકીની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= \pi r l$.
$CSA = 3.14 \times 4 \times 5 = 3.14 \times 20 = 62.8\,m^{2}$.

(A) ગોલકનું પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^{2}$ છે.
અહીં $A = \frac{763}{3} \, m^{2}$ અને $\pi = 3.14$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{763}{3} = 4 \times 3.14 \times r^{2}$
$\frac{763}{3} = 12.56 \times r^{2}$
$r^{2} = \frac{763}{3 \times 12.56}$
$r^{2} = \frac{763}{37.68}$
$r^{2} \approx 20.25$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$r = \sqrt{20.25} = 4.5 \, m$.
આમ,ગોલકની ત્રિજ્યા $4.5 \, m$ છે.

(C) ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4\pi r^{2}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 1256\,cm^{2}$ અને $\pi = 3.14$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1256 = 4 \times 3.14 \times r^{2}$
$1256 = 12.56 \times r^{2}$
$r^{2} = \frac{1256}{12.56}$
$r^{2} = 100$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $r = 10\,cm$ મળે છે.

(C) શંકુના આડછેદ માટે, તેની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$
અહીં $h = 4\,cm$, $r_1 = 10\,cm$ અને $r_2 = 7\,cm$ આપેલ છે:
$l = \sqrt{4^2 + (10 - 7)^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,cm$
શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$CSA = \pi l(r_1 + r_2)$
કિંમતો મૂકતા:
$CSA = \pi \times 5 \times (10 + 7) = \pi \times 5 \times 17 = 85\pi\,cm^2$

(B) અર્ધગોલકનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર: $TSA = 3\pi r^{2}$ છે.
અહીં,$TSA = 462\,cm^{2}$ આપેલ છે.
તેથી,$3\pi r^{2} = 462$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$3 \times \frac{22}{7} \times r^{2} = 462$.
$r^{2} = 462 \times \frac{7}{3 \times 22}$.
$r^{2} = 462 \times \frac{7}{66}$.
$r^{2} = 7 \times 7 = 49$.
$r = \sqrt{49} = 7\,cm$.
વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 7 = 14\,cm$ થાય.

(D) લંબાઈ ધરાવતા સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $6a^{2}$ છે.
અહીં બાજુની લંબાઈ $a = 4 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6 \times (4 \, cm)^{2}$
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6 \times 16 \, cm^{2}$
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 96 \, cm^{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $2(lb + bh + hl)$ છે,જ્યાં $l$,$b$ અને $h$ એ અનુક્રમે લંબઘનની લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ છે.
આપેલ માપ $l = 15\,cm$,$b = 12\,cm$ અને $h = 10\,cm$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2(15 \times 12 + 12 \times 10 + 10 \times 15)$
$= 2(180 + 120 + 150)$
$= 2(450)$
$= 900\,cm^{2}$.

(B) આપેલ અર્ધગોલક માટે,ત્રિજ્યા $r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, cm$ છે.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $3 \pi r^{2}$ છે.
સૂત્રમાં $r = 1 \, cm$ ની કિંમત મૂકતા:
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 3 \times \pi \times (1)^{2} = 3 \pi \, cm^{2}$ થાય.

(C) નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $2 \pi r h$ છે.
અહીં વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $132 \, cm^2$ અને ઊંચાઈ $h = 3 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$132 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 3$
$132 = \frac{132}{7} \times r$
બંને બાજુ $\frac{7}{132}$ વડે ગુણતા:
$r = 132 \times \frac{7}{132} = 7 \, cm$.
વ્યાસ $d$ એ ત્રિજ્યા કરતા બમણો હોય છે:
$d = 2r = 2 \times 7 = 14 \, cm$.

(D) નળાકારના કુલ પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર $2 \pi r(h + r)$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 13 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (13 + 7)$
$= 2 \times 22 \times 20$
$= 44 \times 20 = 880 \, cm^{2}$.

(C) આપેલ શંકુ માટે,ત્રિજ્યા $r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, cm$ છે.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = \pi r l$ છે,જ્યાં $l$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે.
અહીં $CSA = 85 \pi \, cm^{2}$ આપેલ છે,તેથી:
$85 \pi = \pi \times 5 \times l$
બંને બાજુને $5 \pi$ વડે ભાગતા:
$l = \frac{85 \pi}{5 \pi} = 17 \, cm$.
આમ,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $17 \, cm$ છે.

(C) બંને છેડે શંકુ આકારના ઢાંકણા ધરાવતો નળાકાર એ નળાકારની વક્ર સપાટી અને બે શંકુની વક્ર સપાટીઓનો બનેલો છે.
$1$. નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2\pi rh$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા અને $h$ એ નળાકારની ઊંચાઈ છે.
$2$. એક શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi rl$ છે,જ્યાં $l$ એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ છે.
$3$. આવા બે શંકુ હોવાથી,તેમની કુલ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2\pi rl$ થાય.
$4$. કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ આ ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો છે: $2\pi rh + 2\pi rl = 2\pi r(h+l)$.