Surface Area of a Combination of Solids Questions in Gujarati

(B) $1$. આ વસ્તુ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે બે શંકુની બનેલી છે.
$2$. નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $30 \, cm$.
$3$. દરેક શંકુની ઊંચાઈ $(h_{cone})$ = $40 \, cm$.
$4$. વસ્તુની કુલ ઊંચાઈ = $180 \, cm$.
$5$. નળાકારની ઊંચાઈ $(h_{cyl})$ = $180 - (40 + 40) = 100 \, cm$.
$6$. શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_{cone}^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
$7$. કુલ પૃષ્ઠફળ = (નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + $2$ $\times$ (શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ).
$8$. કુલ પૃષ્ઠફળ = $(2 \pi r h_{cyl}) + 2 \times (\pi r l) = 2 \pi r (h_{cyl} + l)$.
$9$. કુલ પૃષ્ઠફળ = $2 \times 3.14 \times 30 \times (100 + 50) = 188.4 \times 150 = 28260 \, cm^2$.

(C) આ વસ્તુ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે બે અર્ધગોલકોની બનેલી છે.
આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 21 \, cm$,કુલ ઊંચાઈ $H = 92 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $h = H - 2r = 92 - 2(21) = 92 - 42 = 50 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ = (નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + $2 \times$ (અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ).
કુલ પૃષ્ઠફળ = $2\pi rh + 2(2\pi r^2) = 2\pi r(h + 2r)$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times (50 + 2(21)) = 2 \times 22 \times 3 \times (50 + 42) = 132 \times 92 = 12,144 \, cm^2$.

(D) અર્ધગોળાકાર ગુંબજની ત્રિજ્યા $(r)$ $21\, m$ છે.
અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2\pi r^2$ છે.
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21$
$CSA = 2 \times 22 \times 3 \times 21$
$CSA = 44 \times 63 = 2772\, m^2$.
રંગકામનો ખર્ચ ₹ $80$ પ્રતિ $m^2$ છે.
કુલ ખર્ચ = $CSA \times \text{દર} = 2772 \times 80 = 2,21,760$.
આમ,બહારની સપાટીને રંગવાનો કુલ ખર્ચ ₹ $2,21,760$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r)$ = $7\, cm$,ઊંચાઈ $(h)$ = $24\, cm$.
પ્રથમ,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ શોધો: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\, cm$.
રંગવાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\pi rl = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550\, cm^2$.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 308\, cm^2$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $550 + 308 = 858\, cm^2$.
રંગવાનો ખર્ચ = કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\times$ દર = $858 \times 2 = ₹ 1716$.

(B) આ વસ્તુ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે જોડાયેલા બે શંકુની બનેલી છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $21 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h)$ = $50 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $(H)$ = $28 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $\sqrt{r^2 + H^2} = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ = (નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + $2 \times$ (શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ).
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2 \pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 50 = 44 \times 3 \times 50 = 6600 \, cm^2$.
એક શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r l = \frac{22}{7} \times 21 \times 35 = 22 \times 3 \times 35 = 2310 \, cm^2$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $6600 + 2 \times 2310 = 6600 + 4620 = 11220 \, cm^2$.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r)$ = $3.5\, m$,ઊંચાઈ $(h)$ = $12\, m$.
સૌ પ્રથમ,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ સૂત્ર $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ નો ઉપયોગ કરીને શોધો.
$l = \sqrt{(3.5)^2 + (12)^2} = \sqrt{12.25 + 144} = \sqrt{156.25} = 12.5\, m$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $\pi rl$ દ્વારા મળે છે.
$CSA = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 12.5 = 22 \times 0.5 \times 12.5 = 11 \times 12.5 = 137.5\, m^2$.
રંગકામનો ખર્ચ ₹ $30/m^2$ ના દરે છે.
કુલ ખર્ચ = $137.5 \times 30 = ₹ 4125$.

(D) આ વસ્તુ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે બે અર્ધગોલકની બનેલી છે.
આપેલ છે: નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $20 \, cm$,કુલ ઊંચાઈ $(H)$ = $80 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h)$ = $H - 2r = 80 - 2(20) = 80 - 40 = 40 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ = (નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + $2 \times$ (અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ).
$= 2\pi rh + 2(2\pi r^2) = 2\pi r(h + 2r)$.
$= 2 \times 3.14 \times 20 \times (40 + 2 \times 20)$.
$= 125.6 \times (40 + 40) = 125.6 \times 80 = 10048 \, cm^2$.

(A) આ વસ્તુ નળાકાર,અર્ધગોલક અને શંકુની બનેલી છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $28 \, cm$,નળાકારની ઊંચાઈ $(h_1)$ = $54.5 \, cm$.
અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ = $28 \, cm$.
શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ = $28 \, cm$,શંકુની ઊંચાઈ $(h_2)$ = $21 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{28^2 + 21^2} = \sqrt{784 + 441} = \sqrt{1225} = 35 \, cm$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $2\pi rh_1 + 2\pi r^2 + \pi rl$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $\pi r (2h_1 + 2r + l) = \frac{22}{7} \times 28 \times (2 \times 54.5 + 2 \times 28 + 35)$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $22 \times 4 \times (109 + 56 + 35) = 88 \times 200 = 17600 \, cm^2$.

(B) $1$. પરિમાણો ઓળખો: ત્રિજ્યા $(r)$ = $5 \, cm$,દરેક શંકુની ઊંચાઈ $(h_{cone})$ = $12 \, cm$,કુલ ઊંચાઈ $(H)$ = $41 \, cm$.
$2$. નળાકારની ઊંચાઈ $(h_{cyl})$ શોધો: $h_{cyl} = H - 2 \times h_{cone} = 41 - 24 = 17 \, cm$.
$3$. શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ શોધો: $l = \sqrt{r^2 + h_{cone}^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
$4$. વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ = નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + બે શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
$5$. કુલ પૃષ્ઠફળ = $2 \pi r h_{cyl} + 2 \times (\pi r l) = 2 \pi r (h_{cyl} + l)$.
$6$. કિંમતો મૂકતા: $2 \times 3.14 \times 5 \times (17 + 13) = 31.4 \times 30 = 942 \, cm^2$.

(C) આ વસ્તુ નળાકાર અને શંકુના જોડાણથી બનેલી છે.
આપેલ છે: નળાકાર અને શંકુની ત્રિજ્યા $(r) = 6 \, cm$,શંકુની ઊંચાઈ $(h_{cone}) = 8 \, cm$,વસ્તુની કુલ ઊંચાઈ $= 20 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h_{cyl}) = 20 \, cm - 8 \, cm = 12 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{r^2 + h_{cone}^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ = (નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + (શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ).
પૃષ્ઠફળ = $(2 \pi r h_{cyl}) + (\pi r l) = \pi r (2 h_{cyl} + l)$.
પૃષ્ઠફળ = $3.14 \times 6 \times (2 \times 12 + 10) = 18.84 \times (24 + 10) = 18.84 \times 34 = 640.56 \, cm^2$.

(D) ધારો કે અર્ધગોળાકાર પાયાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = 5 \, cm$ છે.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= \pi rl + 2\pi r^2 = 103.62 \, cm^2$.
આપેલ છે $\pi = 3.14$,તેથી $3.14 \times r \times 5 + 2 \times 3.14 \times r^2 = 103.62$.
$15.7r + 6.28r^2 = 103.62$.
$3.14$ વડે ભાગતા: $5r + 2r^2 = 33$.
$2r^2 + 5r - 33 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $2r^2 + 11r - 6r - 33 = 0 \implies r(2r + 11) - 3(2r + 11) = 0$.
$(r - 3)(2r + 11) = 0$. $r > 0$ હોવાથી,$r = 3 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, cm$.
વસ્તુની કુલ ઊંચાઈ એ શંકુની ઊંચાઈ અને અર્ધગોળાની ત્રિજ્યાનો સરવાળો છે: $H = h + r = 4 + 3 = 7 \, cm$.

(A) આપેલ છે: શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ = $15 \, cm$,શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ = $20 \, cm$.
પ્રથમ,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ શોધો: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ = શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\pi rl = 3.14 \times 15 \times 25 = 1177.5 \, cm^2$.
અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2\pi r^2 = 2 \times 3.14 \times 15^2 = 2 \times 3.14 \times 225 = 1413 \, cm^2$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $1177.5 + 1413 = 2590.5 \, cm^2$.

(C) તંબુનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ત્રિજ્યા $(r)$ = $1.2\, m$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h_1)$ = $4\, m$.
શંકુની ઊંચાઈ $(h_2)$ = $3.5\, m$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{(1.2)^2 + (3.5)^2} = \sqrt{1.44 + 12.25} = \sqrt{13.69} = 3.7\, m$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2\pi rh_1 = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.2 \times 4 \approx 30.17\, m^2$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\pi rl = \frac{22}{7} \times 1.2 \times 3.7 \approx 13.95\, m^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $30.17 + 13.95 = 44.12\, m^2$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,વપરાયેલ કાપડ $44\, m^2$ છે.

(A) આ વસ્તુ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે જોડાયેલા બે અર્ધગોલકોની બનેલી છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $21 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h)$ = $18 \, cm$.
અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ = $21 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ = (નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + $2 \times$ (અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ).
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2 \pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 18 = 2 \times 22 \times 3 \times 18 = 2376 \, cm^2$.
બે અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2 \times (2 \pi r^2) = 4 \pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 4 \times 22 \times 3 \times 21 = 5544 \, cm^2$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $2376 + 5544 = 7920 \, cm^2$.

(C) આપેલ છે: અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ = $3.5\, cm = \frac{7}{2}\, cm$.
રમકડાની કુલ ઊંચાઈ = $15.5\, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ = કુલ ઊંચાઈ - અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા = $15.5 - 3.5 = 12\, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(3.5)^2 + 12^2} = \sqrt{12.25 + 144} = \sqrt{156.25} = 12.5\, cm$.
રમકડાનું કુલ પૃષ્ઠફળ = શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
$= \pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r)$.
$= \frac{22}{7} \times 3.5 \times (12.5 + 2 \times 3.5) = 11 \times (12.5 + 7) = 11 \times 19.5 = 214.5\, cm^2$.

(D) આ વસ્તુ એક અર્ધગોલક પર મૂકવામાં આવેલા શંકુની બનેલી છે. કુલ પૃષ્ઠફળ એ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$1$. શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
$2$. શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA_{cone})$: $\pi rl = 3.14 \times 5 \times 13 = 204.1 \, cm^2$.
$3$. અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA_{hemi})$: $2\pi r^2 = 2 \times 3.14 \times 5^2 = 2 \times 3.14 \times 25 = 157 \, cm^2$.
$4$. કુલ પૃષ્ઠફળ: $CSA_{cone} + CSA_{hemi} = 204.1 + 157 = 361.1 \, cm^2$.

(D) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ એટલે તેના બે વર્તુળાકાર પાયાને બાદ કરતાં બાકીની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
$r$ ત્રિજ્યા અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા નળાકાર માટે,$CSA$ એ પાયાના પરિઘ $(2 \pi r)$ અને ઊંચાઈ $(h)$ નો ગુણાકાર છે.
તેથી,$CSA = 2 \pi r h$.

(A) અર્ધગોલક એ ગોલકનો અડધો ભાગ છે.
ગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4 \pi r^{2}$ હોવાથી,અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ તેનાથી અડધું થાય છે.
અર્ધગોલકની $CSA = \frac{1}{2} \times (4 \pi r^{2}) = 2 \pi r^{2}$.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^{2}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ત્રિજ્યા $r$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l$ ધરાવતા શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $\pi r l$ છે.
અહીં,$r$ એ વર્તુળાકાર પાયાની ત્રિજ્યા દર્શાવે છે અને $l$ એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ દર્શાવે છે.

(B) અર્ધગોલક એ ગોલકનો અડધો ભાગ છે.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $2 \pi r^{2}$ છે.
અર્ધગોલકનો પાયો એક વર્તુળ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2}$ છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ એ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$TSA = CSA + \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} = 2 \pi r^{2} + \pi r^{2} = 3 \pi r^{2}$.

(D) નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ એ તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને બે વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= 2 \pi r h$
બે વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\pi r^{2}) = 2 \pi r^{2}$
કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ $= 2 \pi r h + 2 \pi r^{2}$
$2 \pi r$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે $TSA = 2 \pi r(r+h)$.

(B) શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને તેના વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi rl$
પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^{2}$
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi rl + \pi r^{2} = \pi r(l + r)$
જ્યાં $r$ એ પાયાની ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ છે.

(B) $5$ રૂપિયાનો સિક્કો નળાકાર આકારનો હોય છે,જેની ઊંચાઈ $h$ ખૂબ જ ઓછી હોય છે.
નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ તેના બે વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળ અને તેની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું હોય છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2 \times (\text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ}) + \text{વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}$.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2(\pi r^2) + 2 \pi r h$.
$2 \pi r$ સામાન્ય લેતા,આપણને $2 \pi r(r + h)$ મળે છે.
આમ,સાચું સૂત્ર $2 \pi r(r + h)$ છે.

(B) ધારો કે બે ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે. આપેલ છે કે તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 3 : 5$ છે.
ગોળાના પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર $S = 4\pi r^2$ છે.
બે ગોળાઓના પૃષ્ઠફળોનો ગુણોત્તર $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા: $\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$.
આમ,તેમના પૃષ્ઠફળોનો ગુણોત્તર $9: 25$ છે.

(C) આપેલ છે: શંકુના આડછેદની ત્રિજ્યાઓ $R = 10 \, cm$ અને $r = 7 \, cm$ છે. ઊંચાઈ $h = 4 \, cm$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે શંકુના આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ શોધીશું,જેનું સૂત્ર $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $l = \sqrt{4^2 + (10 - 7)^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, cm$.
શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = \pi (R + r) l$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $CSA = \pi (10 + 7) \times 5 = \pi (17) \times 5 = 85\pi \, cm^2$.
આમ,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $85\pi \, cm^2$ છે.

(A) શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ નું સૂત્ર $CSA = \pi r l$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $r = 12 \, cm$ અને $l = 20 \, cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$CSA = \pi \times 12 \times 20$
$CSA = 240 \pi \, cm^2$.
તેથી,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $240 \pi \, cm^2$ છે.

(C) સમઘનને કુલ $6$ બાજુઓ હોય છે. $l$ લંબાઈની બાજુ ધરાવતા સમઘનની દરેક બાજુનું ક્ષેત્રફળ $l^2$ થાય છે.
જો સમઘન એક છેડેથી ખુલ્લો હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે એક બાજુ ઓછી છે.
તેથી,એક છેડેથી ખુલ્લા સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ બાકીની $5$ બાજુઓના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 5 \times l^2 = 5l^2$.

(A) સમઘન એ ત્રિ-પરિમાણીય આકાર છે જેમાં $6$ સમાન ચોરસ બાજુઓ હોય છે.
જો સમઘનની બાજુની લંબાઈ $l$ હોય,તો એક ચોરસ બાજુનું ક્ષેત્રફળ $l \times l = l^{2}$ થાય.
બંધ સમઘનમાં આવી $6$ બાજુઓ હોવાથી,કુલ પૃષ્ઠફળ એ તમામ $6$ બાજુઓના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
તેથી,કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6 \times l^{2} = 6 l^{2}$.

(A) નળાકારને બે વર્તુળાકાર પાયા હોય છે.
નળાકારનો પાયો $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ હોવાથી,પાયાનું ક્ષેત્રફળ વર્તુળના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^{2}$.
તેથી,નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2}$ થાય છે.

(A) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એટલે ઉપરના અને નીચેના વર્તુળાકાર પાયાને બાદ કરતાં તેની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
$r$ ત્રિજ્યા અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા નળાકાર માટે,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ પાયાના પરિઘ $(2 \pi r)$ ને ઊંચાઈ $(h)$ સાથે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,સૂત્ર $2 \pi r h$ છે.

(B) નળાકારની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ બે વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળ અને વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
બે વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\pi r^2) = 2 \pi r^2$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r h$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^2 + 2 \pi r h$.
$2 \pi r$ સામાન્ય લેતા,આપણને $2 \pi r(r + h)$ મળે છે.

(D) શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $\pi rl$ છે,જ્યાં $r$ એ પાયાની ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ છે.

(C) શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને પાયાના વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$1$. શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi r l$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે.
$2$. પાયાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2}$ છે.
$3$. તેથી,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \text{વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} = \pi r l + \pi r^{2}$.
$4$. $\pi r$ સામાન્ય લેતા,આપણને $\pi r(l + r)$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^{2}$ છે.
આ સૂત્ર ગોલકની બહારની સીમા દ્વારા આવરી લેવાયેલ કુલ ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે.

(C) ગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4 \pi r^{2}$ છે.
અર્ધગોલક એ ગોલકનો બરાબર અડધો ભાગ હોવાથી,તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ગોલકની કુલ સપાટીના ક્ષેત્રફળ કરતા અડધું થાય.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (4 \pi r^{2}) = 2 \pi r^{2}$.

(C) એક લંબવૃત્તીય શંકુમાં,તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$,શિરોલંબ ઊંચાઈ $(h)$ અને પાયાની ત્રિજ્યા $(r)$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
તેથી,$l^{2} = h^{2} + r^{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ મળે છે.

(C) અર્ધગોલક એ ગોલકનો અડધો ભાગ છે. ગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4\pi r^{2}$ છે,તેથી અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2\pi r^{2}$ થાય.
વધુમાં,અર્ધગોલકનો પાયો એક વર્તુળ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2}$ છે.
તેથી,અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે: $2\pi r^{2} + \pi r^{2} = 3\pi r^{2}$.

(D) શંકુ એ ત્રિ-પરિમાણીય ભૌમિતિક આકાર છે જે સપાટ પાયાથી ઉપરના એક બિંદુ સુધી સાંકડો થતો જાય છે,જેને શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,લંબવૃત્તીય શંકુનો પાયો એક વર્તુળ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર છે: $TSA = \pi r(r + l) = \pi r^2 + \pi rl$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર છે: $CSA = \pi rl$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ કરતા કેટલું વધારે છે તે જાણવા માટે,આપણે $TSA$ માંથી $CSA$ બાદ કરીશું:
તફાવત $= TSA - CSA$
તફાવત $= (\pi r^2 + \pi rl) - (\pi rl)$
તફાવત $= \pi r^2 + \pi rl - \pi rl$
તફાવત $= \pi r^2$.
આમ,શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ તેની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ કરતા $\pi r^2$ જેટલું વધારે છે.

(B) $1$ રૂપિયાનો સિક્કો પાતળા નળાકાર જેવો આકાર ધરાવે છે.
નળાકાર માટે,જેની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ હોય,તેનું વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $A = 2 \pi r h$ છે.
અહીં,$h$ એ સિક્કાની જાડાઈ દર્શાવે છે.

(A) જ્યારે શંકુને તેના પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા કાપવામાં આવે ત્યારે શંકુનો આડછેદ બને છે.
ધારો કે $r_{1}$ અને $r_{2}$ એ આડછેદના બે વર્તુળાકાર છેડાઓની ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ છે.
શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર મૂળ શંકુ અને ઉપરથી કાપેલા નાના શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળના તફાવત પરથી મેળવવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર છે: $CSA = \pi l(r_{1} + r_{2})$.

(A) શંકુના આડછેદનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ એ તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને બે વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$1$. આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi l(r_{1} + r_{2})$ છે,જ્યાં $l$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે અને $r_{1}, r_{2}$ એ બે વર્તુળાકાર પાયાની ત્રિજ્યાઓ છે.
$2$. ઉપરના વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r_{1}^{2}$ છે.
$3$. નીચેના વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r_{2}^{2}$ છે.
$4$. તેથી,કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ આ ત્રણેય ભાગોનો સરવાળો છે: $TSA = \pi l(r_{1} + r_{2}) + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$.

(B) $5$ રૂપિયાનો સિક્કો પાતળા નળાકાર જેવો આકાર ધરાવે છે.
નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$,જેની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે,તે તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને તેના બે વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$TSA = \text{વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + 2 \times \text{વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ}$
$TSA = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$
$2 \pi r$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા,આપણને મળે છે:
$TSA = 2 \pi r(r + h)$
તેથી,સાચું સૂત્ર $A = 2 \pi r(r + h)$ છે.

(B) નળાકારનો પાયો એક વર્તુળ હોય છે.
આપેલ છે કે,પાયાની ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$.
નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Area} = \pi r^2$ છે.
$r$ ની કિંમત અને $\pi = \frac{22}{7}$ મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$\text{Area} = 22 \times 7 = 154 \, cm^2$.
આમ,પાયાનું ક્ષેત્રફળ $154 \, cm^2$ છે.

(C) નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ નું સૂત્ર $2 \pi r h$ છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r)$ = $1.4 \, cm = \frac{14}{10} \, cm$
ઊંચાઈ $(h)$ = $10 \, cm$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{14}{10} \times 10$
$CSA = 2 \times 22 \times 2$
$CSA = 88 \, cm^2$
આમ,નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $88 \, cm^2$ છે.

(B) નળાકારનો પાયો વર્તુળાકાર હોય છે. વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^{2}$ છે.
અહીં પાયાનું ક્ષેત્રફળ $616\,cm^{2}$ આપેલું છે.
તેથી,$616 = \frac{22}{7} \times r^{2}$.
$r^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$r^{2} = 616 \times \frac{7}{22}$.
$r^{2} = 28 \times 7$.
$r^{2} = 196$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$r = \sqrt{196} = 14\,cm$.
આમ,નળાકારના પાયાની ત્રિજ્યા $14\,cm$ છે.

(C) શંકુ માટે,તિર્યક ઊંચાઈ $l$ શોધવાનું સૂત્ર $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 6 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 8 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$l = \sqrt{6^2 + 8^2}$
$l = \sqrt{36 + 64}$
$l = \sqrt{100}$
$l = 10 \, cm$.
આમ,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $10 \, cm$ છે.

(C) શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ નું સૂત્ર $CSA = \pi r l$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 4 \, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = 6 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$CSA = \pi \times 4 \times 6 = 24 \pi \, cm^{2}$.

(B) શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = \pi r l$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 7\, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = 15\, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$CSA = \frac{22}{7} \times 7 \times 15$
$CSA = 22 \times 15 = 330\, cm^2$.