Mirror Formula and Magnification Questions in Hindi

(A) गोलीय दर्पण द्वारा उत्पन्न आवर्धन $(m)$ का सूत्र है:
$m = -\frac{v}{u}$
चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक और तीन गुना बड़ा है,इसलिए आवर्धन $m = -3$ होगा (क्योंकि वास्तविक प्रतिबिंब उल्टे होते हैं)।
दिया गया है,वस्तु की दूरी $u = -10 \, cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
सूत्र में मान रखने पर:
$-3 = -\frac{v}{-10}$
$-3 = \frac{v}{10}$
$v = -3 \times 10 = -30 \, cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण के सामने $30 \, cm$ की दूरी पर बनता है।

(A) उत्तल दर्पण की फोकस दूरी,$f = +15\, cm$.
वस्तु की दूरी,$u = -10\, cm$.
दर्पण सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
मान रखने पर,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{15} - (\frac{1}{-10}) = \frac{1}{15} + \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{v} = \frac{2 + 3}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
अतः,$v = +6\, cm$.
$v$ का धनात्मक मान दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $6\, cm$ की दूरी पर बनता है।
आवर्धन,$m = -\frac{v}{u} = -(\frac{6}{-10}) = +0.6$.
आवर्धन का धनात्मक मान दर्शाता है कि प्रतिबिंब आभासी और सीधा है।

(B) दर्पण द्वारा उत्पन्न आवर्धन $(m)$ को प्रतिबिंब की ऊँचाई $(H_i)$ और वस्तु की ऊँचाई $(H_o)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$m = \frac{H_i}{H_o}$
यहाँ समतल दर्पण द्वारा उत्पन्न आवर्धन $+1$ दिया गया है:
$1$. मान $1$ यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब की ऊँचाई वस्तु की ऊँचाई के बराबर है $(H_i = H_o)$,जिसका अर्थ है कि प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार के समान है।
$2$. धनात्मक चिह्न $(+)$ यह दर्शाता है कि बना हुआ प्रतिबिंब आभासी और सीधा है।

(N/A) वस्तु की दूरी,$u = -20\, cm$.
वस्तु की ऊँचाई,$h = 5\, cm$.
वक्रता त्रिज्या,$R = 30\, cm$.
फोकस दूरी,$f = R/2 = 15\, cm$.
दर्पण सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{15} - (\frac{1}{-20}) = \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{4+3}{60} = \frac{7}{60}$.
$v = \frac{60}{7} \approx 8.57\, cm$.
$v$ का धनात्मक मान दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण के पीछे बनता है।
आवर्धन,$m = -\frac{v}{u} = -\frac{8.57}{-20} = 0.428$.
आवर्धन का धनात्मक मान दर्शाता है कि प्रतिबिंब आभासी और सीधा है।
प्रतिबिंब की ऊँचाई,$h' = m \times h = 0.428 \times 5 = 2.14\, cm$.
अतः,प्रतिबिंब आभासी,सीधा और $2.14\, cm$ आकार का है,जो दर्पण के पीछे $8.57\, cm$ की दूरी पर बनता है।

(A) वस्तु की दूरी,$u = -27\, cm$.
वस्तु की ऊँचाई,$h = 7\, cm$.
फोकस दूरी,$f = -18\, cm$.
दर्पण सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{-18} - \frac{1}{-27} = \frac{-3 + 2}{54} = \frac{-1}{54}$.
अतः,$v = -54\, cm$.
पर्दे को दर्पण के सामने $54\, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।
आवर्धन,$m = -\frac{v}{u} = -\frac{-54}{-27} = -2$.
आवर्धन का ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है।
आवर्धन,$m = \frac{h'}{h} \implies h' = m \times h = -2 \times 7 = -14\, cm$.
प्रतिबिंब का आकार $14\, cm$ है।

(B) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $(h_o)$ = $10\, mm = 1\, cm$। प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h_i)$ = $-5\, mm = -0.5\, cm$ (चूँकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है,यह दर्पण के सामने बनता है)। प्रतिबिंब दूरी $(v)$ = $-30\, cm$।
आवर्धन $(m)$ = $h_i / h_o = -v / u$।
मान रखने पर: $-0.5 / 1 = -(-30) / u$।
$-0.5 = 30 / u$।
$u = 30 / -0.5 = -60\, cm$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $1/f = 1/v + 1/u$।
$1/f = 1/(-30) + 1/(-60)$।
$1/f = (-2 - 1) / 60 = -3 / 60$।
$1/f = -1 / 20$।
अतः,$f = -20\, cm$।

(A) वाहनों में लगा रियर-व्यू मिरर एक उत्तल दर्पण होता है।
उत्तल दर्पण हमेशा अपने सामने रखी वस्तुओं के आभासी,सीधे और छोटे प्रतिबिंब बनाते हैं।
चूंकि प्रतिबिंब हमेशा छोटा होता है,इसलिए प्रतिबिंब की ऊंचाई $(h')$ हमेशा वस्तु की ऊंचाई $(h)$ से कम होती है।
आवर्धन $(m)$ को प्रतिबिंब की ऊंचाई और वस्तु की ऊंचाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $m = h'/h$।
चूंकि $h' < h$ है,इसलिए आवर्धन $m$ हमेशा $1$ से कम होता है।

(D) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -20\, cm$ (अवतल दर्पण के लिए),आवर्धन $m = -1/3$ (वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब के लिए)।
आवर्धन सूत्र $m = -v/u$ का उपयोग करने पर,हमें $-1/3 = -v/u$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = u/3$।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ में $v = u/3$ रखने पर:
$\frac{1}{u/3} + \frac{1}{u} = \frac{1}{-20}$
$\frac{3}{u} + \frac{1}{u} = -\frac{1}{20}$
$\frac{4}{u} = -\frac{1}{20}$
$u = -80\, cm$।
वस्तु को दर्पण से $80\, cm$ की दूरी पर रखा गया है।
प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है,और दर्पण अवतल है।

(B) आवर्धन $(m)$ को प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$m = h'/h$.
यदि आवर्धन धनात्मक $(m > 0)$ है,तो यह इंगित करता है कि प्रतिबिंब मुख्य अक्ष के ऊपर बनता है।
इसका अर्थ है कि प्रतिबिंब आभासी और सीधा है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) गोलीय दर्पण के संदर्भ में, आवर्धन $(m)$ को प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि आवर्धन ऋणात्मक $(m < 0)$ है, तो यह इंगित करता है कि वस्तु की ऊँचाई के सापेक्ष प्रतिबिंब की ऊँचाई ऋणात्मक है।
चूँकि वस्तु को आमतौर पर मुख्य अक्ष के ऊपर (धनात्मक ऊँचाई) रखा जाता है, इसलिए ऋणात्मक प्रतिबिंब ऊँचाई का अर्थ है कि प्रतिबिंब मुख्य अक्ष के नीचे बनता है।
अतः, ऋणात्मक आवर्धन का अर्थ है कि प्रतिबिंब $\text{वास्तविक}$ और $\text{उल्टा}$ है।

(N/A) गोलीय दर्पण का आवर्धन $m$,प्रतिबिंब की ऊँचाई और वस्तु की ऊँचाई के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है,जिसे $m = -v/u$ द्वारा भी दर्शाया जाता है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करके,हम आवर्धन,फोकस दूरी $(f)$ और वस्तु दूरी $(u)$ या प्रतिबिंब दूरी $(v)$ के बीच संबंध प्राप्त कर सकते हैं।
$m = -v/u$ में $v = \frac{fu}{u-f}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m = \frac{f}{f-u}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$m = -v/u$ में $u = \frac{fv}{v-f}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m = \frac{f-v}{f}$ प्राप्त होता है।
अतः,संबंध $m = \frac{f-v}{f} = \frac{f}{f-u}$ है।

(B) आवर्धन $m$ को प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $m = h'/h$।
यहाँ $m = +1$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $h'/h = +1$,अर्थात $h' = h$।
चूँकि आवर्धन धनात्मक $(+)$ है,प्रतिबिंब आभासी और सीधा है।
चूँकि आवर्धन का परिमाण $1$ है,प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार के बिल्कुल बराबर है।
अतः,प्रतिबिंब आभासी,सीधा और वस्तु के आकार के बराबर है।

(N/A) प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के अनुपात को पार्श्व आवर्धन कहा जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $m = \frac{h'}{h}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यह दर्शाता है कि वस्तु की तुलना में प्रतिबिंब कितना बड़ा या छोटा है।

(B) गोलीय दर्पण के लिए वस्तु दूरी $(u)$,प्रतिबिंब दूरी $(v)$ और फोकस दूरी $(f)$ के बीच के संबंध को दर्पण सूत्र कहा जाता है।
यह सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
यहाँ,$(u)$ दर्पण के ध्रुव से वस्तु की दूरी है,$(v)$ ध्रुव से प्रतिबिंब की दूरी है,और $(f)$ दर्पण की फोकस दूरी है।

(B) किसी भी गोलीय लेंस के लिए आवर्धन $(m)$ को प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $m = h'/h = v/u$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $v$ प्रतिबिंब की दूरी है और $u$ वस्तु की दूरी है।
यह सूत्र सार्वभौमिक है और उत्तल तथा अवतल दोनों लेंसों पर लागू होता है।
हालाँकि $v$ और $u$ के लिए चिह्न परिपाटी लेंस के प्रकार और वस्तु की स्थिति के आधार पर भिन्न हो सकती है,लेकिन आवर्धन का मूल समीकरण समान रहता है।

(B) दिया गया है: आवर्धन $(m)$ = $2$,वस्तु का आकार $(O)$ = $1\, m$।
आवर्धन का सूत्र $m = \frac{I}{O}$ है,जहाँ $I$ प्रतिबिंब का आकार है।
प्रतिबिंब का आकार ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $I = m \times O$।
मान रखने पर: $I = 2 \times 1\, m = 2\, m$।
अतः,प्रतिबिंब का आकार $2\, m$ है।

(N/A) गोलीय दर्पण द्वारा उत्पन्न रैखिक आवर्धन $(m)$ को प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h^{\prime})$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$m = \frac{\text{प्रतिबिंब की ऊँचाई}}{\text{वस्तु की ऊँचाई}} = \frac{h^{\prime}}{h}$
इसके अतिरिक्त,यह वस्तु दूरी $(u)$ और प्रतिबिंब दूरी $(v)$ से इस प्रकार संबंधित है:
$m = \frac{h^{\prime}}{h} = -\frac{v}{u}$
यहाँ,$u$ दर्पण से वस्तु की दूरी है और $v$ दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी है।

(N/A) दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
समतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f$ को अनंत $(\infty)$ माना जाता है।
दर्पण सूत्र में $f = \infty$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{\infty}$
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = 0$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{u}$
$v = -u$
यह परिणाम दर्शाता है कि समतल दर्पण के लिए,प्रतिबिंब की दूरी $v$ वस्तु की दूरी $u$ के परिमाण में बराबर होती है लेकिन चिह्न में विपरीत होती है,जो समतल दर्पण के गुणों के अनुरूप है (दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर आभासी प्रतिबिंब बनता है)।

(A) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $h_{1} = 4.5 \, cm$,वस्तु दूरी $u = -12 \, cm$,फोकस दूरी $f = +15 \, cm$ (उत्तल दर्पण के लिए)।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{15} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-12}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{4 + 5}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}$.
अतः,$v = \frac{20}{3} \approx +6.67 \, cm$.
प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $6.67 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{6.67}{-12} \approx +0.56$.
जैसे-जैसे सुई को दर्पण से दूर ले जाया जाता है,वस्तु दूरी $u$ बढ़ती है। परिणामस्वरूप,प्रतिबिंब मुख्य फोकस $F$ के करीब जाता है और उसका आकार छोटा होता जाता है।

(A) चूंकि प्रतिबिंब पर्दे पर प्राप्त किया जाना है,इसलिए यह एक वास्तविक प्रतिबिंब होना चाहिए। केवल अवतल दर्पण ही वास्तविक प्रतिबिंब बना सकता है।
$(b)$ दिया गया है: वस्तु दूरी $u = -15\, cm$,प्रतिबिंब दूरी $v = -60\, cm$ (क्योंकि यह दर्पण के सामने है)।
रेखीय आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{-60}{-15} = -4$.
$(c)$ वस्तु ध्रुव से $15\, cm$ की दूरी पर है और प्रतिबिंब उसी तरफ ध्रुव से $60\, cm$ की दूरी पर है।
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $= |v - u| = |-60 - (-15)| = |-60 + 15| = |-45| = 45\, cm$.
$(d)$ किरण आरेख दर्शाता है कि जब वस्तु $C$ और $F$ के बीच स्थित होती है,तो उसका वास्तविक,उल्टा और आवर्धित प्रतिबिंब $C$ के पीछे बनता है।

(A) दर्पण सूत्र जो वस्तु दूरी $(u)$,प्रतिबिंब दूरी $(v)$ और फोकस दूरी $(f)$ के बीच संबंध को दर्शाता है,वह है: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक है और $2$ गुना आवर्धित है,इसलिए आवर्धन $(m)$ $-2$ होगा (क्योंकि वास्तविक प्रतिबिंब उल्टे होते हैं)।
वस्तु दूरी $(u)$ $-10 \ cm$ है (चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
आवर्धन सूत्र का उपयोग करने पर: $m = -\frac{v}{u}$.
मान रखने पर: $-2 = -\frac{v}{-10}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $-2 = \frac{v}{10}$,जिससे $v = -20 \ cm$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिबिंब दर्पण के सामने $20 \ cm$ की दूरी पर बनता है।

(A) $(i)$ यदि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है:
$m = -v/u = -3$,जिसका अर्थ है $v = 3u$. दिया गया है $f = -30 \, cm$.
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{3u} + \frac{1}{u} = \frac{1}{-30} \Rightarrow \frac{1+3}{3u} = \frac{1}{-30} \Rightarrow \frac{4}{3u} = \frac{1}{-30} \Rightarrow u = -40 \, cm$.
अतः,वस्तु को दर्पण के सामने $40 \, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।
$(ii)$ यदि प्रतिबिंब आभासी और सीधा है:
$m = -v/u = +3$,जिसका अर्थ है $v = -3u$. दिया गया है $f = -30 \, cm$.
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{-3u} + \frac{1}{u} = \frac{1}{-30} \Rightarrow \frac{-1+3}{3u} = \frac{1}{-30} \Rightarrow \frac{2}{3u} = \frac{1}{-30} \Rightarrow u = -20 \, cm$.
अतः,वस्तु को दर्पण के सामने $20 \, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(A) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $O = 4.5\, cm$,वस्तु की दूरी $u = -12\, cm$,फोकस दूरी $f = +15\, cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{-12} = \frac{1}{15}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{4 + 5}{60} = \frac{9}{60}$.
$v = \frac{60}{9} \approx 6.67\, cm \approx 6.7\, cm$.
धनात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $6.7\, cm$ की दूरी पर बनता है।
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{6.67}{-12} \approx 0.56$.
चूंकि $m$ धनात्मक है और $1$ से कम है,इसलिए प्रतिबिंब आभासी,सीधा और छोटा है।

(N/A) दिया गया है: वक्रता त्रिज्या $R = +3\, m$,फोकस दूरी $f = R/2 = +1.5\, m$.
वस्तु की दूरी $u = -5\, m$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{1.5} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-5}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5} = \frac{5 + 1.5}{7.5} = \frac{6.5}{7.5}$.
$v = \frac{7.5}{6.5} \approx +1.15\, m$.
प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $1.15\, m$ की दूरी पर बनता है।
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{1.15}{-5} = +0.23$.
चूंकि $v$ धनात्मक है,प्रतिबिंब आभासी और सीधा है। चूंकि $m < 1$ है,प्रतिबिंब वस्तु के आकार से $0.23$ गुना छोटा है।

(A) दिया गया है:
वस्तु का आकार,$h = +4.0 \, cm$
वस्तु की दूरी,$u = -25.0 \, cm$
फोकस दूरी,$f = -15.0 \, cm$
दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{-15} - \frac{1}{-25} = \frac{-5 + 3}{75} = \frac{-2}{75}$
$v = -37.5 \, cm$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण के सामने बनता है,इसलिए पर्दे को दर्पण से $37.5 \, cm$ की दूरी पर उसी ओर रखा जाना चाहिए। प्रतिबिंब वास्तविक है।
आवर्धन,$m = \frac{h'}{h} = -\frac{v}{u}$
$h' = -\frac{v \cdot h}{u} = -\frac{(-37.5) \cdot (4.0)}{-25.0} = -6.0 \, cm$
प्रतिबिंब का आकार $6.0 \, cm$ है। ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब उल्टा है।

(A) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $h = 3 \, cm$,वस्तु दूरी $u = -9 \, cm$,फोकस दूरी $f = -18 \, cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{-18} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-9}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{9} - \frac{1}{18} = \frac{2-1}{18} = \frac{1}{18}$.
अतः,$v = +18 \, cm$. चूँकि $v$ धनात्मक है,प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $18 \, cm$ की दूरी पर बनता है,जिसका अर्थ है कि यह आभासी और सीधा है।
अब,आवर्धन $m = \frac{h'}{h} = -\frac{v}{u}$.
$h' = -\frac{v \times h}{u} = -\frac{18 \times 3}{-9} = 6 \, cm$.
इस प्रकार,प्रतिबिंब आभासी,सीधा,दर्पण के पीछे $18 \, cm$ पर और $6 \, cm$ आकार का है।

(A) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -12 \ cm$। आवर्धन $m = -4$ (क्योंकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है)।
गोलीय दर्पण के लिए आवर्धन सूत्र का उपयोग करने पर: $m = -\frac{v}{u}$।
मान रखने पर: $-4 = -\frac{v}{-12}$।
$v$ के लिए हल करने पर: $-4 = \frac{v}{12} \implies v = -48 \ cm$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण के सामने बनता है,जो वास्तविक प्रतिबिंब के लिए सही है। अतः,दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी $48 \ cm$ है।

(A) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $O = 1 \, cm$,वस्तु की दूरी $u = -15 \, cm$,फोकस दूरी $f = -10 \, cm$.
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{-10} - \frac{1}{-15} = \frac{-3 + 2}{30} = \frac{-1}{30}$.
अतः,$v = -30 \, cm$। ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण के सामने बनता है।
आवर्धन $m = \frac{I}{O} = -\frac{v}{u}$.
$I = -\frac{v}{u} \times O = -\frac{-30}{-15} \times 1 = -2 \, cm$.
प्रतिबिंब दर्पण के सामने $30 \, cm$ की दूरी पर बनता है,इसका आकार $2 \, cm$ है और यह वास्तविक तथा उल्टा है।

(B) उत्तल दर्पण के लिए,आवर्धन $m$ का सूत्र $m = -v/u$ है। दिया गया है कि प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार का एक-तिहाई है,इसलिए $m = 1/3$ है।
चूंकि $m = -v/u = 1/3$,हमें $u = -3v$ प्राप्त होता है।
दर्पण सूत्र $1/f = 1/v + 1/u$ है।
यहाँ $f = +12 \, cm$ (उत्तल दर्पण के लिए),मान रखने पर: $1/12 = 1/v + 1/(-3v)$।
$1/12 = (3 - 1) / 3v = 2 / 3v$।
$3v = 24$,जिससे $v = +8 \, cm$ प्राप्त होता है।
$v$ का धनात्मक मान यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $8 \, cm$ की दूरी पर बनता है।

(B) उत्तल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f$ को धनात्मक $(+f)$ लिया जाता है।
वस्तु की दूरी $u$ को हमेशा ऋणात्मक लिया जाता है,इसलिए $u = -f$ है।
दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-f}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$.
अतः,$v = f / 2$.
प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $f / 2$ दूरी पर बनता है।

(A) दिया गया है: वस्तु दूरी $u = -40\, cm$,फोकस दूरी $f = -20\, cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{-20} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-40}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{20} = \frac{1 - 2}{40} = -\frac{1}{40}$.
अतः,$v = -40\, cm$.
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{-40}{-40} = -1$.
$-1$ का आवर्धन यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा और वस्तु के आकार के बराबर है।

(B) दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ फोकस दूरी है,$v$ प्रतिबिंब दूरी है और $u$ वस्तु दूरी है।
यह गोलीय दर्पण की फोकस दूरी को वस्तु दूरी और प्रतिबिंब दूरी से संबंधित करता है।
प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के बीच का संबंध आवर्धन सूत्र द्वारा परिभाषित होता है,जो $m = \frac{h'}{h} = -\frac{v}{u}$ है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(A) दर्पण सूत्र को $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ व्यंजक द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $f$ फोकस दूरी है,$v$ प्रतिबिंब की दूरी है,और $u$ वस्तु की दूरी है।
यह सूत्र परावर्तन के नियमों और ज्यामिति से प्राप्त एक सार्वभौमिक संबंध है।
यह दोनों प्रकार के गोलीय दर्पणों,यानी अवतल दर्पण और उत्तल दर्पण के लिए लागू होता है,बशर्ते गणना के दौरान चिह्न परिपाटी (sign convention) का सही ढंग से उपयोग किया जाए।

(A) गोलीय दर्पण का आवर्धन $(m)$ प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह वस्तु दूरी $(u)$ और प्रतिबिंब दूरी $(v)$ से भी निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित है: $m = \frac{h'}{h} = -\frac{v}{u}$.
अतः,आवर्धन समीकरण प्रतिबिंब दूरी और वस्तु दूरी के बीच एक सीधा संबंध स्थापित करता है।

(A) गोलीय दर्पण द्वारा उत्पन्न आवर्धन $(m)$ को प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसका सूत्र $m = \frac{h'}{h} = -\frac{v}{u}$ है,जहाँ $v$ प्रतिबिंब की दूरी है और $u$ वस्तु की दूरी है।
यह सूत्र परावर्तन की ज्यामिति से प्राप्त होता है और सभी गोलीय दर्पणों के लिए सार्वभौमिक रूप से लागू होता है,चाहे वे अवतल हों या उत्तल,बशर्ते कि चिह्न परिपाटी का सही ढंग से पालन किया जाए।

(B) दर्पण का आवर्धन $(m)$ प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h_i)$ और वस्तु की ऊँचाई $(h_o)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $m = h_i / h_o$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
समतल दर्पण में बनने वाला प्रतिबिंब हमेशा आभासी,सीधा और वस्तु के आकार के बराबर होता है।
चूँकि प्रतिबिंब की ऊँचाई वस्तु की ऊँचाई के बराबर होती है $(h_i = h_o)$,इसलिए आवर्धन $m = h_i / h_o = 1$ होता है।
इसके अतिरिक्त,प्रतिबिंब सीधा होता है,इसलिए आवर्धन धनात्मक होता है,जिसके परिणामस्वरूप $m = +1$ प्राप्त होता है।

(B) अवतल दर्पण के लिए,आवर्धन $m = -v/u$ होता है। यहाँ $m = -2$ दिया गया है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$-2 = -v/u$,जिसका अर्थ है $v = 2u$।
दर्पण सूत्र के अनुसार,$1/f = 1/v + 1/u$।
$v = 2u$ रखने पर,$1/f = 1/(2u) + 1/u = 3/(2u)$ प्राप्त होता है।
इससे $u = 1.5f$ मिलता है।
चूंकि फोकस दूरी $f$ ध्रुव और वक्रता केंद्र $(2f)$ के बीच होती है,इसलिए $1.5f$ पर रखी वस्तु मुख्य फोकस $(F)$ और वक्रता केंद्र $(C)$ के बीच स्थित होती है।
अतः,सही स्थान मुख्य फोकस और वक्रता केंद्र के बीच है।

(A) गोलीय दर्पण का आवर्धन $m$, $m = -v/u = h'/h$ द्वारा दिया जाता है।
$1.$ आवर्धन $m = -1$: ऋणात्मक चिह्न वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब दर्शाता है। परिमाण $1$ दर्शाता है कि प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार के बराबर है। अतः, $(1-b)$।
$2.$ आवर्धन $m = +5$: धनात्मक चिह्न आभासी और सीधा प्रतिबिंब दर्शाता है। परिमाण $5$ $( > 1)$ आवर्धित प्रतिबिंब दर्शाता है। अतः, $(2-d)$।
$3.$ आवर्धन $m = -5$: ऋणात्मक चिह्न वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब दर्शाता है। परिमाण $5$ $( > 1)$ आवर्धित प्रतिबिंब दर्शाता है। अतः, $(3-a)$।
$4.$ आवर्धन $m = -0.5$: ऋणात्मक चिह्न वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब दर्शाता है। परिमाण $0.5$ $( < 1)$ छोटा प्रतिबिंब दर्शाता है। अतः, $(4-c)$।
अतः, सही मिलान $(1-b), (2-d), (3-a), (4-c)$ है।

(B) अवतल दर्पण के लिए,वास्तविक प्रतिबिंब हमेशा उल्टा होता है।
चिह्न परिपाटी के अनुसार,उल्टे प्रतिबिंब की ऊंचाई ऋणात्मक $(h_i < 0)$ ली जाती है और वस्तु की ऊंचाई धनात्मक $(h_o > 0)$ ली जाती है।
आवर्धन $(m)$ प्रतिबिंब की ऊंचाई और वस्तु की ऊंचाई का अनुपात है: $m = h_i / h_o$.
चूंकि $h_i$ ऋणात्मक है और $h_o$ धनात्मक है,इसलिए आवर्धन $m$ हमेशा ऋणात्मक $(m < 0)$ होता है।

(B) दर्पण सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ होता है।
दिया गया है कि वस्तु अनंत पर है,इसलिए $u = \infty$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{\infty} = \frac{1}{f}$।
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$ होता है,इसलिए $\frac{1}{v} + 0 = \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है।
अतः,$v = f$।
जब किसी अवतल दर्पण के सामने वस्तु को अनंत पर रखा जाता है,तो प्रकाश की किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर होती हैं और प्रतिबिंब मुख्य फोकस $(F)$ पर बनता है।

(B) दर्पण का आवर्धन $(m)$ प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है,जो $(-\frac{v}{u})$ के बराबर भी होता है।
दिया गया है: $m = -\frac{1}{3}$.
$1$. ऋणात्मक चिह्न $(-)$ यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है।
$2$. आवर्धन का परिमाण $\frac{1}{3}$ है,जो $1$ से कम है,यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब छोटा है।
$3$. समतल दर्पण हमेशा आभासी,सीधा और $1$ आवर्धन वाला प्रतिबिंब बनाता है।
$4$. उत्तल दर्पण हमेशा आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है,जिसका आवर्धन $0$ और $+1$ के बीच होता है।
$5$. अवतल दर्पण वास्तविक,उल्टा और छोटा प्रतिबिंब तब बना सकता है जब वस्तु वक्रता केंद्र $(C)$ से परे रखी गई हो।
अतः,यह दर्पण अवतल दर्पण है।

(D) गोलीय दर्पण के संदर्भ में,आवर्धन $m$ को प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $m = h'/h$।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,प्रतिबिंब मुख्य अक्ष के नीचे बनता है,जिससे प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ ऋणात्मक होती है,जबकि वस्तु की ऊँचाई $(h)$ धनात्मक ली जाती है।
इसलिए,ऋणात्मक आवर्धन $(m < 0)$ यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है।
चूंकि गोलीय दर्पण द्वारा बनने वाले सभी वास्तविक प्रतिबिंब उल्टे होते हैं,इसलिए प्रतिबिंब की सही प्रकृति उल्टा है।

(A) उत्तल दर्पण अपने सामने रखी वस्तु की सभी स्थितियों के लिए हमेशा आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
सीधे प्रतिबिंब के लिए,प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ दोनों को धनात्मक लिया जाता है।
आवर्धन $(m)$ को प्रतिबिंब की ऊँचाई और वस्तु की ऊँचाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $m = h'/h$।
चूँकि सीधे प्रतिबिंब के लिए $h'$ और $h$ दोनों धनात्मक होते हैं,इसलिए आवर्धन $(m)$ हमेशा धनात्मक होता है।
इसके अतिरिक्त,उत्तल दर्पण के लिए प्रतिबिंब हमेशा छोटा होता है,जिसका अर्थ है कि प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार से कम होता है $(h' < h)$,इसलिए आवर्धन हमेशा $1$ से कम होता है $(m < 1)$।

(A) दर्पण सूत्र गोलीय दर्पण के लिए वस्तु दूरी $(u)$,प्रतिबिंब दूरी $(v)$ और फोकस दूरी $(f)$ के बीच संबंध को दर्शाता है।
यह इस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
यहाँ,$u$ ध्रुव से वस्तु की दूरी है,$v$ ध्रुव से प्रतिबिंब की दूरी है,और $f$ दर्पण की फोकस दूरी है।

(A) गोलीय दर्पण या लेंस द्वारा उत्पन्न आवर्धन $(m)$ को प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $m = \frac{h'}{h}$।
अतः,आवर्धन प्रतिबिंब की ऊँचाई और वस्तु की ऊँचाई का अनुपात है।

(D) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $(h_o)$ = $4 \, cm$,वस्तु की दूरी $(u)$ = $-12 \, cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
चूँकि प्रतिबिंब दर्पण के पीछे बनता है,यह एक आभासी प्रतिबिंब है। अतः,प्रतिबिंब की दूरी $(v)$ = $+24 \, cm$.
दर्पण का आवर्धन $(m)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{v}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{h_i}{4} = -\frac{24}{-12}$.
$\frac{h_i}{4} = 2$.
$h_i = 2 \times 4 = 8 \, cm$.
अतः,प्रतिबिंब की ऊँचाई $8 \, cm$ होगी।

(B) दिया गया है: फोकस दूरी $(f)$ = $-12 \ cm$ (अवतल दर्पण के लिए),वस्तु की दूरी $(u)$ = $-18 \ cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{-12} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-18}$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{18} - \frac{1}{12}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(36)$ लेने पर: $\frac{1}{v} = \frac{2 - 3}{36} = -\frac{1}{36}$.
अतः,$v = -36 \ cm$.
वक्रता केंद्र $(C)$ $2f = 2 \times 12 = 24 \ cm$ पर स्थित है।
चूंकि प्रतिबिंब की दूरी $(36 \ cm)$ वक्रता केंद्र $(24 \ cm)$ से अधिक है,इसलिए प्रतिबिंब वक्रता केंद्र से परे (दूर) बनेगा।

(D) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -10 \text{ cm}$ (अवतल दर्पण के लिए),वस्तु की दूरी $u = -20 \text{ cm}$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{-10} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-20}$।
हल करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = \frac{1 - 2}{20} = -\frac{1}{20}$।
अतः,$v = -20 \text{ cm}$।
चूंकि वस्तु $2f$ $(2 \times 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm})$ पर स्थित है,इसलिए प्रतिबिंब भी $2f$ यानी वक्रता केंद्र पर ही बनेगा।

(C) दिया गया है: फोकस दूरी $(f)$ = $-20 \text{ cm}$ (अवतल दर्पण के लिए),वस्तु दूरी $(u)$ = $-10 \text{ cm}$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{-20} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-10}$.
हल करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{2-1}{20} = \frac{1}{20}$.
अतः,$v = +20 \text{ cm}$.
चूंकि प्रतिबिंब दूरी $(v)$ धनात्मक है,प्रतिबिंब दर्पण के पीछे बनता है,जिसका अर्थ है कि यह आभासी है।
आवर्धन $(m)$ = $-\frac{v}{u} = -(\frac{20}{-10}) = +2$.
चूंकि $m$ धनात्मक है और $1$ से बड़ा है,इसलिए प्रतिबिंब आभासी और बड़ा (आवर्धित) है।

(D) आवर्धन $m$ प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है,अर्थात $m = h'/h$।
चूँकि $m$ का मान $+0.5$ है,धनात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब आभासी और सीधा है।
$0.5$ का परिमाण (जो $1$ से कम है) यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब छोटा है।
उत्तल दर्पण वस्तु की सभी स्थितियों के लिए हमेशा आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
इसलिए,एक उत्तल दर्पण $+0.5$ का आवर्धन उत्पन्न कर सकता है।