Electric potential Questions in Hindi

(C) एक आवेशित गोले की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ की गणना अनंत से छोटे आवेश तत्वों $dq$ को गोले की सतह पर लाने में किए गए कार्य पर विचार करके की जा सकती है।
वैकल्पिक रूप से,हम औसत विभव विधि का उपयोग कर सकते हैं।
प्रारंभ में,जब गोले पर कोई आवेश नहीं होता है,तो विभव $V_1 = 0$ होता है।
जब गोले पर कुल आवेश $Q$ होता है,तो विभव $V_2 = \frac{k Q}{R}$ होता है।
आवेशित करने की प्रक्रिया के दौरान औसत विभव $V = \frac{V_1 + V_2}{2} = \frac{0 + \frac{k Q}{R}}{2} = \frac{k Q}{2 R}$ होता है।
कुल स्थितिज ऊर्जा $U$ गोले को आवेशित करने के लिए किया गया कार्य है,जो $U = \int_0^Q V(q) dq = \int_0^Q \frac{k q}{R} dq = \frac{k}{R} \left[ \frac{q^2}{2} \right]_0^Q = \frac{1}{2} \frac{k Q^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) मान लीजिए कि रिंगों पर आवेश $Q_1 = 10 \text{ C}$ और $Q_2 = 5 \text{ C}$ हैं। केंद्रों $O$ और $O'$ के बीच की दूरी $R$ है।
पहली रिंग के केंद्र $O$ पर विभव उसके अपने आवेश $Q_1$ और दूसरी रिंग पर आवेश $Q_2$ के कारण है:
$V_O = \frac{k Q_1}{R} + \frac{k Q_2}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{k Q_1}{R} + \frac{k Q_2}{\sqrt{2}R} = \frac{k}{R} \left( Q_1 + \frac{Q_2}{\sqrt{2}} \right)$
दूसरी रिंग के केंद्र $O'$ पर विभव उसके अपने आवेश $Q_2$ और पहली रिंग पर आवेश $Q_1$ के कारण है:
$V_{O'} = \frac{k Q_2}{R} + \frac{k Q_1}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{k Q_2}{R} + \frac{k Q_1}{\sqrt{2}R} = \frac{k}{R} \left( Q_2 + \frac{Q_1}{\sqrt{2}} \right)$
विभवांतर $\Delta V = V_O - V_{O'}$ है:
$\Delta V = \frac{k}{R} \left( Q_1 + \frac{Q_2}{\sqrt{2}} - Q_2 - \frac{Q_1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{k}{R} \left( Q_1(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) - Q_2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) \right)$
$\Delta V = \frac{k}{R} (Q_1 - Q_2) \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$Q_1 = 10 \text{ C}$,$Q_2 = 5 \text{ C}$,और $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ रखने पर:
$W = q \Delta V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R} (10 - 5) \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{5 q}{4 \pi \varepsilon_0 R} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \text{ J}$.

(C) किसी पथ के अनुदिश विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ का रेखा समाकल दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V$ के रूप में परिभाषित होता है।
गणितीय रूप से,$V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{l}$ होता है।
विद्युत विभव $V$ का $SI$ मात्रक वोल्ट $(V)$ है,जिसे प्रति इकाई आवेश किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,$1 \ V = 1 \ J C^{-1}$ होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र के रेखा समाकल द्वारा प्राप्त भौतिक राशि का मात्रक $J C^{-1}$ (या वोल्ट) है।

(A) एक आवेशित खोखले धातु के गोले के लिए,गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है $(E = 0)$।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव का ऋणात्मक प्रवणता है $(E = -dV/dr)$,यदि $E = 0$ है,तो गोले के भीतर विभव $V$ स्थिर रहना चाहिए।
इसलिए,गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर,केंद्र सहित,विभव उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि सतह पर विभव $80 \ V$ है,इसलिए गोले के केंद्र पर विभव $80 \ V$ होगा।

(D) एक चालक गोले के लिए,सतह पर विद्युत विभव $V = \frac{kQ}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ कूलम्ब नियतांक है,$Q$ गोले पर आवेश है और $R$ गोले की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों गोले तांबे (एक चालक) से बने हैं और समान आकार के हैं,इसलिए उनकी त्रिज्या $R$ समान है।
यह दिया गया है कि दोनों गोलों को समान विभव $V$ पर आवेशित किया गया है,इसलिए $V_x = V_y = V$ है।
सूत्र $V = \frac{kQ}{R}$ का उपयोग करते हुए,हमें $V = \frac{kQ_x}{R}$ और $V = \frac{kQ_y}{R}$ प्राप्त होता है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $\frac{kQ_x}{R} = \frac{kQ_y}{R}$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $Q_x = Q_y$ है।
अतः,दोनों गोलों पर आवेश समान है,चाहे गोला खोखला हो या ठोस,क्योंकि चालक पर आवेश पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है।

(C) कोश $A$ की सतह पर विद्युत विभव तीनों कोशों $A$,$B$ और $C$ के कारण उत्पन्न विभव का योग है।
$V_A = V_a + V_b + V_c$
चूंकि कोश $A$ की सतह पर स्थित बिंदु कोश $B$ और $C$ के अंदर है,इसलिए इस बिंदु पर कोश $B$ और $C$ के कारण विभव उनकी सतह पर विभव के बराबर होता है।
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q_a}{a} + \frac{q_b}{b} + \frac{q_c}{c} \right]$
दिए गए पृष्ठीय आवेश घनत्व: $\sigma_a = \sigma$,$\sigma_b = -\sigma$,$\sigma_c = \sigma$ हैं।
आवेश $q_a = 4 \pi a^2 \sigma$,$q_b = 4 \pi b^2(-\sigma)$,और $q_c = 4 \pi c^2 \sigma$ हैं।
इन मानों को विभव के सूत्र में रखने पर:
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{4 \pi a^2 \sigma}{a} + \frac{4 \pi b^2(-\sigma)}{b} + \frac{4 \pi c^2 \sigma}{c} \right]$
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [4 \pi a \sigma - 4 \pi b \sigma + 4 \pi c \sigma]$
$V_A = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (a - b + c)$

(B) $q$ आवेश को विभवांतर $\Delta V$ वाले दो बिंदुओं के बीच ले जाने में किया गया कार्य $W$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = q \Delta V$।
यहाँ,$W = 20 \ J$,$q = 4 \ C$,प्रारंभिक विभव $V_i = 10 \ V$ और अंतिम विभव $V_f = V$ है।
विभवांतर $\Delta V = V_f - V_i = V - 10$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$20 = 4(V - 10)$
दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर:
$5 = V - 10$
दोनों पक्षों में $10$ जोड़ने पर:
$V = 15 \ V$।

(D) भुजा वाले घन के मुख्य विकर्ण की लंबाई $\sqrt{3} a$ होती है। घन के केंद्र $O$ से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $r$,मुख्य विकर्ण की आधी होती है: $r = \frac{\sqrt{3} a}{2}$।
चूंकि घन के शीर्षों पर $8$ समान आवेश $q$ स्थित हैं,इसलिए केंद्र $O$ पर कुल विद्युत विभव $V$ प्रत्येक आवेश के कारण उत्पन्न विभव का योग होगा:
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{r}$
$r$ का मान रखने पर:
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{\frac{\sqrt{3} a}{2}}$
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{2q}{\sqrt{3} a}$
$V = \frac{4 q}{\sqrt{3} \pi \varepsilon_0 a}$

(D) नाभिक की सतह पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र है: $V = \frac{k Q}{r}$.
यहाँ,$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$,$Q = Ze = 50 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $r = 9 \times 10^{-15} \ m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{(9 \times 10^9) \times (50 \times 1.6 \times 10^{-19})}{9 \times 10^{-15}}$
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 80 \times 10^{-10} \times 10^{15} \ V$
$V = 80 \times 10^5 \ V = 8 \times 10^6 \ V$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) एक समषट्भुज में,केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी षट्भुज की भुजा की लंबाई के बराबर होती है। दी गई भुजा की लंबाई $r = 9 \ cm = 0.09 \ m$ है।
प्रत्येक शीर्ष पर आवेश $q = 5 \mu C = 5 \times 10^{-6} \ C$ है।
$r$ दूरी पर स्थित एक आवेश $q$ के कारण केंद्र पर विद्युत विभव $V_i = \frac{kq}{r}$ होता है।
चूंकि शीर्षों पर $6$ समान आवेश हैं,इसलिए केंद्र पर कुल विद्युत विभव $V$ प्रत्येक आवेश के कारण विभव का योग होगा:
$V = 6 \times \frac{kq}{r}$
मान रखने पर:
$V = 6 \times \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-6}}{0.09}$
$V = 6 \times \frac{45 \times 10^3}{9 \times 10^{-2}}$
$V = 6 \times 5 \times 10^5$
$V = 30 \times 10^5 = 3 \times 10^6 \ V$.

(B) किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ को प्रति इकाई आवेश $q$ पर विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $V = \frac{U}{q}$
दिया गया है:
आवेश $q = 2 \mu C = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$
स्थितिज ऊर्जा $U = 3 \times 10^{-5} \text{ J}$
गणना:
$V = \frac{3 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-6}}$
$V = 1.5 \times 10^1$
$V = 15 \text{ V}$
अतः,उस बिंदु पर विद्युत विभव $15 \text{ V}$ है।

(C) धनात्मक आवेश $+q$ के लिए,$r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $V \propto \frac{1}{r}$,आवेश के करीब विभव अधिक होता है।
धनात्मक आवेश के लिए,बिंदु $Q$,बिंदु $P$ की तुलना में आवेश के अधिक करीब है,इसलिए $r_Q < r_P$। इसका अर्थ है $V_Q > V_P$,इसलिए $V_Q - V_P > 0$ (धनात्मक)।
ऋणात्मक आवेश $-q$ के लिए,विद्युत विभव $V = \frac{k(-q)}{r} = -\frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,आवेश के करीब विभव अधिक ऋणात्मक (कम) होता है।
ऋणात्मक आवेश के लिए,बिंदु $A$,बिंदु $B$ की तुलना में आवेश के अधिक करीब है,इसलिए $r_A < r_B$। इसका अर्थ है $V_A < V_B$ (क्योंकि $V_A$,$V_B$ से अधिक ऋणात्मक है)। इसलिए,$V_B - V_A > 0$ (धनात्मक)।
अतः,दोनों विभवांतर धनात्मक हैं।

(C) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q}{r}$
दी गई मान:
आवेश $q = 3 \text{ nC} = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$
दूरी $r = 9 \text{ cm} = 9 \times 10^{-2} \text{ m}$
कूलम्ब नियतांक $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \text{ N m}^2/\text{C}^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = (9 \times 10^{9}) \times \frac{3 \times 10^{-9}}{9 \times 10^{-2}}$
$V = \frac{9 \times 3 \times 10^{0}}{9 \times 10^{-2}}$
$V = 3 \times 10^{2} \text{ V} = 300 \text{ V}$
अतः, विद्युत विभव $300 \text{ V}$ है।

(C) $R = 10 \,cm$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाले एक गोलीय कोश के लिए:
$1$. कोश के अंदर $(r < R)$, विद्युत विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है: $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R}$.
$2$. कोश के बाहर $(r > R)$, विभव दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r}$.
दी गई दूरियाँ $r_{1} = 5 \,cm$, $r_{2} = 10 \,cm$ और $r_{3} = 15 \,cm$ हैं。
चूँकि $r_{1} < R$ और $r_{2} = R$, इसलिए $V_{1} = V_{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{10}$ होगा。
$r_{3} = 15 \,cm$ के लिए, $V_{3} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{15}$ होगा。
मानों की तुलना करने पर, चूँकि $15 > 10$, इसलिए $\frac{q}{15} < \frac{q}{10}$, अतः $V_{3} < V_{1} = V_{2}$।
इस प्रकार, सही संबंध $V_{1} = V_{2} > V_{3}$ है।

(A) बिंदु $B$ से बिंदु $A$ तक आवेश $q$ को ले जाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = q(V_A - V_B)$।
दिया गया है:
आवेश $q = 5 \ mC = 5 \times 10^{-3} \ C$।
$A$ पर विभव,$V_A = -3 \ V$।
$B$ पर विभव,$V_B = 5 \ V$।
मान रखने पर:
$W = 5 \times 10^{-3} \times (-3 - 5)$
$W = 5 \times 10^{-3} \times (-8)$
$W = -40 \times 10^{-3} \ J$
$W = -0.04 \ J$।

(A) बिंदु $A$ पर विद्युत विभव $V_A$ है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E$ एकसमान है और दाईं ओर निर्देशित है,इसलिए विद्युत क्षेत्र की दिशा में विभव घटता है।
$A$ और $B$ के बीच की क्षैतिज दूरी $x$ है। इसलिए,$A$ और $B$ के बीच विभवांतर $\Delta V = V_B - V_A = -E \cdot x$ है।
अतः,$B$ पर विभव $V_B = V_A - Ex$ होगा।
किसी बिंदु पर विभव $V$ वाले आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा $U = qV$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,बिंदु $B$ पर आवेश की स्थितिज ऊर्जा $U_B = q V_B = q(V_A - Ex)$ होगी।

(A) पहले गोले पर आवेश,$q_1 = 1.8 \mu C = 1.8 \times 10^{-6} \ C$.
दूसरे गोले पर आवेश,$q_2 = 2.8 \mu C = 2.8 \times 10^{-6} \ C$.
दोनों गोलों के बीच की दूरी,$r = 40 \ cm = 0.4 \ m$.
मध्य-बिंदु से प्रत्येक गोले की दूरी,$r_1 = r_2 = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
मध्य-बिंदु पर कुल विद्युत विभव $V$ दोनों आवेशों के कारण उत्पन्न विभव का बीजगणितीय योग है:
$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} \right)$
मान रखने पर,जहाँ $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ है:
$V = 9 \times 10^9 \times \left( \frac{1.8 \times 10^{-6}}{0.2} + \frac{2.8 \times 10^{-6}}{0.2} \right)$
$V = 9 \times 10^9 \times \frac{10^{-6}}{0.2} \times (1.8 + 2.8)$
$V = 9 \times 10^3 \times \frac{4.6}{0.2}$
$V = 9 \times 10^3 \times 23 = 207 \times 10^3 \ V = 2.07 \times 10^5 \ V$.
अतः,$V \approx 2.1 \times 10^5 \ V$.

(A) $R$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाले गोलाकार कोश के केंद्र पर विद्युत विभव $V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}$ होता है।
दो संकेंद्रीय गोलों के लिए,सामान्य केंद्र पर कुल विभव $V$ प्रत्येक गोले के कारण उत्पन्न विभव का योग है:
$V = V_{1} + V_{2} = \frac{q_{1}}{4 \pi \varepsilon_{0} R} + \frac{q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$.
दिया गया है कि पृष्ठीय आवेश घनत्व समान है,$\sigma = \frac{q_{1}}{4 \pi R^{2}} = \frac{q_{2}}{4 \pi r^{2}}$.
इसका अर्थ है $q_{1} = 4 \pi R^{2} \sigma$ और $q_{2} = 4 \pi r^{2} \sigma$.
इन मानों को विभव के समीकरण में रखने पर:
$V = \frac{4 \pi R^{2} \sigma}{4 \pi \varepsilon_{0} R} + \frac{4 \pi r^{2} \sigma}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$.
$V = \frac{R \sigma}{\varepsilon_{0}} + \frac{r \sigma}{\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}(R + r)$.

(A) छोटे गोले (त्रिज्या $r$,आवेश $q$) का विभव $V_{1}$ उसके अपने आवेश और बाहरी गोले (त्रिज्या $R$,आवेश $Q$) के कारण उत्पन्न विभव का योग है।
$V_{1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R}$
बड़े गोले (त्रिज्या $R$,आवेश $Q$) का विभव $V_{2}$ उसके अपने आवेश और आंतरिक गोले के कारण उत्पन्न विभव (जो इसके बाहर के बिंदुओं के लिए केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश की तरह कार्य करता है) का योग है।
$V_{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R}$
गोलों के बीच विभवांतर $V = V_{1} - V_{2}$ है।
$V = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} \right) - \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R}$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{r} - \frac{q}{R} \right)$

(C) माना कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और उसका आवेश $q$ है। छोटी बूंद का विभव $V' = \frac{kq}{r}$ है।
जब $8$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाली एक बड़ी बूंद बनाती हैं, तो आयतन स्थिर रहता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$, जिससे $R = 2r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद का कुल आवेश $Q = 8q$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(8q)}{2r} = 4 \left( \frac{kq}{r} \right) = 4V'$ होता है।
दिया गया है कि $V = 20 \,V$, इसलिए $20 = 4V'$।
अतः, $V' = \frac{20}{4} = 5 \,V$ प्राप्त होता है।

(D) माना $n = 27$ छोटी बूंदों की संख्या है।
प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r = 10^{-3} \,m$ है।
प्रत्येक छोटी बूंद पर आवेश $q = 10^{-12} \,C$ है।
बड़ी बूंद का आयतन $27$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
अतः, $R^3 = 27 r^3$, जिसका अर्थ है $R = 3r = 3 \times 10^{-3} \,m$.
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = n \times q = 27 \times 10^{-12} \,C$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V = \frac{kQ}{R}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $k = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{9 \times 10^9 \times 27 \times 10^{-12}}{3 \times 10^{-3}}$.
$V = \frac{9 \times 27 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}} = 3 \times 27 = 81 \,V$.

(C) स्थिर वैद्युत क्षेत्र में एक आवेश $Q$ को बिंदु $C$ से बिंदु $D$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = Q(V_D - V_C)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_C$ और $V_D$ क्रमशः बिंदु $C$ और $D$ पर विद्युत विभव हैं।
किसी भी बिंदु पर विभव $A$ $(+q)$ और $B$ $(-q)$ पर स्थित आवेशों के कारण होता है।
दूरी $AB = 2d$,$BC = d$,$BD = d$ है। अतः,$AC = AB - BC = 2d - d = d$ है।
$C$ पर विभव $(V_C)$:
$V_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AC} + \frac{-q}{BC} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{d} - \frac{q}{d} \right) = 0$.
$D$ पर विभव $(V_D)$:
$V_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AD} + \frac{-q}{BD} \right)$ है।
चूँकि $AD = AB + BD = 2d + d = 3d$ और $BD = d$ है,
$V_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{3d} - \frac{q}{d} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q - 3q}{3d} \right) = \frac{-2q}{12 \pi \varepsilon_0 d} = \frac{-q}{6 \pi \varepsilon_0 d}$ है।
किया गया कार्य $W = Q(V_D - V_C) = Q \left( \frac{-q}{6 \pi \varepsilon_0 d} - 0 \right) = \frac{-qQ}{6 \pi \varepsilon_0 d}$ है।

(C) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$ है।
दिया गया आवेश $q = 10^{-3} \mu C = 10^{-9} \ C$ है।
बिंदु $A$ $(\sqrt{2} m, \sqrt{2} m)$ के लिए,दूरी $r_A = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = 2 \ m$ है।
$A$ पर विभव $V_A = \frac{kq}{r_A} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-9}}{2} = 4.5 \ V$ है।
बिंदु $B$ $(2 m, 0 m)$ के लिए,दूरी $r_B = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2 \ m$ है।
$B$ पर विभव $V_B = \frac{kq}{r_B} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-9}}{2} = 4.5 \ V$ है।
$A$ और $B$ के बीच विभवांतर $V_A - V_B = 4.5 \ V - 4.5 \ V = 0 \ V$ है।

(B) वर्ग की भुजा $a = \sqrt{2} \text{ m}$ है। वर्ग का विकर्ण $d = a\sqrt{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \text{ m}$ है।
वर्ग के केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $r = d/2 = 2/2 = 1 \text{ m}$ है।
बिंदु आवेश $q$ के कारण केंद्र पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ है।
केंद्र पर कुल विभव व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है: $V_{net} = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $V_{net} = \frac{9 \times 10^9}{1} \times (12 - 20 + 32 - 15) \times 10^{-9} \text{ V}$.
$V_{net} = 9 \times (9) \text{ V} = 81 \text{ V}$.

(A) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ आवेशों के सभी अद्वितीय युग्मों की स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
तीन आवेशों $q_1, q_2, q_3$ के लिए जो $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ दूरियों पर स्थित हैं,स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$ है।
यहाँ,$q_1 = q_2 = q_3 = q$ और $r_{12} = r_{23} = r_{31} = L$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q^2}{L} + \frac{q^2}{L} + \frac{q^2}{L} \right)$
$U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{3 q^2}{L}$

(C) $1 \text{ m}$ भुजा वाले वर्ग के कोनों पर दिए गए आवेश:
$q_1 = +1 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_2 = -2 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_3 = +3 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_4 = +2 \times 10^{-8} \text{ C}$
प्रत्येक कोने से वर्ग के केंद्र तक की दूरी $r$, विकर्ण की लंबाई की आधी है:
$r = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ m}$
केंद्र पर कुल विद्युत विभव $V$, प्रत्येक आवेश के कारण विभव का बीजगणितीय योग है:
$V = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$
मान रखने पर:
$V = \frac{9 \times 10^9}{1/\sqrt{2}} (1 - 2 + 3 + 2) \times 10^{-8}$
$V = 9 \sqrt{2} \times 10 \times (4) = 36 \sqrt{2} \times 10 \approx 509.04 \text{ V}$
अतः, निकटतम विकल्प $510 \text{ V}$ है।

(C) माना प्रत्येक छोटे गोले की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक पर आवेश $q$ है। प्रत्येक छोटे गोले पर विभव $V_s = \frac{kq}{r} = 60 \text{ mV} = 0.06 \text{ V}$ है।
जब $125$ छोटे गोले मिलकर $R$ त्रिज्या का एक बड़ा गोला बनाते हैं, तो आयतन संरक्षित रहता है:
$125 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3 \Rightarrow R^3 = 125 r^3 \Rightarrow R = 5r$.
बड़े गोले पर कुल आवेश $Q = 125q$ है।
बड़े गोले पर विभव $V_B = \frac{kQ}{R} = \frac{k(125q)}{5r} = 25 \times (\frac{kq}{r})$ है।
$V_s$ का मान रखने पर: $V_B = 25 \times 0.06 \text{ V} = 1.5 \text{ V}$.

(B) $+q$ के कारण बिंदु $A$ पर विभव $V_{A(+q)} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{x}$ है और $-q$ के कारण $V_{A(-q)} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{-q}{x+y}$ है।
अतः,$V_A = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+y} \right) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{y}{x(x+y)} \right)$.
इसी प्रकार,बिंदु $B$ पर विभव $V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{x+y} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{-q}{x} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{x+y} - \frac{1}{x} \right) = -V_A$.
इसलिए,$V_A - V_B = V_A - (-V_A) = 2V_A = 2 \times \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{y}{x(x+y)} \right)$.
यहाँ $q = 10^{-6} \text{ C}$,$x = 0.02 \text{ m}$,$y = 0.03 \text{ m}$,और $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2$ दिया गया है।
$V_A - V_B = 2 \times 9 \times 10^9 \times 10^{-6} \times \frac{0.03}{0.02(0.02+0.03)} = 18 \times 10^3 \times \frac{0.03}{0.02 \times 0.05} = 18 \times 10^3 \times \frac{0.03}{0.001} = 18 \times 10^3 \times 30 = 5.4 \times 10^5 \text{ V}$.

(A) भुजा वाले वर्ग के केंद्र पर $4$ कोनों पर $q$ आवेश होने पर विद्युत विभव $V = 4 \times \frac{Kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ केंद्र से किसी भी कोने की दूरी है।
$a$ भुजा वाले वर्ग के लिए,विकर्ण $a\sqrt{2}$ होता है,इसलिए केंद्र से कोने की दूरी $r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ होती है।
पहले वर्ग के लिए,$a_1 = 1 \ m$,इसलिए $r_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \ m$. विभव $V_1 = 4 \times \frac{K \times 2}{1/\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}K$ है।
दूसरे वर्ग के लिए,$a_2 = 2 \ m$,इसलिए $r_2 = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ m$. विभव $V_2 = 4 \times \frac{K \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{8K}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}K$ है।
अतः,अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = \frac{4\sqrt{2}K}{8\sqrt{2}K} = \frac{1}{2}$ है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$ है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है और इसकी भुजा $a = 0.2 \ m$ है,इसलिए कोनों $A$ और $B$ से कोने $C$ की दूरी $r = 0.2 \ m$ है।
कोने $C$ पर कुल विभव $A$ और $B$ पर स्थित आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है: $V_C = V_A + V_B$.
$V_C = \frac{k q_A}{r} + \frac{k q_B}{r} = \frac{k}{r} (q_A + q_B)$.
मान रखने पर: $V_C = \frac{9 \times 10^9}{0.2} (8 \times 10^{-6} + 8 \times 10^{-6}) \ V$.
$V_C = \frac{9 \times 10^9}{0.2} (16 \times 10^{-6}) \ V$.
$V_C = 9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-6} \ V$.
$V_C = 720 \times 10^3 \ V = 7.2 \times 10^5 \ V$.

(C) किसी आवेश $q$ को अनंत से आवेश $Q$ से $r$ दूरी तक लाने में किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i$।
चूंकि प्रारंभिक दूरी $r_i = \infty$ है,इसलिए प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = 0$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{kQq}{r_f}$ है।
दिया गया है:
$q = 6 \times 10^{-6} \ C$
$Q = 30 \times 10^{-6} \ C$
$r_f = 0.75 \ m$
$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$
मान रखने पर:
$W = \frac{(9 \times 10^9) \times (30 \times 10^{-6}) \times (6 \times 10^{-6})}{0.75}$
$W = \frac{9 \times 30 \times 6 \times 10^{-3}}{0.75}$
$W = \frac{1620 \times 10^{-3}}{0.75} = \frac{1.62}{0.75} = 2.16 \ J$.

(A) दिया गया है कि बिंदु आवेश $a = 2.8 \,m$ भुजा वाले वर्ग के शीर्षों पर रखे गए हैं। मान लीजिए कि $r$ केंद्र $O$ से प्रत्येक कोने की दूरी है।
वर्ग का विकर्ण $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ है。
केंद्र से प्रत्येक कोने की दूरी $r$,विकर्ण की आधी है:
$r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{2.8}{\sqrt{2}} \,m$.
बिंदु आवेश $q$ के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{Kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$ है。
सभी चार आवेशों $q_1, q_2, q_3$ और $q_4$ के कारण केंद्र $O$ पर कुल विद्युत विभव $V_0$ है:
$V_0 = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = \frac{K}{r}(q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$.
दिए गए आवेश: $q_1 = +20 \,nC$,$q_2 = +40 \,nC$,$q_3 = -34 \,nC$,$q_4 = +16 \,nC$.
आवेशों का योग: $\sum q = (20 + 40 - 34 + 16) \,nC = 42 \,nC = 42 \times 10^{-9} \,C$.
मान रखने पर:
$V_0 = \frac{9 \times 10^9 \times 42 \times 10^{-9}}{2.8 / \sqrt{2}} = \frac{9 \times 42 \times \sqrt{2}}{2.8} = \frac{378 \times 1.414}{2.8} = 135 \times 1.414 = 190.89 \,V$.

(B) दिया गया है कि दो आवेश $q_1 = 20 \mu C$ और $q_2 = 10 \mu C$ एक दूसरे से $d = 50 \ m$ की दूरी पर हैं।
अनंत से मध्य बिंदु $M$ तक एक इकाई धनात्मक आवेश $q = 1 \ C$ को लाने में किया गया कार्य $W = qV$ है,जहाँ $V$ बिंदु $M$ पर विद्युत विभव है।
आवेशों $q_1$ और $q_2$ के कारण $M$ पर विभव $V = \frac{K q_1}{(d/2)} + \frac{K q_2}{(d/2)} = \frac{2K}{d} (q_1 + q_2)$ है।
मान रखने पर:
$W = 1 \times \frac{2 \times (9 \times 10^9)}{50} \times (20 + 10) \times 10^{-6} \ J$
$W = \frac{18 \times 10^9}{50} \times 30 \times 10^{-6} \ J$
$W = \frac{540 \times 10^3}{50} \ J = 10.8 \times 10^3 \ J$.

(D) गोले की सतह पर विद्युत विभव $V = k \frac{Q}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$ है।
दिया गया है $V = 200 \,V$ और $R = 5 \,cm = 0.05 \,m$।
$200 = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.05} \implies Q = \frac{200 \times 0.05}{9 \times 10^9} = \frac{10}{9} \times 10^{-9} \,C$।
गोले के केंद्र से $r$ दूरी पर विभव $V(r) = k \frac{Q}{r}$ होता है।
बिंदु $A$ पर विभव $(r_A = 15 \,cm = 0.15 \,m)$: $V_A = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.15} = \frac{9 \times 10^9}{0.15} \times \frac{10}{9} \times 10^{-9} = \frac{10}{0.15} = 66.67 \,V$।
बिंदु $B$ पर विभव $(r_B = 10 \,cm = 0.10 \,m)$: $V_B = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.10} = \frac{9 \times 10^9}{0.10} \times \frac{10}{9} \times 10^{-9} = \frac{10}{0.10} = 100 \,V$।
$q = 5 \,C$ आवेश को $A$ से $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ है।
$W = 5 \times (100 - 66.67) = 5 \times 33.33 = 166.65 \,J \approx 166.7 \,J$।

(C) गोलीय चालक पर आवेश $q = +1 \,nC = 10^{-9} \,C$ है।
गोलीय चालक के केंद्र से बिंदु की दूरी $r = 0.5 \,m$ है।
बिंदु आवेश (या गोलीय चालक के बाहर) से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$V = (9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2) \times \frac{10^{-9} \,C}{0.5 \,m}$.
$V = 9 \times \frac{1}{0.5} \,V$.
$V = 9 \times 2 \,V = 18 \,V$.
अतः,विद्युत विभव $+18 \,V$ है।

(D) दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V$ को आवेश को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में प्रति इकाई आवेश किए गए कार्य $W$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $V = \frac{W}{q}$
दी गई मान:
आवेश,$q = 20 C$
किया गया कार्य,$W = 2 J$
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \frac{2 J}{20 C} = 0.1 V$
अतः,दोनों बिंदुओं के बीच विभवांतर $0.1 V$ है।

(C) एकसमान विद्युत क्षेत्र में दो बिंदुओं के बीच विभवांतर का सूत्र $\Delta V = -\vec{E} \cdot \vec{d}$ होता है,जहाँ $\vec{d}$ प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
$V_A - V_B$ विभवांतर के लिए,विस्थापन सदिश $\vec{BA}$ है।
विस्थापन का परिमाण $d = |\vec{BA}| = 2 \ m$ है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विस्थापन सदिश $\vec{BA}$ के बीच का कोण $\theta = 60^\circ$ है (क्योंकि यह एक समबाहु त्रिभुज है)।
अतः,$V_A - V_B = -E d \cos(\theta)$.
दिए गए मानों को रखने पर: $V_A - V_B = -(10 \ N \ C^{-1}) \times (2 \ m) \times \cos(60^\circ)$.
$V_A - V_B = -20 \times 0.5 = -10 \ V$.

(B) $10 \,cm$ त्रिज्या वाले एक आवेशित गोलीय चालक के लिए, चालक के अंदर (किसी भी दूरी $r < R$ पर) विभव स्थिर रहता है और सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
दिया गया है कि $r = 5 \,cm$ पर विभव $V$ है, इसलिए सतह पर $(r = 10 \,cm)$ भी विभव $V$ होगा।
केंद्र से $r > R$ दूरी पर विभव का सूत्र $V(r) = \frac{kQ}{r}$ है, जहाँ $kQ$ सतह पर विभव और त्रिज्या का गुणनफल $(V \times R)$ है।
अतः, $V(r) = \frac{V \times R}{r}$।
मान $R = 10 \,cm$ और $r = 15 \,cm$ रखने पर:
$V(15) = \frac{V \times 10}{15} = \frac{2}{3} V$।

(A) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ है।
बिंदु $A$ के लिए, $+q$ से दूरी $x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ है और $-q$ से दूरी $(x+y) = 2+3 = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ है।
$V_A = \frac{kq}{x} + \frac{k(-q)}{x+y} = kq \left( \frac{1}{0.02} - \frac{1}{0.05} \right) = (9 \times 10^9)(10^{-6}) (50 - 20) = 9 \times 10^3 \times 30 = 2.7 \times 10^5 \text{ V}$.
बिंदु $B$ के लिए, $+q$ से दूरी $(x+y) = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ है और $-q$ से दूरी $x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ है।
$V_B = \frac{kq}{x+y} + \frac{k(-q)}{x} = kq \left( \frac{1}{0.05} - \frac{1}{0.02} \right) = (9 \times 10^9)(10^{-6}) (20 - 50) = 9 \times 10^3 \times (-30) = -2.7 \times 10^5 \text{ V}$.
विभवांतर $V_A - V_B = 2.7 \times 10^5 - (-2.7 \times 10^5) = 5.4 \times 10^5 \text{ V}$ है।

(C) दिया गया है, समषट्भुज की भुजा की लंबाई $r = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$ है।
एक समषट्भुज में, प्रत्येक शीर्ष से केंद्र तक की दूरी उसकी भुजा की लंबाई के बराबर होती है। अतः, $r = 5 \times 10^{-2} \, m$ है।
प्रत्येक शीर्ष पर आवेश $q = 10 \, \mu C = 10 \times 10^{-6} \, C = 10^{-5} \, C$ है।
$r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ है।
एक आवेश के कारण केंद्र पर विभव:
$V_1 = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5}}{5 \times 10^{-2}} = \frac{9}{5} \times 10^6 = 1.8 \times 10^6 \, V$ है।
चूंकि षट्भुज में $6$ समान आवेश केंद्र से समान दूरी पर स्थित हैं, इसलिए कुल विभव $V_{\text{total}}$ होगा:
$V_{\text{total}} = 6 \times V_1 = 6 \times 1.8 \times 10^6 \, V = 10.8 \times 10^6 \, V = 1.08 \times 10^7 \, V$.

(C) गोलाकार खोल का विभव $V = 15 \times 10^6 \,V$ दिया गया है।
आसपास के माध्यम की परावैद्युत सामर्थ्य, जो अधिकतम विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ को दर्शाती है जिसे माध्यम ब्रेकडाउन से पहले सहन कर सकता है, $E = 5 \times 10^7 \,V/m$ है।
$r$ त्रिज्या वाले गोलाकार खोल के लिए, विभव और उसकी सतह पर विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध $V = E \times r$ होता है।
इसलिए, आवश्यक न्यूनतम त्रिज्या $r = \frac{V}{E}$ होगी।
दिए गए मानों को रखने पर: $r = \frac{15 \times 10^6 \,V}{5 \times 10^7 \,V/m} = 0.3 \,m$।
खोल का व्यास $d = 2r = 2 \times 0.3 \,m = 0.6 \,m$ है।
सेंटीमीटर में बदलने पर, $d = 0.6 \times 100 \,cm = 60 \,cm$ प्राप्त होता है।

(D) कोशों पर आवेश $q_A = \sigma(4\pi a^2)$,$q_B = -\sigma(4\pi b^2)$ और $q_C = \sigma(4\pi c^2)$ हैं।
कोश $A$ की सतह पर विभव $V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{a} + \frac{q_B}{b} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [a - b + c]$ है।
कोश $C$ की सतह पर विभव $V_C = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{c} + \frac{q_B}{c} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0 c} [a^2 - b^2 + c^2]$ है।
चूंकि $V_A = V_C$ दिया गया है,हम समीकरणों की तुलना करते हैं: $a - b + c = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{c}$.
$c(a - b + c) = a^2 - b^2 + c^2 \implies ac - bc + c^2 = a^2 - b^2 + c^2$.
$ac - bc = a^2 - b^2 \implies c(a - b) = (a - b)(a + b)$.
चूंकि $a \neq b$,$(a - b)$ से विभाजित करने पर $c = a + b$ प्राप्त होता है।
$a = 7 \ cm$ और $b = 17 \ cm$ दिए गए हैं,इसलिए $c = 7 + 17 = 24 \ cm$ है।

(B) $R$ त्रिज्या वाले एक चालक गोले का विभव $V$, जिस पर $q$ आवेश है, $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V = 10 \,V$, $R_1 = 0.09 \,m$ और $R_2 = 0.01 \,m$ दिया गया है।
गोलों पर आवेश $q_1 = 4\pi\epsilon_0 R_1 V$ और $q_2 = 4\pi\epsilon_0 R_2 V$ हैं।
मान रखने पर, $q_1 = \frac{0.09 \times 10}{9 \times 10^9} = 10^{-10} \,C$ और $q_2 = \frac{0.01 \times 10}{9 \times 10^9} = \frac{1}{9} \times 10^{-10} \,C$ प्राप्त होता है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 0.2 \,m$ है।
प्रतिकर्षण बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2} = (9 \times 10^9) \times \frac{10^{-10} \times (1/9) \times 10^{-10}}{(0.2)^2}$.
$F = \frac{10^{-11}}{0.04} = \frac{10^{-11}}{4 \times 10^{-2}} = 0.25 \times 10^{-9} \,N = \frac{10^{-9}}{4} \,N$.

(A) एक आवेशित धातु के गोले का विभव $V$, सूत्र $V = \frac{k q}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ कूलम्ब नियतांक है, $q$ आवेश है और $r$ गोले की त्रिज्या है.
दिया गया है: व्यास $d = 18 \, cm$, इसलिए त्रिज्या $r = 9 \, cm = 9 \times 10^{-2} \, m$.
विभव $V = 25 \, kV = 25 \times 10^3 \, V$.
आवेश $q$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $q = \frac{V \cdot r}{k}$.
मान रखने पर: $q = \frac{25 \times 10^3 \times 9 \times 10^{-2}}{9 \times 10^9}$.
$q = \frac{25 \times 10^1}{10^9} = 25 \times 10^{-8} \, C$.
माइक्रोकूलम्ब में बदलने पर: $q = 0.25 \times 10^{-6} \, C = 0.25 \, \mu C$.

(A) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बिंदु $A, B$ और $C$ एक अर्धवृत्त पर स्थित हैं और आवेश $q$ इसके केंद्र पर है,इसलिए ये सभी बिंदु आवेश $q$ से समान दूरी ($r$ यानी अर्धवृत्त की त्रिज्या) पर हैं।
अतः,बिंदु $A, B$ और $C$ पर विद्युत विभव समान है,यानी $V_A = V_B = V_C = V$ है।
किसी आवेश $q_0$ को बिंदु $P$ से बिंदु $X$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q_0(V_X - V_P)$ होता है।
इस प्रकार,आवेश को $A, B$ और $C$ बिंदुओं तक ले जाने के लिए किया गया कार्य है:
$W_A = q_0(V_A - V_P) = q_0(V - V_P)$
$W_B = q_0(V_B - V_P) = q_0(V - V_P)$
$W_C = q_0(V_C - V_P) = q_0(V - V_P)$
चूंकि $V_A = V_B = V_C$ है,इसलिए $W_A = W_B = W_C$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $P$ आवेश $q$ से अर्धवृत्त पर स्थित बिंदुओं की तुलना में अलग दूरी पर है,इसलिए $V_P \neq V$,अतः $W_A = W_B = W_C \neq 0$ होगा।

(A) एक बल $\vec{F}$ द्वारा विस्थापन $d\vec{r}$ पर किया गया कार्य $W$,अदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$।
जब एक बिंदु आवेश दूसरे आवेश के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ में गति करता है,तो स्थिर-विद्युत बल हमेशा त्रिज्यीय दिशा (केंद्र की ओर या केंद्र से दूर) में होता है,जबकि विस्थापन सदिश हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
चूंकि त्रिज्यीय बल और स्पर्शरेखीय विस्थापन के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए अदिश गुणनफल $\vec{F} \cdot d\vec{r} = F dr \cos 90^{\circ} = 0$ होता है।
अतः,किया गया कार्य शून्य है। कथन और कारण दोनों सत्य हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या करता है।

(C) बिंदु आवेशों के एक निकाय को व्यवस्थित करने के लिए किया गया कार्य निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है।
तीन आवेशों $q_1, q_2,$ और $q_3$ के निकाय के लिए,जो एक-दूसरे से $r_{12}, r_{23},$ और $r_{13}$ दूरी पर स्थित हैं,स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार दी जाती है:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} \right)$
दिए गए आवेश $q_1 = -q$,$q_2 = +q$,और $q_3 = -2q$ हैं और प्रत्येक जोड़ी के बीच की दूरी $a$ है:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(q)(-2q)}{a} + \frac{(-q)(-2q)}{a} \right)$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 a} (-q^2 - 2q^2 + 2q^2)$
$U = \frac{-q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a}$

(C) बिंदु $B$ से बिंदु $C$ तक एक आवेश $q$ को ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_C - V_B)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_C$ और $V_B$ क्रमशः बिंदु $C$ और $B$ पर विद्युत विभव हैं।
किसी भी बिंदु पर विभव तीन आवेशों के कारण विभव का योग है: एक $O$ पर $(q)$,एक $A$ पर $(q)$,और एक $B$ पर $(q)$।
बिंदु $B$ पर विभव $(V_B)$: $O$ से $B$ की दूरी $R$ है,$A$ से $B$ की दूरी $2R$ है,और $B$ पर स्थित आवेश वह है जिसे स्थानांतरित किया जा रहा है,इसलिए हम अन्य दो आवेशों के कारण विभव पर विचार करते हैं: $V_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{R} + \frac{q}{2R} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{3q}{2R}$.
बिंदु $C$ पर विभव $(V_C)$: $O$ से $C$ की दूरी $R$ है,$A$ से $C$ की दूरी $\sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ है,और $B$ से $C$ की दूरी $R\sqrt{2}$ है। $C$ पर स्थित आवेश वह है जिसे स्थानांतरित किया जा रहा है,इसलिए हम अन्य दो आवेशों के कारण विभव पर विचार करते हैं: $V_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{R} + \frac{q}{R\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
किया गया कार्य $W = q(V_C - V_B) = q \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{q}{R} (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{3q}{2R} \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left[ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} - 1.5 \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} - 0.5 \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left( \frac{\sqrt{2}-1}{2} \right)$.

(D) माना $n = 729$ छोटे गोलों की संख्या है,जिनकी त्रिज्या $r$ और विभव $V_s = 3 \ V$ है।
छोटे गोले का विभव $V_s = \frac{k q}{r} = 3 \ V$ द्वारा दिया जाता है।
जब $n$ छोटे गोले मिलकर $R$ त्रिज्या का एक बड़ा गोला बनाते हैं,तो कुल आवेश $Q = nq$ होता है और आयतन संरक्षित रहता है।
बड़े गोले का आयतन = $n \times$ छोटे गोले का आयतन $\implies \frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
अतः,$R^3 = n r^3$,जिसका अर्थ है $R = n^{1/3} r$.
$n = 729$ के लिए,$R = (729)^{1/3} r = 9r$.
बड़े गोले का विभव $V_B = \frac{k Q}{R} = \frac{k (nq)}{n^{1/3} r} = n^{2/3} \times \frac{k q}{r} = n^{2/3} V_s$ होता है।
मान रखने पर: $V_B = (729)^{2/3} \times 3 \ V = (9^3)^{2/3} \times 3 \ V = 9^2 \times 3 \ V = 81 \times 3 \ V = 243 \ V$.

(A) एक खोखले चालक गोले के लिए,विद्युत आवेश पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है।
गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य $(E = 0)$ होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव का ऋणात्मक प्रवणता $(E = -\frac{dV}{dr})$ होता है,यदि $E = 0$ है,तो गोले के अंदर विभव $V$ स्थिर रहता है।
इसलिए,गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर विभव उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि सतह पर विभव $V$ है,इसलिए केंद्र से $\frac{R}{3}$ की दूरी पर (जो गोले के अंदर है) विभव भी $V$ ही होगा।