Electric potential Questions in Hindi

(N/A) सतत आवेश वितरण के लिए,स्थिति सदिश $\vec{r}$ वाले बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V$ को सूक्ष्म आवेश तत्वों $dq$ से प्राप्त विभव के समाकलन द्वारा दिया जाता है।
$1$. रेखीय आवेश वितरण के लिए:
$V = k \int_{L} \frac{\lambda dl}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$
जहाँ $\lambda$ रेखीय आवेश घनत्व है,$dl$ लंबाई का तत्व है,और $\vec{r}'$ आवेश तत्व का स्थिति सदिश है।
$2$. पृष्ठीय आवेश वितरण के लिए:
$V = k \int_{S} \frac{\sigma dS}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$
जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है और $dS$ क्षेत्रफल का तत्व है।
$3$. आयतन आवेश वितरण के लिए:
$V = k \int_{V} \frac{\rho dV}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$
जहाँ $\rho$ आयतन आवेश घनत्व है और $dV$ आयतन का तत्व है।
सभी व्यंजकों में,$k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ कूलम्ब नियतांक है।

(N/A) $R$ त्रिज्या और $q$ कुल आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के लिए,विद्युत विभव $V$ को इस प्रकार निर्धारित किया जाता है:
$1$. कोश के बाहर $(r > R)$: विभव केंद्र पर केंद्रित बिंदु आवेश के विभव के बराबर होता है: $V = \frac{kq}{r}$.
$2$. कोश की सतह पर $(r = R)$: विभव $V = \frac{kq}{R}$ होता है।
$3$. कोश के अंदर $(r < R)$: चूंकि आवेशित गोलीय कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,इसलिए विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है: $V = \frac{kq}{R}$.
अतः,व्यंजक इस प्रकार हैं:
$r \geq R$ के लिए $V = \frac{kq}{r}$
$r < R$ के लिए $V = \frac{kq}{R}$

(N/A) $R$ त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के लिए:
$1$. कोश के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,इसलिए विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है: $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$।
$2$. सतह पर $(r = R)$,विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ होता है।
$3$. कोश के बाहर $(r > R)$,कोश केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है,इसलिए विभव $V \propto \frac{1}{r}$ के अनुसार बदलता है,अर्थात $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$।
ग्राफ $r \leq R$ के लिए एक स्थिर विभव रेखा और $r > R$ के लिए एक अतिपरवलयिक (hyperbolic) क्षय वक्र को दर्शाता है।

(N/A) किसी बिंदु पर $n$ बिंदु आवेशों $q_1, q_2, ..., q_n$ के कारण,जो उस बिंदु से $r_1, r_2, ..., r_n$ दूरी पर स्थित हैं,कुल विद्युत विभव $V$ प्रत्येक आवेश के कारण उत्पन्न विभवों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।
समीकरण इस प्रकार है:
$V = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$
जहाँ:
$V$ कुल विद्युत विभव है।
$\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता (permittivity) है।
$q_i$ $i$-वाँ आवेश है।
$r_i$ उस बिंदु से $i$-वें आवेश की दूरी है जहाँ विभव की गणना की जानी है।

(N/A) आयतन $V'$ में आवेश घनत्व $\rho$ वाले आयतन आवेश वितरण के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V$ को निम्नलिखित समाकल समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{V'} \frac{\rho(r') \, dV'}{|r - r'|}$
जहाँ:
$1. \epsilon_0$ मुक्त आकाश की विद्युतशीलता (permittivity) है।
$2. \rho(r')$ स्थिति सदिश $r'$ पर आयतन आवेश घनत्व है।
$3. dV'$ सूक्ष्म आयतन अवयव है।
$4. |r - r'|$ प्रेक्षण बिंदु $r$ और स्रोत बिंदु $r'$ के बीच की दूरी है।

(N/A) $R$ त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के लिए:
$1$. कोश के बाहर $(r \ge R)$: विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. कोश के भीतर $(r < R)$: आवेशित गोलीय कोश के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। इसलिए,विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है। विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।

(A) $R$ त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के लिए:
$1$. कोश के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र $E = 0$ होता है। इसलिए,विभव $V$ स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है,यानी $V = kQ/R$.
$2$. कोश के बाहर $(r \ge R)$,कोश केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है। इसलिए,विभव $V = kQ/r$ होता है,जिसका अर्थ है कि $V \propto 1/r$.
$3$. $V$ बनाम $r$ का ग्राफ $r = 0$ से $r = R$ तक $V = kQ/R$ मान पर एक क्षैतिज रेखा के रूप में शुरू होता है,और उसके बाद $r > R$ के लिए अतिपरवलयिक (hyperbolic) गिरावट का अनुसरण करता है।

(N/A) मान लीजिए कि तीन आवेश $q_{1}, q_{2}$ और $q_{3}$ को अनंत से क्रमशः $P_{1}, P_{2}$ और $P_{3}$ स्थितियों पर लाया जाता है।
$1$. आवेश $q_{1}$ को $P_{1}$ तक लाने में किया गया कार्य:
चूंकि कोई बाहरी विद्युत क्षेत्र नहीं है,इसलिए किया गया कार्य $W_{1} = 0$ है।
$2$. आवेश $q_{2}$ को $P_{2}$ तक लाने में किया गया कार्य:
$q_{1}$ के कारण $P_{2}$ पर विद्युत विभव $V_{1} = \frac{k q_{1}}{r_{12}}$ है।
अतः,किया गया कार्य $W_{2} = V_{1} \times q_{2} = \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{12}}$ है।
$3$. आवेश $q_{3}$ को $P_{3}$ तक लाने में किया गया कार्य:
$q_{1}$ और $q_{2}$ के कारण $P_{3}$ पर विद्युत विभव $V_{2} = \frac{k q_{1}}{r_{13}} + \frac{k q_{2}}{r_{23}}$ है।
अतः,किया गया कार्य $W_{3} = V_{2} \times q_{3} = k \left[ \frac{q_{1} q_{3}}{r_{13}} + \frac{q_{2} q_{3}}{r_{23}} \right]$ है।
$4$. कुल स्थितिज ऊर्जा $(U)$:
निकाय की कुल स्थितिज ऊर्जा किए गए कार्य का योग है:
$U = W_{1} + W_{2} + W_{3} = 0 + \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{12}} + k \left[ \frac{q_{1} q_{3}}{r_{13}} + \frac{q_{2} q_{3}}{r_{23}} \right]$
$U = k \left[ \frac{q_{1} q_{2}}{r_{12}} + \frac{q_{1} q_{3}}{r_{13}} + \frac{q_{2} q_{3}}{r_{23}} \right]$

इलेक्ट्रॉन वोल्ट $(eV)$ को उस गतिज ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक एकल इलेक्ट्रॉन द्वारा $1 \text{ volt}$ के विभवांतर से त्वरित होने पर प्राप्त की जाती है।
गणना:
एक आवेश $q$ द्वारा $\Delta V$ विभवांतर से त्वरित होने पर प्राप्त ऊर्जा $U = q \Delta V$ होती है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,आवेश $q = e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ होता है।
यदि $\Delta V = 1 \text{ V}$ हो,तो:
$1 \text{ eV} = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (1 \text{ V})$
$1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$.
इस इकाई का उपयोग आमतौर पर परमाणु,नाभिकीय और कण भौतिकी में किया जाता है।
$eV$ के गुणक:
$1 \text{ meV} = 1.6 \times 10^{-22} \text{ J}$
$1 \text{ keV} = 1.6 \times 10^{-16} \text{ J}$
$1 \text{ MeV} = 1.6 \times 10^{-13} \text{ J}$
$1 \text{ GeV} = 1.6 \times 10^{-10} \text{ J}$
$1 \text{ TeV} = 1.6 \times 10^{-7} \text{ J}$

(N/A) इलेक्ट्रॉन वोल्ट $(eV)$ को उस गतिज ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक एकल इलेक्ट्रॉन द्वारा $1 \ V$ के विद्युत विभवांतर के माध्यम से विरामावस्था से त्वरित होने पर प्राप्त या खोई जाती है।
गणितीय रूप से,ऊर्जा $E = qV$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = 1.602 \times 10^{-19} \ C$ है और विभवांतर $V = 1 \ V$ है।
इसलिए,$1 \ eV = (1.602 \times 10^{-19} \ C) \times (1 \ V) = 1.602 \times 10^{-19} \ J$।

$(1.602 \times 10^{-19})$ इलेक्ट्रॉन वोल्ट $(eV)$ ऊर्जा की एक इकाई है जिसे $1 \ V$ के विद्युत विभवांतर के माध्यम से विरामावस्था से त्वरित होने वाले एक एकल इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है。
चूंकि एक इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.602 \times 10^{-19} \ C$ होता है, इसलिए जूल $(J)$ में ऊर्जा $E = qV = (1.602 \times 10^{-19} \ C) \times (1 \ V) = 1.602 \times 10^{-19} \ J$ द्वारा दी जाती है。
अतः, $1 \ eV = 1.602 \times 10^{-19} \ J$।

(C) वान डी ग्राफ जनरेटर एक स्थिर-विद्युत त्वरक है जो बहुत उच्च विद्युत विभव उत्पन्न कर सकता है,जो आमतौर पर $6$ से $8$ मिलियन वोल्ट ($6 \times 10^6 \ V$ से $8 \times 10^6 \ V$) की सीमा में होता है।
इस उच्च विभव का उपयोग आवेशित कणों को उच्च ऊर्जा के साथ त्वरित करने के लिए किया जाता है,ताकि पदार्थ की संरचना का अध्ययन किया जा सके।

(C) $r$ त्रिज्या के आंतरिक गोले की सतह पर उसके अपने आवेश $q$ के कारण विभव $V_{q,r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ है।
$R$ त्रिज्या के बाहरी खोल पर स्थित आवेश $Q$ के कारण आंतरिक गोले की सतह पर विभव $V_{Q,r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ है (क्योंकि बिंदु खोल के अंदर है)।
आंतरिक गोले का कुल विभव $V_{inner} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q}{r} + \frac{Q}{R} \right)$ है।
$R$ त्रिज्या के बाहरी खोल की सतह पर आवेश $q$ के कारण विभव $V_{q,R} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ है।
बाहरी खोल की सतह पर उसके अपने आवेश $Q$ के कारण विभव $V_{Q,R} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ है।
बाहरी खोल का कुल विभव $V_{outer} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q}{R} + \frac{Q}{R} \right)$ है।
विभवांतर $\Delta V = V_{inner} - V_{outer} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q}{r} + \frac{Q}{R} - \frac{q}{R} - \frac{Q}{R} \right) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$ होता है।

(A) मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर ऋणात्मक आवेश होता है।
विद्युत क्षेत्र की परिभाषा के अनुसार,विद्युत क्षेत्र की दिशा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर होती है।
आवेश $q$ पर लगने वाला स्थिर-वैद्युत बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक $(q = -e)$ होता है,इसलिए इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किया गया बल $F = -eE$ होता है।
यह इंगित करता है कि इलेक्ट्रॉन पर बल विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
इसलिए,मुक्त इलेक्ट्रॉन निम्न विभव से उच्च विभव वाले क्षेत्र की ओर गति करते हैं।

(N/A) नहीं,मुक्त आकाश में विभव फलन का मान अधिकतम या न्यूनतम नहीं हो सकता है। लाप्लास के समीकरण के अनुसार,आवेश-मुक्त क्षेत्र में $\nabla^2 V = 0$ होता है। यदि किसी बिंदु पर $V$ का स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान होता,तो उस बिंदु पर लाप्लासियन $\nabla^2 V$ शून्य नहीं होता,जो मुक्त आकाश की स्थिति का विरोधाभास करता है। भौतिक रूप से,इसका अर्थ यह है कि मुक्त आकाश में रखा गया एक परीक्षण आवेश केवल स्थिर-वैद्युत बलों के प्रभाव में स्थिर संतुलन में नहीं रह सकता है।

(N/A) मान लीजिए $R=a$ त्रिज्या की एक रिंग है जिस पर $Q$ आवेश समान रूप से वितरित है। इसकी अक्ष पर $z$ दूरी पर एक बिंदु $P$ लें। रिंग पर किसी भी आवेश तत्व $dq$ से $P$ की दूरी $r = \sqrt{z^2 + a^2}$ है।
बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V$ इस प्रकार है:
$V = \int \frac{k dq}{r} = \frac{k}{\sqrt{z^2 + a^2}} \int dq = \frac{kQ}{\sqrt{z^2 + a^2}}$
बिंदु $P$ पर रखे $-q$ आवेश की स्थितिज ऊर्जा $U$:
$U = (-q)V = -\frac{kQq}{\sqrt{z^2 + a^2}}$
मान लीजिए $S = \frac{kQq}{a}$. तो $U = -\frac{S}{\sqrt{1 + (z/a)^2}}$.
$z=0$ पर,$U = -S$ (न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा)। जैसे-जैसे $|z|$ बढ़ता है,$U$ शून्य की ओर बढ़ता है। $U$ बनाम $z$ का ग्राफ $z=0$ पर न्यूनतम मान वाला एक पोटेंशियल वेल (स्थितिज ऊर्जा कूप) दर्शाता है। यदि $-q$ को केंद्र से थोड़ा विस्थापित किया जाता है,तो यह केंद्र की ओर एक प्रत्यानयन बल का अनुभव करेगा,जिसके परिणामस्वरूप छोटे विस्थापन के लिए यह सरल आवर्त गति $(SHM)$ करेगा।

(N/A) मान लीजिए कि $R=a$ त्रिज्या वाली एक वलय पर $+Q$ आवेश समान रूप से वितरित है।
मान लीजिए कि वलय के केंद्र से उसकी अक्ष पर $x$ दूरी पर एक बिंदु $P$ स्थित है।
वलय पर किसी भी छोटे आवेश अवयव $dq$ से बिंदु $P$ तक की दूरी $r$ इस प्रकार है:
$r = \sqrt{x^{2} + a^{2}}$
आवेश अवयव $dq$ के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $dV$ है:
$dV = \frac{k dq}{r} = \frac{k dq}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}$
पूरी वलय के कारण बिंदु $P$ पर कुल विभव $V$ ज्ञात करने के लिए,हम कुल आवेश $Q$ पर समाकलन (integration) करेंगे:
$V = \int dV = \int \frac{k dq}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}$
चूंकि $k$,$x$ और $a$ सभी बिंदुओं के लिए स्थिर हैं:
$V = \frac{k}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} \int dq$
चूंकि $\int dq = Q$ और $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$V = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{x^{2} + a^{2}}}$

(N/A) मान लीजिए डिस्क के केंद्र $O$ से $x$ दूरी पर उसकी अक्ष पर एक बिंदु $P$ है। डिस्क का पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{\pi R^2}$ है।
डिस्क पर $r$ त्रिज्या और $dr$ चौड़ाई की एक पतली वलय (ring) पर विचार करें। इस वलय का क्षेत्रफल $dA = 2\pi r dr$ है।
इस वलय पर आवेश $dq = \sigma dA = \sigma (2\pi r dr)$ है।
इस वलय के प्रत्येक बिंदु की $P$ से दूरी $\sqrt{r^2 + x^2}$ है।
इस वलय के कारण बिंदु $P$ पर विभव $dV = \frac{k dq}{\sqrt{r^2 + x^2}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\sigma (2\pi r dr)}{\sqrt{r^2 + x^2}}$ है।
कुल विभव $V$ ज्ञात करने के लिए,$r = 0$ से $r = R$ तक समाकलन करने पर:
$V = \int_0^R \frac{\sigma 2\pi r dr}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{r^2 + x^2}} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int_0^R \frac{r dr}{\sqrt{r^2 + x^2}}$.
मान लीजिए $u = r^2 + x^2$,तब $du = 2r dr$,या $r dr = \frac{du}{2}$.
$V = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int_{x^2}^{R^2+x^2} \frac{du/2}{\sqrt{u}} = \frac{\sigma}{4\epsilon_0} [2\sqrt{u}]_{x^2}^{R^2+x^2} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} [\sqrt{R^2 + x^2} - x]$.
$\sigma = \frac{Q}{\pi R^2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 R^2} [\sqrt{R^2 + x^2} - x]$.

(N/A) माना बिंदुपथ पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं। इन दो आवेशों के कारण इस बिंदु पर कुल विभव $V = V_1 + V_2 = 0$ है।
विद्युत विभव के सूत्र $V = \frac{kq}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{kq_1}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z - d)^2}} + \frac{kq_2}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z + d)^2}} = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{q_1}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z - d)^2}} = -\frac{q_2}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z + d)^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{q_1^2}{x^2 + y^2 + (z - d)^2} = \frac{q_2^2}{x^2 + y^2 + (z + d)^2}$
माना $\lambda^2 = \frac{q_1^2}{q_2^2}$. तब:
$\lambda^2 (x^2 + y^2 + z^2 + 2zd + d^2) = x^2 + y^2 + z^2 - 2zd + d^2$
$(\lambda^2 - 1)(x^2 + y^2 + z^2 + d^2) = -2zd(1 + \lambda^2)$
$x^2 + y^2 + z^2 + 2zd \left( \frac{\lambda^2 + 1}{\lambda^2 - 1} \right) + d^2 = 0$
$\lambda^2 = \frac{q_1^2}{q_2^2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + y^2 + z^2 + 2zd \left( \frac{q_1^2 + q_2^2}{q_1^2 - q_2^2} \right) + d^2 = 0$
यह एक गोले का समीकरण है।

(B) किसी भी बल क्षेत्र का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली महत्वपूर्ण राशि विभव (Potential) है। एक संरक्षी बल क्षेत्र में,बल को विभव के ऋणात्मक प्रवणता (negative gradient) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,अर्थात $\vec{F} = -\nabla V$। यह अदिश क्षेत्र क्षेत्र के भीतर कणों की गतिशीलता का विश्लेषण करने का एक सरल तरीका प्रदान करता है।

(C) मान लीजिए कि आंतरिक और बाहरी गोलों पर आवेश क्रमशः $Q_{1}$ और $Q_{2}$ हैं।
चूंकि दोनों गोलों के लिए पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ समान है,इसलिए:
$\sigma = \frac{Q_{1}}{4 \pi r^{2}} = \frac{Q_{2}}{4 \pi R^{2}} \Rightarrow \frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{r^{2}}{R^{2}}$
कुल आवेश $Q_{1} + Q_{2} = Q$ दिया गया है,इसलिए $Q_{1} = Q_{2} \frac{r^{2}}{R^{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$Q_{2} \frac{r^{2}}{R^{2}} + Q_{2} = Q \Rightarrow Q_{2} \left( \frac{r^{2} + R^{2}}{R^{2}} \right) = Q \Rightarrow Q_{2} = \frac{Q R^{2}}{R^{2} + r^{2}}$
इसी प्रकार,$Q_{1} = Q - Q_{2} = Q - \frac{Q R^{2}}{R^{2} + r^{2}} = \frac{Q r^{2}}{R^{2} + r^{2}}$
सामान्य केंद्र $O$ पर विद्युत विभव दोनों कोशों के कारण विभव का योग है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_{1}}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_{2}}{R}$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{Q r^{2}}{r(R^{2} + r^{2})} + \frac{Q R^{2}}{R(R^{2} + r^{2})} \right]$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{Q r}{R^{2} + r^{2}} + \frac{Q R}{R^{2} + r^{2}} \right]$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(R + r)Q}{R^{2} + r^{2}}$

(A) माना पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ है। चूँकि $\sigma_1 = \sigma_2$,इसलिए $\frac{Q_1}{4 \pi R^2} = \frac{Q_2}{4 \pi (4R)^2}$,जिससे $Q_2 = 16 Q_1$ प्राप्त होता है।
आंतरिक गोले की सतह पर विभव $(r=R)$ $V(R) = \frac{k Q_1}{R} + \frac{k Q_2}{4R}$ है।
बाहरी गोले की सतह पर विभव $(r=4R)$ $V(4R) = \frac{k Q_1}{4R} + \frac{k Q_2}{4R}$ है।
विभवांतर $V(R) - V(4R) = (\frac{k Q_1}{R} + \frac{k Q_2}{4R}) - (\frac{k Q_1}{4R} + \frac{k Q_2}{4R}) = \frac{k Q_1}{R} - \frac{k Q_1}{4R} = \frac{3 k Q_1}{4R}$ है।
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ रखने पर,हमें $V(R) - V(4R) = \frac{3 Q_1}{16 \pi \varepsilon_0 R}$ प्राप्त होता है।

(C) किसी बिंदु पर आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा $U = qV$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ स्थिर आवेशों के कारण विद्युत विभव है।
प्रारंभिक स्थिति: $x_i = 0$. $4q$ और $-q$ से दूरियाँ $r_1 = d/2$ और $r_2 = d/2$ हैं।
प्रारंभिक विभव $V_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{4q}{d/2} + \frac{-q}{d/2} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{3q}{d/2} \right) = \frac{6q}{4\pi\varepsilon_0 d}$.
अंतिम स्थिति: $x_f = d$. $4q$ और $-q$ से दूरियाँ $r_1' = d + d/2 = 3d/2$ और $r_2' = d - d/2 = d/2$ हैं।
अंतिम विभव $V_f = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{4q}{3d/2} + \frac{-q}{d/2} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{8q}{3d} - \frac{2q}{d} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{8q - 6q}{3d} \right) = \frac{2q}{12\pi\varepsilon_0 d} = \frac{q}{6\pi\varepsilon_0 d}$.
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = q(V_f - V_i) = q \left( \frac{q}{6\pi\varepsilon_0 d} - \frac{6q}{4\pi\varepsilon_0 d} \right) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d} \left( \frac{2}{3} - 6 \right) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d} \left( -\frac{16}{3} \right) = -\frac{4q^2}{3\pi\varepsilon_0 d}$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि स्थितिज ऊर्जा में $\frac{4q^2}{3\pi\varepsilon_0 d}$ की कमी होती है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले एक धनावेशित धात्विक पतले कोश के लिए:
$1$. कोश के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि स्थिरवैद्युत विभव $V$ स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है।
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R} = \text{स्थिरांक}$
$2$. कोश के बाहर $(r \geq R)$,कोश केंद्र पर रखे बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है। अतः,विभव दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r} \implies V \propto \frac{1}{r}$
इसलिए,ग्राफ $r < R$ के लिए स्थिर विभव और $r \geq R$ के लिए अतिपरवलयिक (hyperbolic) गिरावट को दर्शाता है,जो विकल्प $C$ में दिए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(D) माना वलय $A$ के केंद्र पर विभव $V_A$ है और वलय $B$ के केंद्र पर विभव $V_B$ है।
वलय $A$ के कारण वलय $A$ के केंद्र पर विभव $V_{A1} = \frac{KQ}{a}$ है।
वलय $B$ के कारण वलय $A$ के केंद्र पर विभव $V_{A2} = \frac{K(-Q)}{\sqrt{a^2 + s^2}}$ है।
अतः,$V_A = V_{A1} + V_{A2} = \frac{KQ}{a} - \frac{KQ}{\sqrt{a^2 + s^2}}$.
वलय $B$ के कारण वलय $B$ के केंद्र पर विभव $V_{B1} = \frac{K(-Q)}{a}$ है।
वलय $A$ के कारण वलय $B$ के केंद्र पर विभव $V_{B2} = \frac{KQ}{\sqrt{a^2 + s^2}}$ है।
अतः,$V_B = V_{B1} + V_{B2} = -\frac{KQ}{a} + \frac{KQ}{\sqrt{a^2 + s^2}}$.
विभवांतर $V_A - V_B = \left(\frac{KQ}{a} - \frac{KQ}{\sqrt{a^2 + s^2}}\right) - \left(-\frac{KQ}{a} + \frac{KQ}{\sqrt{a^2 + s^2}}\right)$ है।
$V_A - V_B = \frac{2KQ}{a} - \frac{2KQ}{\sqrt{a^2 + s^2}} = 2KQ \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{\sqrt{a^2 + s^2}}\right)$.
$K = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ रखने पर,हमें $V_A - V_B = \frac{2}{4 \pi \varepsilon_0} Q \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{\sqrt{a^2 + s^2}}\right) = \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{\sqrt{a^2 + s^2}}\right)$ प्राप्त होता है।

(A) $Q$ आवेश वाले $R$ त्रिज्या के खोखले चालक गोले की सतह पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र है: $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R}$.
यहाँ,$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$ एक नियतांक है।
यह दिया गया है कि दोनों गोलों पर समान आवेश $Q$ है।
अतः,विभव $V$ त्रिज्या $R$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $V \propto \frac{1}{R}$।
चूंकि $R_{1} >> R_{2}$ है,इसलिए छोटे गोले की त्रिज्या $R_{2}$ है।
चूंकि $R_{2} < R_{1}$ है,इसलिए $V_{2} > V_{1}$ होगा।
अतः,छोटे गोले पर विभव अधिक होगा।

(B) $R$ त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाले समान रूप से आवेशित गोले के अंदर इलेक्ट्रोस्टैटिक विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V(r) = \frac{kQ}{2R^3} (3R^2 - r^2)$
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3} \left( \frac{3R^2 - r^2}{2} \right)$
$V(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R} \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{r}{R} \right)^2 \right)$
इस व्यंजक की तुलना दिए गए रूप $V(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R} (a + b(r/R)^c)$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = \frac{3}{2}$
$b = -\frac{1}{2}$
$c = 2$
अतः,$(a, b, c)$ के मान $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 2)$ हैं।

(A) $r$ त्रिज्या वाले गोलाकार चालक का विभव $V$,जिस पर $q$ आवेश है,$V = \frac{k q}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ स्थिरवैद्युत स्थिरांक है।
चूंकि आवेश को एक बार में एक इलेक्ट्रॉन जोड़कर बढ़ाया जाता है,कण पर कुल आवेश $q$ क्वांटाइज्ड है,यानी $q = n e$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है और $e$ प्राथमिक आवेश है।
विभव के सूत्र में $q = n e$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{k (n e)}{r}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि जैसे-जैसे प्रत्येक इलेक्ट्रॉन कण में जोड़ा जाता है,विभव $V$ अलग-अलग चरणों में बढ़ता है।
इसलिए,कुल आवेश $q$ बनाम लागू वोल्टेज $V$ का ग्राफ एक स्टेप फंक्शन होगा,जहाँ आवेश विभव की एक विशिष्ट सीमा के लिए $e$ के प्रत्येक पूर्णांक गुणज पर स्थिर रहता है,और फिर जैसे ही अगला इलेक्ट्रॉन जोड़ा जाता है,यह अगले स्तर पर कूद जाता है।

(B) वलय पर कुल आवेश $q_{\text{total}}$ आवेश घनत्व $\lambda$ का परिधि पर समाकलन है:
$q_{\text{total}} = \int_0^{2\pi} \lambda (r d\theta) = \int_0^{2\pi} \frac{q \sin^2 \theta}{\pi r} (r d\theta) = \frac{q}{\pi} \int_0^{2\pi} \sin^2 \theta d\theta$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = (1 - \cos 2\theta) / 2$ का उपयोग करने पर:
$q_{\text{total}} = \frac{q}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{q}{2\pi} [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{2\pi} = \frac{q}{2\pi} (2\pi) = q$
चूंकि वलय के सभी बिंदु केंद्र से $r$ दूरी पर हैं,इसलिए केंद्र पर विद्युत विभव $V$ है:
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac{dq}{r} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 r} \int dq = \frac{q_{\text{total}}}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$
आवेश $Q$ को केंद्र से अनंत तक ले जाने में विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य $W = Q(V_{\text{centre}} - V_{\infty})$ है। चूंकि $V_{\infty} = 0$:
$W = Q \cdot V = \frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 r}$

(B) जब धात्विक डिस्क घूमती है,तो डिस्क के भीतर मुक्त इलेक्ट्रॉन त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर एक अभिकेंद्री बल (अपकेंद्री बल) का अनुभव करते हैं,जो $F_c = m\omega^2 r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय वेग है,और $r$ घूर्णन अक्ष से दूरी है।
इस अपकेंद्री बल के कारण,मुक्त इलेक्ट्रॉन केंद्र से डिस्क के किनारे की ओर स्थानांतरित हो जाते हैं।
परिणामस्वरूप,डिस्क के किनारे पर कुल ऋणात्मक आवेश जमा हो जाता है,जबकि केंद्र धनात्मक रूप से आवेशित हो जाता है।
चूंकि विभव $V$,विद्युत क्षेत्र $E$ से $E = -dV/dr$ द्वारा संबंधित है,और विद्युत क्षेत्र धनात्मक केंद्र से ऋणात्मक किनारे की ओर निर्देशित होता है,इसलिए जैसे-जैसे हम केंद्र से किनारे की ओर बढ़ते हैं,विभव घटता जाता है।
इसलिए,डिस्क के किनारे पर स्थित एक बिंदु अपने केंद्र की तुलना में निम्न विभव पर होता है।

(A) मान लीजिए कि छोटे घन की भुजा की लंबाई $a$ है। बड़े घन की भुजा की लंबाई $2a$ है और यह ऐसे $8$ छोटे घनों से बना है।
मान लीजिए $V_c$,$a$ भुजा और $\rho$ घनत्व वाले छोटे घन के केंद्र पर विभव है। बड़े घन के केंद्र (बिंदु $A$) पर कुल विभव इसके चारों ओर के $8$ छोटे घनों के कारण उत्पन्न विभव का योग है।
चूंकि बड़े घन का केंद्र $8$ छोटे घनों का सामान्य कोना है,इसलिए केंद्र $A$ पर विभव $V_A = 8 \times V_{\text{छोटे घन का कोना}}$ है।
$a$ भुजा वाले छोटे घन के लिए,इसके अपने आवेश $Q = \rho a^3$ के कारण इसके कोने पर विभव $V_{\text{कोना}} = k \frac{Q}{a} = k \rho a^2$ है (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
अतः,$V_A = 8 \times (k \rho a^2) = 8 k \rho a^2$.
अब,$2a$ भुजा वाले बड़े घन के कोने $B$ पर विभव पर विचार करें। $L$ भुजा और $\rho$ घनत्व वाले घन के कोने पर विभव $\rho L^2$ के समानुपाती होता है।
$2a$ भुजा वाले बड़े घन के लिए,$V_B = k \rho (2a)^2 = 4 k \rho a^2$.
केंद्र पर विभव और कोने पर विभव का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \frac{8 k \rho a^2}{4 k \rho a^2} = 2$ है।

$(D)$ इलेक्ट्रॉन पर विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, $W = \Delta K = K_f - K_i$.
चूंकि इलेक्ट्रॉन विराम अवस्था में आ जाता है, $K_f = 0$, इसलिए $W = -K_i = -\frac{1}{2}mv^2$.
विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = -qV$ है, जहाँ $V$ विभवांतर है।
दोनों की तुलना करने पर, $-qV = -\frac{1}{2}mv^2$, जिससे $V = \frac{mv^2}{2q}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $V = \frac{9 \times 10^{-31} \times (4.0 \times 10^6)^2}{2 \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$V = \frac{9 \times 10^{-31} \times 16 \times 10^{12}}{3.2 \times 10^{-19}} = \frac{144 \times 10^{-19}}{3.2 \times 10^{-19}} = 45 \, V$.
चूंकि इलेक्ट्रॉन ऋणावेशित होता है, इसलिए उच्च विभव से निम्न विभव की ओर गति करने पर उसकी स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है, जिसके परिणामस्वरूप उसकी गतिज ऊर्जा में कमी आती है। अतः, यह उच्च विभव से निम्न विभव वाले क्षेत्र में गति करता है।

(D) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{kq}{r}$ है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ है।
बिंदु $A(0, a)$ के लिए,मूल बिंदु से दूरी $r_A = \sqrt{0^2 + a^2} = a$ है।
अतः,$A$ पर विभव $V_A = \frac{kq}{a}$ है।
बिंदु $B(a, 0)$ के लिए,मूल बिंदु से दूरी $r_B = \sqrt{a^2 + 0^2} = a$ है।
अतः,$B$ पर विभव $V_B = \frac{kq}{a}$ है।
बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच विभवांतर $\Delta V = V_A - V_B = \frac{kq}{a} - \frac{kq}{a} = 0$ होगा।

(A) $(0, a)$ और $(0, -a)$ पर रखे गए दो समान आवेशों $q$ के कारण $x$-अक्ष पर किसी बिंदु $x$ पर विद्युत विभव $V$,प्रत्येक आवेश के कारण विभव के योग के बराबर होता है।
प्रत्येक आवेश से बिंदु $(x, 0)$ की दूरी $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ है।
अतः,कुल विभव $V$ है:
$V = \frac{kq}{r} + \frac{kq}{r} = \frac{2kq}{\sqrt{x^2 + a^2}}$
जब $x = 0$ होता है,तो $V = \frac{2kq}{a}$,जो कि अधिकतम मान है।
जैसे $x \to \infty$,$V \to 0$.
जैसे $x \to -\infty$,$V \to 0$.
$V$ बनाम $x$ का ग्राफ $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित एक घंटी के आकार का वक्र है,जो विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) मान लीजिए कि आंतरिक गोले पर आवेश $q$ है और बाहरी गोले पर आवेश $Q$ है।
केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के लिए,जहाँ $x > R$,दोनों गोले केंद्र पर स्थित बिंदु आवेशों के रूप में कार्य करते हैं।
बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V$ दोनों गोलों के कारण उत्पन्न विभवों के योग के बराबर होता है:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{x} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{x}$
हमें दिया गया है कि बिंदु $P$ पर विभव शून्य है,इसलिए:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 x} (q + Q) = 0$
चूँकि $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 x} \neq 0$,इसलिए हमारे पास होना चाहिए:
$q + Q = 0$
$q = -Q$
अतः,आंतरिक गोले को $-Q$ आवेश दिया जाना चाहिए।

(A) विद्युत क्षेत्र में एक आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_B - V_A$ दो बिंदुओं के बीच का विभवांतर है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि किया गया कार्य आवेश $q$ के परिमाण और दो बिंदुओं के बीच के विभवांतर पर निर्भर करता है।
हालाँकि,किया गया कार्य विद्युत क्षेत्र में गतिमान कण के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
इससे,चाल $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ प्राप्त होती है।
कण $A$ के लिए,जिसका आवेश $q_A = q$ और द्रव्यमान $m$ है,चाल $v_A = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ होगी।
कण $B$ के लिए,जिसका आवेश $q_B = 4q$ और द्रव्यमान $m$ है,चाल $v_B = \sqrt{\frac{2(4q)V}{m}} = \sqrt{\frac{8qV}{m}} = 2\sqrt{\frac{2qV}{m}}$ होगी।
उनकी चालों का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{\frac{2qV}{m}}}{2\sqrt{\frac{2qV}{m}}} = \frac{1}{2}$.
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(C) विभव $V_A$ वाले बिंदु से विभव $V_B$ वाले बिंदु तक $q$ आवेश को ले जाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = q(V_B - V_A)$
दिया गया है:
$W = 50 \, J$
$q = 2 \, C$
$V_A = -10 \, V$
$V_B = V$
सूत्र में मान रखने पर:
$50 = 2(V - (-10))$
$50 = 2(V + 10)$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$25 = V + 10$
$V = 25 - 10$
$V = 15 \, V$
अतः,$V$ का मान $15 \, V$ है।

(B) विभवांतर $(V)$ के माध्यम से त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = qV$।
यहाँ,प्रोटॉन का आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ है।
विभवांतर $V = 1 \text{ मिलियन वोल्ट} = 10^6 \,V$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$KE = (1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (10^6 \,V)$
$KE = 1.6 \times 10^{-13} \,J$।
अतः,प्रोटॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $1.6 \times 10^{-13} \,J$ है।

(B) स्थिर-वैद्युत बल एक संरक्षी बल है,इसलिए किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है,न कि अपनाए गए पथ पर। आवेश $q_0$ को $A$ से $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q_0(V_B - V_A)$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विभव $V = \frac{kq}{r}$ होता है।
यहाँ मूल बिंदु $O(0,0,0)$ पर $q = 8 \, mC = 8 \times 10^{-3} \, C$ है।
बिंदु $A$ $(0,0,3 \, cm)$ पर है,इसलिए $r_A = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$ है।
$V_A = \frac{9 \times 10^9 \times 8 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-2}} = 24 \times 10^8 \, V$ है।
बिंदु $B$ $(0,4 \, cm, 0)$ पर है,इसलिए $r_B = 4 \, cm = 4 \times 10^{-2} \, m$ है।
$V_B = \frac{9 \times 10^9 \times 8 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-2}} = 18 \times 10^8 \, V$ है।
किया गया कार्य $W = q_0(V_B - V_A) = (-2 \times 10^{-9} \, C) \times (18 \times 10^8 - 24 \times 10^8) \, V$ है।
$W = (-2 \times 10^{-9}) \times (-6 \times 10^8) \, J = 12 \times 10^{-1} \, J = 1.2 \, J$ है।

(B) जब किसी आवेश को प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति में ले जाया जाता है,तो स्थिर-वैद्युत बल द्वारा किया गया कार्य $W = -\Delta U = -(U_f - U_i) = U_i - U_f$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,आठ आसपास के आवेशों के कारण केंद्र पर स्थित आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा $U_i$,केंद्र पर स्थित आवेश और आठ आवेशों के बीच की स्थितिज ऊर्जा का योग है।
चूंकि आठों आवेश केंद्र से $r$ दूरी पर हैं,इसलिए आठ आवेशों के कारण केंद्र पर विभव $V_i = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r} = \frac{8 q}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ है।
केंद्र पर स्थित आवेश की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = q V_i = \frac{8 q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ है।
जब केंद्र पर स्थित आवेश को अनंत पर ले जाया जाता है,तो अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = 0$ हो जाती है क्योंकि दूरी अनंत हो जाती है।
अतः,स्थिर-वैद्युत बल द्वारा किया गया कार्य $W = U_i - U_f = \frac{8 q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r} - 0 = \frac{8 q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ है।

(B) $R$ त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित अचालक ठोस गोले के लिए,अनंत के सापेक्ष सतह पर विभव $(V_s)$ और केंद्र पर विभव $(V_c)$ इस प्रकार हैं:
$V_s = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R} = V$
$V_c = \frac{3}{2} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R} = \frac{3}{2}V$
यदि हम संदर्भ बिंदु को इस प्रकार बदलते हैं कि सतह पर विभव शून्य हो जाए,तो हम प्रत्येक बिंदु के विभव से $V$ घटाते हैं।
सतह पर नया विभव,$V'_s = V_s - V = V - V = 0$
केंद्र पर नया विभव,$V'_c = V_c - V = \frac{3}{2}V - V = \frac{V}{2}$

(B) आवेशों के निकाय के कारण बिंदु $P(r, 0)$ पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है।
$V = V_1 + V_2 + V_3$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q}{r+a} + \frac{-2q}{r} + \frac{q}{r-a} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{r+a} + \frac{1}{r-a} - \frac{2}{r} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{(r-a) + (r+a)}{r^2 - a^2} - \frac{2}{r} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2r}{r^2 - a^2} - \frac{2}{r} \right]$
$V = \frac{2q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2 - (r^2 - a^2)}{r(r^2 - a^2)} \right]$
$V = \frac{2q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{a^2}{r(r^2 - a^2)} \right]$
चूंकि $r \gg a$,हम $r^2 - a^2 \approx r^2$ मान सकते हैं।
$V \approx \frac{2q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{a^2}{r^3} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 q a^2}{r^3}$.

(D) समान रूप से आवेशित अचालक गोले के केंद्र पर विद्युत विभव $V_c = \frac{3 k q}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें सतह से वह दूरी $x$ ज्ञात करनी है जिस पर विभव $V_s$,$V_c$ का आधा हो। गोले के केंद्र से इस बिंदु की दूरी $r = R + x$ है।
चूंकि बिंदु गोले के बाहर है $(r > R)$,इसलिए विभव $V_s = \frac{k q}{r} = \frac{k q}{R + x}$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,$V_s = \frac{1}{2} V_c$ है।
मान रखने पर:
$\frac{k q}{R + x} = \frac{1}{2} \left( \frac{3 k q}{2 R} \right)$
$\frac{k q}{R + x} = \frac{3 k q}{4 R}$
$\frac{1}{R + x} = \frac{3}{4 R}$
$4 R = 3(R + x)$
$4 R = 3 R + 3 x$
$3 x = R$
$x = \frac{R}{3}$

(C) बिंदु आवेशों के निकाय के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग होता है।
यहाँ आवेश $q_1 = q$ ($x_1 = 1 \, m$ पर),$q_2 = -q$ ($x_2 = 2 \, m$ पर),$q_3 = q$ ($x_3 = 4 \, m$ पर),$q_4 = -q$ ($x_4 = 8 \, m$ पर) आदि हैं।
$x = 0$ पर विभव $V = \sum \frac{k q_i}{r_i}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ है।
$V = k \left( \frac{q}{1} - \frac{q}{2} + \frac{q}{4} - \frac{q}{8} + \dots \right)$
$V = kq \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \dots \right)$
कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -1/2$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
$S = \frac{1}{1 - (-1/2)} = \frac{1}{1 + 1/2} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
अतः,$V = kq \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{2q}{3} \right)$.

(A) त्रिज्या और $q$ आवेश वाले वलय के केंद्र से $x$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
मूल बिंदु $(x=0)$ पर,विभव $V_{center} = \frac{kq}{a}$ है।
जैसे-जैसे परीक्षण आवेश $q_0$ मूल बिंदु से दूर $x$-अक्ष के अनुदिश गति करता है,दूरी $\sqrt{x^2 + a^2}$ बढ़ती है,जिसका अर्थ है कि विभव $V$ घटता है।
परीक्षण आवेश की स्थितिज ऊर्जा $U = q_0 V$ है। चूँकि $x$ बढ़ने पर $V$ घटता है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U$ भी घटती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है। जैसे-जैसे स्थितिज ऊर्जा $U$ घटती है,गतिज ऊर्जा $K$ को बढ़ना चाहिए।
अतः,जैसे-जैसे परीक्षण आवेश मूल बिंदु से दूर जाता है,उसकी चाल निरंतर बढ़ती है।

(C) विद्युत क्षेत्र द्वारा आवेश $q_0$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W_{AB} = q_0(V_A - V_B)$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,आवेश को $A$ से $C$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W_{AC} = q_0(V_A - V_C)$ है।
चूंकि $B$ और $C$ केंद्र पर आवेश $q$ वाले वृत्त की परिधि पर स्थित हैं,इसलिए दोनों बिंदु आवेश $q$ से समान दूरी $r$ पर हैं।
अतः,$B$ और $C$ पर विद्युत विभव समान है,यानी $V_B = V_C = \frac{kq}{r}$।
चूंकि $V_B = V_C$,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $W_{AB} = q_0(V_A - V_B) = q_0(V_A - V_C) = W_{AC}$।
चूंकि $A$ वृत्त के बाहर है,इसलिए $V_A \neq V_B$,अतः $W_{AB} = W_{AC} \neq 0$।

(B) $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित $q$ आवेश द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है:
$KE = q \times V$
दिया गया है:
आवेश $q = 0.5 \, C$
विभवांतर $V = 2000 \, V$
मान रखने पर:
$KE = 0.5 \times 2000 = 1000 \, J$
अतः,प्राप्त गतिज ऊर्जा $1000 \, J$ है।

(B) $r$ दूरी पर स्थित $q$ आवेश के कारण विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ त्रिज्या और रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ वाले अर्ध-वलय के लिए,कुल आवेश $q = \lambda \times (\pi R)$ होता है।
$R_1$ त्रिज्या वाले पहले अर्ध-वलय के कारण केंद्र पर विभव $V_1 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda \pi R_1}{R_1} = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0}$ है।
$R_2$ त्रिज्या वाले दूसरे अर्ध-वलय के कारण केंद्र पर विभव $V_2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda \pi R_2}{R_2} = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0}$ है।
केंद्र पर कुल विभव $V = V_1 + V_2 = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0} + \frac{\lambda}{4 \epsilon_0} = \frac{2 \lambda}{4 \epsilon_0} = \frac{\lambda}{2 \epsilon_0}$ होगा।