The Mid-point Theorem Questions in Hindi

(B) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।
$\Delta ABC$ में,$X$ और $Y$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए,$XY \parallel BC$ और $XY = \frac{1}{2} BC$ है।
चतुर्भुज $XBCY$ में,सम्मुख भुजाओं का एक युग्म $XY$ और $BC$ एक-दूसरे के समांतर है $(XY \parallel BC)$।
वह चतुर्भुज जिसमें सम्मुख भुजाओं का कम से कम एक युग्म समांतर हो,उसे समलंब चतुर्भुज कहा जाता है।
अतः,$XBCY$ एक समलंब चतुर्भुज है।

(B) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
मान लीजिए $\Delta ABC$ की भुजाएँ $AB$,$BC$ और $AC$ हैं।
चूँकि $P$,$Q$ और $R$ क्रमशः भुजाओं $AB$,$BC$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $\Delta PQR$ की भुजाएँ $PQ = \frac{1}{2} AC$,$QR = \frac{1}{2} AB$ और $PR = \frac{1}{2} BC$ होंगी।
$\Delta PQR$ का परिमाप $= PQ + QR + PR = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AB + \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (AB + BC + AC)$।
दिया गया है कि $\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC = 23 \, cm$ है।
अतः,$\Delta PQR$ का परिमाप $= \frac{1}{2} \times 23 = 11.5 \, cm$।

(D) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।
$\Delta XYZ$ में,$A$ और $B$ क्रमशः $XY$ और $XZ$ के मध्य-बिंदु हैं।
अतः,$AB = \frac{1}{2} \times YZ$.
दिया गया है कि $AB = 7.5 \, cm$.
मान रखने पर: $7.5 = \frac{1}{2} \times YZ$.
$YZ = 7.5 \times 2 = 15 \, cm$.

(B) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $PQ = \frac{1}{2} BC$ होगा।
दिया गया है कि $BC + PQ = 21 \text{ cm}$ है।
समीकरण में $PQ = \frac{1}{2} BC$ रखने पर,हमें $BC + \frac{1}{2} BC = 21$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{3}{2} BC = 21$ मिलता है।
दोनों पक्षों को $\frac{2}{3}$ से गुणा करने पर,$BC = 21 \times \frac{2}{3} = 14 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।

(N/A) $1$. चूँकि $M$ और $N$ क्रमशः $PQ$ और $PR$ के मध्य-बिंदु हैं,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$MN \parallel QR$ और $MN = \frac{1}{2} QR$ है।
$2$. $\Delta MXN$ और $\Delta MNR$ पर विचार करें। दोनों त्रिभुज समान समानांतर रेखाओं $MN$ और $QR$ के बीच स्थित हैं।
$3$. $\Delta MXN$ का आधार $MN$ है और $\Delta MNR$ का आधार भी $MN$ है। समान आधार और समान समानांतर रेखाओं के बीच स्थित होने के कारण,$ar(MXN) = ar(MNR)$ है।
$4$. $\Delta PQR$ में,$MN \parallel QR$ है। $MN$ आधार के सापेक्ष $\Delta MNR$ की ऊँचाई,$QR$ आधार के सापेक्ष $\Delta PQR$ की ऊँचाई की आधी है क्योंकि $M$ और $N$ मध्य-बिंदु हैं।
$5$. $ar(MNR) = \frac{1}{2} \times MN \times h_{MNR} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} QR) \times (\frac{1}{2} h_{PQR}) = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \times QR \times h_{PQR}) = \frac{1}{4} ar(PQR)$।
$6$. चूँकि $ar(MXN) = ar(MNR)$,अतः यह सिद्ध होता है कि $ar(MXN) = \frac{1}{4} ar(PQR)$।

(B) माना समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का आधार $b = CD$ है और इसकी ऊँचाई $h$ है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $\operatorname{ar}(ABCD) = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = b \times h$ होता है।
$\triangle PBC$ में,आधार $PC$ है और ऊँचाई $h$ है (जो समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई के समान है)।
चूँकि $P$,$CD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PC = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} b$ होगा।
$\triangle PBC$ का क्षेत्रफल $\operatorname{ar}(PBC) = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} b) \times h = \frac{1}{4} bh$ होगा।
अब,अनुपात $\operatorname{ar}(ABCD) : \operatorname{ar}(PBC) = (bh) : (\frac{1}{4} bh) = 1 : \frac{1}{4} = 4 : 1$ प्राप्त होता है।

(B) $1$. $\Delta ABD$ में,$AM$ एक माध्यिका है क्योंकि $M$,$BD$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$\operatorname{ar}(ADM) = \operatorname{ar}(ABM) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABD)$.
$2$. $\Delta ADM$ में,$AN$ एक माध्यिका है क्योंकि $N$,$MD$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$\operatorname{ar}(AND) = \operatorname{ar}(ANM) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ADM)$.
$3$. दिया गया है $\operatorname{ar}(AND) = 20\, cm^2$,इसलिए $\operatorname{ar}(ADM) = 2 \times 20 = 40\, cm^2$.
$4$. चूंकि $\operatorname{ar}(ADM) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABD)$,इसलिए $\operatorname{ar}(ABD) = 2 \times 40 = 80\, cm^2$.
$5$. $\Delta ABC$ में,$AD$ एक माध्यिका है,इसलिए $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \times \operatorname{ar}(ABD) = 2 \times 80 = 160\, cm^2$.