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The Mid-point Theorem Questions in Hindi
Class 9 Mathematics · Quadrilaterals · The Mid-point Theorem
57+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 57 questions in Hindi
1
Medium
$\Delta ABC$ में,$D$,$E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $AB$,$BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि $D$,$E$ और $F$ को जोड़ने पर $\Delta ABC$ चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है।
Solution
(N/A) चूँकि $D$ और $E$,$\Delta ABC$ की भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$DE \parallel AC$ और $DE = \frac{1}{2} AC = AF$ होगा।
इसी प्रकार,$DF \parallel BC$ और $EF \parallel AB$ होगा।
अतः,$AFDE$,$BDFE$ और $DFCE$ सभी समांतर चतुर्भुज हैं।
अब,$DE$ समांतर चतुर्भुज $BDFE$ का एक विकर्ण है,जो इसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए $\Delta BDE \cong \Delta FED$ होगा।
इसी प्रकार,$DF$ समांतर चतुर्भुज $AFDE$ का एक विकर्ण है,इसलिए $\Delta DAF \cong \Delta FED$ होगा।
साथ ही,$EF$ समांतर चतुर्भुज $DFCE$ का एक विकर्ण है,इसलिए $\Delta EFC \cong \Delta FED$ होगा।
चूँकि तीनों त्रिभुज $\Delta FED$ के सर्वांगसम हैं,अतः चारों त्रिभुज ($\Delta BDE, \Delta DAF, \Delta EFC$ और $\Delta FED$) एक-दूसरे के सर्वांगसम हैं।
इसी प्रकार,$DF \parallel BC$ और $EF \parallel AB$ होगा।
अतः,$AFDE$,$BDFE$ और $DFCE$ सभी समांतर चतुर्भुज हैं।
अब,$DE$ समांतर चतुर्भुज $BDFE$ का एक विकर्ण है,जो इसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए $\Delta BDE \cong \Delta FED$ होगा।
इसी प्रकार,$DF$ समांतर चतुर्भुज $AFDE$ का एक विकर्ण है,इसलिए $\Delta DAF \cong \Delta FED$ होगा।
साथ ही,$EF$ समांतर चतुर्भुज $DFCE$ का एक विकर्ण है,इसलिए $\Delta EFC \cong \Delta FED$ होगा।
चूँकि तीनों त्रिभुज $\Delta FED$ के सर्वांगसम हैं,अतः चारों त्रिभुज ($\Delta BDE, \Delta DAF, \Delta EFC$ और $\Delta FED$) एक-दूसरे के सर्वांगसम हैं।
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Medium
$l, m$ और $n$ तीन समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें तिर्यक रेखाएँ $p$ और $q$ इस प्रकार काटती हैं कि $l, m$ और $n$ रेखा $p$ पर बराबर अंतःखंड $AB$ और $BC$ काटती हैं (आकृति देखें)। दर्शाइए कि $l, m$ और $n$ रेखा $q$ पर भी बराबर अंतःखंड $DE$ और $EF$ काटती हैं।
Solution
(N/A) हमें दिया गया है कि $AB = BC$ और हमें सिद्ध करना है कि $DE = EF$ है।
आइए $A$ को $F$ से मिलाएँ जो $m$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करती है।
चतुर्भुज $ADFC$ दो त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है,जो $\Delta ACF$ और $\Delta AFD$ हैं।
$\Delta ACF$ में,यह दिया गया है कि $B, AC$ का मध्य-बिंदु है $(AB = BC)$ और $BG \parallel CF$ (क्योंकि $m \parallel n$ है)। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा,$G, AF$ का मध्य-बिंदु है।
अब,$\Delta AFD$ में,हमारे पास $G, AF$ का मध्य-बिंदु है और $GE \parallel AD$ (क्योंकि $m \parallel l$ है)। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा,$E, DF$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$DE = EF$ है।
दूसरे शब्दों में,$l, m$ और $n$ रेखा $q$ पर भी बराबर अंतःखंड काटती हैं।
आइए $A$ को $F$ से मिलाएँ जो $m$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करती है।
चतुर्भुज $ADFC$ दो त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है,जो $\Delta ACF$ और $\Delta AFD$ हैं।
$\Delta ACF$ में,यह दिया गया है कि $B, AC$ का मध्य-बिंदु है $(AB = BC)$ और $BG \parallel CF$ (क्योंकि $m \parallel n$ है)। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा,$G, AF$ का मध्य-बिंदु है।
अब,$\Delta AFD$ में,हमारे पास $G, AF$ का मध्य-बिंदु है और $GE \parallel AD$ (क्योंकि $m \parallel l$ है)। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा,$E, DF$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$DE = EF$ है।
दूसरे शब्दों में,$l, m$ और $n$ रेखा $q$ पर भी बराबर अंतःखंड काटती हैं।
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$ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसमें $P$,$Q$,$R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $AB$,$BC$,$CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं (आकृति देखें)। $AC$ एक विकर्ण है। दर्शाइए कि: $SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$।
Solution
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक चतुर्भुज है,$P$,$Q$,$R$,$S$ क्रमशः भुजाओं $AB$,$BC$,$CD$,$DA$ के मध्य-बिंदु हैं। $AC$ एक विकर्ण है।
सिद्ध करना है: $SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$।
उपपत्ति: $\Delta ACD$ में,हमारे पास है:
$S$,$AD$ का मध्य-बिंदु है।
$R$,$CD$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसका आधा होता है।
अतः,$\Delta ACD$ में,रेखाखंड $SR$ भुजाओं $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदुओं को मिलाता है।
इसलिए,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ है।
सिद्ध करना है: $SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$।
उपपत्ति: $\Delta ACD$ में,हमारे पास है:
$S$,$AD$ का मध्य-बिंदु है।
$R$,$CD$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसका आधा होता है।
अतः,$\Delta ACD$ में,रेखाखंड $SR$ भुजाओं $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदुओं को मिलाता है।
इसलिए,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ है।
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Medium
$ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसमें $P$,$Q$,$R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $AB$,$BC$,$CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं (आकृति देखें)। $AC$ एक विकर्ण है। दर्शाइए कि: $PQ = SR$।
Solution
(N/A) दिया है: $P, Q, R, S$ चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ के मध्य-बिंदु हैं। $AC$ एक विकर्ण है।
सिद्ध करना है: $PQ = SR$।
उपपत्ति:
$\triangle ABC$ में,$P$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
अतः,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ ........ $(1)$
$\triangle ADC$ में,$S$ भुजा $AD$ का मध्य-बिंदु है और $R$ भुजा $CD$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ ........ $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,चूँकि $PQ$ और $SR$ दोनों $\frac{1}{2} AC$ के बराबर हैं,इसलिए $PQ = SR$ प्राप्त होता है।
सिद्ध करना है: $PQ = SR$।
उपपत्ति:
$\triangle ABC$ में,$P$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
अतः,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ ........ $(1)$
$\triangle ADC$ में,$S$ भुजा $AD$ का मध्य-बिंदु है और $R$ भुजा $CD$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ ........ $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,चूँकि $PQ$ और $SR$ दोनों $\frac{1}{2} AC$ के बराबर हैं,इसलिए $PQ = SR$ प्राप्त होता है।
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View Solution5
MediumMCQ
एक चतुर्भुज $PQRS$ की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम में मिलाने से बना चतुर्भुज एक आयत होता है,यदि
A
$PQRS$ के विकर्ण परस्पर लंब हों।
B
$PQRS$ एक आयत हो।
C
$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज हो।
D
$PQRS$ के विकर्ण बराबर हों।
Solution
(A) मान लीजिए कि भुजाओं $PQ, QR, RS,$ और $SP$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $A, B, C,$ और $D$ हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$\triangle PQS$ में,$AD \parallel QS$ और $AD = \frac{1}{2} QS$ है।
इसी प्रकार,$\triangle RQS$ में,$BC \parallel QS$ और $BC = \frac{1}{2} QS$ है।
अतः,$AD \parallel BC$ और $AD = BC$ है,जिससे $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
$ABCD$ के आयत होने के लिए,इसकी आसन्न भुजाएँ परस्पर लंब होनी चाहिए (अर्थात $AB \perp AD$)।
चूँकि $AB \parallel PR$ और $AD \parallel QS$ है,इसलिए $AB \perp AD$ की शर्त का अर्थ है कि $PR \perp QS$ होना चाहिए।
अतः,मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बना चतुर्भुज एक आयत होता है यदि मूल चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण परस्पर लंब हों।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$\triangle PQS$ में,$AD \parallel QS$ और $AD = \frac{1}{2} QS$ है।
इसी प्रकार,$\triangle RQS$ में,$BC \parallel QS$ और $BC = \frac{1}{2} QS$ है।
अतः,$AD \parallel BC$ और $AD = BC$ है,जिससे $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
$ABCD$ के आयत होने के लिए,इसकी आसन्न भुजाएँ परस्पर लंब होनी चाहिए (अर्थात $AB \perp AD$)।
चूँकि $AB \parallel PR$ और $AD \parallel QS$ है,इसलिए $AB \perp AD$ की शर्त का अर्थ है कि $PR \perp QS$ होना चाहिए।
अतः,मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बना चतुर्भुज एक आयत होता है यदि मूल चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण परस्पर लंब हों।
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View Solution6
EasyMCQ
एक चतुर्भुज $PQRS$ की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम में मिलाने पर बनने वाला चतुर्भुज एक समचतुर्भुज (rhombus) होता है,यदि
A
$PQRS$ एक समचतुर्भुज है
B
$PQRS$ के विकर्ण बराबर हैं।
C
$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है
D
$PQRS$ के विकर्ण लंबवत हैं
Solution
(B) मान लीजिए कि भुजाओं $PQ, QR, RS,$ और $SP$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $A, B, C,$ और $D$ हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$AB \parallel PR$ और $AB = \frac{1}{2} PR$ है। इसी प्रकार,$DC \parallel PR$ और $DC = \frac{1}{2} PR$ है। अतः,$AB \parallel DC$ और $AB = DC$ है,जिससे $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है। $ABCD$ के समचतुर्भुज होने के लिए,इसकी आसन्न भुजाएँ बराबर होनी चाहिए (अर्थात $AB = AD$)। चूँकि $AD = \frac{1}{2} QS$ और $AB = \frac{1}{2} PR$ है,इसलिए $AB = AD$ की शर्त का अर्थ है $\frac{1}{2} PR = \frac{1}{2} QS$,जिसका अर्थ है $PR = QS$। अतः,मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बना चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है यदि मूल चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण बराबर हों।
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View Solution7
EasyMCQ
एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाने पर प्राप्त आकृति है
A
एक समचतुर्भुज
B
एक आयत
C
एक वर्ग
D
कोई भी समांतर चतुर्भुज
Solution
(B) माना समचतुर्भुज $ABCD$ है। माना $P, Q, R,$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD,$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$\triangle ABC$ में,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ है।
इसी प्रकार,$\triangle ADC$ में,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ है।
अतः,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को $90^\circ$ पर समद्विभाजित करते हैं,चतुर्भुज $PQRS$ की भुजाएँ विकर्णों $AC$ और $BD$ के समांतर होंगी।
चूँकि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब $(AC \perp BD)$ होते हैं,इसलिए चतुर्भुज $PQRS$ की आसन्न भुजाएँ एक-दूसरे पर लंब होंगी।
एक समांतर चतुर्भुज जिसका एक कोण समकोण हो,वह एक आयत होता है। इसलिए,$PQRS$ एक आयत है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$\triangle ABC$ में,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ है।
इसी प्रकार,$\triangle ADC$ में,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ है।
अतः,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को $90^\circ$ पर समद्विभाजित करते हैं,चतुर्भुज $PQRS$ की भुजाएँ विकर्णों $AC$ और $BD$ के समांतर होंगी।
चूँकि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब $(AC \perp BD)$ होते हैं,इसलिए चतुर्भुज $PQRS$ की आसन्न भुजाएँ एक-दूसरे पर लंब होंगी।
एक समांतर चतुर्भुज जिसका एक कोण समकोण हो,वह एक आयत होता है। इसलिए,$PQRS$ एक आयत है।
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View Solution8
MediumMCQ
$\Delta ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $D$ और $E$ हैं और $O$,भुजा $BC$ पर स्थित कोई बिंदु है। $O$ को $A$ से मिलाया गया है। यदि $P$ और $Q$ क्रमशः $OB$ और $OC$ के मध्य-बिंदु हैं,तो $DEQP$ है
A
एक वर्ग
B
एक आयत
C
एक समांतर चतुर्भुज
D
एक समचतुर्भुज
Solution
(C) $\Delta ABC$ में,$D$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$DE \parallel BC$ और $DE = \frac{1}{2} BC$ होता है।
$\Delta ABO$ में,$D$ और $P$ क्रमशः $AB$ और $OB$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$DP \parallel AO$ और $DP = \frac{1}{2} AO$ होता है।
$\Delta ACO$ में,$E$ और $Q$ क्रमशः $AC$ और $OC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$EQ \parallel AO$ और $EQ = \frac{1}{2} AO$ होता है।
उपरोक्त से,हमारे पास $DP = EQ$ (दोनों $\frac{1}{2} AO$ के बराबर हैं) और $DP \parallel EQ$ (दोनों $AO$ के समांतर हैं) है।
चूंकि चतुर्भुज $DEQP$ की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $DEQP$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Delta ABO$ में,$D$ और $P$ क्रमशः $AB$ और $OB$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$DP \parallel AO$ और $DP = \frac{1}{2} AO$ होता है।
$\Delta ACO$ में,$E$ और $Q$ क्रमशः $AC$ और $OC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$EQ \parallel AO$ और $EQ = \frac{1}{2} AO$ होता है।
उपरोक्त से,हमारे पास $DP = EQ$ (दोनों $\frac{1}{2} AO$ के बराबर हैं) और $DP \parallel EQ$ (दोनों $AO$ के समांतर हैं) है।
चूंकि चतुर्भुज $DEQP$ की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $DEQP$ एक समांतर चतुर्भुज है।
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MediumMCQ
एक चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम में जोड़ने पर बनी आकृति एक वर्ग तभी होती है जब,
A
$ABCD$ एक समचतुर्भुज हो
B
$ABCD$ के विकर्ण बराबर हों
C
$ABCD$ के विकर्ण लंबवत हों
D
$ABCD$ के विकर्ण बराबर और लंबवत हों
Solution
(D) वेरिग्नन प्रमेय के अनुसार,किसी भी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने पर बनी आकृति एक समांतर चतुर्भुज होती है।
इस समांतर चतुर्भुज के वर्ग होने के लिए,इसकी भुजाएँ बराबर होनी चाहिए और आसन्न भुजाएँ लंबवत होनी चाहिए।
मध्य-बिंदुओं को जोड़ने से बने चतुर्भुज की भुजाएँ मूल चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्णों के समानांतर होती हैं और उनकी लंबाई विकर्णों की लंबाई की आधी होती है।
इसलिए,परिणामी आकृति के वर्ग होने के लिए,मूल चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण लंबाई में बराबर (समांतर चतुर्भुज की भुजाओं को बराबर करने के लिए) और एक-दूसरे के लंबवत (समांतर चतुर्भुज के कोणों को $90^{\circ}$ करने के लिए) होने चाहिए।
इस समांतर चतुर्भुज के वर्ग होने के लिए,इसकी भुजाएँ बराबर होनी चाहिए और आसन्न भुजाएँ लंबवत होनी चाहिए।
मध्य-बिंदुओं को जोड़ने से बने चतुर्भुज की भुजाएँ मूल चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्णों के समानांतर होती हैं और उनकी लंबाई विकर्णों की लंबाई की आधी होती है।
इसलिए,परिणामी आकृति के वर्ग होने के लिए,मूल चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण लंबाई में बराबर (समांतर चतुर्भुज की भुजाओं को बराबर करने के लिए) और एक-दूसरे के लंबवत (समांतर चतुर्भुज के कोणों को $90^{\circ}$ करने के लिए) होने चाहिए।
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EasyMCQ
$D$ और $E$ क्रमशः $\triangle ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं। $DE$ को $F$ तक बढ़ाया गया है। यह सिद्ध करने के लिए कि $CF$,$DA$ के बराबर और समांतर है,हमें किस अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता है?
A
$\angle DAE = \angle EFC$
B
$AE = EF$
C
$DE = EF$
D
$\angle ADE = \angle ECF$
Solution
(C) यह सिद्ध करने के लिए कि $CF$,$DA$ के बराबर और समांतर है,हम $\triangle ADE$ और $\triangle CFE$ पर विचार करते हैं।
इन त्रिभुजों में:
$1$. $AE = CE$ (चूंकि $E$,$AC$ का मध्य-बिंदु है)
$2$. $\angle AED = \angle CEF$ (शीर्षाभिमुख कोण)
यदि हमें $DE = EF$ दिया गया है,तो $SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ADE \cong \triangle CFE$ होगा।
$CPCT$ द्वारा,हमें $AD = CF$ और $\angle ADE = \angle CFE$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\angle ADE$ और $\angle CFE$ एकांतर अंतःकोण हैं,इसलिए यह दर्शाता है कि $AD \parallel CF$ है।
अतः,आवश्यक अतिरिक्त जानकारी $DE = EF$ है।
इन त्रिभुजों में:
$1$. $AE = CE$ (चूंकि $E$,$AC$ का मध्य-बिंदु है)
$2$. $\angle AED = \angle CEF$ (शीर्षाभिमुख कोण)
यदि हमें $DE = EF$ दिया गया है,तो $SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ADE \cong \triangle CFE$ होगा।
$CPCT$ द्वारा,हमें $AD = CF$ और $\angle ADE = \angle CFE$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\angle ADE$ और $\angle CFE$ एकांतर अंतःकोण हैं,इसलिए यह दर्शाता है कि $AD \parallel CF$ है।
अतः,आवश्यक अतिरिक्त जानकारी $DE = EF$ है।
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MediumMCQ
$\triangle ABC$ में,$AB = 5\, cm$,$BC = 8\, cm$ और $CA = 7\, cm$ है। यदि $D$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं,तो $DE$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। ($, cm$ में)
A
$1.5$
B
$2$
C
$3.5$
D
$4$
Solution
(C) $\triangle ABC$ में,$D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $E$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।
इसलिए,$DE = \frac{1}{2} \times AC$।
दिया गया है कि $AC = 7\, cm$।
$DE = \frac{1}{2} \times 7\, cm = 3.5\, cm$।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।
इसलिए,$DE = \frac{1}{2} \times AC$।
दिया गया है कि $AC = 7\, cm$।
$DE = \frac{1}{2} \times 7\, cm = 3.5\, cm$।
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Medium
$D, E$ और $F$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
Solution
(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ जिसमें $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $D, E$ और $F$ हैं।
सिद्ध करना है कि $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\triangle ABC$ में,$E$ और $F$ क्रमशः $AC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए,$EF || BC$ और $EF = \frac{1}{2} BC$ है।
चूंकि $D, BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = \frac{1}{2} BC$ है।
अतः,$EF || BD$ और $EF = BD$ प्राप्त होता है।
जिस चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म ($EF$ और $BD$) समांतर और लंबाई में समान हो,वह एक समांतर चतुर्भुज होता है। अतः $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
सिद्ध करना है कि $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\triangle ABC$ में,$E$ और $F$ क्रमशः $AC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए,$EF || BC$ और $EF = \frac{1}{2} BC$ है।
चूंकि $D, BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = \frac{1}{2} BC$ है।
अतः,$EF || BD$ और $EF = BD$ प्राप्त होता है।
जिस चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म ($EF$ और $BD$) समांतर और लंबाई में समान हो,वह एक समांतर चतुर्भुज होता है। अतः $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
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Medium
$D, E$ और $F$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि $\operatorname{ar}( BDEF ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}( ABC )$
Solution
(N/A) दिया गया है कि $D, E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$FE \parallel BC$ और $FE = \frac{1}{2} BC = BD$ है।
चूँकि $FE \parallel BD$ और $FE = BD$ है,इसलिए $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसी प्रकार,$AFDE$ और $FDCE$ भी समांतर चतुर्भुज हैं।
समांतर चतुर्भुज $BDEF$ में,विकर्ण $DE$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए $\operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ है।
इसी प्रकार,समांतर चतुर्भुज $AFDE$ में,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ और समांतर चतुर्भुज $FDCE$ में,$\operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC)$ है।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$ है।
अब,$\operatorname{ar}(BDEF) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{2}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$FE \parallel BC$ और $FE = \frac{1}{2} BC = BD$ है।
चूँकि $FE \parallel BD$ और $FE = BD$ है,इसलिए $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसी प्रकार,$AFDE$ और $FDCE$ भी समांतर चतुर्भुज हैं।
समांतर चतुर्भुज $BDEF$ में,विकर्ण $DE$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए $\operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ है।
इसी प्रकार,समांतर चतुर्भुज $AFDE$ में,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ और समांतर चतुर्भुज $FDCE$ में,$\operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC)$ है।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$ है।
अब,$\operatorname{ar}(BDEF) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{2}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$।
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EasyMCQ
$12 \, cm$ और $16 \, cm$ विकर्णों वाले समचतुर्भुज की आसन्न भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति का क्षेत्रफल ($cm^2$ में) क्या होगा?
A
$48$
B
$64$
C
$96$
D
$192$
Solution
(A) $1$. समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $Area = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ है, जहाँ $d_1$ और $d_2$ विकर्णों की लंबाई हैं।
$2$. दिया गया है कि $d_1 = 12 \, cm$ और $d_2 = 16 \, cm$, इसलिए समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $Area = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96 \, cm^2$ है।
$3$. वैरिग्नन प्रमेय (Varignon's Theorem) के अनुसार, किसी भी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति एक समांतर चतुर्भुज होती है, और इसका क्षेत्रफल मूल चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
$4$. चूंकि समचतुर्भुज एक प्रकार का चतुर्भुज है, इसलिए इसके मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times (\text{समचतुर्भुज का क्षेत्रफल})$ होगा।
$5$. अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 96 = 48 \, cm^2$ है।
$2$. दिया गया है कि $d_1 = 12 \, cm$ और $d_2 = 16 \, cm$, इसलिए समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $Area = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96 \, cm^2$ है।
$3$. वैरिग्नन प्रमेय (Varignon's Theorem) के अनुसार, किसी भी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति एक समांतर चतुर्भुज होती है, और इसका क्षेत्रफल मूल चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
$4$. चूंकि समचतुर्भुज एक प्रकार का चतुर्भुज है, इसलिए इसके मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times (\text{समचतुर्भुज का क्षेत्रफल})$ होगा।
$5$. अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 96 = 48 \, cm^2$ है।
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Medium
$ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसमें $P$,$Q$,$R$ और $S$ भुजाओं $AB$,$BC$,$CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं (आकृति देखें)। $AC$ एक विकर्ण है। दर्शाइए कि: $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
Solution
(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\therefore PQ = \frac{1}{2} AC$ और $PQ \parallel AC$ .......... $(1)$
$\Delta ACD$ में,$S$ और $R$ भुजाओं $DA$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\therefore SR = \frac{1}{2} AC$ और $SR \parallel AC$ .......... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$PQ = \frac{1}{2} AC = SR$ और $PQ \parallel AC \parallel SR$
$\Rightarrow PQ = SR$ और $PQ \parallel SR$
अर्थात,चतुर्भुज $PQRS$ में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है।
$\therefore PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\therefore PQ = \frac{1}{2} AC$ और $PQ \parallel AC$ .......... $(1)$
$\Delta ACD$ में,$S$ और $R$ भुजाओं $DA$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\therefore SR = \frac{1}{2} AC$ और $SR \parallel AC$ .......... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$PQ = \frac{1}{2} AC = SR$ और $PQ \parallel AC \parallel SR$
$\Rightarrow PQ = SR$ और $PQ \parallel SR$
अर्थात,चतुर्भुज $PQRS$ में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है।
$\therefore PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
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Difficult
$ABCD$ एक समचतुर्भुज है और $P, Q, R$ तथा $S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज $PQRS$ एक आयत है।
Solution
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समचतुर्भुज है। $P, Q, R, S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक आयत है।
रचना: $AC$ और $BD$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
$1$. $\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ ... $(1)$.
$2$. $\Delta ADC$ में,$S$ और $R$ भुजाओं $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ ... $(2)$.
$3$. $(1)$ और $(2)$ से,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ प्राप्त होता है। चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$4$. समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को $90^{\circ}$ पर समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। अतः,$AC \perp BD$.
$5$. चूँकि $PQ \parallel AC$ और $QR \parallel BD$,इसलिए $PQ$ और $QR$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ होगा क्योंकि $AC$ और $BD$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
$6$. चूँकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $PQRS$ एक आयत है।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक आयत है।
रचना: $AC$ और $BD$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
$1$. $\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ ... $(1)$.
$2$. $\Delta ADC$ में,$S$ और $R$ भुजाओं $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ ... $(2)$.
$3$. $(1)$ और $(2)$ से,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ प्राप्त होता है। चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$4$. समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को $90^{\circ}$ पर समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। अतः,$AC \perp BD$.
$5$. चूँकि $PQ \parallel AC$ और $QR \parallel BD$,इसलिए $PQ$ और $QR$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ होगा क्योंकि $AC$ और $BD$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
$6$. चूँकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $PQRS$ एक आयत है।
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Medium
$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है,$BD$ एक विकर्ण है और $E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है। $E$ से होकर $AB$ के समांतर एक रेखा खींची गई है जो $BC$ को $F$ पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि $F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
Solution
(N/A) समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB \parallel DC$ है। $E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है। $EF$ को $AB$ के समांतर खींचा गया है। हमें सिद्ध करना है कि $F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
$BD$ को मिलाइए।
$\Delta DAB$ में:
चूँकि $E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है [दिया है] और $EG \parallel AB$ [चूँकि $EF \parallel AB$],मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम का उपयोग करने पर,$G$,$BD$ का मध्य-बिंदु है।
$\Delta BDC$ में:
चूँकि $G$,$BD$ का मध्य-बिंदु है [सिद्ध किया गया] और $GF \parallel DC$ [चूँकि $AB \parallel DC$ और $EF \parallel AB$,इसलिए $GF \parallel DC$],मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम का उपयोग करने पर,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
$BD$ को मिलाइए।
$\Delta DAB$ में:
चूँकि $E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है [दिया है] और $EG \parallel AB$ [चूँकि $EF \parallel AB$],मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम का उपयोग करने पर,$G$,$BD$ का मध्य-बिंदु है।
$\Delta BDC$ में:
चूँकि $G$,$BD$ का मध्य-बिंदु है [सिद्ध किया गया] और $GF \parallel DC$ [चूँकि $AB \parallel DC$ और $EF \parallel AB$,इसलिए $GF \parallel DC$],मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम का उपयोग करने पर,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
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Difficult
एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं (आकृति देखें)। दर्शाइए कि रेखाखंड $AF$ और $EC$ विकर्ण $BD$ को समत्रिभाजित करते हैं।
Solution
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें $E$ और $F$ क्रमशः $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $AF$ और $EC$ विकर्ण $BD$ को समत्रिभाजित करते हैं,अर्थात $DP = PQ = QB$ है।
उपपत्ति:
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AB \parallel DC$ और $AB = DC$ है।
$E$ और $F$ मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $AE = \frac{1}{2}AB$ और $FC = \frac{1}{2}DC$ है।
चूंकि $AB = DC$ है,इसलिए $AE = FC$ है।
साथ ही,$AB \parallel DC$ होने के कारण $AE \parallel FC$ है।
अतः,$AECF$ एक समांतर चतुर्भुज है (वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो)।
इसलिए,$AF \parallel EC$ है।
$\Delta DQC$ में,$F$,$DC$ का मध्य-बिंदु है और $FP \parallel CQ$ है ($AF \parallel EC$ के कारण)। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$P$,$DQ$ का मध्य-बिंदु है,अतः $DP = PQ$ ... $(1)$ है।
$\Delta ABP$ में,$E$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $EQ \parallel AP$ है ($AF \parallel EC$ के कारण)। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$Q$,$BP$ का मध्य-बिंदु है,अतः $PQ = QB$ ... $(2)$ है।
$(1)$ और $(2)$ से,$DP = PQ = QB$ है।
अतः,$AF$ और $EC$ विकर्ण $BD$ को समत्रिभाजित करते हैं।
सिद्ध करना है: $AF$ और $EC$ विकर्ण $BD$ को समत्रिभाजित करते हैं,अर्थात $DP = PQ = QB$ है।
उपपत्ति:
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AB \parallel DC$ और $AB = DC$ है।
$E$ और $F$ मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $AE = \frac{1}{2}AB$ और $FC = \frac{1}{2}DC$ है।
चूंकि $AB = DC$ है,इसलिए $AE = FC$ है।
साथ ही,$AB \parallel DC$ होने के कारण $AE \parallel FC$ है।
अतः,$AECF$ एक समांतर चतुर्भुज है (वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो)।
इसलिए,$AF \parallel EC$ है।
$\Delta DQC$ में,$F$,$DC$ का मध्य-बिंदु है और $FP \parallel CQ$ है ($AF \parallel EC$ के कारण)। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$P$,$DQ$ का मध्य-बिंदु है,अतः $DP = PQ$ ... $(1)$ है।
$\Delta ABP$ में,$E$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $EQ \parallel AP$ है ($AF \parallel EC$ के कारण)। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$Q$,$BP$ का मध्य-बिंदु है,अतः $PQ = QB$ ... $(2)$ है।
$(1)$ और $(2)$ से,$DP = PQ = QB$ है।
अतः,$AF$ और $EC$ विकर्ण $BD$ को समत्रिभाजित करते हैं।
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सिद्ध कीजिए कि एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
Solution
(N/A) माना $ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसमें भुजाओं $AB$,$BC$,$CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $P$,$Q$,$R$ और $S$ हैं। हमें सिद्ध करना है कि सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड,अर्थात् $PR$ और $SQ$,एक-दूसरे को $O$ पर समद्विभाजित करते हैं।
$PQ$,$QR$,$RS$ और $SP$ को मिलाइए। साथ ही,$AC$ और $BD$ को भी मिलाइए।
$\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ है।
$\Delta ADC$ में,$S$ और $R$ क्रमशः $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ है।
उपरोक्त से,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ प्राप्त होता है।
चूँकि चतुर्भुज $PQRS$ की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
अतः,समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण $PR$ और $SQ$ एक-दूसरे को $O$ पर समद्विभाजित करते हैं।
इस प्रकार,एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
$PQ$,$QR$,$RS$ और $SP$ को मिलाइए। साथ ही,$AC$ और $BD$ को भी मिलाइए।
$\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ है।
$\Delta ADC$ में,$S$ और $R$ क्रमशः $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ है।
उपरोक्त से,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ प्राप्त होता है।
चूँकि चतुर्भुज $PQRS$ की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
अतः,समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण $PR$ और $SQ$ एक-दूसरे को $O$ पर समद्विभाजित करते हैं।
इस प्रकार,एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
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$\Delta ABC$ एक त्रिभुज है जो $C$ पर समकोण है। कर्ण $AB$ के मध्य-बिंदु $M$ से होकर जाने वाली और $BC$ के समानांतर एक रेखा $AC$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि $D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है।
Solution
(N/A) हमारे पास एक त्रिभुज $ABC$ है जिसमें $\angle C = 90^{\circ}$ है। $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $MD \parallel BC$ है।
सिद्ध करना है कि $D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है।
$\Delta ACB$ में,हमारे पास है:
$M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। [दिया है]
$MD \parallel BC$ है। [दिया है]
अतः,मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम का उपयोग करते हुए,$D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है कि $D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है।
$\Delta ACB$ में,हमारे पास है:
$M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। [दिया है]
$MD \parallel BC$ है। [दिया है]
अतः,मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम का उपयोग करते हुए,$D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है।
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$ABC$ एक त्रिभुज है जो $C$ पर समकोण है। कर्ण $AB$ के मध्य-बिंदु $M$ से होकर जाने वाली और $BC$ के समांतर रेखा $AC$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि $MD \perp AC$ है।
Solution
(N/A) हमारे पास एक त्रिभुज $ABC$ है जिसमें $\angle C = 90^{\circ}$ है। $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $MD \parallel BC$ है।
सिद्ध करना है: $MD \perp AC$.
चूंकि $MD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,
$\therefore \angle MDA = \angle BCA$ [संगत कोण].
परंतु $\angle BCA = 90^{\circ}$ [दिया है].
$\therefore \angle MDA = 90^{\circ}$.
$\Rightarrow MD \perp AC$.
सिद्ध करना है: $MD \perp AC$.
चूंकि $MD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,
$\therefore \angle MDA = \angle BCA$ [संगत कोण].
परंतु $\angle BCA = 90^{\circ}$ [दिया है].
$\therefore \angle MDA = 90^{\circ}$.
$\Rightarrow MD \perp AC$.
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Difficult
$ABC$ एक त्रिभुज है जिसमें $C$ समकोण है। कर्ण $AB$ के मध्य-बिंदु $M$ से होकर जाने वाली और $BC$ के समांतर रेखा $AC$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि $CM = MA = \frac{1}{2} AB$ है।
Solution
(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle C = 90^{\circ}$,$M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $MD \parallel BC$ है।
सिद्ध करना है: $CM = MA = \frac{1}{2} AB$.
उपपत्ति:
$1$. $\Delta ABC$ में,चूँकि $MD \parallel BC$ और $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$AD = CD$.
$2$. अब,$\Delta ADM$ और $\Delta CDM$ में:
- $AD = CD$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
- $\angle ADM = \angle CDM = 90^{\circ}$ (चूँकि $MD \parallel BC$ और $\angle ACB = 90^{\circ}$,संगत कोणों के कारण $\angle ADM = 90^{\circ}$)
- $DM = DM$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$3$. $SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta ADM \cong \Delta CDM$.
$4$. $c.p.c.t.$ द्वारा,$MA = MC$.
$5$. चूँकि $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $MA = \frac{1}{2} AB$.
$6$. अतः,$CM = MA = \frac{1}{2} AB$।
सिद्ध करना है: $CM = MA = \frac{1}{2} AB$.
उपपत्ति:
$1$. $\Delta ABC$ में,चूँकि $MD \parallel BC$ और $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$AD = CD$.
$2$. अब,$\Delta ADM$ और $\Delta CDM$ में:
- $AD = CD$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
- $\angle ADM = \angle CDM = 90^{\circ}$ (चूँकि $MD \parallel BC$ और $\angle ACB = 90^{\circ}$,संगत कोणों के कारण $\angle ADM = 90^{\circ}$)
- $DM = DM$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$3$. $SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta ADM \cong \Delta CDM$.
$4$. $c.p.c.t.$ द्वारा,$MA = MC$.
$5$. चूँकि $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $MA = \frac{1}{2} AB$.
$6$. अतः,$CM = MA = \frac{1}{2} AB$।
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Difficult
यदि $P, Q$ और $R$ एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं और $AD, A$ से $BC$ पर लंब है,तो सिद्ध कीजिए कि $P, Q, R$ और $D$ एकवृतीय (concyclic) हैं।
Solution
(N/A) हमें सिद्ध करना है कि $R, D, P$ और $Q$ एकवृतीय हैं।
$RD, QD, PR$ और $PQ$ को मिलाइए।
चूंकि $RP, AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदुओं $R$ और $P$ को जोड़ता है,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$RP \parallel AC$.
इसी प्रकार,$PQ \parallel AB$.
अतः,$ARPQ$ एक समांतर चतुर्भुज है। इसलिए,$\angle RAQ = \angle RPQ$ (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण) ... $(1)$
समकोण त्रिभुज $ABD$ में,$DR$ कर्ण $AB$ पर माध्यिका है। इसलिए,$RA = RD$,जिसका अर्थ है $\angle 1 = \angle B$.
इसी प्रकार,समकोण त्रिभुज $ACD$ में,$DQ$ कर्ण $AC$ पर माध्यिका है। इसलिए,$QA = QD$,जिसका अर्थ है $\angle 3 = \angle C$.
त्रिभुज $ABC$ में,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
साथ ही,$\triangle RDQ$ में,$\angle RDQ = 180^{\circ} - (\angle DRQ + \angle DQR) = 180^{\circ} - (2\angle B + 2\angle C) = 180^{\circ} - 2(\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - 2(180^{\circ} - \angle A) = 2\angle A - 180^{\circ}$.
वैकल्पिक रूप से,चक्रीय चतुर्भुज के गुण का उपयोग करते हुए,$\angle RPQ = \angle A$ और $\angle RDQ = \angle RDA + \angle ADQ = \angle RAD + \angle QAD = \angle A$. चूंकि $\angle RPQ = \angle A$ और $\angle RDQ = \angle A$,बिंदु $R, D, P, Q$ एकवृतीय हैं क्योंकि वे $RQ$ के एक ही ओर समान कोण अंतरित करते हैं।
$RD, QD, PR$ और $PQ$ को मिलाइए।
चूंकि $RP, AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदुओं $R$ और $P$ को जोड़ता है,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$RP \parallel AC$.
इसी प्रकार,$PQ \parallel AB$.
अतः,$ARPQ$ एक समांतर चतुर्भुज है। इसलिए,$\angle RAQ = \angle RPQ$ (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण) ... $(1)$
समकोण त्रिभुज $ABD$ में,$DR$ कर्ण $AB$ पर माध्यिका है। इसलिए,$RA = RD$,जिसका अर्थ है $\angle 1 = \angle B$.
इसी प्रकार,समकोण त्रिभुज $ACD$ में,$DQ$ कर्ण $AC$ पर माध्यिका है। इसलिए,$QA = QD$,जिसका अर्थ है $\angle 3 = \angle C$.
त्रिभुज $ABC$ में,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
साथ ही,$\triangle RDQ$ में,$\angle RDQ = 180^{\circ} - (\angle DRQ + \angle DQR) = 180^{\circ} - (2\angle B + 2\angle C) = 180^{\circ} - 2(\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - 2(180^{\circ} - \angle A) = 2\angle A - 180^{\circ}$.
वैकल्पिक रूप से,चक्रीय चतुर्भुज के गुण का उपयोग करते हुए,$\angle RPQ = \angle A$ और $\angle RDQ = \angle RDA + \angle ADQ = \angle RAD + \angle QAD = \angle A$. चूंकि $\angle RPQ = \angle A$ और $\angle RDQ = \angle A$,बिंदु $R, D, P, Q$ एकवृतीय हैं क्योंकि वे $RQ$ के एक ही ओर समान कोण अंतरित करते हैं।
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Medium
$E$ समलंब चतुर्भुज $ABCD$ की भुजा $AD$ का मध्य-बिंदु है,जिसमें $AB \parallel DC$ है। $E$ से होकर जाने वाली और $AB$ के समांतर रेखा $BC$ को $F$ पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि $F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
Solution
(N/A) दिया है: एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AB \parallel DC$ है और $E$,भुजा $AD$ का मध्य-बिंदु है। साथ ही,$EF \parallel AB$ है।
सिद्ध करना है: $F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
रचना: $AC$ को मिलाइए जो $EF$ को $O$ पर प्रतिच्छेद करती है।
उपपत्ति: $\triangle ADC$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $EF \parallel DC$ है।
$[\because EF \parallel AB \text{ और } DC \parallel AB \Rightarrow AB \parallel EF \parallel DC]$
$\therefore O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। [मध्य-बिंदु प्रमेय का विलोम]
अब,$\triangle CAB$ में,$O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है और $OF \parallel AB$ है।
$\Rightarrow OF$,$BC$ को समद्विभाजित करता है [मध्य-बिंदु प्रमेय का विलोम]।
अर्थात $F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
इति सिद्धम्।
सिद्ध करना है: $F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
रचना: $AC$ को मिलाइए जो $EF$ को $O$ पर प्रतिच्छेद करती है।
उपपत्ति: $\triangle ADC$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $EF \parallel DC$ है।
$[\because EF \parallel AB \text{ और } DC \parallel AB \Rightarrow AB \parallel EF \parallel DC]$
$\therefore O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। [मध्य-बिंदु प्रमेय का विलोम]
अब,$\triangle CAB$ में,$O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है और $OF \parallel AB$ है।
$\Rightarrow OF$,$BC$ को समद्विभाजित करता है [मध्य-बिंदु प्रमेय का विलोम]।
अर्थात $F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
इति सिद्धम्।
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Difficult
$D, E$ और $F$ एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि $\triangle DEF$ भी एक समबाहु त्रिभुज है।
Solution
(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है। $D, E$ और $F$ क्रमशः $\triangle ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $\triangle DEF$ एक समबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ति: मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
$1$. $EF$,भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदुओं को मिलाता है। इसलिए,$EF = \frac{1}{2} BC$ $(1)$.
$2$. $DE$,भुजाओं $BC$ और $AC$ के मध्य-बिंदुओं को मिलाता है। इसलिए,$DE = \frac{1}{2} AB$ $(2)$.
$3$. $DF$,भुजाओं $BC$ और $AB$ के मध्य-बिंदुओं को मिलाता है। इसलिए,$DF = \frac{1}{2} AC$ $(3)$.
चूंकि $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $AB = BC = CA$ $(4)$.
$(4)$ का मान $(1), (2)$ और $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$EF = \frac{1}{2} BC$,$DE = \frac{1}{2} BC$,और $DF = \frac{1}{2} BC$.
अतः,$DE = EF = DF$.
इसलिए,$\triangle DEF$ एक समबाहु त्रिभुज है। इति सिद्धम्।
सिद्ध करना है: $\triangle DEF$ एक समबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ति: मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
$1$. $EF$,भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदुओं को मिलाता है। इसलिए,$EF = \frac{1}{2} BC$ $(1)$.
$2$. $DE$,भुजाओं $BC$ और $AC$ के मध्य-बिंदुओं को मिलाता है। इसलिए,$DE = \frac{1}{2} AB$ $(2)$.
$3$. $DF$,भुजाओं $BC$ और $AB$ के मध्य-बिंदुओं को मिलाता है। इसलिए,$DF = \frac{1}{2} AC$ $(3)$.
चूंकि $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $AB = BC = CA$ $(4)$.
$(4)$ का मान $(1), (2)$ और $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$EF = \frac{1}{2} BC$,$DE = \frac{1}{2} BC$,और $DF = \frac{1}{2} BC$.
अतः,$DE = EF = DF$.
इसलिए,$\triangle DEF$ एक समबाहु त्रिभुज है। इति सिद्धम्।
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Difficult
दर्शाइए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाने पर बनने वाला चतुर्भुज एक आयत होता है।
Solution
(N/A) माना $ABCD$ एक समचतुर्भुज है और $P, Q, R$ तथा $S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं। $AC$ और $BD$ को मिलाइए।
त्रिभुज $ABD$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार:
$SP = \frac{1}{2} BD$ और $SP \parallel BD.$
इसी प्रकार,त्रिभुज $BCD$ में:
$RQ = \frac{1}{2} BD$ और $RQ \parallel BD.$
अतः,$SP = RQ$ और $SP \parallel RQ$ (समीकरण $1$).
चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
साथ ही,समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब होते हैं,अतः $AC \perp BD.$
त्रिभुज $BAC$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC.$
चूंकि $SP \parallel BD$ और $PQ \parallel AC,$ तथा $AC \perp BD,$ इसलिए $SP \perp PQ$ होगा।
अतः,$\angle SPQ = 90^{\circ}$ (समीकरण $2$).
चूंकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $PQRS$ एक आयत है।
त्रिभुज $ABD$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार:
$SP = \frac{1}{2} BD$ और $SP \parallel BD.$
इसी प्रकार,त्रिभुज $BCD$ में:
$RQ = \frac{1}{2} BD$ और $RQ \parallel BD.$
अतः,$SP = RQ$ और $SP \parallel RQ$ (समीकरण $1$).
चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
साथ ही,समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब होते हैं,अतः $AC \perp BD.$
त्रिभुज $BAC$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC.$
चूंकि $SP \parallel BD$ और $PQ \parallel AC,$ तथा $AC \perp BD,$ इसलिए $SP \perp PQ$ होगा।
अतः,$\angle SPQ = 90^{\circ}$ (समीकरण $2$).
चूंकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $PQRS$ एक आयत है।
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Difficult
$P, Q, R$ और $S$ क्रमशः एक चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं,जिसमें $AC = BD$ है। सिद्ध कीजिए कि $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
Solution
(N/A) एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AC = BD$ है और $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
उपपत्ति: $\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। अर्थात,$PQ$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदुओं को जोड़ता है।
$\therefore PQ \parallel AC$ $... (1)$
और $PQ = \frac{1}{2} AC$ $... (2)$ [मध्य-बिंदु प्रमेय]
$\Delta ADC$ में,$R$ और $S$ क्रमशः $CD$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\therefore SR \parallel AC$ $... (3)$
और $SR = \frac{1}{2} AC$ $... (4)$ [मध्य-बिंदु प्रमेय]
$(1)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है $PQ \parallel SR$.
$(2)$ और $(4)$ से,हमें प्राप्त होता है $PQ = RS$.
चूंकि $PQ \parallel SR$ और $PQ = RS$,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Delta DAB$ में,$SP$ भुजाओं $DA$ और $AB$ के मध्य-बिंदुओं को जोड़ता है।
$\therefore SP = \frac{1}{2} BD$ $... (5)$ [मध्य-बिंदु प्रमेय]
दिया है $AC = BD$ $... (6)$
समीकरणों $(2), (5)$ और $(6)$ से,हमें प्राप्त होता है $SP = PQ$.
चूंकि समांतर चतुर्भुज $PQRS$ की आसन्न भुजाएँ बराबर हैं $(SP = PQ)$,इसलिए $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
इति सिद्धम्।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
उपपत्ति: $\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। अर्थात,$PQ$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदुओं को जोड़ता है।
$\therefore PQ \parallel AC$ $... (1)$
और $PQ = \frac{1}{2} AC$ $... (2)$ [मध्य-बिंदु प्रमेय]
$\Delta ADC$ में,$R$ और $S$ क्रमशः $CD$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\therefore SR \parallel AC$ $... (3)$
और $SR = \frac{1}{2} AC$ $... (4)$ [मध्य-बिंदु प्रमेय]
$(1)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है $PQ \parallel SR$.
$(2)$ और $(4)$ से,हमें प्राप्त होता है $PQ = RS$.
चूंकि $PQ \parallel SR$ और $PQ = RS$,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Delta DAB$ में,$SP$ भुजाओं $DA$ और $AB$ के मध्य-बिंदुओं को जोड़ता है।
$\therefore SP = \frac{1}{2} BD$ $... (5)$ [मध्य-बिंदु प्रमेय]
दिया है $AC = BD$ $... (6)$
समीकरणों $(2), (5)$ और $(6)$ से,हमें प्राप्त होता है $SP = PQ$.
चूंकि समांतर चतुर्भुज $PQRS$ की आसन्न भुजाएँ बराबर हैं $(SP = PQ)$,इसलिए $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
इति सिद्धम्।
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Medium
$P, Q, R$ और $S$ चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं,जिसमें $AC = BD$ और $AC \perp BD$ है। सिद्ध कीजिए कि $PQRS$ एक वर्ग है।
Solution
(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AC = BD$ और $AC \perp BD$ है। $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक वर्ग है।
उपपत्ति:
$1$. $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$.
$2$. इसी प्रकार,$\triangle ADC$ में,$S$ और $R$ क्रमशः $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। अतः,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$.
$3$. चूंकि $PQ = SR$ और $PQ \parallel SR$,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$4$. $\triangle ABD$ में,$P$ और $S$ क्रमशः $AB$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं। अतः,$PS = \frac{1}{2} BD$.
$5$. चूंकि $AC = BD$ (दिया है),इसलिए $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD = PS$ प्राप्त होता है। अतः,$PQ = PS$.
$6$. चूंकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर $(PQ = PS)$ हैं,इसलिए यह एक समचतुर्भुज है।
$7$. चूंकि $AC \perp BD$ और $PQ \parallel AC$ तथा $PS \parallel BD$,इसलिए $PQ \perp PS$ होगा। अतः,$\angle SPQ = 90^{\circ}$.
$8$. वह समचतुर्भुज जिसका एक कोण $90^{\circ}$ हो,वर्ग कहलाता है। अतः,$PQRS$ एक वर्ग है।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक वर्ग है।
उपपत्ति:
$1$. $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$.
$2$. इसी प्रकार,$\triangle ADC$ में,$S$ और $R$ क्रमशः $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। अतः,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$.
$3$. चूंकि $PQ = SR$ और $PQ \parallel SR$,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$4$. $\triangle ABD$ में,$P$ और $S$ क्रमशः $AB$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं। अतः,$PS = \frac{1}{2} BD$.
$5$. चूंकि $AC = BD$ (दिया है),इसलिए $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD = PS$ प्राप्त होता है। अतः,$PQ = PS$.
$6$. चूंकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर $(PQ = PS)$ हैं,इसलिए यह एक समचतुर्भुज है।
$7$. चूंकि $AC \perp BD$ और $PQ \parallel AC$ तथा $PS \parallel BD$,इसलिए $PQ \perp PS$ होगा। अतः,$\angle SPQ = 90^{\circ}$.
$8$. वह समचतुर्भुज जिसका एक कोण $90^{\circ}$ हो,वर्ग कहलाता है। अतः,$PQRS$ एक वर्ग है।
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Difficult
$E$,$\triangle ABC$ की माध्यिका $AD$ का मध्य-बिंदु है और $BE$ को आगे बढ़ाने पर वह $AC$ से $F$ पर मिलती है। दर्शाइए कि $AF = \frac{1}{3} AC$ है।
Solution
(N/A) दिया है: एक $\triangle ABC$ जिसमें $AD$ एक माध्यिका है,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $BE$ को आगे बढ़ाने पर वह $AC$ से $F$ पर मिलती है।
सिद्ध करना है: $AF = \frac{1}{3} AC$.
रचना: $DG \parallel BF$ खींचिए जो $AC$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करता है।
उपपत्ति: $\triangle ADG$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $EF \parallel DG$ है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$AF = FG$ .....$(1)$.
$\triangle FBC$ में,$D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $DG \parallel BF$ है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$FG = GC$ .....$(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$AF = FG = GC$ .....$(3)$.
चूंकि $AC = AF + FG + GC$,समीकरण $(3)$ का उपयोग करने पर:
$AC = AF + AF + AF = 3AF$.
अतः,$AF = \frac{1}{3} AC$.
इति सिद्धम्।
सिद्ध करना है: $AF = \frac{1}{3} AC$.
रचना: $DG \parallel BF$ खींचिए जो $AC$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करता है।
उपपत्ति: $\triangle ADG$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $EF \parallel DG$ है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$AF = FG$ .....$(1)$.
$\triangle FBC$ में,$D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $DG \parallel BF$ है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$FG = GC$ .....$(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$AF = FG = GC$ .....$(3)$.
चूंकि $AC = AF + FG + GC$,समीकरण $(3)$ का उपयोग करने पर:
$AC = AF + AF + AF = 3AF$.
अतः,$AF = \frac{1}{3} AC$.
इति सिद्धम्।
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Difficult
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की क्रमागत भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बना चतुर्भुज भी एक वर्ग होता है।
Solution
(N/A) दिया है: एक वर्ग $ABCD$ जिसमें $P, Q, R, S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ के मध्य-बिंदु हैं। $PQ, QR, RS$ और $SP$ को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक वर्ग है।
रचना: $AC$ और $BD$ को मिलाइए।
उपपत्ति: $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ (मध्य-बिंदु प्रमेय) ... $(1)$
$\triangle ADC$ में,$R$ और $S$ क्रमशः $CD$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए,$RS \parallel AC$ और $RS = \frac{1}{2} AC$ (मध्य-बिंदु प्रमेय) ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है $PQ \parallel RS$ और $PQ = RS$.
अतः,चतुर्भुज $PQRS$ में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है। इसलिए,$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि $ABCD$ एक वर्ग है,$AB = BC = CD = DA$.
साथ ही,$PB = BQ = QC = CR = RD = DS = SA = AP = \frac{1}{2} AB$.
$\triangle PBQ$ और $\triangle QCR$ में,$PB = QC$,$BQ = CR$,और $\angle PBQ = \angle QCR = 90^{\circ}$.
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle PBQ \cong \triangle QCR$.
इसलिए,$PQ = QR$ $(CPCT)$.
चूँकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
अब,वर्ग $ABCD$ के विकर्णों पर विचार करें। $AC \perp BD$ और $AC = BD$.
चूँकि $PQ \parallel AC$ और $QR \parallel BD$,और $AC \perp BD$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $PQ \perp QR$.
अतः,$PQRS$ एक ऐसा समचतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है।
इसलिए,$PQRS$ एक वर्ग है।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक वर्ग है।
रचना: $AC$ और $BD$ को मिलाइए।
उपपत्ति: $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ (मध्य-बिंदु प्रमेय) ... $(1)$
$\triangle ADC$ में,$R$ और $S$ क्रमशः $CD$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए,$RS \parallel AC$ और $RS = \frac{1}{2} AC$ (मध्य-बिंदु प्रमेय) ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है $PQ \parallel RS$ और $PQ = RS$.
अतः,चतुर्भुज $PQRS$ में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है। इसलिए,$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि $ABCD$ एक वर्ग है,$AB = BC = CD = DA$.
साथ ही,$PB = BQ = QC = CR = RD = DS = SA = AP = \frac{1}{2} AB$.
$\triangle PBQ$ और $\triangle QCR$ में,$PB = QC$,$BQ = CR$,और $\angle PBQ = \angle QCR = 90^{\circ}$.
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle PBQ \cong \triangle QCR$.
इसलिए,$PQ = QR$ $(CPCT)$.
चूँकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
अब,वर्ग $ABCD$ के विकर्णों पर विचार करें। $AC \perp BD$ और $AC = BD$.
चूँकि $PQ \parallel AC$ और $QR \parallel BD$,और $AC \perp BD$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $PQ \perp QR$.
अतः,$PQRS$ एक ऐसा समचतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है।
इसलिए,$PQRS$ एक वर्ग है।
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Difficult
$E$ और $F$ एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ की असमांतर भुजाओं $AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि $EF \parallel AB$ और $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$।
Solution
(N/A) दिया है: एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $E$ और $F$ क्रमशः असमांतर भुजाओं $AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $EF \parallel AB$ और $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$।
रचना: $DF$ को मिलाइए और इसे आगे बढ़ाकर $AB$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करने दीजिए।
उपपत्ति: $\Delta CFD$ और $\Delta BFG$ में:
$DC \parallel AG$ (क्योंकि $DC \parallel AB$)
$\angle DCF = \angle GBF$ [एकांतर अंतःकोण]
$CF = BF$ [दिया है,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है]
$\angle CFD = \angle BFG$ [शीर्षाभिमुख कोण]
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta CFD \cong \Delta BFG$।
इसलिए,$CD = BG$ और $DF = FG$ [$CPCT$]।
अब,$\Delta ADG$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $F$,$DG$ का मध्य-बिंदु है (क्योंकि $DF = FG$)।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$EF \parallel AG$ और $EF = \frac{1}{2}AG$।
चूंकि $AG = AB + BG$ और $BG = CD$,इसलिए $AG = AB + CD$।
अतः,$EF \parallel AB$ और $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$।
इति सिद्धम्।
सिद्ध करना है: $EF \parallel AB$ और $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$।
रचना: $DF$ को मिलाइए और इसे आगे बढ़ाकर $AB$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करने दीजिए।
उपपत्ति: $\Delta CFD$ और $\Delta BFG$ में:
$DC \parallel AG$ (क्योंकि $DC \parallel AB$)
$\angle DCF = \angle GBF$ [एकांतर अंतःकोण]
$CF = BF$ [दिया है,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है]
$\angle CFD = \angle BFG$ [शीर्षाभिमुख कोण]
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta CFD \cong \Delta BFG$।
इसलिए,$CD = BG$ और $DF = FG$ [$CPCT$]।
अब,$\Delta ADG$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $F$,$DG$ का मध्य-बिंदु है (क्योंकि $DF = FG$)।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$EF \parallel AG$ और $EF = \frac{1}{2}AG$।
चूंकि $AG = AB + BG$ और $BG = CD$,इसलिए $AG = AB + CD$।
अतः,$EF \parallel AB$ और $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$।
इति सिद्धम्।
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Difficult
$D, E$ और $F$ क्रमशः त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $AB, BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि इन मध्य-बिंदुओं $D, E$ और $F$ को जोड़ने पर,त्रिभुज $ABC$ चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है।
Solution
(N/A) दिया है: एक $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ जो $\triangle ABC$ की भुजाओं $AB, BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदुओं $D, E$ और $F$ को जोड़ने से बना है।
सिद्ध करना है: $\triangle ADF \cong \triangle DBE \cong \triangle ECF \cong \triangle DEF$
उपपत्ति: $D$ और $F$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$DF \parallel BC$ और $DF = \frac{1}{2} BC = BE = EC$ है।
इसी प्रकार,$DE \parallel AC$ और $DE = \frac{1}{2} AC = AF = FC$ है।
साथ ही,$EF \parallel AB$ और $EF = \frac{1}{2} AB = AD = DB$ है।
चतुर्भुज $ADFE$ में,$AD \parallel EF$ और $AF \parallel DE$ है,अतः यह एक समांतर चतुर्भुज है। इस प्रकार,$\triangle ADF \cong \triangle FED$ (विकर्ण $DF$ समांतर चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है)।
इसी प्रकार,$BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\triangle DBE \cong \triangle FED$ है।
और $CEFD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\triangle ECF \cong \triangle FED$ है।
अतः,$\triangle ADF \cong \triangle DBE \cong \triangle ECF \cong \triangle DEF$ है।
इस प्रकार,त्रिभुज $ABC$ चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है।
सिद्ध करना है: $\triangle ADF \cong \triangle DBE \cong \triangle ECF \cong \triangle DEF$
उपपत्ति: $D$ और $F$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$DF \parallel BC$ और $DF = \frac{1}{2} BC = BE = EC$ है।
इसी प्रकार,$DE \parallel AC$ और $DE = \frac{1}{2} AC = AF = FC$ है।
साथ ही,$EF \parallel AB$ और $EF = \frac{1}{2} AB = AD = DB$ है।
चतुर्भुज $ADFE$ में,$AD \parallel EF$ और $AF \parallel DE$ है,अतः यह एक समांतर चतुर्भुज है। इस प्रकार,$\triangle ADF \cong \triangle FED$ (विकर्ण $DF$ समांतर चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है)।
इसी प्रकार,$BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\triangle DBE \cong \triangle FED$ है।
और $CEFD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\triangle ECF \cong \triangle FED$ है।
अतः,$\triangle ADF \cong \triangle DBE \cong \triangle ECF \cong \triangle DEF$ है।
इस प्रकार,त्रिभुज $ABC$ चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है।
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Difficult
सिद्ध कीजिए कि समलंब चतुर्भुज की असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाओं के समांतर होता है।
Solution
(N/A) दिया है: एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AB \parallel DC$ है,और $E$ तथा $F$ क्रमशः असमांतर भुजाओं $AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $EF \parallel AB$ और $EF \parallel DC$.
रचना: $DF$ को मिलाइए और इसे आगे बढ़ाकर $AB$ को बढ़ाने पर बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेद करवाइए।
उपपत्ति: $\Delta DCF$ और $\Delta GBF$ में:
$\angle 1 = \angle 2$ [एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $DC \parallel BG$]
$\angle 3 = \angle 4$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$CF = BF$ [दिया है,क्योंकि $F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है]
$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta DCF \cong \Delta GBF$.
अतः,$DF = GF$ और $DC = GB$ [$CPCT$ द्वारा].
$\Delta DAG$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $F$,$DG$ का मध्य-बिंदु है (क्योंकि $DF = GF$).
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है।
अतः,$EF \parallel AG$.
चूंकि $AG$,$AB$ रेखा का ही भाग है,इसलिए $EF \parallel AB$.
साथ ही,चूंकि $AB \parallel DC$ और $EF \parallel AB$,इसलिए $EF \parallel DC$ सिद्ध होता है।
अतः,$EF \parallel AB \parallel DC$.
सिद्ध करना है: $EF \parallel AB$ और $EF \parallel DC$.
रचना: $DF$ को मिलाइए और इसे आगे बढ़ाकर $AB$ को बढ़ाने पर बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेद करवाइए।
उपपत्ति: $\Delta DCF$ और $\Delta GBF$ में:
$\angle 1 = \angle 2$ [एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $DC \parallel BG$]
$\angle 3 = \angle 4$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$CF = BF$ [दिया है,क्योंकि $F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है]
$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta DCF \cong \Delta GBF$.
अतः,$DF = GF$ और $DC = GB$ [$CPCT$ द्वारा].
$\Delta DAG$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $F$,$DG$ का मध्य-बिंदु है (क्योंकि $DF = GF$).
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है।
अतः,$EF \parallel AG$.
चूंकि $AG$,$AB$ रेखा का ही भाग है,इसलिए $EF \parallel AB$.
साथ ही,चूंकि $AB \parallel DC$ और $EF \parallel AB$,इसलिए $EF \parallel DC$ सिद्ध होता है।
अतः,$EF \parallel AB \parallel DC$.
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Medium
$\Delta ABC$ में,बिंदु $M$ और $N$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $AC$ पर इस प्रकार स्थित हैं कि $AM = \frac{1}{4} AB$ और $AN = \frac{1}{4} AC$ है। सिद्ध कीजिए कि $MN = \frac{1}{4} BC$ है।
Solution
(N/A) माना $\Delta ABC$ में $P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं। $PQ$ को मिलाइए।
$\Delta ABC$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel BC$ और $PQ = \frac{1}{2} BC$ है।
अब,$AP = \frac{1}{2} AB$ और $AM = \frac{1}{4} AB$ है।
अतः,$AM = \frac{1}{2} AP$ है।
इसी प्रकार,$AQ = \frac{1}{2} AC$ और $AN = \frac{1}{4} AC$ है।
अतः,$AN = \frac{1}{2} AQ$ है।
इस प्रकार,$\Delta APQ$ में,$M$,$AP$ का मध्य-बिंदु है और $N$,$AQ$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$MN \parallel PQ$ और $MN = \frac{1}{2} PQ$ है।
$MN$ के समीकरण में $PQ = \frac{1}{2} BC$ प्रतिस्थापित करने पर:
$MN = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} BC \right) = \frac{1}{4} BC$ है।
अतः,$MN = \frac{1}{4} BC$ सिद्ध हुआ।
$\Delta ABC$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel BC$ और $PQ = \frac{1}{2} BC$ है।
अब,$AP = \frac{1}{2} AB$ और $AM = \frac{1}{4} AB$ है।
अतः,$AM = \frac{1}{2} AP$ है।
इसी प्रकार,$AQ = \frac{1}{2} AC$ और $AN = \frac{1}{4} AC$ है।
अतः,$AN = \frac{1}{2} AQ$ है।
इस प्रकार,$\Delta APQ$ में,$M$,$AP$ का मध्य-बिंदु है और $N$,$AQ$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$MN \parallel PQ$ और $MN = \frac{1}{2} PQ$ है।
$MN$ के समीकरण में $PQ = \frac{1}{2} BC$ प्रतिस्थापित करने पर:
$MN = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} BC \right) = \frac{1}{4} BC$ है।
अतः,$MN = \frac{1}{4} BC$ सिद्ध हुआ।
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MediumMCQ
$\Delta ABC$ में,$P$,$Q$ और $R$ क्रमशः $AB$,$BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं। यदि $AB = 8 \text{ cm}$,$BC = 6.6 \text{ cm}$ और $CA = 5.4 \text{ cm}$ है,तो $\Delta PQR$ का परिमाप $\text{cm}$ में ज्ञात कीजिए। ($.0$ में)
A
$5$
B
$10$
C
$20$
D
$30$
Solution
(B) $\triangle ABC$ में,$P$,$Q$ और $R$ क्रमशः भुजाओं $AB$,$BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए,$PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 5.4 \text{ cm} = 2.7 \text{ cm}$।
इसी प्रकार,$QR = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 8 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$।
और,$RP = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 6.6 \text{ cm} = 3.3 \text{ cm}$।
$\triangle PQR$ का परिमाप $= PQ + QR + RP$।
परिमाप $= 2.7 \text{ cm} + 4 \text{ cm} + 3.3 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए,$PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 5.4 \text{ cm} = 2.7 \text{ cm}$।
इसी प्रकार,$QR = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 8 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$।
और,$RP = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 6.6 \text{ cm} = 3.3 \text{ cm}$।
$\triangle PQR$ का परिमाप $= PQ + QR + RP$।
परिमाप $= 2.7 \text{ cm} + 4 \text{ cm} + 3.3 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$।
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$\Delta ABC$ में,$AD$ एक माध्यिका है और $E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है। $BE$ को आगे बढ़ाने पर यह $AC$ को $F$ पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि $AF = \frac{1}{3} AC$।
Solution
(A) रचना: $BF$ के समांतर एक रेखा $DG$ खींचिए ताकि $G$,$AC$ पर स्थित हो।
$\Delta ADG$ में,चूँकि $E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $EG \parallel DF$ (क्योंकि $EG \parallel BF$),मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा,$G$,$AF$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$AG = GF$ ... $(1)$.
$\Delta CBF$ में,चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $DG \parallel BF$,मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा,$G$,$FC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$GF = FC$ ... $(2)$.
$(1)$ और $(2)$ से,हमें $AG = GF = FC$ प्राप्त होता है।
चूँकि $AC = AG + GF + FC$,हम $AC = 3AG$ लिख सकते हैं।
इसलिए,$AG = \frac{1}{3} AC$।
चूँकि $AF = AG + GF = 2AG$,इसलिए $AF = \frac{2}{3} AC$ होगा।
$\Delta ADG$ में,चूँकि $E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $EG \parallel DF$ (क्योंकि $EG \parallel BF$),मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा,$G$,$AF$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$AG = GF$ ... $(1)$.
$\Delta CBF$ में,चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $DG \parallel BF$,मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा,$G$,$FC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$GF = FC$ ... $(2)$.
$(1)$ और $(2)$ से,हमें $AG = GF = FC$ प्राप्त होता है।
चूँकि $AC = AG + GF + FC$,हम $AC = 3AG$ लिख सकते हैं।
इसलिए,$AG = \frac{1}{3} AC$।
चूँकि $AF = AG + GF = 2AG$,इसलिए $AF = \frac{2}{3} AC$ होगा।
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सिद्ध कीजिए कि समलंब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाओं के समांतर होता है और समांतर भुजाओं की लंबाई के अंतर का आधा होता है।
Solution
(N/A) माना $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है। माना $P$ और $Q$ क्रमशः विकर्णों $AC$ और $BD$ के मध्य बिंदु हैं।
$1$. $AQ$ को मिलाएँ और इसे आगे बढ़ाकर $DC$ को बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करने दें।
$2$. $\triangle ABQ$ और $\triangle EDQ$ में:
- $\angle ABQ = \angle EDQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DE$)
- $BQ = DQ$ ($Q$,$BD$ का मध्य बिंदु है)
- $\angle AQB = \angle EQD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ABQ \cong \triangle EDQ$.
$3$. अतः,$AQ = EQ$ और $AB = DE$ ($CPCT$ द्वारा)।
$4$. $\triangle ACE$ में,$P$,$AC$ का मध्य बिंदु है और $Q$,$AE$ का मध्य बिंदु है (क्योंकि $AQ = EQ$)।
$5$. मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel CE$ और $PQ = \frac{1}{2} CE$ है।
$6$. चूँकि $CE = DC - DE = DC - AB$,इसलिए $PQ = \frac{1}{2} (DC - AB)$ है।
$7$. इस प्रकार,$PQ$ समांतर भुजाओं $AB$ और $DC$ के समांतर है और इसकी लंबाई समांतर भुजाओं की लंबाई के अंतर की आधी है।
$1$. $AQ$ को मिलाएँ और इसे आगे बढ़ाकर $DC$ को बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करने दें।
$2$. $\triangle ABQ$ और $\triangle EDQ$ में:
- $\angle ABQ = \angle EDQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DE$)
- $BQ = DQ$ ($Q$,$BD$ का मध्य बिंदु है)
- $\angle AQB = \angle EQD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ABQ \cong \triangle EDQ$.
$3$. अतः,$AQ = EQ$ और $AB = DE$ ($CPCT$ द्वारा)।
$4$. $\triangle ACE$ में,$P$,$AC$ का मध्य बिंदु है और $Q$,$AE$ का मध्य बिंदु है (क्योंकि $AQ = EQ$)।
$5$. मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel CE$ और $PQ = \frac{1}{2} CE$ है।
$6$. चूँकि $CE = DC - DE = DC - AB$,इसलिए $PQ = \frac{1}{2} (DC - AB)$ है।
$7$. इस प्रकार,$PQ$ समांतर भुजाओं $AB$ और $DC$ के समांतर है और इसकी लंबाई समांतर भुजाओं की लंबाई के अंतर की आधी है।
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समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB \parallel CD$ है और $E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है। $E$ से होकर जाने वाली और $AB$ के समांतर रेखा $BC$ को $F$ पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि $F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$ है।
Solution
(A) $1$. $AC$ को मिलाइए। मान लीजिए कि $AC$,$EF$ को बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$2$. $\triangle ADC$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $EG \parallel DC$ है (क्योंकि $EF \parallel AB$ और $AB \parallel CD$ है)। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$G$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$EG = \frac{1}{2}CD$.
$3$. $\triangle ABC$ में,$G$,$AC$ का मध्य-बिंदु है और $GF \parallel AB$ है। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$GF = \frac{1}{2}AB$.
$4$. दोनों रेखाखंडों को जोड़ने पर: $EF = EG + GF = \frac{1}{2}CD + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AB + CD)$.
$5$. अतः,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$ सिद्ध होता है।
$2$. $\triangle ADC$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $EG \parallel DC$ है (क्योंकि $EF \parallel AB$ और $AB \parallel CD$ है)। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$G$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$EG = \frac{1}{2}CD$.
$3$. $\triangle ABC$ में,$G$,$AC$ का मध्य-बिंदु है और $GF \parallel AB$ है। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$GF = \frac{1}{2}AB$.
$4$. दोनों रेखाखंडों को जोड़ने पर: $EF = EG + GF = \frac{1}{2}CD + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AB + CD)$.
$5$. अतः,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$ सिद्ध होता है।
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Medium
$\Delta ABC$ में,$P, Q$ और $R$ क्रमशः $AB, BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि $PBQR, PQCR$ और $PQRA$ सभी समांतर चतुर्भुज हैं।
Solution
(N/A) दिया है: $P, Q$ और $R$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $AB, BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसका आधा होता है।
$1$. $PBQR$ के लिए: चूंकि $R, AC$ का मध्य-बिंदु है और $P, AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PR \parallel BC$ और $PR = \frac{1}{2} BC = BQ$ है। साथ ही,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = RC$ है। चूंकि $PR \parallel BQ$ और $PQ \parallel RB$ है,इसलिए $PBQR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$2$. $PQCR$ के लिए: चूंकि $P, AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q, BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = RC$ है। साथ ही,$QR \parallel AB$ और $QR = \frac{1}{2} AB = PC$ है। चूंकि $PQ \parallel RC$ और $QR \parallel PC$ है,इसलिए $PQCR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$3$. $PQRA$ के लिए: चूंकि $Q, BC$ का मध्य-बिंदु है और $R, AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QR \parallel AB$ और $QR = \frac{1}{2} AB = AP$ है। साथ ही,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = AR$ है। चूंकि $QR \parallel AP$ और $PQ \parallel AR$ है,इसलिए $PQRA$ एक समांतर चतुर्भुज है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसका आधा होता है।
$1$. $PBQR$ के लिए: चूंकि $R, AC$ का मध्य-बिंदु है और $P, AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PR \parallel BC$ और $PR = \frac{1}{2} BC = BQ$ है। साथ ही,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = RC$ है। चूंकि $PR \parallel BQ$ और $PQ \parallel RB$ है,इसलिए $PBQR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$2$. $PQCR$ के लिए: चूंकि $P, AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q, BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = RC$ है। साथ ही,$QR \parallel AB$ और $QR = \frac{1}{2} AB = PC$ है। चूंकि $PQ \parallel RC$ और $QR \parallel PC$ है,इसलिए $PQCR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$3$. $PQRA$ के लिए: चूंकि $Q, BC$ का मध्य-बिंदु है और $R, AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QR \parallel AB$ और $QR = \frac{1}{2} AB = AP$ है। साथ ही,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = AR$ है। चूंकि $QR \parallel AP$ और $PQ \parallel AR$ है,इसलिए $PQRA$ एक समांतर चतुर्भुज है।
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MediumMCQ
$\Delta XYZ$ में,$A, B$ और $C$ क्रमशः $XY, YZ$ और $XZ$ के मध्य-बिंदु हैं। यदि $AB = 5.2\, cm$,$BC = 4.3\, cm$ और $AC = 6.5\, cm$ है,तो $\Delta XYZ$ का परिमाप $cm$ में ज्ञात कीजिए।
A
$18$
B
$25$
C
$50$
D
$32$
Solution
(D) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
दिया गया है कि $A, B$ और $C$ क्रमशः $XY, YZ$ और $XZ$ के मध्य-बिंदु हैं:
$AB = \frac{1}{2} XZ \implies XZ = 2 \times 5.2\, cm = 10.4\, cm$
$BC = \frac{1}{2} XY \implies XY = 2 \times 4.3\, cm = 8.6\, cm$
$AC = \frac{1}{2} YZ \implies YZ = 2 \times 6.5\, cm = 13.0\, cm$
$\Delta XYZ$ का परिमाप $= XY + YZ + XZ = 8.6\, cm + 13.0\, cm + 10.4\, cm = 32.0\, cm$.
दिया गया है कि $A, B$ और $C$ क्रमशः $XY, YZ$ और $XZ$ के मध्य-बिंदु हैं:
$AB = \frac{1}{2} XZ \implies XZ = 2 \times 5.2\, cm = 10.4\, cm$
$BC = \frac{1}{2} XY \implies XY = 2 \times 4.3\, cm = 8.6\, cm$
$AC = \frac{1}{2} YZ \implies YZ = 2 \times 6.5\, cm = 13.0\, cm$
$\Delta XYZ$ का परिमाप $= XY + YZ + XZ = 8.6\, cm + 13.0\, cm + 10.4\, cm = 32.0\, cm$.
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MediumMCQ
$\Delta ABC$ में,$P$,$Q$ और $R$ क्रमशः $AB$,$BC$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं। यदि $AB = 8 \text{ cm}$,$BC = 9 \text{ cm}$ और $AC = 10.6 \text{ cm}$ है,तो $\Delta PQR$ का परिमाप $\text{cm}$ में ज्ञात कीजिए।
A
$13.8$
B
$15$
C
$19$
D
$22$
Solution
(A) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
$\Delta ABC$ में,$P$ और $R$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $PR = \frac{1}{2} BC = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ cm}$।
इसी प्रकार,$PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{10.6}{2} = 5.3 \text{ cm}$।
और $QR = \frac{1}{2} AB = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}$।
$\Delta PQR$ का परिमाप $= PQ + QR + PR = 5.3 + 4 + 4.5 = 13.8 \text{ cm}$।
$\Delta ABC$ में,$P$ और $R$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $PR = \frac{1}{2} BC = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ cm}$।
इसी प्रकार,$PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{10.6}{2} = 5.3 \text{ cm}$।
और $QR = \frac{1}{2} AB = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}$।
$\Delta PQR$ का परिमाप $= PQ + QR + PR = 5.3 + 4 + 4.5 = 13.8 \text{ cm}$।
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MediumMCQ
$\Delta ABC$ में, $P$, $Q$ और $R$ क्रमशः $AB$, $BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं। यदि $AB = 8.2 \text{ cm}$, $BC = 6.4 \text{ cm}$ और $CA = 7.5 \text{ cm}$ है, तो चतुर्भुज $PBQR$ का परिमाप ज्ञात कीजिए। ($\text{ cm}$ में)
A
$23.2$
B
$14.6$
C
$13.8$
D
$32$
Solution
(B) दिया गया है कि $P$, $Q$ और $R$ क्रमशः $AB$, $BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर और उसकी लंबाई का आधा होता है।
$\Delta ABC$ में, $R$, $AC$ का मध्य-बिंदु है और $Q$, $BC$ का मध्य-बिंदु है। अतः, $RQ = \frac{1}{2} AB = \frac{8.2}{2} = 4.1 \text{ cm}$.
साथ ही, $P$, $AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$, $BC$ का मध्य-बिंदु है। अतः, $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{7.5}{2} = 3.75 \text{ cm}$.
चूंकि $P$, $AB$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $PB = \frac{1}{2} AB = \frac{8.2}{2} = 4.1 \text{ cm}$.
चूंकि $Q$, $BC$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $BQ = \frac{1}{2} BC = \frac{6.4}{2} = 3.2 \text{ cm}$.
चतुर्भुज $PBQR$ की भुजाएँ $PB$, $BQ$, $QR$ और $RP$ हैं।
परिमाप $= PB + BQ + QR + RP$.
हम जानते हैं कि $RP = \frac{1}{2} BC = 3.2 \text{ cm}$.
परिमाप $= 4.1 + 3.2 + 4.1 + 3.2 = 14.6 \text{ cm}$.
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर और उसकी लंबाई का आधा होता है।
$\Delta ABC$ में, $R$, $AC$ का मध्य-बिंदु है और $Q$, $BC$ का मध्य-बिंदु है। अतः, $RQ = \frac{1}{2} AB = \frac{8.2}{2} = 4.1 \text{ cm}$.
साथ ही, $P$, $AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$, $BC$ का मध्य-बिंदु है। अतः, $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{7.5}{2} = 3.75 \text{ cm}$.
चूंकि $P$, $AB$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $PB = \frac{1}{2} AB = \frac{8.2}{2} = 4.1 \text{ cm}$.
चूंकि $Q$, $BC$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $BQ = \frac{1}{2} BC = \frac{6.4}{2} = 3.2 \text{ cm}$.
चतुर्भुज $PBQR$ की भुजाएँ $PB$, $BQ$, $QR$ और $RP$ हैं।
परिमाप $= PB + BQ + QR + RP$.
हम जानते हैं कि $RP = \frac{1}{2} BC = 3.2 \text{ cm}$.
परिमाप $= 4.1 + 3.2 + 4.1 + 3.2 = 14.6 \text{ cm}$.
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View Solution43
MediumMCQ
$\Delta PQR$ में,$X, Y$ और $Z$ क्रमशः $PQ, QR$ और $RP$ के मध्य-बिंदु हैं। यदि $PQ = 7.2 \, cm$,$PR = 8.4 \, cm$ और $XZ = 3.8 \, cm$ है,तो $\Delta PQR$ और $\Delta XYZ$ का परिमाप ज्ञात कीजिए।
A
Perimeter of $\Delta PQR = 23.2 \, cm$,Perimeter of $\Delta XYZ = 11.6 \, cm$
B
Perimeter of $\Delta PQR = 22.2 \, cm$,Perimeter of $\Delta XYZ = 11.1 \, cm$
C
Perimeter of $\Delta PQR = 24.2 \, cm$,Perimeter of $\Delta XYZ = 12.1 \, cm$
D
Perimeter of $\Delta PQR = 23.2 \, cm$,Perimeter of $\Delta XYZ = 12.6 \, cm$
Solution
(A) $1$. मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसकी लंबाई का आधा होता है।
$2$. दिया गया है कि $X$ और $Z$ क्रमशः $PQ$ और $PR$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $XZ = \frac{1}{2} QR$। अतः,$QR = 2 \times XZ = 2 \times 3.8 \, cm = 7.6 \, cm$।
$3$. $\Delta PQR$ का परिमाप = $PQ + QR + PR = 7.2 \, cm + 7.6 \, cm + 8.4 \, cm = 23.2 \, cm$।
$4$. चूँकि $X, Y, Z$ मध्य-बिंदु हैं,$\Delta XYZ$ की भुजाएँ $\Delta PQR$ की भुजाओं की आधी होती हैं ($XY = \frac{1}{2} PR = 4.2 \, cm$,$YZ = \frac{1}{2} PQ = 3.6 \, cm$,$XZ = 3.8 \, cm$)।
$5$. $\Delta XYZ$ का परिमाप = $\frac{1}{2} \times (\Delta PQR \text{ का परिमाप}) = \frac{1}{2} \times 23.2 \, cm = 11.6 \, cm$।
$2$. दिया गया है कि $X$ और $Z$ क्रमशः $PQ$ और $PR$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $XZ = \frac{1}{2} QR$। अतः,$QR = 2 \times XZ = 2 \times 3.8 \, cm = 7.6 \, cm$।
$3$. $\Delta PQR$ का परिमाप = $PQ + QR + PR = 7.2 \, cm + 7.6 \, cm + 8.4 \, cm = 23.2 \, cm$।
$4$. चूँकि $X, Y, Z$ मध्य-बिंदु हैं,$\Delta XYZ$ की भुजाएँ $\Delta PQR$ की भुजाओं की आधी होती हैं ($XY = \frac{1}{2} PR = 4.2 \, cm$,$YZ = \frac{1}{2} PQ = 3.6 \, cm$,$XZ = 3.8 \, cm$)।
$5$. $\Delta XYZ$ का परिमाप = $\frac{1}{2} \times (\Delta PQR \text{ का परिमाप}) = \frac{1}{2} \times 23.2 \, cm = 11.6 \, cm$।
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View Solution44
MediumMCQ
$\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं। यदि $PQ + BC = 8.4 \, cm$ और $AB + AC = 20.5 \, cm$ है,तो $\Delta ABC$ का परिमाप $cm$ में ज्ञात कीजिए।
A
$110$
B
$60$
C
$35.5$
D
$26.1$
Solution
(D) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए,$PQ = \frac{1}{2} BC$,जिसका अर्थ है कि $BC = 2PQ$.
दिया गया है कि $PQ + BC = 8.4 \, cm$.
$BC = 2PQ$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $PQ + 2PQ = 8.4 \, cm$ प्राप्त होता है,इसलिए $3PQ = 8.4 \, cm$,जिसका अर्थ है कि $PQ = 2.8 \, cm$.
तब,$BC = 2 \times 2.8 = 5.6 \, cm$.
हमें $AB + AC = 20.5 \, cm$ दिया गया है।
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + AC + BC$.
परिमाप $= 20.5 + 5.6 = 26.1 \, cm$.
इसलिए,$PQ = \frac{1}{2} BC$,जिसका अर्थ है कि $BC = 2PQ$.
दिया गया है कि $PQ + BC = 8.4 \, cm$.
$BC = 2PQ$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $PQ + 2PQ = 8.4 \, cm$ प्राप्त होता है,इसलिए $3PQ = 8.4 \, cm$,जिसका अर्थ है कि $PQ = 2.8 \, cm$.
तब,$BC = 2 \times 2.8 = 5.6 \, cm$.
हमें $AB + AC = 20.5 \, cm$ दिया गया है।
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + AC + BC$.
परिमाप $= 20.5 + 5.6 = 26.1 \, cm$.
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Medium
चतुर्भुज $ABCD$ में,$AC = BD$ और $AC \perp BD$ है। यदि $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $PQRS$ एक वर्ग है।
Solution
(N/A) $1$. $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ है।
$2$. $\triangle ADC$ में,$S$ और $R$ भुजाओं $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ है।
$3$. अतः,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ है। चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$4$. इसी प्रकार,$\triangle ABD$ में,$PS \parallel BD$ और $PS = \frac{1}{2} BD$ है। $\triangle BCD$ में,$QR \parallel BD$ और $QR = \frac{1}{2} BD$ है।
$5$. चूँकि $AC = BD$ (दिया गया है),इसलिए $\frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD$,जिसका अर्थ है कि $PQ = SR = PS = QR$ है। अतः,$PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
$6$. चूँकि $AC \perp BD$ है,और $PQ \parallel AC$ तथा $PS \parallel BD$ है,इसलिए $PQ \perp PS$ होगा। अतः,$\angle QPS = 90^{\circ}$ है।
$7$. एक समचतुर्भुज जिसका एक कोण $90^{\circ}$ हो,वह एक वर्ग होता है। अतः,$PQRS$ एक वर्ग है।
$2$. $\triangle ADC$ में,$S$ और $R$ भुजाओं $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ है।
$3$. अतः,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ है। चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$4$. इसी प्रकार,$\triangle ABD$ में,$PS \parallel BD$ और $PS = \frac{1}{2} BD$ है। $\triangle BCD$ में,$QR \parallel BD$ और $QR = \frac{1}{2} BD$ है।
$5$. चूँकि $AC = BD$ (दिया गया है),इसलिए $\frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD$,जिसका अर्थ है कि $PQ = SR = PS = QR$ है। अतः,$PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
$6$. चूँकि $AC \perp BD$ है,और $PQ \parallel AC$ तथा $PS \parallel BD$ है,इसलिए $PQ \perp PS$ होगा। अतः,$\angle QPS = 90^{\circ}$ है।
$7$. एक समचतुर्भुज जिसका एक कोण $90^{\circ}$ हो,वह एक वर्ग होता है। अतः,$PQRS$ एक वर्ग है।
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MediumMCQ
$\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं। यदि $BC = 8.2 \text{ cm}$ है,तो $PQ = \dots \text{ cm}$।
A
$6.3$
B
$8.2$
C
$12.3$
D
$4.1$
Solution
(D) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।
$\Delta ABC$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$AC$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$PQ = \frac{1}{2} \times BC$।
दिया गया है कि $BC = 8.2 \text{ cm}$।
$PQ = \frac{1}{2} \times 8.2 = 4.1 \text{ cm}$।
$\Delta ABC$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$AC$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$PQ = \frac{1}{2} \times BC$।
दिया गया है कि $BC = 8.2 \text{ cm}$।
$PQ = \frac{1}{2} \times 8.2 = 4.1 \text{ cm}$।
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EasyMCQ
$\Delta ABC$ में,$P$,$Q$ और $R$ क्रमशः $AB$,$BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं,तो $\angle BAC = \angle \ldots \ldots \ldots$
A
$QPR$
B
$PQR$
C
$PRQ$
D
$ABC$
Solution
(B) $\Delta ABC$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $R$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PR \parallel BC$ और $PR = \frac{1}{2} BC = BQ = QC$ होता है।
इसी प्रकार,$Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $R$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QR \parallel AB$ और $QR = \frac{1}{2} AB = AP = PB$ होता है।
साथ ही,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = AR = RC$ होता है।
अतः,चतुर्भुज $APQR$ में,$AP \parallel QR$ और $AR \parallel PQ$ है,जिससे $APQR$ एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं। इसलिए,$\angle BAC = \angle PQR$।
इसी प्रकार,$Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $R$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QR \parallel AB$ और $QR = \frac{1}{2} AB = AP = PB$ होता है।
साथ ही,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = AR = RC$ होता है।
अतः,चतुर्भुज $APQR$ में,$AP \parallel QR$ और $AR \parallel PQ$ है,जिससे $APQR$ एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं। इसलिए,$\angle BAC = \angle PQR$।
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MediumMCQ
$\Delta PQR$ में,$A$,$B$ और $C$ क्रमशः $PQ$,$QR$ और $RP$ के मध्य-बिंदु हैं। यदि $\Delta ABC$ का परिमाप $18.6 \, cm$ है,तो $\Delta PQR$ का परिमाप $\ldots \ldots \ldots cm$ है।
A
$36.2$
B
$18.6$
C
$37.2$
D
$9.3$
Solution
(C) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसकी लंबाई का आधा होता है।
$\Delta PQR$ में,चूँकि $A$ और $C$ क्रमशः $PQ$ और $RP$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $AC = \frac{1}{2} QR$ होगा।
इसी प्रकार,$AB = \frac{1}{2} RP$ और $BC = \frac{1}{2} PQ$ होगा।
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC = \frac{1}{2} RP + \frac{1}{2} PQ + \frac{1}{2} QR = \frac{1}{2} (PQ + QR + RP)$ होगा।
दिया गया है कि $\Delta ABC$ का परिमाप $= 18.6 \, cm$ है।
अतः,$18.6 = \frac{1}{2} \times (\Delta PQR \text{ का परिमाप})$।
$\Delta PQR$ का परिमाप $= 18.6 \times 2 = 37.2 \, cm$।
$\Delta PQR$ में,चूँकि $A$ और $C$ क्रमशः $PQ$ और $RP$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $AC = \frac{1}{2} QR$ होगा।
इसी प्रकार,$AB = \frac{1}{2} RP$ और $BC = \frac{1}{2} PQ$ होगा।
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC = \frac{1}{2} RP + \frac{1}{2} PQ + \frac{1}{2} QR = \frac{1}{2} (PQ + QR + RP)$ होगा।
दिया गया है कि $\Delta ABC$ का परिमाप $= 18.6 \, cm$ है।
अतः,$18.6 = \frac{1}{2} \times (\Delta PQR \text{ का परिमाप})$।
$\Delta PQR$ का परिमाप $= 18.6 \times 2 = 37.2 \, cm$।
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MediumMCQ
समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB || CD$ है। बिंदु $P$ और $Q$ क्रमशः $AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। यदि $AB = 18 \, cm$ और $PQ = 15 \, cm$ है,तो $CD = \dots \, cm$.
A
$9$
B
$6$
C
$3$
D
$12$
Solution
(D) एक समलंब चतुर्भुज में,असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड समांतर भुजाओं के समांतर होता है और इसकी लंबाई समांतर भुजाओं के योग की आधी होती है।
गणितीय रूप से,समलंब चतुर्भुज $ABCD$ के लिए जहाँ $AB || CD$ है और $P$ तथा $Q$ क्रमशः $AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं,सूत्र इस प्रकार है:
$PQ = \frac{1}{2} (AB + CD)$
यहाँ $AB = 18 \, cm$ और $PQ = 15 \, cm$ दिया गया है,मानों को सूत्र में रखने पर:
$15 = \frac{1}{2} (18 + CD)$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$30 = 18 + CD$
दोनों पक्षों से $18$ घटाने पर:
$CD = 30 - 18 = 12 \, cm$.
अतः,$CD$ की लंबाई $12 \, cm$ है।
गणितीय रूप से,समलंब चतुर्भुज $ABCD$ के लिए जहाँ $AB || CD$ है और $P$ तथा $Q$ क्रमशः $AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं,सूत्र इस प्रकार है:
$PQ = \frac{1}{2} (AB + CD)$
यहाँ $AB = 18 \, cm$ और $PQ = 15 \, cm$ दिया गया है,मानों को सूत्र में रखने पर:
$15 = \frac{1}{2} (18 + CD)$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$30 = 18 + CD$
दोनों पक्षों से $18$ घटाने पर:
$CD = 30 - 18 = 12 \, cm$.
अतः,$CD$ की लंबाई $12 \, cm$ है।
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Easy
$(1)$ एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाने पर प्राप्त चतुर्भुज एक ....... होता है।
$(2)$ एक आयत की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाने पर प्राप्त चतुर्भुज एक .......... होता है।
$(2)$ एक आयत की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाने पर प्राप्त चतुर्भुज एक .......... होता है।
Solution
(A) मध्य-बिंदु प्रमेय और चतुर्भुजों के गुणों के अनुसार:
$(1)$ जब एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है,तो प्राप्त चतुर्भुज एक आयत होता है क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
$(2)$ जब एक आयत की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है,तो प्राप्त चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है क्योंकि आयत के विकर्ण लंबाई में समान होते हैं।
$(1)$ जब एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है,तो प्राप्त चतुर्भुज एक आयत होता है क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
$(2)$ जब एक आयत की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है,तो प्राप्त चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है क्योंकि आयत के विकर्ण लंबाई में समान होते हैं।
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View SolutionQuadrilaterals — The Mid-point Theorem · Frequently Asked Questions
1Are these Quadrilaterals questions useful for JEE and NEET?
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