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Properties of a Parallelogram Questions in Hindi
Class 9 Mathematics · Quadrilaterals · Properties of a Parallelogram
80+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 80 questions in Hindi
1
Medium
दर्शाइए कि एक आयत का प्रत्येक कोण एक समकोण होता है।
Solution
(N/A) आइए याद करें कि एक आयत क्या है।
एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें एक कोण समकोण होता है।
मान लीजिए $ABCD$ एक आयत है जिसमें $\angle A = 90^{\circ}$ है।
हमें यह दिखाना है कि $\angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$ है।
हमारे पास $AD \parallel BC$ है और $AB$ एक तिर्यक रेखा है।
अतः,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं)।
परंतु,$\angle A = 90^{\circ}$ है।
इसलिए,$\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ है।
अब,$\angle C = \angle A$ और $\angle D = \angle B$ (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
अतः,$\angle C = 90^{\circ}$ और $\angle D = 90^{\circ}$ है।
इसलिए,एक आयत का प्रत्येक कोण एक समकोण होता है।
एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें एक कोण समकोण होता है।
मान लीजिए $ABCD$ एक आयत है जिसमें $\angle A = 90^{\circ}$ है।
हमें यह दिखाना है कि $\angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$ है।
हमारे पास $AD \parallel BC$ है और $AB$ एक तिर्यक रेखा है।
अतः,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं)।
परंतु,$\angle A = 90^{\circ}$ है।
इसलिए,$\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ है।
अब,$\angle C = \angle A$ और $\angle D = \angle B$ (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
अतः,$\angle C = 90^{\circ}$ और $\angle D = 90^{\circ}$ है।
इसलिए,एक आयत का प्रत्येक कोण एक समकोण होता है।
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View Solution2
Difficult
सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे पर लंब होते हैं।
Solution
(N/A) समचतुर्भुज $ABCD$ पर विचार करें (चित्र देखें)।
आप जानते हैं कि $AB = BC = CD = DA$ (समचतुर्भुज की परिभाषा के अनुसार)।
अब,$\Delta AOD$ और $\Delta COD$ में,
$OA = OC$ (समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)।
$OD = OD$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$AD = CD$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं)।
इसलिए,$\Delta AOD \cong \Delta COD$ ($SSS$ सर्वांगसमता नियम)।
इससे प्राप्त होता है,$\angle AOD = \angle COD$ ($CPCT$ - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
परंतु,$\angle AOD + \angle COD = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
अतः,$2 \angle AOD = 180^{\circ}$।
या,$\angle AOD = 90^{\circ}$।
इस प्रकार,समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे पर लंब होते हैं।
आप जानते हैं कि $AB = BC = CD = DA$ (समचतुर्भुज की परिभाषा के अनुसार)।
अब,$\Delta AOD$ और $\Delta COD$ में,
$OA = OC$ (समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)।
$OD = OD$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$AD = CD$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं)।
इसलिए,$\Delta AOD \cong \Delta COD$ ($SSS$ सर्वांगसमता नियम)।
इससे प्राप्त होता है,$\angle AOD = \angle COD$ ($CPCT$ - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
परंतु,$\angle AOD + \angle COD = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
अतः,$2 \angle AOD = 180^{\circ}$।
या,$\angle AOD = 90^{\circ}$।
इस प्रकार,समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे पर लंब होते हैं।
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View Solution3
Difficult
$ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है। $AD$ बाह्य कोण $\angle PAC$ को समद्विभाजित करता है और $CD \parallel AB$ है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि $\angle DAC = \angle BCA$ है।
Solution
(N/A) $\Delta ABC$ में,हमें $AB = AC$ दिया गया है।
अतः,$\angle ABC = \angle ACB$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)।
साथ ही,$\angle PAC = \angle ABC + \angle ACB$ (त्रिभुज के बहिष्कोण का गुणधर्म)।
चूंकि $\angle ABC = \angle ACB$,हम लिख सकते हैं:
$\angle PAC = \angle ACB + \angle ACB = 2 \angle ACB$ ........... $(1)$
अब,$AD$,$\angle PAC$ को समद्विभाजित करता है,जिसका अर्थ है:
$\angle PAC = 2 \angle DAC$ ........... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$2 \angle DAC = 2 \angle ACB$
अतः,$\angle DAC = \angle ACB$ या $\angle DAC = \angle BCA$।
अतः,$\angle ABC = \angle ACB$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)।
साथ ही,$\angle PAC = \angle ABC + \angle ACB$ (त्रिभुज के बहिष्कोण का गुणधर्म)।
चूंकि $\angle ABC = \angle ACB$,हम लिख सकते हैं:
$\angle PAC = \angle ACB + \angle ACB = 2 \angle ACB$ ........... $(1)$
अब,$AD$,$\angle PAC$ को समद्विभाजित करता है,जिसका अर्थ है:
$\angle PAC = 2 \angle DAC$ ........... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$2 \angle DAC = 2 \angle ACB$
अतः,$\angle DAC = \angle ACB$ या $\angle DAC = \angle BCA$।
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View Solution4
Easy
$ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है। $AD$ बाह्य कोण $PAC$ को समद्विभाजित करता है और $CD \parallel AB$ है (चित्र देखें)। दर्शाइए कि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
Solution
(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ में $AB = AC$ है। इसलिए,$\angle ABC = \angle ACB$ है।
चूँकि $AD$ बाह्य कोण $PAC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle PAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle PAC$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है। अतः,$\angle PAC = \angle ABC + \angle ACB$ है।
चूँकि $\angle ABC = \angle ACB$ है,इसलिए $\angle PAC = 2 \angle ACB$ है।
इसे समद्विभाजक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\angle CAD = \frac{1}{2} (2 \angle ACB) = \angle ACB$ प्राप्त होता है।
ये रेखाओं $BC$ और $AD$ के लिए तिर्यक रेखा $AC$ द्वारा बनाए गए एकांतर अंतः कोण हैं। चूँकि एकांतर अंतः कोण बराबर हैं,इसलिए $BC \parallel AD$ है।
हमें दिया गया है कि $CD \parallel AB$ है।
चूँकि चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं ($BC \parallel AD$ और $AB \parallel CD$),इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि $AD$ बाह्य कोण $PAC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle PAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle PAC$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है। अतः,$\angle PAC = \angle ABC + \angle ACB$ है।
चूँकि $\angle ABC = \angle ACB$ है,इसलिए $\angle PAC = 2 \angle ACB$ है।
इसे समद्विभाजक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\angle CAD = \frac{1}{2} (2 \angle ACB) = \angle ACB$ प्राप्त होता है।
ये रेखाओं $BC$ और $AD$ के लिए तिर्यक रेखा $AC$ द्वारा बनाए गए एकांतर अंतः कोण हैं। चूँकि एकांतर अंतः कोण बराबर हैं,इसलिए $BC \parallel AD$ है।
हमें दिया गया है कि $CD \parallel AB$ है।
चूँकि चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं ($BC \parallel AD$ और $AB \parallel CD$),इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
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View Solution5
Difficult
दो समांतर रेखाएँ $l$ और $m$ एक तिर्यक रेखा $p$ द्वारा प्रतिच्छेदित होती हैं (आकृति देखें)। दर्शाइए कि अंतःकोणों के समद्विभाजकों द्वारा बना चतुर्भुज एक आयत है।
Solution
(N/A) दिया गया है कि $l \parallel m$ और तिर्यक रेखा $p$ उन्हें क्रमशः $A$ और $C$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
$\angle PAC$ और $\angle ACQ$ के समद्विभाजक $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,और $\angle SAC$ तथा $\angle ACR$ के समद्विभाजक $D$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हमें दर्शाना है कि चतुर्भुज $ABCD$ एक आयत है।
चूँकि $l \parallel m$ और $p$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle PAC = \angle ACR$ (एकांतर अंतःकोण)।
अतः,$\frac{1}{2} \angle PAC = \frac{1}{2} \angle ACR$,जिसका अर्थ है कि $\angle BAC = \angle ACD$।
ये रेखाओं $AB$ और $DC$ के लिए $AC$ को तिर्यक रेखा मानते हुए एकांतर अंतःकोणों का एक युग्म बनाते हैं और ये बराबर भी हैं।
इसलिए,$AB \parallel DC$।
इसी प्रकार,$\angle ACB$ और $\angle CAD$ पर विचार करते हुए,हम दिखा सकते हैं कि $BC \parallel AD$।
चूँकि सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं,इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,$\angle PAC + \angle CAS = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$2$ से भाग देने पर,$\frac{1}{2} \angle PAC + \frac{1}{2} \angle CAS = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\angle BAC + \angle CAD = 90^{\circ}$,अर्थात $\angle BAD = 90^{\circ}$।
चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक आयत है।
$\angle PAC$ और $\angle ACQ$ के समद्विभाजक $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,और $\angle SAC$ तथा $\angle ACR$ के समद्विभाजक $D$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हमें दर्शाना है कि चतुर्भुज $ABCD$ एक आयत है।
चूँकि $l \parallel m$ और $p$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle PAC = \angle ACR$ (एकांतर अंतःकोण)।
अतः,$\frac{1}{2} \angle PAC = \frac{1}{2} \angle ACR$,जिसका अर्थ है कि $\angle BAC = \angle ACD$।
ये रेखाओं $AB$ और $DC$ के लिए $AC$ को तिर्यक रेखा मानते हुए एकांतर अंतःकोणों का एक युग्म बनाते हैं और ये बराबर भी हैं।
इसलिए,$AB \parallel DC$।
इसी प्रकार,$\angle ACB$ और $\angle CAD$ पर विचार करते हुए,हम दिखा सकते हैं कि $BC \parallel AD$।
चूँकि सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं,इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,$\angle PAC + \angle CAS = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$2$ से भाग देने पर,$\frac{1}{2} \angle PAC + \frac{1}{2} \angle CAS = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\angle BAC + \angle CAD = 90^{\circ}$,अर्थात $\angle BAD = 90^{\circ}$।
चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक आयत है।
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View Solution6
Medium
सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजक एक आयत बनाते हैं।
Solution
(N/A) माना $P, Q, R$ और $S$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के कोणों $\angle A$ और $\angle B$,$\angle B$ और $\angle C$,$\angle C$ और $\angle D$,तथा $\angle D$ और $\angle A$ के समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं (आकृति देखें)।
$\Delta ASD$ में,चूंकि $DS$,$\angle D$ का समद्विभाजक है और $AS$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए:
$\angle DAS + \angle ADS = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle D = \frac{1}{2} (\angle A + \angle D)$
चूंकि $\angle A$ और $\angle D$ तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण हैं,इसलिए $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
अतः,$\angle DAS + \angle ADS = \frac{1}{2} \times 180^{\circ} = 90^{\circ}$।
$\Delta ASD$ में त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करने पर:
$\angle DAS + \angle ADS + \angle DSA = 180^{\circ}$
$90^{\circ} + \angle DSA = 180^{\circ} \implies \angle DSA = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle PSR$ और $\angle DSA$ शीर्षाभिमुख कोण हैं,इसलिए $\angle PSR = 90^{\circ}$।
इसी प्रकार,यह दिखाया जा सकता है कि $\angle SPQ = 90^{\circ}$,$\angle PQR = 90^{\circ}$,और $\angle SRQ = 90^{\circ}$।
चूंकि चतुर्भुज $PQRS$ के सभी कोण $90^{\circ}$ हैं,इसलिए $PQRS$ एक आयत है।
$\Delta ASD$ में,चूंकि $DS$,$\angle D$ का समद्विभाजक है और $AS$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए:
$\angle DAS + \angle ADS = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle D = \frac{1}{2} (\angle A + \angle D)$
चूंकि $\angle A$ और $\angle D$ तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण हैं,इसलिए $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
अतः,$\angle DAS + \angle ADS = \frac{1}{2} \times 180^{\circ} = 90^{\circ}$।
$\Delta ASD$ में त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करने पर:
$\angle DAS + \angle ADS + \angle DSA = 180^{\circ}$
$90^{\circ} + \angle DSA = 180^{\circ} \implies \angle DSA = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle PSR$ और $\angle DSA$ शीर्षाभिमुख कोण हैं,इसलिए $\angle PSR = 90^{\circ}$।
इसी प्रकार,यह दिखाया जा सकता है कि $\angle SPQ = 90^{\circ}$,$\angle PQR = 90^{\circ}$,और $\angle SRQ = 90^{\circ}$।
चूंकि चतुर्भुज $PQRS$ के सभी कोण $90^{\circ}$ हैं,इसलिए $PQRS$ एक आयत है।
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View Solution7
Medium
$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें $P$ और $Q$ क्रमशः सम्मुख भुजाओं $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। यदि $AQ$,$DP$ को $S$ पर प्रतिच्छेद करता है और $BQ$,$CP$ को $R$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो दर्शाइए कि: $APCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
Solution
(N/A) चतुर्भुज $APCQ$ में,
$AP \parallel QC$ (चूंकि $AB \parallel CD$ और $P, Q$ क्रमशः $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं) ............ $(1)$
$AP = \frac{1}{2} AB$ और $CQ = \frac{1}{2} CD$ (दिया है कि $P$ और $Q$ मध्य-बिंदु हैं)
साथ ही,$AB = CD$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
चूंकि $AB = CD$,इसलिए $\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$,जिसका अर्थ है कि $AP = QC$ ............ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $APCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$AP \parallel QC$ (चूंकि $AB \parallel CD$ और $P, Q$ क्रमशः $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं) ............ $(1)$
$AP = \frac{1}{2} AB$ और $CQ = \frac{1}{2} CD$ (दिया है कि $P$ और $Q$ मध्य-बिंदु हैं)
साथ ही,$AB = CD$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
चूंकि $AB = CD$,इसलिए $\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$,जिसका अर्थ है कि $AP = QC$ ............ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $APCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
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View Solution8
Easy
$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें $P$ और $Q$ क्रमशः सम्मुख भुजाओं $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। यदि $AQ$,$DP$ को $S$ पर प्रतिच्छेद करता है और $BQ$,$CP$ को $R$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो दर्शाइए कि $DPBQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
Solution
(N/A) दिया गया है कि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AB \,|| \,DC$ और $AB = DC$ है।
चूंकि $P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $PB = \frac{1}{2} AB$ और $DQ = \frac{1}{2} DC$ है।
चूंकि $AB = DC$ है,इसलिए $\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} DC$ होगा,जिसका अर्थ है कि $PB = DQ$ है।
साथ ही,चूंकि $AB \,|| \,DC$ है,इसलिए $PB \,|| \,DQ$ है।
चतुर्भुज $DPBQ$ में,सम्मुख भुजाओं का एक युग्म ($PB$ और $DQ$) बराबर और समांतर है।
अतः,$DPBQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूंकि $P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $PB = \frac{1}{2} AB$ और $DQ = \frac{1}{2} DC$ है।
चूंकि $AB = DC$ है,इसलिए $\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} DC$ होगा,जिसका अर्थ है कि $PB = DQ$ है।
साथ ही,चूंकि $AB \,|| \,DC$ है,इसलिए $PB \,|| \,DQ$ है।
चतुर्भुज $DPBQ$ में,सम्मुख भुजाओं का एक युग्म ($PB$ और $DQ$) बराबर और समांतर है।
अतः,$DPBQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
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View Solution9
Easy
$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें $P$ और $Q$ सम्मुख भुजाओं $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं (आकृति देखें)। यदि $AQ$,$DP$ को $S$ पर प्रतिच्छेद करता है और $BQ$,$CP$ को $R$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो दर्शाइए कि $PSQR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
Solution
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$CD$ का मध्य-बिंदु है।
चूँकि $AB \,||\, CD$ और $AB = CD$ है,इसलिए $AP \,||\, QC$ और $AP = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD = QC$ है।
चूँकि $AP \,||\, QC$ और $AP = QC$ है,इसलिए $APCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$AQ \,||\, PC$,जिसका अर्थ है कि $SQ \,||\, PR$ है।
इसी प्रकार,$PB \,||\, DQ$ और $PB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD = DQ$ है।
चूँकि $PB \,||\, DQ$ और $PB = DQ$ है,इसलिए $PBQD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$DP \,||\, BQ$,जिसका अर्थ है कि $SP \,||\, QR$ है।
चूँकि सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं ($SQ \,||\, PR$ और $SP \,||\, QR$),इसलिए $PSQR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि $AB \,||\, CD$ और $AB = CD$ है,इसलिए $AP \,||\, QC$ और $AP = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD = QC$ है।
चूँकि $AP \,||\, QC$ और $AP = QC$ है,इसलिए $APCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$AQ \,||\, PC$,जिसका अर्थ है कि $SQ \,||\, PR$ है।
इसी प्रकार,$PB \,||\, DQ$ और $PB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD = DQ$ है।
चूँकि $PB \,||\, DQ$ और $PB = DQ$ है,इसलिए $PBQD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$DP \,||\, BQ$,जिसका अर्थ है कि $SP \,||\, QR$ है।
चूँकि सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं ($SQ \,||\, PR$ और $SP \,||\, QR$),इसलिए $PSQR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
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Difficult
यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हैं,तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
Solution
(N/A) माना $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण बराबर हैं,अर्थात $AC = BD$ है।
$\Delta ABC$ और $\Delta BAD$ में:
$AC = BD$ [दिया है]
$BC = AD$ [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
$AB = AB$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$ है।
$CPCT$ द्वारा,हमें प्राप्त होता है $\angle ABC = \angle BAD$ ............. $(1)$
चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$AD \parallel BC$ और $AB$ एक तिर्यक रेखा है। इसलिए,क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ}$ [क्रमागत अंतःकोण संपूरक होते हैं] ............. $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle ABC + \angle ABC = 180^{\circ}$
$2 \angle ABC = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 90^{\circ}$
चूँकि $ABCD$ एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक आयत है।
$\Delta ABC$ और $\Delta BAD$ में:
$AC = BD$ [दिया है]
$BC = AD$ [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
$AB = AB$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$ है।
$CPCT$ द्वारा,हमें प्राप्त होता है $\angle ABC = \angle BAD$ ............. $(1)$
चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$AD \parallel BC$ और $AB$ एक तिर्यक रेखा है। इसलिए,क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ}$ [क्रमागत अंतःकोण संपूरक होते हैं] ............. $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle ABC + \angle ABC = 180^{\circ}$
$2 \angle ABC = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 90^{\circ}$
चूँकि $ABCD$ एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक आयत है।
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Medium
सिद्ध कीजिए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं,तो वह एक समचतुर्भुज है।
Solution
(N/A) माना $ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को बिंदु $O$ पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
$\Delta AOB$ और $\Delta AOD$ में:
$AO = AO$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$OB = OD$ (दिया है कि $O$,$BD$ का मध्य-बिंदु है)
$\angle AOB = \angle AOD = 90^{\circ}$ (दिया है)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta AOB \cong \Delta AOD$ है।
अतः,$AB = AD$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं) ... $(1)$
इसी प्रकार,त्रिभुजों के अन्य युग्मों पर विचार करने पर:
$\Delta AOB$ और $\Delta COB$ में,हमें $AB = CB$ प्राप्त होता है ... $(2)$
$\Delta COB$ और $\Delta COD$ में,हमें $CB = CD$ प्राप्त होता है ... $(3)$
$\Delta COD$ और $\Delta AOD$ में,हमें $CD = AD$ प्राप्त होता है ... $(4)$
$(1), (2), (3)$ और $(4)$ से,हमें $AB = BC = CD = DA$ प्राप्त होता है।
चूँकि चतुर्भुज $ABCD$ की सभी भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए यह एक समचतुर्भुज है।
$\Delta AOB$ और $\Delta AOD$ में:
$AO = AO$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$OB = OD$ (दिया है कि $O$,$BD$ का मध्य-बिंदु है)
$\angle AOB = \angle AOD = 90^{\circ}$ (दिया है)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta AOB \cong \Delta AOD$ है।
अतः,$AB = AD$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं) ... $(1)$
इसी प्रकार,त्रिभुजों के अन्य युग्मों पर विचार करने पर:
$\Delta AOB$ और $\Delta COB$ में,हमें $AB = CB$ प्राप्त होता है ... $(2)$
$\Delta COB$ और $\Delta COD$ में,हमें $CB = CD$ प्राप्त होता है ... $(3)$
$\Delta COD$ और $\Delta AOD$ में,हमें $CD = AD$ प्राप्त होता है ... $(4)$
$(1), (2), (3)$ और $(4)$ से,हमें $AB = BC = CD = DA$ प्राप्त होता है।
चूँकि चतुर्भुज $ABCD$ की सभी भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए यह एक समचतुर्भुज है।
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View Solution12
Difficult
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
Solution
(N/A) माना एक वर्ग $ABCD$ है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$(i)$ यह सिद्ध करने के लिए कि विकर्ण बराबर हैं,अर्थात $AC = BD$:
$\Delta ABC$ और $\Delta BAD$ में:
$AB = BA$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$BC = AD$ [वर्ग $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ]
$\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$ [वर्ग के सभी कोण $90^{\circ}$ होते हैं]
$\therefore \Delta ABC \cong \Delta BAD$ [$SAS$ कसौटी]
$\Rightarrow AC = BD$ ............. $(1)$
$(ii)$ यह सिद्ध करने के लिए कि $O$,$AC$ और $BD$ का मध्य-बिंदु है:
चूँकि $AD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,$\angle 1 = \angle 3$ [एकांतर अंतःकोण].
इसी प्रकार,$\angle 2 = \angle 4$ [एकांतर अंतःकोण].
$\Delta OAD$ और $\Delta OCB$ में:
$AD = CB$ [वर्ग $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ]
$\angle 1 = \angle 3$ [सिद्ध किया गया]
$\angle 2 = \angle 4$ [सिद्ध किया गया]
$\therefore \Delta OAD \cong \Delta OCB$ [$ASA$ कसौटी]
$\Rightarrow OA = OC$ और $OD = OB$
$\Rightarrow O$,$AC$ और $BD$ का मध्य-बिंदु है,अर्थात विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को $O$ पर समद्विभाजित करते हैं। .......... $(2)$
$(iii)$ यह सिद्ध करने के लिए कि $AC \perp BD$:
$\Delta OBA$ और $\Delta ODA$ में:
$OB = OD$ [सिद्ध किया गया]
$BA = DA$ [वर्ग की सम्मुख भुजाएँ]
$OA = OA$ [उभयनिष्ठ]
$\therefore \Delta OBA \cong \Delta ODA$ [$SSS$ कसौटी]
$\Rightarrow \angle AOB = \angle AOD$
चूँकि $\angle AOB$ और $\angle AOD$ रैखिक युग्म बनाते हैं,$\angle AOB + \angle AOD = 180^{\circ}$.
$\Rightarrow \angle AOB = \angle AOD = 90^{\circ}$
$\Rightarrow AC \perp BD$ ............. $(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
$(i)$ यह सिद्ध करने के लिए कि विकर्ण बराबर हैं,अर्थात $AC = BD$:
$\Delta ABC$ और $\Delta BAD$ में:
$AB = BA$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$BC = AD$ [वर्ग $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ]
$\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$ [वर्ग के सभी कोण $90^{\circ}$ होते हैं]
$\therefore \Delta ABC \cong \Delta BAD$ [$SAS$ कसौटी]
$\Rightarrow AC = BD$ ............. $(1)$
$(ii)$ यह सिद्ध करने के लिए कि $O$,$AC$ और $BD$ का मध्य-बिंदु है:
चूँकि $AD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,$\angle 1 = \angle 3$ [एकांतर अंतःकोण].
इसी प्रकार,$\angle 2 = \angle 4$ [एकांतर अंतःकोण].
$\Delta OAD$ और $\Delta OCB$ में:
$AD = CB$ [वर्ग $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ]
$\angle 1 = \angle 3$ [सिद्ध किया गया]
$\angle 2 = \angle 4$ [सिद्ध किया गया]
$\therefore \Delta OAD \cong \Delta OCB$ [$ASA$ कसौटी]
$\Rightarrow OA = OC$ और $OD = OB$
$\Rightarrow O$,$AC$ और $BD$ का मध्य-बिंदु है,अर्थात विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को $O$ पर समद्विभाजित करते हैं। .......... $(2)$
$(iii)$ यह सिद्ध करने के लिए कि $AC \perp BD$:
$\Delta OBA$ और $\Delta ODA$ में:
$OB = OD$ [सिद्ध किया गया]
$BA = DA$ [वर्ग की सम्मुख भुजाएँ]
$OA = OA$ [उभयनिष्ठ]
$\therefore \Delta OBA \cong \Delta ODA$ [$SSS$ कसौटी]
$\Rightarrow \angle AOB = \angle AOD$
चूँकि $\angle AOB$ और $\angle AOD$ रैखिक युग्म बनाते हैं,$\angle AOB + \angle AOD = 180^{\circ}$.
$\Rightarrow \angle AOB = \angle AOD = 90^{\circ}$
$\Rightarrow AC \perp BD$ ............. $(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
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Difficult
सिद्ध कीजिए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें,तो वह एक वर्ग होता है।
Solution
(N/A) माना $ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बराबर हैं $(AC = BD)$ और वे बिंदु $O$ पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं ($AO = OC$,$BO = OD$,और $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^{\circ}$)।
$1$. $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,यह सिद्ध करने के लिए:
$\Delta AOD$ और $\Delta AOB$ में:
$AO = AO$ (उभयनिष्ठ)
$OD = OB$ (दिया है)
$\angle AOD = \angle AOB = 90^{\circ}$ (दिया है)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta AOD \cong \Delta AOB$।
अतः,$AD = AB$ $(CPCT)$।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $AB = BC$,$BC = CD$,और $CD = DA$।
अतः,$AB = BC = CD = DA$। चूँकि सभी भुजाएँ बराबर हैं,$ABCD$ एक समचतुर्भुज है।
$2$. $ABCD$ एक वर्ग है,यह सिद्ध करने के लिए:
$\Delta ABC$ और $\Delta BAD$ में:
$AC = BD$ (दिया है)
$BC = AD$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं)
$AB = BA$ (उभयनिष्ठ)
$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$।
अतः,$\angle ABC = \angle BAD$ $(CPCT)$।
चूँकि $AD \parallel BC$ और $AB$ एक तिर्यक रेखा है,क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ}$।
चूँकि $\angle ABC = \angle BAD$,इसलिए $2 \angle ABC = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\angle ABC = 90^{\circ}$।
वह समचतुर्भुज जिसका एक कोण $90^{\circ}$ हो,वर्ग कहलाता है। अतः,$ABCD$ एक वर्ग है।
$1$. $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,यह सिद्ध करने के लिए:
$\Delta AOD$ और $\Delta AOB$ में:
$AO = AO$ (उभयनिष्ठ)
$OD = OB$ (दिया है)
$\angle AOD = \angle AOB = 90^{\circ}$ (दिया है)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta AOD \cong \Delta AOB$।
अतः,$AD = AB$ $(CPCT)$।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $AB = BC$,$BC = CD$,और $CD = DA$।
अतः,$AB = BC = CD = DA$। चूँकि सभी भुजाएँ बराबर हैं,$ABCD$ एक समचतुर्भुज है।
$2$. $ABCD$ एक वर्ग है,यह सिद्ध करने के लिए:
$\Delta ABC$ और $\Delta BAD$ में:
$AC = BD$ (दिया है)
$BC = AD$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं)
$AB = BA$ (उभयनिष्ठ)
$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$।
अतः,$\angle ABC = \angle BAD$ $(CPCT)$।
चूँकि $AD \parallel BC$ और $AB$ एक तिर्यक रेखा है,क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ}$।
चूँकि $\angle ABC = \angle BAD$,इसलिए $2 \angle ABC = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\angle ABC = 90^{\circ}$।
वह समचतुर्भुज जिसका एक कोण $90^{\circ}$ हो,वर्ग कहलाता है। अतः,$ABCD$ एक वर्ग है।
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एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का विकर्ण $AC$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि यह $\angle C$ को भी समद्विभाजित करता है।
Solution
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण $AC$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है। अतः,$\angle DAC = \angle BAC$।
सिद्ध करना है: $AC$,$\angle C$ को समद्विभाजित करता है,अर्थात $\angle DCA = \angle BCA$।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AB \parallel DC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
अतः,$\angle BAC = \angle DCA$ (एकांतर अंतःकोण) ....... $(1)$
$2$. साथ ही,$BC \parallel AD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
अतः,$\angle DAC = \angle BCA$ (एकांतर अंतःकोण) ....... $(2)$
$3$. चूँकि $AC$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $\angle DAC = \angle BAC$ ....... $(3)$
$4$. समीकरण $(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle DCA = \angle BCA$
अतः,$AC$,$\angle C$ को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है: $AC$,$\angle C$ को समद्विभाजित करता है,अर्थात $\angle DCA = \angle BCA$।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AB \parallel DC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
अतः,$\angle BAC = \angle DCA$ (एकांतर अंतःकोण) ....... $(1)$
$2$. साथ ही,$BC \parallel AD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
अतः,$\angle DAC = \angle BCA$ (एकांतर अंतःकोण) ....... $(2)$
$3$. चूँकि $AC$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $\angle DAC = \angle BAC$ ....... $(3)$
$4$. समीकरण $(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle DCA = \angle BCA$
अतः,$AC$,$\angle C$ को समद्विभाजित करता है।
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एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का विकर्ण $AC$ कोण $\angle A$ को समद्विभाजित करता है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है।
Solution
(N/A) दिया है: एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें विकर्ण $AC$ कोण $\angle A$ को समद्विभाजित करता है। अतः,$\angle DAC = \angle BAC$.
सिद्ध करना है: $ABCD$ एक समचतुर्भुज है।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$AD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए,$\angle DAC = \angle BCA$ (एकांतर अंतःकोण)।
$2$. हमें दिया गया है कि $\angle DAC = \angle BAC$.
$3$. चरण $1$ और $2$ से,हमें प्राप्त होता है कि $\angle BAC = \angle BCA$.
$4$. $\Delta ABC$ में,चूँकि $\angle BAC = \angle BCA$,इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होनी चाहिए।
इसलिए,$BC = AB$ (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
$5$. समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $AB = CD$ और $AD = BC$.
$6$. चूँकि $AB = BC$ और $AB = CD, BC = AD$,इसलिए $AB = BC = CD = DA$ है।
चूँकि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की सभी भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए यह एक समचतुर्भुज है।
सिद्ध करना है: $ABCD$ एक समचतुर्भुज है।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$AD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए,$\angle DAC = \angle BCA$ (एकांतर अंतःकोण)।
$2$. हमें दिया गया है कि $\angle DAC = \angle BAC$.
$3$. चरण $1$ और $2$ से,हमें प्राप्त होता है कि $\angle BAC = \angle BCA$.
$4$. $\Delta ABC$ में,चूँकि $\angle BAC = \angle BCA$,इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होनी चाहिए।
इसलिए,$BC = AB$ (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
$5$. समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $AB = CD$ और $AD = BC$.
$6$. चूँकि $AB = BC$ और $AB = CD, BC = AD$,इसलिए $AB = BC = CD = DA$ है।
चूँकि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की सभी भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए यह एक समचतुर्भुज है।
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$ABCD$ एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण $AC$,$\angle A$ और $\angle C$ को समद्विभाजित करता है और विकर्ण $BD$,$\angle B$ और $\angle D$ को समद्विभाजित करता है।
Solution
(N/A) $ABCD$ एक समचतुर्भुज है।
$AB = BC = CD = AD$
साथ ही,$AB \parallel CD$ और $AD \parallel BC$ है।
अब,$\triangle ADC$ में,$AD = CD$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ)।
इसलिए,$\angle 1 = \angle 2$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं) ....... $(1)$
साथ ही,$CD \parallel AB$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ) और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए,$\angle 2 = \angle 3$ (एकांतर अंतःकोण) ....... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है कि $\angle 1 = \angle 3$।
इसी प्रकार,चूँकि $AD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,$\angle 1 = \angle 4$ (एकांतर अंतःकोण)।
अतः,$AC$,$\angle A$ और $\angle C$ को समद्विभाजित करता है।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $BD$,$\angle B$ और $\angle D$ को समद्विभाजित करता है।
$AB = BC = CD = AD$
साथ ही,$AB \parallel CD$ और $AD \parallel BC$ है।
अब,$\triangle ADC$ में,$AD = CD$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ)।
इसलिए,$\angle 1 = \angle 2$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं) ....... $(1)$
साथ ही,$CD \parallel AB$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ) और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए,$\angle 2 = \angle 3$ (एकांतर अंतःकोण) ....... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है कि $\angle 1 = \angle 3$।
इसी प्रकार,चूँकि $AD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,$\angle 1 = \angle 4$ (एकांतर अंतःकोण)।
अतः,$AC$,$\angle A$ और $\angle C$ को समद्विभाजित करता है।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $BD$,$\angle B$ और $\angle D$ को समद्विभाजित करता है।
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$ABCD$ एक आयत है जिसमें विकर्ण $AC$,$\angle A$ और $\angle C$ दोनों को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि $ABCD$ एक वर्ग है।
Solution
(N/A) हमें एक आयत $ABCD$ दिया गया है जिसमें $AC$,$\angle A$ और $\angle C$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
अर्थात्,$\angle 1 = \angle 4$ और $\angle 2 = \angle 3$ ....... $(1)$
चूंकि आयत एक समांतर चतुर्भुज होता है,इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Rightarrow AB \parallel CD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
$\therefore \angle 2 = \angle 4$ $[\text{एकांतर अंतःकोण}]$ .......... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है कि $\angle 3 = \angle 4$।
$\Rightarrow AB = BC$ $[\because \Delta ABC \text{ में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं}]$।
चूंकि $ABCD$ एक आयत है,इसलिए $AB = CD$ और $BC = AD$ होगा।
$\therefore AB = BC = CD = AD$।
अतः,$ABCD$ एक ऐसा आयत है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं,जिसका अर्थ है कि $ABCD$ एक वर्ग है।
अर्थात्,$\angle 1 = \angle 4$ और $\angle 2 = \angle 3$ ....... $(1)$
चूंकि आयत एक समांतर चतुर्भुज होता है,इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Rightarrow AB \parallel CD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
$\therefore \angle 2 = \angle 4$ $[\text{एकांतर अंतःकोण}]$ .......... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है कि $\angle 3 = \angle 4$।
$\Rightarrow AB = BC$ $[\because \Delta ABC \text{ में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं}]$।
चूंकि $ABCD$ एक आयत है,इसलिए $AB = CD$ और $BC = AD$ होगा।
$\therefore AB = BC = CD = AD$।
अतः,$ABCD$ एक ऐसा आयत है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं,जिसका अर्थ है कि $ABCD$ एक वर्ग है।
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$ABCD$ एक आयत है जिसमें विकर्ण $AC$,$\angle A$ और $\angle C$ दोनों को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि: विकर्ण $BD$,$\angle B$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
Solution
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक आयत है जिसमें विकर्ण $AC$,$\angle A$ और $\angle C$ को समद्विभाजित करता है।
$1$. चूँकि $ABCD$ एक आयत है,$AB \parallel DC$ और $AD \parallel BC$ है।
$2$. चूँकि $AC$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है,$\angle DAC = \angle BAC$ है। साथ ही,$\angle DAC = \angle BCA$ (एकांतर अंतःकोण)।
$3$. इसलिए,$\angle BAC = \angle BCA$ है। $\triangle ABC$ में,बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $AB = BC$ है।
$4$. जिस आयत की आसन्न भुजाएँ बराबर होती हैं,वह एक वर्ग होता है। अतः,$ABCD$ एक वर्ग है।
$5$. एक वर्ग में,विकर्ण सम्मुख कोणों को समद्विभाजित करते हैं।
$6$. इसलिए,विकर्ण $BD$,$\angle B$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
$1$. चूँकि $ABCD$ एक आयत है,$AB \parallel DC$ और $AD \parallel BC$ है।
$2$. चूँकि $AC$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है,$\angle DAC = \angle BAC$ है। साथ ही,$\angle DAC = \angle BCA$ (एकांतर अंतःकोण)।
$3$. इसलिए,$\angle BAC = \angle BCA$ है। $\triangle ABC$ में,बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $AB = BC$ है।
$4$. जिस आयत की आसन्न भुजाएँ बराबर होती हैं,वह एक वर्ग होता है। अतः,$ABCD$ एक वर्ग है।
$5$. एक वर्ग में,विकर्ण सम्मुख कोणों को समद्विभाजित करते हैं।
$6$. इसलिए,विकर्ण $BD$,$\angle B$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
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समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $BD$ पर दो बिंदु $P$ और $Q$ इस प्रकार लिए गए हैं कि $DP = BQ$ है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि: $\Delta APD \cong \Delta CQB$.
Solution
(N/A) हमारे पास समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है। $BD$ एक विकर्ण है और $P$ तथा $Q$,$BD$ पर स्थित बिंदु हैं,जहाँ:
$DP = BQ$ [दिया है]
सिद्ध करना है कि $\Delta APD \cong \Delta CQB$:
चूँकि $AD \parallel BC$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है,$[\because ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है $]$
$\therefore \angle ADB = \angle CBD$ [एकांतर अंतःकोण]
$\Rightarrow \angle ADP = \angle CBQ$
अब,$\Delta APD$ और $\Delta CQB$ में,हमारे पास है:
$AD = CB$ [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
$DP = BQ$ [दिया है]
$\angle ADP = \angle CBQ$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$\therefore SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,हमारे पास है:
$\Delta APD \cong \Delta CQB$.
$DP = BQ$ [दिया है]
सिद्ध करना है कि $\Delta APD \cong \Delta CQB$:
चूँकि $AD \parallel BC$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है,$[\because ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है $]$
$\therefore \angle ADB = \angle CBD$ [एकांतर अंतःकोण]
$\Rightarrow \angle ADP = \angle CBQ$
अब,$\Delta APD$ और $\Delta CQB$ में,हमारे पास है:
$AD = CB$ [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
$DP = BQ$ [दिया है]
$\angle ADP = \angle CBQ$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$\therefore SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,हमारे पास है:
$\Delta APD \cong \Delta CQB$.
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समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $BD$ पर दो बिंदु $P$ और $Q$ इस प्रकार लिए गए हैं कि $DP = BQ$ है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि: $AP = CQ$।
Solution
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $P$ और $Q$ विकर्ण $BD$ पर स्थित बिंदु हैं ताकि $DP = BQ$ हो।
सिद्ध करना है: $AP = CQ$।
उपपत्ति:
$\Delta APD$ और $\Delta CQB$ में:
$1$. $AD = CB$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
$2$. $\angle ADP = \angle CBQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AD \parallel BC$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है)
$3$. $DP = BQ$ (दिया है)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta APD \cong \Delta CQB$।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
इस प्रकार,$AP = CQ$।
सिद्ध करना है: $AP = CQ$।
उपपत्ति:
$\Delta APD$ और $\Delta CQB$ में:
$1$. $AD = CB$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
$2$. $\angle ADP = \angle CBQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AD \parallel BC$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है)
$3$. $DP = BQ$ (दिया है)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta APD \cong \Delta CQB$।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
इस प्रकार,$AP = CQ$।
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समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $BD$ पर दो बिंदु $P$ और $Q$ इस प्रकार लिए गए हैं कि $DP = BQ$ है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि: $\Delta AQB \cong \Delta CPD$.
Solution
(N/A) हमारे पास समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है। $BD$ एक विकर्ण है और $P$ तथा $Q$ इस प्रकार हैं कि:
$PD = QB$ [दिया है]
सिद्ध करना है कि $\Delta AQB \cong \Delta CPD$.
चूँकि $AB \parallel CD$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है,$[\because ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है$]$
$\therefore \angle ABD = \angle CDB$
$\Rightarrow \angle ABQ = \angle CDP$
अब,$\Delta AQB$ और $\Delta CPD$ में,हमारे पास है:
$QB = PD$ [दिया है]
$\angle ABQ = \angle CDP$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$AB = CD$ [समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ]
$\therefore \Delta AQB \cong \Delta CPD$ [$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा]
$PD = QB$ [दिया है]
सिद्ध करना है कि $\Delta AQB \cong \Delta CPD$.
चूँकि $AB \parallel CD$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है,$[\because ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है$]$
$\therefore \angle ABD = \angle CDB$
$\Rightarrow \angle ABQ = \angle CDP$
अब,$\Delta AQB$ और $\Delta CPD$ में,हमारे पास है:
$QB = PD$ [दिया है]
$\angle ABQ = \angle CDP$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$AB = CD$ [समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ]
$\therefore \Delta AQB \cong \Delta CPD$ [$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा]
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समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $BD$ पर दो बिंदु $P$ और $Q$ इस प्रकार लिए गए हैं कि $DP = BQ$ है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि: $AQ = CP$।
Solution
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $P$ और $Q$ विकर्ण $BD$ पर स्थित बिंदु हैं ताकि $DP = BQ$ हो।
सिद्ध करना है: $AQ = CP$।
उपपत्ति:
$\Delta AQB$ और $\Delta CPD$ में:
$1$. $AB = CD$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
$2$. $\angle ABQ = \angle CDP$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है)
$3$. $BQ = DP$ (दिया है)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta AQB \cong \Delta CPD$।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
इस प्रकार,$AQ = CP$।
सिद्ध करना है: $AQ = CP$।
उपपत्ति:
$\Delta AQB$ और $\Delta CPD$ में:
$1$. $AB = CD$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
$2$. $\angle ABQ = \angle CDP$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है)
$3$. $BQ = DP$ (दिया है)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta AQB \cong \Delta CPD$।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
इस प्रकार,$AQ = CP$।
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समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $BD$ पर दो बिंदु $P$ और $Q$ इस प्रकार स्थित हैं कि $DP = BQ$ (आकृति देखिए)। दर्शाइए कि $APCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
Solution
(N/A) हमारे पास समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है। $BD$ एक विकर्ण है और बिंदु $P$ और $Q$ इस प्रकार हैं कि $DP = BQ$ [दिया है]।
सिद्ध करना है कि $APCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
आइए $AC$ को मिलाएँ जो $BD$ को $O$ पर प्रतिच्छेद करता है।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AO = CO$ और $BO = DO$ ... $(1)$।
हमें $DP = BQ$ दिया गया है ... $(2)$।
$BO = DO$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$BO - BQ = DO - DP$
$QO = PO$ ... $(3)$।
अब,चतुर्भुज $APCQ$ में,विकर्ण $AC$ और $PQ$ एक-दूसरे को $O$ पर समद्विभाजित करते हैं (समीकरण $(1)$ और $(3)$ से)।
चूँकि जिस चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,वह एक समांतर चतुर्भुज होता है। अतः $APCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
सिद्ध करना है कि $APCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
आइए $AC$ को मिलाएँ जो $BD$ को $O$ पर प्रतिच्छेद करता है।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AO = CO$ और $BO = DO$ ... $(1)$।
हमें $DP = BQ$ दिया गया है ... $(2)$।
$BO = DO$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$BO - BQ = DO - DP$
$QO = PO$ ... $(3)$।
अब,चतुर्भुज $APCQ$ में,विकर्ण $AC$ और $PQ$ एक-दूसरे को $O$ पर समद्विभाजित करते हैं (समीकरण $(1)$ और $(3)$ से)।
चूँकि जिस चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,वह एक समांतर चतुर्भुज होता है। अतः $APCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
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$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $AP$ तथा $CQ$ शीर्षों $A$ और $C$ से विकर्ण $BD$ पर डाले गए लंब हैं (आकृति देखें)। दर्शाइए कि $\Delta APB \cong \Delta CQD$ है।
Solution
(N/A) $\Delta APB$ और $\Delta CQD$ में,हमारे पास है:
$1$. $\angle APB = \angle CQD = 90^{\circ}$ (दिया है,क्योंकि $AP \perp BD$ और $CQ \perp BD$)
$2$. $AB = CD$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
$3$. $\angle ABP = \angle CDQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है)
अतः,$AAS$ (कोण-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,हमारे पास है:
$\Delta APB \cong \Delta CQD$
$1$. $\angle APB = \angle CQD = 90^{\circ}$ (दिया है,क्योंकि $AP \perp BD$ और $CQ \perp BD$)
$2$. $AB = CD$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
$3$. $\angle ABP = \angle CDQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है)
अतः,$AAS$ (कोण-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,हमारे पास है:
$\Delta APB \cong \Delta CQD$
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$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $AP$ तथा $CQ$ शीर्षों $A$ और $C$ से विकर्ण $BD$ पर डाले गए लंब हैं (आकृति देखिए)। दर्शाइए कि $AP = CQ$ है।
Solution
(N/A) $\Delta APB$ और $\Delta CQD$ में:
$1$. $\angle APB = \angle CQD = 90^\circ$ (दिया है कि $AP \perp BD$ और $CQ \perp BD$)
$2$. $AB = CD$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
$3$. $\angle ABP = \angle CDQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है)
अतः,$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta APB \cong \Delta CQD$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$AP = CQ$।
$1$. $\angle APB = \angle CQD = 90^\circ$ (दिया है कि $AP \perp BD$ और $CQ \perp BD$)
$2$. $AB = CD$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
$3$. $\angle ABP = \angle CDQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है)
अतः,$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta APB \cong \Delta CQD$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$AP = CQ$।
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Easy
$\Delta ABC$ और $\Delta DEF$ में,$AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है। शीर्ष $A, B$ और $C$ को क्रमशः शीर्ष $D, E$ और $F$ से जोड़ा गया है। दर्शाइए कि चतुर्भुज $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
Solution
(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होता है यदि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर और लंबाई में बराबर हो।
दिया है:
$AB = DE$
$AB \parallel DE$
चतुर्भुज $ABED$ में,हमारे पास सम्मुख भुजाओं का एक युग्म ($AB$ और $DE$) है जो समांतर और लंबाई में बराबर है।
अतः,$ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होता है यदि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर और लंबाई में बराबर हो।
दिया है:
$AB = DE$
$AB \parallel DE$
चतुर्भुज $ABED$ में,हमारे पास सम्मुख भुजाओं का एक युग्म ($AB$ और $DE$) है जो समांतर और लंबाई में बराबर है।
अतः,$ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
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Easy
$\Delta ABC$ और $\Delta DEF$ में,$AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है। शीर्ष $A, B$ और $C$ को क्रमशः शीर्ष $D, E$ और $F$ से जोड़ा गया है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि चतुर्भुज $BEFC$ एक समांतर चतुर्भुज है।
Solution
(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि $BEFC$ एक समांतर चतुर्भुज है।
दिया है कि $BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है।
एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होता है यदि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो।
चूँकि $BEFC$ एक ऐसा चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाओं का युग्म ($BC$ और $EF$) बराबर और समांतर है,
अतः,$BEFC$ एक समांतर चतुर्भुज है।
दिया है कि $BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है।
एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होता है यदि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो।
चूँकि $BEFC$ एक ऐसा चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाओं का युग्म ($BC$ और $EF$) बराबर और समांतर है,
अतः,$BEFC$ एक समांतर चतुर्भुज है।
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$\Delta ABC$ और $\Delta DEF$ में,$AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है। शीर्ष $A, B$ और $C$ को क्रमशः शीर्ष $D, E$ और $F$ से जोड़ा गया है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि $AD \parallel CF$ और $AD = CF$ है।
Solution
(N/A) $AD \parallel CF$ और $AD = CF$ सिद्ध करने के लिए:
$1$. चतुर्भुज $ABED$ में,हमें दिया गया है कि $AB = DE$ और $AB \parallel DE$ है। चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$AD \parallel BE$ और $AD = BE$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं) ... $(1)$
$2$. चतुर्भुज $BEFC$ में,हमें दिया गया है कि $BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है। चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $BEFC$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$BE \parallel CF$ और $BE = CF$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं) ... $(2)$
$3$. समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमारे पास $AD \parallel BE$ और $BE \parallel CF$ है,जिसका अर्थ है कि $AD \parallel CF$ है।
साथ ही,$AD = BE$ और $BE = CF$ है,जिसका अर्थ है कि $AD = CF$ है।
$1$. चतुर्भुज $ABED$ में,हमें दिया गया है कि $AB = DE$ और $AB \parallel DE$ है। चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$AD \parallel BE$ और $AD = BE$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं) ... $(1)$
$2$. चतुर्भुज $BEFC$ में,हमें दिया गया है कि $BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है। चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $BEFC$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$BE \parallel CF$ और $BE = CF$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं) ... $(2)$
$3$. समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमारे पास $AD \parallel BE$ और $BE \parallel CF$ है,जिसका अर्थ है कि $AD \parallel CF$ है।
साथ ही,$AD = BE$ और $BE = CF$ है,जिसका अर्थ है कि $AD = CF$ है।
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Easy
$\Delta ABC$ और $\Delta DEF$ में,$AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है। शीर्ष $A, B$ और $C$ को क्रमशः शीर्ष $D, E$ और $F$ से जोड़ा गया है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि चतुर्भुज $ACFD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
Solution
(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ और $\Delta DEF$ में,$AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है।
चरण $1$: चतुर्भुज $ABED$ पर विचार करें।
चूँकि $AB = DE$ और $AB \parallel DE$,सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है।
इसलिए,$ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसका अर्थ है $AD = BE$ और $AD \parallel BE$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं)।
चरण $2$: चतुर्भुज $BCFE$ पर विचार करें।
चूँकि $BC = EF$ और $BC \parallel EF$,सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है।
इसलिए,$BCFE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसका अर्थ है $BE = CF$ और $BE \parallel CF$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं)।
चरण $3$: चतुर्भुज $ACFD$ पर विचार करें।
चरण $1$ से,$AD \parallel BE$ और चरण $2$ से,$BE \parallel CF$ है। अतः,$AD \parallel CF$ है।
चरण $1$ से,$AD = BE$ और चरण $2$ से,$BE = CF$ है। अतः,$AD = CF$ है।
चूँकि चतुर्भुज $ACFD$ में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $ACFD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चरण $1$: चतुर्भुज $ABED$ पर विचार करें।
चूँकि $AB = DE$ और $AB \parallel DE$,सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है।
इसलिए,$ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसका अर्थ है $AD = BE$ और $AD \parallel BE$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं)।
चरण $2$: चतुर्भुज $BCFE$ पर विचार करें।
चूँकि $BC = EF$ और $BC \parallel EF$,सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है।
इसलिए,$BCFE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसका अर्थ है $BE = CF$ और $BE \parallel CF$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं)।
चरण $3$: चतुर्भुज $ACFD$ पर विचार करें।
चरण $1$ से,$AD \parallel BE$ और चरण $2$ से,$BE \parallel CF$ है। अतः,$AD \parallel CF$ है।
चरण $1$ से,$AD = BE$ और चरण $2$ से,$BE = CF$ है। अतः,$AD = CF$ है।
चूँकि चतुर्भुज $ACFD$ में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $ACFD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
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View Solution30
Easy
$\Delta ABC$ और $\Delta DEF$ में,$AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है। शीर्ष $A, B$ और $C$ को क्रमशः शीर्ष $D, E$ और $F$ से जोड़ा गया है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि $AC = DF$ है।
Solution
(N/A) दिया है: $AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है।
चरण $1$: चतुर्भुज $ABED$ पर विचार करें। चूँकि $AB = DE$ और $AB \parallel DE$,सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है। इसलिए,$ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चरण $2$: चूँकि $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AD = BE$ और $AD \parallel BE$ होगा।
चरण $3$: चतुर्भुज $BCFE$ पर विचार करें। चूँकि $BC = EF$ और $BC \parallel EF$,सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है। इसलिए,$BCFE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चरण $4$: चूँकि $BCFE$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $BE = CF$ और $BE \parallel CF$ होगा।
चरण $5$: चरण $2$ और चरण $4$ से,हमारे पास $AD = BE$ और $BE = CF$ है,जिसका अर्थ है कि $AD = CF$ है। साथ ही,$AD \parallel BE$ और $BE \parallel CF$ है,जिसका अर्थ है कि $AD \parallel CF$ है।
चरण $6$: चतुर्भुज $ACFD$ में,चूँकि $AD = CF$ और $AD \parallel CF$ है,इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है।
चरण $7$: चूँकि $ACFD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए,$AC = DF$ है।
चरण $1$: चतुर्भुज $ABED$ पर विचार करें। चूँकि $AB = DE$ और $AB \parallel DE$,सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है। इसलिए,$ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चरण $2$: चूँकि $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AD = BE$ और $AD \parallel BE$ होगा।
चरण $3$: चतुर्भुज $BCFE$ पर विचार करें। चूँकि $BC = EF$ और $BC \parallel EF$,सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है। इसलिए,$BCFE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चरण $4$: चूँकि $BCFE$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $BE = CF$ और $BE \parallel CF$ होगा।
चरण $5$: चरण $2$ और चरण $4$ से,हमारे पास $AD = BE$ और $BE = CF$ है,जिसका अर्थ है कि $AD = CF$ है। साथ ही,$AD \parallel BE$ और $BE \parallel CF$ है,जिसका अर्थ है कि $AD \parallel CF$ है।
चरण $6$: चतुर्भुज $ACFD$ में,चूँकि $AD = CF$ और $AD \parallel CF$ है,इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है।
चरण $7$: चूँकि $ACFD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए,$AC = DF$ है।
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View Solution31
Medium
$\Delta ABC$ और $\Delta DEF$ में,$AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है। शीर्ष $A, B$ और $C$ को क्रमशः शीर्ष $D, E$ और $F$ से जोड़ा गया है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि $\Delta ABC \cong \Delta DEF$ है।
Solution
(N/A) दिया है: $AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है।
चरण $1$: चूँकि $AB = DE$ और $AB \parallel DE$ है,इसलिए चतुर्भुज $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है। अतः,$AD = BE$ और $AD \parallel BE$ है।
चरण $2$: चूँकि $BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है,इसलिए चतुर्भुज $BEFC$ एक समांतर चतुर्भुज है। अतः,$BE = CF$ और $BE \parallel CF$ है।
चरण $3$: चरण $1$ और चरण $2$ से,हमारे पास $AD = BE$ और $BE = CF$ है,जिसका अर्थ है कि $AD = CF$ है। साथ ही,$AD \parallel CF$ है क्योंकि दोनों $BE$ के समांतर हैं।
चरण $4$: चूँकि $AD = CF$ और $AD \parallel CF$ है,इसलिए चतुर्भुज $ACFD$ एक समांतर चतुर्भुज है। अतः,$AC = DF$ है।
चरण $5$: $\Delta ABC$ और $\Delta DEF$ में:
$AB = DE$ (दिया है)
$BC = EF$ (दिया है)
$AC = DF$ (चरण $4$ में सिद्ध किया गया)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABC \cong \Delta DEF$ है।
चरण $1$: चूँकि $AB = DE$ और $AB \parallel DE$ है,इसलिए चतुर्भुज $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है। अतः,$AD = BE$ और $AD \parallel BE$ है।
चरण $2$: चूँकि $BC = EF$ और $BC \parallel EF$ है,इसलिए चतुर्भुज $BEFC$ एक समांतर चतुर्भुज है। अतः,$BE = CF$ और $BE \parallel CF$ है।
चरण $3$: चरण $1$ और चरण $2$ से,हमारे पास $AD = BE$ और $BE = CF$ है,जिसका अर्थ है कि $AD = CF$ है। साथ ही,$AD \parallel CF$ है क्योंकि दोनों $BE$ के समांतर हैं।
चरण $4$: चूँकि $AD = CF$ और $AD \parallel CF$ है,इसलिए चतुर्भुज $ACFD$ एक समांतर चतुर्भुज है। अतः,$AC = DF$ है।
चरण $5$: $\Delta ABC$ और $\Delta DEF$ में:
$AB = DE$ (दिया है)
$BC = EF$ (दिया है)
$AC = DF$ (चरण $4$ में सिद्ध किया गया)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABC \cong \Delta DEF$ है।
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Difficult
$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel CD$ और $AD = BC$ है (आकृति देखें)। सिद्ध कीजिए कि $\angle A = \angle B$ है।
Solution
(N/A) हमें दिया गया है कि $AB \parallel CD$ और $AD = BC$ है।
सिद्ध करना है कि $\angle A = \angle B$ है।
$AB$ को $E$ तक बढ़ाइए और $CE \parallel AD$ खींचिए।
$\therefore AB \parallel DC \Rightarrow AE \parallel DC$ [दिया है]।
साथ ही $AD \parallel CE$ [रचना]।
$\therefore AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Rightarrow AD = CE$ [समांतर चतुर्भुज $AECD$ की सम्मुख भुजाएँ]।
परंतु $AD = BC$ [दिया है]।
$\therefore BC = CE$ है।
अब,$\Delta BCE$ में,हमारे पास $BC = CE$ है।
$\Rightarrow \angle CBE = \angle CEB$ ......... $(1)$ [$\because$ त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]।
साथ ही,$\angle ABC + \angle CBE = 180^{\circ}$ [रैखिक युग्म] ......... $(2)$ है।
और $\angle A + \angle CEB = 180^{\circ}$ [$\because$ समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं] ......... $(3)$ है।
$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है $\angle ABC + \angle CBE = \angle A + \angle CEB$ है।
परंतु $\angle CBE = \angle CEB$ [$(1)$ का उपयोग करने पर]।
$\therefore \angle ABC = \angle A$,या $\angle B = \angle A$ है।
सिद्ध करना है कि $\angle A = \angle B$ है।
$AB$ को $E$ तक बढ़ाइए और $CE \parallel AD$ खींचिए।
$\therefore AB \parallel DC \Rightarrow AE \parallel DC$ [दिया है]।
साथ ही $AD \parallel CE$ [रचना]।
$\therefore AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Rightarrow AD = CE$ [समांतर चतुर्भुज $AECD$ की सम्मुख भुजाएँ]।
परंतु $AD = BC$ [दिया है]।
$\therefore BC = CE$ है।
अब,$\Delta BCE$ में,हमारे पास $BC = CE$ है।
$\Rightarrow \angle CBE = \angle CEB$ ......... $(1)$ [$\because$ त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]।
साथ ही,$\angle ABC + \angle CBE = 180^{\circ}$ [रैखिक युग्म] ......... $(2)$ है।
और $\angle A + \angle CEB = 180^{\circ}$ [$\because$ समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं] ......... $(3)$ है।
$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है $\angle ABC + \angle CBE = \angle A + \angle CEB$ है।
परंतु $\angle CBE = \angle CEB$ [$(1)$ का उपयोग करने पर]।
$\therefore \angle ABC = \angle A$,या $\angle B = \angle A$ है।
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View Solution33
Medium
$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel CD$ और $AD = BC$ है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि $\angle C = \angle D$।
Solution
(N/A) सिद्ध करना है कि $\angle C = \angle D$।
रचना: $AB$ को $E$ तक बढ़ाइए और $C$ से होकर $AD$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई $AB$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करे।
चूँकि $AD \parallel CE$ और $AE \parallel DC$,अतः $AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसलिए,$AD = CE$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)।
दिया है कि $AD = BC$,अतः $BC = CE$ होगा।
$\triangle BCE$ में,चूँकि $BC = CE$,अतः इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे,इसलिए $\angle CBE = \angle CEB$।
साथ ही,$\angle ABC + \angle CBE = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
चूँकि $AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$\angle A = \angle ADC$ और $\angle D + \angle A = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोण)।
साथ ही,$\angle CEB = \angle A$ (संगत कोण,क्योंकि $AD \parallel CE$)।
चूँकि $\angle D + \angle A = 180^{\circ}$ और $\angle C + \angle B = 180^{\circ}$,और समांतर चतुर्भुज तथा समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों का उपयोग करते हुए,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\angle C = \angle D$।
रचना: $AB$ को $E$ तक बढ़ाइए और $C$ से होकर $AD$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई $AB$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करे।
चूँकि $AD \parallel CE$ और $AE \parallel DC$,अतः $AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसलिए,$AD = CE$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)।
दिया है कि $AD = BC$,अतः $BC = CE$ होगा।
$\triangle BCE$ में,चूँकि $BC = CE$,अतः इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे,इसलिए $\angle CBE = \angle CEB$।
साथ ही,$\angle ABC + \angle CBE = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
चूँकि $AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$\angle A = \angle ADC$ और $\angle D + \angle A = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोण)।
साथ ही,$\angle CEB = \angle A$ (संगत कोण,क्योंकि $AD \parallel CE$)।
चूँकि $\angle D + \angle A = 180^{\circ}$ और $\angle C + \angle B = 180^{\circ}$,और समांतर चतुर्भुज तथा समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों का उपयोग करते हुए,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\angle C = \angle D$।
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View Solution34
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$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel CD$ और $AD = BC$ है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि $\Delta ABC \cong \Delta BAD$ है।
Solution
(N/A) $\Delta ABC \cong \Delta BAD$ सिद्ध करने के लिए:
रचना: $AB$ को बढ़ाइए और $C$ से होकर $DA$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई $AB$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करे।
$1$. चूँकि $AD \parallel CE$ और $AE \parallel DC$,$AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$2$. इसलिए,$AD = CE$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)।
$3$. दिया है $AD = BC$,अतः $BC = CE$। इस प्रकार,$\Delta BCE$ में $\angle CEB = \angle CBE$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)।
$4$. साथ ही,$\angle ABC + \angle CBE = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म) और $\angle BAD + \angle ADC = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोण)।
$5$. चूँकि $AD \parallel CE$,$\angle ADC + \angle DCE = 180^{\circ}$।
$6$. इनकी तुलना करने पर,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\angle ABC = \angle BAD$।
$7$. $\Delta ABC$ और $\Delta BAD$ में:
- $AB = BA$ (उभयनिष्ठ भुजा)
- $BC = AD$ (दिया है)
- $\angle ABC = \angle BAD$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$8$. $SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$।
रचना: $AB$ को बढ़ाइए और $C$ से होकर $DA$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई $AB$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करे।
$1$. चूँकि $AD \parallel CE$ और $AE \parallel DC$,$AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$2$. इसलिए,$AD = CE$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)।
$3$. दिया है $AD = BC$,अतः $BC = CE$। इस प्रकार,$\Delta BCE$ में $\angle CEB = \angle CBE$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)।
$4$. साथ ही,$\angle ABC + \angle CBE = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म) और $\angle BAD + \angle ADC = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोण)।
$5$. चूँकि $AD \parallel CE$,$\angle ADC + \angle DCE = 180^{\circ}$।
$6$. इनकी तुलना करने पर,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\angle ABC = \angle BAD$।
$7$. $\Delta ABC$ और $\Delta BAD$ में:
- $AB = BA$ (उभयनिष्ठ भुजा)
- $BC = AD$ (दिया है)
- $\angle ABC = \angle BAD$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$8$. $SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$।
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View Solution35
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$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel CD$ और $AD = BC$ है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि विकर्ण $AC =$ विकर्ण $BD$ है।
Solution
(A) दिया है: $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel CD$ और $AD = BC$ है।
रचना: $AB$ को आगे बढ़ाएं और $C$ से $DA$ के समांतर एक रेखा खींचें जो बढ़ाए गए $AB$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करे।
उपपत्ति:
$1$. चूंकि $AD \parallel CE$ (रचना से) और $AE \parallel DC$ (दिया है $AB \parallel DC$),अतः $AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$2$. इसलिए,$AD = CE$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं)। चूंकि $AD = BC$ (दिया है),इसलिए $BC = CE$ है।
$3$. $\Delta BCE$ में,$BC = CE$ है,अतः $\angle CBE = \angle CEB$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)।
$4$. साथ ही,$\angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$ (रैखिक युग्म)। चूंकि $\angle CEB = \angle CBE$,इसलिए $\angle ABC + \angle CEB = 180^\circ$ है।
$5$. $\Delta ABC$ और $\Delta BAD$ में:
- $AB = BA$ (उभयनिष्ठ भुजा)
- $AD = BC$ (दिया है)
- $\angle DAB = \angle CBA$ (समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज के गुणधर्म से)।
$6$. $SAS$ सर्वांगसमता नियम से,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$ है।
$7$. इसलिए,$AC = BD$ ($CPCT$ द्वारा)।
रचना: $AB$ को आगे बढ़ाएं और $C$ से $DA$ के समांतर एक रेखा खींचें जो बढ़ाए गए $AB$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करे।
उपपत्ति:
$1$. चूंकि $AD \parallel CE$ (रचना से) और $AE \parallel DC$ (दिया है $AB \parallel DC$),अतः $AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$2$. इसलिए,$AD = CE$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं)। चूंकि $AD = BC$ (दिया है),इसलिए $BC = CE$ है।
$3$. $\Delta BCE$ में,$BC = CE$ है,अतः $\angle CBE = \angle CEB$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)।
$4$. साथ ही,$\angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$ (रैखिक युग्म)। चूंकि $\angle CEB = \angle CBE$,इसलिए $\angle ABC + \angle CEB = 180^\circ$ है।
$5$. $\Delta ABC$ और $\Delta BAD$ में:
- $AB = BA$ (उभयनिष्ठ भुजा)
- $AD = BC$ (दिया है)
- $\angle DAB = \angle CBA$ (समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज के गुणधर्म से)।
$6$. $SAS$ सर्वांगसमता नियम से,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$ है।
$7$. इसलिए,$AC = BD$ ($CPCT$ द्वारा)।
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MediumMCQ
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\angle BOC = 90^{\circ}$ और $\angle BDC = 50^{\circ}$ है,तो $\angle OAB$ का मान ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)
A
$40$
B
$90$
C
$10$
D
$50$
Solution
(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
दिया है $\angle BOC = 90^{\circ}.$ चूंकि $AC$ एक सीधी रेखा है,$\angle BOC + \angle AOB = 180^{\circ},$ इसलिए $\angle AOB = 90^{\circ}.$
$\triangle BOC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
चूंकि $AB \parallel DC,$ एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle OAB = \angle OCD.$
साथ ही,$\angle BDC = 50^{\circ}$ दिया है। $AB \parallel DC$ होने के कारण,$\angle ABD = \angle BDC = 50^{\circ}$ (एकांतर अंतःकोण)।
$\triangle AOB$ में,$\angle AOB = 90^{\circ}$ और $\angle ABO = 50^{\circ}.$
$\triangle AOB$ के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,
$\angle OAB + \angle AOB + \angle ABO = 180^{\circ}$
$\angle OAB + 90^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle OAB + 140^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle OAB = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}.$
दिया है $\angle BOC = 90^{\circ}.$ चूंकि $AC$ एक सीधी रेखा है,$\angle BOC + \angle AOB = 180^{\circ},$ इसलिए $\angle AOB = 90^{\circ}.$
$\triangle BOC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
चूंकि $AB \parallel DC,$ एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle OAB = \angle OCD.$
साथ ही,$\angle BDC = 50^{\circ}$ दिया है। $AB \parallel DC$ होने के कारण,$\angle ABD = \angle BDC = 50^{\circ}$ (एकांतर अंतःकोण)।
$\triangle AOB$ में,$\angle AOB = 90^{\circ}$ और $\angle ABO = 50^{\circ}.$
$\triangle AOB$ के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,
$\angle OAB + \angle AOB + \angle ABO = 180^{\circ}$
$\angle OAB + 90^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle OAB + 140^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle OAB = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}.$
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EasyMCQ
समांतर चतुर्भुज के लिए निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?
A
सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
B
सम्मुख कोण विकर्णों द्वारा समद्विभाजित होते हैं।
C
विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
D
सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
Solution
(B) एक समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं। सम्मुख कोण बराबर होते हैं। विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। हालाँकि,विकर्ण आवश्यक रूप से सम्मुख कोणों को समद्विभाजित नहीं करते हैं; यह गुण केवल समचतुर्भुज या वर्ग के लिए सत्य है। इसलिए,यह कथन कि 'सम्मुख कोण विकर्णों द्वारा समद्विभाजित होते हैं' एक सामान्य समांतर चतुर्भुज के लिए सत्य नहीं है।
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EasyMCQ
$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। यदि इसके विकर्ण बराबर हैं,तो $\angle ABC$ का मान ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)
A
$45$
B
$60$
C
$90$
D
$120$
Solution
(C) समान विकर्णों वाला समांतर चतुर्भुज एक आयत होता है।
एक आयत में,सभी आंतरिक कोण समकोण होते हैं।
इसलिए,$\angle ABC = 90^{\circ}$।
एक आयत में,सभी आंतरिक कोण समकोण होते हैं।
इसलिए,$\angle ABC = 90^{\circ}$।
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Easy
एक चतुर्भुज $ABCD$ के तीन कोण बराबर हैं। क्या यह एक समांतर चतुर्भुज है? क्यों या क्यों नहीं?
Solution
(B) नहीं,यह आवश्यक रूप से एक समांतर चतुर्भुज नहीं है। एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज तभी होता है जब सम्मुख कोणों के दोनों युग्म बराबर हों। उदाहरण के लिए,यदि $\angle A = \angle B = \angle C = 80^{\circ}$ है,तो चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle D = 360^{\circ} - (80^{\circ} + 80^{\circ} + 80^{\circ}) = 120^{\circ}$ होगा। चूंकि $\angle B \neq \angle D$ $(80^{\circ} \neq 120^{\circ})$,इसलिए समांतर चतुर्भुज की शर्त पूरी नहीं होती है।
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Easy
एक चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $OA : OC = 3 : 2$ है। क्या $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है? क्यों या क्यों नहीं?
Solution
(B) एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होता है यदि और केवल यदि उसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है $OA = OC$ और $OB = OD$।
दिए गए चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ के खंडों का अनुपात $OA : OC = 3 : 2$ है।
चूंकि $OA \neq OC$,इसलिए विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित नहीं करते हैं।
अतः,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज नहीं है।
दिए गए चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ के खंडों का अनुपात $OA : OC = 3 : 2$ है।
चूंकि $OA \neq OC$,इसलिए विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित नहीं करते हैं।
अतः,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज नहीं है।
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MediumMCQ
एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $OA = 3\, cm$ और $OD = 2\, cm$ है,तो $AC$ और $BD$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।
A
$AC = 6\, cm, BD = 4\, cm$
B
$AC = 3\, cm, BD = 2\, cm$
C
$AC = 4\, cm, BD = 6\, cm$
D
$AC = 5\, cm, BD = 5\, cm$
Solution
(A) हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
अतः,$AC = 2 \times OA$ और $BD = 2 \times OD$ होगा।
दिया गया है कि $OA = 3\, cm$ और $OD = 2\, cm$ है।
इसलिए,$AC = 2 \times 3\, cm = 6\, cm$ होगा।
और $BD = 2 \times 2\, cm = 4\, cm$ होगा।
अतः,$AC$ और $BD$ की लंबाई क्रमशः $6\, cm$ और $4\, cm$ है।
अतः,$AC = 2 \times OA$ और $BD = 2 \times OD$ होगा।
दिया गया है कि $OA = 3\, cm$ और $OD = 2\, cm$ है।
इसलिए,$AC = 2 \times 3\, cm = 6\, cm$ होगा।
और $BD = 2 \times 2\, cm = 4\, cm$ होगा।
अतः,$AC$ और $BD$ की लंबाई क्रमशः $6\, cm$ और $4\, cm$ है।
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Easy
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे पर लंब होते हैं। क्या यह कथन सत्य है? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
Solution
(B) यह कथन असत्य है।
एक समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,लेकिन वे आवश्यक रूप से लंबवत नहीं होते हैं।
लंबवत विकर्ण एक समचतुर्भुज या वर्ग का गुण है,जो समांतर चतुर्भुज के विशेष प्रकार हैं,लेकिन यह सभी समांतर चतुर्भुजों का सामान्य गुण नहीं है।
एक समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,लेकिन वे आवश्यक रूप से लंबवत नहीं होते हैं।
लंबवत विकर्ण एक समचतुर्भुज या वर्ग का गुण है,जो समांतर चतुर्भुज के विशेष प्रकार हैं,लेकिन यह सभी समांतर चतुर्भुजों का सामान्य गुण नहीं है।
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MediumMCQ
आकृति में,$ABCD$ और $AEFG$ दो समांतर चतुर्भुज हैं। यदि $\angle C = 55^{\circ}$ है,तो $\angle F$ ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)
A
$55$
B
$155$
C
$65$
D
$30$
Solution
(A) हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle A = \angle C$ है।
दिया गया है कि $\angle C = 55^{\circ}$ है।
इसलिए,$\angle A = 55^{\circ}$ होगा।
अब,समांतर चतुर्भुज $AEFG$ में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle F = \angle A$ होगा।
चूँकि $\angle A = 55^{\circ}$ है,इसलिए $\angle F = 55^{\circ}$ होगा।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle A = \angle C$ है।
दिया गया है कि $\angle C = 55^{\circ}$ है।
इसलिए,$\angle A = 55^{\circ}$ होगा।
अब,समांतर चतुर्भुज $AEFG$ में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle F = \angle A$ होगा।
चूँकि $\angle A = 55^{\circ}$ है,इसलिए $\angle F = 55^{\circ}$ होगा।
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MediumMCQ
एक चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। यदि $\angle A = 35^{\circ}$ है,तो $\angle B$ ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)
A
$145$
B
$45$
C
$35$
D
$180$
Solution
(A) चूंकि एक चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज में,किन्हीं भी दो आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है क्योंकि वे संपूरक होते हैं।
इसलिए,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = 35^{\circ}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$35^{\circ} + \angle B = 180^{\circ}$।
$\angle B$ के लिए हल करने पर:
$\angle B = 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ}$।
समांतर चतुर्भुज में,किन्हीं भी दो आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है क्योंकि वे संपूरक होते हैं।
इसलिए,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = 35^{\circ}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$35^{\circ} + \angle B = 180^{\circ}$।
$\angle B$ के लिए हल करने पर:
$\angle B = 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ}$।
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EasyMCQ
एक चतुर्भुज $ABCD$ के सम्मुख कोण बराबर हैं। यदि $AB = 4 \, cm$ है,तो $CD$ का मान ज्ञात कीजिए ($cm$ में)।
A
$2$
B
$4$
C
$6$
D
$8$
Solution
(B) वह चतुर्भुज जिसमें सम्मुख कोणों के दोनों युग्म बराबर होते हैं,समांतर चतुर्भुज कहलाता है।
चूंकि चतुर्भुज $ABCD$ के सम्मुख कोण बराबर हैं,इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
इसलिए,$AB = CD$ होगा।
दिया गया है कि $AB = 4 \, cm$,अतः $CD = 4 \, cm$ होगा।
चूंकि चतुर्भुज $ABCD$ के सम्मुख कोण बराबर हैं,इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
इसलिए,$AB = CD$ होगा।
दिया गया है कि $AB = 4 \, cm$,अतः $CD = 4 \, cm$ होगा।
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View Solution46
MediumMCQ
आकृति में,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$AE \perp DC$ और $CF \perp AD$ है। यदि $AB = 16 \, cm, AE = 8 \, cm$ और $CF = 10 \, cm$ है,तो $AD$ ज्ञात कीजिए। ($, cm$ में)
A
$12.6$
B
$11.8$
C
$10.8$
D
$12.8$
Solution
(D) हमें दिया गया है कि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें $AE \perp DC$ और $CF \perp AD$ है।
दिया है $AB = 16 \, cm, AE = 8 \, cm$ और $CF = 10 \, cm$।
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,अतः $CD = AB = 16 \, cm$।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और संगत ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= CD \times AE = 16 \, cm \times 8 \, cm = 128 \, cm^2$।
साथ ही,उसी समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार $AD$ और ऊँचाई $CF$ का उपयोग करके भी निकाला जा सकता है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= AD \times CF$।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $128 = AD \times 10$।
अतः,$AD = \frac{128}{10} = 12.8 \, cm$।
दिया है $AB = 16 \, cm, AE = 8 \, cm$ और $CF = 10 \, cm$।
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,अतः $CD = AB = 16 \, cm$।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और संगत ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= CD \times AE = 16 \, cm \times 8 \, cm = 128 \, cm^2$।
साथ ही,उसी समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार $AD$ और ऊँचाई $CF$ का उपयोग करके भी निकाला जा सकता है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= AD \times CF$।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $128 = AD \times 10$।
अतः,$AD = \frac{128}{10} = 12.8 \, cm$।
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Medium
$ABCD$ एक आयत है और $P$,$Q$,$R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $AB$,$BC$,$CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
Solution
(N/A) आयत $ABCD$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,$R$,$CD$ का मध्य-बिंदु है और $S$,$DA$ का मध्य-बिंदु है।
विकर्ण $AC$ खींचिए।
$\Delta ABC$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार:
$PQ = \frac{1}{2} AC$ और $PQ \parallel AC$ ......... $(1)$
$\Delta ACD$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार:
$SR = \frac{1}{2} AC$ और $SR \parallel AC$ ......... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें $PQ = SR$ और $PQ \parallel SR$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$BD$ को मिलाने पर,हमें $PS = QR$ और $PS \parallel QR$ प्राप्त होता है।
चूंकि चतुर्भुज $PQRS$ की सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म बराबर और समांतर हैं,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,$\Delta PAS$ और $\Delta PBQ$ में:
$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$ (आयत के कोण)
$AP = BP$ ($P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है)
$AS = BQ$ (आयत की बराबर सम्मुख भुजाओं $AD$ और $BC$ के आधे भाग)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta PAS \cong \Delta PBQ$.
अतः,$PS = PQ$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
चूंकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी आसन्न भुजाएँ $PS = PQ$ बराबर हैं,इसलिए इसकी सभी भुजाएँ बराबर होंगी $(PQ = QR = RS = SP)$।
अतः,$PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
विकर्ण $AC$ खींचिए।
$\Delta ABC$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार:
$PQ = \frac{1}{2} AC$ और $PQ \parallel AC$ ......... $(1)$
$\Delta ACD$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार:
$SR = \frac{1}{2} AC$ और $SR \parallel AC$ ......... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें $PQ = SR$ और $PQ \parallel SR$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$BD$ को मिलाने पर,हमें $PS = QR$ और $PS \parallel QR$ प्राप्त होता है।
चूंकि चतुर्भुज $PQRS$ की सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म बराबर और समांतर हैं,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,$\Delta PAS$ और $\Delta PBQ$ में:
$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$ (आयत के कोण)
$AP = BP$ ($P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है)
$AS = BQ$ (आयत की बराबर सम्मुख भुजाओं $AD$ और $BC$ के आधे भाग)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta PAS \cong \Delta PBQ$.
अतः,$PS = PQ$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
चूंकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी आसन्न भुजाएँ $PS = PQ$ बराबर हैं,इसलिए इसकी सभी भुजाएँ बराबर होंगी $(PQ = QR = RS = SP)$।
अतः,$PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
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Medium
एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाओं $AB$ और $CD$ पर क्रमशः बिंदु $P$ और $Q$ इस प्रकार लिए गए हैं कि $AP = CQ$ है (आकृति देखिए)। दर्शाइए कि $AC$ और $PQ$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
Solution
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$P$,$AB$ पर स्थित है,$Q$,$CD$ पर स्थित है,और $AP = CQ$ है।
मान लीजिए $AC$ और $PQ$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\Delta OAP$ और $\Delta OCQ$ में:
$1$. $AP = CQ$ (दिया है)
$2$. $\angle OAP = \angle OCQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$)
$3$. $\angle AOP = \angle COQ$ (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta OAP \cong \Delta OCQ$ है।
$CPCT$ द्वारा,$OA = OC$ और $OP = OQ$ है।
चूंकि $OA = OC$ है,इसलिए $O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है।
चूंकि $OP = OQ$ है,इसलिए $O$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$AC$ और $PQ$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए $AC$ और $PQ$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\Delta OAP$ और $\Delta OCQ$ में:
$1$. $AP = CQ$ (दिया है)
$2$. $\angle OAP = \angle OCQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$)
$3$. $\angle AOP = \angle COQ$ (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta OAP \cong \Delta OCQ$ है।
$CPCT$ द्वारा,$OA = OC$ और $OP = OQ$ है।
चूंकि $OA = OC$ है,इसलिए $O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है।
चूंकि $OP = OQ$ है,इसलिए $O$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$AC$ और $PQ$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
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View Solution49
Medium
सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।
Solution
(N/A) मान लीजिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $AC$ एक विकर्ण है। ध्यान दें कि विकर्ण $AC$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ को दो त्रिभुजों,$\Delta ABC$ और $\Delta CDA$ में विभाजित करता है। हमें यह सिद्ध करना है कि ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
$\Delta ABC$ और $\Delta CDA$ में,ध्यान दें कि $BC \parallel AD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
अतः,$\angle BCA = \angle DAC$ (एकांतर अंतःकोणों का युग्म)।
साथ ही,$AB \parallel DC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
अतः,$\angle BAC = \angle DCA$ (एकांतर अंतःकोणों का युग्म)।
और $AC = CA$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
इसलिए,$\Delta ABC \cong \Delta CDA$ ($ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा)।
इस प्रकार,विकर्ण $AC$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ को दो सर्वांगसम त्रिभुजों $ABC$ और $CDA$ में विभाजित करता है।
$\Delta ABC$ और $\Delta CDA$ में,ध्यान दें कि $BC \parallel AD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
अतः,$\angle BCA = \angle DAC$ (एकांतर अंतःकोणों का युग्म)।
साथ ही,$AB \parallel DC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
अतः,$\angle BAC = \angle DCA$ (एकांतर अंतःकोणों का युग्म)।
और $AC = CA$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
इसलिए,$\Delta ABC \cong \Delta CDA$ ($ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा)।
इस प्रकार,विकर्ण $AC$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ को दो सर्वांगसम त्रिभुजों $ABC$ और $CDA$ में विभाजित करता है।
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View Solution50
Medium
एक समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसके एक कोण को समद्विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि यह उसके सम्मुख कोण को भी समद्विभाजित करेगा।
Solution
(N/A) मान लीजिए कि हम एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ पर विचार करते हैं,जहाँ $AC$ एक विकर्ण है जो $\angle BAD$ को समद्विभाजित करता है।
दिया है: $\angle BAC = \angle DAC$.
सिद्ध करना है: $\angle BCA = \angle DCA$.
उपपत्ति:
चूंकि $AB \parallel CD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं:
$\angle BAC = \angle DCA$ --- $(1)$
चूंकि $AD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं:
$\angle DAC = \angle BCA$ --- $(2)$
दी गई शर्त के अनुसार,हम जानते हैं कि:
$\angle BAC = \angle DAC$ --- $(3)$
समीकरण $(1)$,$(2)$ और $(3)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BCA = \angle DCA$.
अतः,विकर्ण $AC$ सम्मुख कोण $\angle BCD$ को भी समद्विभाजित करता है।
दिया है: $\angle BAC = \angle DAC$.
सिद्ध करना है: $\angle BCA = \angle DCA$.
उपपत्ति:
चूंकि $AB \parallel CD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं:
$\angle BAC = \angle DCA$ --- $(1)$
चूंकि $AD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं:
$\angle DAC = \angle BCA$ --- $(2)$
दी गई शर्त के अनुसार,हम जानते हैं कि:
$\angle BAC = \angle DAC$ --- $(3)$
समीकरण $(1)$,$(2)$ और $(3)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BCA = \angle DCA$.
अतः,विकर्ण $AC$ सम्मुख कोण $\angle BCD$ को भी समद्विभाजित करता है।
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View SolutionQuadrilaterals — Properties of a Parallelogram · Frequently Asked Questions
1Are these Quadrilaterals questions useful for JEE and NEET?
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