Properties of a Parallelogram Questions in Hindi

(N/A) $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और विकर्ण $AC$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है। हमें यह दर्शाना है कि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है।
$\angle 1 = \angle 2$ $\dots(1)$ [$\because AC$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है]
$\angle 2 = \angle 4$ $\dots(2)$ [एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DC$]
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle 1 = \angle 4$
अब,$\triangle ABC$ में,हमारे पास है:
$\angle 1 = \angle 4$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$BC = AB$ [$\because$ समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
साथ ही,$AB = DC$ और $AD = BC$ [$\because$ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
अतः,$AB = BC = CD = AD$.
चूँकि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की सभी भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए यह एक समचतुर्भुज है।

(C) एक समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण बराबर होते हैं,वह एक आयत होता है।
आयत के प्रत्येक कोण का माप $90^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle PQR = 90^{\circ}$।

(N/A) दिया है: एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है।
सिद्ध करना है: समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का एक विकर्ण,मान लीजिए $AC$,उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों $ABC$ और $CDA$ में विभाजित करता है। अर्थात्,$\Delta ABC \cong \Delta CDA$।
रचना: $AC$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,
अतः $AB \parallel CD$ और $AD \parallel BC$ है।
अब,$AD \parallel BC$ और तिर्यक रेखा $AC$ उन्हें क्रमशः $A$ और $C$ पर प्रतिच्छेद करती है।
इसलिए,$\angle DAC = \angle BCA$ (एकांतर अंतःकोण)........$(1)$
पुनः,$AB \parallel DC$ और तिर्यक रेखा $AC$ उन्हें क्रमशः $A$ और $C$ पर प्रतिच्छेद करती है।
इसलिए,$\angle BAC = \angle DCA$ (एकांतर अंतःकोण)........$(2)$
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta CDA$ में,हमारे पास है:
$\angle BCA = \angle DAC$ [$(1)$ से]
$AC = CA$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle BAC = \angle DCA$ [$(2)$ से]
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta ABC \cong \Delta CDA$।

(A) चतुर्भुज $ABCD$ में,अंतःकोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
दिया गया अनुपात $\angle A : \angle B : \angle C : \angle D = 4 : 5 : 4 : 5$ है।
माना कोण $4x, 5x, 4x$ और $5x$ हैं।
कोणों का योग: $4x + 5x + 4x + 5x = 360^{\circ}$।
$18x = 360^{\circ}$,जिससे $x = 20^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,कोण इस प्रकार हैं:
$\angle A = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$
$\angle B = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$
$\angle C = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$
$\angle D = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$
चूँकि $\angle A = \angle C$ और $\angle B = \angle D$ है,इसलिए सम्मुख कोणों के दोनों युग्म बराबर हैं।
अतः,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(N/A) माना $ABCD$ एक वर्ग है। हमें सिद्ध करना है कि $AC = BD$,$OA = OC$,$OB = OD$ और $\angle AOB = 90^{\circ}$ है।
$1$. विकर्ण बराबर हैं यह सिद्ध करने के लिए: $\triangle ABC$ और $\triangle BAD$ लें। इन त्रिभुजों में,$AB = BA$ (उभयनिष्ठ भुजा),$BC = AD$ (वर्ग की भुजाएँ),और $\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$ है। $SAS$ सर्वांगसमता द्वारा,$\triangle ABC \cong \triangle BAD$ है। अतः,$AC = BD$ $(CPCT)$ है।
$2$. विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं यह सिद्ध करने के लिए: $\triangle OAB$ और $\triangle OCD$ लें। यहाँ,$\angle OAB = \angle OCD$ (एकांतर अंतःकोण),$\angle OBA = \angle ODC$ (एकांतर अंतःकोण),और $AB = CD$ (वर्ग की भुजाएँ) हैं। $ASA$ सर्वांगसमता द्वारा,$\triangle OAB \cong \triangle OCD$ है। अतः,$OA = OC$ और $OB = OD$ $(CPCT)$ है।
$3$. विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं यह सिद्ध करने के लिए: $\triangle OAB$ और $\triangle OCB$ लें। यहाँ,$OA = OC$ (ऊपर सिद्ध किया गया),$AB = CB$ (वर्ग की भुजाएँ),और $OB = OB$ (उभयनिष्ठ भुजा) हैं। $SSS$ सर्वांगसमता द्वारा,$\triangle OAB \cong \triangle OCB$ है। अतः,$\angle AOB = \angle COB$ $(CPCT)$ है। चूँकि $\angle AOB + \angle COB = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म),$2 \angle AOB = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\angle AOB = 90^{\circ}$ है।

(N/A) $1$. समांतर चतुर्भुज $PQRS$ में,$\angle P = \angle R$ (सम्मुख कोण बराबर होते हैं) और $PQ \parallel RS$ है।
$2$. मान लीजिए $\angle P$ का समद्विभाजक $PM$ है और $\angle R$ का समद्विभाजक $RN$ है।
$3$. चूँकि $PM$,$\angle P$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $\angle SPM = \angle RPM = \frac{1}{2} \angle P$ होगा।
$4$. चूँकि $RN$,$\angle R$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $\angle QRN = \angle PRN = \frac{1}{2} \angle R$ होगा।
$5$. चूँकि $\angle P = \angle R$,इसलिए $\frac{1}{2} \angle P = \frac{1}{2} \angle R$,अतः $\angle RPM = \angle PRN$ होगा।
$6$. ये रेखाओं $PM$ और $RN$ के लिए तिर्यक रेखा $PR$ द्वारा बने एकांतर अंतःकोण हैं। इसलिए,$PM \parallel RN$ है।
$7$. साथ ही,$PQ \parallel RS$ का अर्थ है $PN \parallel RM$ (क्योंकि $N$,$PQ$ पर स्थित है और $M$,$RS$ पर स्थित है)।
$8$. चूँकि सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं ($PM \parallel RN$ और $PN \parallel RM$),इसलिए $PNRM$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(N/A) दिया है: $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण $PR$,$\angle P$ को समद्विभाजित करता है,अर्थात $\angle SPR = \angle QPR$।
चरण $1$: चूँकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $PS \parallel QR$ और $PQ \parallel SR$ है।
चरण $2$: चूँकि $PS \parallel QR$ और $PR$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle SPR = \angle PRQ$ (एकांतर अंतःकोण)।
चरण $3$: चूँकि $PQ \parallel SR$ और $PR$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle QPR = \angle PRS$ (एकांतर अंतःकोण)।
चरण $4$: चूँकि $\angle SPR = \angle QPR$ (दिया है),इसलिए $\angle PRQ = \angle PRS$ होगा। अतः,$PR$,$\angle R$ को समद्विभाजित करता है।
चरण $5$: $\triangle PQR$ और $\triangle PSR$ में,$\angle QPR = \angle SPR$ और $\angle PRQ = \angle PRS$ है। $PR = PR$ (उभयनिष्ठ भुजा) होने के कारण,$ASA$ सर्वांगसमता नियम से दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
चरण $6$: $CPCT$ द्वारा,$PQ = PS$ प्राप्त होता है। चूँकि समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।

(A) समांतर चतुर्भुज में,आसन्न कोण संपूरक होते हैं,इसलिए $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = \angle B + 50^{\circ}$।
पहले समीकरण में $\angle A$ का मान रखने पर: $(\angle B + 50^{\circ}) + \angle B = 180^{\circ}$।
$2 \angle B + 50^{\circ} = 180^{\circ}$।
$2 \angle B = 130^{\circ}$,जिससे $\angle B = 65^{\circ}$ प्राप्त होता है।
तब,$\angle A = 65^{\circ} + 50^{\circ} = 115^{\circ}$।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle C = \angle A = 115^{\circ}$ और $\angle D = \angle B = 65^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle A = 115^{\circ}, \angle B = 65^{\circ}, \angle C = 115^{\circ}, \angle D = 65^{\circ}$ हैं।

(A) समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में जहाँ $AB || CD$ है,समांतर रेखाओं के बीच के क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(y + 60^{\circ}) + (3y - 80^{\circ}) = 180^{\circ} \implies 4y - 20^{\circ} = 180^{\circ} \implies 4y = 200^{\circ} \implies y = 50^{\circ}$।
$(x + 60^{\circ}) + (3x - 40^{\circ}) = 180^{\circ} \implies 4x + 20^{\circ} = 180^{\circ} \implies 4x = 160^{\circ} \implies x = 40^{\circ}$।
अब,कोणों की गणना करने पर:
$\angle A = 50^{\circ} + 60^{\circ} = 110^{\circ}$।
$\angle B = 40^{\circ} + 60^{\circ} = 100^{\circ}$।
$\angle C = 3(40^{\circ}) - 40^{\circ} = 120^{\circ} - 40^{\circ} = 80^{\circ}$।
$\angle D = 3(50^{\circ}) - 80^{\circ} = 150^{\circ} - 80^{\circ} = 70^{\circ}$।

(N/A) $1$. $\triangle ABP$ और $\triangle CDQ$ में:
$AB = CD$ (समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
$\angle BAP = \angle DCQ$ (एकांतर अंतःकोण, क्योंकि $AB \parallel CD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है)।
$AP = CQ$ (दिया है)।
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से, $\triangle ABP \cong \triangle CDQ$।
अतः, $BP = DQ$ और $\angle ABP = \angle CDQ$।
$2$. $\triangle ADP$ और $\triangle CBQ$ में:
$AD = CB$ (समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
$\angle DAP = \angle BCQ$ (एकांतर अंतःकोण, क्योंकि $AD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है)।
$AP = CQ$ (दिया है)।
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से, $\triangle ADP \cong \triangle CBQ$।
अतः, $DP = BQ$ और $\angle ADP = \angle CBQ$।
$3$. चूँकि $BP = DQ$ और $DP = BQ$ है, इसलिए चतुर्भुज $PBQD$ एक समांतर चतुर्भुज है (सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं)।
अतः, $BQ \parallel DP$।
$4$. समांतर चतुर्भुज $PBQD$ में, विकर्ण $BD$ और $PQ$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अतः, $BD$, $PQ$ को समद्विभाजित करता है।

(A) चतुर्भुज $AMCN$ में,कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $AM \perp BC$ और $AN \perp CD$,इसलिए $\angle AMC = 90^{\circ}$ और $\angle ANC = 90^{\circ}$ है।
चतुर्भुज $AMCN$ में,$\angle MCN + \angle AMC + \angle ANC + \angle MAN = 360^{\circ}$।
$\angle C + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 60^{\circ} = 360^{\circ}$।
$\angle C + 240^{\circ} = 360^{\circ}$,इसलिए $\angle C = 120^{\circ}$।
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle A = \angle C = 120^{\circ}$।
आसन्न कोण संपूरक होते हैं,इसलिए $\angle B = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ और $\angle D = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
अतः,कोण $120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}$ हैं।

(A) यह कथन सत्य है।
परिभाषा के अनुसार,समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी चारों भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।
समचतुर्भुज का एक मुख्य गुण यह है कि इसके विकर्ण एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं।
इसका अर्थ है कि विकर्ण $90^{\circ}$ के कोण पर एक-दूसरे को काटते हैं और एक-दूसरे को दो समान भागों में विभाजित करते हैं।

(D) समचतुर्भुज $ABCD$ में,सभी भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $AB = AD$ है।
चूँकि $AB = AD$ है,इसलिए $\triangle ABD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समचतुर्भुज में,आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle B = 80^{\circ}$ है,इसलिए $\angle A = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।
$\triangle ABD$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle ADB + \angle ABD = 180^{\circ}$।
चूँकि $AB = AD$ है,इसलिए आधार के कोण बराबर होते हैं: $\angle ADB = \angle ABD$।
अतः,$100^{\circ} + 2(\angle ADB) = 180^{\circ}$।
$2(\angle ADB) = 80^{\circ}$।
$\angle ADB = 40^{\circ}$।

(C) समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle A = \angle C$.
दिया गया है कि $\angle A = 5x - 40^{\circ}$ और $\angle C = 3x + 10^{\circ}$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर रखने पर: $5x - 40 = 3x + 10$.
दोनों पक्षों से $3x$ घटाने पर: $2x - 40 = 10$.
दोनों पक्षों में $40$ जोड़ने पर: $2x = 50$.
$2$ से भाग देने पर: $x = 25$.

(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,आसन्न कोणों का योग $180^o$ होता है। इसलिए,$\angle A + \angle B = 180^o$.
दिया गया है कि $\angle A = 5 \angle B$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$5 \angle B + \angle B = 180^o$
$6 \angle B = 180^o$
$\angle B = 30^o$.
चूंकि $\angle A = 5 \angle B$,इसलिए $\angle A = 5 \times 30^o = 150^o$.
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle C = \angle A$.
अतः,$\angle C = 150^o$.

(C) समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं और इसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
समचतुर्भुज के गुणों के अनुसार,विकर्ण $XZ$ और $YW$ एक-दूसरे पर लंब होते हैं।
चूंकि विकर्ण बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु पर बनने वाला कोण $\angle XPY$,$90^o$ होगा।
अतः,$\angle XPY = 90^o$।

(D) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
इसका अर्थ है कि प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ दोनों विकर्णों $AC$ और $BD$ का मध्य-बिंदु है।
इसलिए,$BD = 2 \times PB$ होगा।
दिया गया है कि $PB = 5.2 \, cm$,अतः:
$BD = 2 \times 5.2 \, cm = 10.4 \, cm$।
इस प्रकार,विकर्ण $BD$ की लंबाई $10.4 \, cm$ है।

(A) एक समचतुर्भुज $ABCD$ में,आसन्न कोण संपूरक होते हैं,जिसका अर्थ है $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$।
यह दिया गया है कि $\angle A = \angle B - 30^{\circ}$,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$(\angle B - 30^{\circ}) + \angle B = 180^{\circ}$
$2\angle B = 210^{\circ}$
$\angle B = 105^{\circ}$।
चूंकि $\angle A = \angle B - 30^{\circ}$,इसलिए $\angle A = 105^{\circ} - 30^{\circ} = 75^{\circ}$।
समचतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle C = \angle A$।
अतः,$\angle C = 75^{\circ}$।

(C) समांतर चतुर्भुज $PQRS$ में,सम्मुख भुजाएँ लंबाई में समान होती हैं।
इसलिए,$PQ = RS = 8 \, \text{cm}$ और $QR = PS = 5 \, \text{cm}$ होगा।
समांतर चतुर्भुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं का योग होता है।
परिमाप $= PQ + QR + RS + PS$
परिमाप $= 8 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm} = 26 \, \text{cm}$।
वैकल्पिक रूप से,समांतर चतुर्भुज का परिमाप $= 2 \times (\text{आसन्न भुजाओं का योग}) = 2 \times (PQ + QR) = 2 \times (8 + 5) = 2 \times 13 = 26 \, \text{cm}$।

(N/A) $(1)$ समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे पर लंब होते हैं।
$(2)$ समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,आसन्न कोण संपूरक होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = \angle B - 30^{\circ}$,हम $\angle B$ को $\angle B = \angle A + 30^{\circ}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को योग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\angle A + (\angle A + 30^{\circ}) = 180^{\circ}$।
$2\angle A + 30^{\circ} = 180^{\circ}$।
$2\angle A = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$।
$\angle A = 150^{\circ} / 2 = 75^{\circ}$।

(C) समांतर चतुर्भुज का परिमाप सूत्र $P = 2(a + b)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ और $b$ आसन्न भुजाओं की लंबाई हैं।
दिया गया है,$AB = 12.5 \, cm$ और $BC = 7 \, cm$।
यहाँ,$a = 12.5 \, cm$ और $b = 7 \, cm$ है।
परिमाप $P = 2(12.5 + 7) \, cm$।
$P = 2(19.5) \, cm$।
$P = 39 \, cm$।
अतः,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का परिमाप $39 \, cm$ है।

(A) समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,भुजाएँ $AB$ और $CD$ समांतर हैं $(AB \parallel CD)$।
समांतर रेखाओं के गुणों के अनुसार,समांतर रेखाओं के बीच के क्रमागत अंतःकोणों (co-interior angles) का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = 80^{\circ}$,अतः हम $\angle D$ को इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं:
$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$
$80^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$
$\angle D = 180^{\circ} - 80^{\circ}$
$\angle D = 100^{\circ}$।

(B) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और उस आधार के संगत शीर्षलंब के गुणनफल के बराबर होता है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,क्षेत्रफल की गणना आधार $AB$ और शीर्षलंब $DM$ का उपयोग करके,या आधार $BC$ और शीर्षलंब $DN$ का उपयोग करके की जा सकती है।
अतः,$\text{Area}(ABCD) = AB \times DM = BC \times DN$.
यहाँ $AB = 12 \, cm$,$DM = 5 \, cm$,और $DN = 6 \, cm$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $12 \times 5 = BC \times 6$.
$60 = BC \times 6$.
$BC = \frac{60}{6} = 10 \, cm$.

(N/A) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$.
आधार $PQ = 15 \, cm$ और शीर्षलंब $SM = 6 \, cm$ के लिए,क्षेत्रफल: $\text{क्षेत्रफल} = 15 \times 6 = 90 \, cm^2$.
चूंकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल स्थिर रहता है,हम लिख सकते हैं: $\text{क्षेत्रफल} = QR \times SN$.
मान रखने पर: $90 = QR \times 10$.
अतः,$QR = \frac{90}{10} = 9 \, cm$.
समांतर चतुर्भुज का परिमाप होता है: $2 \times (\text{आसन्न भुजाओं का योग}) = 2 \times (PQ + QR)$.
परिमाप $= 2 \times (15 + 9) = 2 \times 24 = 48 \, cm$.

(A) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
आधार $AB = 20 \, cm$ और संगत शीर्षलंब $DX = 12 \, cm$ के लिए,क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = AB \times DX = 20 \, cm \times 12 \, cm = 240 \, cm^2$.
चूंकि क्षेत्रफल समान रहता है,आधार $BC$ और संगत शीर्षलंब $AY = 15 \, cm$ के लिए:
$\text{क्षेत्रफल} = BC \times AY = 240 \, cm^2$.
$BC \times 15 \, cm = 240 \, cm^2 \implies BC = \frac{240}{15} \, cm = 16 \, cm$.
समांतर चतुर्भुज का परिमाप $2 \times (\text{आसन्न भुजाओं का योग})$ होता है।
$\text{परिमाप} = 2 \times (AB + BC) = 2 \times (20 \, cm + 16 \, cm) = 2 \times 36 \, cm = 72 \, cm$.

(N/A) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$.
आधार $XY = 24 \, cm$ और शीर्षलंब $WP = 6 \, cm$ के लिए,क्षेत्रफल: $\text{क्षेत्रफल} = 24 \times 6 = 144 \, cm^2$.
चूंकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल स्थिर रहता है,हम लिख सकते हैं: $\text{क्षेत्रफल} = YZ \times WQ$.
यहाँ $WQ = 8 \, cm$ दिया गया है,इसलिए: $144 = YZ \times 8$.
अतः,$YZ = 144 / 8 = 18 \, cm$.
समांतर चतुर्भुज का परिमाप: $2 \times (\text{आसन्न भुजाओं का योग})$.
परिमाप $= 2 \times (XY + YZ) = 2 \times (24 + 18) = 2 \times 42 = 84 \, cm$.

(N/A) माना $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जहाँ $E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $CD$ के मध्य बिंदु हैं।
चूँकि $AB \parallel CD$ और $AB = CD$ है,इसलिए $AE = EB = \frac{1}{2} AB$ और $CF = FD = \frac{1}{2} CD$ होगा।
अतः,$AE = FC$ और $AE \parallel FC$ है,जिसका अर्थ है कि $AEFC$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसी प्रकार,$EBFD$ भी एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि $EB = FD$ और $EB \parallel FD$ है।
चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,भुजाओं $AB$ और $CD$ के बीच की ऊँचाई $h$ स्थिर रहती है।
समांतर चतुर्भुज $AEFC$ का क्षेत्रफल $= AE \times h$ और समांतर चतुर्भुज $EBFD$ का क्षेत्रफल $= EB \times h$ होगा।
चूँकि $AE = EB$ है,इसलिए $\text{Area}(AEFC) = \text{Area}(EBFD)$ सिद्ध होता है।
अतः,रेखाखंड $EF$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ को समान क्षेत्रफल वाले दो समांतर चतुर्भुजों में विभाजित करता है।

(B) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
यहाँ,आधार $AB = 15 \text{ cm}$ है और संगत शीर्षलंब $DM$ है।
दिया गया है,$\text{ar}(ABCD) = 360 \text{ cm}^2$।
सूत्र में मान रखने पर: $360 = 15 \times DM$।
$DM$ का मान ज्ञात करने के लिए,$360$ को $15$ से विभाजित करें: $DM = \frac{360}{15} = 24 \text{ cm}$।
अतः,शीर्षलंब $DM$ की लंबाई $24 \text{ cm}$ है।

(A) समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ चतुर्भुज को दो त्रिभुजों $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में विभाजित करता है।
इसलिए,$\operatorname{ar}(ABC) = \operatorname{ar}(ADC)$।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल इन दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है:
$\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(ABC) + \operatorname{ar}(ADC)$।
चूंकि $\operatorname{ar}(ABC) = 42 \, \text{cm}^2$ है,इसलिए $\operatorname{ar}(ADC) = 42 \, \text{cm}^2$ होगा।
अतः,$\operatorname{ar}(ABCD) = 42 \, \text{cm}^2 + 42 \, \text{cm}^2 = 84 \, \text{cm}^2$।