Properties of a Parallelogram Questions in Gujarati

(N/A) ચાલો યાદ કરીએ કે લંબચોરસ શું છે.
લંબચોરસ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં એક ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
ધારો કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે જેમાં $\angle A = 90^{\circ}$ છે.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $\angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$.
અહીં $AD \parallel BC$ છે અને $AB$ એ છેદિકા છે.
તેથી,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ (છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે).
પરંતુ,$\angle A = 90^{\circ}$ છે.
તેથી,$\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
હવે,$\angle C = \angle A$ અને $\angle D = \angle B$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે).
તેથી,$\angle C = 90^{\circ}$ અને $\angle D = 90^{\circ}$.
આમ,લંબચોરસનો દરેક ખૂણો કાટખૂણો છે.

(N/A) સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ધ્યાનમાં લો (આકૃતિ જુઓ).
તમે જાણો છો કે $AB = BC = CD = DA$ (સમબાજુ ચતુષ્કોણની વ્યાખ્યા મુજબ).
હવે,$\Delta AOD$ અને $\Delta COD$ માં,
$OA = OC$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે).
$OD = OD$ (સામાન્ય બાજુ).
$AD = CD$ (સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ સમાન હોય છે).
તેથી,$\Delta AOD \cong \Delta COD$ ($SSS$ એકરૂપતાની શરત).
આનાથી મળે છે,$\angle AOD = \angle COD$ ($CPCT$ - એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો).
પરંતુ,$\angle AOD + \angle COD = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
તેથી,$2 \angle AOD = 180^{\circ}$.
અથવા,$\angle AOD = 90^{\circ}$.
આમ,સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને લંબ હોય છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,આપણને $AB = AC$ આપેલ છે.
તેથી,$\angle ABC = \angle ACB$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા).
વળી,$\angle PAC = \angle ABC + \angle ACB$ (ત્રિકોણના બહિષ્કોણનો ગુણધર્મ).
કારણ કે $\angle ABC = \angle ACB$,આપણે લખી શકીએ:
$\angle PAC = \angle ACB + \angle ACB = 2 \angle ACB$ ........... $(1)$
હવે,$AD$ એ $\angle PAC$ નો દ્વિભાજક છે,જેનો અર્થ છે:
$\angle PAC = 2 \angle DAC$ ........... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$2 \angle DAC = 2 \angle ACB$
તેથી,$\angle DAC = \angle ACB$ અથવા $\angle DAC = \angle BCA$.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ માં $AB = AC$. તેથી,$\angle ABC = \angle ACB$.
$AD$ એ બહિષ્કોણ $PAC$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle PAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle PAC$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના બે અંતઃસંમુખ કોણના સરવાળા જેટલો હોય છે. તેથી,$\angle PAC = \angle ABC + \angle ACB$.
$\angle ABC = \angle ACB$ હોવાથી,$\angle PAC = 2 \angle ACB$ થાય.
આ કિંમત દ્વિભાજકના સમીકરણમાં મૂકતા: $\angle CAD = \frac{1}{2} (2 \angle ACB) = \angle ACB$.
આ રેખાઓ $BC$ અને $AD$ માટે છેદિકા $AC$ દ્વારા બનતા યુગ્મકોણ છે. યુગ્મકોણ સમાન હોવાથી,$BC \parallel AD$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $CD \parallel AB$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બંને બાજુઓની જોડ સમાંતર હોવાથી ($BC \parallel AD$ અને $AB \parallel CD$),$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $l \parallel m$ અને છેદિકા $p$ તેમને અનુક્રમે $A$ અને $C$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$\angle PAC$ અને $\angle ACQ$ ના દ્વિભાજકો $B$ માં છેદે છે,અને $\angle SAC$ તથા $\angle ACR$ ના દ્વિભાજકો $D$ માં છેદે છે.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
$l \parallel m$ હોવાથી અને $p$ છેદિકા હોવાથી,$\angle PAC = \angle ACR$ (યુગ્મકોણો).
તેથી,$\frac{1}{2} \angle PAC = \frac{1}{2} \angle ACR$,જેનો અર્થ છે કે $\angle BAC = \angle ACD$.
આ રેખાઓ $AB$ અને $DC$ માટે $AC$ છેદિકા હોવાથી યુગ્મકોણોની જોડ બનાવે છે અને તે સમાન પણ છે.
તેથી,$AB \parallel DC$.
તે જ રીતે,$\angle ACB$ અને $\angle CAD$ ને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $BC \parallel AD$.
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાંતર હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,$\angle PAC + \angle CAS = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{2} \angle PAC + \frac{1}{2} \angle CAS = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle BAC + \angle CAD = 90^{\circ}$,એટલે કે $\angle BAD = 90^{\circ}$.
$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી તે એક લંબચોરસ છે.

(N/A) ધારો કે $P, Q, R$ અને $S$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના ખૂણા $\angle A$ અને $\angle B$,$\angle B$ અને $\angle C$,$\angle C$ અને $\angle D$,તથા $\angle D$ અને $\angle A$ ના દ્વિભાજકોના છેદબિંદુઓ છે (આકૃતિ જુઓ).
$\Delta ASD$ માં,કારણ કે $DS$ એ $\angle D$ નો દ્વિભાજક છે અને $AS$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી:
$\angle DAS + \angle ADS = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle D = \frac{1}{2} (\angle A + \angle D)$
કારણ કે $\angle A$ અને $\angle D$ એ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો છે,તેથી $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$.
તેથી,$\angle DAS + \angle ADS = \frac{1}{2} \times 180^{\circ} = 90^{\circ}$.
$\Delta ASD$ માં ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\angle DAS + \angle ADS + \angle DSA = 180^{\circ}$
$90^{\circ} + \angle DSA = 180^{\circ} \implies \angle DSA = 90^{\circ}$.
$\angle PSR$ અને $\angle DSA$ અભિકોણો હોવાથી,$\angle PSR = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,સાબિત કરી શકાય છે કે $\angle SPQ = 90^{\circ}$,$\angle PQR = 90^{\circ}$,અને $\angle SRQ = 90^{\circ}$.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોવાથી,$PQRS$ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) ચતુષ્કોણ $APCQ$ માં,
$AP \parallel QC$ (કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $P, Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે) ............ $(1)$
$AP = \frac{1}{2} AB$ અને $CQ = \frac{1}{2} CD$ ($P$ અને $Q$ મધ્યબિંદુઓ છે તે આપેલ છે)
વળી,$AB = CD$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે)
$AB = CD$ હોવાથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $AP = QC$ ............ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$APCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી $AB \,|| \,DC$ અને $AB = DC$ થાય.
$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,$PB = \frac{1}{2} AB$ અને $DQ = \frac{1}{2} DC$ થાય.
$AB = DC$ હોવાથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} DC$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $PB = DQ$.
વળી,$AB \,|| \,DC$ હોવાથી,$PB \,|| \,DQ$ થાય.
ચતુષ્કોણ $DPBQ$ માં,સામસામેની બાજુઓની એક જોડ ($PB$ અને $DQ$) સમાન અને સમાંતર છે.
તેથી,$DPBQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$AB \,||\, CD$ અને $AB = CD$ હોવાથી,આપણને $AP \,||\, QC$ અને $AP = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD = QC$ મળે છે.
$AP \,||\, QC$ અને $AP = QC$ હોવાથી,$APCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AQ \,||\, PC$,જેનો અર્થ છે કે $SQ \,||\, PR$.
તે જ રીતે,$PB \,||\, DQ$ અને $PB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD = DQ$.
$PB \,||\, DQ$ અને $PB = DQ$ હોવાથી,$PBQD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$DP \,||\, BQ$,જેનો અર્થ છે કે $SP \,||\, QR$.
સામસામેની બાજુઓની બંને જોડી સમાંતર હોવાથી ($SQ \,||\, PR$ અને $SP \,||\, QR$),$PSQR$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો સમાન છે,એટલે કે $AC = BD$.
$\Delta ABC$ અને $\Delta BAD$ માં:
$AC = BD$ [આપેલ છે]
$BC = AD$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે]
$AB = AB$ [સામાન્ય બાજુ]
તેથી,$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$.
$CPCT$ દ્વારા,આપણને મળે છે $\angle ABC = \angle BAD$ ............. $(1)$
$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AD \parallel BC$ અને $AB$ તેની છેદિકા છે. તેથી,ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ}$ [ક્રમિક અંતઃકોણો પૂરક હોય છે] ............. $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle ABC + \angle ABC = 180^{\circ}$
$2 \angle ABC = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 90^{\circ}$
આમ,$ABCD$ એ એવો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી તે લંબચોરસ છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે દુભાગે છે.
$\Delta AOB$ અને $\Delta AOD$ માં:
$AO = AO$ (સામાન્ય બાજુ)
$OB = OD$ (આપેલ છે કે $O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$\angle AOB = \angle AOD = 90^{\circ}$ (આપેલ છે)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOB \cong \Delta AOD$.
તેથી,$AB = AD$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે) ... $(1)$
તે જ રીતે,અન્ય ત્રિકોણની જોડીઓ ધ્યાનમાં લેતા:
$\Delta AOB$ અને $\Delta COB$ માં,આપણને $AB = CB$ મળે છે ... $(2)$
$\Delta COB$ અને $\Delta COD$ માં,આપણને $CB = CD$ મળે છે ... $(3)$
$\Delta COD$ અને $\Delta AOD$ માં,આપણને $CD = AD$ મળે છે ... $(4)$
$(1), (2), (3)$ અને $(4)$ પરથી,આપણને $AB = BC = CD = DA$ મળે છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,તે એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) ધારો કે એક ચોરસ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
$(i)$ વિકર્ણો સમાન છે તે સાબિત કરવા માટે,એટલે કે $AC = BD$:
$\Delta ABC$ અને $\Delta BAD$ માં:
$AB = BA$ [સામાન્ય બાજુ]
$BC = AD$ [ચોરસ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ]
$\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$ [ચોરસના બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોય છે]
$\therefore \Delta ABC \cong \Delta BAD$ [$SAS$ પૂર્વધારણા]
$\Rightarrow AC = BD$ ............. $(1)$
$(ii)$ $O$ એ $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે તે સાબિત કરવા માટે:
$AD \parallel BC$ અને $AC$ છેદિકા હોવાથી,$\angle 1 = \angle 3$ [યુગ્મકોણ].
તે જ રીતે,$\angle 2 = \angle 4$ [યુગ્મકોણ].
$\Delta OAD$ અને $\Delta OCB$ માં:
$AD = CB$ [ચોરસ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ]
$\angle 1 = \angle 3$ [સાબિત કર્યું]
$\angle 2 = \angle 4$ [સાબિત કર્યું]
$\therefore \Delta OAD \cong \Delta OCB$ [$ASA$ પૂર્વધારણા]
$\Rightarrow OA = OC$ અને $OD = OB$
$\Rightarrow O$ એ $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે,એટલે કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $O$ પર દુભાગે છે. .......... $(2)$
$(iii)$ $AC \perp BD$ સાબિત કરવા માટે:
$\Delta OBA$ અને $\Delta ODA$ માં:
$OB = OD$ [સાબિત કર્યું]
$BA = DA$ [ચોરસની સામસામેની બાજુઓ]
$OA = OA$ [સામાન્ય બાજુ]
$\therefore \Delta OBA \cong \Delta ODA$ [$SSS$ પૂર્વધારણા]
$\Rightarrow \angle AOB = \angle AOD$
$\angle AOB$ અને $\angle AOD$ રૈખિક જોડના ખૂણા હોવાથી,$\angle AOB + \angle AOD = 180^{\circ}$.
$\Rightarrow \angle AOB = \angle AOD = 90^{\circ}$
$\Rightarrow AC \perp BD$ ............. $(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે ચોરસના વિકર્ણો સમાન હોય છે અને એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ સમાન છે $(AC = BD)$ અને તેઓ બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે દુભાગે છે ($AO = OC$,$BO = OD$,અને $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^{\circ}$).
$1$. $ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે તે સાબિત કરવા માટે:
$\Delta AOD$ અને $\Delta AOB$ માં:
$AO = AO$ (સામાન્ય)
$OD = OB$ (આપેલ છે)
$\angle AOD = \angle AOB = 90^{\circ}$ (આપેલ છે)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOD \cong \Delta AOB$.
તેથી,$AD = AB$ $(CPCT)$.
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $AB = BC$,$BC = CD$,અને $CD = DA$.
આમ,$AB = BC = CD = DA$. બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,$ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$2$. $ABCD$ ચોરસ છે તે સાબિત કરવા માટે:
$\Delta ABC$ અને $\Delta BAD$ માં:
$AC = BD$ (આપેલ છે)
$BC = AD$ (સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ સમાન હોય છે)
$AB = BA$ (સામાન્ય)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$.
તેથી,$\angle ABC = \angle BAD$ $(CPCT)$.
ચૂંક $AD \parallel BC$ અને $AB$ છેદિકા છે,તેથી ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય:
$\angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = \angle BAD$ હોવાથી,$2 \angle ABC = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle ABC = 90^{\circ}$.
જે સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય તે ચોરસ હોય છે. તેથી,$ABCD$ એક ચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં વિકર્ણ $AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે. તેથી,$\angle DAC = \angle BAC$.
સાબિત કરવાનું છે: $AC$ એ $\angle C$ ને દુભાગે છે,એટલે કે $\angle DCA = \angle BCA$.
સાબિતી:
$1$. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB \parallel DC$ અને $AC$ તેમની છેદિકા છે.
તેથી,$\angle BAC = \angle DCA$ (યુગ્મકોણ) ....... $(1)$
$2$. વળી,$BC \parallel AD$ અને $AC$ તેમની છેદિકા છે.
તેથી,$\angle DAC = \angle BCA$ (યુગ્મકોણ) ....... $(2)$
$3$. $AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગતું હોવાથી,$\angle DAC = \angle BAC$ ....... $(3)$
$4$. સમીકરણ $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle DCA = \angle BCA$
આમ,$AC$ એ $\angle C$ ને દુભાગે છે.

(N/A) આપેલ છે: એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં વિકર્ણ $AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે. તેથી,$\angle DAC = \angle BAC$.
સાબિત કરવાનું છે: $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાબિતી:
$1$. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AD \parallel BC$ અને $AC$ તેની છેદિકા છે.
તેથી,$\angle DAC = \angle BCA$ (યુગ્મકોણ).
$2$. આપણને આપેલ છે કે $\angle DAC = \angle BAC$.
$3$. પગલાં $1$ અને $2$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle BAC = \angle BCA$.
$4$. $\Delta ABC$ માં,$\angle BAC = \angle BCA$ હોવાથી,આ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી,$BC = AB$ (સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે).
$5$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $AB = CD$ અને $AD = BC$.
$6$. $AB = BC$ અને $AB = CD, BC = AD$ હોવાથી,આપણને $AB = BC = CD = DA$ મળે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,તે એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$AB = BC = CD = AD$
વળી,$AB \parallel CD$ અને $AD \parallel BC$.
હવે,$\triangle ADC$ માં,$AD = CD$ (સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ).
તેથી,$\angle 1 = \angle 2$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે) ....... $(1)$
વળી,$CD \parallel AB$ (સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ) અને $AC$ એ છેદિકા છે.
તેથી,$\angle 2 = \angle 3$ (યુગ્મકોણ) ....... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle 1 = \angle 3$.
તે જ રીતે,$AD \parallel BC$ અને $AC$ છેદિકા હોવાથી,$\angle 1 = \angle 4$ (યુગ્મકોણ).
આમ,$AC$ એ $\angle A$ અને $\angle C$ ને દુભાગે છે.
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ છીએ કે $BD$ એ $\angle B$ અને $\angle D$ ને દુભાગે છે.

(N/A) આપણને એક લંબચોરસ $ABCD$ આપેલ છે જેમાં $AC$ એ $\angle A$ અને $\angle C$ બંનેને દુભાગે છે.
એટલે કે,$\angle 1 = \angle 4$ અને $\angle 2 = \angle 3$ ....... $(1)$
લંબચોરસ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\Rightarrow AB \parallel CD$ અને $AC$ એ છેદિકા છે.
$\therefore \angle 2 = \angle 4$ $[\text{યુગ્મકોણ}]$ .......... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle 3 = \angle 4$.
$\Rightarrow AB = BC$ $[\because \Delta ABC \text{ માં સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે}]$.
$ABCD$ લંબચોરસ હોવાથી,$AB = CD$ અને $BC = AD$ થાય.
$\therefore AB = BC = CD = AD$.
આમ,$ABCD$ એ એવો લંબચોરસ છે કે જેની બધી બાજુઓ સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે $ABCD$ એક ચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક લંબચોરસ છે જેમાં વિકર્ણ $AC$ એ $\angle A$ અને $\angle C$ ને દુભાગે છે.
$1$. $ABCD$ લંબચોરસ હોવાથી,$AB \parallel DC$ અને $AD \parallel BC$ થાય.
$2$. $AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગતું હોવાથી,$\angle DAC = \angle BAC$ થાય. વળી,$\angle DAC = \angle BCA$ (યુગ્મકોણ).
$3$. તેથી,$\angle BAC = \angle BCA$ થાય. $\triangle ABC$ માં,સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $AB = BC$ થાય.
$4$. જે લંબચોરસની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોય તેને ચોરસ કહેવાય. આમ,$ABCD$ એક ચોરસ છે.
$5$. ચોરસમાં,વિકર્ણો સામસામેના ખૂણાઓને દુભાગે છે.
$6$. તેથી,વિકર્ણ $BD$ એ $\angle B$ અને $\angle D$ બંનેને દુભાગે છે.

(N/A) અહીં આપણી પાસે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે. $BD$ એ વિકર્ણ છે અને $P$ તથા $Q$ એ $BD$ પરના બિંદુઓ છે જેથી:
$DP = BQ$ [આપેલ છે]
સાબિત કરવાનું છે કે $\Delta APD \cong \Delta CQB$:
કારણ કે $AD \parallel BC$ અને $BD$ એ છેદિકા છે,$[\because ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે $]$
$\therefore \angle ADB = \angle CBD$ [યુગ્મકોણ]
$\Rightarrow \angle ADP = \angle CBQ$
હવે,$\Delta APD$ અને $\Delta CQB$ માં,આપણી પાસે છે:
$AD = CB$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે]
$DP = BQ$ [આપેલ છે]
$\angle ADP = \angle CBQ$ [ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ]
$\therefore SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,આપણને મળે છે:
$\Delta APD \cong \Delta CQB$.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $P$ અને $Q$ એ વિકર્ણ $BD$ પરના બિંદુઓ છે જેથી $DP = BQ$ થાય.
સાબિત કરવાનું છે: $AP = CQ$.
સાબિતી:
$\Delta APD$ અને $\Delta CQB$ માં:
$1$. $AD = CB$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે)
$2$. $\angle ADP = \angle CBQ$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AD \parallel BC$ અને $BD$ છેદિકા છે)
$3$. $DP = BQ$ (આપેલ છે)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta APD \cong \Delta CQB$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$AP = CQ$.

(N/A) અહીં આપણી પાસે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે. $BD$ એક વિકર્ણ છે અને $P$ તથા $Q$ એવા બિંદુઓ છે કે જેથી:
$PD = QB$ [આપેલ છે]
સાબિત કરવાનું છે કે $\Delta AQB \cong \Delta CPD$.
કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $BD$ એ છેદિકા છે,$[\because ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે$]$
$\therefore \angle ABD = \angle CDB$
$\Rightarrow \angle ABQ = \angle CDP$
હવે,$\Delta AQB$ અને $\Delta CPD$ માં,આપણી પાસે છે:
$QB = PD$ [આપેલ છે]
$\angle ABQ = \angle CDP$ [ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ]
$AB = CD$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ]
$\therefore \Delta AQB \cong \Delta CPD$ [$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $P$ અને $Q$ એ વિકર્ણ $BD$ પરના બિંદુઓ છે જેથી $DP = BQ$ થાય.
સાબિત કરવાનું છે: $AQ = CP$.
સાબિતી:
$\Delta AQB$ અને $\Delta CPD$ માં:
$1$. $AB = CD$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે)
$2$. $\angle ABQ = \angle CDP$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $BD$ છેદિકા છે)
$3$. $BQ = DP$ (આપેલ છે)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AQB \cong \Delta CPD$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$AQ = CP$.

(N/A) આપણી પાસે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે. $BD$ એક વિકર્ણ છે અને બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એવા છે કે જેથી $DP = BQ$ [આપેલ છે].
સાબિત કરવાનું છે કે $APCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
ધારો કે આપણે $AC$ ને જોડીએ જે $BD$ ને $O$ માં છેદે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે,તેથી $AO = CO$ અને $BO = DO$ ... $(1)$.
આપણને $DP = BQ$ આપેલ છે ... $(2)$.
$BO = DO$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$BO - BQ = DO - DP$
$QO = PO$ ... $(3)$.
હવે,ચતુષ્કોણ $APCQ$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $PQ$ પરસ્પર $O$ બિંદુએ દુભાગે છે (સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ પરથી).
જે ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગતા હોય,તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે. તેથી $APCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) $\Delta APB$ અને $\Delta CQD$ માં,આપણી પાસે છે:
$1$. $\angle APB = \angle CQD = 90^{\circ}$ (આપેલ છે,કારણ કે $AP \perp BD$ અને $CQ \perp BD$)
$2$. $AB = CD$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે)
$3$. $\angle ABP = \angle CDQ$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $BD$ એ છેદિકા છે)
તેથી,$AAS$ (ખૂ-ખૂ-બા) એકરૂપતાની શરત મુજબ,આપણી પાસે છે:
$\Delta APB \cong \Delta CQD$

(N/A) $\Delta APB$ અને $\Delta CQD$ માં:
$1$. $\angle APB = \angle CQD = 90^\circ$ (આપેલ છે કે $AP \perp BD$ અને $CQ \perp BD$)
$2$. $AB = CD$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે)
$3$. $\angle ABP = \angle CDQ$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $BD$ છેદિકા છે)
તેથી,$AAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta APB \cong \Delta CQD$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$AP = CQ$.

(N/A) ચતુષ્કોણ $ABED$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે તેમ સાબિત કરવા માટે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર અને સમાન લંબાઈની હોય,તો તે ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.
આપેલ છે:
$AB = DE$
$AB \parallel DE$
ચતુષ્કોણ $ABED$ માં,આપણી પાસે સામસામેની બાજુઓની એક જોડ ($AB$ અને $DE$) છે જે સમાંતર અને સમાન લંબાઈની છે.
તેથી,$ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) $BEFC$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે તેમ સાબિત કરવા માટે.
આપેલ છે કે $BC = EF$ અને $BC \parallel EF$.
જો કોઈ ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોય,તો તે ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.
અહીં $BEFC$ એક એવો ચતુષ્કોણ છે જેમાં સામસામેની બાજુઓની જોડ ($BC$ અને $EF$) સમાન અને સમાંતર છે.
તેથી,$BEFC$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) $AD \parallel CF$ અને $AD = CF$ સાબિત કરવા માટે:
$1$. ચતુષ્કોણ $ABED$ માં,આપણને આપેલ છે કે $AB = DE$ અને $AB \parallel DE$. કારણ કે સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે,તેથી $ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AD \parallel BE$ અને $AD = BE$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે) ... $(1)$
$2$. ચતુષ્કોણ $BEFC$ માં,આપણને આપેલ છે કે $BC = EF$ અને $BC \parallel EF$. કારણ કે સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે,તેથી $BEFC$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$BE \parallel CF$ અને $BE = CF$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે) ... $(2)$
$3$. સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણી પાસે $AD \parallel BE$ અને $BE \parallel CF$ છે,જેનો અર્થ છે કે $AD \parallel CF$.
વળી,$AD = BE$ અને $BE = CF$,જેનો અર્થ છે કે $AD = CF$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ અને $\Delta DEF$ માં,$AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ અને $BC \parallel EF$ છે.
પગલું $1$: ચતુષ્કોણ $ABED$ ને ધ્યાનમાં લો.
અહીં $AB = DE$ અને $AB \parallel DE$ હોવાથી,સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે.
તેથી,$ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આથી $AD = BE$ અને $AD \parallel BE$ થાય (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે).
પગલું $2$: ચતુષ્કોણ $BCFE$ ને ધ્યાનમાં લો.
અહીં $BC = EF$ અને $BC \parallel EF$ હોવાથી,સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે.
તેથી,$BCFE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આથી $BE = CF$ અને $BE \parallel CF$ થાય.
પગલું $3$: ચતુષ્કોણ $ACFD$ ને ધ્યાનમાં લો.
પગલું $1$ પરથી,$AD \parallel BE$ અને પગલું $2$ પરથી,$BE \parallel CF$. તેથી,$AD \parallel CF$ થાય.
પગલું $1$ પરથી,$AD = BE$ અને પગલું $2$ પરથી,$BE = CF$. તેથી,$AD = CF$ થાય.
ચતુષ્કોણ $ACFD$ માં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,તે એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ અને $BC \parallel EF$.
પગલું $1$: ચતુષ્કોણ $ABED$ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $AB = DE$ અને $AB \parallel DE$,સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે. તેથી,$ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
પગલું $2$: $ABED$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AD = BE$ અને $AD \parallel BE$ થાય.
પગલું $3$: ચતુષ્કોણ $BCFE$ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $BC = EF$ અને $BC \parallel EF$,સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે. તેથી,$BCFE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
પગલું $4$: $BCFE$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$BE = CF$ અને $BE \parallel CF$ થાય.
પગલું $5$: પગલું $2$ અને $4$ પરથી,આપણી પાસે $AD = BE$ અને $BE = CF$ છે,જેનો અર્થ છે કે $AD = CF$. તેમજ,$AD \parallel BE$ અને $BE \parallel CF$ હોવાથી,$AD \parallel CF$ થાય.
પગલું $6$: ચતુષ્કોણ $ACFD$ માં,$AD = CF$ અને $AD \parallel CF$ હોવાથી,તે એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
પગલું $7$: $ACFD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,તેની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે. તેથી,$AC = DF$.

(N/A) આપેલ છે: $AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ અને $BC \parallel EF$.
પગલું $1$: $AB = DE$ અને $AB \parallel DE$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી,$AD = BE$ અને $AD \parallel BE$.
પગલું $2$: $BC = EF$ અને $BC \parallel EF$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $BEFC$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી,$BE = CF$ અને $BE \parallel CF$.
પગલું $3$: પગલું $1$ અને પગલું $2$ પરથી,આપણી પાસે $AD = BE$ અને $BE = CF$ છે,જેનો અર્થ છે કે $AD = CF$. ઉપરાંત,$AD \parallel CF$ કારણ કે બંને $BE$ ને સમાંતર છે.
પગલું $4$: $AD = CF$ અને $AD \parallel CF$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $ACFD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી,$AC = DF$.
પગલું $5$: $\Delta ABC$ અને $\Delta DEF$ માં:
$AB = DE$ (આપેલ છે)
$BC = EF$ (આપેલ છે)
$AC = DF$ (પગલું $4$ માં સાબિત કર્યું)
તેથી,$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta DEF$.

(N/A) આપેલ છે કે $AB \parallel CD$ અને $AD = BC$.
સાબિત કરવાનું છે કે $\angle A = \angle B$.
$AB$ ને $E$ સુધી લંબાવો અને $CE \parallel AD$ દોરો.
$\therefore AB \parallel DC \Rightarrow AE \parallel DC$ [આપેલ છે].
વળી,$AD \parallel CE$ [રચના].
$\therefore AECD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\Rightarrow AD = CE$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AECD$ ની સામસામેની બાજુઓ].
પરંતુ $AD = BC$ [આપેલ છે].
$\therefore BC = CE$.
હવે,$\Delta BCE$ માં,આપણી પાસે $BC = CE$ છે.
$\Rightarrow \angle CBE = \angle CEB$ ......... $(1)$ [$\because$ ત્રિકોણની સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે].
વળી,$\angle ABC + \angle CBE = 180^{\circ}$ [રેખિક જોડના ખૂણા] ......... $(2)$.
અને $\angle A + \angle CEB = 180^{\circ}$ [$\because$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે] ......... $(3)$.
$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે $\angle ABC + \angle CBE = \angle A + \angle CEB$.
પરંતુ $\angle CBE = \angle CEB$ [$(1)$ નો ઉપયોગ કરતા].
$\therefore \angle ABC = \angle A$,અથવા $\angle B = \angle A$.

(N/A) સાબિત કરવું છે કે $\angle C = \angle D$.
રચના: $AB$ ને $E$ સુધી લંબાવો અને $C$ માંથી $AD$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલ $AB$ ને $E$ માં છેદે.
$AD \parallel CE$ અને $AE \parallel DC$ હોવાથી,$AECD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AD = CE$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ).
આપેલ છે કે $AD = BC$,તેથી $BC = CE$ થાય.
$\triangle BCE$ માં,$BC = CE$ હોવાથી,તેમની સામેના ખૂણા સમાન હોય,તેથી $\angle CBE = \angle CEB$.
વળી,$\angle ABC + \angle CBE = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
$AECD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\angle A = \angle ADC$ અને $\angle D + \angle A = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણો).
વળી,$\angle CEB = \angle A$ (અનુકોણ,કારણ કે $AD \parallel CE$).
$\angle D + \angle A = 180^{\circ}$ અને $\angle C + \angle B = 180^{\circ}$ હોવાથી,અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ તથા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $\angle C = \angle D$.

(N/A) $\Delta ABC \cong \Delta BAD$ સાબિત કરવા માટે:
રચના: $AB$ ને લંબાવો અને $C$ માંથી $DA$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલ $AB$ ને $E$ માં છેદે.
$1$. $AD \parallel CE$ અને $AE \parallel DC$ હોવાથી,$AECD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$2$. તેથી,$AD = CE$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ).
$3$. આપેલ છે કે $AD = BC$,તેથી $BC = CE$. આમ,$\Delta BCE$ માં $\angle CEB = \angle CBE$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા).
$4$. વળી,$\angle ABC + \angle CBE = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા) અને $\angle BAD + \angle ADC = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણ).
$5$. $AD \parallel CE$ હોવાથી,$\angle ADC + \angle DCE = 180^{\circ}$.
$6$. આની સરખામણી કરતા,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $\angle ABC = \angle BAD$.
$7$. $\Delta ABC$ અને $\Delta BAD$ માં:
- $AB = BA$ (સામાન્ય બાજુ)
- $BC = AD$ (આપેલ છે)
- $\angle ABC = \angle BAD$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
$8$. $SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$.

(A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel CD$ અને $AD = BC$ છે.
રચના: $AB$ ને લંબાવો અને $C$ માંથી $DA$ ને સમાંતર એક રેખા દોરો જે લંબાવેલ $AB$ ને $E$ માં છેદે.
સાબિતી:
$1$. $AD \parallel CE$ (રચના મુજબ) અને $AE \parallel DC$ (આપેલ $AB \parallel DC$) હોવાથી,$AECD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$2$. તેથી,$AD = CE$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ). $AD = BC$ (આપેલ) હોવાથી,આપણને $BC = CE$ મળે છે.
$3$. $\Delta BCE$ માં,$BC = CE$ હોવાથી,$\angle CBE = \angle CEB$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા).
$4$. વળી,$\angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$ (રૈખિક જોડના ખૂણા). $\angle CEB = \angle CBE$ હોવાથી,$\angle ABC + \angle CEB = 180^\circ$ થાય.
$5$. $\Delta ABC$ અને $\Delta BAD$ માં:
- $AB = BA$ (સામાન્ય બાજુ)
- $AD = BC$ (આપેલ)
- $\angle DAB = \angle CBA$ (સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ).
$6$. $SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$.
$7$. તેથી,$AC = BD$ ($CPCT$ મુજબ).

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
આપેલ છે કે $\angle BOC = 90^{\circ}.$ $AC$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle BOC + \angle AOB = 180^{\circ},$ તેથી $\angle AOB = 90^{\circ}.$
$\triangle BOC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$AB \parallel DC$ હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન હોય છે,તેથી $\angle OAB = \angle OCD.$
વળી,$\angle BDC = 50^{\circ}$ આપેલ છે. $AB \parallel DC$ હોવાથી,$\angle ABD = \angle BDC = 50^{\circ}$ (યુગ્મકોણ).
$\triangle AOB$ માં,$\angle AOB = 90^{\circ}$ અને $\angle ABO = 50^{\circ}.$
$\triangle AOB$ ના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,
$\angle OAB + \angle AOB + \angle ABO = 180^{\circ}$
$\angle OAB + 90^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle OAB + 140^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle OAB = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}.$

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે. સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે. વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. જોકે,વિકર્ણો હંમેશા સામસામેના ખૂણાઓને દુભાગતા નથી; આ ગુણધર્મ ફક્ત સમબાજુ ચતુષ્કોણ અથવા ચોરસ માટે જ સાચો છે. તેથી,'સામેના ખૂણાઓ વિકર્ણો દ્વારા દુભાગે છે' તે વિધાન સામાન્ય સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ માટે સાચું નથી.

(C) સમાન વિકર્ણો ધરાવતો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એ લંબચોરસ હોય છે.
લંબચોરસમાં,બધા જ અંતઃકોણ કાટખૂણા હોય છે.
તેથી,$\angle ABC = 90^{\circ}$.

(B) ના,તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય તે જરૂરી નથી. ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ત્યારે જ કહેવાય જો સામસામેના ખૂણાઓની બંને જોડ સમાન હોય. ઉદાહરણ તરીકે,જો $\angle A = \angle B = \angle C = 80^{\circ}$ હોય,તો ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી,$\angle D = 360^{\circ} - (80^{\circ} + 80^{\circ} + 80^{\circ}) = 120^{\circ}$ થાય. અહીં $\angle B \neq \angle D$ $(80^{\circ} \neq 120^{\circ})$ હોવાથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની શરતનું પાલન થતું નથી.

(B) કોઈપણ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ત્યારે જ કહેવાય જો તેના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે,એટલે કે $OA = OC$ અને $OB = OD$ હોય.
આપેલ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણ $AC$ ના ભાગોનો ગુણોત્તર $OA : OC = 3 : 2$ છે.
અહીં $OA \neq OC$ હોવાથી,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા નથી.
તેથી,$ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.
તેથી,$AC = 2 \times OA$ અને $BD = 2 \times OD$.
અહીં $OA = 3\, cm$ અને $OD = 2\, cm$ આપેલ છે.
તેથી,$AC = 2 \times 3\, cm = 6\, cm$.
અને $BD = 2 \times 2\, cm = 4\, cm$.
આમ,$AC$ અને $BD$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $6\, cm$ અને $4\, cm$ છે.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,પરંતુ તે હંમેશા એકબીજાને લંબ હોતા નથી.
પરસ્પર લંબ વિકર્ણો એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ અથવા ચોરસનો ગુણધર્મ છે,જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિશિષ્ટ પ્રકારો છે,પરંતુ તે તમામ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો સામાન્ય ગુણધર્મ નથી.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle A = \angle C$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle C = 55^{\circ}$.
તેથી,$\angle A = 55^{\circ}$.
હવે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AEFG$ માં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી $\angle F = \angle A$ થાય.
જેથી $\angle A = 55^{\circ}$ હોવાથી,$\angle F = 55^{\circ}$ મળે.

(A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,કોઈપણ બે પાસપાસેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે કારણ કે તેઓ પૂરક ખૂણાઓ છે.
તેથી,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle A = 35^{\circ}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$35^{\circ} + \angle B = 180^{\circ}$.
$\angle B$ માટે ઉકેલતા:
$\angle B = 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ}$.

(B) જે ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓની બંને જોડ સમાન હોય તેને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેની બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે.
તેથી,$AB = CD$.
આપેલ છે કે $AB = 4 \, cm$,તેથી $CD = 4 \, cm$ થાય.

(D) આપણને આપેલ છે કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AE \perp DC$ અને $CF \perp AD$ છે.
આપેલ છે કે $AB = 16 \, cm, AE = 8 \, cm$ અને $CF = 10 \, cm$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $CD = AB = 16 \, cm$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને અનુરૂપ વેધના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= CD \times AE = 16 \, cm \times 8 \, cm = 128 \, cm^2$.
તે જ રીતે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ પાયા $AD$ અને વેધ $CF$ નો ઉપયોગ કરીને પણ શોધી શકાય છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= AD \times CF$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $128 = AD \times 10$.
તેથી,$AD = \frac{128}{10} = 12.8 \, cm$.

(N/A) લંબચોરસ $ABCD$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,$Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,$R$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $S$ એ $DA$ નું મધ્યબિંદુ છે.
વિકર્ણ $AC$ દોરો.
$\Delta ABC$ માં,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ:
$PQ = \frac{1}{2} AC$ અને $PQ \parallel AC$ ......... $(1)$
$\Delta ACD$ માં,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ:
$SR = \frac{1}{2} AC$ અને $SR \parallel AC$ ......... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને $PQ = SR$ અને $PQ \parallel SR$ મળે છે.
તે જ રીતે,$BD$ ને જોડતા,આપણને $PS = QR$ અને $PS \parallel QR$ મળે છે.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની સામસામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,$\Delta PAS$ અને $\Delta PBQ$ માં:
$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$ (લંબચોરસના ખૂણા)
$AP = BP$ ($P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$AS = BQ$ (લંબચોરસની સમાન સામસામેની બાજુઓ $AD$ અને $BC$ ના અડધા ભાગ)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PAS \cong \Delta PBQ$.
તેથી,$PS = PQ$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો).
$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી અને તેની પાસપાસેની બાજુઓ $PS = PQ$ સમાન હોવાથી,તેની બધી બાજુઓ સમાન થાય $(PQ = QR = RS = SP)$.
આમ,$PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,$P$ એ $AB$ પર છે,$Q$ એ $CD$ પર છે,અને $AP = CQ$ છે.
ધારો કે $AC$ અને $PQ$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
$\Delta OAP$ અને $\Delta OCQ$ માં:
$1$. $AP = CQ$ (આપેલ છે)
$2$. $\angle OAP = \angle OCQ$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel CD$)
$3$. $\angle AOP = \angle COQ$ (અભિકોણ)
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta OAP \cong \Delta OCQ$.
$CPCT$ દ્વારા,$OA = OC$ અને $OP = OQ$.
કારણ કે $OA = OC$,$O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
કારણ કે $OP = OQ$,$O$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
આમ,$AC$ અને $PQ$ એકબીજાને દુભાગે છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $AC$ તેનો એક વિકર્ણ છે. અવલોકન કરો કે વિકર્ણ $AC$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે,જે $\Delta ABC$ અને $\Delta CDA$ છે. આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે આ ત્રિકોણો એકરૂપ છે.
$\Delta ABC$ અને $\Delta CDA$ માં,નોંધો કે $BC \parallel AD$ અને $AC$ એ છેદિકા છે.
તેથી,$\angle BCA = \angle DAC$ (યુગ્મકોણની જોડ).
વળી,$AB \parallel DC$ અને $AC$ એ છેદિકા છે.
તેથી,$\angle BAC = \angle DCA$ (યુગ્મકોણની જોડ).
અને $AC = CA$ (સામાન્ય બાજુ).
તેથી,$\Delta ABC \cong \Delta CDA$ ($ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ).
આમ,વિકર્ણ $AC$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને બે એકરૂપ ત્રિકોણો $ABC$ અને $CDA$ માં વિભાજિત કરે છે.

(N/A) ધારો કે આપણે એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ વિચારીએ,જેમાં $AC$ એક વિકર્ણ છે જે $\angle BAD$ ને દુભાગે છે.
આપેલ છે: $\angle BAC = \angle DAC$.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle BCA = \angle DCA$.
સાબિતી:
ચૂંક $AB \parallel CD$ અને $AC$ એક છેદિકા છે,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે:
$\angle BAC = \angle DCA$ --- $(1)$
ચૂંક $AD \parallel BC$ અને $AC$ એક છેદિકા છે,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે:
$\angle DAC = \angle BCA$ --- $(2)$
આપેલ શરત મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે:
$\angle BAC = \angle DAC$ --- $(3)$
સમીકરણ $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle BCA = \angle DCA$.
આમ,વિકર્ણ $AC$ એ સામેના ખૂણા $\angle BCD$ ને પણ દુભાગે છે.