Mix Examples - Quadrilaterals Questions in Gujarati

(N/A) ધારો કે આપણે $AC$ ને જોડીએ છીએ.
$\Delta ABC$ માં,કારણ કે $AB$ એ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સૌથી નાની બાજુ છે,તેથી $AB < BC$ અને $AB < AC$ થાય.
ખાસ કરીને,$BC > AB$.
મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો મોટો હોવાથી,આપણને મળે છે $\angle BAC > \angle BCA$ ........... $(1)$
$\Delta ACD$ માં,કારણ કે $CD$ એ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સૌથી મોટી બાજુ છે,તેથી $CD > AD$ અને $CD > AC$ થાય.
ખાસ કરીને,$CD > AD$.
મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો મોટો હોવાથી,આપણને મળે છે $\angle CAD > \angle ACD$ ........... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$(\angle BAC + \angle CAD) > (\angle BCA + \angle ACD)$
$\Rightarrow \angle A > \angle C$
તે જ રીતે,$BD$ ને જોડીને અને $\Delta ABD$ તથા $\Delta BCD$ માટે સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સાબિત કરી શકીએ છીએ કે $\angle B > \angle D$.

(A) ધારો કે ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $3x, 5x, 9x$ અને $13x$ છે.
ચતુષ્કોણના બધા ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી:
$3x + 5x + 9x + 13x = 360^{\circ}$
પદોનો સરવાળો કરતા:
$30x = 360^{\circ}$
$x$ ની કિંમત શોધતા:
$x = \frac{360^{\circ}}{30} = 12^{\circ}$
હવે,દરેક ખૂણાની ગણતરી કરીએ:
$3x = 3 \times 12^{\circ} = 36^{\circ}$
$5x = 5 \times 12^{\circ} = 60^{\circ}$
$9x = 9 \times 12^{\circ} = 108^{\circ}$
$13x = 13 \times 12^{\circ} = 156^{\circ}$
આમ,ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $36^{\circ}, 60^{\circ}, 108^{\circ}$ અને $156^{\circ}$ છે.

(B) ચતુષ્કોણના બધા જ અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે ચોથો ખૂણો $x$ છે.
તેથી,$75^{\circ} + 90^{\circ} + 75^{\circ} + x = 360^{\circ}$.
$240^{\circ} + x = 360^{\circ}$.
$x = 360^{\circ} - 240^{\circ}$.
$x = 120^{\circ}$.

(C) ધારો કે લંબચોરસ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણ $AC$ એ બાજુ $AB$ સાથે $25^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\angle CAB = 25^{\circ}$.
લંબચોરસમાં,વિકર્ણો સમાન હોય છે અને એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $OA = OB$.
$\triangle OAB$ માં,$OA = OB$ હોવાથી,તેમની સામેના ખૂણા સમાન હોય,તેથી $\angle OBA = \angle OAB = 25^{\circ}$.
$\triangle OAB$ માં ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\angle AOB = 180^{\circ} - (25^{\circ} + 25^{\circ}) = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$.
$\angle AOB$ અને $\angle AOD$ રૈખિક જોડના ખૂણા હોવાથી:
$\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
આમ,વિકર્ણો વચ્ચેનો લઘુકોણ $50^{\circ}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $\angle ACB = 40^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે $(90^{\circ})$.
ધારો કે વિકર્ણો બિંદુ $O$ પર છેદે છે. તેથી,$\triangle BOC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle BOC = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle BOC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle OBC + \angle BOC + \angle BCO = 180^{\circ}$
$\angle OBC + 90^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle OBC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
ચોક્કસપણે $AD \parallel BC$ (સમબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર હોય છે),તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે:
$\angle ADB = \angle DBC$.
$\angle DBC = \angle OBC = 50^{\circ}$ હોવાથી,$\angle ADB = 50^{\circ}$ થાય.

(C) ધારો કે ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના ખૂણાઓ $A, B, C$ અને $D$ અનુક્રમે $3x, 7x, 6x$ અને $4x$ છે.
ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી:
$3x + 7x + 6x + 4x = 360^{\circ}$
$20x = 360^{\circ}$
$x = 18^{\circ}$
તેથી,ખૂણાઓ નીચે મુજબ છે:
$A = 3 \times 18^{\circ} = 54^{\circ}$
$B = 7 \times 18^{\circ} = 126^{\circ}$
$C = 6 \times 18^{\circ} = 108^{\circ}$
$D = 4 \times 18^{\circ} = 72^{\circ}$
હવે,ક્રમિક ખૂણાઓ $\angle C$ અને $\angle D$ નો સરવાળો તપાસતા:
$\angle C + \angle D = 108^{\circ} + 72^{\circ} = 180^{\circ}$
છેદિકા $CD$ ની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,બાજુઓ $AD$ અને $BC$ સમાંતર થાય $(AD \parallel BC)$.
જે ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોય,તેને સમલંબ ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.

(D) ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,અંતઃકોણોનો સરવાળો $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$ થાય છે.
$\triangle APB$ માં,$\angle P + \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 180^{\circ} \implies \angle P = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$.
તે જ રીતે,$\triangle CRD$ માં,$\angle R = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$\angle P + \angle R = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D) = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$.
જેથી સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $\angle P + \angle R = 180^{\circ}$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $PQRS$ એ એવો ચતુષ્કોણ છે જેના સામસામેના ખૂણા પૂરક છે.

(A) ધારો કે $PN$ એ $\angle APQ$ નો દ્વિભાજક છે અને $QN$ એ $\angle CQP$ નો દ્વિભાજક છે.
કારણ કે $APB \parallel CQD$,તેથી ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $\angle APQ + \angle CQP = 180^\circ$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{2}\angle APQ + \frac{1}{2}\angle CQP = 90^\circ$ મળે છે.
$\triangle PNQ$ માં,$\angle NPQ + \angle NQP = 90^\circ$,તેથી $\angle PNQ = 90^\circ$ થાય.
તે જ રીતે,અન્ય શિરોબિંદુઓ $M, P, Q$ માટે,આપણે દર્શાવી શકીએ છીએ કે ચતુષ્કોણ $PNQM$ ના તમામ ખૂણાઓ $90^\circ$ છે.
આમ,ખૂણાના દ્વિભાજકો દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ $PNQM$ એક લંબચોરસ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AD \parallel BC$ અને $AC$ તેમની છેદિકા છે.
તેથી,$\angle DAC = \angle ACB$ (યુગ્મકોણ).
આપેલ છે કે $\angle DAC = 32^{\circ},$ તેથી $\angle ACB = 32^{\circ}.$
હવે,$\Delta BOC$ નો વિચાર કરો. ખૂણો $\angle AOB$ એ $\Delta BOC$ માટે શિરોબિંદુ $O$ પાસેનો બહિષ્કોણ છે.
બહિષ્કોણના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના અંતઃસન્મુખ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે.
તેથી,$\angle AOB = \angle OCB + \angle OBC.$
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા,$70^{\circ} = 32^{\circ} + \angle OBC.$
આમ,$\angle OBC = 70^{\circ} - 32^{\circ} = 38^{\circ}.$
કારણ કે $\angle DBC$ એ $\angle OBC$ સમાન જ છે,તેથી $\angle DBC = 38^{\circ}.$

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાના લંબદ્વિભાજક હોય છે,પરંતુ તેમની લંબાઈ સમાન હોવી જરૂરી નથી.
માત્ર ચોરસના કિસ્સામાં (જે સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે) વિકર્ણો સમાન હોય છે.

(N/A) આપેલા ખૂણાઓનો સરવાળો $110^{\circ} + 80^{\circ} + 70^{\circ} + 95^{\circ} = 355^{\circ}$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા $360^{\circ}$ હોય છે.
અહીં આપેલા ખૂણાઓનો સરવાળો $(355^{\circ})$ એ $360^{\circ}$ જેટલો નથી,તેથી આ ખૂણાઓ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ હોઈ શકે નહીં.

(B) ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ છે.
અહીં $\angle A$ અને $\angle D$ એ છેદિકા $AD$ ની એક જ તરફના અંતઃકોણો છે,જે રેખાઓ $AB$ અને $CD$ ને છેદે છે. તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,રેખાઓ $AB$ અને $CD$ સમાંતર છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જે ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોય તેને સમલંબ ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.
તેથી,આ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને સમલંબ ચતુષ્કોણ કહી શકાય.

(B) ચતુષ્કોણના તમામ અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે ચતુષ્કોણનો દરેક ખૂણો $x$ છે.
ચારેય ખૂણા સમાન હોવાથી,$x + x + x + x = 360^{\circ}$ મળે.
$4x = 360^{\circ}$.
$x = 90^{\circ}$.
જે ચતુષ્કોણના બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોય તેને લંબચોરસ કહેવામાં આવે છે.

(B) આપેલ વિધાન ખોટું છે. લંબચોરસના વિકર્ણો સમાન લંબાઈના હોય છે,પરંતુ તે એકબીજાને લંબ હોવા જરૂરી નથી. લંબચોરસના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,પરંતુ તે માત્ર ત્યારે જ $90^{\circ}$ ના ખૂણે છેદે છે જો તે લંબચોરસ એક ચોરસ હોય.

(N/A) ના,ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણા ગુરુકોણ હોઈ શકે નહીં.
ગુરુકોણ એટલે $90^{\circ}$ થી મોટો ખૂણો.
જો ચારેય ખૂણા ગુરુકોણ હોય,તો દરેક ખૂણાનું માપ $> 90^{\circ}$ થાય.
તેથી,ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો $> 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ થાય.
પરંતુ,ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા $360^{\circ}$ હોય છે.
સરવાળો $360^{\circ}$ થી વધી શકતો ન હોવાથી,ચારેય ખૂણા ગુરુકોણ હોવા અશક્ય છે.

(A) $BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$BD = EF$ ... $(1)$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે]
$FDCE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$CD = EF$ ... $(2)$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે]
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$BD = CD$
હા,આપણે કહી શકીએ કે $BD = CD$ કારણ કે બંને એક જ બાજુ $EF$ ને સમાન છે.

(N/A) ના,ચતુષ્કોણના બધા ખૂણા લઘુકોણ હોઈ શકે નહીં.
લઘુકોણ એટલે $90^{\circ}$ થી નાનો ખૂણો.
જો ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણા લઘુકોણ હોય,તો દરેક ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ થી ઓછું હોય.
પરિણામે,આ ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ થી ઓછો થાય.
જોકે,ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા $360^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,ચતુષ્કોણના બધા ખૂણા લઘુકોણ હોવા અશક્ય છે.

(A) હા,ચતુષ્કોણના બધા ખૂણા કાટખૂણા હોઈ શકે છે.
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,તેના બધા અંતઃકોણનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
જો દરેક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય,તો ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ થાય છે.
આમ,આ ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનું પાલન કરે છે,તેથી ચતુષ્કોણના બધા ખૂણા કાટખૂણા હોઈ શકે છે (દા.ત.,લંબચોરસ અથવા ચોરસ).

(A) ધારો કે ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $3x, 4x, 4x$ અને $7x$ છે.
ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$3x + 4x + 4x + 7x = 360^{\circ}$.
$18x = 360^{\circ}$.
$x = \frac{360^{\circ}}{18} = 20^{\circ}$.
હવે,દરેક ખૂણાનું માપ શોધીએ:
પ્રથમ ખૂણો $= 3 \times 20^{\circ} = 60^{\circ}$.
બીજો ખૂણો $= 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$.
ત્રીજો ખૂણો $= 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$.
ચોથો ખૂણો $= 7 \times 20^{\circ} = 140^{\circ}$.
આમ,ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $60^{\circ}, 80^{\circ}, 80^{\circ}$ અને $140^{\circ}$ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,$X$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Y$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$1$. $AD \parallel BC$ અને $AD = BC$ હોવાથી,આપણને $DX \parallel BY$ અને $DX = BY$ મળે છે ($X$ અને $Y$ મધ્યબિંદુઓ હોવાથી).
$2$. તેથી,$XBYD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે કારણ કે તેની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે.
$3$. આનો અર્થ એ છે કે $PX \parallel QD$ અને $PY \parallel BQ$.
$4$. $\triangle AQD$ માં,$X$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $XP \parallel QD$ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$P$ એ $AQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$AP = PQ$.
$5$. $\triangle CPB$ માં,$Y$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $YQ \parallel PB$ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$Q$ એ $PC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$PQ = QC$.
$6$. ઉપરના બે પરિણામો પરથી,આપણને $AP = PQ = QC$ મળે છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AX$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે અને $CY$ એ $\angle C$ નો દ્વિભાજક છે.
$1$. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\angle A = \angle C$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે).
$2$. બંને બાજુઓને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \angle C$ મળે છે.
$3$. $AX$ અને $CY$ દ્વિભાજકો હોવાથી,આનો અર્થ એ થાય કે $\angle XAB = \angle YCD$.
$4$. વળી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AB \parallel DC$. તેથી,$\angle XAB = \angle AXC$ (યુગ્મકોણ).
$5$. પગલાં $3$ અને $4$ પરથી,$\angle AXC = \angle YCD$.
$6$. આ રેખાઓ $AX$ અને $CY$ માટે છેદિકા $DC$ સાથેના અનુકોણ હોવાથી,$AX \parallel CY$ થાય.

(B) ચતુષ્કોણના અંદરના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોય છે.
ધારો કે બાકીના ત્રણ સમાન ખૂણાઓનું માપ $x^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે એક ખૂણો $108^{\circ}$ છે,તેથી આપણે સમીકરણ લખી શકીએ:
$108^{\circ} + x + x + x = 360^{\circ}$
$108^{\circ} + 3x = 360^{\circ}$
$3x = 360^{\circ} - 108^{\circ}$
$3x = 252^{\circ}$
$x = 252^{\circ} / 3$
$x = 84^{\circ}$
તેથી,દરેક સમાન ખૂણાનું માપ $84^{\circ}$ છે.

(N/A) $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel DC$ છે.
કારણ કે $AB \parallel DC$ અને $AD$ એક છેદિકા છે,તેથી છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$.
$\angle A = 45^{\circ}$ ની કિંમત મૂકતા:
$45^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$
$\angle D = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.
તે જ રીતે,કારણ કે $AB \parallel DC$ અને $BC$ એક છેદિકા છે,તેથી છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$\angle B = 45^{\circ}$ ની કિંમત મૂકતા:
$45^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle C = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $\angle C = 135^{\circ}$ અને $\angle D = 135^{\circ}$ છે.

(N/A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે. ધારો કે $DP \perp AB$ અને $DQ \perp BC$ એ ગુરુકોણ $D$ માંથી દોરેલા બે વેધ છે.
ચતુષ્કોણ $DPBQ$ માં,અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
$\angle PDQ + \angle DPB + \angle B + \angle DQB = 360^{\circ}$
આપેલ છે કે $\angle PDQ = 60^{\circ}$,$\angle DPB = 90^{\circ}$,અને $\angle DQB = 90^{\circ}$.
$60^{\circ} + 90^{\circ} + \angle B + 90^{\circ} = 360^{\circ}$
$\angle B + 240^{\circ} = 360^{\circ}$
$\angle B = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી,$\angle D = \angle B = 120^{\circ}$.
પાસપાસેના અંતઃકોણો પૂરક હોવાથી,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
$\angle A + 120^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle A = 60^{\circ}$.
સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી,$\angle C = \angle A = 60^{\circ}$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}$ છે.

(A) ધારો કે $AB$ પરનું બિંદુ $P$ એવું છે કે $DP \perp AB$. આપેલ છે કે $AP = PB$.
$\triangle APD$ અને $\triangle BPD$ માં:
$AP = PB$ (આપેલ છે)
$\angle APD = \angle BPD = 90^{\circ}$ (વેધ)
$PD = PD$ (સામાન્ય બાજુ)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle APD \cong \triangle BPD$.
તેથી,$AD = BD$ $(CPCT)$.
$ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AD = AB$. આમ,$AD = BD = AB$.
આનો અર્થ એ છે કે $\triangle ABD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle DAB = 60^{\circ}$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી,$\angle BCD = 60^{\circ}$.
પાસપાસેના ખૂણાઓ પૂરક હોવાથી,$\angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\angle ADC = 120^{\circ}$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}$ છે.

(B) અહીં $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $X$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
હવે,$\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(AXCD) + \text{ar}(\triangle XBC) \dots(1)$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ $AC$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\text{ar}(ABCD) = 2 \times \text{ar}(\triangle ABC) \dots(2)$
$X$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\triangle ABC$ ની મધ્યગા $CX$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$\text{ar}(\triangle XBC) = \frac{1}{2} \text{ar}(\triangle ABC) \dots(3)$
$(1)$ અને $(3)$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$2 \times \text{ar}(\triangle ABC) = 24 + \frac{1}{2} \text{ar}(\triangle ABC)$
$2 \times \text{ar}(\triangle ABC) - \frac{1}{2} \text{ar}(\triangle ABC) = 24$
$\frac{3}{2} \text{ar}(\triangle ABC) = 24$
$\text{ar}(\triangle ABC) = \frac{24 \times 2}{3} = 16 \text{ cm}^2$.
આમ,$16 \text{ cm}^2 \neq 24 \text{ cm}^2$ હોવાથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) સમલંબ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$.
ધારો કે એક સમાંતર બાજુની લંબાઈ $x \, cm$ છે.
તેથી,બીજી સમાંતર બાજુની લંબાઈ $(x + 4) \, cm$ થશે.
આપેલ છે કે,$\text{ક્ષેત્રફળ} = 475 \, cm^2$ અને $\text{ઊંચાઈ} = 19 \, cm$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$475 = \frac{1}{2} \times (x + x + 4) \times 19$
$475 = \frac{1}{2} \times (2x + 4) \times 19$
$475 = (x + 2) \times 19$
$x + 2 = \frac{475}{19} = 25$
$x = 25 - 2 = 23 \, cm$.
આમ,બંને સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $23 \, cm$ અને $(23 + 4) \, cm$ એટલે કે $23 \, cm$ અને $27 \, cm$ છે.

(B) લંબચોરસ પ્લોટની લંબાઈ $40 \, m$ અને પહોળાઈ $15 \, m$ છે。
નિયમો મુજબ, આગળ અને પાછળના ભાગમાં $3 \, m$ જગ્યા અને બાકીની બંને બાજુએ $2 \, m$ જગ્યા છોડવી જરૂરી છે。
બાંધકામ વિસ્તારની નવી લંબાઈ $= 40 - (3 + 3) = 40 - 6 = 34 \, m$.
બાંધકામ વિસ્તારની નવી પહોળાઈ $= 15 - (2 + 2) = 15 - 4 = 11 \, m$.
ઘર બાંધી શકાય તેવો સૌથી મોટો વિસ્તાર $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 34 \, m \times 11 \, m = 374 \, m^2$.

(N/A) આપેલ છે: એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)$.
સાબિતી: $\triangle AOB$ માં,ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ (ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે),આપણને મળે છે:
$OA + OB > AB$ ... $(1)$
$\triangle BOC$ માં,આપણને મળે છે:
$OB + OC > BC$ ... $(2)$
$\triangle COD$ માં,આપણને મળે છે:
$OC + OD > CD$ ... $(3)$
$\triangle DOA$ માં,આપણને મળે છે:
$OD + OA > DA$ ... $(4)$
સમીકરણો $(1), (2), (3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$(OA + OB) + (OB + OC) + (OC + OD) + (OD + OA) > AB + BC + CD + DA$
$2(OA + OC) + 2(OB + OD) > AB + BC + CD + DA$
કારણ કે $OA + OC = AC$ અને $OB + OD = BD$,આપણે આ કિંમતો અસમતામાં મૂકીએ છીએ:
$2(AC) + 2(BD) > AB + BC + CD + DA$
$2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA$
તેથી,$AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$. $E$ અને $F$ એ વિકર્ણ $AC$ પરના એવા બિંદુઓ છે કે જેથી $AE = CF$ થાય.
સાબિત કરવાનું છે: $BFDE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાબિતી: ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે,તેથી:
$OA = OC$ ... $(1)$
$OD = OB$ ... $(2)$
આપેલ છે કે $AE = CF$ ... $(3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$OA - AE = OC - CF$
$OE = OF$ ... $(4)$
હવે,ચતુષ્કોણ $BFDE$ માં,વિકર્ણો $BD$ અને $EF$ બિંદુ $O$ પર પરસ્પર દુભાગે છે (સમીકરણ $(2)$ અને $(4)$ પરથી).
જે ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.
તેથી,$BFDE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ અને $\triangle PQR$ જેમાં $AB \parallel PQ$,$BC \parallel RQ$ અને $CA \parallel PR$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $BC = \frac{1}{2} QR$
સાબિતી: ચતુષ્કોણ $ARBC$ નો વિચાર કરો.
અહીં $AR \parallel BC$ (કારણ કે $RQ \parallel BC$) અને $RB \parallel AC$ (કારણ કે $PR \parallel AC$) હોવાથી,$ARBC$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AR = BC$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે) ... $(1)$
હવે,ચતુષ્કોણ $ABCQ$ નો વિચાર કરો.
અહીં $AQ \parallel BC$ (કારણ કે $RQ \parallel BC$) અને $QC \parallel AB$ (કારણ કે $QP \parallel AB$) હોવાથી,$ABCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AQ = BC$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે) ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે:
$AR + AQ = BC + BC$
$QR = 2BC$
$BC = \frac{1}{2} QR$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $\angle BAP = \angle DAP = \frac{1}{2} \angle A \quad \dots(1)$
$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\angle A + \angle B = 180^{\circ} \quad \dots(2)$
[છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે]
$\triangle ABP$ માં,$\angle BAP + \angle B + \angle APB = 180^{\circ}$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \angle A + (180^{\circ} - \angle A) + \angle APB = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle APB = \frac{1}{2} \angle A \quad \dots(3)$
$(1)$ અને $(3)$ પરથી,$\angle BAP = \angle APB$ મળે છે.
તેથી,$BP = AB$ [સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે].
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી,$AD = BC.$
$\Rightarrow \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} BC = BP$ [$P$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી].
$\Rightarrow \frac{1}{2} AD = AB$ [$BP = AB$ હોવાથી].
$AB = CD$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ) હોવાથી:
$\frac{1}{2} AD = CD \Rightarrow AD = 2 CD.$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ શરતો મુજબ આપણે આકૃતિ દોરીએ છીએ.
આપેલ છે કે $PQ = RS$ અને $PQ \parallel RS$. તેથી,$PQSR$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$PR = QS$ અને $PR \parallel QS$ ... $(1)$
હવે,$PR \parallel QS$.
તેથી,$\angle RPQ + \angle PQS = 180^{\circ}$ (છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો).
એટલે કે,$\angle RPQ + \angle PQM + \angle MQS = 180^{\circ}$ ... $(2)$
વળી,$PN \parallel QM$ (રચના દ્વારા).
તેથી,$\angle NPQ + \angle PQM = 180^{\circ}$ ... $(3)$
એટલે કે,$\angle NPR + \angle RPQ + \angle PQM = 180^{\circ}$.
$(2)$ અને $(3)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\angle NPR = \angle MQS$ મળે છે ... $(4)$
તે જ રીતે,$\angle NRP = \angle MSQ$ ... $(5)$
તેથી,$\Delta PNR \cong \Delta QMS$ [$ASA$ એકરૂપતાની શરત દ્વારા,$(1)$,$(4)$ અને $(5)$ નો ઉપયોગ કરીને].
તેથી,$PN = QM$ અને $NR = MS$ ($CPCT$ દ્વારા).
જેમ કે $PN = QM$ અને $PN \parallel QM$,તેથી $PQMN$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$MN = PQ$ અને $NM \parallel PQ$.

(N/A) $ABC$ એ $AB = BC$ વાળો એક સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે. ત્રિકોણ $ABC$ માં એક ચોરસ $BFED$ એવી રીતે અંતર્ગત છે કે $\angle B$ સામાન્ય છે અને $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle ADE$ અને $\triangle EFC$ માં,આપણી પાસે છે:
$DE = EF$ (ચોરસની બાજુઓ સમાન હોય છે) ... $(1)$
$\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$ (રેખિક જોડના ખૂણાઓનો પૂર્વધારણા)
કારણ કે $\angle 1 = 90^{\circ}$ (ચોરસનો ખૂણો),તેથી $\angle 2 = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\angle 4 = 90^{\circ}$.
તેથી,$\angle 2 = \angle 4 = 90^{\circ}$ ... $(2)$
કારણ કે $AB = BC$ (આપેલ છે),તેથી $\angle A = \angle C$ ... $(3)$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે).
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,$AAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ADE \cong \triangle EFC$.
આમ,$CPCT$ દ્વારા $AE = EC$,જેનો અર્થ છે કે $E$ એ કર્ણ $AC$ ને દુભાગે છે.

(D) $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,જેમાં $AB = 10 \, cm$ અને $AD = 6 \, cm$ છે. $\angle A$ નો દ્વિભાજક $DC$ ને $E$ માં મળે છે. $AE$ અને $BC$ ને લંબાવતા તે $F$ માં મળે છે.
કારણ કે $AE$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle BAE = \angle EAD \quad \dots(1)$.
કારણ કે $AD \parallel BC$ અને $AF$ એ છેદિકા છે,તેથી $\angle EAD = \angle EFB$ (યુગ્મકોણ) $\dots(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$\angle BAE = \angle EFB$.
$\triangle ABF$ માં,કારણ કે $\angle BAE = \angle EFB$,તેથી આ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય,એટલે કે $BF = AB$.
આપેલ છે કે $AB = 10 \, cm$,તેથી $BF = 10 \, cm$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $BF = BC + CF$. કારણ કે $BC = AD = 6 \, cm$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે),
$10 \, cm = 6 \, cm + CF$.
$CF = 10 \, cm - 6 \, cm = 4 \, cm$.

(N/A) આપેલ છે: એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AC \perp BD$ છે અને $P, Q, R$ અને $S$ એ અનુક્રમે ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.
સાબિતી: $\Delta ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC \dots(1)$
$\Delta ADC$ માં,$R$ અને $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $CD$ અને $AD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$PQ \parallel SR$ અને $PQ = SR$.
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
ધારો કે $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $O$ માં છેદે છે. ધારો કે $PQ$ એ $BD$ ને $E$ માં અને $PS$ એ $AC$ ને $G$ માં છેદે છે.
$PQ \parallel AC$ હોવાથી,$PE \parallel OG$.
$PS \parallel BD$ હોવાથી,$PG \parallel OE$.
આમ,$PGOE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$AC \perp BD$ હોવાથી,$\angle EOG = 90^{\circ}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle GPE = \angle EOG = 90^{\circ}$.
$PQRS$ એક એવો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $P$ અને $Q$ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $AQ$ એ $DP$ ને $S$ માં છેદે છે અને $BQ$ એ $CP$ ને $R$ માં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PRQS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાબિતી: $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$DC \parallel AB$ અને $DC = AB$ થાય.
$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AP = \frac{1}{2} AB$ અને $QC = \frac{1}{2} CD$ થાય.
$AB = CD$ હોવાથી,$AP = QC$ થાય.
વળી,$AB \parallel DC$ હોવાથી $AP \parallel QC$ થાય.
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ ($AP$ અને $QC$) સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$APCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AQ \parallel PC$,જેનો અર્થ છે કે $SQ \parallel PR$.
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $APQD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે ($AP \parallel DQ$ અને $AP = DQ$ હોવાથી),જેનો અર્થ છે કે $AQ \parallel DP$. તેમજ,$PBCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે ($PB \parallel QC$ અને $PB = QC$ હોવાથી),જેનો અર્થ છે કે $BQ \parallel CP$.
ચતુષ્કોણ $PRQS$ માં,$SQ \parallel PR$ ($AQ \parallel PC$ પરથી) અને $SP \parallel QR$ ($DP \parallel BQ$ પરથી) છે.
બંને સામસામેની બાજુઓની જોડ સમાંતર હોવાથી,$PRQS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AB \parallel CD$ અને $AD = BC$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle A = \angle B$ અને $\angle C = \angle D$.
રચના: $DP \perp AB$ અને $CQ \perp AB$ દોરો.
સાબિતી: $\triangle APD$ અને $\triangle BQC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle 1 = \angle 2 = 90^{\circ}$ (રચના મુજબ)
$AD = BC$ (આપેલ છે)
$DP = CQ$ (સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોય છે)
$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,આપણી પાસે છે:
$\triangle APD \cong \triangle BQC$ ($CPCT$ દ્વારા)
$\therefore \angle A = \angle B$
હવે,કારણ કે $DC \parallel AB$:
$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે)
$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે)
જેથી $\angle A = \angle B$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - \angle B$
$\Rightarrow \angle D = \angle C$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $AB \parallel DE$,$AB = DE$,$AC \parallel DF$ અને $AC = DF$.
સાબિત કરવાનું છે: $BC \parallel EF$ અને $BC = EF$.
સાબિતી:
$1$. ચતુષ્કોણ $ACFD$ માં,આપણને $AC \parallel DF$ અને $AC = DF$ આપેલ છે. જો ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોય,તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી,$ACFD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AD \parallel CF$ અને $AD = CF$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે).
$2$. ચતુષ્કોણ $ABED$ માં,આપણને $AB \parallel DE$ અને $AB = DE$ આપેલ છે. તેથી,$ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AD \parallel BE$ અને $AD = BE$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે).
$3$. ઉપરના પરિણામો પરથી,આપણી પાસે $CF \parallel AD$ અને $BE \parallel AD$ છે. આ સૂચવે છે કે $CF \parallel BE$.
વળી,$CF = AD$ અને $BE = AD$. આ સૂચવે છે કે $CF = BE$.
$4$. ચતુષ્કોણ $BCFE$ માં,આપણી પાસે $CF \parallel BE$ અને $CF = BE$ છે. તેથી,$BCFE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$BC \parallel EF$ અને $BC = EF$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે).
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં ખૂણા $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ ના દ્વિભાજકો બિંદુઓ $P, Q, R, S$ પર છેદે છે અને ચતુષ્કોણ $PQRS$ બનાવે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.
સાબિતી: $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB \parallel DC$ થાય.
$AB \parallel DC$ અને છેદિકા $AD$ તેમને અનુક્રમે $A$ અને $D$ માં છેદે છે,તેથી ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle D = 90^{\circ}$ મળે.
$AS$ અને $DS$ એ અનુક્રમે $\angle A$ અને $\angle D$ ના દ્વિભાજકો હોવાથી,$\angle DAS + \angle ADS = 90^{\circ} \quad \dots(1)$.
$\triangle DAS$ માં,ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$\angle DAS + \angle ADS + \angle ASD = 180^{\circ}$.
આમાં $(1)$ ની કિંમત મૂકતા,$90^{\circ} + \angle ASD = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle ASD = 90^{\circ}$.
$\angle PSR$ અને $\angle ASD$ અભિકોણો હોવાથી,$\angle PSR = \angle ASD = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $\angle SRQ = 90^{\circ}$,$\angle RQP = 90^{\circ}$ અને $\angle SPQ = 90^{\circ}$.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોવાથી,$PQRS$ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) $ABCD$ એ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $O$ માં દુભાગે છે. $PQ$ તેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ના છેદબિંદુ $O$ માંથી પસાર થાય છે.
$\triangle AOP$ અને $\triangle COQ$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle 3 = \angle 4$ [યુગ્મકોણ,કારણ કે $AD \parallel BC$]
$OA = OC$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે]
$\angle 1 = \angle 2$ [અભિકોણ]
તેથી,$\triangle AOP \cong \triangle COQ$ [$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
તેથી,$OP = OQ$ [$CPCT$]
આમ,$PQ$ નું $O$ આગળ દુભાગન થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક લંબચોરસ $ABCD$ જેમાં વિકર્ણ $BD$ એ $\angle B$ ને દુભાગે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $ABCD$ એક ચોરસ છે.
સાબિતી: $DC \parallel AB$ [કારણ કે લંબચોરસની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર હોય છે].
$\Rightarrow \angle 4 = \angle 1$ ... $(1)$ [યુગ્મકોણ].
તે જ રીતે,$\angle 3 = \angle 2$ ... $(2)$ [યુગ્મકોણ].
અને $\angle 1 = \angle 2$ ... $(3)$ [આપેલ છે,કારણ કે $BD$ એ $\angle B$ ને દુભાગે છે].
સમીકરણ $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે $\angle 3 = \angle 4$.
$\triangle ABD$ અને $\triangle CBD$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle 1 = \angle 2$ [આપેલ છે]
$BD = BD$ [સામાન્ય બાજુ]
$\angle 3 = \angle 4$ [ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ]
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABD \cong \triangle CBD$.
તેથી,$AB = BC$ [એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ભાગો].
જેમ કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે અને તેની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન છે,તેથી $ABCD$ એક ચોરસ છે.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $P$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે. $C$ માંથી પસાર થતી અને $PA$ ને સમાંતર રેખા $AB$ ને $Q$ માં અને $DA$ ને લંબાવતા $R$ માં છેદે છે.
$\Delta DCR$ માં,$P$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $AP \parallel CR$ છે (કારણ કે $AP \parallel CQ$ અને $Q$ એ $CR$ પર આવેલું છે).
તેથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$A$ એ $DR$ નું મધ્યબિંદુ છે,જેનો અર્થ છે કે $DA = AR$.
હવે,$\Delta ARQ$ અને $\Delta BCQ$ ને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $AR = BC$ (કારણ કે ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ $AD = AR$ છે,અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ હોવાથી $AD = BC$ છે).
$2$. $\angle 1 = \angle 2$ (અભિકોણો).
$3$. $\angle 3 = \angle 4$ (યુગ્મકોણો,કારણ કે $AB \parallel DC$ અને $RC$ એ છેદિકા છે).
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta ARQ \cong \Delta BCQ$ થાય છે.
આમ,$CPCT$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો) મુજબ $CQ = QR$ થાય છે.
આમ,$DA = AR$ અને $CQ = QR$ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે.
વિકર્ણ $AC$ દોરો જે ચતુષ્કોણને બે ત્રિકોણો,$\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં વિભાજિત કરે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\triangle ABC$ માટે,$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}$ (સમીકરણ $1$).
$\triangle ADC$ માટે,$\angle DAC + \angle ADC + \angle DCA = 180^{\circ}$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(\angle BAC + \angle DAC) + \angle ABC + \angle ADC + (\angle BCA + \angle DCA) = 180^{\circ} + 180^{\circ}$.
આકૃતિ પરથી,$\angle BAC + \angle DAC = \angle A$ અને $\angle BCA + \angle DCA = \angle C$.
તેથી,$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$.
આમ,બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.

(N/A) ત્રિકોણમાં,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો હંમેશા ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો દ્વારા બનતા ત્રિકોણોને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $\triangle ABC$ માં,$AB + BC > AC$ (સમીકરણ $1$).
$2$. $\triangle ADC$ માં,$AD + CD > AC$ (સમીકરણ $2$).
$3$. $\triangle ABD$ માં,$AB + AD > BD$ (સમીકરણ $3$).
$4$. $\triangle BCD$ માં,$BC + CD > BD$ (સમીકરણ $4$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $(AB + BC + AD + CD) > 2AC$ મળે છે.
સમીકરણ $3$ અને $4$ નો સરવાળો કરતા: $(AB + AD + BC + CD) > 2BD$ મળે છે.
આ બંને પરિણામી અસમતાઓનો સરવાળો કરતા: $2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $AB + BC + CD + DA > AC + BD$.

(N/A) ધારો કે $O$ એ વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ નું છેદબિંદુ છે.
$\triangle ABC$ માં,ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,$AB + BC > AC$.
$\triangle ADC$ માં,ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,$CD + DA > AC$.
આ બંને અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે: $(AB + BC + CD + DA) > 2AC$.
તે જ રીતે,$\triangle ABD$ માં,$AB + AD > BD$.
$\triangle BCD$ માં,$BC + CD > BD$.
આ બંને અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે: $(AB + AD + BC + CD) > 2BD$.
હવે,છેદબિંદુ $O$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણોને ધ્યાનમાં લો:
$\triangle OAB$ માં,$AB < OA + OB$.
$\triangle OBC$ માં,$BC < OB + OC$.
$\triangle OCD$ માં,$CD < OC + OD$.
$\triangle ODA$ માં,$DA < OD + OA$.
આ ચાર અસમતાઓનો સરવાળો કરતા: $AB + BC + CD + DA < 2(OA + OB + OC + OD)$.
કારણ કે $OA + OC = AC$ અને $OB + OD = BD$,તેથી $AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)$.

(N/A) આપેલ છે : એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં ક્રમિક ખૂણાઓ $A$ અને $B$ ના દ્વિભાજકો $P$ માં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે : $\angle APB = 90^{\circ}$.
સાબિતી : $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AD \parallel BC$ છે.
હવે,$AD \parallel BC$ અને છેદિકા $AB$ તેમને છેદે છે. તેથી,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે).
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = 90^{\circ}$.
$AP$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે અને $BP$ એ $\angle B$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle PAB + \angle PBA = 90^{\circ}$ થાય.
$\Delta APB$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે:
$\angle PAB + \angle APB + \angle PBA = 180^{\circ}$.
કિંમત મૂકતા,$90^{\circ} + \angle APB = 180^{\circ}$.
તેથી,$\angle APB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

(N/A) ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં,બધા અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle P + \angle Q + \angle R + \angle S = 360^{\circ}$.
$\triangle PMQ$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આમ,$\angle PMQ + \angle MPQ + \angle MQP = 180^{\circ}$.
$PM$ અને $QM$ દ્વિભાજકો હોવાથી,$\angle MPQ = \frac{1}{2} \angle P$ અને $\angle MQP = \frac{1}{2} \angle Q$ થાય.
આ કિંમતોને ત્રિકોણના સમીકરણમાં મૂકતા: $\angle PMQ + \frac{1}{2} \angle P + \frac{1}{2} \angle Q = 180^{\circ}$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2 \angle PMQ + \angle P + \angle Q = 360^{\circ}$ મળે છે.
ચતુષ્કોણના સરવાળા પરથી,$\angle P + \angle Q = 360^{\circ} - (\angle R + \angle S)$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \angle PMQ + 360^{\circ} - (\angle R + \angle S) = 360^{\circ}$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $2 \angle PMQ = \angle R + \angle S$ મળે છે.

(A) ધારો કે ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $2x, 4x, 5x$ અને $7x$ અંશ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચતુષ્કોણના અંદરના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$2x + 4x + 5x + 7x = 360^{\circ}$.
$18x = 360^{\circ}$.
$x = 20^{\circ}$.
હવે,દરેક ખૂણાની ગણતરી કરતા:
$\angle A = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
$\angle B = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$.
$\angle C = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$.
$\angle D = 7 \times 20^{\circ} = 140^{\circ}$.
અહીં $\angle B + \angle C = 80^{\circ} + 100^{\circ} = 180^{\circ}$ હોવાથી,બાજુ $BC$ પરના અંતઃકોણો પૂરક છે,જે સૂચવે છે કે $AB \parallel CD$. જે ચતુષ્કોણમાં બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોય તેને સમલંબ ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.

(A) ધારો કે ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ અનુક્રમે $x, 4x, 2x$ અને $2x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$x + 4x + 2x + 2x = 360^{\circ}$.
$9x = 360^{\circ}$.
$x = 360^{\circ} / 9 = 40^{\circ}$.
હવે,દરેક ખૂણાની ગણતરી કરતા:
$\angle A = x = 40^{\circ}$.
$\angle B = 4x = 4 \times 40^{\circ} = 160^{\circ}$.
$\angle C = 2x = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
$\angle D = 2x = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $40^{\circ}, 160^{\circ}, 80^{\circ}$ અને $80^{\circ}$ છે.