Mix Examples - Quadrilaterals Questions in Gujarati

(B) $(1)$ સાચું: સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે. પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ} = 4 \times 12 \, \text{cm} = 48 \, \text{cm}$.
$(2)$ ખોટું: ચોરસ $PQRS$ માં, વિકર્ણ $PR = s\sqrt{2}$ થાય, જ્યાં $s$ એ બાજુની લંબાઈ છે. આપેલ છે કે $PR = 8 \, \text{cm}$, તેથી $s\sqrt{2} = 8 \implies s = 8 / \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \, \text{cm}$. પરિમિતિ $4s = 4 \times 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \, \text{cm}$ થાય, જે $32 \, \text{cm}$ નથી.

(A) $(1)$ ખોટું. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ પાસપાસેની બાજુઓ છે. વિકર્ણ $AC$ એ ત્રિકોણ $ABC$ બનાવે છે. ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોવો જોઈએ. અહીં,$AB + BC = 12 + 5 = 17 \text{ cm}$,જે $AC = 13 \text{ cm}$ કરતા વધારે છે. જોકે,$ABCD$ લંબચોરસ જ હોય તેવી કોઈ શરત નથી. જો તે લંબચોરસ હોત,તો $AC = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 \text{ cm}$ થાત. પરંતુ તે માત્ર સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,ખૂણા $\angle B$ ના માપ મુજબ $AC$ નું મૂલ્ય બદલાઈ શકે છે. તેથી,આ વિધાન હંમેશા સાચું નથી.
$(2)$ ખોટું. સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં જ્યાં $AB \parallel CD$ હોય,ત્યાં સમાંતર બાજુઓ (પાયા) સમાન હોવા જરૂરી નથી. જો સમાંતર બાજુઓ સમાન હોય,તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બની જાય,માત્ર સમલંબ ચતુષ્કોણ જ રહે તે જરૂરી નથી.

(D) સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ એવો ચતુષ્કોણ છે જેમાં ચારેય બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી બધી બાજુઓ સમાન છે,એટલે કે $AB = BC = CD = DA = 13 \text{ cm}$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{પરિમિતિ} = 4 \times \text{બાજુની લંબાઈ}$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $\text{પરિમિતિ} = 4 \times 13 \text{ cm} = 52 \text{ cm}$.
તેથી,$ABCD$ ની પરિમિતિ $52 \text{ cm}$ છે.

(B) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $PR$ અને $QS$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
તેથી,$PO = \frac{PR}{2} = \frac{40}{2} = 20 \, cm$.
અને $QO = \frac{QS}{2} = \frac{42}{2} = 21 \, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle POQ$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PQ^2 = PO^2 + QO^2$
$PQ^2 = 20^2 + 21^2$
$PQ^2 = 400 + 441$
$PQ^2 = 841$
$PQ = \sqrt{841} = 29 \, cm$.

(B) સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,આપણને આપેલ છે કે $AB \parallel CD$.
કારણ કે $AB \parallel CD$,સમાંતર રેખાઓની વચ્ચેના ક્રમિક અંતઃકોણો પૂરક હોય છે.
તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ અને $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle A = 70^{\circ}$,તેથી $70^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$.
આમ,$\angle D = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$.

(A) લંબચોરસ $PQRS$ માં,સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે. તેથી,$PQ = RS$ અને $QR = PS$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તર $PQ : QR = 3 : 5$ મુજબ,ધારો કે $PQ = 3x$ અને $QR = 5x$ છે.
$PQ = RS$ હોવાથી,$RS = 3x$ થશે.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $2 \times (\text{લંબાઈ }+ \text{પહોળાઈ}) = 40\, cm$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times (3x + 5x) = 40$.
$2 \times (8x) = 40$.
$16x = 40$.
$x = 40 / 16 = 2.5$.
હવે,$RS = 3x = 3 \times 2.5 = 7.5\, cm$ મળે.

(A) $(1)$ ચતુષ્કોણ એ ચાર બિંદુઓને ક્રમમાં જોડવાથી બનતી એક બંધ સમતલીય આકૃતિ છે,જેમાં કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ હોતા નથી. તેથી,ખૂટતો શબ્દ $\text{બંધ}$ (closed) છે.
$(2)$ ચતુષ્કોણને ચાર બાજુઓ હોય છે. જે બાજુઓ સામાન્ય શિરોબિંદુ ધરાવતી નથી તેને સામસામેની બાજુઓ કહેવાય છે. આવી સામસામેની બાજુઓની બે જોડ હોય છે. તેથી,ખૂટતો શબ્દ $\text{બે}$ (two) છે.

(N/A) $(1)$ ચતુષ્કોણમાં $4$ ક્રમિક ખૂણાઓની જોડી હોય છે. ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,આ જોડીઓ $(A, B), (B, C), (C, D),$ અને $(D, A)$ છે.
$(2)$ ચતુષ્કોણના અંદરના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે. આ બહુકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ પરથી મેળવવામાં આવે છે,જ્યાં અંદરના ખૂણાઓનો સરવાળો $(n - 2) \times 180^{\circ}$ થાય છે. ચતુષ્કોણ માટે,$n = 4$ હોવાથી,$(4 - 2) \times 180^{\circ} = 2 \times 180^{\circ} = 360^{\circ}$ થાય છે.

(N/A) $(1)$ જે ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓની માત્ર એક જ જોડ સમાંતર હોય તેને સમલંબ ચતુષ્કોણ (trapezium) કહેવાય છે.
$(2)$ લંબચોરસના વિકર્ણો સમાન લંબાઈના હોય છે.

(B) ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા $360^{\circ}$ હોય છે.
આપેલ છે કે $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $100^{\circ} + 80^{\circ} + 120^{\circ} + \angle D = 360^{\circ}$.
જાણીતા ખૂણાઓનો સરવાળો કરતા: $300^{\circ} + \angle D = 360^{\circ}$.
તેથી,$\angle D = 360^{\circ} - 300^{\circ} = 60^{\circ}$.

(C) ધારો કે ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $3x$,$4x$,$6x$ અને $5x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો $360^\circ$ થાય છે.
તેથી,$3x + 4x + 6x + 5x = 360^\circ$.
$18x = 360^\circ$.
$x = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$.
આમ,ખૂણાઓ નીચે મુજબ છે:
$3 \times 20^\circ = 60^\circ$
$4 \times 20^\circ = 80^\circ$
$6 \times 20^\circ = 120^\circ$
$5 \times 20^\circ = 100^\circ$.
સૌથી મોટો ખૂણો $120^\circ$ છે.

(C) લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2(l + w)$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ અને $w$ એ પહોળાઈ છે.
અહીં,$l = AB$ અને $w = BC$ છે.
આપેલ છે કે $AB : BC = 5 : 3$,તેથી ધારો કે $AB = 5x$ અને $BC = 3x$.
પરિમિતિ $112 \, cm$ છે.
તેથી,$2(5x + 3x) = 112$.
$2(8x) = 112$.
$16x = 112$.
$x = 112 / 16 = 7$.
આમ,$AB = 5x = 5 \times 7 = 35 \, cm$.

(N/A) $1$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી,$O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$2$. $\triangle ADC$ નો વિચાર કરો. $O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$DO$ એ $\triangle ADC$ ની મધ્યગા છે.
$3$. ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.
$4$. તેથી,$ar(ADO) = ar(CDO)$.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો મુજબ,તેના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
તેથી,$AC \perp BD$ અને $AO = OC = \frac{1}{2} AC$,$BO = OD = \frac{1}{2} BD$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AC \times BO$.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AC \times OD$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times BO + \frac{1}{2} \times AC \times OD = \frac{1}{2} \times AC \times (BO + OD)$.
કારણ કે $BO + OD = BD$,તેથી ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times BD$.
આમ,સાબિત થાય છે કે સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના વિકર્ણોના ગુણાકારથી અડધું હોય છે.

(N/A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ વિકર્ણ $BD$ દ્વારા બે ત્રિકોણો,$\triangle ABD$ અને $\triangle BCD$ ના ક્ષેત્રફળના સરવાળા તરીકે મેળવી શકાય છે.
$\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(\triangle ABD) + \operatorname{ar}(\triangle BCD)$.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
$\triangle ABD$ માટે,પાયો $BD$ છે અને વેધ $AM$ છે. તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle ABD) = \frac{1}{2} \times BD \times AM$.
$\triangle BCD$ માટે,પાયો $BD$ છે અને વેધ $CN$ છે. તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle BCD) = \frac{1}{2} \times BD \times CN$.
આ કિંમતોને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\operatorname{ar}(ABCD) = (\frac{1}{2} \times BD \times AM) + (\frac{1}{2} \times BD \times CN)$.
સામાન્ય પદ $\frac{1}{2} \times BD$ ને સામાન્ય લેતા:
$\operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \times BD \times (AM + CN)$.
આમ,ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ સાબિત થાય છે.

(D) ચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 4 \times \text{બાજુ}$ છે.
અહીં $P = 16 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $4 \times \text{બાજુ} = 16 \, cm$.
તેથી,બાજુની લંબાઈ $\text{બાજુ} = \frac{16}{4} = 4 \, cm$ થાય.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $ar(ABCD) = \text{બાજુ}^2$ છે.
આમ,$ar(ABCD) = 4^2 = 16 \, cm^2$ થાય.

(A) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેના વિકર્ણ $d$ ની લંબાઈનો ઉપયોગ કરીને નીચેના સૂત્ર દ્વારા શોધી શકાય છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times d^2$.
અહીં વિકર્ણ $AC = 16 \text{ cm}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (16)^2$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 256$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 128 \text{ cm}^2$.
આમ,ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $128 \text{ cm}^2$ છે.

(C) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\operatorname{ar}(PQRS) = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$.
લંબચોરસ $PQRS$ માં,બાજુઓ $PQ$ અને $SP$ છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(PQRS) = PQ \times SP$.
આપેલ છે કે $\operatorname{ar}(PQRS) = 300 \, cm^2$ અને $PQ = 20 \, cm$.
કિંમતો મૂકતા: $300 = 20 \times SP$.
$SP$ માટે ઉકેલતા: $SP = \frac{300}{20} = 15 \, cm$.
આમ,$SP = 15 \, cm$.

(A) $1$. $\Delta PQR$ માં,$PM$ મધ્યગા છે,તેથી તે ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: $\text{ar}(PQM) = \text{ar}(PRM) = \frac{1}{2} \text{ar}(PQR)$.
$2$. $\Delta PQM$ માં,$QN$ મધ્યગા છે કારણ કે $N$ એ $PM$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$\text{ar}(PQN) = \text{ar}(QNM) = \frac{1}{2} \text{ar}(PQM)$.
$3$. આપેલ છે કે $\text{ar}(PQN) = 36 \text{ cm}^2$,તેથી $\text{ar}(PQM) = 2 \times \text{ar}(PQN) = 2 \times 36 = 72 \text{ cm}^2$.
$4$. કારણ કે $\text{ar}(PQM) = \frac{1}{2} \text{ar}(PQR)$,તેથી $\text{ar}(PQR) = 2 \times \text{ar}(PQM) = 2 \times 72 = 144 \text{ cm}^2$.

(A) ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેને વિકર્ણ દ્વારા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરીને શોધી શકાય છે.
$ar(ABCD) = ar(\triangle ABC) + ar(\triangle ADC)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
$\triangle ABC$ માટે,પાયો $AC = 18 \, cm$ અને વેધ $BM = 10 \, cm$ છે.
$ar(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times 18 \times 10 = 90 \, cm^2$.
$\triangle ADC$ માટે,પાયો $AC = 18 \, cm$ અને વેધ $DN = 6 \, cm$ છે.
$ar(\triangle ADC) = \frac{1}{2} \times 18 \times 6 = 54 \, cm^2$.
તેથી,$ar(ABCD) = 90 + 54 = 144 \, cm^2$.

(D) લંબચોરસના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$.
અહીં $AB = 12 \, cm$ (લંબાઈ) અને $BC = 7 \, cm$ (પહોળાઈ) આપેલ છે.
તેથી,$\text{Area}(ABCD) = 12 \, cm \times 7 \, cm = 84 \, cm^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ચોરસ એ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને દરેક ખૂણો $90^\circ$ નો હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે $XYZW$ એક ચોરસ છે અને તેની બાજુની લંબાઈ $XY = 17 \text{ cm}$ છે.
ચોરસના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $(\text{બાજુ})^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= (XY)^2 = 17^2 = 289 \text{ cm}^2$.
તેથી,$XYZW$ નું ક્ષેત્રફળ $289 \text{ cm}^2$ છે.

(B) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ની બાજુ $a \, cm$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણ $d$ અને બાજુ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = a\sqrt{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણ $AC = 16 \, cm$,તેથી $a\sqrt{2} = 16$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2a^2 = 16^2 = 256$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,$a^2 = 128$ મળે છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 128 \, cm^2$ થાય.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$,જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ વિકર્ણોની લંબાઈ છે.
અહીં,$d_1 = AC = 16 \, cm$ અને $d_2 = BD = 30 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 16 \times 30$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 8 \times 30 = 240 \, cm^2$.
આમ,સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $240 \, cm^2$ છે.

(D) $1$. સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $680 \, m$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $a = 680 / 4 = 170 \, m$ થાય.
$2$. ધારો કે વિકર્ણો $d_1 = 300 \, m$ અને $d_2$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
$3$. સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ અને વિકર્ણોના અડધા ભાગ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા,$(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = a^2$ મળે.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $(300/2)^2 + (d_2/2)^2 = 170^2$,જે $150^2 + (d_2/2)^2 = 28900$ આપે છે.
$5$. $22500 + (d_2/2)^2 = 28900$,તેથી $(d_2/2)^2 = 6400$,જેનો અર્થ છે કે $d_2/2 = 80 \, m$.
$6$. આમ,$d_2 = 160 \, m$.
$7$. સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $(1/2) \times d_1 \times d_2 = (1/2) \times 300 \times 160 = 24000 \, m^2$ થાય.

(A) $(1)$ સાચું: $a$ બાજુવાળા ચોરસના વિકર્ણ $d$ નું સૂત્ર $d = a \sqrt{2}$ છે. $a = 20 \, cm$ માટે,$d = 20 \sqrt{2} \, cm$ થાય. તેથી,આ વિધાન સાચું છે.
$(2)$ ખોટું: $a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે. જો બાજુ બમણી કરવામાં આવે $(a' = 2a)$,તો નવું ક્ષેત્રફળ $A'$ એ $A' = \frac{\sqrt{3}}{4} (2a)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4a^2) = 4 \times A$ થાય. ક્ષેત્રફળ મૂળ ક્ષેત્રફળ કરતાં $4$ ગણું થાય છે,બમણું નહીં.

(B) ધારો કે ચોરસ $PQRS$ ની બાજુનું માપ $a \, cm$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણ $d$ અને બાજુ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = a\sqrt{2}$ છે.
અહીં વિકર્ણ $PR = 10 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $a\sqrt{2} = 10$.
$a$ માટે ઉકેલતા,$a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \, cm$ મળે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Area} = a^2$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,$\text{Area} = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50 \, cm^2$ મળે.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ વિકર્ણ $d$ નો ઉપયોગ કરીને $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d^2$ સૂત્ર દ્વારા પણ શોધી શકાય છે.
$d = 10 \, cm$ મૂકતા,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 100 = 50 \, cm^2$ થાય.

(C) ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ વિકર્ણનો ઉપયોગ કરીને તેને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરીને શોધી શકાય છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{Area}(\triangle ABC) + \text{Area}(\triangle ADC)$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 20 \times 8 = 80 \, cm^2$.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 20 \times 12 = 120 \, cm^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 80 + 120 = 200 \, cm^2$.

(D) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુનું માપ $a$ છે. પરિમિતિ $100\,cm$ હોવાથી,$4a = 100\,cm$,તેથી $a = 25\,cm$ મળે.
ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $d_1 = 48\,cm$ અને $d_2$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
આથી,સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુ કર્ણ તરીકે અને વિકર્ણોના અડધા ભાગ અન્ય બે બાજુઓ તરીકે લઈને એક કાટકોણ ત્રિકોણ બને છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $(a)^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $(25)^2 = (48/2)^2 + (d_2/2)^2$.
$625 = (24)^2 + (d_2/2)^2$.
$625 = 576 + (d_2/2)^2$.
$(d_2/2)^2 = 625 - 576 = 49$.
$d_2/2 = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,$d_2 = 7 \times 2 = 14\,cm$.

(C) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની બાજુની લંબાઈનો પોતાની સાથે ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે. તેથી, ચોરસના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = (\text{બાજુ})^{2}$ છે.

(A) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની લંબાઈ અને પહોળાઈના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $=$ $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$.

(A) સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$,જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણના બે વિકર્ણોની લંબાઈ છે.
તેથી,સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times$ તેના વિકર્ણોનો ગુણાકાર થાય છે.

(B) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની બાજુના માપનો ઉપયોગ કરીને $Area = side^2$ તરીકે ગણી શકાય છે. જો કે,જો વિકર્ણ $(d)$ ની લંબાઈ આપવામાં આવી હોય,તો ક્ષેત્રફળ $Area = \frac{d^2}{2}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે. તેથી,ખૂટતો શબ્દ વિકર્ણ છે.

(D) સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટેનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ છે,જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ વિકર્ણોની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $d_1 = 40 \, cm$ અને $d_2 = 42 \, cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 40 \times 42$
$\text{Area} = 20 \times 42 = 840 \, cm^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $d_1 = 16\,cm$ અને $d_2 = 30\,cm$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે $(90^{\circ})$.
ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુ $a$ છે. વિકર્ણો સમબાજુ ચતુષ્કોણને ચાર એકરૂપ કાટકોણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
આ ત્રિકોણની બાજુઓ વિકર્ણોની લંબાઈથી અડધી હોય છે: $d_1/2 = 8\,cm$ અને $d_2/2 = 15\,cm$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $a^2 = (8)^2 + (15)^2$.
$a^2 = 64 + 225 = 289$.
$a = \sqrt{289} = 17\,cm$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ = $4 \times \text{બાજુ} = 4 \times 17 = 68\,cm$.