The Mid-point Theorem Questions in Gujarati

(N/A) કારણ કે $D$ અને $E$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$DE \parallel AC$ અને $DE = \frac{1}{2} AC = AF$ થાય.
તે જ રીતે,$DF \parallel BC$ અને $EF \parallel AB$ થાય.
તેથી,$AFDE$,$BDFE$ અને $DFCE$ એ બધા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,$DE$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BDFE$ નો વિકર્ણ છે,જે તેને બે એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\Delta BDE \cong \Delta FED$ થાય.
તે જ રીતે,$DF$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AFDE$ નો વિકર્ણ છે,તેથી $\Delta DAF \cong \Delta FED$ થાય.
વળી,$EF$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $DFCE$ નો વિકર્ણ છે,તેથી $\Delta EFC \cong \Delta FED$ થાય.
આમ,ત્રણેય ત્રિકોણો $\Delta FED$ ને એકરૂપ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે ચારેય ત્રિકોણો ($\Delta BDE, \Delta DAF, \Delta EFC$ અને $\Delta FED$) એકબીજાને એકરૂપ છે.

(N/A) આપણને આપેલ છે કે $AB = BC$ અને આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $DE = EF$.
ધારો કે આપણે $A$ ને $F$ સાથે જોડીએ છીએ જે $m$ ને $G$ માં છેદે છે.
ચતુષ્કોણ $ADFC$ બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત થાય છે,જે $\Delta ACF$ અને $\Delta AFD$ છે.
$\Delta ACF$ માં,આપેલ છે કે $B$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે $(AB = BC)$ અને $BG \parallel CF$ (કારણ કે $m \parallel n$). મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$G$ એ $AF$ નું મધ્યબિંદુ છે.
હવે,$\Delta AFD$ માં,આપણી પાસે $G$ એ $AF$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $GE \parallel AD$ (કારણ કે $m \parallel l$). મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$E$ એ $DF$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$DE = EF$.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,$l, m$ અને $n$ રેખા $q$ પર પણ સમાન અંતઃખંડો કાપે છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે,$P$,$Q$,$R$,$S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$,$BC$,$CD$,$DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $AC$ એક વિકર્ણ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$.
સાબિતી: $\Delta ACD$ માં,આપણી પાસે છે:
$S$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$R$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$\Delta ACD$ માં,રેખાખંડ $SR$ એ બાજુઓ $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે.
આમ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$ થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $P, Q, R, S$ એ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $AB, BC, CD, DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $AC$ એક વિકર્ણ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQ = SR$.
સાબિતી:
$\triangle ABC$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ ........ $(1)$
$\triangle ADC$ માં,$S$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $R$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$ ........ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,કારણ કે $PQ$ અને $SR$ બંને $\frac{1}{2} AC$ ને સમાન છે,તેથી $PQ = SR$ મળે છે.

(A) ધારો કે બાજુઓ $PQ, QR, RS,$ અને $SP$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $A, B, C,$ અને $D$ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$\triangle PQS$ માં,$AD \parallel QS$ અને $AD = \frac{1}{2} QS$ થાય.
તે જ રીતે,$\triangle RQS$ માં,$BC \parallel QS$ અને $BC = \frac{1}{2} QS$ થાય.
આમ,$AD \parallel BC$ અને $AD = BC$ હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બને છે.
$ABCD$ લંબચોરસ બને તે માટે તેની પાસપાસેની બાજુઓ પરસ્પર લંબ હોવી જોઈએ (એટલે કે $AB \perp AD$).
અહીં $AB \parallel PR$ અને $AD \parallel QS$ હોવાથી,$AB \perp AD$ ની શરતનો અર્થ એ છે કે $PR \perp QS$ થાય.
તેથી,જો મૂળ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણો પરસ્પર લંબ હોય,તો મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતો ચતુષ્કોણ લંબચોરસ બને છે.

(B) ધારો કે બાજુઓ $PQ, QR, RS,$ અને $SP$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $A, B, C,$ અને $D$ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$AB \parallel PR$ અને $AB = \frac{1}{2} PR$ થાય. તેવી જ રીતે,$DC \parallel PR$ અને $DC = \frac{1}{2} PR$ થાય. આમ,$AB \parallel DC$ અને $AB = DC$ હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બને છે. $ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ બને તે માટે તેની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ (એટલે કે $AB = AD$). કારણ કે $AD = \frac{1}{2} QS$ અને $AB = \frac{1}{2} PR$ છે,તેથી $AB = AD$ ની શરત મુજબ $\frac{1}{2} PR = \frac{1}{2} QS$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $PR = QS$. તેથી,જો મૂળ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણો સમાન હોય,તો મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતો ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.

(B) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે. ધારો કે $P, Q, R,$ અને $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD,$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$\triangle ABC$ માં,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ થાય.
તે જ રીતે,$\triangle ADC$ માં,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$ થાય.
આમ,$PQ \parallel SR$ અને $PQ = SR$ હોવાથી,$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને $90^\circ$ પર દુભાગે છે,તેથી ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની બાજુઓ વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ને સમાંતર હશે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર લંબ $(AC \perp BD)$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની પાસપાસેની બાજુઓ એકબીજાને લંબ થશે.
જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો કાટખૂણો હોય તેને લંબચોરસ કહેવાય. તેથી,$PQRS$ એ લંબચોરસ છે.

(C) $\Delta ABC$ માં,$D$ અને $E$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$DE \parallel BC$ અને $DE = \frac{1}{2} BC$ થાય.
$\Delta ABO$ માં,$D$ અને $P$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $OB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$DP \parallel AO$ અને $DP = \frac{1}{2} AO$ થાય.
$\Delta ACO$ માં,$E$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AC$ અને $OC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$EQ \parallel AO$ અને $EQ = \frac{1}{2} AO$ થાય.
ઉપર મુજબ,આપણી પાસે $DP = EQ$ (બંને $\frac{1}{2} AO$ જેટલા છે) અને $DP \parallel EQ$ (બંને $AO$ ને સમાંતર છે) છે.
ચતુષ્કોણ $DEQP$ ની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$DEQP$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(D) વેરિગન પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ચતુષ્કોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતી આકૃતિ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.
આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ચોરસ બને તે માટે,તેની બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ અને પાસપાસેની બાજુઓ પરસ્પર લંબ હોવી જોઈએ.
મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ચતુષ્કોણની બાજુઓ મૂળ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણોને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ વિકર્ણોની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,પરિણામી આકૃતિ ચોરસ બને તે માટે,મૂળ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો લંબાઈમાં સમાન (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ સમાન કરવા માટે) અને પરસ્પર લંબ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ખૂણા $90^{\circ}$ કરવા માટે) હોવા જોઈએ.

(C) $CF$ એ $DA$ ને સમાન અને સમાંતર છે તેમ સાબિત કરવા માટે,આપણે $\triangle ADE$ અને $\triangle CFE$ ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
આ ત્રિકોણોમાં:
$1$. $AE = CE$ (કારણ કે $E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$2$. $\angle AED = \angle CEF$ (અભિકોણો)
જો આપણને $DE = EF$ આપેલું હોય,તો $SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ADE \cong \triangle CFE$ થાય.
$CPCT$ દ્વારા,આપણને $AD = CF$ અને $\angle ADE = \angle CFE$ મળે છે.
જેમ કે $\angle ADE$ અને $\angle CFE$ એ યુગ્મકોણો છે,તેથી તે સૂચવે છે કે $AD \parallel CF$.
આમ,જરૂરી વધારાની માહિતી $DE = EF$ છે.

(C) $\triangle ABC$ માં,$D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $E$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$DE = \frac{1}{2} \times AC$.
આપેલ છે કે $AC = 7\, cm$.
$DE = \frac{1}{2} \times 7\, cm = 3.5\, cm$.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ માં $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $D, E$ અને $F$ છે.
સાબિત કરવાનું છે કે $BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\triangle ABC$ માં,$E$ અને $F$ એ અનુક્રમે $AC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$EF || BC$ અને $EF = \frac{1}{2} BC$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = \frac{1}{2} BC$ થાય.
આમ,$EF || BD$ અને $EF = BD$ મળે છે.
જે ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ ($EF$ અને $BD$) સમાંતર અને સમાન લંબાઈની હોય,તે ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કહેવાય. તેથી $BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $D, E$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$FE \parallel BC$ અને $FE = \frac{1}{2} BC = BD$ થાય.
અહીં $FE \parallel BD$ અને $FE = BD$ હોવાથી,$BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તે જ રીતે,$AFDE$ અને $FDCE$ પણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BDEF$ માં,વિકર્ણ $DE$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ થાય.
તે જ રીતે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AFDE$ માં,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $FDCE$ માં,$\operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC)$ થાય.
આમ,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$ થાય.
હવે,$\operatorname{ar}(BDEF) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{2}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.

(A) $1$. સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $Area = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ છે, જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ વિકર્ણોની લંબાઈ છે.
$2$. આપેલ છે કે $d_1 = 12 \, cm$ અને $d_2 = 16 \, cm$, તેથી સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $Area = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96 \, cm^2$ થાય.
$3$. વેરીગન પ્રમેય (Varignon's Theorem) મુજબ, કોઈપણ ચતુષ્કોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતી આકૃતિ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે, અને તેનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ કરતા અડધું હોય છે.
$4$. સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ એક પ્રકારનો ચતુષ્કોણ હોવાથી, તેના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતી આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times (\text{સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ})$ થાય.
$5$. તેથી, માંગેલ ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 96 = 48 \, cm^2$ છે.

(N/A) $PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે તેમ સાબિત કરવા માટે.
$\Delta ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$\therefore PQ = \frac{1}{2} AC$ અને $PQ \parallel AC$ .......... $(1)$
$\Delta ACD$ માં,$S$ અને $R$ એ $DA$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$\therefore SR = \frac{1}{2} AC$ અને $SR \parallel AC$ .......... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે
$PQ = \frac{1}{2} AC = SR$ અને $PQ \parallel AC \parallel SR$
$\Rightarrow PQ = SR$ અને $PQ \parallel SR$
એટલે કે,ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે.
$\therefore PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $P, Q, R, S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD, DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.
રચના: $AC$ અને $BD$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. $\Delta ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ ... $(1)$.
$2$. $\Delta ADC$ માં,$S$ અને $R$ એ $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$ ... $(2)$.
$3$. $(1)$ અને $(2)$ પરથી,$PQ \parallel SR$ અને $PQ = SR$. સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$4$. સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને $90^{\circ}$ ના ખૂણે દુભાગે છે. ધારો કે $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે. તેથી,$AC \perp BD$.
$5$. $PQ \parallel AC$ અને $QR \parallel BD$ હોવાથી,$PQ$ અને $QR$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ થશે કારણ કે $AC$ અને $BD$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
$6$. $PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AB \parallel DC$ છે. $E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે. $EF$ ને $AB$ ને સમાંતર દોરવામાં આવી છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$BD$ ને જોડો.
$\Delta DAB$ માં:
કારણ કે $E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે [આપેલ છે] અને $EG \parallel AB$ [કારણ કે $EF \parallel AB$],મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$G$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\Delta BDC$ માં:
કારણ કે $G$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે [સાબિત કર્યું] અને $GF \parallel DC$ [કારણ કે $AB \parallel DC$ અને $EF \parallel AB$,તેથી $GF \parallel DC$],મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $E$ અને $F$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AF$ અને $EC$ વિકર્ણ $BD$ નું ત્રિભાગ કરે છે,એટલે કે $DP = PQ = QB$.
સાબિતી:
$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB \parallel DC$ અને $AB = DC$ થાય.
$E$ અને $F$ મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,$AE = \frac{1}{2}AB$ અને $FC = \frac{1}{2}DC$ થાય.
$AB = DC$ હોવાથી,$AE = FC$ મળે.
વળી,$AB \parallel DC$ હોવાથી $AE \parallel FC$ થાય.
આમ,$AECF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે (જે ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોય).
તેથી,$AF \parallel EC$.
$\Delta DQC$ માં,$F$ એ $DC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $FP \parallel CQ$ ($AF \parallel EC$ હોવાથી). મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$P$ એ $DQ$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $DP = PQ$ ... $(1)$.
$\Delta ABP$ માં,$E$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EQ \parallel AP$ ($AF \parallel EC$ હોવાથી). મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$Q$ એ $BP$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $PQ = QB$ ... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$DP = PQ = QB$.
આમ,$AF$ અને $EC$ વિકર્ણ $BD$ નું ત્રિભાગ કરે છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં બાજુઓ $AB$,$BC$,$CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $P$,$Q$,$R$ અને $S$ છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે સામસામેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા રેખાખંડો,એટલે કે $PR$ અને $SQ$,એકબીજાને $O$ બિંદુએ દુભાગે છે.
$PQ$,$QR$,$RS$ અને $SP$ ને જોડો. તેમજ $AC$ અને $BD$ ને જોડો.
$\Delta ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ થાય.
$\Delta ADC$ માં,$S$ અને $R$ એ અનુક્રમે $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$ થાય.
ઉપરના પરિણામો પરથી,$PQ \parallel SR$ અને $PQ = SR$ મળે છે.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણો $PR$ અને $SQ$ એકબીજાને $O$ બિંદુએ દુભાગે છે.
આમ,ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા રેખાખંડો એકબીજાને દુભાગે છે.

(N/A) આપણને ત્રિકોણ $ABC$ આપેલ છે જેમાં $\angle C = 90^{\circ}$ છે. $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $MD \parallel BC$ છે.
સાબિત કરવાનું છે કે $D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\Delta ACB$ માં,આપણી પાસે છે:
$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. [આપેલ છે]
$MD \parallel BC$. [આપેલ છે]
તેથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપનો ઉપયોગ કરતા,$D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.

(N/A) આપણી પાસે ત્રિકોણ $ABC$ છે જેમાં $\angle C = 90^{\circ}$ છે. $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $MD \parallel BC$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $MD \perp AC$.
અહીં $MD \parallel BC$ અને $AC$ એ છેદિકા છે,
$\therefore \angle MDA = \angle BCA$ [અનુકોણ].
પરંતુ $\angle BCA = 90^{\circ}$ [આપેલ છે].
$\therefore \angle MDA = 90^{\circ}$.
$\Rightarrow MD \perp AC$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle C = 90^{\circ}$,$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $MD \parallel BC$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $CM = MA = \frac{1}{2} AB$.
સાબિતી:
$1$. $\Delta ABC$ માં,$MD \parallel BC$ અને $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ વિધાન મુજબ,$D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$AD = CD$.
$2$. હવે,$\Delta ADM$ અને $\Delta CDM$ લો:
- $AD = CD$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
- $\angle ADM = \angle CDM = 90^{\circ}$ (કારણ કે $MD \parallel BC$ અને $\angle ACB = 90^{\circ}$,તેથી અનુકોણની જોડ સમાન થાય)
- $DM = DM$ (સામાન્ય બાજુ)
$3$. $SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ADM \cong \Delta CDM$.
$4$. $c.p.c.t.$ મુજબ,$MA = MC$.
$5$. $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$MA = \frac{1}{2} AB$.
$6$. તેથી,$CM = MA = \frac{1}{2} AB$.

(N/A) આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $R, D, P$ અને $Q$ એકવર્તુળીય છે.
$RD, QD, PR$ અને $PQ$ ને જોડો.
કારણ કે $RP$ એ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ $R$ અને $P$ ને જોડે છે,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$RP \parallel AC$.
તે જ રીતે,$PQ \parallel AB$.
તેથી,$ARPQ$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી,$\angle RAQ = \angle RPQ$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા) ... $(1)$
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABD$ માં,$DR$ એ કર્ણ $AB$ પરની મધ્યગા છે. તેથી,$RA = RD$,જે સૂચવે છે કે $\angle 1 = \angle B$.
તે જ રીતે,કાટકોણ ત્રિકોણ $ACD$ માં,$DQ$ એ કર્ણ $AC$ પરની મધ્યગા છે. તેથી,$QA = QD$,જે સૂચવે છે કે $\angle 3 = \angle C$.
ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
વધુમાં,$\triangle RDQ$ માં,$\angle RDQ = 180^{\circ} - (\angle DRQ + \angle DQR) = 180^{\circ} - (2\angle B + 2\angle C) = 180^{\circ} - 2(\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - 2(180^{\circ} - \angle A) = 2\angle A - 180^{\circ}$.
વૈકલ્પિક રીતે,ચક્રીય ચતુષ્કોણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,$\angle RPQ = \angle A$ અને $\angle RDQ = \angle RDA + \angle ADQ = \angle RAD + \angle QAD = \angle A$. કારણ કે $\angle RPQ = \angle A$ અને $\angle RDQ = \angle A$,બિંદુઓ $R, D, P, Q$ એકવર્તુળીય છે કારણ કે તેઓ $RQ$ ના એક જ તરફ સમાન ખૂણા આંતરે છે.

(N/A) આપેલ છે: એક સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AB \parallel DC$ છે અને $E$ એ બાજુ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે. વળી,$EF \parallel AB$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
રચના: $AC$ ને જોડો જે $EF$ ને $O$ માં છેદે છે.
સાબિતી: $\triangle ADC$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EF \parallel DC$ છે.
$[\because EF \parallel AB \text{ અને } DC \parallel AB \Rightarrow AB \parallel EF \parallel DC]$
$\therefore O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. [મધ્યબિંદુ પ્રમેયનું પ્રતિપ]
હવે,$\triangle CAB$ માં,$O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $OF \parallel AB$ છે.
$\Rightarrow OF$ એ $BC$ ને દુભાગે છે [મધ્યબિંદુ પ્રમેયનું પ્રતિપ].
અથવા $F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે. $D, E$ અને $F$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\triangle DEF$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સાબિતી: મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
$1$. $EF$ એ બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે. તેથી,$EF = \frac{1}{2} BC$ $(1)$.
$2$. $DE$ એ બાજુઓ $BC$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે. તેથી,$DE = \frac{1}{2} AB$ $(2)$.
$3$. $DF$ એ બાજુઓ $BC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે. તેથી,$DF = \frac{1}{2} AC$ $(3)$.
જેহেতু $\triangle ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે,તેથી $AB = BC = CA$ $(4)$.
$(4)$ ની કિંમત $(1), (2)$ અને $(3)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$EF = \frac{1}{2} BC$,$DE = \frac{1}{2} BC$,અને $DF = \frac{1}{2} BC$.
આમ,$DE = EF = DF$.
તેથી,$\triangle DEF$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે. આમ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $P, Q, R$ તથા $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $AC$ અને $BD$ ને જોડો.
ત્રિકોણ $ABD$ માં,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ:
$SP = \frac{1}{2} BD$ અને $SP \parallel BD.$
તે જ રીતે,ત્રિકોણ $BCD$ માં:
$RQ = \frac{1}{2} BD$ અને $RQ \parallel BD.$
તેથી,$SP = RQ$ અને $SP \parallel RQ$ (સમીકરણ $1$).
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વળી,સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી $AC \perp BD.$
ત્રિકોણ $BAC$ માં,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC.$
કારણ કે $SP \parallel BD$ અને $PQ \parallel AC,$ તથા $AC \perp BD,$ તેથી $SP \perp PQ$ થાય.
આમ,$\angle SPQ = 90^{\circ}$ (સમીકરણ $2$).
$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને તેનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,$PQRS$ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AC = BD$ છે અને $P, Q, R$ અને $S$ એ અનુક્રમે ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાબિતી: $\Delta ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. એટલે કે,$PQ$ એ $AB$ અને $BC$ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે.
$\therefore PQ \parallel AC$ $... (1)$
અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ $... (2)$ [મધ્યબિંદુ પ્રમેય]
$\Delta ADC$ માં,$R$ અને $S$ એ અનુક્રમે $CD$ અને $AD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$\therefore SR \parallel AC$ $... (3)$
અને $SR = \frac{1}{2} AC$ $... (4)$ [મધ્યબિંદુ પ્રમેય]
$(1)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે $PQ \parallel SR$.
$(2)$ અને $(4)$ પરથી,આપણને મળે છે $PQ = RS$.
કારણ કે $PQ \parallel SR$ અને $PQ = RS$,તેથી $PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\Delta DAB$ માં,$SP$ એ $DA$ અને $AB$ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે.
$\therefore SP = \frac{1}{2} BD$ $... (5)$ [મધ્યબિંદુ પ્રમેય]
આપેલ છે $AC = BD$ $... (6)$
સમીકરણો $(2), (5)$ અને $(6)$ પરથી,આપણને મળે છે $SP = PQ$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોવાથી $(SP = PQ)$,$PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AC = BD$ અને $AC \perp BD$ છે. $P, Q, R$ અને $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક ચોરસ છે.
સાબિતી:
$1$. $\triangle ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$.
$2$. તેવી જ રીતે,$\triangle ADC$ માં,$S$ અને $R$ એ અનુક્રમે $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. તેથી,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$.
$3$. $PQ = SR$ અને $PQ \parallel SR$ હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$4$. $\triangle ABD$ માં,$P$ અને $S$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. તેથી,$PS = \frac{1}{2} BD$.
$5$. $AC = BD$ (આપેલ છે) હોવાથી,આપણને મળે છે $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD = PS$. આમ,$PQ = PS$.
$6$. $PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને તેની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન $(PQ = PS)$ હોવાથી,તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$7$. $AC \perp BD$ અને $PQ \parallel AC$ તથા $PS \parallel BD$ હોવાથી,$PQ \perp PS$ થાય. તેથી,$\angle SPQ = 90^{\circ}$.
$8$. જે સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય,તે ચોરસ હોય છે. તેથી,$PQRS$ એક ચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: એક $\triangle ABC$ જેમાં $AD$ મધ્યગા છે,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $BE$ ને લંબાવતા તે $AC$ ને $F$ માં મળે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AF = \frac{1}{3} AC$.
રચના: $DG \parallel BF$ દોરો જે $AC$ ને $G$ માં છેદે છે.
સાબિતી: $\triangle ADG$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EF \parallel DG$ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$AF = FG$ .....$(1)$.
$\triangle FBC$ માં,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $DG \parallel BF$ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$FG = GC$ .....$(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$AF = FG = GC$ .....$(3)$.
કારણ કે $AC = AF + FG + GC$,સમીકરણ $(3)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AC = AF + AF + AF = 3AF$.
તેથી,$AF = \frac{1}{3} AC$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક ચોરસ $ABCD$ જેમાં $P, Q, R, S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD, DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $PQ, QR, RS$ અને $SP$ ને જોડવામાં આવ્યા છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક ચોરસ છે.
રચના: $AC$ અને $BD$ ને જોડો.
સાબિતી: $\triangle ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ (મધ્યબિંદુ પ્રમેય) ... $(1)$
$\triangle ADC$ માં,$R$ અને $S$ એ અનુક્રમે $CD$ અને $AD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી,$RS \parallel AC$ અને $RS = \frac{1}{2} AC$ (મધ્યબિંદુ પ્રમેય) ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે $PQ \parallel RS$ અને $PQ = RS$.
આમ,ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે. તેથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
ચોરસ $ABCD$ હોવાથી,$AB = BC = CD = DA$.
વળી,$PB = BQ = QC = CR = RD = DS = SA = AP = \frac{1}{2} AB$.
$\triangle PBQ$ અને $\triangle QCR$ માં,$PB = QC$,$BQ = CR$,અને $\angle PBQ = \angle QCR = 90^{\circ}$.
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle PBQ \cong \triangle QCR$.
તેથી,$PQ = QR$ $(CPCT)$.
$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને તેની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોવાથી,$PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,ચોરસ $ABCD$ ના વિકર્ણોને ધ્યાનમાં લો. $AC \perp BD$ અને $AC = BD$.
$PQ \parallel AC$ અને $QR \parallel BD$ હોવાથી,અને $AC \perp BD$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $PQ \perp QR$.
આમ,$PQRS$ એ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તેથી,$PQRS$ એક ચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: એક સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $E$ અને $F$ એ સમાંતર ન હોય તેવી બાજુઓ $AD$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $EF \parallel AB$ અને $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$.
રચના: $DF$ ને જોડો અને તેને લંબાવીને $AB$ ને $G$ બિંદુમાં છેદે તેમ કરો.
સાબિતી: $\Delta CFD$ અને $\Delta BFG$ માં:
$DC \parallel AG$ (કારણ કે $DC \parallel AB$)
$\angle DCF = \angle GBF$ [યુગ્મકોણ]
$CF = BF$ [આપેલ છે,$F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે]
$\angle CFD = \angle BFG$ [અભિકોણ]
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta CFD \cong \Delta BFG$.
તેથી,$CD = BG$ અને $DF = FG$ [$CPCT$].
હવે,$\Delta ADG$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $F$ એ $DG$ નું મધ્યબિંદુ છે (કારણ કે $DF = FG$).
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$EF \parallel AG$ અને $EF = \frac{1}{2}AG$.
કારણ કે $AG = AB + BG$ અને $BG = CD$,તેથી $AG = AB + CD$.
આમ,$EF \parallel AB$ અને $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક $\triangle ABC$ અને $\triangle DEF$ જે $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $AB, BC$ અને $CA$ ના મધ્યબિંદુઓ $D, E$ અને $F$ ને જોડીને બનાવવામાં આવ્યો છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\triangle ADF \cong \triangle DBE \cong \triangle ECF \cong \triangle DEF$
સાબિતી: $D$ અને $F$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$DF \parallel BC$ અને $DF = \frac{1}{2} BC = BE = EC$.
તે જ રીતે,$DE \parallel AC$ અને $DE = \frac{1}{2} AC = AF = FC$.
વળી,$EF \parallel AB$ અને $EF = \frac{1}{2} AB = AD = DB$.
ચતુષ્કોણ $ADFE$ માં,$AD \parallel EF$ અને $AF \parallel DE$,તેથી તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. આમ,$\triangle ADF \cong \triangle FED$ (વિકર્ણ $DF$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણને બે એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે).
તે જ રીતે,$BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી $\triangle DBE \cong \triangle FED$.
અને $CEFD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી $\triangle ECF \cong \triangle FED$.
તેથી,$\triangle ADF \cong \triangle DBE \cong \triangle ECF \cong \triangle DEF$.
આમ,ત્રિકોણ $ABC$ ચાર એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AB \parallel DC$ છે,અને $E$ તથા $F$ એ અનુક્રમે અસમાંતર બાજુઓ $AD$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $EF \parallel AB$ અને $EF \parallel DC$.
રચના: $DF$ ને જોડો અને તેને લંબાવીને $AB$ ને લંબાવતા મળતા બિંદુ $G$ માં છેદાવો.
સાબિતી: $\Delta DCF$ અને $\Delta GBF$ માં:
$\angle 1 = \angle 2$ [યુગ્મકોણ,કારણ કે $DC \parallel BG$]
$\angle 3 = \angle 4$ [અભિકોણ]
$CF = BF$ [આપેલ છે,કારણ કે $F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે]
$AAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta DCF \cong \Delta GBF$.
તેથી,$DF = GF$ અને $DC = GB$ [$CPCT$ દ્વારા].
$\Delta DAG$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $F$ એ $DG$ નું મધ્યબિંદુ છે (કારણ કે $DF = GF$).
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે.
તેથી,$EF \parallel AG$.
કારણ કે $AG$ એ $AB$ રેખાનો જ ભાગ છે,તેથી $EF \parallel AB$.
વળી,$AB \parallel DC$ અને $EF \parallel AB$ હોવાથી,$EF \parallel DC$ સાબિત થાય છે.
આમ,$EF \parallel AB \parallel DC$.

(N/A) ધારો કે $\Delta ABC$ માં $P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $PQ$ દોરો.
$\Delta ABC$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel BC$ અને $PQ = \frac{1}{2} BC$ થાય.
હવે,$AP = \frac{1}{2} AB$ અને $AM = \frac{1}{4} AB$ છે.
તેથી,$AM = \frac{1}{2} AP$ થાય.
તે જ રીતે,$AQ = \frac{1}{2} AC$ અને $AN = \frac{1}{4} AC$ છે.
તેથી,$AN = \frac{1}{2} AQ$ થાય.
આમ,$\Delta APQ$ માં,$M$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $N$ એ $AQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$MN \parallel PQ$ અને $MN = \frac{1}{2} PQ$ થાય.
$MN$ ના સમીકરણમાં $PQ = \frac{1}{2} BC$ મૂકતા:
$MN = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} BC \right) = \frac{1}{4} BC$.
આમ,$MN = \frac{1}{4} BC$ સાબિત થાય છે.

(B) $\triangle ABC$ માં,$P$,$Q$ અને $R$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$,$BC$ અને $CA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતાં અડધી હોય છે.
તેથી,$PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 5.4 \text{ cm} = 2.7 \text{ cm}$.
તે જ રીતે,$QR = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 8 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$.
અને,$RP = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 6.6 \text{ cm} = 3.3 \text{ cm}$.
$\triangle PQR$ ની પરિમિતિ $= PQ + QR + RP$.
પરિમિતિ $= 2.7 \text{ cm} + 4 \text{ cm} + 3.3 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$.

(A) રચના: $BF$ ને સમાંતર રેખા $DG$ દોરો જેથી $G$ એ $AC$ પર આવેલું હોય.
$\Delta ADG$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EG \parallel DF$ (કારણ કે $EG \parallel BF$),તેથી મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$G$ એ $AF$ નું મધ્યબિંદુ છે. આમ,$AG = GF$ ... $(1)$.
$\Delta CBF$ માં,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $DG \parallel BF$,તેથી મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$G$ એ $FC$ નું મધ્યબિંદુ છે. આમ,$GF = FC$ ... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$AG = GF = FC$ મળે છે.
$AC = AG + GF + FC$ હોવાથી,$AC = 3AG$ લખી શકાય.
તેથી,$AG = \frac{1}{3} AC$.
$AF = AG + GF = 2AG$ હોવાથી,$AF = \frac{2}{3} AC$ થાય.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel DC$ છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$1$. $AQ$ ને જોડો અને તેને લંબાવીને $DC$ ને બિંદુ $E$ માં છેદવા દો.
$2$. $\triangle ABQ$ અને $\triangle EDQ$ માં:
- $\angle ABQ = \angle EDQ$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel DE$)
- $BQ = DQ$ ($Q$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે)
- $\angle AQB = \angle EQD$ (અભિકોણ)
$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABQ \cong \triangle EDQ$.
$3$. તેથી,$AQ = EQ$ અને $AB = DE$ ($CPCT$ દ્વારા).
$4$. $\triangle ACE$ માં,$P$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $AE$ નું મધ્યબિંદુ છે (કારણ કે $AQ = EQ$).
$5$. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel CE$ અને $PQ = \frac{1}{2} CE$.
$6$. કારણ કે $CE = DC - DE = DC - AB$,તેથી $PQ = \frac{1}{2} (DC - AB)$.
$7$. આમ,$PQ$ એ સમાંતર બાજુઓ $AB$ અને $DC$ ને સમાંતર છે અને તેની લંબાઈ સમાંતર બાજુઓની લંબાઈના તફાવતથી અડધી છે.

(A) $1$. $AC$ ને જોડો. ધારો કે $AC$ એ $EF$ ને બિંદુ $G$ માં છેદે છે.
$2$. $\triangle ADC$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EG \parallel DC$ છે (કારણ કે $EF \parallel AB$ અને $AB \parallel CD$). મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$G$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$EG = \frac{1}{2}CD$.
$3$. $\triangle ABC$ માં,$G$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $GF \parallel AB$ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$GF = \frac{1}{2}AB$.
$4$. બંને રેખાખંડોનો સરવાળો કરતા: $EF = EG + GF = \frac{1}{2}CD + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AB + CD)$.
$5$. આમ,$F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $P, Q$ અને $R$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $AB, BC$ અને $CA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર અને તેનાથી અડધો હોય છે.
$1$. $PBQR$ માટે: $R$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $PR \parallel BC$ અને $PR = \frac{1}{2} BC = BQ$. તેમજ $PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC = RC$. $PR \parallel BQ$ અને $PQ \parallel RB$ હોવાથી,$PBQR$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$2$. $PQCR$ માટે: $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC = RC$. તેમજ $QR \parallel AB$ અને $QR = \frac{1}{2} AB = PC$. $PQ \parallel RC$ અને $QR \parallel PC$ હોવાથી,$PQCR$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$3$. $PQRA$ માટે: $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $R$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $QR \parallel AB$ અને $QR = \frac{1}{2} AB = AP$. તેમજ $PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC = AR$. $QR \parallel AP$ અને $PQ \parallel AR$ હોવાથી,$PQRA$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(D) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
આપેલ છે કે $A, B$ અને $C$ એ અનુક્રમે $XY, YZ$ અને $XZ$ ના મધ્યબિંદુઓ છે:
$AB = \frac{1}{2} XZ \implies XZ = 2 \times 5.2\, cm = 10.4\, cm$
$BC = \frac{1}{2} XY \implies XY = 2 \times 4.3\, cm = 8.6\, cm$
$AC = \frac{1}{2} YZ \implies YZ = 2 \times 6.5\, cm = 13.0\, cm$
$\Delta XYZ$ ની પરિમિતિ $= XY + YZ + XZ = 8.6\, cm + 13.0\, cm + 10.4\, cm = 32.0\, cm$.

(A) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
$\Delta ABC$ માં,$P$ અને $R$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી $PR = \frac{1}{2} BC = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ cm}$.
તે જ રીતે,$PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{10.6}{2} = 5.3 \text{ cm}$.
અને $QR = \frac{1}{2} AB = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}$.
$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $= PQ + QR + PR = 5.3 + 4 + 4.5 = 13.8 \text{ cm}$.

(B) આપેલ છે કે $P$, $Q$ અને $R$ એ અનુક્રમે $AB$, $BC$ અને $CA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ, ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર અને તેની લંબાઈથી અડધો હોય છે.
$\Delta ABC$ માં, $R$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી, $RQ = \frac{1}{2} AB = \frac{8.2}{2} = 4.1 \text{ cm}$.
તે જ રીતે, $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી, $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{7.5}{2} = 3.75 \text{ cm}$.
$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી, $PB = \frac{1}{2} AB = \frac{8.2}{2} = 4.1 \text{ cm}$.
$Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી, $BQ = \frac{1}{2} BC = \frac{6.4}{2} = 3.2 \text{ cm}$.
ચતુષ્કોણ $PBQR$ ની બાજુઓ $PB$, $BQ$, $QR$ અને $RP$ છે.
પરિમિતિ $= PB + BQ + QR + RP$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $RP = \frac{1}{2} BC = 3.2 \text{ cm}$.
પરિમિતિ $= 4.1 + 3.2 + 4.1 + 3.2 = 14.6 \text{ cm}$.

(A) $1$. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર અને તેની લંબાઈથી અડધો હોય છે.
$2$. આપેલ છે કે $X$ અને $Z$ એ $PQ$ અને $PR$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી $XZ = \frac{1}{2} QR$. આમ,$QR = 2 \times XZ = 2 \times 3.8 \, cm = 7.6 \, cm$.
$3$. $\Delta PQR$ ની પરિમિતિ = $PQ + QR + PR = 7.2 \, cm + 7.6 \, cm + 8.4 \, cm = 23.2 \, cm$.
$4$. $X, Y, Z$ મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,$\Delta XYZ$ ની બાજુઓ $\Delta PQR$ ની બાજુઓ કરતા અડધી હોય છે ($XY = \frac{1}{2} PR = 4.2 \, cm$,$YZ = \frac{1}{2} PQ = 3.6 \, cm$,$XZ = 3.8 \, cm$).
$5$. $\Delta XYZ$ ની પરિમિતિ = $\frac{1}{2} \times (\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}) = \frac{1}{2} \times 23.2 \, cm = 11.6 \, cm$.

(D) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$PQ = \frac{1}{2} BC$,જેનો અર્થ છે કે $BC = 2PQ$.
આપેલ છે કે $PQ + BC = 8.4 \, cm$.
$BC = 2PQ$ મૂકતા,આપણને $PQ + 2PQ = 8.4 \, cm$ મળે છે,તેથી $3PQ = 8.4 \, cm$,જેનો અર્થ છે કે $PQ = 2.8 \, cm$.
ત્યારબાદ,$BC = 2 \times 2.8 = 5.6 \, cm$.
આપણને $AB + AC = 20.5 \, cm$ આપેલ છે.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + AC + BC$.
પરિમિતિ $= 20.5 + 5.6 = 26.1 \, cm$.

(N/A) $1$. $\triangle ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$.
$2$. $\triangle ADC$ માં,$S$ અને $R$ એ $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$.
$3$. આમ,$PQ \parallel SR$ અને $PQ = SR$. સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$4$. તેવી જ રીતે,$\triangle ABD$ માં,$PS \parallel BD$ અને $PS = \frac{1}{2} BD$. $\triangle BCD$ માં,$QR \parallel BD$ અને $QR = \frac{1}{2} BD$.
$5$. $AC = BD$ (આપેલ છે),તેથી $\frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD$,જેનો અર્થ છે કે $PQ = SR = PS = QR$. આમ,$PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$6$. $AC \perp BD$ હોવાથી,અને $PQ \parallel AC$ તથા $PS \parallel BD$ હોવાથી,$PQ \perp PS$ થાય. તેથી,$\angle QPS = 90^{\circ}$.
$7$. જે સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય,તે ચોરસ હોય છે. તેથી,$PQRS$ એક ચોરસ છે.

(D) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
$\Delta ABC$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$PQ = \frac{1}{2} \times BC$.
આપેલ છે કે $BC = 8.2 \text{ cm}$.
$PQ = \frac{1}{2} \times 8.2 = 4.1 \text{ cm}$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $R$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PR \parallel BC$ અને $PR = \frac{1}{2} BC = BQ = QC$ થાય.
તે જ રીતે,$Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $R$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $QR \parallel AB$ અને $QR = \frac{1}{2} AB = AP = PB$ થાય.
વળી,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC = AR = RC$ થાય.
આમ,ચતુષ્કોણ $APQR$ માં,$AP \parallel QR$ અને $AR \parallel PQ$ હોવાથી,$APQR$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બને છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે. તેથી,$\angle BAC = \angle PQR$.

(C) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર અને તેની લંબાઈ કરતા અડધો હોય છે.
$\Delta PQR$ માં,$A$ અને $C$ એ અનુક્રમે $PQ$ અને $RP$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,$AC = \frac{1}{2} QR$ થાય.
તે જ રીતે,$AB = \frac{1}{2} RP$ અને $BC = \frac{1}{2} PQ$ થાય.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + BC + AC = \frac{1}{2} RP + \frac{1}{2} PQ + \frac{1}{2} QR = \frac{1}{2} (PQ + QR + RP)$ થાય.
આપેલ છે કે $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= 18.6 \, cm$.
તેથી,$18.6 = \frac{1}{2} \times (\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ})$.
$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $= 18.6 \times 2 = 37.2 \, cm$.

(D) સમલંબ ચતુષ્કોણમાં,સમાંતર ન હોય તેવી બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ સમાંતર બાજુઓને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ સમાંતર બાજુઓના સરવાળાના અડધા જેટલી હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માટે જ્યાં $AB || CD$ છે અને $P$ તથા $Q$ એ અનુક્રમે $AD$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$PQ = \frac{1}{2} (AB + CD)$
અહીં $AB = 18 \, cm$ અને $PQ = 15 \, cm$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$15 = \frac{1}{2} (18 + CD)$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$30 = 18 + CD$
બંને બાજુથી $18$ બાદ કરતા:
$CD = 30 - 18 = 12 \, cm$.
આમ,$CD$ ની લંબાઈ $12 \, cm$ છે.

(A) મધ્યબિંદુ પ્રમેય અને ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો મુજબ:
$(1)$ જ્યારે સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને ક્રમમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે મળતો ચતુષ્કોણ લંબચોરસ હોય છે કારણ કે સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
$(2)$ જ્યારે લંબચોરસની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને ક્રમમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે મળતો ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે કારણ કે લંબચોરસના વિકર્ણો સમાન લંબાઈના હોય છે.