The Mid-point Theorem Questions in Gujarati

(B) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતાં અડધી હોય છે.
$\Delta ABC$ માં,$X$ અને $Y$ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી,$XY \parallel BC$ અને $XY = \frac{1}{2} BC$ થાય.
ચતુષ્કોણ $XBCY$ માં,સામસામેની બાજુઓની એક જોડ $XY$ અને $BC$ એકબીજાને સમાંતર છે $(XY \parallel BC)$.
જે ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓની ઓછામાં ઓછી એક જોડ સમાંતર હોય તેને સમલંબ ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.
આમ,$XBCY$ એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.

(B) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
ધારો કે $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $AB$,$BC$ અને $AC$ છે.
અહીં $P$,$Q$ અને $R$ એ અનુક્રમે $AB$,$BC$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,$\Delta PQR$ ની બાજુઓ $PQ = \frac{1}{2} AC$,$QR = \frac{1}{2} AB$ અને $PR = \frac{1}{2} BC$ થશે.
$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $= PQ + QR + PR = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AB + \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (AB + BC + AC)$.
આપેલ છે કે $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + BC + AC = 23 \, cm$.
તેથી,$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $= \frac{1}{2} \times 23 = 11.5 \, cm$.

(D) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
$\Delta XYZ$ માં,$A$ અને $B$ અનુક્રમે $XY$ અને $XZ$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી,$AB = \frac{1}{2} \times YZ$.
આપેલ છે કે $AB = 7.5 \, cm$.
કિંમત મૂકતા: $7.5 = \frac{1}{2} \times YZ$.
$YZ = 7.5 \times 2 = 15 \, cm$.

(B) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
$\Delta ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,$PQ = \frac{1}{2} BC$ થાય.
આપેલ છે કે $BC + PQ = 21 \text{ cm}$.
સમીકરણમાં $PQ = \frac{1}{2} BC$ મૂકતા,$BC + \frac{1}{2} BC = 21$ મળે.
આનું સાદુંરૂપ આપતા $\frac{3}{2} BC = 21$ મળે.
બંને બાજુ $\frac{2}{3}$ વડે ગુણતા,$BC = 21 \times \frac{2}{3} = 14 \text{ cm}$ મળે.

(N/A) $1$. $M$ અને $N$ એ અનુક્રમે $PQ$ અને $PR$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$MN \parallel QR$ અને $MN = \frac{1}{2} QR$ થાય.
$2$. $\Delta MXN$ અને $\Delta MNR$ ને ધ્યાનમાં લો. બંને ત્રિકોણો સમાંતર રેખાઓ $MN$ અને $QR$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$3$. $\Delta MXN$ નો પાયો $MN$ છે અને $\Delta MNR$ નો પાયો પણ $MN$ છે. સમાન પાયા અને સમાન સમાંતર રેખાઓ વચ્ચે આવેલા હોવાથી,$ar(MXN) = ar(MNR)$ થાય.
$4$. $\Delta PQR$ માં,$MN \parallel QR$ છે. $MN$ પાયાને સાપેક્ષ $\Delta MNR$ ની ઊંચાઈ એ $QR$ પાયાને સાપેક્ષ $\Delta PQR$ ની ઊંચાઈ કરતા અડધી છે,કારણ કે $M$ અને $N$ મધ્યબિંદુઓ છે.
$5$. $ar(MNR) = \frac{1}{2} \times MN \times h_{MNR} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} QR) \times (\frac{1}{2} h_{PQR}) = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \times QR \times h_{PQR}) = \frac{1}{4} ar(PQR)$.
$6$. $ar(MXN) = ar(MNR)$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $ar(MXN) = \frac{1}{4} ar(PQR)$.

(B) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નો પાયો $b = CD$ અને તેની ઊંચાઈ $h$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $\operatorname{ar}(ABCD) = \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = b \times h$ થાય.
$\triangle PBC$ માં,પાયો $PC$ છે અને ઊંચાઈ $h$ છે (જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ જેટલી જ છે).
$P$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$PC = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} b$ થાય.
$\triangle PBC$ નું ક્ષેત્રફળ $\operatorname{ar}(PBC) = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} b) \times h = \frac{1}{4} bh$ થાય.
હવે,ગુણોત્તર $\operatorname{ar}(ABCD) : \operatorname{ar}(PBC) = (bh) : (\frac{1}{4} bh) = 1 : \frac{1}{4} = 4 : 1$ મળે.

(B) $1$. $\Delta ABD$ માં,$AM$ મધ્યગા છે કારણ કે $M$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$\operatorname{ar}(ADM) = \operatorname{ar}(ABM) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABD)$.
$2$. $\Delta ADM$ માં,$AN$ મધ્યગા છે કારણ કે $N$ એ $MD$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$\operatorname{ar}(AND) = \operatorname{ar}(ANM) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ADM)$.
$3$. આપેલ છે કે $\operatorname{ar}(AND) = 20\, cm^2$,તેથી $\operatorname{ar}(ADM) = 2 \times 20 = 40\, cm^2$.
$4$. કારણ કે $\operatorname{ar}(ADM) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABD)$,તેથી $\operatorname{ar}(ABD) = 2 \times 40 = 80\, cm^2$.
$5$. $\Delta ABC$ માં,$AD$ મધ્યગા છે,તેથી $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \times \operatorname{ar}(ABD) = 2 \times 80 = 160\, cm^2$.