Mix Examples - Quadrilaterals Questions in Hindi

(N/A) मान लीजिए कि हम $AC$ को मिलाते हैं।
$\Delta ABC$ में,चूँकि $AB$ चतुर्भुज $ABCD$ की सबसे छोटी भुजा है,इसलिए $AB < BC$ और $AB < AC$ होगा।
विशेष रूप से,$BC > AB$ है।
चूँकि बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है $\angle BAC > \angle BCA$ ........... $(1)$
$\Delta ACD$ में,चूँकि $CD$ चतुर्भुज $ABCD$ की सबसे लंबी भुजा है,इसलिए $CD > AD$ और $CD > AC$ होगा।
विशेष रूप से,$CD > AD$ है।
चूँकि बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है $\angle CAD > \angle ACD$ ........... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\angle BAC + \angle CAD) > (\angle BCA + \angle ACD)$
$\Rightarrow \angle A > \angle C$
इसी प्रकार,$BD$ को मिलाकर और $\Delta ABD$ तथा $\Delta BCD$ के लिए समान तर्क का उपयोग करके,हम दर्शा सकते हैं कि $\angle B > \angle D$ है।

(A) माना कि चतुर्भुज के कोण $3x, 5x, 9x$ और $13x$ हैं।
चूंकि चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$3x + 5x + 9x + 13x = 360^{\circ}$
पदों को जोड़ने पर:
$30x = 360^{\circ}$
$x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = \frac{360^{\circ}}{30} = 12^{\circ}$
अब,प्रत्येक कोण की गणना करें:
$3x = 3 \times 12^{\circ} = 36^{\circ}$
$5x = 5 \times 12^{\circ} = 60^{\circ}$
$9x = 9 \times 12^{\circ} = 108^{\circ}$
$13x = 13 \times 12^{\circ} = 156^{\circ}$
अतः,चतुर्भुज के कोण $36^{\circ}, 60^{\circ}, 108^{\circ}$ और $156^{\circ}$ हैं।

(B) एक चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
माना कि चौथा कोण $x$ है।
अतः,$75^{\circ} + 90^{\circ} + 75^{\circ} + x = 360^{\circ}$.
$240^{\circ} + x = 360^{\circ}$.
$x = 360^{\circ} - 240^{\circ}$.
$x = 120^{\circ}$.

(C) माना आयत $ABCD$ है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
दिया गया है कि विकर्ण $AC$,भुजा $AB$ के साथ $25^{\circ}$ का कोण बनाता है,अतः $\angle CAB = 25^{\circ}$।
आयत में,विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $OA = OB$।
$\triangle OAB$ में,चूंकि $OA = OB$,इसलिए इनके सम्मुख कोण बराबर होंगे,अतः $\angle OBA = \angle OAB = 25^{\circ}$।
$\triangle OAB$ में कोण योग गुण का उपयोग करने पर:
$\angle AOB = 180^{\circ} - (25^{\circ} + 25^{\circ}) = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$।
चूंकि $\angle AOB$ और $\angle AOD$ रैखिक युग्म बनाते हैं:
$\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।
अतः,विकर्णों के बीच का न्यून कोण $50^{\circ}$ है।

(D) दिया गया है कि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है और $\angle ACB = 40^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। अतः,$\triangle BOC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle BOC = 90^{\circ}$ है।
$\triangle BOC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle OBC + \angle BOC + \angle BCO = 180^{\circ}$
$\angle OBC + 90^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle OBC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।
चूँकि $AD \parallel BC$ (समचतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं),इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं:
$\angle ADB = \angle DBC$।
चूँकि $\angle DBC = \angle OBC = 50^{\circ}$ है,इसलिए $\angle ADB = 50^{\circ}$ होगा।

(C) माना चतुर्भुज $ABCD$ के कोण $A, B, C$ और $D$ क्रमशः $3x, 7x, 6x$ और $4x$ हैं।
चूंकि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$3x + 7x + 6x + 4x = 360^{\circ}$
$20x = 360^{\circ}$
$x = 18^{\circ}$
अतः,कोण इस प्रकार हैं:
$A = 3 \times 18^{\circ} = 54^{\circ}$
$B = 7 \times 18^{\circ} = 126^{\circ}$
$C = 6 \times 18^{\circ} = 108^{\circ}$
$D = 4 \times 18^{\circ} = 72^{\circ}$
अब,क्रमागत कोणों $\angle C$ और $\angle D$ का योग ज्ञात करते हैं:
$\angle C + \angle D = 108^{\circ} + 72^{\circ} = 180^{\circ}$
चूंकि तिर्यक रेखा $CD$ के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए भुजाएं $AD$ और $BC$ समांतर होंगी $(AD \parallel BC)$।
जिस चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर होता है,उसे समलंब चतुर्भुज (trapezium) कहते हैं।

(D) चतुर्भुज $ABCD$ में,अंतःकोणों का योग $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$ होता है।
$\triangle APB$ में,$\angle P + \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 180^{\circ} \implies \angle P = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$।
इसी प्रकार,$\triangle CRD$ में,$\angle R = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$।
इनका योग करने पर,$\angle P + \angle R = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D) = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$।
चूंकि सम्मुख कोणों का योग $\angle P + \angle R = 180^{\circ}$ है,अतः चतुर्भुज $PQRS$ एक ऐसा चतुर्भुज है जिसके सम्मुख कोण संपूरक हैं।

(A) मान लीजिए $PN$,$\angle APQ$ का समद्विभाजक है और $QN$,$\angle CQP$ का समद्विभाजक है।
चूँकि $APB \parallel CQD$,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $\angle APQ + \angle CQP = 180^\circ$ होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{2}\angle APQ + \frac{1}{2}\angle CQP = 90^\circ$ प्राप्त होता है।
$\triangle PNQ$ में,$\angle NPQ + \angle NQP = 90^\circ$,इसलिए $\angle PNQ = 90^\circ$ है।
इसी प्रकार,अन्य शीर्षों $M, P, Q$ के लिए,हम दिखा सकते हैं कि चतुर्भुज $PNQM$ के सभी कोण $90^\circ$ हैं।
अतः,कोण समद्विभाजकों द्वारा निर्मित चतुर्भुज $PNQM$ एक आयत है।

(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AD \parallel BC$ है और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए,$\angle DAC = \angle ACB$ (एकांतर अंतःकोण)।
दिया है $\angle DAC = 32^{\circ},$ इसलिए $\angle ACB = 32^{\circ}.$
अब,$\Delta BOC$ पर विचार करें। कोण $\angle AOB,$ $\Delta BOC$ के लिए शीर्ष $O$ पर एक बहिष्कोण है।
बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
इसलिए,$\angle AOB = \angle OCB + \angle OBC.$
ज्ञात मानों को रखने पर,$70^{\circ} = 32^{\circ} + \angle OBC.$
अतः,$\angle OBC = 70^{\circ} - 32^{\circ} = 38^{\circ}.$
चूंकि $\angle DBC$ और $\angle OBC$ एक ही कोण हैं,इसलिए $\angle DBC = 38^{\circ}.$

(B) यह कथन असत्य है।
समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं,लेकिन उनकी लंबाई समान होना आवश्यक नहीं है।
केवल वर्ग के मामले में (जो समचतुर्भुज का एक विशेष प्रकार है) विकर्ण बराबर होते हैं।

(N/A) दिए गए कोणों का योग $110^{\circ} + 80^{\circ} + 70^{\circ} + 95^{\circ} = 355^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज के अंतःकोणों का योग हमेशा $360^{\circ}$ होता है।
चूंकि दिए गए कोणों का योग $(355^{\circ})$ $360^{\circ}$ के बराबर नहीं है,इसलिए ये एक चतुर्भुज के कोण नहीं हो सकते हैं।

(B) चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ है।
चूँकि $\angle A$ और $\angle D$ तिर्यक रेखा $AD$ के एक ही ओर के क्रमागत अंतःकोण हैं जो रेखाओं $AB$ और $CD$ को काटते हैं,इसलिए उनका योग $180^{\circ}$ होने का अर्थ है कि रेखाएँ $AB$ और $CD$ समांतर हैं।
परिभाषा के अनुसार,जिस चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का कम से कम एक युग्म समांतर हो,उसे समलंब चतुर्भुज (Trapezium) कहा जाता है।
अतः,इस चतुर्भुज $ABCD$ को समलंब चतुर्भुज कहा जा सकता है।

(B) एक चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
माना चतुर्भुज का प्रत्येक कोण $x$ है।
चूंकि चारों कोण बराबर हैं,इसलिए $x + x + x + x = 360^{\circ}$ होगा।
$4x = 360^{\circ}$.
$x = 90^{\circ}$.
वह चतुर्भुज जिसके सभी कोण $90^{\circ}$ होते हैं,उसे आयत कहा जाता है।

(B) दिया गया कथन असत्य है। यद्यपि एक आयत के विकर्ण लंबाई में बराबर होते हैं,लेकिन वे एक-दूसरे के लंबवत हों यह आवश्यक नहीं है। एक आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,लेकिन वे केवल तभी $90^{\circ}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि वह आयत एक वर्ग हो।

(N/A) नहीं,एक चतुर्भुज के चारों कोण अधिक कोण नहीं हो सकते हैं।
अधिक कोण वह कोण है जो $90^{\circ}$ से बड़ा होता है।
यदि चारों कोण अधिक कोण होते,तो प्रत्येक कोण $> 90^{\circ}$ होता।
अतः,चारों कोणों का योग $> 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ होता।
हालाँकि,चतुर्भुज के चारों अंतःकोणों का योग हमेशा $360^{\circ}$ होता है।
चूँकि योग $360^{\circ}$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए चारों कोणों का अधिक कोण होना असंभव है।

(A) $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसलिए,$BD = EF$ ... $(1)$ [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
$FDCE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसलिए,$CD = EF$ ... $(2)$ [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$BD = CD$
हाँ,हम कह सकते हैं कि $BD = CD$ क्योंकि दोनों एक ही भुजा $EF$ के बराबर हैं।

(N/A) नहीं,एक चतुर्भुज के सभी कोण न्यूनकोण नहीं हो सकते हैं।
न्यूनकोण वह कोण होता है जो $90^{\circ}$ से कम होता है।
यदि एक चतुर्भुज के चारों कोण न्यूनकोण हों,तो प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ से कम होगा।
परिणामस्वरूप,इन चारों कोणों का योग $90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ से कम होगा।
हालाँकि,चतुर्भुज के अंतःकोणों का योग हमेशा $360^{\circ}$ होता है।
इसलिए,यह असंभव है कि चतुर्भुज के सभी चारों कोण न्यूनकोण हों।

(A) हाँ,एक चतुर्भुज के सभी कोण समकोण हो सकते हैं।
चतुर्भुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,इसके सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
यदि प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ है,तो चारों कोणों का योग $90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ होता है।
चूँकि यह कोण योग गुणधर्म को संतुष्ट करता है,इसलिए एक चतुर्भुज के सभी कोण समकोण हो सकते हैं (उदाहरण के लिए,एक आयत या एक वर्ग)।

(A) माना चतुर्भुज के कोण $3x, 4x, 4x$ और $7x$ हैं।
चतुर्भुज के सभी कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$3x + 4x + 4x + 7x = 360^{\circ}$।
$18x = 360^{\circ}$।
$x = \frac{360^{\circ}}{18} = 20^{\circ}$।
अब,प्रत्येक कोण का मान ज्ञात करते हैं:
पहला कोण $= 3 \times 20^{\circ} = 60^{\circ}$।
दूसरा कोण $= 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$।
तीसरा कोण $= 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$।
चौथा कोण $= 7 \times 20^{\circ} = 140^{\circ}$।
अतः,चतुर्भुज के कोण $60^{\circ}, 80^{\circ}, 80^{\circ}$ और $140^{\circ}$ हैं।

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$X$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $Y$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
$1$. चूँकि $AD \parallel BC$ और $AD = BC$ है,इसलिए $DX \parallel BY$ और $DX = BY$ होगा (क्योंकि $X$ और $Y$ मध्य-बिंदु हैं)।
$2$. अतः,$XBYD$ एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है।
$3$. इसका अर्थ है कि $PX \parallel QD$ और $PY \parallel BQ$ है।
$4$. $\triangle AQD$ में,$X$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $XP \parallel QD$ है। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$P$,$AQ$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$AP = PQ$ है।
$5$. $\triangle CPB$ में,$Y$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $YQ \parallel PB$ है। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$Q$,$PC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$PQ = QC$ है।
$6$. उपरोक्त दो परिणामों से,हमें $AP = PQ = QC$ प्राप्त होता है।

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जहाँ $AX$,$\angle A$ का समद्विभाजक है और $CY$,$\angle C$ का समद्विभाजक है।
$1$. चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$\angle A = \angle C$ (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$2$. दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \angle C$ प्राप्त होता है।
$3$. चूँकि $AX$ और $CY$ समद्विभाजक हैं,इसका अर्थ है कि $\angle XAB = \angle YCD$ है।
$4$. साथ ही,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB \parallel DC$ है। इसलिए,$\angle XAB = \angle AXC$ (एकांतर अंतःकोण)।
$5$. चरण $3$ और $4$ से,$\angle AXC = \angle YCD$ प्राप्त होता है।
$6$. चूँकि ये रेखाओं $AX$ और $CY$ के लिए तिर्यक रेखा $DC$ के साथ संगत कोण हैं,इसलिए $AX \parallel CY$ है।

(B) चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
माना कि शेष तीन बराबर कोणों में से प्रत्येक का मान $x^{\circ}$ है।
दिया गया है कि एक कोण $108^{\circ}$ है,इसलिए हम समीकरण लिख सकते हैं:
$108^{\circ} + x + x + x = 360^{\circ}$
$108^{\circ} + 3x = 360^{\circ}$
$3x = 360^{\circ} - 108^{\circ}$
$3x = 252^{\circ}$
$x = 252^{\circ} / 3$
$x = 84^{\circ}$
अतः,प्रत्येक बराबर कोण का मान $84^{\circ}$ है।

(N/A) $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है।
चूँकि $AB \parallel DC$ है और $AD$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
$\angle A = 45^{\circ}$ का मान रखने पर:
$45^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$
$\angle D = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$।
इसी प्रकार,चूँकि $AB \parallel DC$ है और $BC$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
$\angle B = 45^{\circ}$ का मान रखने पर:
$45^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle C = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle C = 135^{\circ}$ और $\angle D = 135^{\circ}$ हैं।

(N/A) माना समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है। माना $DP \perp AB$ और $DQ \perp BC$ अधिक कोण $D$ से खींचे गए दो शीर्षलंब हैं।
चतुर्भुज $DPBQ$ में,आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
$\angle PDQ + \angle DPB + \angle B + \angle DQB = 360^{\circ}$
दिया है $\angle PDQ = 60^{\circ}$,$\angle DPB = 90^{\circ}$,और $\angle DQB = 90^{\circ}$।
$60^{\circ} + 90^{\circ} + \angle B + 90^{\circ} = 360^{\circ}$
$\angle B + 240^{\circ} = 360^{\circ}$
$\angle B = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}$।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle D = \angle B = 120^{\circ}$।
चूंकि क्रमागत आंतरिक कोण संपूरक होते हैं,इसलिए $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$।
$\angle A + 120^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle A = 60^{\circ}$।
चूंकि सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle C = \angle A = 60^{\circ}$।
अतः,समांतर चतुर्भुज के कोण $60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}$ हैं।

(A) माना $AB$ पर बिंदु $P$ इस प्रकार है कि $DP \perp AB$ है। दिया है कि $AP = PB$ है।
$\triangle APD$ और $\triangle BPD$ में:
$AP = PB$ (दिया है)
$\angle APD = \angle BPD = 90^{\circ}$ (लंब)
$PD = PD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\triangle APD \cong \triangle BPD$ है।
अतः,$AD = BD$ $(CPCT)$.
चूँकि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,इसलिए $AD = AB$ है। अतः,$AD = BD = AB$ है।
इसका अर्थ है कि $\triangle ABD$ एक समबाहु त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle DAB = 60^{\circ}$ है।
समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle BCD = 60^{\circ}$ है।
आसन्न कोण संपूरक होते हैं,इसलिए $\angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
इसी प्रकार,$\angle ADC = 120^{\circ}$ है।
समचतुर्भुज के कोण $60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}$ हैं।

(B) यहाँ $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $X$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
अब,$\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(AXCD) + \text{ar}(\triangle XBC) \dots(1)$
चूँकि समांतर चतुर्भुज का विकर्ण $AC$ उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए $\text{ar}(ABCD) = 2 \times \text{ar}(\triangle ABC) \dots(2)$
चूँकि $X$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\triangle ABC$ की माध्यिका $CX$ उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। अतः,$\text{ar}(\triangle XBC) = \frac{1}{2} \text{ar}(\triangle ABC) \dots(3)$
$(1)$ और $(3)$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$2 \times \text{ar}(\triangle ABC) = 24 + \frac{1}{2} \text{ar}(\triangle ABC)$
$2 \times \text{ar}(\triangle ABC) - \frac{1}{2} \text{ar}(\triangle ABC) = 24$
$\frac{3}{2} \text{ar}(\triangle ABC) = 24$
$\text{ar}(\triangle ABC) = \frac{24 \times 2}{3} = 16 \text{ cm}^2$.
चूँकि $16 \text{ cm}^2 \neq 24 \text{ cm}^2$,अतः दिया गया कथन असत्य है।

(A) समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}$.
माना कि एक समांतर भुजा की लंबाई $x \, cm$ है।
तब,दूसरी समांतर भुजा की लंबाई $(x + 4) \, cm$ होगी।
दिया गया है,$\text{क्षेत्रफल} = 475 \, cm^2$ और $\text{ऊँचाई} = 19 \, cm$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$475 = \frac{1}{2} \times (x + x + 4) \times 19$
$475 = \frac{1}{2} \times (2x + 4) \times 19$
$475 = (x + 2) \times 19$
$x + 2 = \frac{475}{19} = 25$
$x = 25 - 2 = 23 \, cm$.
अतः,दोनों समांतर भुजाओं की लंबाई $23 \, cm$ और $(23 + 4) \, cm$ अर्थात $23 \, cm$ और $27 \, cm$ है।

(B) आयताकार भूखंड की लंबाई $40 \, m$ और चौड़ाई $15 \, m$ है。
नियमों के अनुसार, आगे और पीछे के भाग में $3 \, m$ जगह और अन्य दोनों तरफ $2 \, m$ जगह छोड़नी आवश्यक है。
निर्माण क्षेत्र की नई लंबाई $= 40 - (3 + 3) = 40 - 6 = 34 \, m$.
निर्माण क्षेत्र की नई चौड़ाई $= 15 - (2 + 2) = 15 - 4 = 11 \, m$.
वह सबसे बड़ा क्षेत्रफल जहाँ घर का निर्माण किया जा सकता है $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 34 \, m \times 11 \, m = 374 \, m^2$.

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है: $AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)$।
उपपत्ति: $\triangle AOB$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय (triangle inequality theorem) के अनुसार (त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है),हमारे पास है:
$OA + OB > AB$ ... $(1)$
$\triangle BOC$ में,हमारे पास है:
$OB + OC > BC$ ... $(2)$
$\triangle COD$ में,हमारे पास है:
$OC + OD > CD$ ... $(3)$
$\triangle DOA$ में,हमारे पास है:
$OD + OA > DA$ ... $(4)$
समीकरण $(1), (2), (3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(OA + OB) + (OB + OC) + (OC + OD) + (OD + OA) > AB + BC + CD + DA$
$2(OA + OC) + 2(OB + OD) > AB + BC + CD + DA$
चूंकि $OA + OC = AC$ और $OB + OD = BD$,हम इन मानों को असमिका में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(AC) + 2(BD) > AB + BC + CD + DA$
$2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA$
अतः,$AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)$।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है। $E$ और $F$ विकर्ण $AC$ पर स्थित बिंदु हैं ताकि $AE = CF$ हो।
सिद्ध करना है: $BFDE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
उपपत्ति: मान लीजिए कि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए:
$OA = OC$ ... $(1)$
$OD = OB$ ... $(2)$
दिया है कि $AE = CF$ ... $(3)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$OA - AE = OC - CF$
$OE = OF$ ... $(4)$
अब,चतुर्भुज $BFDE$ में,विकर्ण $BD$ और $EF$ बिंदु $O$ पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (समीकरण $(2)$ और $(4)$ से)।
वह चतुर्भुज जिसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,एक समांतर चतुर्भुज होता है।
अतः,$BFDE$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ जिसमें $AB \parallel PQ$,$BC \parallel RQ$ और $CA \parallel PR$ है।
सिद्ध करना है: $BC = \frac{1}{2} QR$
उपपत्ति: चतुर्भुज $ARBC$ पर विचार करें।
चूँकि $AR \parallel BC$ (क्योंकि $RQ \parallel BC$) और $RB \parallel AC$ (क्योंकि $PR \parallel AC$),अतः $ARBC$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसलिए,$AR = BC$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं) ... $(1)$
अब,चतुर्भुज $ABCQ$ पर विचार करें।
चूँकि $AQ \parallel BC$ (क्योंकि $RQ \parallel BC$) और $QC \parallel AB$ (क्योंकि $QP \parallel AB$),अतः $ABCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसलिए,$AQ = BC$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं) ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AR + AQ = BC + BC$
$QR = 2BC$
$BC = \frac{1}{2} QR$
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\angle BAP = \angle DAP = \frac{1}{2} \angle A \quad \dots(1)$
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\angle A + \angle B = 180^{\circ} \quad \dots(2)$
[तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है]
$\triangle ABP$ में,$\angle BAP + \angle B + \angle APB = 180^{\circ}$
$(1)$ और $(2)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} \angle A + (180^{\circ} - \angle A) + \angle APB = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle APB = \frac{1}{2} \angle A \quad \dots(3)$
$(1)$ और $(3)$ से,हमें $\angle BAP = \angle APB$ प्राप्त होता है।
अतः,$BP = AB$ [समान कोणों की सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं]।
चूंकि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं,इसलिए $AD = BC.$
$\Rightarrow \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} BC = BP$ [चूंकि $P, BC$ का मध्य-बिंदु है]।
$\Rightarrow \frac{1}{2} AD = AB$ [चूंकि $BP = AB$]।
चूंकि $AB = CD$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं),इसलिए:
$\frac{1}{2} AD = CD \Rightarrow AD = 2 CD.$
इति सिद्धम्।

(N/A) हम दी गई शर्तों के अनुसार आकृति बनाते हैं।
यह दिया गया है कि $PQ = RS$ और $PQ \parallel RS$ है। इसलिए,$PQSR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$PR = QS$ और $PR \parallel QS$ ... $(1)$
अब,$PR \parallel QS$ है।
इसलिए,$\angle RPQ + \angle PQS = 180^{\circ}$ (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण)।
अर्थात,$\angle RPQ + \angle PQM + \angle MQS = 180^{\circ}$ ... $(2)$
साथ ही,$PN \parallel QM$ (रचना द्वारा)।
इसलिए,$\angle NPQ + \angle PQM = 180^{\circ}$ ... $(3)$
अर्थात,$\angle NPR + \angle RPQ + \angle PQM = 180^{\circ}$।
$(2)$ और $(3)$ की तुलना करने पर,हमें $\angle NPR = \angle MQS$ प्राप्त होता है ... $(4)$
इसी प्रकार,$\angle NRP = \angle MSQ$ ... $(5)$
इसलिए,$\Delta PNR \cong \Delta QMS$ [$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$(1)$,$(4)$ और $(5)$ का उपयोग करके]।
अतः,$PN = QM$ और $NR = MS$ ($CPCT$ द्वारा)।
चूंकि $PN = QM$ और $PN \parallel QM$ है,इसलिए $PQMN$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$MN = PQ$ और $NM \parallel PQ$।

(N/A) $ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसमें $AB = BC$ है। त्रिभुज $ABC$ में एक वर्ग $BFED$ इस प्रकार अंकित है कि $\angle B$ उभयनिष्ठ है और $\angle B = 90^{\circ}$ है।
$\triangle ADE$ और $\triangle EFC$ में,हमारे पास है:
$DE = EF$ (वर्ग की भुजाएँ समान होती हैं) ... $(1)$
$\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
चूँकि $\angle 1 = 90^{\circ}$ (वर्ग का कोण),इसलिए $\angle 2 = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ है।
इसी प्रकार,$\angle 4 = 90^{\circ}$ है।
अतः,$\angle 2 = \angle 4 = 90^{\circ}$ ... $(2)$
चूँकि $AB = BC$ (दिया गया है),इसलिए $\angle A = \angle C$ ... $(3)$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं)।
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,$AAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\triangle ADE \cong \triangle EFC$ है।
अतः,$CPCT$ द्वारा $AE = EC$,जिसका अर्थ है कि $E$ कर्ण $AC$ को समद्विभाजित करता है।

(D) $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,जिसमें $AB = 10 \, cm$ और $AD = 6 \, cm$ है। $\angle A$ का समद्विभाजक $DC$ से $E$ पर मिलता है। $AE$ और $BC$ को बढ़ाने पर वे $F$ पर मिलते हैं।
चूंकि $AE$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BAE = \angle EAD \quad \dots(1)$.
चूंकि $AD \parallel BC$ और $AF$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle EAD = \angle EFB$ (एकांतर अंतःकोण) $\dots(2)$.
$(1)$ और $(2)$ से,$\angle BAE = \angle EFB$.
$\triangle ABF$ में,चूंकि $\angle BAE = \angle EFB$,इसलिए इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,अतः $BF = AB$.
दिया गया है कि $AB = 10 \, cm$,इसलिए $BF = 10 \, cm$.
हम जानते हैं कि $BF = BC + CF$। चूंकि $BC = AD = 6 \, cm$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं),
$10 \, cm = 6 \, cm + CF$.
$CF = 10 \, cm - 6 \, cm = 4 \, cm$.

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AC \perp BD$ है और $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक आयत है।
उपपत्ति: $\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC \dots(1)$
$\Delta ADC$ में,$R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $CD$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ प्राप्त होता है।
चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
माना $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। माना $PQ, BD$ को $E$ पर और $PS, AC$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करता है।
चूंकि $PQ \parallel AC$,इसलिए $PE \parallel OG$ है।
चूंकि $PS \parallel BD$,इसलिए $PG \parallel OE$ है।
अतः,$PGOE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूंकि $AC \perp BD$,इसलिए $\angle EOG = 90^{\circ}$ है।
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle GPE = \angle EOG = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $PQRS$ एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $PQRS$ एक आयत है।

(N/A) दिया है: एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $P$ और $Q$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। $AQ$,$DP$ को $S$ पर प्रतिच्छेद करता है और $BQ$,$CP$ को $R$ पर प्रतिच्छेद करता है।
सिद्ध करना है: $PRQS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
उपपत्ति: चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $DC \parallel AB$ और $DC = AB$ है।
चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$CD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AP = \frac{1}{2} AB$ और $QC = \frac{1}{2} CD$ है।
चूँकि $AB = CD$ है,इसलिए $AP = QC$ है।
साथ ही,$AB \parallel DC$ होने के कारण $AP \parallel QC$ है।
चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म ($AP$ और $QC$) बराबर और समांतर है,इसलिए $APCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$AQ \parallel PC$,जिसका अर्थ है कि $SQ \parallel PR$ है।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $APQD$ एक समांतर चतुर्भुज है ($AP \parallel DQ$ और $AP = DQ$ होने के कारण),जिसका अर्थ है कि $AQ \parallel DP$ है। साथ ही,$PBCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है ($PB \parallel QC$ और $PB = QC$ होने के कारण),जिसका अर्थ है कि $BQ \parallel CP$ है।
चतुर्भुज $PRQS$ में,हमारे पास $SQ \parallel PR$ ($AQ \parallel PC$ से) और $SP \parallel QR$ ($DP \parallel BQ$ से) है।
चूँकि सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं,इसलिए $PRQS$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AB \parallel CD$ और $AD = BC$ है।
सिद्ध करना है: $\angle A = \angle B$ और $\angle C = \angle D$ है।
रचना: $DP \perp AB$ और $CQ \perp AB$ खींचिए।
उपपत्ति: $\triangle APD$ और $\triangle BQC$ में,हमारे पास है:
$\angle 1 = \angle 2 = 90^{\circ}$ (रचना से)
$AD = BC$ (दिया है)
$DP = CQ$ (समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होती है)
$RHS$ सर्वांगसमता नियम से,हमारे पास है:
$\triangle APD \cong \triangle BQC$ ($CPCT$ द्वारा)
$\therefore \angle A = \angle B$
अब,चूँकि $DC \parallel AB$:
$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)
$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)
चूँकि $\angle A = \angle B$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - \angle B$
$\Rightarrow \angle D = \angle C$
अतः,सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: $AB \parallel DE$,$AB = DE$,$AC \parallel DF$ और $AC = DF$ है।
सिद्ध करना है: $BC \parallel EF$ और $BC = EF$ है।
उपपत्ति:
$1$. चतुर्भुज $ACFD$ में,हमें $AC \parallel DF$ और $AC = DF$ दिया गया है। चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $ACFD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$AD \parallel CF$ और $AD = CF$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं)।
$2$. चतुर्भुज $ABED$ में,हमें $AB \parallel DE$ और $AB = DE$ दिया गया है। इसलिए,$ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$AD \parallel BE$ और $AD = BE$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं)।
$3$. उपरोक्त परिणामों से,हमारे पास $CF \parallel AD$ और $BE \parallel AD$ है। इसका अर्थ है कि $CF \parallel BE$ है।
साथ ही,$CF = AD$ और $BE = AD$ है। इसका अर्थ है कि $CF = BE$ है।
$4$. चतुर्भुज $BCFE$ में,हमारे पास $CF \parallel BE$ और $CF = BE$ है। इसलिए,$BCFE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$BC \parallel EF$ और $BC = EF$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं)।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें कोण $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ के समद्विभाजक बिंदुओं $P, Q, R, S$ पर प्रतिच्छेद करते हैं और एक चतुर्भुज $PQRS$ बनाते हैं।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक आयत है।
उपपत्ति: चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AB \parallel DC$ है।
चूंकि $AB \parallel DC$ और तिर्यक रेखा $AD$ उन्हें क्रमशः $A$ और $D$ पर प्रतिच्छेद करती है,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle D = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $AS$ और $DS$ क्रमशः $\angle A$ और $\angle D$ के समद्विभाजक हैं,इसलिए $\angle DAS + \angle ADS = 90^{\circ} \quad \dots(1)$।
$\triangle DAS$ में,त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,$\angle DAS + \angle ADS + \angle ASD = 180^{\circ}$।
इसमें $(1)$ का मान रखने पर,$90^{\circ} + \angle ASD = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\angle ASD = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle PSR$ और $\angle ASD$ शीर्षाभिमुख कोण हैं,इसलिए $\angle PSR = \angle ASD = 90^{\circ}$।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\angle SRQ = 90^{\circ}$,$\angle RQP = 90^{\circ}$ और $\angle SPQ = 90^{\circ}$।
चूंकि चतुर्भुज $PQRS$ के सभी कोण $90^{\circ}$ हैं,इसलिए $PQRS$ एक आयत है।

(N/A) $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। इसके विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को $O$ पर समद्विभाजित करते हैं। $PQ$ इसके विकर्णों $AC$ और $BD$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $O$ से होकर गुजरता है।
$\triangle AOP$ और $\triangle COQ$ में,हमारे पास है:
$\angle 3 = \angle 4$ [एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AD \parallel BC$]
$OA = OC$ [समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं]
$\angle 1 = \angle 2$ [शीर्षाभिमुख कोण]
अतः,$\triangle AOP \cong \triangle COQ$ [$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसलिए,$OP = OQ$ [$CPCT$]
अतः,$PQ$,$O$ पर समद्विभाजित होता है।

(N/A) दिया है: एक आयत $ABCD$ जिसमें विकर्ण $BD$,$\angle B$ को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है: $ABCD$ एक वर्ग है।
उपपत्ति: $DC \parallel AB$ [क्योंकि आयत की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं]।
$\Rightarrow \angle 4 = \angle 1$ ... $(1)$ [एकांतर अंतःकोण]।
इसी प्रकार,$\angle 3 = \angle 2$ ... $(2)$ [एकांतर अंतःकोण]।
और $\angle 1 = \angle 2$ ... $(3)$ [दिया है,क्योंकि $BD$,$\angle B$ को समद्विभाजित करता है]।
समीकरण $(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है $\angle 3 = \angle 4$।
$\triangle ABD$ और $\triangle CBD$ में,हमारे पास है:
$\angle 1 = \angle 2$ [दिया है]
$BD = BD$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$\angle 3 = \angle 4$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ABD \cong \triangle CBD$।
इसलिए,$AB = BC$ [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]।
चूँकि $ABCD$ एक आयत है जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर हैं,अतः $ABCD$ एक वर्ग है।
इति सिद्धम्।

(N/A) $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $P$,$CD$ का मध्य-बिंदु है। $C$ से होकर जाने वाली और $PA$ के समांतर रेखा $AB$ को $Q$ पर और $DA$ को बढ़ाने पर $R$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$\Delta DCR$ में,$P$,$CD$ का मध्य-बिंदु है और $AP \parallel CR$ है (क्योंकि $AP \parallel CQ$ और $Q$,$CR$ पर स्थित है)।
अतः,मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा,$A$,$DR$ का मध्य-बिंदु है,जिसका अर्थ है कि $DA = AR$ है।
अब,$\Delta ARQ$ और $\Delta BCQ$ पर विचार करें:
$1$. $AR = BC$ (क्योंकि ऊपर सिद्ध किया गया है कि $AD = AR$ है,और समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ होने के कारण $AD = BC$ है)।
$2$. $\angle 1 = \angle 2$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$3$. $\angle 3 = \angle 4$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DC$ और $RC$ एक तिर्यक रेखा है)।
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta ARQ \cong \Delta BCQ$ है।
इस प्रकार,$CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा $CQ = QR$ है।
अतः,$DA = AR$ और $CQ = QR$ सिद्ध हुआ।

(N/A) मान लीजिए $ABCD$ एक उत्तल चतुर्भुज है।
एक विकर्ण $AC$ खींचिए जो चतुर्भुज को दो त्रिभुजों,$\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में विभाजित करता है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\triangle ABC$ के लिए,$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}$ (समीकरण $1$)।
$\triangle ADC$ के लिए,$\angle DAC + \angle ADC + \angle DCA = 180^{\circ}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\angle BAC + \angle DAC) + \angle ABC + \angle ADC + (\angle BCA + \angle DCA) = 180^{\circ} + 180^{\circ}$।
आकृति से,$\angle BAC + \angle DAC = \angle A$ और $\angle BCA + \angle DCA = \angle C$ है।
अतः,$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$।
इस प्रकार,एक उत्तल चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।

(N/A) एक त्रिभुज में,किन्हीं दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्णों द्वारा निर्मित त्रिभुजों पर विचार करें:
$1$. $\triangle ABC$ में,$AB + BC > AC$ (समीकरण $1$)।
$2$. $\triangle ADC$ में,$AD + CD > AC$ (समीकरण $2$)।
$3$. $\triangle ABD$ में,$AB + AD > BD$ (समीकरण $3$)।
$4$. $\triangle BCD$ में,$BC + CD > BD$ (समीकरण $4$)।
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $(AB + BC + AD + CD) > 2AC$ प्राप्त होता है।
समीकरण $3$ और $4$ को जोड़ने पर: $(AB + AD + BC + CD) > 2BD$ प्राप्त होता है।
इन दोनों परिणामी असमिकाओं को जोड़ने पर: $2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $AB + BC + CD + DA > AC + BD$।

(N/A) माना $O$ विकर्णों $AC$ और $BD$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$\triangle ABC$ में,त्रिभुज असमिका के अनुसार,$AB + BC > AC$.
$\triangle ADC$ में,त्रिभुज असमिका के अनुसार,$CD + DA > AC$.
इन दोनों असमिकाओं को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है: $(AB + BC + CD + DA) > 2AC$.
इसी प्रकार,$\triangle ABD$ में,$AB + AD > BD$.
$\triangle BCD$ में,$BC + CD > BD$.
इन दोनों असमिकाओं को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है: $(AB + AD + BC + CD) > 2BD$.
अब,प्रतिच्छेदन बिंदु $O$ द्वारा निर्मित त्रिभुजों पर विचार करें:
$\triangle OAB$ में,$AB < OA + OB$.
$\triangle OBC$ में,$BC < OB + OC$.
$\triangle OCD$ में,$CD < OC + OD$.
$\triangle ODA$ में,$DA < OD + OA$.
इन चार असमिकाओं को जोड़ने पर: $AB + BC + CD + DA < 2(OA + OB + OC + OD)$.
चूंकि $OA + OC = AC$ और $OB + OD = BD$,इसलिए $AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)$.

(N/A) दिया है : एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें क्रमागत कोणों $A$ और $B$ के समद्विभाजक $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है : $\angle APB = 90^{\circ}$.
उपपत्ति : चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AD \parallel BC$ है।
अब,$AD \parallel BC$ और तिर्यक रेखा $AB$ उन्हें काटती है। अतः,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)।
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = 90^{\circ}$.
चूंकि $AP$,$\angle A$ का समद्विभाजक है और $BP$,$\angle B$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle PAB + \angle PBA = 90^{\circ}$ है।
$\Delta APB$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle PAB + \angle APB + \angle PBA = 180^{\circ}$.
मान रखने पर,$90^{\circ} + \angle APB = 180^{\circ}$.
अतः,$\angle APB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

(N/A) चतुर्भुज $PQRS$ में,सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle P + \angle Q + \angle R + \angle S = 360^{\circ}$।
$\triangle PMQ$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle PMQ + \angle MPQ + \angle MQP = 180^{\circ}$।
चूंकि $PM$ और $QM$ समद्विभाजक हैं,इसलिए $\angle MPQ = \frac{1}{2} \angle P$ और $\angle MQP = \frac{1}{2} \angle Q$ है।
इन मानों को त्रिभुज के समीकरण में रखने पर: $\angle PMQ + \frac{1}{2} \angle P + \frac{1}{2} \angle Q = 180^{\circ}$।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2 \angle PMQ + \angle P + \angle Q = 360^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चतुर्भुज के योग से,$\angle P + \angle Q = 360^{\circ} - (\angle R + \angle S)$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2 \angle PMQ + 360^{\circ} - (\angle R + \angle S) = 360^{\circ}$।
सरल करने पर,हमें $2 \angle PMQ = \angle R + \angle S$ प्राप्त होता है।

(A) माना चतुर्भुज के कोण $2x, 4x, 5x$ और $7x$ डिग्री हैं।
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$2x + 4x + 5x + 7x = 360^{\circ}$.
$18x = 360^{\circ}$.
$x = 20^{\circ}$.
अब,प्रत्येक कोण की गणना करने पर:
$\angle A = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
$\angle B = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$.
$\angle C = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$.
$\angle D = 7 \times 20^{\circ} = 140^{\circ}$.
चूंकि $\angle B + \angle C = 80^{\circ} + 100^{\circ} = 180^{\circ}$,भुजा $BC$ पर स्थित अंतःकोण संपूरक हैं,जिसका अर्थ है कि $AB \parallel CD$ है। जिस चतुर्भुज में भुजाओं का एक युग्म समांतर होता है,उसे समलंब चतुर्भुज (Trapezium) कहते हैं।

(A) माना चतुर्भुज के कोण क्रमशः $x, 4x, 2x$ और $2x$ हैं।
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के अंतःकोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
अतः,$x + 4x + 2x + 2x = 360^{\circ}$.
$9x = 360^{\circ}$.
$x = 360^{\circ} / 9 = 40^{\circ}$.
अब,प्रत्येक कोण की गणना करने पर:
$\angle A = x = 40^{\circ}$.
$\angle B = 4x = 4 \times 40^{\circ} = 160^{\circ}$.
$\angle C = 2x = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
$\angle D = 2x = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
इस प्रकार,कोण $40^{\circ}, 160^{\circ}, 80^{\circ}$ और $80^{\circ}$ हैं।