Mix Examples - Quadrilaterals Questions in Hindi

(B) $(1)$ सत्य: एक समचतुर्भुज में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। परिमाप $= 4 \times \text{भुजा} = 4 \times 12 \, \text{cm} = 48 \, \text{cm}$।
$(2)$ असत्य: वर्ग $PQRS$ में, विकर्ण $PR = s\sqrt{2}$ होता है, जहाँ $s$ भुजा की लंबाई है। दिया गया है $PR = 8 \, \text{cm}$, अतः $s\sqrt{2} = 8 \implies s = 8 / \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \, \text{cm}$। परिमाप $4s = 4 \times 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \, \text{cm}$ है, जो कि $32 \, \text{cm}$ नहीं है।

(A) $(1)$ असत्य। समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,भुजाएँ $AB$ और $BC$ आसन्न भुजाएँ हैं। विकर्ण $AC$ एक त्रिभुज $ABC$ बनाता है। त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए। यहाँ,$AB + BC = 12 + 5 = 17 \text{ cm}$,जो $AC = 13 \text{ cm}$ से अधिक है। हालाँकि,ऐसी कोई शर्त नहीं है कि $ABCD$ एक आयत ही हो। यदि यह एक आयत होता,तो $AC = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 \text{ cm}$ होता। चूँकि यह केवल एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए कोण $\angle B$ के आधार पर $AC$ का मान अलग-अलग हो सकता है। अतः,यह कथन सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है।
$(2)$ असत्य। एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में जहाँ $AB \parallel CD$ है,समांतर भुजाओं (आधारों) का बराबर होना आवश्यक नहीं है। यदि समांतर भुजाएँ बराबर होतीं,तो वह एक समांतर चतुर्भुज बन जाता,न कि केवल एक समलंब चतुर्भुज।

(D) समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी चारों भुजाएँ लंबाई में समान होती हैं।
दिया गया है कि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,इसलिए सभी भुजाएँ समान हैं,अर्थात $AB = BC = CD = DA = 13 \text{ cm}$।
समचतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{परिमाप} = 4 \times \text{भुजा की लंबाई}$।
दी गई मान को रखने पर: $\text{परिमाप} = 4 \times 13 \text{ cm} = 52 \text{ cm}$।
अतः,$ABCD$ का परिमाप $52 \text{ cm}$ है।

(B) समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण $PR$ और $QS$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
इसलिए,$PO = \frac{PR}{2} = \frac{40}{2} = 20 \, cm$।
और $QO = \frac{QS}{2} = \frac{42}{2} = 21 \, cm$।
समकोण त्रिभुज $\triangle POQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PQ^2 = PO^2 + QO^2$
$PQ^2 = 20^2 + 21^2$
$PQ^2 = 400 + 441$
$PQ^2 = 841$
$PQ = \sqrt{841} = 29 \, cm$।

(B) समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,हमें दिया गया है कि $AB \parallel CD$ है।
चूँकि $AB \parallel CD$,समांतर रेखाओं के बीच के क्रमागत अंतःकोण संपूरक होते हैं।
इसलिए,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = 70^{\circ}$,अतः $70^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$।
इस प्रकार,$\angle D = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$।

(A) आयत $PQRS$ में,सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए,$PQ = RS$ और $QR = PS$ है।
दिए गए अनुपात $PQ : QR = 3 : 5$ के अनुसार,मान लीजिए $PQ = 3x$ और $QR = 5x$ है।
चूँकि $PQ = RS$,इसलिए $RS = 3x$ होगा।
आयत का परिमाप $2 \times (\text{लंबाई }+ \text{चौड़ाई}) = 40\, cm$ होता है।
मान रखने पर: $2 \times (3x + 5x) = 40$.
$2 \times (8x) = 40$.
$16x = 40$.
$x = 40 / 16 = 2.5$.
अब,$RS = 3x = 3 \times 2.5 = 7.5\, cm$ प्राप्त होता है।

(A) $(1)$ चतुर्भुज चार बिंदुओं को क्रम में जोड़ने से बनी एक बंद समतलीय आकृति है,जिसमें कोई भी तीन बिंदु संरेख नहीं होते हैं। अतः,रिक्त स्थान में आने वाला शब्द $\text{बंद}$ (closed) है।
$(2)$ एक चतुर्भुज में चार भुजाएँ होती हैं। वे भुजाएँ जो एक उभयनिष्ठ शीर्ष साझा नहीं करती हैं,उन्हें सम्मुख भुजाएँ कहा जाता है। सम्मुख भुजाओं के ऐसे दो युग्म होते हैं। अतः,रिक्त स्थान में आने वाला शब्द $\text{दो}$ (two) है।

(N/A) $(1)$ एक चतुर्भुज में $4$ क्रमागत कोणों के युग्म होते हैं। चतुर्भुज $ABCD$ में,ये युग्म $(A, B), (B, C), (C, D),$ और $(D, A)$ हैं।
$(2)$ एक चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है। यह बहुभुज के कोण योग गुणधर्म से प्राप्त होता है,जहाँ आंतरिक कोणों का योग $(n - 2) \times 180^{\circ}$ होता है। चतुर्भुज के लिए,$n = 4$ है,इसलिए $(4 - 2) \times 180^{\circ} = 2 \times 180^{\circ} = 360^{\circ}$ होता है।

(N/A) $(1)$ एक चतुर्भुज जिसमें सम्मुख भुजाओं का केवल एक युग्म समांतर होता है,उसे समलंब चतुर्भुज (trapezium) कहते हैं।
$(2)$ एक आयत के विकर्ण लंबाई में समान होते हैं।

(B) एक चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा $360^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $100^{\circ} + 80^{\circ} + 120^{\circ} + \angle D = 360^{\circ}$।
ज्ञात कोणों का योग करने पर: $300^{\circ} + \angle D = 360^{\circ}$।
अतः,$\angle D = 360^{\circ} - 300^{\circ} = 60^{\circ}$।

(C) माना चतुर्भुज के कोण $3x$,$4x$,$6x$ और $5x$ हैं।
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^\circ$ होता है।
इसलिए,$3x + 4x + 6x + 5x = 360^\circ$.
$18x = 360^\circ$.
$x = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$.
अतः कोण इस प्रकार हैं:
$3 \times 20^\circ = 60^\circ$
$4 \times 20^\circ = 80^\circ$
$6 \times 20^\circ = 120^\circ$
$5 \times 20^\circ = 100^\circ$.
सबसे बड़ा कोण $120^\circ$ है।

(C) आयत का परिमाप $P = 2(l + w)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लंबाई है और $w$ चौड़ाई है।
यहाँ,$l = AB$ और $w = BC$ है।
दिया गया है कि $AB : BC = 5 : 3$,इसलिए मान लीजिए $AB = 5x$ और $BC = 3x$ है।
परिमाप $112 \, cm$ है।
अतः,$2(5x + 3x) = 112$.
$2(8x) = 112$.
$16x = 112$.
$x = 112 / 16 = 7$.
इसलिए,$AB = 5x = 5 \times 7 = 35 \, cm$।

(N/A) $1$. एक समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,$O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है।
$2$. $\triangle ADC$ पर विचार करें। चूँकि $O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $DO$,$\triangle ADC$ की माध्यिका है।
$3$. त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
$4$. इसलिए,$ar(ADO) = ar(CDO)$।

(N/A) माना $ABCD$ एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
समचतुर्भुज के गुणों के अनुसार,इसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
अतः,$AC \perp BD$ और $AO = OC = \frac{1}{2} AC$,$BO = OD = \frac{1}{2} BD$.
समचतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ के क्षेत्रफलों का योग है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AC \times BO$.
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AC \times OD$.
कुल क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times BO + \frac{1}{2} \times AC \times OD = \frac{1}{2} \times AC \times (BO + OD)$.
चूँकि $BO + OD = BD$,इसलिए क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times BD$.
अतः,सिद्ध होता है कि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।

(N/A) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल विकर्ण $BD$ द्वारा दो त्रिभुजों,$\triangle ABD$ और $\triangle BCD$ के क्षेत्रफलों के योग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।
$\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(\triangle ABD) + \operatorname{ar}(\triangle BCD)$.
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।
$\triangle ABD$ के लिए,आधार $BD$ है और ऊँचाई $AM$ है। अतः,$\operatorname{ar}(\triangle ABD) = \frac{1}{2} \times BD \times AM$.
$\triangle BCD$ के लिए,आधार $BD$ है और ऊँचाई $CN$ है। अतः,$\operatorname{ar}(\triangle BCD) = \frac{1}{2} \times BD \times CN$.
इन मानों को पहले समीकरण में रखने पर:
$\operatorname{ar}(ABCD) = (\frac{1}{2} \times BD \times AM) + (\frac{1}{2} \times BD \times CN)$.
उभयनिष्ठ पद $\frac{1}{2} \times BD$ को कॉमन लेने पर:
$\operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \times BD \times (AM + CN)$.
इस प्रकार,चतुर्भुज का क्षेत्रफल सिद्ध होता है।

(D) वर्ग का परिमाप ज्ञात करने का सूत्र $P = 4 \times \text{भुजा}$ है।
यहाँ $P = 16 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $4 \times \text{भुजा} = 16 \, cm$ होगा।
अतः,भुजा की लंबाई $\text{भुजा} = \frac{16}{4} = 4 \, cm$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $ar(ABCD) = \text{भुजा}^2$ है।
इस प्रकार,$ar(ABCD) = 4^2 = 16 \, cm^2$ होगा।

(A) वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण $d$ की लंबाई का उपयोग करके निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times d^2$.
यहाँ विकर्ण $AC = 16 \text{ cm}$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (16)^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 256$.
$\text{क्षेत्रफल} = 128 \text{ cm}^2$.
अतः,वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $128 \text{ cm}^2$ है।

(C) आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\operatorname{ar}(PQRS) = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$.
आयत $PQRS$ में,भुजाएँ $PQ$ और $SP$ हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(PQRS) = PQ \times SP$.
दिया गया है कि $\operatorname{ar}(PQRS) = 300 \, cm^2$ और $PQ = 20 \, cm$.
मान रखने पर: $300 = 20 \times SP$.
$SP$ के लिए हल करने पर: $SP = \frac{300}{20} = 15 \, cm$.
इस प्रकार,$SP = 15 \, cm$।

(A) $1$. $\Delta PQR$ में,$PM$ एक माध्यिका है,इसलिए यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है: $\text{ar}(PQM) = \text{ar}(PRM) = \frac{1}{2} \text{ar}(PQR)$.
$2$. $\Delta PQM$ में,$QN$ एक माध्यिका है क्योंकि $N, PM$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$\text{ar}(PQN) = \text{ar}(QNM) = \frac{1}{2} \text{ar}(PQM)$.
$3$. दिया गया है कि $\text{ar}(PQN) = 36 \text{ cm}^2$,अतः $\text{ar}(PQM) = 2 \times \text{ar}(PQN) = 2 \times 36 = 72 \text{ cm}^2$.
$4$. चूंकि $\text{ar}(PQM) = \frac{1}{2} \text{ar}(PQR)$,इसलिए $\text{ar}(PQR) = 2 \times \text{ar}(PQM) = 2 \times 72 = 144 \text{ cm}^2$.

(A) चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसे एक विकर्ण द्वारा दो त्रिभुजों में विभाजित करके ज्ञात किया जा सकता है।
$ar(ABCD) = ar(\triangle ABC) + ar(\triangle ADC)$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
$\triangle ABC$ के लिए,आधार $AC = 18 \, cm$ और ऊंचाई $BM = 10 \, cm$ है।
$ar(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times 18 \times 10 = 90 \, cm^2$.
$\triangle ADC$ के लिए,आधार $AC = 18 \, cm$ और ऊंचाई $DN = 6 \, cm$ है।
$ar(\triangle ADC) = \frac{1}{2} \times 18 \times 6 = 54 \, cm^2$.
अतः,$ar(ABCD) = 90 + 54 = 144 \, cm^2$.

(D) आयत के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$.
यहाँ $AB = 12 \, cm$ (लंबाई) और $BC = 7 \, cm$ (चौड़ाई) दिया गया है।
अतः,$\text{Area}(ABCD) = 12 \, cm \times 7 \, cm = 84 \, cm^2$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(A) वर्ग एक चतुर्भुज होता है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं और प्रत्येक आंतरिक कोण $90^\circ$ का होता है।
यहाँ दिया गया है कि $XYZW$ एक वर्ग है और भुजा की लंबाई $XY = 17 \text{ cm}$ है।
वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र $(\text{भुजा})^2$ होता है।
क्षेत्रफल $= (XY)^2 = 17^2 = 289 \text{ cm}^2$.
अतः,$XYZW$ का क्षेत्रफल $289 \text{ cm}^2$ है।

(B) माना कि वर्ग $ABCD$ की भुजा $a \, cm$ है।
एक वर्ग में,विकर्ण $d$ और भुजा $a$ के बीच का संबंध $d = a\sqrt{2}$ होता है।
दिया गया है कि विकर्ण $AC = 16 \, cm$,इसलिए $a\sqrt{2} = 16$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $2a^2 = 16^2 = 256$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,$a^2 = 128$ प्राप्त होता है।
वर्ग का क्षेत्रफल $a^2$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
अतः,वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $= 128 \, cm^2$ है।

(C) समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$,जहाँ $d_1$ और $d_2$ विकर्णों की लंबाई हैं।
यहाँ,$d_1 = AC = 16 \, cm$ और $d_2 = BD = 30 \, cm$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 16 \times 30$
$\text{क्षेत्रफल} = 8 \times 30 = 240 \, cm^2$.
अतः,समचतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $240 \, cm^2$ है।

(D) $1$. समचतुर्भुज का परिमाप $680 \, m$ है। चूँकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं,इसलिए भुजा की लंबाई $a = 680 / 4 = 170 \, m$ है।
$2$. मान लीजिए विकर्ण $d_1 = 300 \, m$ और $d_2$ हैं। समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
$3$. समचतुर्भुज की भुजाओं और विकर्णों के आधे भाग द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज पर विचार करने पर,हमें $(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
$4$. मान रखने पर: $(300/2)^2 + (d_2/2)^2 = 170^2$,जिससे $150^2 + (d_2/2)^2 = 28900$ प्राप्त होता है।
$5$. $22500 + (d_2/2)^2 = 28900$,अतः $(d_2/2)^2 = 6400$,जिसका अर्थ है $d_2/2 = 80 \, m$।
$6$. इस प्रकार,$d_2 = 160 \, m$।
$7$. समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $(1/2) \times d_1 \times d_2 = (1/2) \times 300 \times 160 = 24000 \, m^2$ है।

(A) $(1)$ सत्य: $a$ भुजा वाले वर्ग के विकर्ण $d$ का सूत्र $d = a \sqrt{2}$ होता है। $a = 20 \, cm$ के लिए,$d = 20 \sqrt{2} \, cm$ होगा। अतः,यह कथन सत्य है।
$(2)$ असत्य: $a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है। यदि भुजा को दोगुना $(a' = 2a)$ कर दिया जाए,तो नया क्षेत्रफल $A'$ होगा $A' = \frac{\sqrt{3}}{4} (2a)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4a^2) = 4 \times A$। क्षेत्रफल मूल क्षेत्रफल का $4$ गुना हो जाता है,न कि दोगुना।

(B) माना कि वर्ग $PQRS$ की भुजा $a \, cm$ है।
एक वर्ग में,विकर्ण $d$ और भुजा $a$ के बीच का संबंध $d = a\sqrt{2}$ होता है।
यहाँ विकर्ण $PR = 10 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $a\sqrt{2} = 10$ है।
$a$ का मान निकालने पर,$a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \, cm$ प्राप्त होता है।
वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{Area} = a^2$ है।
$a$ का मान रखने पर,$\text{Area} = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50 \, cm^2$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,वर्ग का क्षेत्रफल विकर्ण $d$ का उपयोग करके $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d^2$ सूत्र द्वारा भी निकाला जा सकता है।
$d = 10 \, cm$ रखने पर,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 100 = 50 \, cm^2$ होता है।

(C) चतुर्भुज का क्षेत्रफल एक विकर्ण का उपयोग करके उसे दो त्रिभुजों में विभाजित करके ज्ञात किया जा सकता है।
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \text{Area}(\triangle ABC) + \text{Area}(\triangle ADC)$।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 20 \times 8 = 80 \, cm^2$.
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 20 \times 12 = 120 \, cm^2$.
कुल क्षेत्रफल $= 80 + 120 = 200 \, cm^2$.

(D) माना समचतुर्भुज की भुजा $a$ है। चूंकि परिमाप $100\,cm$ है,इसलिए $4a = 100\,cm$,जिससे $a = 25\,cm$ प्राप्त होता है।
माना समचतुर्भुज के विकर्ण $d_1 = 48\,cm$ और $d_2$ हैं। समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
यह समचतुर्भुज की भुजा को कर्ण के रूप में और विकर्णों के आधे भाग को अन्य दो भुजाओं के रूप में लेकर एक समकोण त्रिभुज बनाता है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $(a)^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$.
मान रखने पर: $(25)^2 = (48/2)^2 + (d_2/2)^2$.
$625 = (24)^2 + (d_2/2)^2$.
$625 = 576 + (d_2/2)^2$.
$(d_2/2)^2 = 625 - 576 = 49$.
$d_2/2 = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$d_2 = 7 \times 2 = 14\,cm$.

(C) वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई को उसी से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इसलिए, वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = (\text{भुजा})^{2}$ है।

(A) आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,आयत का क्षेत्रफल $=$ $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$.

(A) समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$,जहाँ $d_1$ और $d_2$ समचतुर्भुज के दो विकर्णों की लंबाई हैं।
अतः,समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times$ इसके विकर्णों का गुणनफल होता है।

(B) वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई का उपयोग करके $Area = side^2$ के रूप में ज्ञात किया जा सकता है। हालाँकि,यदि विकर्ण $(d)$ की लंबाई दी गई है,तो क्षेत्रफल $Area = \frac{d^2}{2}$ के रूप में ज्ञात किया जाता है। इसलिए,रिक्त स्थान में आने वाला शब्द विकर्ण है।

(D) समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ है,जहाँ $d_1$ और $d_2$ विकर्णों की लंबाई हैं।
दिया गया है: $d_1 = 40 \, cm$ और $d_2 = 42 \, cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 40 \times 42$
$\text{Area} = 20 \times 42 = 840 \, cm^2$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना समचतुर्भुज के विकर्ण $d_1 = 16\,cm$ और $d_2 = 30\,cm$ हैं।
समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
माना समचतुर्भुज की भुजा $a$ है। विकर्ण समचतुर्भुज को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।
इन त्रिभुजों की भुजाएँ विकर्णों की लंबाई की आधी होती हैं: $d_1/2 = 8\,cm$ और $d_2/2 = 15\,cm$।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $a^2 = (8)^2 + (15)^2$।
$a^2 = 64 + 225 = 289$।
$a = \sqrt{289} = 17\,cm$।
समचतुर्भुज का परिमाप = $4 \times \text{भुजा} = 4 \times 17 = 68\,cm$।