Properties of a Parallelogram Questions in Gujarati

(N/A) $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને વિકર્ણ $AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\angle 1 = \angle 2$ $\dots(1)$ [$\because AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે]
$\angle 2 = \angle 4$ $\dots(2)$ [યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel DC$]
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle 1 = \angle 4$
હવે,$\triangle ABC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle 1 = \angle 4$ [ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ]
$BC = AB$ [$\because$ સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે]
વળી,$AB = DC$ અને $AD = BC$ [$\because$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે]
તેથી,$AB = BC = CD = AD$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,તે એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(C) જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો સમાન હોય તેને લંબચોરસ કહેવાય છે.
લંબચોરસના દરેક ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\angle PQR = 90^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$.
સાબિત કરવાનું છે: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નો વિકર્ણ,ધારો કે $AC$,તેને બે એકરૂપ ત્રિકોણો $ABC$ અને $CDA$ માં વિભાજિત કરે છે. એટલે કે,$\Delta ABC \cong \Delta CDA$.
રચના: $AC$ ને જોડો.
સાબિતી:
કારણ કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,
તેથી $AB \parallel CD$ અને $AD \parallel BC$.
હવે,$AD \parallel BC$ અને છેદિકા $AC$ તેમને અનુક્રમે $A$ અને $C$ માં છેદે છે.
તેથી,$\angle DAC = \angle BCA$ (યુગ્મકોણ)........$(1)$
ફરીથી,$AB \parallel DC$ અને છેદિકા $AC$ તેમને અનુક્રમે $A$ અને $C$ માં છેદે છે.
તેથી,$\angle BAC = \angle DCA$ (યુગ્મકોણ)........$(2)$
હવે,$\Delta ABC$ અને $\Delta CDA$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle BCA = \angle DAC$ [$(1)$ પરથી]
$AC = CA$ (સામાન્ય બાજુ)
$\angle BAC = \angle DCA$ [$(2)$ પરથી]
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,આપણને મળે છે:
$\Delta ABC \cong \Delta CDA$.

(A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,તેના અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\angle A : \angle B : \angle C : \angle D = 4 : 5 : 4 : 5$ છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $4x, 5x, 4x$ અને $5x$ છે.
ખૂણાઓનો સરવાળો: $4x + 5x + 4x + 5x = 360^{\circ}$.
$18x = 360^{\circ}$,જેથી $x = 20^{\circ}$ મળે.
તેથી,ખૂણાઓ નીચે મુજબ છે:
$\angle A = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$
$\angle B = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$
$\angle C = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$
$\angle D = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$
અહીં $\angle A = \angle C$ અને $\angle B = \angle D$ હોવાથી,સામસામેના ખૂણાઓની બંને જોડ સમાન છે.
તેથી,$ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક ચોરસ છે. આપણે સાબિત કરવું છે કે $AC = BD$,$OA = OC$,$OB = OD$ અને $\angle AOB = 90^{\circ}$.
$1$. વિકર્ણો સમાન છે તે સાબિત કરવા માટે: $\triangle ABC$ અને $\triangle BAD$ લો. આ ત્રિકોણોમાં,$AB = BA$ (સામાન્ય બાજુ),$BC = AD$ (ચોરસની બાજુઓ),અને $\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$. $SAS$ એકરૂપતા દ્વારા,$\triangle ABC \cong \triangle BAD$. તેથી,$AC = BD$ $(CPCT)$.
$2$. વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે તે સાબિત કરવા માટે: $\triangle OAB$ અને $\triangle OCD$ લો. અહીં,$\angle OAB = \angle OCD$ (યુગ્મકોણ),$\angle OBA = \angle ODC$ (યુગ્મકોણ),અને $AB = CD$ (ચોરસની બાજુઓ). $ASA$ એકરૂપતા દ્વારા,$\triangle OAB \cong \triangle OCD$. તેથી,$OA = OC$ અને $OB = OD$ $(CPCT)$.
$3$. વિકર્ણો કાટખૂણે છેદે છે તે સાબિત કરવા માટે: $\triangle OAB$ અને $\triangle OCB$ લો. અહીં,$OA = OC$ (ઉપર સાબિત કર્યું),$AB = CB$ (ચોરસની બાજુઓ),અને $OB = OB$ (સામાન્ય બાજુ). $SSS$ એકરૂપતા દ્વારા,$\triangle OAB \cong \triangle OCB$. તેથી,$\angle AOB = \angle COB$ $(CPCT)$. કારણ કે $\angle AOB + \angle COB = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા),$2 \angle AOB = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle AOB = 90^{\circ}$.

(N/A) $1$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં,$\angle P = \angle R$ (સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે) અને $PQ \parallel RS$ છે.
$2$. ધારો કે $\angle P$ નો દ્વિભાજક $PM$ છે અને $\angle R$ નો દ્વિભાજક $RN$ છે.
$3$. $PM$ એ $\angle P$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle SPM = \angle RPM = \frac{1}{2} \angle P$ થાય.
$4$. $RN$ એ $\angle R$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle QRN = \angle PRN = \frac{1}{2} \angle R$ થાય.
$5$. $\angle P = \angle R$ હોવાથી,$\frac{1}{2} \angle P = \frac{1}{2} \angle R$ થાય,તેથી $\angle RPM = \angle PRN$ મળે.
$6$. આ રેખાઓ $PM$ અને $RN$ માટે છેદિકા $PR$ દ્વારા બનતા યુગ્મકોણ છે. તેથી,$PM \parallel RN$ થાય.
$7$. વળી,$PQ \parallel RS$ હોવાથી $PN \parallel RM$ થાય (કારણ કે $N$ એ $PQ$ પર છે અને $M$ એ $RS$ પર છે).
$8$. સામસામેની બંને બાજુઓની જોડ સમાંતર હોવાથી ($PM \parallel RN$ અને $PN \parallel RM$),$PNRM$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં વિકર્ણ $PR$ એ $\angle P$ ને દુભાગે છે,એટલે કે $\angle SPR = \angle QPR$.
પગલું $1$: $PQRS$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$PS \parallel QR$ અને $PQ \parallel SR$ થાય.
પગલું $2$: $PS \parallel QR$ અને $PR$ છેદિકા હોવાથી,$\angle SPR = \angle PRQ$ (યુગ્મકોણ).
પગલું $3$: $PQ \parallel SR$ અને $PR$ છેદિકા હોવાથી,$\angle QPR = \angle PRS$ (યુગ્મકોણ).
પગલું $4$: $\angle SPR = \angle QPR$ આપેલ હોવાથી,$\angle PRQ = \angle PRS$ થાય. આમ,$PR$ એ $\angle R$ ને દુભાગે છે.
પગલું $5$: $\triangle PQR$ અને $\triangle PSR$ માં,$\angle QPR = \angle SPR$ અને $\angle PRQ = \angle PRS$ છે. $PR = PR$ (સામાન્ય બાજુ) હોવાથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ બંને ત્રિકોણ એકરૂપ છે.
પગલું $6$: $CPCT$ મુજબ,$PQ = PS$ થાય. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોવાથી,$PQRS$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,પાસપાસેના ખૂણાઓ પૂરક હોય છે,તેથી $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle A = \angle B + 50^{\circ}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\angle A$ ની કિંમત મૂકતા: $(\angle B + 50^{\circ}) + \angle B = 180^{\circ}$.
$2 \angle B + 50^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2 \angle B = 130^{\circ}$,જેથી $\angle B = 65^{\circ}$ મળે.
ત્યારબાદ,$\angle A = 65^{\circ} + 50^{\circ} = 115^{\circ}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી,$\angle C = \angle A = 115^{\circ}$ અને $\angle D = \angle B = 65^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $\angle A = 115^{\circ}, \angle B = 65^{\circ}, \angle C = 115^{\circ}, \angle D = 65^{\circ}$ છે.

(A) સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં જ્યાં $AB || CD$ છે,સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ અને $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(y + 60^{\circ}) + (3y - 80^{\circ}) = 180^{\circ} \implies 4y - 20^{\circ} = 180^{\circ} \implies 4y = 200^{\circ} \implies y = 50^{\circ}$.
$(x + 60^{\circ}) + (3x - 40^{\circ}) = 180^{\circ} \implies 4x + 20^{\circ} = 180^{\circ} \implies 4x = 160^{\circ} \implies x = 40^{\circ}$.
હવે,ખૂણાઓની ગણતરી કરતા:
$\angle A = 50^{\circ} + 60^{\circ} = 110^{\circ}$.
$\angle B = 40^{\circ} + 60^{\circ} = 100^{\circ}$.
$\angle C = 3(40^{\circ}) - 40^{\circ} = 120^{\circ} - 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
$\angle D = 3(50^{\circ}) - 80^{\circ} = 150^{\circ} - 80^{\circ} = 70^{\circ}$.

(N/A) $1$. $\triangle ABP$ અને $\triangle CDQ$ માં:
$AB = CD$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે).
$\angle BAP = \angle DCQ$ (યુગ્મકોણ, કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $AC$ છેદિકા છે).
$AP = CQ$ (આપેલ છે).
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ, $\triangle ABP \cong \triangle CDQ$.
તેથી, $BP = DQ$ અને $\angle ABP = \angle CDQ$.
$2$. $\triangle ADP$ અને $\triangle CBQ$ માં:
$AD = CB$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે).
$\angle DAP = \angle BCQ$ (યુગ્મકોણ, કારણ કે $AD \parallel BC$ અને $AC$ છેદિકા છે).
$AP = CQ$ (આપેલ છે).
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ, $\triangle ADP \cong \triangle CBQ$.
તેથી, $DP = BQ$ અને $\angle ADP = \angle CBQ$.
$3$. $BP = DQ$ અને $DP = BQ$ હોવાથી, ચતુષ્કોણ $PBQD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે (સામસામેની બાજુઓ સમાન છે).
તેથી, $BQ \parallel DP$.
$4$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PBQD$ માં, વિકર્ણો $BD$ અને $PQ$ એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી, $BD$ એ $PQ$ ને દુભાગે છે.

(A) ચતુષ્કોણ $AMCN$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $AM \perp BC$ અને $AN \perp CD$,તેથી $\angle AMC = 90^{\circ}$ અને $\angle ANC = 90^{\circ}$ થાય.
ચતુષ્કોણ $AMCN$ માં,$\angle MCN + \angle AMC + \angle ANC + \angle MAN = 360^{\circ}$.
$\angle C + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 60^{\circ} = 360^{\circ}$.
$\angle C + 240^{\circ} = 360^{\circ}$,તેથી $\angle C = 120^{\circ}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle A = \angle C = 120^{\circ}$.
પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે,તેથી $\angle B = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ અને $\angle D = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}$ છે.

(A) આ વિધાન ખરું છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ એવો ચતુષ્કોણ છે જેમાં ચારેય બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક મુખ્ય ગુણધર્મ એ છે કે તેના વિકર્ણો એકબીજાના લંબદ્વિભાજક હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિકર્ણો $90^{\circ}$ ના ખૂણે એકબીજાને છેદે છે અને એકબીજાના બે સમાન ભાગ કરે છે.

(D) સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,બધી બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $AB = AD$.
$AB = AD$ હોવાથી,$\triangle ABD$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,પાસપાસેના ખૂણાઓ પૂરક હોય છે,તેથી $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle B = 80^{\circ}$,તેથી $\angle A = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.
$\triangle ABD$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle A + \angle ADB + \angle ABD = 180^{\circ}$.
$AB = AD$ હોવાથી,પાયાના ખૂણાઓ સમાન હોય છે: $\angle ADB = \angle ABD$.
તેથી,$100^{\circ} + 2(\angle ADB) = 180^{\circ}$.
$2(\angle ADB) = 80^{\circ}$.
$\angle ADB = 40^{\circ}$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle A = \angle C$.
આપેલ છે કે $\angle A = 5x - 40^{\circ}$ અને $\angle C = 3x + 10^{\circ}$.
બંને પદોને સરખાવતા: $5x - 40 = 3x + 10$.
બંને બાજુથી $3x$ બાદ કરતા: $2x - 40 = 10$.
બંને બાજુ $40$ ઉમેરતા: $2x = 50$.
$2$ વડે ભાગતા: $x = 25$.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,પાસપાસેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^o$ થાય છે. તેથી,$\angle A + \angle B = 180^o$.
આપેલ છે કે $\angle A = 5 \angle B$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$5 \angle B + \angle B = 180^o$
$6 \angle B = 180^o$
$\angle B = 30^o$.
$\angle A = 5 \angle B$ હોવાથી,$\angle A = 5 \times 30^o = 150^o$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,તેથી $\angle C = \angle A$.
તેથી,$\angle C = 150^o$.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ એવો ચતુષ્કોણ છે કે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો મુજબ,વિકર્ણો $XZ$ અને $YW$ એકબીજાને લંબ હોય છે.
જેથી વિકર્ણો બિંદુ $P$ પર છેદે છે,તેથી છેદબિંદુ પાસે બનતો ખૂણો $\angle XPY$ એ $90^o$ થાય.
તેથી,$\angle XPY = 90^o$.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.
આનો અર્થ એ છે કે છેદબિંદુ $P$ એ બંને વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$BD = 2 \times PB$.
આપેલ છે કે $PB = 5.2 \, cm$,તેથી:
$BD = 2 \times 5.2 \, cm = 10.4 \, cm$.
આમ,વિકર્ણ $BD$ ની લંબાઈ $10.4 \, cm$ છે.

(A) સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,પાસપાસેના ખૂણાઓ પૂરક હોય છે,એટલે કે $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle A = \angle B - 30^{\circ}$,તેથી આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$(\angle B - 30^{\circ}) + \angle B = 180^{\circ}$
$2\angle B = 210^{\circ}$
$\angle B = 105^{\circ}$.
કારણ કે $\angle A = \angle B - 30^{\circ}$,તેથી $\angle A = 105^{\circ} - 30^{\circ} = 75^{\circ}$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,તેથી $\angle C = \angle A$.
તેથી,$\angle C = 75^{\circ}$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં,સામસામેની બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે.
તેથી,$PQ = RS = 8 \, \text{cm}$ અને $QR = PS = 5 \, \text{cm}$ થાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ એટલે તેની બધી બાજુઓનો સરવાળો.
પરિમિતિ $= PQ + QR + RS + PS$
પરિમિતિ $= 8 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm} = 26 \, \text{cm}$.
વૈકલ્પિક રીતે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $= 2 \times (\text{પાસપાસેની બાજુઓનો સરવાળો}) = 2 \times (PQ + QR) = 2 \times (8 + 5) = 2 \times 13 = 26 \, \text{cm}$.

(N/A) $(1)$ સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને લંબ હોય છે.
$(2)$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,પાસપાસેના ખૂણાઓ પૂરક હોય છે,એટલે કે તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle A = \angle B - 30^{\circ}$,તેથી આપણે $\angle B$ ને $\angle B = \angle A + 30^{\circ}$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમતને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\angle A + (\angle A + 30^{\circ}) = 180^{\circ}$.
$2\angle A + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2\angle A = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$.
$\angle A = 150^{\circ} / 2 = 75^{\circ}$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2(a + b)$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ એ પાસપાસેની બાજુઓની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે,$AB = 12.5 \, cm$ અને $BC = 7 \, cm$.
અહીં,$a = 12.5 \, cm$ અને $b = 7 \, cm$.
પરિમિતિ $P = 2(12.5 + 7) \, cm$.
$P = 2(19.5) \, cm$.
$P = 39 \, cm$.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની પરિમિતિ $39 \, cm$ છે.

(A) સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,બાજુઓ $AB$ અને $CD$ સમાંતર છે $(AB \parallel CD)$.
સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મો અનુસાર,સમાંતર રેખાઓની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ અને $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle A = 80^{\circ}$,તેથી આપણે $\angle D$ નીચે મુજબ શોધી શકીએ છીએ:
$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$
$80^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$
$\angle D = 180^{\circ} - 80^{\circ}$
$\angle D = 100^{\circ}$.

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને તે પાયાને અનુરૂપ વેધના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,ક્ષેત્રફળ પાયા $AB$ અને વેધ $DM$ નો ઉપયોગ કરીને અથવા પાયા $BC$ અને વેધ $DN$ નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.
તેથી,$\text{Area}(ABCD) = AB \times DM = BC \times DN$.
અહીં $AB = 12 \, cm$,$DM = 5 \, cm$,અને $DN = 6 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $12 \times 5 = BC \times 6$.
$60 = BC \times 6$.
$BC = \frac{60}{6} = 10 \, cm$.

(N/A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ}$.
પાયા $PQ = 15 \, cm$ અને વેધ $SM = 6 \, cm$ માટે,ક્ષેત્રફળ: $\text{ક્ષેત્રફળ} = 15 \times 6 = 90 \, cm^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $\text{ક્ષેત્રફળ} = QR \times SN$.
કિંમતો મૂકતા: $90 = QR \times 10$.
તેથી,$QR = \frac{90}{10} = 9 \, cm$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિનું સૂત્ર: $2 \times (\text{પાસપાસેની બાજુઓનો સરવાળો}) = 2 \times (PQ + QR)$.
પરિમિતિ $= 2 \times (15 + 9) = 2 \times 24 = 48 \, cm$.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ}$ છે.
પાયા $AB = 20 \, cm$ અને તેને અનુરૂપ વેધ $DX = 12 \, cm$ માટે,ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = AB \times DX = 20 \, cm \times 12 \, cm = 240 \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,પાયા $BC$ અને તેને અનુરૂપ વેધ $AY = 15 \, cm$ માટે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = BC \times AY = 240 \, cm^2$.
$BC \times 15 \, cm = 240 \, cm^2 \implies BC = \frac{240}{15} \, cm = 16 \, cm$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $2 \times (\text{પાસેની બાજુઓનો સરવાળો})$ છે.
$\text{પરિમિતિ} = 2 \times (AB + BC) = 2 \times (20 \, cm + 16 \, cm) = 2 \times 36 \, cm = 72 \, cm$.

(N/A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ}$.
પાયા $XY = 24 \, cm$ અને વેધ $WP = 6 \, cm$ માટે,ક્ષેત્રફળ: $\text{ક્ષેત્રફળ} = 24 \times 6 = 144 \, cm^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $\text{ક્ષેત્રફળ} = YZ \times WQ$.
અહીં $WQ = 8 \, cm$ આપેલ છે,તેથી: $144 = YZ \times 8$.
તેથી,$YZ = 144 / 8 = 18 \, cm$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિનું સૂત્ર: $2 \times (\text{પાસેની બાજુઓનો સરવાળો})$.
પરિમિતિ $= 2 \times (XY + YZ) = 2 \times (24 + 18) = 2 \times 42 = 84 \, cm$.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જ્યાં $E$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
ચૂંક $AB \parallel CD$ અને $AB = CD$ હોવાથી,$AE = EB = \frac{1}{2} AB$ અને $CF = FD = \frac{1}{2} CD$ થાય.
આમ,$AE = FC$ અને $AE \parallel FC$ હોવાથી,$AEFC$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બને છે.
તે જ રીતે,$EBFD$ પણ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે કારણ કે $EB = FD$ અને $EB \parallel FD$.
$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,બાજુઓ $AB$ અને $CD$ વચ્ચેની ઊંચાઈ $h$ સમાન રહે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AEFC$ નું ક્ષેત્રફળ $= AE \times h$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $EBFD$ નું ક્ષેત્રફળ $= EB \times h$ થાય.
$AE = EB$ હોવાથી,$\text{Area}(AEFC) = \text{Area}(EBFD)$ સાબિત થાય છે.
આમ,રેખાખંડ $EF$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં વિભાજિત કરે છે.

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,પાયો $AB = 15 \text{ cm}$ છે અને તેને અનુરૂપ વેધ $DM$ છે.
આપેલ છે કે,$\text{ar}(ABCD) = 360 \text{ cm}^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $360 = 15 \times DM$.
$DM$ શોધવા માટે,$360$ ને $15$ વડે ભાગતા: $DM = \frac{360}{15} = 24 \text{ cm}$.
તેથી,વેધ $DM$ ની લંબાઈ $24 \text{ cm}$ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણ $AC$ ચતુષ્કોણને બે ત્રિકોણ $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(ABC) = \operatorname{ar}(ADC)$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ આ બે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(ABC) + \operatorname{ar}(ADC)$.
અહીં $\operatorname{ar}(ABC) = 42 \, \text{cm}^2$ આપેલ છે,તેથી $\operatorname{ar}(ADC) = 42 \, \text{cm}^2$ થશે.
આમ,$\operatorname{ar}(ABCD) = 42 \, \text{cm}^2 + 42 \, \text{cm}^2 = 84 \, \text{cm}^2$.