Kinetic and Potential Energy Questions in Gujarati

(N/A) $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર: $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$(i)$ જો દળ બમણું કરવામાં આવે $(m' = 2m)$ અને વેગ અચળ રહે $(v' = v)$:
$K' = \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 2K$.
ગતિઊર્જા મૂળ મૂલ્ય કરતા બમણી થાય છે.
$(ii)$ જો વેગ બમણો કરવામાં આવે $(v' = 2v)$ અને દળ અચળ રહે $(m' = m)$:
$K' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 4K$.
ગતિઊર્જા મૂળ મૂલ્ય કરતા ચાર ગણી થાય છે.
$(iii)$ જો દળ બમણું કરવામાં આવે $(m' = 2m)$ અને વેગ અડધો કરવામાં આવે $(v' = v/2)$:
$K' = \frac{1}{2}(2m)(v/2)^2 = \frac{1}{2}(2m)(v^2/4) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}mv^2) = K/2$.
ગતિઊર્જા મૂળ મૂલ્ય કરતા અડધી થાય છે.

(B) વેગમાન $(p)$,દળ $(m)$ અને ગતિઊર્જા $(K)$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = \sqrt{2mK}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કારણ કે બંને પદાર્થો માટે ગતિઊર્જા $(K)$ સમાન છે,તેથી વેગમાન એ દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે $(p \propto \sqrt{m})$.
આથી,જે પદાર્થનું દળ વધારે છે (ભારે પદાર્થ),તેનું વેગમાન હલકા પદાર્થ કરતા વધારે હશે.

(A) ગતિઊર્જા $(K)$,વેગમાન $(p)$ અને દળ $(m)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કારણ કે બંને પદાર્થો માટે વેગમાન $(p)$ સમાન છે,તેથી ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(K \propto \frac{1}{m})$.
આથી,જે પદાર્થનું દળ ઓછું (હલકો પદાર્થ) હોય,તેનો છેદ નાનો હોવાથી તેની ગતિઊર્જાનું મૂલ્ય વધારે મળે છે.
આમ,હલકા પદાર્થની ગતિઊર્જા ભારે પદાર્થ કરતા વધારે હોય છે.

(B) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$1$. જો આપણે દળ બમણું કરીએ $(m' = 2m)$,તો નવી ગતિઊર્જા: $KE' = \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2 \times KE$ થાય. આમ,દળ બમણું કરવાથી ગતિઊર્જા બમણી થાય છે.
$2$. જો આપણે વેગ બમણો કરીએ $(v' = 2v)$,તો નવી ગતિઊર્જા: $KE'' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times KE$ થાય. આમ,વેગ બમણો કરવાથી ગતિઊર્જા ચાર ગણી થાય છે.
કારણ કે $4 \times KE > 2 \times KE$,તેથી વેગ બમણો કરવાથી પદાર્થની ગતિઊર્જા પર વધુ અસર થાય છે.

(B) જ્યારે પાણી અમુક ઊંચાઈ પર હોય છે,ત્યારે તેમાં ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા હોય છે.
જેમ પાણી નીચે પડે છે,તેમ આ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તળિયે પહોંચ્યા પછી,પાણીના અણુઓ એકબીજા સાથે અને ખડકો સાથે અથડાય છે,જેના કારણે આ ગતિઊર્જા ઉષ્મા ઊર્જામાં ફેરવાય છે.
પરિણામે,ધોધના તળિયે રહેલું પાણી ઉપરના પાણી કરતા ગરમ હોય છે.

(A) જ્યારે કોઈલ સ્પ્રિંગને દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી સ્થાનાંતરિત કરવા માટે બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બાહ્ય બળ દ્વારા સ્પ્રિંગ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જાના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}kx^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો અચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
જેમ જેમ સ્પ્રિંગ દબાય છે,તેમ સ્થાનાંતર $x$ વધે છે,જેના પરિણામે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(B) કોઈપણ પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = mgh$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $h$ એ સંદર્ભ સપાટી (જમીન) થી પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ છે.
વ્યક્તિ માટે $m$ અને $g$ અચળ હોવાથી,સ્થિતિ ઉર્જા સીધી રીતે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ $(h)$ પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે વ્યક્તિ જમીન પર સૂતેલો હોય છે,ત્યારે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની જમીનથી ઊંચાઈ ઉભા રહેવા,જમીન પર બેસવા અથવા ખુરશી પર બેસવાની સરખામણીમાં સૌથી ઓછી હોય છે.
તેથી,જ્યારે વ્યક્તિ જમીન પર સૂતેલો હોય ત્યારે તેની સ્થિતિ ઉર્જા ન્યૂનતમ હોય છે.

(D) $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર: $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે,તો નવો વેગ $v' = 2v$ થાય છે.
નવી ગતિઊર્જા $(K.E.')$ આ મુજબ થશે: $K.E.' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times (\frac{1}{2}mv^2)$.
તેથી,$K.E.' = 4 \times K.E.$
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે ઝડપ બમણી કરવામાં આવે ત્યારે ગતિઊર્જા $4$ ગણી વધે છે.

(A) જમીનથી $h$ ઊંચાઈએ રહેલા $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = mgh$ છે.
જ્યારે પથ્થર $d$ જેટલી ઊભી ઊંચાઈએથી નીચે પડે છે,ત્યારે તેની પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_i$ છે અને અંતિમ ઊંચાઈ $h_f = h_i - d$ થાય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta PE = PE_i - PE_f$ છે.
$\Delta PE = mgh_i - mg(h_i - d)$.
$\Delta PE = mgh_i - mgh_i + mgd$.
$\Delta PE = mgd$.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $mgd$ છે.

(C) ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
આપેલ છે: $KE = 1 \, J$,$m = 1 \, kg$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2$.
$v^2 = 2$.
$v = \sqrt{2} \approx 1.414 \, m/s$.
તેથી,ઝડપ આશરે $1.4 \, m/s$ થાય.

(D) ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = mgh$ છે,જ્યાં:
$m$ એ પદાર્થનું દળ $(1 \, kg)$ છે,
$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ (આશરે $9.8 \, m/s^2$) છે,
$h$ એ જમીનથી ઊંચાઈ છે.
અહીં $PE = 1 \, J$ આપેલ છે,તેથી:
$1 = 1 \times 9.8 \times h$
$h = 1 / 9.8 \, m$
$h \approx 0.102 \, m$.
આમ,સાચી ઊંચાઈ $0.102 \, m$ છે.

(A) કોઈ ઊંચાઈ $(h)$ પર રહેલી વસ્તુની સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ શોધવાનું સૂત્ર છે: $PE = m \cdot g \cdot h$,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: દળ $(m)$ = $5\,kg$,ઊંચાઈ $(h)$ = $5\,m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ $\approx 10\,m/s^2$.
જ્યારે વસ્તુ જમીન પર પડે છે ત્યારે તેની સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો તેની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા જેટલો હોય છે.
$PE = 5\,kg \times 10\,m/s^2 \times 5\,m = 250\,J$.
તેથી,સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $250\,J$ છે.

(C) $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર: $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે,તો નવી ઝડપ $v' = 2v$ થાય છે.
નવી ગતિઊર્જા $(K')$ આ મુજબ થશે: $K' = \frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{1}{2}m(2v)^2$.
$K' = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 4K$.
તેથી,ગતિઊર્જા મૂળ ગતિઊર્જા કરતા ચાર ગણી થાય છે.

(TRUE) આ વિધાન સાચું છે.
ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર છે: $KE = \frac{1}{2}mv^2$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
જો વેગ અડધો કરવામાં આવે,તો નવો વેગ $v' = \frac{v}{2}$ થાય.
નવી ગતિઊર્જા $KE'$ આ મુજબ થશે: $KE' = \frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v^2}{4}) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{4} KE$.
આમ,ગતિઊર્જા મૂળ ગતિઊર્જાના $\frac{1}{4}$ ભાગની થાય છે.

(TRUE) આ વિધાન ખરું છે.
જ્યારે ધનુષની દોરી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે ધનુષ પર કાર્ય થાય છે,જે ખેંચાયેલા ધનુષમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે. જ્યારે તીર છોડવામાં આવે છે,ત્યારે આ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા તીરની ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેના કારણે તીર આગળ વધે છે.

(TRUE) આ વિધાન ખરું છે.
ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $v$ એ તેની ઝડપ (અથવા વેગ) છે.
આ સૂત્રમાં ગતિઊર્જાની ગણતરી કરવા માટે માત્ર પદાર્થના દળ $(m)$ અને ઝડપ $(v)$ ની જરૂર હોવાથી,આ બે મૂલ્યો જાણવાથી આપણે પદાર્થની ગતિઊર્જા નક્કી કરી શકીએ છીએ.