Kinetic and Potential Energy Questions in Gujarati

(B) ગતિઊર્જા એટલે પદાર્થની ગતિને કારણે પદાર્થમાં રહેલી ઊર્જા.
દરેક ગતિશીલ પદાર્થ ગતિઊર્જા ધરાવે છે.
પદાર્થ કાર્ય કરવા માટે ગતિઊર્જાનો ઉપયોગ કરે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,હથોડાની ગતિઊર્જાનો ઉપયોગ લાકડાના ટુકડામાં ખીલી ઠોકવા માટે થાય છે,અને પવનની ગતિઊર્જાનો ઉપયોગ પવનચક્કી ચલાવવા માટે થાય છે.

(N/A) જો $m$ દળ ધરાવતો કોઈ પદાર્થ $v$ વેગથી ગતિ કરતો હોય,તો તેની ગતિઊર્જા $E_k$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$E_k = \frac{1}{2}mv^2$
તેનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.

(D) ગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $E_k = 1/2 mv^2$ છે.
અહીં પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $E_k = 25\, J$ છે જ્યારે વેગ $v = 5\, m\, s^{-1}$ છે.
$(i)$ જ્યારે વેગ બમણો કરવામાં આવે,ત્યારે નવો વેગ $v' = 2v = 10\, m\, s^{-1}$ થાય છે.
ગતિ ઉર્જા $E_k \propto v^2$ હોવાથી,નવી ગતિ ઉર્જા $E_k' = 1/2 m(2v)^2 = 4 \times (1/2 mv^2) = 4 \times 25\, J = 100\, J$ થશે.
$(ii)$ જ્યારે વેગ ત્રણ ગણો કરવામાં આવે,ત્યારે નવો વેગ $v'' = 3v = 15\, m\, s^{-1}$ થાય છે.
તે જ રીતે,નવી ગતિ ઉર્જા $E_k'' = 1/2 m(3v)^2 = 9 \times (1/2 mv^2) = 9 \times 25\, J = 225\, J$ થશે.

(D) આપેલ છે:
દળ $(m)$ $= 20 \, kg$
પ્રારંભિક વેગ $(u)$ $= 5 \, m \, s^{-1}$
અંતિમ વેગ $(v)$ $= 2 \, m \, s^{-1}$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ પદાર્થની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
થયેલ કાર્ય $(W)$ $= \Delta KE = KE_{\text{અંતિમ}} - KE_{\text{પ્રારંભિક}}$
$W = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$W = \frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 20 \times (2^2 - 5^2)$
$W = 10 \times (4 - 25)$
$W = 10 \times (-21)$
$W = -210 \, J$
અહીં ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે (અવરોધક બળ). તેથી, બળ દ્વારા થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $210 \, J$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે,સ્થિતિઊર્જા $(PE) = mgh$.
આપેલ છે:
દળ $(m) = 40\, kg$
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g) = 9.8\, m/s^2$
ઊંચાઈ $(h) = 5\, m$
સ્થિતિઊર્જા $= 40 \times 9.8 \times 5 = 1960\, J$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે.
જ્યારે વસ્તુ અડધે રસ્તે પહોંચે છે,ત્યારે તે $2.5\, m$ જેટલું અંતર કાપે છે. આ બિંદુએ,પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જાનો અડધો ભાગ ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,ગતિઊર્જા $= 1/2 \times 1960\, J = 980\, J$.

(C) વસ્તુ ગતિમાં છે,તેથી તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 1/2 mv^2$ છે.
જ્યારે વસ્તુ સ્થિર થાય છે,ત્યારે તેનો અંતિમ વેગ $0$ થાય છે,તેથી તેની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 0$ થાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વસ્તુ પર થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W = K_f - K_i$.
$W = 0 - 1/2 mv^2 = -1/2 mv^2$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વસ્તુને સ્થિર કરવા માટે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરવામાં આવે છે. જરૂરી કાર્યનું મૂલ્ય $1/2 mv^2$ છે.

(A) કારનું દળ $m = 1500 \, kg$.
કારનો વેગ $v = 60 \, km/h$.
વેગને $m/s$ માં ફેરવતા: $v = \frac{60 \times 1000}{3600} = \frac{50}{3} \, m/s$.
કારની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
$KE = \frac{1}{2} \times 1500 \times (\frac{50}{3})^2 \, J$.
$KE = 750 \times \frac{2500}{9} \, J$.
$KE = 750 \times 277.777... \, J = 208333.3 \, J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, કારને રોકવા માટે જરૂરી કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
થયેલું કાર્ય $= KE_{\text{initial}} - KE_{\text{final}} = 208333.3 \, J - 0 \, J = 208333.3 \, J$.
આમ, કારને રોકવા માટે જરૂરી કાર્ય $208333.3 \, J$ છે.

(D) કોઈપણ પદાર્થમાં તેની સ્થિતિ અથવા ગોઠવણીને કારણે સંગ્રહિત ઉર્જાને સ્થિતિ ઉર્જા કહેવામાં આવે છે.
ડેમમાં રહેલું પાણી ચોક્કસ ઊંચાઈએ સંગ્રહિત હોવાથી,તે તેની જમીનની સાપેક્ષ સ્થિતિને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા ધરાવે છે.

(A) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મુક્ત પતન કરતા પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે.
$h$ ઊંચાઈ પર,સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ $mgh$ હોય છે અને ગતિ ઊર્જા $(KE)$ $0$ હોય છે.
$\frac{h}{2}$ અંતર કાપ્યા પછી,બાકી રહેલી ઊંચાઈ $\frac{h}{2}$ છે.
આ બિંદુએ સ્થિતિ ઊર્જા $PE = mg(\frac{h}{2}) = \frac{1}{2}mgh$ થાય છે.
કુલ ઊર્જા $mgh$ હોવાથી,ગતિ ઊર્જા $KE = mgh - \frac{1}{2}mgh = \frac{1}{2}mgh$ થશે.
તેથી,અડધી ઊંચાઈએ,પદાર્થમાં અડધી સ્થિતિ ઊર્જા અને અડધી ગતિ ઊર્જા હોય છે.

(B) ગતિઊર્જા $(K.E)$ નું સૂત્ર $K.E = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v_1 = v$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{1}{2}mv^2$ થશે.
જ્યારે વેગ ત્રણ ગણો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વેગ $v_2 = 3v$ થાય છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{1}{2}m(3v)^2 = \frac{1}{2}m(9v^2) = 9 \times (\frac{1}{2}mv^2)$ થશે.
તેથી,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા અને અંતિમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $K_1 : K_2 = \frac{1}{2}mv^2 : 9(\frac{1}{2}mv^2) = 1:9$ છે.

(A) હા,જો કોઈ પદાર્થનું વેગમાન શૂન્ય હોય તો પણ તેની પાસે યાંત્રિક ઉર્જા હોઈ શકે છે.
યાંત્રિક ઉર્જા એ ગતિ ઉર્જા $(KE)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ નો સરવાળો છે.
વેગમાન $(p)$ એ દળ $(m)$ અને વેગ $(v)$ નો ગુણાકાર છે,એટલે કે $p = mv$.
જો વેગમાન શૂન્ય હોય $(p = 0)$,તો પદાર્થનો વેગ પણ શૂન્ય $(v = 0)$ હોવો જોઈએ.
ગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,જો $v = 0$ હોય,તો $KE = 0$ થાય.
જોકે,પદાર્થ તેની સ્થિતિ અથવા ગોઠવણીને કારણે સ્થિતિ ઉર્જા ધરાવી શકે છે (દા.ત.,જમીનથી અમુક ઊંચાઈએ પકડી રાખેલો દડો).
તેથી,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(ME = KE + PE)$ શૂન્ય ન હોઈ શકે કારણ કે $PE$ શૂન્ય નથી.

(C) $10\, m$ ની ઊંચાઈ $h$ પર દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $PE = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$PE = m \times 10\, m/s^2 \times 10\, m = 100m\, J$.
જમીન સાથે અથડાયા પછી,ઊર્જામાં $40\%$ નો ઘટાડો થાય છે,જેનો અર્થ છે કે બાકી રહેલી ઊર્જા પ્રારંભિક ઊર્જાના $100\% - 40\% = 60\%$ છે.
બાકી રહેલી ઊર્જા = $0.60 \times 100m = 60m\, J$.
ધારો કે દડા દ્વારા પ્રાપ્ત નવી ઊંચાઈ $h'$ છે. આ ઊંચાઈ પર સ્થિતિ ઊર્જા $PE' = mgh'$ છે.
બાકી રહેલી ઊર્જાને નવી સ્થિતિ ઊર્જા સાથે સરખાવતા: $mgh' = 60m$.
$m \times 10 \times h' = 60m$.
$h' = 60 / 10 = 6\, m$.
આમ,દડો $6\, m$ ની ઊંચાઈ સુધી પાછો ઉછળી શકે છે.

(N/A) ગતિઊર્જા $(K.E.)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K.E. = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને વસ્તુઓનું વેગમાન સમાન છે $(p_1 = p_2 = p)$.
ધારો કે $m_1$ એ હલકી વસ્તુનું દળ છે અને $m_2$ એ ભારે વસ્તુનું દળ છે,જ્યાં $m_1 < m_2$ છે.
હલકી વસ્તુની ગતિઊર્જા $(K.E.)_1 = \frac{p^2}{2m_1}$ છે.
ભારે વસ્તુની ગતિઊર્જા $(K.E.)_2 = \frac{p^2}{2m_2}$ છે.
તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_2} = \frac{\frac{p^2}{2m_1}}{\frac{p^2}{2m_2}} = \frac{m_2}{m_1}$ થાય છે.
અહીં $m_1 < m_2$ હોવાથી,$\frac{m_2}{m_1} > 1$ થાય,જે દર્શાવે છે કે $(K.E.)_1 > (K.E.)_2$.
તેથી,હલકી વસ્તુની ગતિઊર્જા વધારે હોય છે.

(B) ખેંચાયેલું ધનુષ તેના આકારમાં ફેરફારને કારણે સ્થિતિઊર્જા ધરાવે છે (સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા).
જ્યારે દોરી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે આ સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા તીરને સ્થાનાંતરિત થાય છે.
જેમ જેમ ધનુષ તેના મૂળ આકારમાં પાછું આવે છે,તેમ સ્થિતિઊર્જા તીરની ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેના કારણે તે ગતિ કરે છે.

(A) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન છે,તેથી $\frac{1}{2}m_1v_1^2 = \frac{1}{2}m_2v_2^2$.
આનો અર્થ એ થાય કે $m_1v_1^2 = m_2v_2^2$,અથવા $\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{m_2}{m_1}$.
જો $m_1 < m_2$ (હલકા પદાર્થનું દળ ભારે પદાર્થ કરતા ઓછું હોય),તો $\frac{m_2}{m_1} > 1$ થાય.
તેથી,$\frac{v_1^2}{v_2^2} > 1$,જેનો અર્થ છે કે $v_1^2 > v_2^2$,અથવા $v_1 > v_2$.
આમ,ભારે પદાર્થ જેટલી જ ગતિઊર્જા મેળવવા માટે હલકા પદાર્થનો વેગ વધારે હોવો જોઈએ.

(B) જ્યારે ઘડિયાળની સ્પ્રિંગને ચાવી આપવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,જેનાથી તેના આકારમાં ફેરફાર થાય છે. આ કાર્ય સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા (Elastic potential energy) સ્વરૂપે સંગ્રહિત થાય છે. જેમ જેમ સ્પ્રિંગ ધીમે ધીમે ખુલે છે,તેમ આ સંગ્રહિત ઉર્જા ઘડિયાળના ગિયર્સને ફેરવવા માટે ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.

(B) ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
આપેલ છે: દળ $(m)$ = $1\, kg$,ગતિઊર્જા $(KE)$ = $1\, J$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2$.
$v^2 = 2$.
$v = \sqrt{2} \approx 1.414\, m/s$.
તેથી,પદાર્થની ગતિઊર્જા $1\, J$ હોય ત્યારે તેની ઝડપ આશરે $1.414\, m/s$ હશે.

(B) ગબડતો પથ્થર ગતિમાં હોય છે. પદાર્થમાં તેની ગતિને કારણે રહેલી ઉર્જાને ગતિ ઉર્જા કહેવામાં આવે છે. તેથી,ગબડતા પથ્થરમાં ગતિ ઉર્જા હોય છે.

(B) દોડતો એથ્લેટ ગતિમાં હોય છે. પદાર્થની ગતિને કારણે તેમાં રહેલી ઉર્જાને ગતિ ઉર્જા કહેવામાં આવે છે. તેથી,દોડતા એથ્લેટમાં ગતિ ઉર્જા હોય છે.

(B) કોઈપણ પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
કારણ કે કાર અને ટ્રક બંને સમાન વેગ $(v)$ થી ગતિ કરી રહ્યા છે,તેથી ગતિઊર્જા એ પદાર્થના દળ $(m)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(KE \propto m)$.
અહીં આપેલ છે કે ટ્રકનું દળ કારના દળ કરતાં વધારે છે,તેથી ટ્રકની ગતિઊર્જા વધુ હશે.

(N/A) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
જ્યારે પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે તેનો વેગ $(v)$ ઘટતો જાય છે.
સૌથી ઊંચા બિંદુએ,પદાર્થનો વેગ શૂન્ય $(v = 0)$ થઈ જાય છે.
પરિણામે,સૌથી ઊંચા બિંદુએ ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}m(0)^2 = 0$ થાય છે.
તેથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા જેટલો હોય છે $(KE_{initial} - 0 = KE_{initial})$,જે તે બિંદુએ સંપૂર્ણપણે સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.

(B) જ્યારે દડો શિરોલંબ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલા કાર્યને કારણે તેની ગતિઊર્જાનું સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતર થાય છે.
સૌથી ઊંચા બિંદુએ,દડાનો વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે,જેનો અર્થ છે કે ગતિઊર્જા શૂન્ય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,જે બિંદુએ વેગ શૂન્ય થાય છે,ત્યાં સ્થિતિઊર્જા તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.

(A) ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} mv^{2}$ છે.
જ્યારે ઝડપ $(v)$ સમાન હોય,ત્યારે ગતિઊર્જા એ દળના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(KE \propto m)$. તેથી,જેનું દળ વધારે હોય તેની ગતિઊર્જા પણ વધારે હોય છે.
અહીં ઘોડાનું દળ $(210\, kg)$ એ કૂતરાના દળ $(25\, kg)$ કરતા વધારે હોવાથી,ઘોડા પાસે વધુ ગતિઊર્જા છે.

(N/A) કોઈ પદાર્થમાં તેની સ્થિતિ અથવા આકારને કારણે સંગ્રહિત ઉર્જાને સ્થિતિઊર્જા કહેવામાં આવે છે.
ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા માટેનું સૂત્ર $PE = mgh$ છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $h$ એ સંદર્ભ સપાટીથી ઊંચાઈ છે.
સ્થિતિઊર્જાનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.

(A) ગતિઊર્જા $(K)$ ને $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આને વેગમાન $(p = mv)$ સાથે જોડવા માટે,આપણે જમણી બાજુના પદને $m$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ છીએ:
$K = \frac{1}{2} \frac{m^2 v^2}{m}$
કારણ કે $p = mv$,તેથી આપણે $m^2 v^2$ ની જગ્યાએ $p^2$ મૂકી શકીએ છીએ:
$K = \frac{p^2}{2m}$
વેગમાન માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $p = \sqrt{2mK}$ મળે છે.

(N/A) જ્યારે આપણે ઘડિયાળની ચાવી ભરીએ છીએ,ત્યારે આપણે ઘડિયાળની અંદર રહેલા સ્પ્રિંગ પર કાર્ય કરીએ છીએ. પરિણામે,આ ઉર્જા સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા (elastic potential energy) સ્વરૂપે સંગ્રહિત થાય છે. આ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાનો ઉપયોગ આખો દિવસ ઘડિયાળને ચલાવવા માટે થાય છે.

(B) વેગમાન $(p)$,દળ $(m)$ અને ગતિઊર્જા $(K)$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = \sqrt{2mK}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બંને પદાર્થો માટે ગતિઊર્જા $(K)$ સમાન હોય,ત્યારે વેગમાન એ દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(p \propto \sqrt{m})$.
તેથી,જે પદાર્થનું દળ વધારે હશે તેનું વેગમાન પણ વધારે હશે.
આમ,ભારે પદાર્થનું વેગમાન હલકા પદાર્થ કરતા વધારે હશે.

(A) ગતિઊર્જા $(K)$,વેગમાન $(p)$ અને દળ $(m)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને પદાર્થો માટે વેગમાન $(p)$ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(K \propto \frac{1}{m})$.
તેથી,જે પદાર્થનું દળ ઓછું (હલકો પદાર્થ) હોય,તેનો છેદ નાનો હોવાથી તેની ગતિઊર્જાનું મૂલ્ય વધારે મળે છે.
આમ,હલકા પદાર્થની ગતિઊર્જા ભારે પદાર્થ કરતા વધારે હોય છે.

(N/A) ધારો કે અચળ બળ $F$ ની અસર હેઠળ $S$ અંતર કાપ્યા પછી પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ અને અંતિમ વેગ $v$ છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણ મુજબ, $v^{2} - u^{2} = 2aS$, જ્યાં $a$ એ પ્રવેગ છે.
આના પરથી, અંતર $S$ ને $S = \frac{v^{2} - u^{2}}{2a}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, લગાડવામાં આવેલું બળ $F = ma$ છે.
બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ $W = F \times S$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કાર્યના સમીકરણમાં $F$ અને $S$ ની કિંમતો મૂકતા:
$W = (ma) \times \left( \frac{v^{2} - u^{2}}{2a} \right)$.
$a$ ને દૂર કરીને પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$W = \frac{1}{2}m(v^{2} - u^{2}) = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}mu^{2}$.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^{2}$ હોવાથી, પદાવલિ $W = K_{final} - K_{initial} = \Delta K$ બને છે.
આમ, બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ પદાર્થની ગતિઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું છે.

(N/A) સ્થિતિ ઊર્જા એટલે પદાર્થની તેની સ્થિતિ અથવા આકારને કારણે તેમાં સંગ્રહિત ઊર્જા. તે એક અદિશ રાશિ છે કારણ કે તેને માત્ર મૂલ્ય હોય છે અને કોઈ દિશા હોતી નથી.
$(b)$ ધનુષની ખેંચાયેલી દોરી એ સ્થિતિ ઊર્જા ધરાવતા પદાર્થનું ઉદાહરણ છે,જે તેના આકારમાં ફેરફારને કારણે ઉદ્ભવે છે.

(N/A) લાઉડસ્પીકરમાં,વિદ્યુત ઉર્જાનું ધ્વનિ ઉર્જામાં રૂપાંતર થાય છે.
$(b)$ સોલર બેટરીમાં,પ્રકાશ ઉર્જાનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર થાય છે.

(N/A) હા,સ્થિર પદાર્થ પાસે વેગમાન હોતું નથી,એટલે કે $p = 0$. જોકે,તે તેની સ્થિતિ અથવા ગોઠવણીને કારણે સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ ધરાવી શકે છે. તેથી,તેની કુલ ઉર્જા $E = K + U = U$ શૂન્ય હોતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,છત પર પડેલો પથ્થર અથવા ઘડિયાળનું ચાવી આપેલું સ્પ્રિંગ.
$(b)$ ના,કોઈ પદાર્થ પાસે ઉર્જા વગર વેગમાન હોઈ શકે નહીં. વેગમાન $(p = mv)$ સૂચવે છે કે પદાર્થ ગતિમાં છે $(v \neq 0)$. જો પદાર્થ ગતિમાં હોય,તો તેની પાસે ગતિ ઉર્જા $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ હોવી જ જોઈએ. ગતિ ઉર્જા એ કુલ ઉર્જાનો એક ભાગ હોવાથી,વેગમાન ધરાવતા પદાર્થ પાસે ઉર્જા હોવી અનિવાર્ય છે.

(D) $(i)$ કોઈ પદાર્થમાં તેની સ્થિતિ અથવા ગોઠવણીને કારણે સંગ્રહિત ઊર્જાને સ્થિતિઊર્જા કહેવામાં આવે છે. સ્થિતિઊર્જાનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.
$(ii)$ આપેલ છે: પદાર્થનું દળ $(m) = 50 \, kg$,ઊંચાઈ $(h) = 10 \, m$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $(g) = 10 \, m s^{-2}$.
સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = m \times g \times h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $PE = 50 \, kg \times 10 \, m s^{-2} \times 10 \, m = 5000 \, J$.
આમ,પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $5000 \, J$ છે.

(N/A) ધનુષ જેટલું વધારે ખેંચવામાં આવે, તેટલી જ તેમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $(Elastic Potential Energy)$ વધારે હોય છે. અર્જુને નકુલને ધનુષને વધુ ખેંચવા માટે કહ્યું હશે જેથી તેમાં વધુ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા સંગ્રહિત થાય. જ્યારે તીર છોડવામાં આવે છે, ત્યારે આ ઉર્જા તીરની ગતિ ઉર્જામાં $(Kinetic Energy)$ રૂપાંતરિત થાય છે. પરિણામે, તે વધુ ઝડપથી અને વધુ અંતર સુધી ગતિ કરશે.
$(b)$ અર્જુન દ્વારા કેળવવામાં આવેલા મૂલ્યો જ્ઞાન, મદદરૂપ થવાની ભાવના અને ધીરજ છે.

(A) ધારો કે બે વસ્તુઓનું દળ $m_1$ અને $m_2$ છે,જ્યાં $m_2 > m_1$ છે. ધારો કે તેમનું સમાન વેગમાન $p$ છે.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ તથા દળ $m$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
પ્રથમ વસ્તુ (હલકી) માટે,$K_1 = \frac{p^2}{2m_1}$.
બીજી વસ્તુ (ભારે) માટે,$K_2 = \frac{p^2}{2m_2}$.
તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{p^2 / 2m_1}{p^2 / 2m_2} = \frac{m_2}{m_1}$ થાય.
અહીં $m_2 > m_1$ હોવાથી,$\frac{m_2}{m_1} > 1$ થાય,જે દર્શાવે છે કે $K_1 > K_2$.
આમ,હલકી વસ્તુની ગતિઊર્જા વધારે હોય છે.

(N/A) સ્થિતિ ઉર્જા એટલે પદાર્થની સ્થિતિ અથવા આકારને કારણે તેમાં સંગ્રહિત ઉર્જા. જમીનથી $h$ ઊંચાઈએ રહેલા પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જા એટલે પદાર્થને જમીન પરથી તે ઊંચાઈ સુધી ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય.
$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થને $h$ ઊંચાઈ સુધી લઈ જવામાં આવે ત્યારે થતું કાર્ય $W$ નીચે મુજબ છે:
$W = \text{બળ} \times \text{સ્થાનાંતર} = (m \times g) \times h = mgh$
આમ, સ્થિતિ ઉર્જા $PE = mgh$ થાય.
$(b)$ આપેલ છે:
દળ $m = 10 \, kg$
ઊંચાઈ $h = 6 \, m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m s^{-2}$
સ્થિતિ ઉર્જા $PE = mgh = 10 \times 9.8 \times 6 = 588 \, J$.

(N/A) ના,પદાર્થની કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. જેમ પદાર્થ નીચે પડે છે,તેમ જમીનથી તેની ઊંચાઈ ઘટે છે,તેથી તેની સ્થિતિઊર્જા ઘટે છે. તે જ સમયે,તેનો વેગ અને ગતિઊર્જા વધે છે. સ્થિતિઊર્જામાં થયેલો ઘટાડો એ ગતિઊર્જામાં થયેલા વધારા જેટલો જ હોય છે. આમ,કોઈપણ સમયે પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા અને ગતિઊર્જાનો સરવાળો (યાંત્રિક ઊર્જા) અચળ રહે છે.
$(b)$
$(i)$ સ્થિતિઊર્જા શરૂઆતની ઊંચાઈ $h$ પર મહત્તમ હોય છે,જ્યાં પદાર્થ સ્થિર હોય છે.
$(ii)$ ગતિઊર્જા જમીનની સપાટી પર મહત્તમ હોય છે,પદાર્થ જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાં,કારણ કે આ બિંદુએ વેગ સૌથી વધુ હોય છે.

(N/A) આકાશમાં ઉડતા પક્ષીમાં પૃથ્વીની સપાટીની સાપેક્ષે ઊંચાઈ હોવાથી તેમાં સ્થિતિ ઊર્જા હોય છે.
તે જે વેગથી હવામાં ઉડી રહ્યું છે,તેના કારણે તેમાં ગતિ ઊર્જા પણ હોય છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર: $PE = mgh$,જ્યાં $m$ એ પક્ષીનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $h$ એ જમીનથી તેની ઊંચાઈ છે.
ગતિ ઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર: $KE = \frac{1}{2}mv^2$,જ્યાં $m$ એ પક્ષીનું દળ છે અને $v$ એ તેનો વેગ છે.

(2:3) કોઈ પદાર્થ તેની ગતિને કારણે જે ઊર્જા ધરાવે છે તેને ગતિઊર્જા કહેવાય છે.
$(b)$ આપેલ છે કે દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$ અને વેગ $v_1 = v_2 = 108 \, km/h$ છે.
ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અહીં વેગ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{KE_1}{KE_2} = \frac{\frac{1}{2}m_1v^2}{\frac{1}{2}m_2v^2} = \frac{m_1}{m_2}$ થશે.
તેથી,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(N/A) ગતિઊર્જા: પદાર્થમાં તેની ગતિને કારણે રહેલી ઊર્જાને ગતિઊર્જા કહેવાય છે.
સ્થિતિઊર્જા: પદાર્થમાં તેની સ્થિતિ અથવા સંરચનાને કારણે રહેલી ઊર્જાને સ્થિતિઊર્જા કહેવાય છે.
ગતિઊર્જા માટેનું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $10 \, kg$
વેગ $(v)$ = $10 \, m s^{-1}$
ગણતરી:
$KE = \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2$
$KE = 5 \times 100$
$KE = 500 \, J$
પથ્થરની ગતિઊર્જા $500 \, J$ છે.

(D) $(i)$ ધારો કે $m$ દળનો એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર છે,એટલે કે $u = 0$,ઘર્ષણરહિત સપાટી પર છે. ધારો કે પદાર્થ પર અચળ બળ $F$ લાગે છે,જેનાથી $a$ જેટલો પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે. $S$ જેટલા સ્થાનાંતર પછી,પદાર્થ $v$ જેટલો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a = v^2 / (2S)$ મળે છે.
બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \times S$ છે. $F = ma$ હોવાથી,$W = (ma) \times S = m \times (v^2 / 2S) \times S = 1/2 mv^2$.
આ કાર્ય ગતિઊર્જા $(KE)$ તરીકે સંગ્રહિત થાય છે. આમ,$KE = 1/2 mv^2$. ગતિઊર્જાનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.
$(ii)$ આપેલ છે: દળ $m = 10 \, kg$,વેગ $v = 5 \, m s^{-1}$.
$KE = 1/2 mv^2 = 1/2 \times 10 \times (5)^2 = 5 \times 25 = 125 \, J$.

(N/A) આપેલ છે: કારનું દળ $m_1 = 750 \,kg$,વેગ $v = 54 \,km \cdot h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} \,m \cdot s^{-1} = 15 \,m \cdot s^{-1}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE_1)$:
$KE_1 = \frac{1}{2} m_1 v^2 = \frac{1}{2} \times 750 \times (15)^2 = 375 \times 225 = 84375 \,J$.
જ્યારે $50 \,kg$ દળનો મુસાફર કારમાં બેસે છે,ત્યારે નવું કુલ દળ $m_2 = 750 \,kg + 50 \,kg = 800 \,kg$ થાય છે.
નવી ગતિઊર્જા $(KE_2)$:
$KE_2 = \frac{1}{2} m_2 v^2 = \frac{1}{2} \times 800 \times (15)^2 = 400 \times 225 = 90000 \,J$.

(D) ધારો કે દરેક પદાર્થનું દળ $m$ છે.
પ્રથમ પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ $K_{1} = \frac{1}{2}mv^{2} \quad \dots(i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ $K_{2} = \frac{1}{2}m(3v)^{2} = \frac{1}{2}m(9v^{2}) = \frac{9}{2}mv^{2} \quad \dots(ii)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગીએ છીએ:
$\frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{\frac{9}{2}mv^{2}}{\frac{1}{2}mv^{2}} = \frac{9}{1}$.
આમ,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $9:1$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ,$m = 2 \, kg$,વેગ,$v = 0.1 \, m s^{-1}$.
ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.1)^2$
$KE = 1 \times 0.01$
$KE = 0.01 \, J$.
આમ,પદાર્થની ગતિઊર્જા $0.01 \, J$ છે.

(B) આપેલ છે: પદાર્થનું દળ,$m = 100 \, g = 0.1 \, kg$.
ગતિઊર્જા,$KE = 20 \, J$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$v^2 = \frac{2 \times KE}{m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$v^2 = \frac{2 \times 20}{0.1} = \frac{40}{0.1} = 400$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$v = \sqrt{400} = 20 \, m s^{-1}$.

(B) ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વસ્તુનો વેગ છે.
$1$. જો આપણે દળ બમણું કરીએ $(m' = 2m)$,તો નવી ગતિઊર્જા $KE' = \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2 \times KE$ થાય. આમ,ગતિઊર્જા બમણી થાય છે.
$2$. જો આપણે વેગ બમણો કરીએ $(v' = 2v)$,તો નવી ગતિઊર્જા $KE'' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times KE$ થાય. આમ,ગતિઊર્જા ચાર ગણી વધે છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,દળ બમણું કરવા કરતા વેગ બમણો કરવાથી ગતિઊર્જા પર વધુ અસર થાય છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 120 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 25 \, m s^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 40 \, m s^{-1}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલું કાર્ય $W$ એ તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta KE = \frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 120 \times (40^2 - 25^2)$
$W = 60 \times (1600 - 625)$
$W = 60 \times 975$
$W = 58500 \, J$
આમ,પદાર્થ પર કરવું પડતું કાર્ય $58500 \, J$ છે.

(B) $10 \, m$ ની ઊંચાઈ $h$ પર દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $E = mgh$ છે.
જમીન સાથે અથડાયા પછી,ઊર્જામાં $40 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,જેનો અર્થ છે કે દડો તેની પ્રારંભિક ઊર્જાના $60 \%$ જાળવી રાખે છે.
જળવાયેલી ઊર્જા $= 0.60 \times mgh$.
જ્યારે દડો નવી ઊંચાઈ $h'$ સુધી પાછો ઉછળે છે,ત્યારે તે ઊંચાઈએ તેની સ્થિતિઊર્જા $mgh'$ હશે.
જળવાયેલી ઊર્જાને નવી સ્થિતિઊર્જા સાથે સરખાવતા: $mgh' = 0.60 \times mgh$.
બંને બાજુથી $mg$ ને દૂર કરતા,આપણને $h' = 0.60 \times h$ મળે છે.
$h = 10 \, m$ મૂકતા,આપણને $h' = 0.60 \times 10 \, m = 6 \, m$ મળે છે.
તેથી,દડો $6 \, m$ ની ઊંચાઈ સુધી પાછો ઉછળશે.

(N/A) આપેલ છે: દળ $m = 10 \, kg$,ઊંચાઈ $h = 20 \, m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m s^{-2}$.
$1$. જમીન પર ગતિઊર્જા $(KE)$:
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પર રહેલી સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ જમીન પર પહોંચતા ગતિઊર્જા $(KE)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$PE = mgh = 10 \times 10 \times 20 = 2000 \, J$.
તેથી,$KE = 2000 \, J$.
$2$. જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાંની ઝડપ $(v)$:
સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2000 = \frac{1}{2} \times 10 \times v^2$
$2000 = 5 \times v^2$
$v^2 = 400$
$v = \sqrt{400} = 20 \, m s^{-1}$.

(N/A) આપેલ છે: કારનું દળ $m_{c} = 750\, kg$,વેગ $v = 54\, km h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} = 15\, m s^{-1}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE_{i})$ = $\frac{1}{2} m_{c} v^{2} = \frac{1}{2} \times 750 \times (15)^{2} = 375 \times 225 = 84375\, J$.
જ્યારે $50\, kg$ દળનો મુસાફર કારમાં બેસે છે,ત્યારે નવું કુલ દળ $M = 750 + 50 = 800\, kg$ થાય છે.
નવી ગતિઊર્જા $(KE_{f})$ = $\frac{1}{2} M v^{2} = \frac{1}{2} \times 800 \times (15)^{2} = 400 \times 225 = 90000\, J$.