Trigonometric Ratios of Some Specific Angles Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि $A = 30^{\circ}$ है।
हमें $\cos 2A$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक में $A$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos 2A = \cos(2 \times 30^{\circ})$
$\cos 2A = \cos 60^{\circ}$
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ होता है,इसलिए इसका मान $\frac{1}{2}$ है।

(B) हम पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\tan \theta = \cot(90^{\circ} - \theta)$.
इस सर्वसमिका में $\theta = 15^{\circ}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan 15^{\circ} = \cot(90^{\circ} - 15^{\circ})$.
$\tan 15^{\circ} = \cot 75^{\circ}$.
अतः,$\tan 15^{\circ}$ का मान $\cot 75^{\circ}$ के बराबर है।

(A) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय मान: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,और $\cot 90^{\circ} = 0$ हैं।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^{2} 60^{\circ} - \tan 45^{\circ} + \cos^{2} 30^{\circ} - \cot 90^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} - 1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} - 0$
$= \frac{3}{4} - 1 + \frac{3}{4} - 0$
$= \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1$
$= \frac{6}{4} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $8 \sin^{2} 45^{\circ} - 2 \tan^{2} 60^{\circ} + 3 \cot^{2} 30^{\circ} - 2 \cos^{2} 45^{\circ}$
त्रिकोणमितीय मान रखने पर:
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,$\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$,$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= 8 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2} - 2 (\sqrt{3})^{2} + 3 (\sqrt{3})^{2} - 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2}$
$= 8 \left( \frac{1}{2} \right) - 2 (3) + 3 (3) - 2 \left( \frac{1}{2} \right)$
$= 4 - 6 + 9 - 1$
$= 6$

(C) दिया गया है कि $\tan \theta = 1$ है।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$ होता है,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ होगा।
अब,$\theta = 45^{\circ}$ का मान $\sin \theta \cdot \cos \theta$ में रखने पर:
$\sin 45^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया व्यंजक: $\sin^{2} 30^{\circ} - \tan 45^{\circ} + \cos^{2} 60^{\circ} - \cot 90^{\circ}$
त्रिकोणमितीय मान रखने पर:
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,और $\cot 90^{\circ} = 0$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (\frac{1}{2})^{2} - 1 + (\frac{1}{2})^{2} - 0$
$= \frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{4}$
$= \frac{2}{4} - 1$
$= \frac{1}{2} - 1$
$= -\frac{1}{2}$

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ न्यूनकोण हैं।
चूंकि $\tan A = 1,$ हम जानते हैं कि $\tan 45^{\circ} = 1,$ इसलिए $A = 45^{\circ}.$
चूंकि $\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}},$ हम जानते हैं कि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}},$ इसलिए $B = 45^{\circ}.$
अब,हमें $\cos (A + B)$ का मान ज्ञात करना है।
$A$ और $B$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos (45^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0,$ इसलिए अंतिम उत्तर $0$ है।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,$30^{\circ}$ के कोण के सम्मुख भुजा का माप ज्ञात करने का सूत्र है: $30^{\circ}$ के सम्मुख भुजा $= \text{कर्ण} \times \sin(30^{\circ})$।
यहाँ कर्ण $= 12$ और $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ दिया गया है।
अतः,कोण के सम्मुख भुजा का माप $12 \times \frac{1}{2} = 6$ होगा।

(B) मान लीजिए एक समकोण त्रिभुज $ABC$ है जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ और $\angle C = 60^{\circ}$ है।
इस त्रिभुज में,$\angle C$ की सम्मुख भुजा $AB$ है और कर्ण $AC$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin 60^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
चूँकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{AC}$
अतः,$AB = \frac{\sqrt{3}}{2} AC$ है।
इस प्रकार,$60^{\circ}$ के कोण की सम्मुख भुजा का माप कर्ण के माप का $\frac{\sqrt{3}}{2}$ गुना होता है।

(C) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है।
यहाँ $AC = 16$ (कर्ण) और $BC = 8$ ($\angle C$ की संलग्न भुजा) दिया गया है।
कोसाइन $(cos)$ के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करने पर:
$\cos C = \frac{\text{संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$।
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ होता है,इसलिए $m \angle C = 60^{\circ}$ होगा।

(D) माना कि समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ है,जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ और $\angle C = 45^{\circ}$ है।
$\triangle ABC$ में,$\angle C$ की सम्मुख भुजा $AB$ है और कर्ण $AC$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 45^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
चूँकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{AB}{AC}$
अतः,$AB = \frac{1}{\sqrt{2}} AC$.
इस प्रकार,$45^{\circ}$ के कोण की सम्मुख भुजा का माप कर्ण के माप का $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना होता है।

(D) समकोण $\Delta ABC$ में,हमें कर्ण $AC = 20$ और कोण $m\angle C = 30^\circ$ दिया गया है।
हमें आसन्न भुजा $BC$ ज्ञात करनी है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\cos \theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करते हुए:
$\cos 30^\circ = \frac{BC}{AC}$
मान रखने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{20}$
$BC = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$BC = 10\sqrt{3}$
$\sqrt{3} \approx 1.73$ का उपयोग करने पर:
$BC = 10 \times 1.73 = 17.3$

(A) समकोण $\Delta ABC$ में,हमें कर्ण $AC = 30 \text{ cm}$ और $\angle C = 30^\circ$ दिया गया है।
हमें भुजा $AB$ ज्ञात करनी है,जो $\angle C$ के सम्मुख भुजा है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 30^\circ = \frac{AB}{AC}$
चूंकि $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \frac{AB}{30}$
$AB = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm}$.