Trigonometric Identities Questions in Hindi

(N/A) $\triangle ACB$ में,हमारे पास है:
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(29)^2 - (21)^2}$
$= \sqrt{(29 - 21)(29 + 21)} = \sqrt{(8)(50)} = \sqrt{400} = 20$ इकाई।
अतः,$\sin \theta = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$ और $\cos \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$।
अब,
$(i)$ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = \left(\frac{21}{29}\right)^2 + \left(\frac{20}{29}\right)^2 = \frac{441 + 400}{841} = \frac{841}{841} = 1$।
$(ii)$ $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \left(\frac{21}{29}\right)^2 - \left(\frac{20}{29}\right)^2 = \frac{441 - 400}{841} = \frac{41}{841}$।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 3A = \cos(A - 26^{\circ})$
हम जानते हैं कि $\sin \theta = \cos(90^{\circ} - \theta)$ होता है।
इसलिए,$\sin 3A = \cos(90^{\circ} - 3A)$।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos(90^{\circ} - 3A) = \cos(A - 26^{\circ})$
चूँकि कोण न्यून कोण हैं,हम उन्हें बराबर रख सकते हैं:
$90^{\circ} - 3A = A - 26^{\circ}$
$A$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$90^{\circ} + 26^{\circ} = A + 3A$
$116^{\circ} = 4A$
$A = \frac{116^{\circ}}{4} = 29^{\circ}$
अतः,$A$ का मान $29^{\circ}$ है।

(C) दिया गया व्यंजक: $E = \operatorname{cosec}(75^{\circ}+\theta) - \sec(15^{\circ}-\theta) - \tan(55^{\circ}+\theta) + \cot(35^{\circ}-\theta)$
पूरक कोण सर्वसमिकाओं $\operatorname{cosec}(90^{\circ}-A) = \sec A$ और $\cot(90^{\circ}-A) = \tan A$ का उपयोग करने पर:
$1$. $\operatorname{cosec}(75^{\circ}+\theta) = \operatorname{cosec}(90^{\circ}-(15^{\circ}-\theta)) = \sec(15^{\circ}-\theta)$
$2$. $\cot(35^{\circ}-\theta) = \cot(90^{\circ}-(55^{\circ}+\theta)) = \tan(55^{\circ}+\theta)$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \sec(15^{\circ}-\theta) - \sec(15^{\circ}-\theta) - \tan(55^{\circ}+\theta) + \tan(55^{\circ}+\theta)$
$E = 0$
अतः,दिए गए व्यंजक का मान $0$ है।

(A) दिया गया है,$\cos (\alpha+\beta)=0=\cos 90^{\circ}$ $\left[\because \cos 90^{\circ}=0\right]$
$\Rightarrow \alpha+\beta=90^{\circ}$
$\Rightarrow \alpha=90^{\circ}-\beta$ ......$(i)$
अब,$\sin (\alpha-\beta)=\sin (90^{\circ}-\beta-\beta)$ [समीकरण $(i)$ से मान रखने पर]
$= \sin (90^{\circ}-2 \beta)$
$= \cos 2 \beta$ $\left[\because \sin (90^{\circ}-\theta)=\cos \theta\right]$
अतः,$\sin (\alpha-\beta)$ को $\cos 2 \beta$ में बदला जा सकता है।

(B) हमारे पास व्यंजक है: $P = \tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \tan 3^{\circ} \ldots \tan 89^{\circ}$.
गुणधर्म $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\tan 89^{\circ} = \cot 1^{\circ}$,$\tan 88^{\circ} = \cot 2^{\circ}$,आदि।
चूंकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,इसलिए $\tan 89^{\circ} = \frac{1}{\tan 1^{\circ}}$,$\tan 88^{\circ} = \frac{1}{\tan 2^{\circ}}$,आदि।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$P = (\tan 1^{\circ} \cdot \cot 1^{\circ}) \cdot (\tan 2^{\circ} \cdot \cot 2^{\circ}) \ldots (\tan 44^{\circ} \cdot \cot 44^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ}$.
चूंकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ और $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए व्यंजक का मान:
$P = 1 \cdot 1 \cdot 1 \ldots \cdot 1 = 1$.

(A) दिया गया है,$\sin A + \sin^2 A = 1$.
इससे,हम लिख सकते हैं $\sin A = 1 - \sin^2 A$.
सर्वसमिका $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $1 - \sin^2 A = \cos^2 A$.
अतः,$\sin A = \cos^2 A$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin^2 A = (\cos^2 A)^2 = \cos^4 A$.
अब,समीकरण में $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1 - \cos^2 A = \cos^4 A$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^2 A + \cos^4 A = 1$.

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2} 68^{\circ}}{\cos ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 68^{\circ}}+\sin ^{2} 63^{\circ}+\cos 63^{\circ} \sin 27^{\circ}$
सर्वसमिका $\sin(90^{\circ}-\theta) = \cos \theta$ और $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ का उपयोग करते हुए:
चरण $1$: भिन्न का सरलीकरण करें।
$\sin 68^{\circ} = \sin(90^{\circ}-22^{\circ}) = \cos 22^{\circ}$
$\cos 22^{\circ} = \cos(90^{\circ}-68^{\circ}) = \sin 68^{\circ}$
अतः,भिन्न $\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 22^{\circ}}{\sin ^{2} 68^{\circ}+\cos ^{2} 68^{\circ}} = \frac{1}{1} = 1$ हो जाएगा।
चरण $2$: शेष पदों का सरलीकरण करें।
$\sin 27^{\circ} = \sin(90^{\circ}-63^{\circ}) = \cos 63^{\circ}$
अतः,$\sin ^{2} 63^{\circ}+\cos 63^{\circ} \sin 27^{\circ} = \sin ^{2} 63^{\circ}+\cos 63^{\circ} \cdot \cos 63^{\circ} = \sin ^{2} 63^{\circ}+\cos ^{2} 63^{\circ} = 1$ हो जाएगा।
चरण $3$: परिणामों को जोड़ें।
$1 + 1 = 2$.

(A) दिया गया है,$\sin \theta - \cos \theta = 0$.
$\sin \theta = \cos \theta \Rightarrow \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$.
$\tan \theta = 1$ $[\because \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ और $\tan 45^{\circ} = 1]$.
$\tan \theta = \tan 45^{\circ}$.
$\theta = 45^{\circ}$.
अब,$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = \sin^4 45^{\circ} + \cos^4 45^{\circ}$.
$= (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^4$ $[\because \sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}]$.
$= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(B) हम जानते हैं कि $\sin (90^{\circ}-\theta) = \cos \theta$ और $\cos (90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ होता है।
दी गई व्यंजक: $\sin (45^{\circ}+\theta)-\cos (45^{\circ}-\theta)$
सर्वसमिका $\sin A = \cos (90^{\circ}-A)$ का उपयोग करने पर:
$\sin (45^{\circ}+\theta) = \cos (90^{\circ}-(45^{\circ}+\theta))$
$= \cos (90^{\circ}-45^{\circ}-\theta)$
$= \cos (45^{\circ}-\theta)$
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos (45^{\circ}-\theta)-\cos (45^{\circ}-\theta) = 0$

(B) असत्य।
व्यंजक $\sin \theta + \cos \theta$ को $\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta) = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^{\circ})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\theta = 0^{\circ}$ के लिए,इसका मान $\sin 0^{\circ} + \cos 0^{\circ} = 0 + 1 = 1$ होता है।
चूंकि इसका मान $1$ के बराबर हो सकता है (उदाहरण के लिए,$\theta = 0^{\circ}$ या $\theta = 90^{\circ}$ पर),इसलिए यह कथन कि 'यह सदैव $1$ से अधिक होता है' असत्य है।

(B) False (असत्य)
हम जानते हैं कि $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ होता है।
अतः,$\sin 67^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 23^{\circ}) = \cos 23^{\circ}$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^{2} 23^{\circ} - \sin^{2} 67^{\circ} = \cos^{2} 23^{\circ} - (\cos 23^{\circ})^{2}$
$= \cos^{2} 23^{\circ} - \cos^{2} 23^{\circ}$
$= 0$।
चूंकि $0$ न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक,इसलिए यह कथन कि इसका मान धनात्मक है,असत्य है।

(A) सत्य।
दिया गया व्यंजक: $\sqrt{(1-\cos^2 \theta) \sec^2 \theta}$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\sin^2 \theta \cdot \sec^2 \theta}$
चूंकि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,हम लिख सकते हैं: $\sqrt{\sin^2 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta}} = \sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}}$
सर्वसमिका $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) सत्य।
दिया गया है कि $\cos A + \cos^2 A = 1$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos A = 1 - \cos^2 A$।
सर्वसमिका $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $1 - \cos^2 A = \sin^2 A$ होता है।
अतः,$\cos A = \sin^2 A$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^2 A = (\sin^2 A)^2 = \sin^4 A$।
हम जानते हैं कि $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ होता है।
इस मान को समीकरण $\cos^2 A = \sin^4 A$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $1 - \sin^2 A = \sin^4 A$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin^2 A + \sin^4 A = 1$।

(B) असत्य (False)।
$L$.$H$.$S$. $= (\tan \theta + 2)(2 \tan \theta + 1)$
$= 2 \tan^2 \theta + \tan \theta + 4 \tan \theta + 2$
$= 2 \tan^2 \theta + 5 \tan \theta + 2$
सर्वसमिका $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$= 2(\sec^2 \theta - 1) + 5 \tan \theta + 2$
$= 2 \sec^2 \theta - 2 + 5 \tan \theta + 2$
$= 2 \sec^2 \theta + 5 \tan \theta$
चूंकि $2 \sec^2 \theta + 5 \tan \theta \neq 5 \tan \theta + \sec^2 \theta$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(N/A) हम जानते हैं कि आधारभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)^{3} = (1)^{3}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \sin^{2} \theta$ और $b = \cos^{2} \theta$ है:
$(\sin^{2} \theta)^{3} + (\cos^{2} \theta)^{3} + 3(\sin^{2} \theta)(\cos^{2} \theta)(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = 1$
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ है,इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा:
$\sin^{6} \theta + \cos^{6} \theta + 3 \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta (1) = 1$
अतः,$\sin^{6} \theta + \cos^{6} \theta + 3 \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta = 1$. इति सिद्धम्।

(N/A) $L$.$H$.$S$. $= (\sin^{4} \theta - \cos^{4} \theta + 1) \operatorname{cosec}^{2} \theta$
$= [(\sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta)(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) + 1] \operatorname{cosec}^{2} \theta$
चूँकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,इसलिए:
$= (\sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta + 1) \operatorname{cosec}^{2} \theta$
$1 - \cos^{2} \theta = \sin^{2} \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= (\sin^{2} \theta + \sin^{2} \theta) \operatorname{cosec}^{2} \theta$
$= (2 \sin^{2} \theta) \operatorname{cosec}^{2} \theta$
$= 2 (\sin^{2} \theta \cdot \operatorname{cosec}^{2} \theta)$
चूँकि $\sin \theta \cdot \operatorname{cosec} \theta = 1$,इसलिए:
$= 2(1) = 2 = \text{R.H.S.}$

(N/A) दिया गया है कि $\alpha + \beta = 90^{\circ}$,इसलिए $\beta = 90^{\circ} - \alpha$ है।
व्यंजक में $\beta$ का मान रखने पर:
$\sqrt{\cos \alpha \operatorname{cosec} \beta - \cos \alpha \sin \beta} = \sqrt{\cos \alpha \operatorname{cosec}(90^{\circ} - \alpha) - \cos \alpha \sin(90^{\circ} - \alpha)}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\operatorname{cosec}(90^{\circ} - \alpha) = \sec \alpha$ और $\sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha$ का उपयोग करने पर:
$= \sqrt{\cos \alpha \sec \alpha - \cos \alpha \cos \alpha}$
चूंकि $\cos \alpha \sec \alpha = 1$ और $\cos \alpha \cos \alpha = \cos^{2} \alpha$:
$= \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha}$
सर्वसमिका $1 - \cos^{2} \alpha = \sin^{2} \alpha$ का उपयोग करने पर:
$= \sqrt{\sin^{2} \alpha} = \sin \alpha$.
अतः,व्यंजक सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया गया है: $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\sqrt{3})^2$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 3$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 3$
$2 \sin \theta \cos \theta = 2$
$\sin \theta \cos \theta = 1$.
अब,व्यंजक $\tan \theta + \cot \theta$ पर विचार करें:
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $\sin \theta \cos \theta = 1$ का मान रखने पर:
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{1}{1} = 1$.
अतः,सिद्ध हुआ।

(N/A) बा.प. $= \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} + \frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta + (1+\cos \theta)^2}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$= \frac{\sin^2 \theta + 1 + \cos^2 \theta + 2 \cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$ $\quad [\because (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab]$
$= \frac{(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 1 + 2 \cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$= \frac{1 + 1 + 2 \cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$ $\quad [\because \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1]$
$= \frac{2 + 2 \cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$= \frac{2(1+\cos \theta)}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$= \frac{2}{\sin \theta} = 2 \operatorname{cosec} \theta = \text{दा.प.}$ $\quad [\because \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}]$

(N/A) बा.प. $= \frac{\tan A}{1+\sec A} + \frac{\tan A}{\sec A-1}$
$= \tan A \left( \frac{\sec A - 1 + 1 + \sec A}{(\sec A + 1)(\sec A - 1)} \right)$
$= \tan A \left( \frac{2 \sec A}{\sec^2 A - 1} \right)$
$= \tan A \left( \frac{2 \sec A}{\tan^2 A} \right) \quad [\because \sec^2 A - 1 = \tan^2 A]$
$= \frac{2 \sec A}{\tan A} = \frac{2 \cdot \frac{1}{\cos A}}{\frac{\sin A}{\cos A}} = \frac{2}{\sin A} = 2 \operatorname{cosec} A = \text{दा.प.}$

बा.प. $= (\sin \alpha + \cos \alpha)(\tan \alpha + \cot \alpha)$
$= (\sin \alpha + \cos \alpha) \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right)$ $\left[ \because \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \text{ और } \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right]$
$= (\sin \alpha + \cos \alpha) \left( \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \right)$
$= (\sin \alpha + \cos \alpha) \cdot \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$ $\left[ \because \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \right]$
$= \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$
$= \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\sin \alpha}$
$= \sec \alpha + \operatorname{cosec} \alpha = \text{दा.प.}$

(N/A) $L$.$H$.$S$. $= 1 + \frac{\cot^{2} \alpha}{1 + \operatorname{cosec} \alpha}$
$= 1 + \frac{\cos^{2} \alpha / \sin^{2} \alpha}{1 + 1 / \sin \alpha} \quad [\because \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \text{ तथा } \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}]$
$= 1 + \frac{\cos^{2} \alpha}{\sin \alpha(1 + \sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha(1 + \sin \alpha) + \cos^{2} \alpha}{\sin \alpha(1 + \sin \alpha)}$
$= \frac{\sin \alpha + (\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha)}{\sin \alpha(1 + \sin \alpha)} \quad [\because \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1]$
$= \frac{\sin \alpha + 1}{\sin \alpha(1 + \sin \alpha)} = \frac{1}{\sin \alpha} \quad [\because \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}]$
$= \operatorname{cosec} \alpha = \text{R.H.S.}$

(N/A) $(i)$ हम जानते हैं कि $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ होता है।
$\tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 42^{\circ}) \tan(90^{\circ} - 67^{\circ}) \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ}$
$= \cot 42^{\circ} \cot 67^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ}$
$= (\cot 42^{\circ} \tan 42^{\circ}) (\cot 67^{\circ} \tan 67^{\circ})$
$= (1)(1) = 1$.
$(ii)$ हम जानते हैं कि $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ और $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ होता है।
$\cos 38^{\circ} \cos 52^{\circ} - \sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 52^{\circ}) \cos(90^{\circ} - 38^{\circ}) - \sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ}$
$= \sin 52^{\circ} \sin 38^{\circ} - \sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ} = 0$.

(N/A) दिया गया है कि,$\tan A = \cot B$.
हम जानते हैं कि $\cot B = \tan(90^{\circ} - B)$.
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan A = \tan(90^{\circ} - B)$.
चूंकि स्पर्शज्या (tangent) फलन समान हैं,इसलिए उनके कोण भी समान होंगे: $A = 90^{\circ} - B$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $A + B = 90^{\circ}$.

(B) दिया गया है कि,$\sec 4A = \operatorname{cosec}(A - 20^{\circ})$.
हम जानते हैं कि $\sec \theta = \operatorname{cosec}(90^{\circ} - \theta)$.
अतः,$\operatorname{cosec}(90^{\circ} - 4A) = \operatorname{cosec}(A - 20^{\circ})$.
कोणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $90^{\circ} - 4A = A - 20^{\circ}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$90^{\circ} + 20^{\circ} = A + 4A$.
$110^{\circ} = 5A$.
$A = \frac{110^{\circ}}{5} = 22^{\circ}$.
अतः,$A$ का मान $22^{\circ}$ है।

(N/A) हम जानते हैं कि त्रिभुज $ABC$ के लिए,अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\angle B + \angle C}{2} = \frac{180^{\circ} - \angle A}{2} = 90^{\circ} - \frac{\angle A}{2}$
दोनों पक्षों का ज्या $(sin)$ लेने पर:
$\sin \left(\frac{B+C}{2}\right) = \sin \left(90^{\circ} - \frac{A}{2}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin \left(\frac{B+C}{2}\right) = \cos \left(\frac{A}{2}\right)$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\cos^2 A + \sin^2 A = 1$।
$1$. $\cos A$ को $\sin A$ के पदों में व्यक्त करने के लिए:
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A}$ (न्यूनकोण $A$ के लिए धनात्मक वर्गमूल लेने पर)
$2$. $\tan A$ को $\sin A$ के पदों में व्यक्त करने के लिए:
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$
$\cos A$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan A = \frac{\sin A}{\sqrt{1 - \sin^2 A}}$
$3$. $\sec A$ को $\sin A$ के पदों में व्यक्त करने के लिए:
$\sec A = \frac{1}{\cos A}$
$\cos A$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sec A = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 A}}$

(A) $LHS = \sec A(1-\sin A)(\sec A+\tan A)$
$= \left(\frac{1}{\cos A}\right)(1-\sin A)\left(\frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A}\right)$
$= \left(\frac{1-\sin A}{\cos A}\right)\left(\frac{1+\sin A}{\cos A}\right)$
$= \frac{(1-\sin A)(1+\sin A)}{\cos^2 A}$
$= \frac{1-\sin^2 A}{\cos^2 A}$
$= \frac{\cos^2 A}{\cos^2 A} = 1 = RHS$
अतः,सर्वसमिका सिद्ध हुई।

(N/A) बाएँ पक्ष $(LHS)$ से शुरू करते हैं:
$LHS = \frac{\cot A - \cos A}{\cot A + \cos A}$
$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$LHS = \frac{\frac{\cos A}{\sin A} - \cos A}{\frac{\cos A}{\sin A} + \cos A}$
अंश और हर से $\cos A$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$LHS = \frac{\cos A \left( \frac{1}{\sin A} - 1 \right)}{\cos A \left( \frac{1}{\sin A} + 1 \right)}$
$\cos A$ को काटने पर:
$LHS = \frac{\frac{1}{\sin A} - 1}{\frac{1}{\sin A} + 1}$
चूँकि $\operatorname{cosec} A = \frac{1}{\sin A}$,इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$LHS = \frac{\operatorname{cosec} A - 1}{\operatorname{cosec} A + 1} = RHS$
अतः,सर्वसमिका सिद्ध हुई।

(A) इस सर्वसमिका को सिद्ध करने के लिए,हम $LHS$ के अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करते हैं ताकि इसे $\tan \theta$ और $\sec \theta$ के पदों में व्यक्त किया जा सके।
$LHS = \frac{\sin \theta - \cos \theta + 1}{\sin \theta + \cos \theta - 1} = \frac{\tan \theta - 1 + \sec \theta}{\tan \theta + 1 - \sec \theta}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) - 1}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
सर्वसमिका $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,अंश में $1$ का मान रखने पर:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) - (\sec^2 \theta - \tan^2 \theta)}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करके अंश का गुणनखंड करने पर:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) - (\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta)}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
$(\tan \theta + \sec \theta)$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) [1 - (\sec \theta - \tan \theta)]}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) [1 - \sec \theta + \tan \theta]}{(\tan \theta - \sec \theta + 1)}$
समान पद $(\tan \theta - \sec \theta + 1)$ को काटने पर:
$LHS = \tan \theta + \sec \theta$
$RHS$ प्राप्त करने के लिए,$(\sec \theta - \tan \theta)$ से गुणा और भाग करने पर:
$LHS = \frac{(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta)}{\sec \theta - \tan \theta} = \frac{\sec^2 \theta - \tan^2 \theta}{\sec \theta - \tan \theta} = \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} = RHS.$

(N/A) हम जानते हैं कि,$\operatorname{cosec}^{2} A = 1 + \cot^{2} A$.
चूंकि $\sin A = \frac{1}{\operatorname{cosec} A}$,इसलिए $\sin^{2} A = \frac{1}{\operatorname{cosec}^{2} A} = \frac{1}{1 + \cot^{2} A}$ होता है।
वर्गमूल लेने पर,$\sin A = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^{2} A}}$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,हम जानते हैं कि $\tan A = \frac{1}{\cot A}$.
अंत में,सर्वसमिका $\sec^{2} A = 1 + \tan^{2} A$ का उपयोग करके,$\tan A = \frac{1}{\cot A}$ रखने पर:
$\sec^{2} A = 1 + \left(\frac{1}{\cot A}\right)^{2} = 1 + \frac{1}{\cot^{2} A} = \frac{\cot^{2} A + 1}{\cot^{2} A}$.
वर्गमूल लेने पर,$\sec A = \frac{\sqrt{1 + \cot^{2} A}}{\cot A}$ प्राप्त होता है।

हम जानते हैं कि,$\cos A = \frac{1}{\sec A}$।
सर्वसमिका $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करते हुए,$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \frac{1}{\sec^2 A} = \frac{\sec^2 A - 1}{\sec^2 A}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin A = \frac{\sqrt{\sec^2 A - 1}}{\sec A}$।
सर्वसमिका $\tan^2 A + 1 = \sec^2 A$ का उपयोग करते हुए,$\tan^2 A = \sec^2 A - 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan A = \sqrt{\sec^2 A - 1}$।
चूंकि $\cot A = \frac{1}{\tan A}$,इसलिए $\cot A = \frac{1}{\sqrt{\sec^2 A - 1}}$।
चूंकि $\operatorname{cosec} A = \frac{1}{\sin A}$,इसलिए $\operatorname{cosec} A = \frac{\sec A}{\sqrt{\sec^2 A - 1}}$।

(D) दिया गया व्यंजक $\sin 25^{\circ} \cos 65^{\circ} + \cos 25^{\circ} \sin 65^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ और $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ होता है।
$\cos 65^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 25^{\circ}) = \sin 25^{\circ}$ और $\sin 65^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 25^{\circ}) = \cos 25^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= (\sin 25^{\circ})(\sin 25^{\circ}) + (\cos 25^{\circ})(\cos 25^{\circ})$
$= \sin^{2} 25^{\circ} + \cos^{2} 25^{\circ}$
सर्वसमिका $\sin^{2} A + \cos^{2} A = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 1$

(A) दी गई व्यंजक: $9 \sec^{2} A - 9 \tan^{2} A$
उभयनिष्ठ पद $9$ को बाहर लेने पर:
$= 9(\sec^{2} A - \tan^{2} A)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sec^{2} A - \tan^{2} A = 1$ का उपयोग करने पर:
$= 9(1)$
$= 9$

(B) दिया गया व्यंजक: $(1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta)$
त्रिकोणमितीय अनुपातों को $\sin \theta$ और $\cos \theta$ में बदलने पर:
$= \left(1 + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta}\right) \left(1 + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{1}{\sin \theta}\right)$
कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$= \left(\frac{\cos \theta + \sin \theta + 1}{\cos \theta}\right) \left(\frac{\sin \theta + \cos \theta - 1}{\sin \theta}\right)$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = (\sin \theta + \cos \theta)$ और $b = 1$ है:
$= \frac{(\sin \theta + \cos \theta)^2 - (1)^2}{\sin \theta \cos \theta}$
अंश का विस्तार $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करके करने पर:
$= \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta - 1}{\sin \theta \cos \theta}$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1 + 2 \sin \theta \cos \theta - 1}{\sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2$

(C) दिया गया व्यंजक: $(\sec A + \tan A)(1 - \sin A)$
चरण $1$: $\sec A$ और $\tan A$ को $\sin A$ और $\cos A$ के पदों में बदलें:
$(\frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A})(1 - \sin A)$
चरण $2$: भिन्नों को जोड़ें:
$(\frac{1 + \sin A}{\cos A})(1 - \sin A)$
चरण $3$: अंशों का गुणा करें:
$\frac{(1 + \sin A)(1 - \sin A)}{\cos A}$
चरण $4$: सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करें:
$\frac{1 - \sin^2 A}{\cos A}$
चरण $5$: सर्वसमिका $1 - \sin^2 A = \cos^2 A$ का उपयोग करें:
$\frac{\cos^2 A}{\cos A} = \cos A$

(D) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ जानते हैं: $1 + \tan^2 A = \sec^2 A$ और $1 + \cot^2 A = \csc^2 A$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A} = \frac{\sec^2 A}{\csc^2 A}$
चूँकि $\sec A = \frac{1}{\cos A}$ और $\csc A = \frac{1}{\sin A}$,इसलिए:
$= \frac{\frac{1}{\cos^2 A}}{\frac{1}{\sin^2 A}} = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \tan^2 A$।

(A) सिद्ध करना है: $(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)^2 = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$
बायां पक्ष ($L$.$H$.$S$.) लीजिए = $(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)^2$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$L.H.S. = \left( \frac{1}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)^2$
$= \left( \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \right)^2 = \frac{(1 - \cos \theta)^2}{\sin^2 \theta}$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(1 - \cos \theta)^2}{1 - \cos^2 \theta}$
चूंकि $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$,इसलिए हम $1 - \cos^2 \theta = (1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)$ लिख सकते हैं:
$= \frac{(1 - \cos \theta)^2}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}$
$= \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} = R.H.S.$
अतः,$L.H.S. = R.H.S.$ सिद्ध हुआ।

(N/A) सिद्ध करना है: $\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}=2 \sec A$
$L.H.S. = \frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}$
हर समान करने पर:
$= \frac{\cos^2 A + (1+\sin A)^2}{(1+\sin A)(\cos A)}$
अंश का विस्तार करने पर:
$= \frac{\cos^2 A + 1 + \sin^2 A + 2\sin A}{(1+\sin A)(\cos A)}$
सर्वसमिका $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\sin^2 A + \cos^2 A) + 1 + 2\sin A}{(1+\sin A)(\cos A)}$
$= \frac{1 + 1 + 2\sin A}{(1+\sin A)(\cos A)}$
$= \frac{2 + 2\sin A}{(1+\sin A)(\cos A)}$
$2$ कॉमन लेने पर:
$= \frac{2(1+\sin A)}{(1+\sin A)(\cos A)}$
$= \frac{2}{\cos A} = 2 \sec A$
$= R.H.S.$

(A) $L.H.S. = \frac{\tan \theta}{1-\cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}$
$= \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta(\sin \theta-\cos \theta)}$
$= \frac{1}{(\sin \theta-\cos \theta)} \left[ \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} \right]$
$= \left( \frac{1}{\sin \theta-\cos \theta} \right) \left[ \frac{\sin^3 \theta-\cos^3 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right]$
$= \left( \frac{1}{\sin \theta-\cos \theta} \right) \left[ \frac{(\sin \theta-\cos \theta)(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta)}{\sin \theta \cos \theta} \right]$
$= \frac{1+\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$= \operatorname{cosec} \theta \sec \theta + 1 = R.H.S.$

(A) सिद्ध करना है: $\frac{1+\sec A}{\sec A} = \frac{\sin^2 A}{1-\cos A}$
चरण $1$: बाएँ पक्ष $(L.H.S.)$ को सरल कीजिए।
$L.H.S. = \frac{1+\sec A}{\sec A} = \frac{1 + \frac{1}{\cos A}}{\frac{1}{\cos A}}$
चरण $2$: भिन्न को सरल कीजिए।
$= \frac{\frac{\cos A + 1}{\cos A}}{\frac{1}{\cos A}} = \cos A + 1$
चरण $3$: दाएँ पक्ष $(R.H.S.)$ को $L.H.S.$ के बराबर लाने के लिए $L.H.S.$ को $\frac{1-\cos A}{1-\cos A}$ से गुणा कीजिए।
$= (1 + \cos A) \times \frac{1-\cos A}{1-\cos A}$
चरण $4$: सर्वसमिका $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करते हुए,इसलिए $1 - \cos^2 A = \sin^2 A$।
$= \frac{1 - \cos^2 A}{1 - \cos A} = \frac{\sin^2 A}{1 - \cos A}$
अतः,$L.H.S. = R.H.S.$

(N/A) सिद्ध करना है: $\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\operatorname{cosec} A+\cot A$
$L.H.S. = \frac{\cos A - \sin A + 1}{\cos A + \sin A - 1}$
अंश और हर को $\sin A$ से भाग देने पर:
$= \frac{\frac{\cos A}{\sin A} - \frac{\sin A}{\sin A} + \frac{1}{\sin A}}{\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\sin A}{\sin A} - \frac{1}{\sin A}}$
$= \frac{\cot A - 1 + \operatorname{cosec} A}{\cot A + 1 - \operatorname{cosec} A}$
अंश में सर्वसमिका $1 = \operatorname{cosec}^{2} A - \cot^{2} A$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\cot A + \operatorname{cosec} A - (\operatorname{cosec}^{2} A - \cot^{2} A)}{\cot A - \operatorname{cosec} A + 1}$
$= \frac{(\cot A + \operatorname{cosec} A) - (\operatorname{cosec} A - \cot A)(\operatorname{cosec} A + \cot A)}{\cot A - \operatorname{cosec} A + 1}$
$(\cot A + \operatorname{cosec} A)$ को कॉमन लेने पर:
$= \frac{(\cot A + \operatorname{cosec} A) [1 - (\operatorname{cosec} A - \cot A)]}{\cot A - \operatorname{cosec} A + 1}$
$= \frac{(\cot A + \operatorname{cosec} A) (1 - \operatorname{cosec} A + \cot A)}{\cot A - \operatorname{cosec} A + 1}$
चूँकि $(1 - \operatorname{cosec} A + \cot A) = (\cot A - \operatorname{cosec} A + 1)$,वे कट जाएंगे:
$= \cot A + \operatorname{cosec} A = R.H.S.$

(N/A) सर्वसमिका $\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}} = \sec A + \tan A$ को सिद्ध करने के लिए:
$L.H.S. = \sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}$
वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $(1 + \sin A)$ से गुणा करने पर:
$= \sqrt{\frac{(1+\sin A)(1+\sin A)}{(1-\sin A)(1+\sin A)}}$
सर्वसमिका $(1 - \sin^2 A) = \cos^2 A$ का उपयोग करने पर:
$= \sqrt{\frac{(1+\sin A)^2}{1-\sin^2 A}} = \sqrt{\frac{(1+\sin A)^2}{\cos^2 A}}$
वर्गमूल लेने पर:
$= \frac{1+\sin A}{\cos A}$
$= \frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} = \sec A + \tan A$
$= R.H.S.$

(A) दिया गया है: $L.H.S. = \frac{\sin \theta - 2 \sin^3 \theta}{2 \cos^3 \theta - \cos \theta}$
चरण $1$: अंश से $\sin \theta$ और हर से $\cos \theta$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर।
$L.H.S. = \frac{\sin \theta (1 - 2 \sin^2 \theta)}{\cos \theta (2 \cos^2 \theta - 1)}$
चरण $2$: सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,जिसका अर्थ है $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$।
इसे हर में प्रतिस्थापित करने पर:
$L.H.S. = \frac{\sin \theta (1 - 2 \sin^2 \theta)}{\cos \theta [2(1 - \sin^2 \theta) - 1]}$
चरण $3$: हर में कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर।
$2(1 - \sin^2 \theta) - 1 = 2 - 2 \sin^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta$
चरण $4$: व्यंजक में मान वापस रखने पर।
$L.H.S. = \frac{\sin \theta (1 - 2 \sin^2 \theta)}{\cos \theta (1 - 2 \sin^2 \theta)}$
चरण $5$: उभयनिष्ठ पद $(1 - 2 \sin^2 \theta)$ को काटने पर।
$L.H.S. = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta = R.H.S.$
अतः,सर्वसमिका सिद्ध हुई।

(N/A) सिद्ध करना है: $(\sin A + \operatorname{cosec} A)^2 + (\cos A + \sec A)^2 = 7 + \tan^2 A + \cot^2 A$
$L.H.S. = (\sin A + \operatorname{cosec} A)^2 + (\cos A + \sec A)^2$
सर्वसमिका $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करने पर:
$= (\sin^2 A + \operatorname{cosec}^2 A + 2 \sin A \operatorname{cosec} A) + (\cos^2 A + \sec^2 A + 2 \cos A \sec A)$
$= (\sin^2 A + \cos^2 A) + \operatorname{cosec}^2 A + \sec^2 A + 2 \sin A \left(\frac{1}{\sin A}\right) + 2 \cos A \left(\frac{1}{\cos A}\right)$
चूँकि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$,$\operatorname{cosec}^2 A = 1 + \cot^2 A$,और $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$:
$= 1 + (1 + \cot^2 A) + (1 + \tan^2 A) + 2(1) + 2(1)$
$= 1 + 1 + \cot^2 A + 1 + \tan^2 A + 2 + 2$
$= 7 + \tan^2 A + \cot^2 A$
$= R.H.S.$

(A) सिद्ध करना है: $(\operatorname{cosec} A - \sin A)(\sec A - \cos A) = \frac{1}{\tan A + \cot A}$
$L.H.S. = (\operatorname{cosec} A - \sin A)(\sec A - \cos A)$
$= (\frac{1}{\sin A} - \sin A)(\frac{1}{\cos A} - \cos A)$
$= (\frac{1 - \sin^2 A}{\sin A})(\frac{1 - \cos^2 A}{\cos A})$
$= (\frac{\cos^2 A}{\sin A})(\frac{\sin^2 A}{\cos A})$
$= \sin A \cos A$
$R.H.S. = \frac{1}{\tan A + \cot A}$
$= \frac{1}{\frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\cos A}{\sin A}}$
$= \frac{1}{\frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin A \cos A}}$
$= \frac{\sin A \cos A}{\sin^2 A + \cos^2 A}$
$= \frac{\sin A \cos A}{1} = \sin A \cos A$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः सर्वसमिका सिद्ध हुई।

(A) सबसे पहले,व्यंजक $\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}$ पर विचार करें।
सर्वसमिकाओं $1+\tan ^{2} A = \sec ^{2} A$ और $1+\cot ^{2} A = \operatorname{cosec}^{2} A$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\sec ^{2} A}{\operatorname{cosec}^{2} A} = \frac{1/\cos ^{2} A}{1/\sin ^{2} A} = \frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A} = \tan ^{2} A$.
अब,व्यंजक $\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2}$ पर विचार करें।
$\cot A = \frac{1}{\tan A}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{1-\tan A}{1-\frac{1}{\tan A}}\right)^{2} = \left(\frac{1-\tan A}{\frac{\tan A - 1}{\tan A}}\right)^{2} = \left(\frac{(1-\tan A) \cdot \tan A}{-(1-\tan A)}\right)^{2} = (-\tan A)^{2} = \tan ^{2} A$.
चूँकि दोनों भाग $\tan ^{2} A$ के बराबर हैं,इसलिए सर्वसमिका सिद्ध होती है।

(N/A) बायाँ पक्ष ($L$.$H$.$S$.) $= \tan \theta + \tan (90^{\circ} - \theta)$
चूँकि $\tan (90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$,इसलिए:
$= \tan \theta + \cot \theta$
$= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$= \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\sin \theta}$
$= \sec \theta \operatorname{cosec} \theta$
चूँकि $\operatorname{cosec} \theta = \sec (90^{\circ} - \theta)$,इसलिए:
$= \sec \theta \sec (90^{\circ} - \theta) = \text{दायाँ पक्ष (R.H.S.)}$

(A) दिया गया व्यंजक: $(1+\tan ^{2} \theta)(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}$ का उपयोग करने पर,$(1-\sin \theta)(1+\sin \theta) = 1-\sin ^{2} \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $(1+\tan ^{2} \theta)(1-\sin ^{2} \theta)$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $1+\tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta$ और $1-\sin ^{2} \theta = \cos ^{2} \theta$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sec ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,इसलिए $\sec ^{2} \theta = \frac{1}{\cos ^{2} \theta}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{\cos ^{2} \theta} \cdot \cos ^{2} \theta = 1$।

(B) दिया गया समीकरण: $2 \sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta = 2$
सर्वसमिका $\cos^{2} \theta = 1 - \sin^{2} \theta$ का उपयोग करते हुए,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2 \sin^{2} \theta - (1 - \sin^{2} \theta) = 2$
व्यंजक को सरल करने पर:
$2 \sin^{2} \theta - 1 + \sin^{2} \theta = 2$
$3 \sin^{2} \theta - 1 = 2$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$3 \sin^{2} \theta = 3$
$3$ से भाग देने पर:
$\sin^{2} \theta = 1$
वर्गमूल लेने पर:
$\sin \theta = 1$ (मुख्य मान को ध्यान में रखते हुए)
चूँकि $\sin 90^{\circ} = 1$,इसलिए:
$\theta = 90^{\circ}$