Trigonometric Identities Questions in Hindi

(N/A) बा.प. $= \frac{\cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right)+\cos ^{2}\left(45^{\circ}-\theta\right)}{\tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \tan \left(30^{\circ}-\theta\right)}$
सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(90^{\circ}-\theta)$ और $\tan \theta = \cot(90^{\circ}-\theta)$ का उपयोग करने पर:
अंश: $\cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right) + \sin ^{2}\left(90^{\circ}-(45^{\circ}-\theta)\right) = \cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right) + \sin ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right) = 1$
हर: $\tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \cot \left(90^{\circ}-(30^{\circ}-\theta)\right) = \tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \cot \left(60^{\circ}+\theta\right) = \tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \frac{1}{\tan \left(60^{\circ}+\theta\right)} = 1$
अतः,$\frac{1}{1} = 1 = \text{दा.प.}$

(N/A) बायाँ पक्ष ($L$.$H$.$S$.) $= \tan ^{4} \theta + \tan ^{2} \theta$
$= \tan ^{2} \theta (\tan ^{2} \theta + 1)$
$= \tan ^{2} \theta \cdot \sec ^{2} \theta$ (चूँकि $\sec ^{2} \theta = \tan ^{2} \theta + 1$)
$= (\sec ^{2} \theta - 1) \cdot \sec ^{2} \theta$ (चूँकि $\tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta - 1$)
$= \sec ^{4} \theta - \sec ^{2} \theta = \text{दायाँ पक्ष (R.H.S.)}$

(N/A) दिया गया है,$\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = p$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = p$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $\frac{(1 + \cos \theta)^{2}}{\sin^{2} \theta} = p^{2}$.
सर्वसमिका $\sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta = (1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(1 + \cos \theta)^{2}}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)} = p^{2} \Rightarrow \frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = p^{2}$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1} = \frac{(1 + \cos \theta) - (1 - \cos \theta)}{(1 + \cos \theta) + (1 - \cos \theta)}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1} = \frac{1 + \cos \theta - 1 + \cos \theta}{1 + \cos \theta + 1 - \cos \theta} = \frac{2 \cos \theta}{2} = \cos \theta$.
अतः,$\cos \theta = \frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1}$. इति सिद्धम्।

(A) $L.H.S. = \sqrt{\sec ^{2} \theta+\operatorname{cosec}^{2} \theta}$
$= \sqrt{\frac{1}{\cos ^{2} \theta}+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}}$ $\left[\because \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \text{ और } \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}\right]$
$= \sqrt{\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta}} = \sqrt{\frac{1}{\sin ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta}}$ $\left[\because \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta = 1\right]$
$= \frac{1}{\sin \theta \cdot \cos \theta} = \frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta}$ $\left[\because 1 = \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right]$
$= \frac{\sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta} + \frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta}$
$= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ $\left[\because \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \text{ और } \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right]$
$= \tan \theta + \cot \theta = R.H.S.$

(A) दिया गया समीकरण: $1+\sin ^{2} \theta=3 \sin \theta \cos \theta$
दोनों पक्षों को $\cos^{2} \theta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\cos^{2} \theta} + \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} = \frac{3 \sin \theta \cos \theta}{\cos^{2} \theta}$
सर्वसमिकाओं $\sec^{2} \theta = \frac{1}{\cos^{2} \theta}$,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,और $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ का उपयोग करने पर:
$(1 + \tan^{2} \theta) + \tan^{2} \theta = 3 \tan \theta$
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर:
$2 \tan^{2} \theta - 3 \tan \theta + 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2 \tan^{2} \theta - 2 \tan \theta - \tan \theta + 1 = 0$
$2 \tan \theta (\tan \theta - 1) - 1 (\tan \theta - 1) = 0$
$(2 \tan \theta - 1) (\tan \theta - 1) = 0$
अतः,$\tan \theta - 1 = 0$ या $2 \tan \theta - 1 = 0$
$\tan \theta = 1$ या $\tan \theta = \frac{1}{2}$.
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया गया है,$\sin \theta + 2 \cos \theta = 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sin \theta + 2 \cos \theta)^2 = 1^2$
$\sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ और $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$(1 - \cos^2 \theta) + 4(1 - \sin^2 \theta) + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$
$1 - \cos^2 \theta + 4 - 4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$
$5 - (\cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta) = 1$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta = 5 - 1$
$4 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta = 4$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ को पहचानने पर,जहाँ $a = 2 \sin \theta$ और $b = \cos \theta$ है:
$(2 \sin \theta - \cos \theta)^2 = 4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$2 \sin \theta - \cos \theta = 2$
अतः सिद्ध हुआ।

(A) दिया है: $\tan \theta + \sec \theta = l$ .....$(i)$
हम जानते हैं कि सर्वसमिका: $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta = 1$ होती है।
इसे $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण $(i)$ से $(\sec \theta + \tan \theta)$ का मान रखने पर:
$(\sec \theta - \tan \theta) \cdot l = 1$
$\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{l}$ .....$(ii)$
अब,समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(\tan \theta + \sec \theta) + (\sec \theta - \tan \theta) = l + \frac{1}{l}$
$2 \sec \theta = \frac{l^{2} + 1}{l}$
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर:
$\sec \theta = \frac{l^{2} + 1}{2l}$।
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: $a \sin \theta + b \cos \theta = c$ $(1)$
माना कि $x = a \cos \theta - b \sin \theta$ $(2)$
दोनों समीकरणों $(1)$ और $(2)$ का वर्ग करके उन्हें जोड़ने पर:
$(a \sin \theta + b \cos \theta)^2 + (a \cos \theta - b \sin \theta)^2 = c^2 + x^2$
$a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta + a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta = c^2 + x^2$
$a^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + b^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = c^2 + x^2$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$a^2(1) + b^2(1) = c^2 + x^2$
$a^2 + b^2 = c^2 + x^2$
$x^2 = a^2 + b^2 - c^2$
$x = \pm \sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$
अतः,$a \cos \theta - b \sin \theta = \pm \sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$ सिद्ध हुआ।

(A) $L$.$H$.$S$. $= \frac{1+\sec \theta-\tan \theta}{1+\sec \theta+\tan \theta}$
$= \frac{1+\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1+\frac{1}{\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$ $\left[\because \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta} \text{ और } \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right]$
$= \frac{\cos \theta+1-\sin \theta}{\cos \theta+1+\sin \theta} = \frac{(\cos \theta+1)-\sin \theta}{(\cos \theta+1)+\sin \theta}$
सर्वसमिका $1 = \sec^2 \theta - \tan^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta) + (\sec \theta - \tan \theta)}{1 + \sec \theta + \tan \theta}$
$= \frac{(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) + (\sec \theta - \tan \theta)}{1 + \sec \theta + \tan \theta}$
$= \frac{(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta + 1)}{1 + \sec \theta + \tan \theta}$
$= \sec \theta - \tan \theta$
$= \frac{1}{\cos \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1-\sin \theta}{\cos \theta} = \text{R.H.S.}$
इति सिद्धम्।

(A) त्रिकोणमिति में,पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात इस प्रकार परिभाषित किए जाते हैं:
$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$
$\cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta$
$\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta$
$\cot (90^\circ - \theta) = \tan \theta$
$\sec (90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec} \theta$
$\operatorname{cosec} (90^\circ - \theta) = \sec \theta$
अतः,पूरक कोणों के लिए मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के आधार पर,$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$ होता है।

(B) त्रिकोणमिति में,पूरक कोण सर्वसमिकाओं के अनुसार,$(90^\circ - \theta)$ कोण के त्रिकोणमितीय फलन $\theta$ के सह-फलन (co-functions) से संबंधित होते हैं।
विशेष रूप से,सेकेंट (secant) फलन के लिए,सर्वसमिका $\sec (90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec} \theta$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) त्रिकोणमिति में,पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात इस प्रकार परिभाषित किए जाते हैं:
$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$
$\cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta$
$\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta$
$\cot (90^\circ - \theta) = \tan \theta$
$\sec (90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec} \theta$
$\operatorname{cosec} (90^\circ - \theta) = \sec \theta$
अतः,$\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta$ होता है।

(A) दिया गया है कि $\sin \theta + \sin^2 \theta = 1$ है।
हम इसे $\sin \theta = 1 - \sin^2 \theta$ के रूप में लिख सकते हैं।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ होता है।
इसलिए,$\sin \theta = \cos^2 \theta$ है।
अब,हमें $\cos^2 \theta + \cos^4 \theta$ का मान ज्ञात करना है।
इस व्यंजक में $\cos^2 \theta = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 \theta + \cos^4 \theta = \sin \theta + (\cos^2 \theta)^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos^2 \theta = \sin \theta$,इसलिए $(\cos^2 \theta)^2 = \sin^2 \theta$ होगा।
अतः,व्यंजक $\sin \theta + \sin^2 \theta$ बन जाता है।
दिया गया है कि $\sin \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए अंतिम मान $1$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ और $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ होता है।
साथ ही,$\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ और $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ होता है।
दी गई अभिव्यक्ति: $\sec 55^{\circ} \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \operatorname{cosec} 55^{\circ}$।
$55^{\circ}$ को $(90^{\circ} - 35^{\circ})$ के रूप में लिखने पर:
$= \sec(90^{\circ} - 35^{\circ}) \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \operatorname{cosec}(90^{\circ} - 35^{\circ})$
$= \operatorname{cosec} 35^{\circ} \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \sec 35^{\circ}$
चूंकि $\operatorname{cosec} 35^{\circ} = \frac{1}{\sin 35^{\circ}}$ और $\sec 35^{\circ} = \frac{1}{\cos 35^{\circ}}$ है:
$= \left(\frac{1}{\sin 35^{\circ}}\right) \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \left(\frac{1}{\cos 35^{\circ}}\right)$
$= 1 + 1 = 2$।

(D) दी गई व्यंजक: $(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$(1-\cos \theta)(1+\cos \theta) = 1^2 - \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ के अनुसार,हम $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ लिख सकते हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan ^{2} \theta = \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta$ है।
हम जानते हैं कि आधारभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ होती है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\tan ^{2} \theta = 1$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\tan \theta = 1$ (न्यून कोण के लिए)।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$ होता है,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।

(D) हम जानते हैं कि $\tan \theta = \cot(90^{\circ} - \theta)$.
इस सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$\tan 48^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 42^{\circ}) = \cot 42^{\circ}$
$\tan 67^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 23^{\circ}) = \cot 23^{\circ}$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 48^{\circ} \tan 67^{\circ} = \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \cot 42^{\circ} \cot 23^{\circ}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$= (\tan 23^{\circ} \cot 23^{\circ}) \times (\tan 42^{\circ} \cot 42^{\circ})$
चूंकि $\tan \theta \times \cot \theta = 1$ होता है:
$= 1 \times 1 = 1$

(D) दिया गया है: $\sec 4A = \operatorname{cosec}(A - 20^\circ)$
हम जानते हैं कि $\sec \theta = \operatorname{cosec}(90^\circ - \theta)$.
अतः,$\operatorname{cosec}(90^\circ - 4A) = \operatorname{cosec}(A - 20^\circ)$.
कोणों की तुलना करने पर: $90^\circ - 4A = A - 20^\circ$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $90^\circ + 20^\circ = A + 4A$.
$110^\circ = 5A$.
$A = \frac{110^\circ}{5} = 22^\circ$.

(B) दिया गया है कि $A+B+C=180^{\circ}$ है।
हम $A+B = 180^{\circ}-C$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{A+B}{2} = \frac{180^{\circ}-C}{2} = 90^{\circ}-\frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर: $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \tan \left(90^{\circ}-\frac{C}{2}\right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(90^{\circ}-\theta) = \cot \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $\sin(90^{\circ}-A) = \cos A$ होता है।
अतः,$\sin(50^{\circ}+\theta) = \cos(90^{\circ}-(50^{\circ}+\theta))$।
$= \cos(90^{\circ}-50^{\circ}-\theta) = \cos(40^{\circ}-\theta)$।
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos(40^{\circ}-\theta) - \sin(50^{\circ}+\theta) = \cos(40^{\circ}-\theta) - \cos(40^{\circ}-\theta) = 0$।

(C) हम जानते हैं कि $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ और $\sin(90^{\circ}-\theta) = \cos \theta$ होता है।
इसलिए,$\cos^{2} 50^{\circ} = \cos^{2}(90^{\circ}-40^{\circ}) = \sin^{2} 40^{\circ}$।
इसी प्रकार,$\sin^{2} 50^{\circ} = \sin^{2}(90^{\circ}-40^{\circ}) = \cos^{2} 40^{\circ}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos^{2} 40^{\circ} + \sin^{2} 40^{\circ}}{\sin^{2} 40^{\circ} + \cos^{2} 40^{\circ}}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{1} = 1$।

(A) हम पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं:
$\cos (90^{\circ}- A ) = \sin A$
$\sin (90^{\circ}- A ) = \cos A$
$\tan (90^{\circ}- A ) = \cot A$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos (90^{\circ}- A ) \sin (90^{\circ}- A )}{\tan (90^{\circ}- A )} = \frac{\sin A \cdot \cos A}{\cot A}$
चूंकि $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$,इसलिए:
$= \frac{\sin A \cdot \cos A}{\frac{\cos A}{\sin A}}$
$= \sin A \cdot \cos A \cdot \frac{\sin A}{\cos A}$
$= \sin A \cdot \sin A = \sin ^{2} A$

(C) दिया गया है कि $\sin 3 \theta = \cos (\theta - 26^{\circ})$.
हम जानते हैं कि $\sin A = \cos (90^{\circ} - A)$.
इसलिए,$\cos (90^{\circ} - 3 \theta) = \cos (\theta - 26^{\circ})$.
कोणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $90^{\circ} - 3 \theta = \theta - 26^{\circ}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$90^{\circ} + 26^{\circ} = \theta + 3 \theta$.
$116^{\circ} = 4 \theta$.
$\theta = \frac{116^{\circ}}{4} = 29^{\circ}$.
अतः,$\theta$ का मान $29^{\circ}$ है।

(C) दिया गया है कि $\tan A = \cot B$ है।
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cot B = \tan(90^\circ - B)$ जानते हैं।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\tan A = \tan(90^\circ - B)$ प्राप्त होता है।
कोणों की तुलना करने पर,$A = 90^\circ - B$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$A + B = 90^\circ$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया व्यंजक: $2 \sin ^{2} \theta+4 \sec ^{2} \theta+5 \cot ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \theta-4 \tan ^{2} \theta-5 \operatorname{cosec}^{2} \theta$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके पदों को व्यवस्थित करने पर:
$= 2(\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta) + 4(\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta) - 5(\operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot ^{2} \theta)$
मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए:
$1) \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$
$2) \sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$
$3) \operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot ^{2} \theta = 1$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2(1) + 4(1) - 5(1)$
$= 2 + 4 - 5$
$= 1$

(A) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ है।
इसलिए,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ होगा।
$\cos \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का मान रखने पर:
$\sin^2 \theta = 1 - \left( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\sin^2 \theta = \frac{(a^2 + b^2) - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}$ होगा।
चूंकि $0 < \theta < 90^\circ$ है,इसलिए $\sin \theta$ धनात्मक होगा।
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{a^2}{a^2 + b^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$।

(C) दिया गया है कि $\sec \theta = \frac{5}{3}$.
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करेंगे।
$\sec \theta$ का मान रखने पर:
$\tan^2 \theta = \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1$
$\tan^2 \theta = \frac{25}{9} - 1$
$\tan^2 \theta = \frac{25 - 9}{9} = \frac{16}{9}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\tan \theta = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$.

(A) हम जानते हैं कि $\frac{1}{\cos ^{2} \theta} = \sec ^{2} \theta$ और $\frac{1}{\cot ^{2} \theta} = \tan ^{2} \theta$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$ प्राप्त होता है।

(B) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को जानते हैं:
$1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta$ और $1 - \cos^{2} \theta = \sin^{2} \theta$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + \tan^{2} \theta)(1 - \cos^{2} \theta) = \sec^{2} \theta \cdot \sin^{2} \theta$.
चूंकि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,इसलिए:
$\sec^{2} \theta \cdot \sin^{2} \theta = \frac{1}{\cos^{2} \theta} \cdot \sin^{2} \theta = \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} = \tan^{2} \theta$.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$a \sin \theta = 3$ --- $(1)$
$a \cos \theta = 4$ --- $(2)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(a \sin \theta)^2 = 3^2 \implies a^2 \sin^2 \theta = 9$ --- $(3)$
$(a \cos \theta)^2 = 4^2 \implies a^2 \cos^2 \theta = 16$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$a^2 \sin^2 \theta + a^2 \cos^2 \theta = 9 + 16$
$a^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 25$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$a^2 (1) = 25$
$a^2 = 25$
चूँकि $a > 0$,इसलिए धनात्मक वर्गमूल लेने पर:
$a = 5$.

(D) हम जानते हैं कि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ प्राप्त होता है।
हर समान करने पर: $\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$ मिलता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर: $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$ और $\frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta$ होता है,इसलिए व्यंजक का सरल रूप $\operatorname{cosec} \theta \cdot \sec \theta$ है।

(B) हमें दिया गया व्यंजक है: $(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2$.
बीजगणितीय सर्वसमिकाओं $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ और $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$= (\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) + (\sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$.
समान पदों को जोड़ने पर,$2 \sin \theta \cos \theta$ और $-2 \sin \theta \cos \theta$ कट जाएंगे:
$= \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta$.
$= 2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$.
$= 2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$.
चूंकि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होती है,इसलिए यह मान रखने पर:
$= 2(1) = 2$.

(A) हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\sin ^{2} A + \cos ^{2} A = 1$।
दिए गए समीकरण $\sin ^{2} 35^{\circ} + \cos ^{2} \theta = 1$ की तुलना सर्वसमिका $\sin ^{2} A + \cos ^{2} A = 1$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि योग $1$ होने के लिए कोण समान होने चाहिए।
अतः,$\theta = 35^{\circ}$।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{2} \theta = \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta$
हम जानते हैं कि आधारभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$
इस सर्वसमिका को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\tan ^{2} \theta = 1$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर और $0 < \theta < 90^{\circ}$ (जहाँ $\tan \theta$ धनात्मक है) को ध्यान में रखते हुए: $\tan \theta = 1$
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\sin ^{2}(3 x+30^{\circ})+\cos ^{2}(2 x+45^{\circ})=1$ है।
हम जानते हैं कि मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$ होती है।
दिए गए समीकरण की तुलना सर्वसमिका से करने पर,हमें $3 x+30^{\circ} = 2 x+45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $2x$ घटाने पर,$x+30^{\circ} = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $30^{\circ}$ घटाने पर,$x = 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(D) हम पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को जानते हैं: $\tan(90^\circ - A) = \cot A$ और $\sec(90^\circ - A) = \operatorname{cosec} A$.
सबसे पहले,पद $\tan(65^\circ - \theta)$ पर विचार करें:
$\tan(65^\circ - \theta) = \cot(90^\circ - (65^\circ - \theta)) = \cot(25^\circ + \theta)$.
इसके बाद,पद $\sec(55^\circ - \theta)$ पर विचार करें:
$\sec(55^\circ - \theta) = \operatorname{cosec}(90^\circ - (55^\circ - \theta)) = \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta)$.
अब,इन मानों को दी गई व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$\tan(65^\circ - \theta) - \cot(25^\circ + \theta) - \sec(55^\circ - \theta) + \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta)$
$= \cot(25^\circ + \theta) - \cot(25^\circ + \theta) - \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta) + \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta)$
$= 0$.

(C) हम जानते हैं कि $\frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta$ होता है।
अतः,$\frac{1}{\cos ^{2} \theta} = \sec ^{2} \theta$ होगा।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\sec ^{2} \theta - 1 = \tan ^{2} \theta$।
इस प्रकार,$\frac{1}{\cos ^{2} \theta} - 1 = \tan ^{2} \theta$ होगा।

(B) हम जानते हैं कि $\frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$ होता है।
इसलिए,$\frac{1}{\sin ^{2} \theta} = \operatorname{cosec}^{2} \theta$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\operatorname{cosec}^{2} \theta - 1$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cot^{2} \theta = \operatorname{cosec}^{2} \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\operatorname{cosec}^{2} \theta - 1 = \cot^{2} \theta$ प्राप्त होता है।

(A) हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$.
$\tan ^{2} \theta - \sec ^{2} \theta$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम सर्वसमिका को $-1$ से गुणा कर सकते हैं।
$-1 \times (\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta) = -1 \times 1$.
अतः,$\tan ^{2} \theta - \sec ^{2} \theta = -1$.

(B) हम जानते हैं कि बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ होती है।
इस सर्वसमिका को $\sec ^{4} \theta-\tan ^{4} \theta$ व्यंजक पर लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sec ^{4} \theta-\tan ^{4} \theta = (\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta)(\sec ^{2} \theta + \tan ^{2} \theta)$.
त्रिकोणमितीय मूल सर्वसमिका से,हम जानते हैं कि $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sec ^{4} \theta - \tan ^{4} \theta = (1) \times \left(\frac{13}{12}\right) = \frac{13}{12}$.

(D) हमें व्यंजक $\frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1}$ दिया गया है।
चूंकि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,हम अंश और हर को $\cos \theta$ से गुणा कर सकते हैं:
$\frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1} = \frac{(\sec \theta-1) \cdot \cos \theta}{(\sec \theta+1) \cdot \cos \theta}$
$= \frac{\sec \theta \cdot \cos \theta - \cos \theta}{\sec \theta \cdot \cos \theta + \cos \theta}$
$= \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ (क्योंकि $\sec \theta \cdot \cos \theta = 1$)
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cot \theta \cdot \tan \theta = \left( \frac{1}{\tan \theta} \right) \cdot \tan \theta = 1$.

(D) दिया गया समीकरण: $\tan 7 \theta \cdot \tan 3 \theta = 1$
हम जानते हैं कि $\tan 3 \theta = \frac{1}{\cot 3 \theta}$,इसलिए $\tan 7 \theta = \frac{1}{\tan 3 \theta} = \cot 3 \theta$ होगा।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cot \alpha = \tan(90^{\circ} - \alpha)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan 7 \theta = \tan(90^{\circ} - 3 \theta)$
कोणों की तुलना करने पर:
$7 \theta = 90^{\circ} - 3 \theta$
दोनों पक्षों में $3 \theta$ जोड़ने पर:
$10 \theta = 90^{\circ}$
$10$ से भाग देने पर:
$\theta = 9^{\circ}$

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot \tan 45^{\circ} \cdot \tan 65^{\circ} \cdot \tan 85^{\circ}$
हम जानते हैं कि $\tan 45^{\circ} = 1$ और $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot 1 \cdot \tan(90^{\circ} - 25^{\circ}) \cdot \tan(90^{\circ} - 5^{\circ})$
$= \tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot 1 \cdot \cot 25^{\circ} \cdot \cot 5^{\circ}$
चूंकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ होता है,इसलिए पदों को समूहबद्ध करने पर:
$= (\tan 5^{\circ} \cdot \cot 5^{\circ}) \cdot (\tan 25^{\circ} \cdot \cot 25^{\circ}) \cdot 1$
$= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

(A) हम जानते हैं कि $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
अतः,$\sin 75^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 15^{\circ}) = \cos 15^{\circ}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^{2} 15^{\circ} + \sin^{2} 75^{\circ} = \sin^{2} 15^{\circ} + (\cos 15^{\circ})^{2}$
$= \sin^{2} 15^{\circ} + \cos^{2} 15^{\circ}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 1$.

(C) हमें दिया गया व्यंजक है: $\sin ^{2} 1^{\circ} + \sin ^{2} 3^{\circ} + \sin ^{2} 87^{\circ} + \sin ^{2} 89^{\circ}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$\sin ^{2} 87^{\circ} = \sin ^{2}(90^{\circ} - 3^{\circ}) = \cos ^{2} 3^{\circ}$
$\sin ^{2} 89^{\circ} = \sin ^{2}(90^{\circ} - 1^{\circ}) = \cos ^{2} 1^{\circ}$
इन मानों को मूल व्यंजक में रखने पर:
$= \sin ^{2} 1^{\circ} + \sin ^{2} 3^{\circ} + \cos ^{2} 3^{\circ} + \cos ^{2} 1^{\circ}$
समान कोण वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$= (\sin ^{2} 1^{\circ} + \cos ^{2} 1^{\circ}) + (\sin ^{2} 3^{\circ} + \cos ^{2} 3^{\circ})$
सर्वसमिका $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$= 1 + 1 = 2$.

(C) हम जानते हैं कि $\tan \theta$ का व्युत्क्रम $\cot \theta$ होता है,इसलिए $\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$ है।
अतः,$\frac{1}{\tan^{2} \theta} = \cot^{2} \theta$ होगा।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\cot^{2} \theta + 1$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cot^{2} \theta = \operatorname{cosec}^{2} \theta$ का उपयोग करने पर,अंतिम परिणाम $\operatorname{cosec}^{2} \theta$ प्राप्त होता है।