Trigonometric Ratios of Some Specific Angles Questions in Hindi

(N/A) भुजा $BC$ की लंबाई ज्ञात करने के लिए,हम $BC$ और दी गई भुजा $AB$ को शामिल करने वाले त्रिकोणमितीय अनुपात का चयन करेंगे। चूँकि $BC$ कोण $C$ की आसन्न भुजा है और $AB$ कोण $C$ की सम्मुख भुजा है,इसलिए:
$\frac{AB}{BC} = \tan C$
$\frac{5}{BC} = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
जिससे $BC = 5\sqrt{3} \, cm$ प्राप्त होता है।
भुजा $AC$ की लंबाई ज्ञात करने के लिए,हम विचार करते हैं:
$\sin 30^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
$\frac{1}{2} = \frac{5}{AC}$
$AC = 10 \, cm$.
वैकल्पिक रूप से,हम तीसरी भुजा निर्धारित करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते थे:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} \, cm = \sqrt{25 + 75} \, cm = \sqrt{100} \, cm = 10 \, cm$.

(A) दिया गया है कि $\triangle PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$,$PQ = 3 \, cm$ और $PR = 6 \, cm$ है।
$\angle PRQ$ (या $\angle R$) के लिए,सम्मुख भुजा $PQ$ है और कर्ण $PR$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हुए: $\sin R = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{PQ}{PR}$.
$\sin R = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\angle PRQ = 30^{\circ}$ है।
$\triangle PQR$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle QPR + \angle PQR + \angle PRQ = 180^{\circ}$.
$\angle QPR + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle QPR = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

(A) दिया गया है कि $\sin ( A - B ) = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $A - B = 30^{\circ}$ ......$(1)$
साथ ही,दिया गया है कि $\cos ( A + B ) = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $A + B = 60^{\circ}$ ......$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(A - B) + (A + B) = 30^{\circ} + 60^{\circ}$
$2A = 90^{\circ}$
$A = 45^{\circ}$
समीकरण $(2)$ में $A = 45^{\circ}$ रखने पर:
$45^{\circ} + B = 60^{\circ}$
$B = 60^{\circ} - 45^{\circ}$
$B = 15^{\circ}$
अतः,$A = 45^{\circ}$ और $B = 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई व्यंजक $\sin 60^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ}$ है।
मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करते हुए:
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)$
$= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
$= \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$।

(B) दी गई व्यंजक: $2 \tan ^{2} 45^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}-\sin ^{2} 60^{\circ}$
हम त्रिकोणमितीय मान जानते हैं:
$\tan 45^{\circ} = 1$
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2(1)^{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$
$= 2(1) + \frac{3}{4} - \frac{3}{4}$
$= 2 + 0 = 2$

(A) दी गई व्यंजक: $\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\operatorname{cosec} 30^{\circ}}$
त्रिकोणमितीय मान रखने पर: $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sec 30^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$,और $\operatorname{cosec} 30^{\circ} = 2$.
$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}(2+2\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को $(2\sqrt{6}-2\sqrt{2})$ से गुणा करने पर:
$= \frac{\sqrt{3}(2\sqrt{6}-2\sqrt{2})}{(2\sqrt{6}+2\sqrt{2})(2\sqrt{6}-2\sqrt{2})}$
$= \frac{2\sqrt{18}-2\sqrt{6}}{(2\sqrt{6})^2-(2\sqrt{2})^2} = \frac{2(3\sqrt{2})-2\sqrt{6}}{24-8} = \frac{6\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{16}$
$= \frac{2(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{16} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$

त्रिकोणमितीय मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\operatorname{cosec} 60^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$,$\sec 30^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\cot 45^{\circ} = 1$.
$\frac{\frac{1}{2}+1-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}+1} = \frac{\frac{3}{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3}{2}+\frac{2}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{3\sqrt{3}-4}{2\sqrt{3}}}{\frac{3\sqrt{3}+4}{2\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3}-4}{3\sqrt{3}+4}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$= \frac{(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}-4)}{(3\sqrt{3}+4)(3\sqrt{3}-4)} = \frac{(3\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2(3\sqrt{3})(4)}{(3\sqrt{3})^2 - 4^2}$
$= \frac{27 + 16 - 24\sqrt{3}}{27 - 16} = \frac{43 - 24\sqrt{3}}{11}$

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}$
त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करने पर: $\cos 60^{\circ} = 1/2$,$\sec 30^{\circ} = 2/\sqrt{3}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\sin 30^{\circ} = 1/2$,$\cos 30^{\circ} = \sqrt{3}/2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{5(1/2)^{2} + 4(2/\sqrt{3})^{2} - (1)^{2}}{(1/2)^{2} + (\sqrt{3}/2)^{2}}$
$= \frac{5(1/4) + 4(4/3) - 1}{1/4 + 3/4}$
$= \frac{5/4 + 16/3 - 1}{4/4}$
$= \frac{(15 + 64 - 12)/12}{1}$
$= 67/12$

(B) हम जानते हैं कि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}} = \frac{2(\frac{1}{\sqrt{3}})}{1+(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}$
$= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}$
$= \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\tan 45^{\circ} = 1$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}} = \frac{1-(1)^{2}}{1+(1)^{2}}$
$= \frac{1-1}{1+1}$
$= \frac{0}{2}$
$= 0$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) हमें समीकरण $\sin 2A = 2 \sin A$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$2 \sin A \cos A = 2 \sin A$
$2 \sin A \cos A - 2 \sin A = 0$
$2 \sin A (\cos A - 1) = 0$
इसका अर्थ है कि या तो $\sin A = 0$ है या $\cos A = 1$ है।
$\sin A = 0$ के लिए,$A = 0^{\circ}, 180^{\circ}, \dots$
$\cos A = 1$ के लिए,$A = 0^{\circ}, 360^{\circ}, \dots$
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,$A = 0^{\circ}$ के लिए:
बायाँ पक्ष $(LHS)$: $\sin 2(0^{\circ}) = \sin 0^{\circ} = 0$
दायाँ पक्ष $(RHS)$: $2 \sin 0^{\circ} = 2(0) = 0$
चूँकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}} = \frac{2 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}{1 - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2}}$
$= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}}$
$= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}$
$= \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$।
चूंकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है कि $\tan (A + B) = \sqrt{3}$.
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए $A + B = 60^{\circ} \dots (1)$.
साथ ही,$\tan (A - B) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $A - B = 30^{\circ} \dots (2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(A + B) + (A - B) = 60^{\circ} + 30^{\circ}$
$2A = 90^{\circ}$
$A = 45^{\circ}$.
समीकरण $(1)$ में $A = 45^{\circ}$ रखने पर:
$45^{\circ} + B = 60^{\circ}$
$B = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$.
अतः,$A = 45^{\circ}$ और $B = 15^{\circ}$ है।

(A) यह कथन सत्य है।
$0^{\circ} \le \theta \le 90^{\circ}$ के अंतराल में जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$\sin \theta$ का मान बढ़ता है।
हम इसे मानक त्रिकोणमितीय मानों से देख सकते हैं:
$\sin 0^{\circ} = 0$
$\sin 30^{\circ} = 0.5$
$\sin 45^{\circ} \approx 0.707$
$\sin 60^{\circ} \approx 0.866$
$\sin 90^{\circ} = 1$
जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\sin \theta$ का मान $0$ से $1$ तक बढ़ जाता है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि कथन सत्य है या असत्य,आइए $0^{\circ} \leq \theta \leq 90^{\circ}$ के अंतराल में $\theta$ के विभिन्न कोणों के लिए $\cos \theta$ के मानों का मूल्यांकन करें:
$\cos 0^{\circ} = 1$
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = 0.5$
$\cos 90^{\circ} = 0$
जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\cos \theta$ का मान $1$ से घटकर $0$ हो जाता है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
हम जानते हैं कि $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ होता है।
$A = 0^{\circ}$ के लिए,$\cot 0^{\circ} = \frac{\cos 0^{\circ}}{\sin 0^{\circ}}$ होगा।
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$ और $\sin 0^{\circ} = 0$ है,इसलिए हमें $\cot 0^{\circ} = \frac{1}{0}$ प्राप्त होता है।
गणित में शून्य से भाग देना अपरिभाषित है। अतः,$\cot 0^{\circ}$ परिभाषित नहीं है।

(N/A) दी गई अभिव्यक्ति को $0^{\circ}$ और $45^{\circ}$ के बीच के कोणों के पदों में व्यक्त करने के लिए,हम पूरक कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं: $\cot(90^{\circ}-\theta) = \tan \theta$ और $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$।
दी गई अभिव्यक्ति: $\cot 85^{\circ} + \cos 75^{\circ}$
चरण $1$: $85^{\circ}$ को $(90^{\circ}-5^{\circ})$ और $75^{\circ}$ को $(90^{\circ}-15^{\circ})$ के रूप में लिखें।
$\cot(90^{\circ}-5^{\circ}) + \cos(90^{\circ}-15^{\circ})$
चरण $2$: सर्वसमिकाओं का प्रयोग करें।
$= \tan 5^{\circ} + \sin 15^{\circ}$
चूंकि $5^{\circ}$ और $15^{\circ}$ दोनों $0^{\circ}$ और $45^{\circ}$ के बीच हैं,इसलिए अभिव्यक्ति अब वांछित रूप में है।

(C) हम पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
दी गई व्यंजक: $\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}$.
हम $18^{\circ}$ को $(90^{\circ} - 72^{\circ})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\sin 18^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 72^{\circ}) = \cos 72^{\circ}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}} = 1$.

(B) दिया है,$\sin \alpha = \frac{1}{2} = \sin 30^{\circ}$ $\left[\because \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}\right]$
$\Rightarrow \alpha = 30^{\circ}$
और,$\cos \beta = \frac{1}{2} = \cos 60^{\circ}$ $\left[\because \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}\right]$
$\Rightarrow \beta = 60^{\circ}$
अतः,$\alpha + \beta = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$

(TRUE) सत्य (True)
हम जानते हैं कि $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ होता है।
इसलिए,$\tan 47^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 43^{\circ}) = \cot 43^{\circ}$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\tan 47^{\circ}}{\cot 43^{\circ}} = \frac{\cot 43^{\circ}}{\cot 43^{\circ}} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय मान: $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,और $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ हैं।
सबसे पहले,दायां पक्ष ($R$.$H$.$S$.) का मूल्यांकन करें:
$\text{R.H.S.} = \tan^{3} 60^{\circ} - 2 \sin 60^{\circ} = (\sqrt{3})^{3} - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
अब,बायां पक्ष ($L$.$H$.$S$.) का मूल्यांकन करें:
$\text{L.H.S.} = (\sqrt{3} + 1)(3 - \cot 30^{\circ}) = (\sqrt{3} + 1)(3 - \sqrt{3})$.
दूसरे कोष्ठक से $\sqrt{3}$ कॉमन लेने पर:
$\text{L.H.S.} = (\sqrt{3} + 1) \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)$.
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$\text{L.H.S.} = \sqrt{3}((\sqrt{3})^2 - 1^2) = \sqrt{3}(3 - 1) = \sqrt{3}(2) = 2\sqrt{3}$.
चूंकि $\text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$,अतः यह सिद्ध होता है।

(B) हम पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\operatorname{cosec}(90^{\circ} - \theta) = \sec \theta$.
दी गई व्यंजक: $\operatorname{cosec} 31^{\circ} - \sec 59^{\circ}$.
हम $31^{\circ}$ को $(90^{\circ} - 59^{\circ})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\operatorname{cosec} 31^{\circ} = \operatorname{cosec}(90^{\circ} - 59^{\circ}) = \sec 59^{\circ}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sec 59^{\circ} - \sec 59^{\circ} = 0$.

(D) दिया गया समीकरण: $\tan 2A = \cot(A - 18^{\circ})$.
हम जानते हैं कि $\tan \theta = \cot(90^{\circ} - \theta)$.
इस सूत्र का उपयोग करने पर: $\cot(90^{\circ} - 2A) = \cot(A - 18^{\circ})$.
चूँकि दोनों ओर कोटि-फलन समान हैं,इसलिए उनके कोण भी समान होंगे: $90^{\circ} - 2A = A - 18^{\circ}$.
$A$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $90^{\circ} + 18^{\circ} = A + 2A$.
$108^{\circ} = 3A$.
$A = \frac{108^{\circ}}{3} = 36^{\circ}$.
अतः,$A$ का मान $36^{\circ}$ है।

(N/A) दी गई व्यंजक को $0^{\circ}$ और $45^{\circ}$ के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम पूरक कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं:
$\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$
$\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$
दी गई व्यंजक: $\sin 67^{\circ} + \cos 75^{\circ}$
चरण $1$: $67^{\circ}$ को $(90^{\circ} - 23^{\circ})$ और $75^{\circ}$ को $(90^{\circ} - 15^{\circ})$ के रूप में लिखें।
$= \sin(90^{\circ} - 23^{\circ}) + \cos(90^{\circ} - 15^{\circ})$
चरण $2$: पूरक कोण सर्वसमिकाओं को लागू करें।
$= \cos 23^{\circ} + \sin 15^{\circ}$
चूंकि $23^{\circ}$ और $15^{\circ}$ दोनों $0^{\circ}$ और $45^{\circ}$ के बीच हैं,इसलिए व्यंजक अब आवश्यक रूप में है।

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}$
पूरक कोण सर्वसमिकाओं $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ और $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करते हुए:
अंश: $\sin ^{2} 63^{\circ} + \sin ^{2} 27^{\circ} = [\sin(90^{\circ} - 27^{\circ})]^{2} + \sin ^{2} 27^{\circ} = \cos ^{2} 27^{\circ} + \sin ^{2} 27^{\circ} = 1$
हर: $\cos ^{2} 17^{\circ} + \cos ^{2} 73^{\circ} = [\cos(90^{\circ} - 73^{\circ})]^{2} + \cos ^{2} 73^{\circ} = \sin ^{2} 73^{\circ} + \cos ^{2} 73^{\circ} = 1$
अतः,मान $\frac{1}{1} = 1$ है।

(C) दिया गया है,$\sqrt{3} \tan \theta = 1$.
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$ है।
अब,$\theta = 30^{\circ}$ का मान $\sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta$ में रखने पर:
$\sin^{2} 30^{\circ} - \cos^{2} 30^{\circ} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$.
$= \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$.
$= \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है कि $\sin \theta = \frac{1}{2}$ है।
हम त्रिकोणमितीय सारणी से जानते हैं कि $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ होता है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\theta = 30^\circ$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
त्रिकोणमितीय सारणी से हम जानते हैं कि $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\theta = 45^\circ$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\tan \theta = \sqrt{3}$ है।
त्रिकोणमितीय सारणी से हम जानते हैं कि $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ होता है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\theta = 60^\circ$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\operatorname{cosec} \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
त्रिकोणमितीय मानक मानों से हम जानते हैं कि $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\theta = 60^\circ$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\sec \theta = 1$ है।
हम जानते हैं कि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{\cos \theta} = 1$,जिसका अर्थ है कि $\cos \theta = 1$ है।
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$ होता है,इसलिए $\theta = 0^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) हम त्रिकोणमितीय मान जानते हैं: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,और $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ} + \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$= \frac{(\sqrt{3} + 1) \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

(D) हम त्रिकोणमितीय मान जानते हैं: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\sin 60^{\circ} + \cos 30^{\circ}}{1 + \sin 30^{\circ} + \cos 60^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$
$= \frac{\frac{2\sqrt{3}}{2}}{1 + 1}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}$

(B) दिया गया समीकरण: $\sin x = \sin 60^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} - \cos 60^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ}$.
त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करने पर: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,और $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\sin x = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$
$\sin x = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$\sin x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sin x = \sin 30^{\circ}$.
अतः,$x = 30^{\circ}$.

(B) दी गई व्यंजक: $2 \sin ^{2} 30^{\circ} \cot 30^{\circ}-3 \cos ^{2} 60^{\circ} \sec ^{2} 30^{\circ}$
त्रिकोणमितीय मान रखने पर: $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\sec 30^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$= 2 \left(\frac{1}{2}\right)^{2} (\sqrt{3}) - 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}$
$= 2 \times \frac{1}{4} \times \sqrt{3} - 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{4}{3}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$
$= \frac{\sqrt{3}-2}{2}$

(D) दिया गया है कि $\cos \theta = \sin \theta.$
दोनों पक्षों को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\cos \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}.$
अतः,$1 = \tan \theta.$
चूँकि $\theta$ एक न्यूनकोण है,इसलिए $\theta = 45^{\circ}.$
अब,$2 \tan^{2} \theta + \sin^{2} \theta + 1$ में $\theta = 45^{\circ}$ रखने पर,
$2 \tan^{2} 45^{\circ} + \sin^{2} 45^{\circ} + 1 = 2(1)^{2} + (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} + 1.$
$= 2(1) + \frac{1}{2} + 1.$
$= 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}.$

(B) $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ के अंतराल में:
$1$. जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\sin \theta$ का मान $0$ से $1$ तक बढ़ता है।
$2$. जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\cos \theta$ का मान $1$ से $0$ तक घटता है।
$3$. जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\operatorname{cosec} \theta$ का मान $\infty$ से $1$ तक घटता है।
$4$. जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\cot \theta$ का मान $\infty$ से $0$ तक घटता है।
अतः,दिए गए विकल्पों में से केवल $\sin \theta$ का मान $\theta$ के बढ़ने के साथ बढ़ता है।

(A) दी गई व्यंजक $\sin 60^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} + \cos 60^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ}$ है।
हम त्रिकोणमितीय मान जानते हैं: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,और $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})$
$= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
$= \frac{4}{4} = 1$।
वैकल्पिक रूप से,सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 60^{\circ}$ और $B = 30^{\circ}$ है:
$= \sin(60^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin 90^{\circ} = 1$।

(C) हम जानते हैं कि $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ होता है।
इसलिए,$\sin 80^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 10^{\circ}) = \cos 10^{\circ}$।
इस मान को दी गई व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\cos 10^{\circ} + \cos 10^{\circ})(\cos 10^{\circ} - \cos 10^{\circ})$
$= (2 \cos 10^{\circ})(0)$
$= 0$।

(A) एक समकोण त्रिभुज में,मान लीजिए कि कोण $30^{\circ}$,$60^{\circ}$ और $90^{\circ}$ हैं।
त्रिकोणमितीय अनुपातों के अनुसार,कोण $\theta$ के लिए,$\sin(\theta) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$.
यहाँ,$\theta = 30^{\circ}$ है।
इसलिए,$\sin(30^{\circ}) = \frac{30^{\circ} \text{ की सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$.
हम जानते हैं कि $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{2} = \frac{30^{\circ} \text{ की सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$.
इसका अर्थ है कि $30^{\circ}$ के कोण की सम्मुख भुजा कर्ण की $\frac{1}{2}$ गुनी होती है।

(B) माना सीढ़ी की लंबाई $L = 4 \, m$ (कर्ण) है और दीवार से दूरी $d = 2 \, m$ (आसन्न भुजा) है।
माना सीढ़ी जमीन के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\cos \theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करते हुए।
$\cos \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^\circ$।

(C) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है।
यहाँ कर्ण $AC = 20$ और $\angle ACB$ की आसन्न भुजा $BC = 10$ दी गई है।
कोसाइन (cosine) के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करने पर:
$\cos(\angle ACB) = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC}$
$\cos(\angle ACB) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ होता है,इसलिए $m\angle ACB = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(B) $\Delta ABC$ में,हमें $m \angle B = 90^{\circ}$ दिया गया है।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$।
$m \angle B = 90^{\circ}$ रखने पर,$m \angle A + m \angle C = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अनुपात $m \angle A : m \angle C = 1 : 2$ दिया गया है,इसलिए मान लीजिए $m \angle A = x$ और $m \angle C = 2x$।
अतः,$x + 2x = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $3x = 90^{\circ}$,इसलिए $x = 30^{\circ}$।
अतः,$m \angle A = 30^{\circ}$ और $m \angle C = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
एक $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ त्रिभुज में,$30^{\circ}$ के सम्मुख भुजा कर्ण की आधी होती है।
यहाँ,$BC$,$\angle A = 30^{\circ}$ के सम्मुख है,इसलिए $BC = \frac{1}{2} AC$।
चूंकि $BC = 4$ दिया गया है,इसलिए $4 = \frac{1}{2} AC$,जिसका अर्थ है $AC = 8$।

(B) $\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
चूंकि $m \angle B = 90^{\circ}$ और $m \angle C = 30^{\circ}$ है,इसलिए $m \angle A = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$ होगा।
यह एक $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ त्रिभुज है।
एक $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ त्रिभुज में,$30^{\circ}$ के कोण के सामने वाली भुजा कर्ण की आधी होती है।
यहाँ $30^{\circ}$ के सामने वाली भुजा $AB$ है।
कर्ण $AC = 10$ है।
अतः,$AB = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$।

(B) $\Delta ABC$ में,हमें $m \angle A = 90^{\circ}$ और $m \angle B = 30^{\circ}$ दिया गया है।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle C = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$ होगा।
समकोण त्रिभुज में,$30^{\circ}$ के कोण के सामने वाली भुजा कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
यहाँ $\angle B$ $(30^{\circ})$ के सामने वाली भुजा $AC$ है और कर्ण $BC$ है।
इसलिए,$AC = \frac{1}{2} BC$ होगा।

(A) $\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $m \angle B = 90^{\circ}$ और $m \angle A = 60^{\circ}$,इसलिए $m \angle C = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$ होगा।
एक $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ त्रिभुज में,$30^{\circ}$ के कोण के सामने वाली भुजा की लंबाई कर्ण (hypotenuse) की आधी होती है।
यहाँ,$AB$ कोण $\angle C$ $(30^{\circ})$ के सामने की भुजा है और $AC$ कर्ण है।
इसलिए,$AB = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$।

(A) दिया गया है कि $\sin \theta = \cos 30$.
हम जानते हैं कि $\cos 30 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\theta = 60$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $2 \tan^2 \theta - 1$ में $\theta = 60$ रखने पर:
$2 \tan^2 60 - 1 = 2(\sqrt{3})^2 - 1$.
$= 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$.

(D) दिया गया है कि $\sec \theta = \operatorname{cosec} 60^\circ$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} A = \sec(90^\circ - A)$.
अतः,$\sec \theta = \sec(90^\circ - 60^\circ) = \sec 30^\circ$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\theta = 30^\circ$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $2 \cos^2 \theta - 1$ में $\theta = 30^\circ$ रखने पर:
$2 \cos^2 30^\circ - 1 = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 - 1$.
$= 2 \left( \frac{3}{4} \right) - 1$.
$= \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है कि $\operatorname{cosec} \theta = \sqrt{2}$।
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} 45^{\circ} = \sqrt{2}$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।
अब,हमें $\tan \theta$ का मान ज्ञात करना है।
$\tan \theta = \tan 45^{\circ}$।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\tan \theta$ का मान $1$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin 5 \theta = \cos 5 \theta$
दोनों पक्षों को $\cos 5 \theta$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $\cos 5 \theta \neq 0$):
$\frac{\sin 5 \theta}{\cos 5 \theta} = 1$
$\tan 5 \theta = 1$
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$ होता है,इसलिए:
$5 \theta = 45^{\circ}$
$\theta = \frac{45^{\circ}}{5} = 9^{\circ}$
अतः,$\theta$ का मान $9$ है।