Fundamental Theorem of Arithmetic Questions in Hindi

(B) $3825$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम अभाज्य संख्याओं द्वारा क्रमिक विभाजन करते हैं:
$1$. चूंकि अंतिम अंक $5$ है,यह $5$ से विभाज्य है: $3825 \div 5 = 765$।
$2$. $765$ भी $5$ से विभाज्य है: $765 \div 5 = 153$।
$3$. अब,$3$ के लिए जाँच करें: $153$ के अंकों का योग $1+5+3 = 9$ है,जो $3$ से विभाज्य है। अतः,$153 \div 3 = 51$।
$4$. $51$ संख्या $3$ से विभाज्य है: $51 \div 3 = 17$।
$5$. $17$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $17 \div 17 = 1$।
अतः,अभाज्य गुणनखंडन $3825 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17 = 3^2 \times 5^2 \times 17$ है।

(A) $156$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$156 = 2 \times 78$
$78 = 2 \times 39$
$39 = 3 \times 13$
इन सबको मिलाने पर,हमें $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13$ प्राप्त होता है।
घातांकीय रूप में,यह $2^2 \times 3 \times 13$ है।

(A) किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं,यह निर्धारित करने के लिए हम हर $q$ का अभाज्य गुणनखंड करते हैं।
यदि $q$,$2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार सांत होता है।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{13}{3125}$ में,हर $q = 3125$ है।
$3125$ का अभाज्य गुणनखंड: $3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$ है।
इसे $2^0 \times 5^5$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है (जहाँ $n=0$ और $m=5$),इसलिए $\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार सांत है।

(B) किसी संख्या के $0$ अंक पर समाप्त होने के लिए,उसे $10$ से विभाज्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि उसके अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ दोनों होने चाहिए।
$4^n$ का अभाज्य गुणनखंडन $(2^2)^n = 2^{2n}$ है।
चूँकि $4^n$ का एकमात्र अभाज्य गुणनखंड $2$ है,इसलिए इसमें $5$ गुणनखंड के रूप में नहीं है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $4^n$ कभी भी $0$ अंक पर समाप्त नहीं हो सकता है।