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Fundamental Theorem of Arithmetic Questions in Hindi
Class 10 Mathematics · Real Numbers · Fundamental Theorem of Arithmetic
154+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 154 questions in Hindi
1
Medium
दर्शाइए कि प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक $2q$ के रूप का होता है,और प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक $2q+1$ के रूप का होता है,जहाँ $q$ कोई पूर्णांक है।
Solution
(N/A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है और $b=2$ है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ और भाजक $b=2$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \leq r < b$ है।
चूँकि $b=2$ है,शेषफल $r$ के संभावित मान $0$ और $1$ हैं (अर्थात $0 \leq r < 2$)।
स्थिति $1$: यदि $r=0$ है,तो $a = 2q + 0 = 2q$ होगा। चूँकि $2q$,$2$ से विभाज्य है,इसलिए $a$ एक सम पूर्णांक है।
स्थिति $2$: यदि $r=1$ है,तो $a = 2q + 1$ होगा। चूँकि $2q$ सम है,इसलिए $2q+1$,$2$ से विभाज्य नहीं है,अतः $a$ एक विषम पूर्णांक है।
इस प्रकार,प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक $2q$ के रूप का होता है और प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक $2q+1$ के रूप का होता है।
चूँकि $b=2$ है,शेषफल $r$ के संभावित मान $0$ और $1$ हैं (अर्थात $0 \leq r < 2$)।
स्थिति $1$: यदि $r=0$ है,तो $a = 2q + 0 = 2q$ होगा। चूँकि $2q$,$2$ से विभाज्य है,इसलिए $a$ एक सम पूर्णांक है।
स्थिति $2$: यदि $r=1$ है,तो $a = 2q + 1$ होगा। चूँकि $2q$ सम है,इसलिए $2q+1$,$2$ से विभाज्य नहीं है,अतः $a$ एक विषम पूर्णांक है।
इस प्रकार,प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक $2q$ के रूप का होता है और प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक $2q+1$ के रूप का होता है।
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View Solution2
Medium
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $4q+1$ या $4q+3$ के रूप का होता है,जहाँ $q$ कोई पूर्णांक है।
Solution
(N/A) माना कि $a$ कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \leq r < b$ है।
यहाँ,हम $b = 4$ लेते हैं। अतः,$a = 4q + r$,जहाँ $0 \leq r < 4$ है।
शेषफल $r$ के संभावित मान $0, 1, 2$ और $3$ हैं।
इसका अर्थ है कि $a$ को $4q, 4q+1, 4q+2$ या $4q+3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
चूँकि $a$ एक विषम पूर्णांक है,यह $2$ से विभाज्य नहीं हो सकता।
- $4q = 2(2q)$,जो $2$ से विभाज्य है (सम)।
- $4q+2 = 2(2q+1)$,जो $2$ से विभाज्य है (सम)।
अतः,$a$ का मान $4q$ या $4q+2$ नहीं हो सकता।
इसलिए,कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $4q+1$ या $4q+3$ के रूप का ही होता है।
यहाँ,हम $b = 4$ लेते हैं। अतः,$a = 4q + r$,जहाँ $0 \leq r < 4$ है।
शेषफल $r$ के संभावित मान $0, 1, 2$ और $3$ हैं।
इसका अर्थ है कि $a$ को $4q, 4q+1, 4q+2$ या $4q+3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
चूँकि $a$ एक विषम पूर्णांक है,यह $2$ से विभाज्य नहीं हो सकता।
- $4q = 2(2q)$,जो $2$ से विभाज्य है (सम)।
- $4q+2 = 2(2q+1)$,जो $2$ से विभाज्य है (सम)।
अतः,$a$ का मान $4q$ या $4q+2$ नहीं हो सकता।
इसलिए,कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $4q+1$ या $4q+3$ के रूप का ही होता है।
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View Solution3
Difficult
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $6q+1$,$6q+3$ या $6q+5$ के रूप का होता है,जहाँ $q$ कोई पूर्णांक है।
Solution
(N/A) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \leq r < b$ है।
माना $a$ कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है और $b = 6$ है।
प्रमेयिका में $b = 6$ रखने पर,हमें $a = 6q + r$ प्राप्त होता है,जहाँ $0 \leq r < 6$ है।
इसका अर्थ है कि $r$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4, 5$ हैं।
यदि $r = 0$ है,तो $a = 6q = 2(3q)$,जो कि सम है।
यदि $r = 1$ है,तो $a = 6q + 1 = 2(3q) + 1$,जो कि विषम है।
यदि $r = 2$ है,तो $a = 6q + 2 = 2(3q + 1)$,जो कि सम है।
यदि $r = 3$ है,तो $a = 6q + 3 = 2(3q + 1) + 1$,जो कि विषम है।
यदि $r = 4$ है,तो $a = 6q + 4 = 2(3q + 2)$,जो कि सम है।
यदि $r = 5$ है,तो $a = 6q + 5 = 2(3q + 2) + 1$,जो कि विषम है।
चूँकि $a$ एक धनात्मक विषम पूर्णांक है,इसलिए यह $6q, 6q+2$ या $6q+4$ के रूप का नहीं हो सकता। अतः,कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $6q+1, 6q+3$ या $6q+5$ के रूप का ही होता है।
माना $a$ कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है और $b = 6$ है।
प्रमेयिका में $b = 6$ रखने पर,हमें $a = 6q + r$ प्राप्त होता है,जहाँ $0 \leq r < 6$ है।
इसका अर्थ है कि $r$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4, 5$ हैं।
यदि $r = 0$ है,तो $a = 6q = 2(3q)$,जो कि सम है।
यदि $r = 1$ है,तो $a = 6q + 1 = 2(3q) + 1$,जो कि विषम है।
यदि $r = 2$ है,तो $a = 6q + 2 = 2(3q + 1)$,जो कि सम है।
यदि $r = 3$ है,तो $a = 6q + 3 = 2(3q + 1) + 1$,जो कि विषम है।
यदि $r = 4$ है,तो $a = 6q + 4 = 2(3q + 2)$,जो कि सम है।
यदि $r = 5$ है,तो $a = 6q + 5 = 2(3q + 2) + 1$,जो कि विषम है।
चूँकि $a$ एक धनात्मक विषम पूर्णांक है,इसलिए यह $6q, 6q+2$ या $6q+4$ के रूप का नहीं हो सकता। अतः,कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $6q+1, 6q+3$ या $6q+5$ के रूप का ही होता है।
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View Solution4
Difficult
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $m$ के लिए $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है।
Solution
(N/A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है और $b=3$ है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$a = 3q + r$,जहाँ $q \geq 0$ और $r \in \{0, 1, 2\}$ है।
स्थिति $1$: यदि $r=0$ है,तो $a = 3q$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$,जहाँ $m = 3q^2$ है।
स्थिति $2$: यदि $r=1$ है,तो $a = 3q+1$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q+1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3q^2 + 2q$ है।
स्थिति $3$: यदि $r=2$ है,तो $a = 3q+2$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q+2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3q^2 + 4q + 1$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$a = 3q + r$,जहाँ $q \geq 0$ और $r \in \{0, 1, 2\}$ है।
स्थिति $1$: यदि $r=0$ है,तो $a = 3q$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$,जहाँ $m = 3q^2$ है।
स्थिति $2$: यदि $r=1$ है,तो $a = 3q+1$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q+1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3q^2 + 2q$ है।
स्थिति $3$: यदि $r=2$ है,तो $a = 3q+2$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q+2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3q^2 + 4q + 1$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है।
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View Solution5
Difficult
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m, 9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है।
Solution
(N/A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है और $b=3$ है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$a = 3q + r$,जहाँ $q \geq 0$ और $0 \leq r < 3$ है।
अतः,$a$ का मान $3q, 3q+1$ या $3q+2$ हो सकता है।
स्थिति $1$: यदि $a = 3q$ है,तो $a^3 = (3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3) = 9m$,जहाँ $m = 3q^3$ है।
स्थिति $2$: यदि $a = 3q+1$ है,तो $a^3 = (3q+1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1 = 9m + 1$,जहाँ $m = 3q^3 + 3q^2 + q$ है।
स्थिति $3$: यदि $a = 3q+2$ है,तो $a^3 = (3q+2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8 = 9m + 8$,जहाँ $m = 3q^3 + 6q^2 + 4q$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m, 9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$a = 3q + r$,जहाँ $q \geq 0$ और $0 \leq r < 3$ है।
अतः,$a$ का मान $3q, 3q+1$ या $3q+2$ हो सकता है।
स्थिति $1$: यदि $a = 3q$ है,तो $a^3 = (3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3) = 9m$,जहाँ $m = 3q^3$ है।
स्थिति $2$: यदि $a = 3q+1$ है,तो $a^3 = (3q+1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1 = 9m + 1$,जहाँ $m = 3q^3 + 3q^2 + q$ है।
स्थिति $3$: यदि $a = 3q+2$ है,तो $a^3 = (3q+2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8 = 9m + 8$,जहाँ $m = 3q^3 + 6q^2 + 4q$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m, 9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है।
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View Solution6
MediumMCQ
$4^{n}$ संख्याओं पर विचार करें,जहाँ $n$ एक प्राकृतिक संख्या है। जाँच करें कि क्या $n$ का कोई ऐसा मान है जिसके लिए $4^{n}$ अंक शून्य पर समाप्त होता है।
A
हाँ,$n=0$ के लिए
B
हाँ,$n=5$ के लिए
C
नहीं,$n$ का ऐसा कोई मान नहीं है
D
हाँ,$n=10$ के लिए
Solution
(C) यदि किसी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $4^{n}$ संख्या शून्य पर समाप्त होती है,तो वह $5$ से विभाज्य होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि $4^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या $5$ होनी चाहिए।
हालाँकि,हम $4^{n} = (2^{2})^{n} = 2^{2n}$ लिख सकते हैं।
$4^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडन में केवल एक ही अभाज्य गुणनखंड $2$ है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,यह अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय है।
चूँकि $5$,$4^{n}$ का गुणनखंड नहीं है,इसलिए ऐसी कोई प्राकृतिक संख्या $n$ नहीं है जिसके लिए $4^{n}$ शून्य पर समाप्त हो।
इसका अर्थ है कि $4^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या $5$ होनी चाहिए।
हालाँकि,हम $4^{n} = (2^{2})^{n} = 2^{2n}$ लिख सकते हैं।
$4^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडन में केवल एक ही अभाज्य गुणनखंड $2$ है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,यह अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय है।
चूँकि $5$,$4^{n}$ का गुणनखंड नहीं है,इसलिए ऐसी कोई प्राकृतिक संख्या $n$ नहीं है जिसके लिए $4^{n}$ शून्य पर समाप्त हो।
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View Solution7
EasyMCQ
$140$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
A
$2^{2} \times 5 \times 7$
B
$2 \times 5^{2} \times 7$
C
$2^{2} \times 5^{2} \times 7$
D
$2 \times 5 \times 7^{2}$
Solution
(A) $140$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$140 = 2 \times 70$
$70 = 2 \times 35$
$35 = 5 \times 7$
अतः,$140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7 = 2^{2} \times 5 \times 7$.
$140 = 2 \times 70$
$70 = 2 \times 35$
$35 = 5 \times 7$
अतः,$140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7 = 2^{2} \times 5 \times 7$.
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View Solution8
EasyMCQ
$156$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
A
$2^{2} \times 3 \times 13$
B
$2 \times 3^{2} \times 13$
C
$2^{2} \times 3^{2} \times 13$
D
$2 \times 3 \times 13^{2}$
Solution
(A) $156$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$156 = 2 \times 78$
$78 = 2 \times 39$
$39 = 3 \times 13$
इन सबको मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है: $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13$
अतः,अभाज्य गुणनखंडन $2^{2} \times 3 \times 13$ है।
$156 = 2 \times 78$
$78 = 2 \times 39$
$39 = 3 \times 13$
इन सबको मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है: $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13$
अतः,अभाज्य गुणनखंडन $2^{2} \times 3 \times 13$ है।
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View Solution9
EasyMCQ
$3825$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
A
$3^{2} \times 5^{3} \times 17$
B
$3^{2} \times 5^{2} \times 17$
C
$3^{3} \times 5^{2} \times 17$
D
$3^{2} \times 5^{2} \times 19$
Solution
(B) $3825$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$3825 \div 3 = 1275$
$1275 \div 3 = 425$
$425 \div 5 = 85$
$85 \div 5 = 17$
$17 \div 17 = 1$
अतः,$3825 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17 = 3^{2} \times 5^{2} \times 17$.
$3825 \div 3 = 1275$
$1275 \div 3 = 425$
$425 \div 5 = 85$
$85 \div 5 = 17$
$17 \div 17 = 1$
अतः,$3825 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17 = 3^{2} \times 5^{2} \times 17$.
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EasyMCQ
$5005$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
A
$5 \times 7 \times 11 \times 13$
B
$5 \times 7 \times 13 \times 17$
C
$5 \times 11 \times 13 \times 17$
D
$7 \times 11 \times 13 \times 17$
Solution
(A) $5005$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$5005$,$5$ से विभाज्य है: $5005 = 5 \times 1001$
$1001$,$7$ से विभाज्य है: $1001 = 7 \times 143$
$143$,$11$ से विभाज्य है: $143 = 11 \times 13$
$13$ एक अभाज्य संख्या है।
अतः,$5005$ का अभाज्य गुणनखंडन $5 \times 7 \times 11 \times 13$ है।
$5005$,$5$ से विभाज्य है: $5005 = 5 \times 1001$
$1001$,$7$ से विभाज्य है: $1001 = 7 \times 143$
$143$,$11$ से विभाज्य है: $143 = 11 \times 13$
$13$ एक अभाज्य संख्या है।
अतः,$5005$ का अभाज्य गुणनखंडन $5 \times 7 \times 11 \times 13$ है।
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EasyMCQ
$7429$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
A
$17 \times 19 \times 23$
B
$17 \times 19 \times 29$
C
$13 \times 19 \times 23$
D
$17 \times 23 \times 29$
Solution
(A) $7429$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम सबसे छोटी अभाज्य संख्याओं से विभाज्यता की जाँच करेंगे।
$1$. $7429$ संख्या $2, 3, 5, 7, 11$ या $13$ से विभाज्य नहीं है।
$2$. $7429$ को $17$ से भाग देने पर: $7429 \div 17 = 437$ प्राप्त होता है।
$3$. अब,हम $437$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करेंगे। $19$ से विभाज्यता की जाँच करने पर: $437 \div 19 = 23$ प्राप्त होता है।
$4$. चूँकि $23$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए अभाज्य गुणनखंडन पूर्ण हो गया है।
अतः,$7429 = 17 \times 19 \times 23$।
$1$. $7429$ संख्या $2, 3, 5, 7, 11$ या $13$ से विभाज्य नहीं है।
$2$. $7429$ को $17$ से भाग देने पर: $7429 \div 17 = 437$ प्राप्त होता है।
$3$. अब,हम $437$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करेंगे। $19$ से विभाज्यता की जाँच करने पर: $437 \div 19 = 23$ प्राप्त होता है।
$4$. चूँकि $23$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए अभाज्य गुणनखंडन पूर्ण हो गया है।
अतः,$7429 = 17 \times 19 \times 23$।
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Medium
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या $n$ के लिए $6^{n}$ अंक $0$ पर समाप्त हो सकता है।
Solution
(N/A) यदि कोई संख्या अंक $0$ पर समाप्त होती है,तो वह $10$ से विभाज्य होनी चाहिए। इसका अर्थ है कि वह $2$ और $5$ दोनों से विभाज्य होनी चाहिए,क्योंकि $10 = 2 \times 5$ होता है।
$6^{n}$ का अभाज्य गुणनखंडन $(2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$ है।
यह देखा जा सकता है कि $6^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडन में $5$ उपस्थित नहीं है।
चूँकि $5$ इसका गुणनखंड नहीं है,इसलिए किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए $6^{n}$ संख्या $5$ से विभाज्य नहीं होगी।
अतः,किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए $6^{n}$ अंक $0$ पर समाप्त नहीं हो सकता है।
$6^{n}$ का अभाज्य गुणनखंडन $(2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$ है।
यह देखा जा सकता है कि $6^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडन में $5$ उपस्थित नहीं है।
चूँकि $5$ इसका गुणनखंड नहीं है,इसलिए किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए $6^{n}$ संख्या $5$ से विभाज्य नहीं होगी।
अतः,किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए $6^{n}$ अंक $0$ पर समाप्त नहीं हो सकता है।
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Difficult
समझाइए कि $7 \times 11 \times 13+13$ और $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+5$ भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।
Solution
(N/A) संख्याएँ दो प्रकार की होती हैं: अभाज्य और भाज्य। अभाज्य संख्याओं के केवल दो गुणनखंड होते हैं,$1$ और वह संख्या स्वयं,जबकि भाज्य संख्याओं के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं।
प्रथम व्यंजक के लिए:
$7 \times 11 \times 13+13 = 13 \times (7 \times 11 + 1) = 13 \times (77 + 1) = 13 \times 78 = 13 \times 13 \times 6$.
चूँकि इस व्यंजक के $1$ और स्वयं के अतिरिक्त अन्य गुणनखंड (जैसे $6, 13, 78$) हैं,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।
द्वितीय व्यंजक के लिए:
$7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+5 = 5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1) = 5 \times (1008 + 1) = 5 \times 1009$.
चूँकि $1009$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए इस व्यंजक के गुणनखंड $5$ और $1009$ हैं (इसके अलावा $1$ और वह संख्या स्वयं)। अतः,यह एक भाज्य संख्या है।
प्रथम व्यंजक के लिए:
$7 \times 11 \times 13+13 = 13 \times (7 \times 11 + 1) = 13 \times (77 + 1) = 13 \times 78 = 13 \times 13 \times 6$.
चूँकि इस व्यंजक के $1$ और स्वयं के अतिरिक्त अन्य गुणनखंड (जैसे $6, 13, 78$) हैं,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।
द्वितीय व्यंजक के लिए:
$7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+5 = 5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1) = 5 \times (1008 + 1) = 5 \times 1009$.
चूँकि $1009$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए इस व्यंजक के गुणनखंड $5$ और $1009$ हैं (इसके अलावा $1$ और वह संख्या स्वयं)। अतः,यह एक भाज्य संख्या है।
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MediumMCQ
बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए,बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत है या अशांत आवर्ती है: $\frac{13}{3125}$.
A
शांत दशमलव प्रसार
B
अशांत आवर्ती दशमलव प्रसार
C
अशांत अनावर्ती दशमलव प्रसार
D
उपरोक्त में से कोई नहीं
Solution
(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
यदि $q$,$2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
दी गई भिन्न $\frac{13}{3125}$ में,हर $3125$ है।
$3125$ का अभाज्य गुणनखंडन: $3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$ है।
इसे $2^0 \times 5^5$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $2^n \times 5^m$ के रूप में है (जहाँ $n=0$ और $m=5$ है)।
चूंकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए $\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार शांत है।
यदि $q$,$2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
दी गई भिन्न $\frac{13}{3125}$ में,हर $3125$ है।
$3125$ का अभाज्य गुणनखंडन: $3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$ है।
इसे $2^0 \times 5^5$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $2^n \times 5^m$ के रूप में है (जहाँ $n=0$ और $m=5$ है)।
चूंकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए $\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार शांत है।
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MediumMCQ
बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए,बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत है या अशांत आवर्ती है: $\frac{17}{8}$.
A
शांत दशमलव प्रसार
B
अशांत आवर्ती दशमलव प्रसार
C
$A$ और $B$ दोनों
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ के अभाज्य गुणनखंडों की जांच करते हैं।
यदि $q$,$2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{17}{8}$ है।
यहाँ हर $8$ है।
$8$ का अभाज्य गुणनखंड $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$ है।
हम इसे $8 = 2^3 \times 5^0$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए $\frac{17}{8}$ का दशमलव प्रसार शांत है।
यदि $q$,$2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{17}{8}$ है।
यहाँ हर $8$ है।
$8$ का अभाज्य गुणनखंड $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$ है।
हम इसे $8 = 2^3 \times 5^0$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए $\frac{17}{8}$ का दशमलव प्रसार शांत है।
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EasyMCQ
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = bq + r,$ जहाँ $r$ को निम्नलिखित शर्त को संतुष्ट करना चाहिए:
A
$1 < r < b$
B
$0 \leq r < b$
C
$0 < r \leq b$
D
$0 < r < b$
Solution
(B) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = bq + r,$ जहाँ शेषफल $r$ शर्त $0 \leq r < b$ को संतुष्ट करता है।
इसका अर्थ है कि शेषफल $r$ शून्य या शून्य से बड़ा हो सकता है,लेकिन यह हमेशा भाजक $b$ से छोटा होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि शेषफल $r$ शून्य या शून्य से बड़ा हो सकता है,लेकिन यह हमेशा भाजक $b$ से छोटा होना चाहिए।
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EasyMCQ
किसी पूर्णांक $m$ के लिए,प्रत्येक सम पूर्णांक किस रूप का होता है?
A
$m$
B
$m+1$
C
$2m$
D
$2m+1$
Solution
(C) एक सम पूर्णांक को ऐसे पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जाता है जो $2$ से पूर्णतः विभाज्य हो।
परिभाषा के अनुसार,प्रत्येक सम पूर्णांक को $2m$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $m$ कोई भी पूर्णांक है $(m \in \mathbb{Z})$।
यदि हम $m$ के मान रखें:
यदि $m = 0$,तो $2m = 0$।
यदि $m = 1$,तो $2m = 2$।
यदि $m = 2$,तो $2m = 4$।
यदि $m = -1$,तो $2m = -2$।
अतः,प्रत्येक सम पूर्णांक $2m$ के रूप का होता है।
परिभाषा के अनुसार,प्रत्येक सम पूर्णांक को $2m$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $m$ कोई भी पूर्णांक है $(m \in \mathbb{Z})$।
यदि हम $m$ के मान रखें:
यदि $m = 0$,तो $2m = 0$।
यदि $m = 1$,तो $2m = 2$।
यदि $m = 2$,तो $2m = 4$।
यदि $m = -1$,तो $2m = -2$।
अतः,प्रत्येक सम पूर्णांक $2m$ के रूप का होता है।
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EasyMCQ
किसी पूर्णांक $q$ के लिए,प्रत्येक विषम पूर्णांक किस रूप का होता है?
A
$q$
B
$q+1$
C
$2q$
D
$2q+1$
Solution
(D) परिभाषा के अनुसार,यदि कोई पूर्णांक $2$ से विभाज्य है,तो वह एक सम पूर्णांक है,जिसे किसी पूर्णांक $q$ के लिए $2q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
विषम पूर्णांक वह पूर्णांक है जो $2$ से विभाज्य नहीं होता है।
जब हम किसी भी विषम पूर्णांक को $2$ से विभाजित करते हैं,तो शेषफल हमेशा $1$ प्राप्त होता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $a$ को $a = bq + r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $0 \le r < b$ होता है।
$b = 2$ के लिए,हमारे पास $a = 2q + r$ है,जहाँ $r = 0$ या $r = 1$ है।
यदि $r = 0$ है,तो $a = 2q$ (सम पूर्णांक)।
यदि $r = 1$ है,तो $a = 2q + 1$ (विषम पूर्णांक)।
अतः,प्रत्येक विषम पूर्णांक किसी पूर्णांक $q$ के लिए $2q + 1$ के रूप का होता है।
विषम पूर्णांक वह पूर्णांक है जो $2$ से विभाज्य नहीं होता है।
जब हम किसी भी विषम पूर्णांक को $2$ से विभाजित करते हैं,तो शेषफल हमेशा $1$ प्राप्त होता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $a$ को $a = bq + r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $0 \le r < b$ होता है।
$b = 2$ के लिए,हमारे पास $a = 2q + r$ है,जहाँ $r = 0$ या $r = 1$ है।
यदि $r = 0$ है,तो $a = 2q$ (सम पूर्णांक)।
यदि $r = 1$ है,तो $a = 2q + 1$ (विषम पूर्णांक)।
अतः,प्रत्येक विषम पूर्णांक किसी पूर्णांक $q$ के लिए $2q + 1$ के रूप का होता है।
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DifficultMCQ
$n^{2}-1$,$8$ से विभाज्य है,यदि $n$ एक
A
विषम पूर्णांक है
B
पूर्णांक है
C
प्राकृत संख्या है
D
सम पूर्णांक है
Solution
(A) माना $a = n^{2} - 1$.
स्थिति $I$: यदि $n$ एक सम पूर्णांक है,तो माना $n = 2k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
तब $a = (2k)^{2} - 1 = 4k^{2} - 1$. यह हमेशा एक विषम संख्या है,इसलिए यह $8$ से विभाज्य नहीं हो सकती।
स्थिति $II$: यदि $n$ एक विषम पूर्णांक है,तो माना $n = 2k + 1$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
तब $a = (2k + 1)^{2} - 1 = (4k^{2} + 4k + 1) - 1 = 4k^{2} + 4k = 4k(k + 1)$.
चूंकि $k$ और $k + 1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,इसलिए उनमें से एक सम संख्या होगी। अतः,गुणनफल $k(k + 1)$,$2$ से विभाज्य है।
माना $k(k + 1) = 2m$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए।
तब $a = 4(2m) = 8m$.
अतः,चूँकि $a$,$8$ का गुणज है,इसलिए जब भी $n$ एक विषम पूर्णांक होता है,तो $n^{2} - 1$,$8$ से विभाज्य होता है।
स्थिति $I$: यदि $n$ एक सम पूर्णांक है,तो माना $n = 2k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
तब $a = (2k)^{2} - 1 = 4k^{2} - 1$. यह हमेशा एक विषम संख्या है,इसलिए यह $8$ से विभाज्य नहीं हो सकती।
स्थिति $II$: यदि $n$ एक विषम पूर्णांक है,तो माना $n = 2k + 1$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
तब $a = (2k + 1)^{2} - 1 = (4k^{2} + 4k + 1) - 1 = 4k^{2} + 4k = 4k(k + 1)$.
चूंकि $k$ और $k + 1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,इसलिए उनमें से एक सम संख्या होगी। अतः,गुणनफल $k(k + 1)$,$2$ से विभाज्य है।
माना $k(k + 1) = 2m$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए।
तब $a = 4(2m) = 8m$.
अतः,चूँकि $a$,$8$ का गुणज है,इसलिए जब भी $n$ एक विषम पूर्णांक होता है,तो $n^{2} - 1$,$8$ से विभाज्य होता है।
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MediumMCQ
परिमेय संख्या $\frac{14587}{1250}$ का दशमलव प्रसार कितने दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होगा?
A
एक दशमलव स्थान
B
दो दशमलव स्थान
C
तीन दशमलव स्थान
D
चार दशमलव स्थान
Solution
(D) परिमेय संख्या $\frac{14587}{1250}$ का दशमलव प्रसार कितने दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होगा,यह निर्धारित करने के लिए हम हर का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$1250 = 2^1 \times 5^4$.
किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार $n$ दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होता है,जहाँ $n$ हर $q$ के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ के घातांकों में से अधिकतम घातांक है (जब भिन्न अपने सरलतम रूप में हो)।
यहाँ,घातांक $1$ और $4$ हैं। अधिकतम घातांक $4$ है।
वैकल्पिक रूप से,हम लिख सकते हैं:
$\frac{14587}{1250} = \frac{14587}{2^1 \times 5^4} = \frac{14587 \times 2^3}{2^1 \times 5^4 \times 2^3} = \frac{14587 \times 8}{2^4 \times 5^4} = \frac{116696}{10^4} = \frac{116696}{10000} = 11.6696$.
चूंकि परिणाम $11.6696$ है,इसलिए दशमलव प्रसार चार दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होता है।
$1250 = 2^1 \times 5^4$.
किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार $n$ दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होता है,जहाँ $n$ हर $q$ के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ के घातांकों में से अधिकतम घातांक है (जब भिन्न अपने सरलतम रूप में हो)।
यहाँ,घातांक $1$ और $4$ हैं। अधिकतम घातांक $4$ है।
वैकल्पिक रूप से,हम लिख सकते हैं:
$\frac{14587}{1250} = \frac{14587}{2^1 \times 5^4} = \frac{14587 \times 2^3}{2^1 \times 5^4 \times 2^3} = \frac{14587 \times 8}{2^4 \times 5^4} = \frac{116696}{10^4} = \frac{116696}{10000} = 11.6696$.
चूंकि परिणाम $11.6696$ है,इसलिए दशमलव प्रसार चार दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होता है।
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Easy
क्या संख्या $6^{n}$,जहाँ $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,अंक $5$ पर समाप्त हो सकती है? कारण दीजिए।
Solution
(NO) नहीं,संख्या $6^{n}$ अंक $5$ पर समाप्त नहीं हो सकती है।
किसी भी संख्या के अंक $5$ पर समाप्त होने के लिए,उसके अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य गुणनखंड $5$ का होना आवश्यक है।
$6^{n}$ का अभाज्य गुणनखंडन $6^{n} = (2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$ है।
चूँकि $6^{n}$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ और $3$ हैं,और $5$ एक अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $6^{n}$ कभी भी अंक $5$ पर समाप्त नहीं हो सकता है।
किसी भी संख्या के अंक $5$ पर समाप्त होने के लिए,उसके अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य गुणनखंड $5$ का होना आवश्यक है।
$6^{n}$ का अभाज्य गुणनखंडन $6^{n} = (2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$ है।
चूँकि $6^{n}$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ और $3$ हैं,और $5$ एक अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $6^{n}$ कभी भी अंक $5$ पर समाप्त नहीं हो सकता है।
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Easy
"दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल $2$ से विभाज्य है।" क्या यह कथन सत्य है या असत्य? कारण दीजिए।
Solution
(A) यह कथन सत्य है।
माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n$ और $(n+1)$ हैं।
किन्हीं भी दो क्रमागत पूर्णांकों में,एक संख्या सम (even) होती है और दूसरी विषम (odd) होती है।
एक सम संख्या हमेशा $2$ से विभाज्य होती है।
इसलिए,उनका गुणनफल $n(n+1)$ हमेशा $2$ से विभाज्य होगा क्योंकि उनमें से कम से कम एक गुणनखंड सम संख्या है।
माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n$ और $(n+1)$ हैं।
किन्हीं भी दो क्रमागत पूर्णांकों में,एक संख्या सम (even) होती है और दूसरी विषम (odd) होती है।
एक सम संख्या हमेशा $2$ से विभाज्य होती है।
इसलिए,उनका गुणनफल $n(n+1)$ हमेशा $2$ से विभाज्य होगा क्योंकि उनमें से कम से कम एक गुणनखंड सम संख्या है।
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EasyMCQ
"तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल $6$ से विभाज्य होता है"। क्या यह कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।
A
सत्य
B
असत्य
C
निर्धारित नहीं किया जा सकता
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) माना कि तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n, (n + 1)$ और $(n + 2)$ हैं।
किन्हीं भी दो क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,एक संख्या सम (अर्थात $2$ से विभाज्य) होती है। इसलिए,किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,कम से कम एक संख्या $2$ से विभाज्य होगी।
किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,एक संख्या $3$ का गुणज (अर्थात $3$ से विभाज्य) होती है।
चूंकि गुणनफल $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य है,और $2$ तथा $3$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं (उनका महत्तम समापवर्तक $1$ है),इसलिए गुणनफल उनके गुणनफल $2 \times 3 = 6$ से भी विभाज्य होगा।
अतः,यह कथन सत्य है।
किन्हीं भी दो क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,एक संख्या सम (अर्थात $2$ से विभाज्य) होती है। इसलिए,किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,कम से कम एक संख्या $2$ से विभाज्य होगी।
किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,एक संख्या $3$ का गुणज (अर्थात $3$ से विभाज्य) होती है।
चूंकि गुणनफल $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य है,और $2$ तथा $3$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं (उनका महत्तम समापवर्तक $1$ है),इसलिए गुणनफल उनके गुणनफल $2 \times 3 = 6$ से भी विभाज्य होगा।
अतः,यह कथन सत्य है।
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Medium
लिखिए कि क्या किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $3m + 2$ के रूप का हो सकता है,जहाँ $m$ एक प्राकृतिक संख्या है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
Solution
(N/A) नहीं,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $3m + 2$ के रूप का नहीं हो सकता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $b$ को $b = 3q + r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $0 \leq r < 3$ है। अतः,कोई भी धनात्मक पूर्णांक $3k, 3k + 1$ या $3k + 2$ के रूप का होता है।
स्थिति $1$: यदि $b = 3k$ है,तो $b^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2) = 3m$,जहाँ $m = 3k^2$ है।
स्थिति $2$: यदि $b = 3k + 1$ है,तो $b^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3k^2 + 2k$ है।
स्थिति $3$: यदि $b = 3k + 2$ है,तो $b^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3k^2 + 4k + 1$ है।
सभी स्थितियों में,एक धनात्मक पूर्णांक का वर्ग या तो $3m$ या $3m + 1$ के रूप में प्राप्त होता है। इसलिए,यह $3m + 2$ के रूप का नहीं हो सकता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $b$ को $b = 3q + r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $0 \leq r < 3$ है। अतः,कोई भी धनात्मक पूर्णांक $3k, 3k + 1$ या $3k + 2$ के रूप का होता है।
स्थिति $1$: यदि $b = 3k$ है,तो $b^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2) = 3m$,जहाँ $m = 3k^2$ है।
स्थिति $2$: यदि $b = 3k + 1$ है,तो $b^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3k^2 + 2k$ है।
स्थिति $3$: यदि $b = 3k + 2$ है,तो $b^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3k^2 + 4k + 1$ है।
सभी स्थितियों में,एक धनात्मक पूर्णांक का वर्ग या तो $3m$ या $3m + 1$ के रूप में प्राप्त होता है। इसलिए,यह $3m + 2$ के रूप का नहीं हो सकता है।
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Medium
एक धनात्मक पूर्णांक $3q + 1$ के रूप में है,जहाँ $q$ एक प्राकृतिक संख्या है। क्या आप इसके वर्ग को $3m + 1$ के अलावा किसी अन्य रूप में,अर्थात् किसी पूर्णांक $m$ के लिए $3m$ या $3m + 2$ के रूप में लिख सकते हैं? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।
Solution
(B) नहीं। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक को किसी पूर्णांक $q$ के लिए $3q, 3q + 1$ या $3q + 2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
आइए इन रूपों के वर्गों की जाँच करें:
$1.$ यदि पूर्णांक $3q$ है,तो इसका वर्ग $(3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$ होता है,जहाँ $m = 3q^2$ है।
$2.$ यदि पूर्णांक $3q + 1$ है,तो इसका वर्ग $(3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$ होता है,जहाँ $m = 3q^2 + 2q$ है।
$3.$ यदि पूर्णांक $3q + 2$ है,तो इसका वर्ग $(3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$ होता है,जहाँ $m = 3q^2 + 4q + 1$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा $3m$ या $3m + 1$ के रूप में होता है। यह कभी भी $3m + 2$ के रूप में नहीं हो सकता है।
आइए इन रूपों के वर्गों की जाँच करें:
$1.$ यदि पूर्णांक $3q$ है,तो इसका वर्ग $(3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$ होता है,जहाँ $m = 3q^2$ है।
$2.$ यदि पूर्णांक $3q + 1$ है,तो इसका वर्ग $(3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$ होता है,जहाँ $m = 3q^2 + 2q$ है।
$3.$ यदि पूर्णांक $3q + 2$ है,तो इसका वर्ग $(3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$ होता है,जहाँ $m = 3q^2 + 4q + 1$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा $3m$ या $3m + 1$ के रूप में होता है। यह कभी भी $3m + 2$ के रूप में नहीं हो सकता है।
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Easy
समझाइए कि $3 \times 5 \times 7 + 7$ एक भाज्य संख्या क्यों है।
Solution
(N/A) हमारे पास है,$3 \times 5 \times 7 + 7 = 105 + 7 = 112$.
अब,हम $112$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$112 = 2 \times 56 = 2 \times 2 \times 28 = 2 \times 2 \times 2 \times 14 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^4 \times 7$.
चूंकि $112$ को अभाज्य गुणनखंडों $2$ और $7$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए इसके दो से अधिक गुणनखंड हैं (जैसे,$1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112$)।
परिभाषा के अनुसार,जिस संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं,वह एक भाज्य संख्या होती है। अतः,$3 \times 5 \times 7 + 7$ एक भाज्य संख्या है।
अब,हम $112$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$112 = 2 \times 56 = 2 \times 2 \times 28 = 2 \times 2 \times 2 \times 14 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^4 \times 7$.
चूंकि $112$ को अभाज्य गुणनखंडों $2$ और $7$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए इसके दो से अधिक गुणनखंड हैं (जैसे,$1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112$)।
परिभाषा के अनुसार,जिस संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं,वह एक भाज्य संख्या होती है। अतः,$3 \times 5 \times 7 + 7$ एक भाज्य संख्या है।
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Easy
बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए,ज्ञात कीजिए कि $\frac{987}{10500}$ का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती है। अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
Solution
(A) सबसे पहले,भिन्न $\frac{987}{10500}$ को उनके महत्तम समापवर्तक $21$ से विभाजित करके सरल करें।
$\frac{987 \div 21}{10500 \div 21} = \frac{47}{500}$.
अब,हर $500$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$500 = 5 \times 100 = 5 \times 10^2 = 5 \times (2 \times 5)^2 = 5 \times 2^2 \times 5^2 = 2^2 \times 5^3$.
प्रमेय के अनुसार,एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड $2^m \times 5^n$ के रूप में हों,जहाँ $m$ और $n$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
चूँकि हर $500 = 2^2 \times 5^3$ का रूप $2^m \times 5^n$ है (जहाँ $m=2$ और $n=3$),इसलिए $\frac{987}{10500}$ का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव मान ज्ञात करने के लिए: $\frac{47}{500} = \frac{47 \times 2}{500 \times 2} = \frac{94}{1000} = 0.094$.
$\frac{987 \div 21}{10500 \div 21} = \frac{47}{500}$.
अब,हर $500$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$500 = 5 \times 100 = 5 \times 10^2 = 5 \times (2 \times 5)^2 = 5 \times 2^2 \times 5^2 = 2^2 \times 5^3$.
प्रमेय के अनुसार,एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड $2^m \times 5^n$ के रूप में हों,जहाँ $m$ और $n$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
चूँकि हर $500 = 2^2 \times 5^3$ का रूप $2^m \times 5^n$ है (जहाँ $m=2$ और $n=3$),इसलिए $\frac{987}{10500}$ का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव मान ज्ञात करने के लिए: $\frac{47}{500} = \frac{47 \times 2}{500 \times 2} = \frac{94}{1000} = 0.094$.
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एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार $327.7081$ है। जब इस संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,तो आप $q$ के अभाज्य गुणनखंडों के बारे में क्या कह सकते हैं? कारण दीजिए।
Solution
(A) दी गई संख्या $327.7081$ एक सांत दशमलव संख्या है।
चूंकि यह एक सांत दशमलव है,यह एक परिमेय संख्या को दर्शाती है जिसका हर $q$,जब इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में (जहाँ $p$ और $q$ सह-अभाज्य हैं) व्यक्त किया जाता है,तो इसके अभाज्य गुणनखंड $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में होने चाहिए,जहाँ $m$ और $n$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
हम लिख सकते हैं:
$327.7081 = \frac{3277081}{10000} = \frac{p}{q}$
यहाँ,हर $q = 10000 = 10^{4}$ है।
$q$ के अभाज्य गुणनखंडों का विस्तार करने पर:
$q = (2 \times 5)^{4} = 2^{4} \times 5^{4}$.
अतः,$q$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ और $5$ हैं।
चूंकि यह एक सांत दशमलव है,यह एक परिमेय संख्या को दर्शाती है जिसका हर $q$,जब इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में (जहाँ $p$ और $q$ सह-अभाज्य हैं) व्यक्त किया जाता है,तो इसके अभाज्य गुणनखंड $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में होने चाहिए,जहाँ $m$ और $n$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
हम लिख सकते हैं:
$327.7081 = \frac{3277081}{10000} = \frac{p}{q}$
यहाँ,हर $q = 10000 = 10^{4}$ है।
$q$ के अभाज्य गुणनखंडों का विस्तार करने पर:
$q = (2 \times 5)^{4} = 2^{4} \times 5^{4}$.
अतः,$q$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ और $5$ हैं।
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दर्शाइए कि किसी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्ण संख्या $m$ के लिए $8m+1$ के रूप का होता है।
Solution
(N/A) किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक को $2q+1$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $q$ एक पूर्ण संख्या है।
इस पूर्णांक का वर्ग करने पर:
$(2q+1)^2 = 4q^2 + 4q + 1$
$(2q+1)^2 = 4q(q+1) + 1$ $...(1)$
चूँकि $q$ और $q+1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,इसलिए उनका गुणनफल $q(q+1)$ सदैव सम होता है। अतः,हम $q(q+1) = 2m$ लिख सकते हैं,जहाँ $m$ एक पूर्ण संख्या है।
इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2q+1)^2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1$.
अतः,किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्ण संख्या $m$ के लिए $8m+1$ के रूप का होता है।
इस पूर्णांक का वर्ग करने पर:
$(2q+1)^2 = 4q^2 + 4q + 1$
$(2q+1)^2 = 4q(q+1) + 1$ $...(1)$
चूँकि $q$ और $q+1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,इसलिए उनका गुणनफल $q(q+1)$ सदैव सम होता है। अतः,हम $q(q+1) = 2m$ लिख सकते हैं,जहाँ $m$ एक पूर्ण संख्या है।
इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2q+1)^2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1$.
अतः,किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्ण संख्या $m$ के लिए $8m+1$ के रूप का होता है।
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Difficult
दर्शाइए कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $q$ के लिए $4q$ या $4q+1$ के रूप का होता है।
Solution
(N/A) माना $a$ एक स्वैच्छिक धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,पूर्णांकों $a$ और $4$ के लिए,ऐसे अऋणात्मक पूर्णांक $m$ और $r$ विद्यमान हैं कि $a = 4m + r$,जहाँ $0 \leq r < 4$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (4m + r)^2 = 16m^2 + 8mr + r^2 = 4(4m^2 + 2mr) + r^2$ प्राप्त होता है।
स्थिति $I$: यदि $r = 0$ है,तो $a^2 = 4(4m^2) = 4q$,जहाँ $q = 4m^2$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$ है,तो $a^2 = 4(4m^2 + 2m) + 1 = 4q + 1$,जहाँ $q = 4m^2 + 2m$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$ है,तो $a^2 = 16m^2 + 16m + 4 = 4(4m^2 + 4m + 1) = 4q$,जहाँ $q = 4m^2 + 4m + 1$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$ है,तो $a^2 = 16m^2 + 24m + 9 = 16m^2 + 24m + 8 + 1 = 4(4m^2 + 6m + 2) + 1 = 4q + 1$,जहाँ $q = 4m^2 + 6m + 2$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $4q$ या $4q + 1$ के रूप का होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (4m + r)^2 = 16m^2 + 8mr + r^2 = 4(4m^2 + 2mr) + r^2$ प्राप्त होता है।
स्थिति $I$: यदि $r = 0$ है,तो $a^2 = 4(4m^2) = 4q$,जहाँ $q = 4m^2$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$ है,तो $a^2 = 4(4m^2 + 2m) + 1 = 4q + 1$,जहाँ $q = 4m^2 + 2m$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$ है,तो $a^2 = 16m^2 + 16m + 4 = 4(4m^2 + 4m + 1) = 4q$,जहाँ $q = 4m^2 + 4m + 1$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$ है,तो $a^2 = 16m^2 + 24m + 9 = 16m^2 + 24m + 8 + 1 = 4(4m^2 + 6m + 2) + 1 = 4q + 1$,जहाँ $q = 4m^2 + 6m + 2$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $4q$ या $4q + 1$ के रूप का होता है।
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Difficult
सिद्ध कीजिए कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन किसी पूर्णांक $m$ के लिए $4m, 4m+1$ या $4m+3$ के रूप का होता है।
Solution
(N/A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$a$ और $b=4$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = 4q + r$,जहाँ $0 \leq r < 4$ है।
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$a^3 = (4q + r)^3 = 64q^3 + 3(4q)^2r + 3(4q)r^2 + r^3$
$a^3 = 64q^3 + 48q^2r + 12qr^2 + r^3$
$a^3 = 4(16q^3 + 12q^2r + 3qr^2) + r^3$ ... $(i)$
स्थिति $I$: यदि $r = 0$,तो $a^3 = 4(16q^3) = 4m$,जहाँ $m = 16q^3$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$,तो $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2 + 3q) + 1^3 = 4m + 1$,जहाँ $m = 16q^3 + 12q^2 + 3q$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$,तो $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2(2) + 3q(2^2)) + 2^3 = 4(16q^3 + 24q^2 + 12q) + 8 = 4(16q^3 + 24q^2 + 12q + 2) = 4m$,जहाँ $m = 16q^3 + 24q^2 + 12q + 2$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$,तो $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2(3) + 3q(3^2)) + 3^3 = 4(16q^3 + 36q^2 + 27q) + 27 = 4(16q^3 + 36q^2 + 27q + 6) + 3 = 4m + 3$,जहाँ $m = 16q^3 + 36q^2 + 27q + 6$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $4m, 4m+1$ या $4m+3$ के रूप का होता है।
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$a^3 = (4q + r)^3 = 64q^3 + 3(4q)^2r + 3(4q)r^2 + r^3$
$a^3 = 64q^3 + 48q^2r + 12qr^2 + r^3$
$a^3 = 4(16q^3 + 12q^2r + 3qr^2) + r^3$ ... $(i)$
स्थिति $I$: यदि $r = 0$,तो $a^3 = 4(16q^3) = 4m$,जहाँ $m = 16q^3$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$,तो $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2 + 3q) + 1^3 = 4m + 1$,जहाँ $m = 16q^3 + 12q^2 + 3q$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$,तो $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2(2) + 3q(2^2)) + 2^3 = 4(16q^3 + 24q^2 + 12q) + 8 = 4(16q^3 + 24q^2 + 12q + 2) = 4m$,जहाँ $m = 16q^3 + 24q^2 + 12q + 2$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$,तो $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2(3) + 3q(3^2)) + 3^3 = 4(16q^3 + 36q^2 + 27q) + 27 = 4(16q^3 + 36q^2 + 27q + 6) + 3 = 4m + 3$,जहाँ $m = 16q^3 + 36q^2 + 27q + 6$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $4m, 4m+1$ या $4m+3$ के रूप का होता है।
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Difficult
सिद्ध कीजिए कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी भी पूर्णांक $q$ के लिए $5q+2$ या $5q+3$ के रूप का नहीं हो सकता है।
Solution
(A) माना कि $a$ एक स्वैच्छिक धनात्मक पूर्णांक है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,पूर्णांकों $a$ और $5$ के लिए,ऐसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $m$ और $r$ मौजूद हैं कि $a = 5m + r$,जहाँ $0 \leq r < 5$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $a^2 = (5m + r)^2 = 25m^2 + 10mr + r^2 = 5(5m^2 + 2mr) + r^2$।
माना $q' = 5m^2 + 2mr$,तो $a^2 = 5q' + r^2$।
हम $r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ के सभी संभावित मानों की जाँच करते हैं:
स्थिति $I$: यदि $r=0$,तो $a^2 = 5(5m^2) = 5q$,जो $5q$ के रूप में है।
स्थिति $II$: यदि $r=1$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 2m) + 1 = 5q + 1$,जो $5q+1$ के रूप में है।
स्थिति $III$: यदि $r=2$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 4m) + 4 = 5q + 4$,जो $5q+4$ के रूप में है।
स्थिति $IV$: यदि $r=3$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 6m) + 9 = 5(5m^2 + 6m + 1) + 4 = 5q + 4$,जो $5q+4$ के रूप में है।
स्थिति $V$: यदि $r=4$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 8m) + 16 = 5(5m^2 + 8m + 3) + 1 = 5q + 1$,जो $5q+1$ के रूप में है।
अतः,सभी स्थितियों में $a^2$ का मान $5q, 5q+1,$ या $5q+4$ के रूप में होता है। इसलिए,यह $5q+2$ या $5q+3$ के रूप का नहीं हो सकता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,पूर्णांकों $a$ और $5$ के लिए,ऐसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $m$ और $r$ मौजूद हैं कि $a = 5m + r$,जहाँ $0 \leq r < 5$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $a^2 = (5m + r)^2 = 25m^2 + 10mr + r^2 = 5(5m^2 + 2mr) + r^2$।
माना $q' = 5m^2 + 2mr$,तो $a^2 = 5q' + r^2$।
हम $r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ के सभी संभावित मानों की जाँच करते हैं:
स्थिति $I$: यदि $r=0$,तो $a^2 = 5(5m^2) = 5q$,जो $5q$ के रूप में है।
स्थिति $II$: यदि $r=1$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 2m) + 1 = 5q + 1$,जो $5q+1$ के रूप में है।
स्थिति $III$: यदि $r=2$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 4m) + 4 = 5q + 4$,जो $5q+4$ के रूप में है।
स्थिति $IV$: यदि $r=3$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 6m) + 9 = 5(5m^2 + 6m + 1) + 4 = 5q + 4$,जो $5q+4$ के रूप में है।
स्थिति $V$: यदि $r=4$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 8m) + 16 = 5(5m^2 + 8m + 3) + 1 = 5q + 1$,जो $5q+1$ के रूप में है।
अतः,सभी स्थितियों में $a^2$ का मान $5q, 5q+1,$ या $5q+4$ के रूप में होता है। इसलिए,यह $5q+2$ या $5q+3$ के रूप का नहीं हो सकता है।
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Difficult
सिद्ध कीजिए कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी भी पूर्णांक $m$ के लिए $6m+2$ या $6m+5$ के रूप का नहीं हो सकता है।
Solution
(N/A) माना $a$ एक स्वेच्छ धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $6$ के लिए,ऐसे ऋणोत्तर पूर्णांक $q$ और $r$ विद्यमान हैं कि $a = 6q + r$,जहाँ $0 \leq r < 6$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (6q + r)^2 = 36q^2 + 12qr + r^2 = 6(6q^2 + 2qr) + r^2$ प्राप्त होता है। इसे समीकरण $(i)$ मानिए।
स्थिति $I$: यदि $r = 0$,तो $a^2 = 6(6q^2) = 6m$,जहाँ $m = 6q^2$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 2q) + 1 = 6m + 1$,जहाँ $m = 6q^2 + 2q$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 4q) + 4 = 6m + 4$,जहाँ $m = 6q^2 + 4q$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 6q) + 9 = 6(6q^2 + 6q + 1) + 3 = 6m + 3$,जहाँ $m = 6q^2 + 6q + 1$ है।
स्थिति $V$: यदि $r = 4$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 8q) + 16 = 6(6q^2 + 8q + 2) + 4 = 6m + 4$,जहाँ $m = 6q^2 + 8q + 2$ है।
स्थिति $VI$: यदि $r = 5$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 10q) + 25 = 6(6q^2 + 10q + 4) + 1 = 6m + 1$,जहाँ $m = 6q^2 + 10q + 4$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग केवल $6m, 6m+1, 6m+3,$ या $6m+4$ के रूप का ही हो सकता है। इसलिए,यह $6m+2$ या $6m+5$ के रूप का नहीं हो सकता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (6q + r)^2 = 36q^2 + 12qr + r^2 = 6(6q^2 + 2qr) + r^2$ प्राप्त होता है। इसे समीकरण $(i)$ मानिए।
स्थिति $I$: यदि $r = 0$,तो $a^2 = 6(6q^2) = 6m$,जहाँ $m = 6q^2$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 2q) + 1 = 6m + 1$,जहाँ $m = 6q^2 + 2q$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 4q) + 4 = 6m + 4$,जहाँ $m = 6q^2 + 4q$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 6q) + 9 = 6(6q^2 + 6q + 1) + 3 = 6m + 3$,जहाँ $m = 6q^2 + 6q + 1$ है।
स्थिति $V$: यदि $r = 4$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 8q) + 16 = 6(6q^2 + 8q + 2) + 4 = 6m + 4$,जहाँ $m = 6q^2 + 8q + 2$ है।
स्थिति $VI$: यदि $r = 5$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 10q) + 25 = 6(6q^2 + 10q + 4) + 1 = 6m + 1$,जहाँ $m = 6q^2 + 10q + 4$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग केवल $6m, 6m+1, 6m+3,$ या $6m+4$ के रूप का ही हो सकता है। इसलिए,यह $6m+2$ या $6m+5$ के रूप का नहीं हो सकता है।
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Medium
यदि $n$ एक विषम पूर्णांक है,तो दर्शाइए कि $n^{2}-1$,$8$ से विभाज्य है।
Solution
(N/A) माना $n$ एक विषम पूर्णांक है। किसी भी विषम पूर्णांक को किसी पूर्णांक $k$ के लिए $n = 2k + 1$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
इस मान को व्यंजक $n^{2} - 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$n^{2} - 1 = (2k + 1)^{2} - 1$
$= (4k^{2} + 4k + 1) - 1$
$= 4k^{2} + 4k$
$= 4k(k + 1)$
चूंकि $k$ और $k + 1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,इसलिए उनमें से एक संख्या सम होगी। अतः,उनका गुणनफल $k(k + 1)$,$2$ से विभाज्य है।
माना $k(k + 1) = 2m$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
अतः,$n^{2} - 1 = 4(2m) = 8m$.
चूंकि $n^{2} - 1$,$8$ का एक गुणज है,इसलिए यह किसी भी विषम पूर्णांक $n$ के लिए $8$ से विभाज्य है।
इस मान को व्यंजक $n^{2} - 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$n^{2} - 1 = (2k + 1)^{2} - 1$
$= (4k^{2} + 4k + 1) - 1$
$= 4k^{2} + 4k$
$= 4k(k + 1)$
चूंकि $k$ और $k + 1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,इसलिए उनमें से एक संख्या सम होगी। अतः,उनका गुणनफल $k(k + 1)$,$2$ से विभाज्य है।
माना $k(k + 1) = 2m$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
अतः,$n^{2} - 1 = 4(2m) = 8m$.
चूंकि $n^{2} - 1$,$8$ का एक गुणज है,इसलिए यह किसी भी विषम पूर्णांक $n$ के लिए $8$ से विभाज्य है।
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Easy
सिद्ध कीजिए कि यदि $x$ और $y$ दोनों विषम धनात्मक पूर्णांक हैं,तो $x^{2}+y^{2}$ सम है लेकिन $4$ से विभाज्य नहीं है।
Solution
(N/A) मान लीजिए कि $x = 2m + 1$ और $y = 2n + 1$ कोई भी दो विषम धनात्मक पूर्णांक हैं,जहाँ $m$ और $n$ अऋणात्मक पूर्णांक हैं।
तब,$x^{2} + y^{2} = (2m + 1)^{2} + (2n + 1)^{2}$.
सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} + y^{2} = (4m^{2} + 4m + 1) + (4n^{2} + 4n + 1)$.
$x^{2} + y^{2} = 4m^{2} + 4m + 4n^{2} + 4n + 2$.
$x^{2} + y^{2} = 4(m^{2} + m + n^{2} + n) + 2$.
चूंकि $x^{2} + y^{2} = 2[2(m^{2} + m + n^{2} + n) + 1]$,इसलिए यह स्पष्ट रूप से एक सम संख्या है।
हालाँकि,जब इसे $4$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $2$ बचता है। इसलिए,$x^{2} + y^{2}$ संख्या $4$ से विभाज्य नहीं है।
तब,$x^{2} + y^{2} = (2m + 1)^{2} + (2n + 1)^{2}$.
सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} + y^{2} = (4m^{2} + 4m + 1) + (4n^{2} + 4n + 1)$.
$x^{2} + y^{2} = 4m^{2} + 4m + 4n^{2} + 4n + 2$.
$x^{2} + y^{2} = 4(m^{2} + m + n^{2} + n) + 2$.
चूंकि $x^{2} + y^{2} = 2[2(m^{2} + m + n^{2} + n) + 1]$,इसलिए यह स्पष्ट रूप से एक सम संख्या है।
हालाँकि,जब इसे $4$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $2$ बचता है। इसलिए,$x^{2} + y^{2}$ संख्या $4$ से विभाज्य नहीं है।
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Medium
दर्शाइए कि किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $12^{n}$ का अंतिम अंक $0$ या $5$ नहीं हो सकता है।
Solution
(N/A) यदि कोई संख्या $0$ या $5$ अंक पर समाप्त होती है,तो वह हमेशा $5$ से विभाज्य होती है।
यदि $12^{n}$ का अंतिम अंक $0$ या $5$ है,तो इसे $5$ से विभाज्य होना चाहिए।
यह केवल तभी संभव है जब $12^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या $5$ शामिल हो।
अब,$12$ का अभाज्य गुणनखंडन $12 = 2^{2} \times 3$ है।
इसलिए,$12^{n} = (2^{2} \times 3)^{n} = 2^{2n} \times 3^{n}$ होता है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$12^{n}$ का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय है और इसमें केवल $2$ और $3$ अभाज्य गुणनखंड ही हैं।
चूंकि $5$,$12^{n}$ का अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $12^{n}$,$5$ से विभाज्य नहीं हो सकता है।
अतः,किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $12^{n}$ का अंतिम अंक $0$ या $5$ नहीं हो सकता है।
यदि $12^{n}$ का अंतिम अंक $0$ या $5$ है,तो इसे $5$ से विभाज्य होना चाहिए।
यह केवल तभी संभव है जब $12^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या $5$ शामिल हो।
अब,$12$ का अभाज्य गुणनखंडन $12 = 2^{2} \times 3$ है।
इसलिए,$12^{n} = (2^{2} \times 3)^{n} = 2^{2n} \times 3^{n}$ होता है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$12^{n}$ का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय है और इसमें केवल $2$ और $3$ अभाज्य गुणनखंड ही हैं।
चूंकि $5$,$12^{n}$ का अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $12^{n}$,$5$ से विभाज्य नहीं हो सकता है।
अतः,किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $12^{n}$ का अंतिम अंक $0$ या $5$ नहीं हो सकता है।
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EasyMCQ
बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए,बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत है या अनवसानी आवर्ती है: $\frac{64}{455}$.
A
शांत दशमलव प्रसार
B
अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार
C
अनवसानी अनावर्ती दशमलव प्रसार
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हर $q$ का अभाज्य गुणनखंड $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में होना चाहिए,जहाँ $m$ और $n$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{64}{455}$ है।
सबसे पहले,हर $455$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$455 = 5 \times 7 \times 13$.
चूंकि हर $455$ के अभाज्य गुणनखंड में $2$ और $5$ के अलावा अन्य गुणनखंड ($7$ और $13$) भी मौजूद हैं,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार शांत नहीं है।
अतः,$\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{64}{455}$ है।
सबसे पहले,हर $455$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$455 = 5 \times 7 \times 13$.
चूंकि हर $455$ के अभाज्य गुणनखंड में $2$ और $5$ के अलावा अन्य गुणनखंड ($7$ और $13$) भी मौजूद हैं,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार शांत नहीं है।
अतः,$\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।
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EasyMCQ
बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए,बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत है या अशांत आवर्ती है: $\frac{15}{1600}$.
A
शांत दशमलव प्रसार
B
अशांत आवर्ती दशमलव प्रसार
C
अशांत अनावर्ती दशमलव प्रसार
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
यदि $q$ का रूप $2^{m} \times 5^{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
दी गई भिन्न: $\frac{15}{1600}$.
सबसे पहले,भिन्न को सरल करें: $\frac{15}{1600} = \frac{3}{320}$.
अब,हर $320$ का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$320 = 32 \times 10 = 2^{5} \times 2 \times 5 = 2^{6} \times 5^{1}$.
चूंकि हर $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में है (जहाँ $m=6$ और $n=1$),इसलिए $\frac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार शांत है।
यदि $q$ का रूप $2^{m} \times 5^{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
दी गई भिन्न: $\frac{15}{1600}$.
सबसे पहले,भिन्न को सरल करें: $\frac{15}{1600} = \frac{3}{320}$.
अब,हर $320$ का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$320 = 32 \times 10 = 2^{5} \times 2 \times 5 = 2^{6} \times 5^{1}$.
चूंकि हर $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में है (जहाँ $m=6$ और $n=1$),इसलिए $\frac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार शांत है।
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EasyMCQ
बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए,बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत है या अनवसानी आवर्ती है: $\frac{29}{343}$.
A
शांत दशमलव प्रसार
B
अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार
C
अनवसानी अनावर्ती दशमलव प्रसार
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हर $q$ का अभाज्य गुणनखंड $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में होना चाहिए,जहाँ $m$ और $n$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{29}{343}$ के लिए:
हर $343$ है।
$343$ का अभाज्य गुणनखंड $343 = 7 \times 7 \times 7 = 7^{3}$ है।
चूंकि हर का अभाज्य गुणनखंड $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में नहीं है,इसलिए $\frac{29}{343}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{29}{343}$ के लिए:
हर $343$ है।
$343$ का अभाज्य गुणनखंड $343 = 7 \times 7 \times 7 = 7^{3}$ है।
चूंकि हर का अभाज्य गुणनखंड $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में नहीं है,इसलिए $\frac{29}{343}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।
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MediumMCQ
बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए,बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत है या अशांत आवर्ती है: $\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}$
A
शांत दशमलव प्रसार
B
अशांत आवर्ती दशमलव प्रसार
C
अशांत अनावर्ती दशमलव प्रसार
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ के अभाज्य गुणनखंडों की जाँच करते हैं।
यदि हर $q$,$2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में है,जहाँ $m$ और $n$ ऋण-इतर पूर्णांक हैं,तो परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत होता है।
दिए गए व्यंजक $\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}$ में,हर $2^{3} \times 5^{2}$ है।
यहाँ,$m = 3$ और $n = 2$ है,जो कि ऋण-इतर पूर्णांक हैं।
चूँकि हर $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}$ का दशमलव प्रसार शांत है।
यदि हर $q$,$2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में है,जहाँ $m$ और $n$ ऋण-इतर पूर्णांक हैं,तो परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत होता है।
दिए गए व्यंजक $\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}$ में,हर $2^{3} \times 5^{2}$ है।
यहाँ,$m = 3$ और $n = 2$ है,जो कि ऋण-इतर पूर्णांक हैं।
चूँकि हर $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}$ का दशमलव प्रसार शांत है।
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EasyMCQ
वास्तविक लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बिना,बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत है या अशांत आवर्ती है: $\frac{6}{15}$
A
शांत दशमलव प्रसार
B
अशांत आवर्ती दशमलव प्रसार
C
$A$ और $B$ दोनों
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) सबसे पहले,भिन्न को उसके सरलतम रूप में लिखें:
$\frac{6}{15} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{2}{5}$
एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंड $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
यहाँ,हर $5$ है,जिसे $2^0 \times 5^1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए $\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार शांत है।
$\frac{6}{15} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{2}{5}$
एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंड $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
यहाँ,हर $5$ है,जिसे $2^0 \times 5^1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए $\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार शांत है।
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MediumMCQ
बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए,बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत है या अशांत आवर्ती है: $\frac{35}{50}$.
A
शांत दशमलव प्रसार
B
अशांत आवर्ती दशमलव प्रसार
C
$A$ और $B$ दोनों
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम जांचते हैं कि क्या हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में है,जहाँ $m$ और $n$ ऋण-इतर पूर्णांक हैं।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{35}{50}$ को पहले इसके सरलतम रूप में बदलने पर:
$\frac{35}{50} = \frac{7 \times 5}{10 \times 5} = \frac{7}{10}$.
यहाँ हर $10$ है।
$10$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^{1} \times 5^{1}$ है।
चूंकि हर $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में है (जहाँ $m=1$ और $n=1$),इसलिए परिमेय संख्या $\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार शांत है।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{35}{50}$ को पहले इसके सरलतम रूप में बदलने पर:
$\frac{35}{50} = \frac{7 \times 5}{10 \times 5} = \frac{7}{10}$.
यहाँ हर $10$ है।
$10$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^{1} \times 5^{1}$ है।
चूंकि हर $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में है (जहाँ $m=1$ और $n=1$),इसलिए परिमेय संख्या $\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार शांत है।
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Medium
परिमेय संख्या $\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार लिखिए।
Solution
(0.00416) $\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग कर सकते हैं या हर को $10$ की घात के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
चरण $1$: हर $3125$ का अभाज्य गुणनखंड $3125 = 5^5$ है।
चरण $2$: हर को $10$ की घात बनाने के लिए,अंश और हर को $2^5 = 32$ से गुणा करें।
$\frac{13}{3125} = \frac{13 \times 2^5}{5^5 \times 2^5} = \frac{13 \times 32}{(5 \times 2)^5} = \frac{416}{10^5} = \frac{416}{100000} = 0.00416$.
चरण $1$: हर $3125$ का अभाज्य गुणनखंड $3125 = 5^5$ है।
चरण $2$: हर को $10$ की घात बनाने के लिए,अंश और हर को $2^5 = 32$ से गुणा करें।
$\frac{13}{3125} = \frac{13 \times 2^5}{5^5 \times 2^5} = \frac{13 \times 32}{(5 \times 2)^5} = \frac{416}{10^5} = \frac{416}{100000} = 0.00416$.
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Medium
परिमेय संख्या $\frac{17}{8}$ का दशमलव प्रसार लिखिए।
Solution
(N/A) $\frac{17}{8}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम भाग की प्रक्रिया करते हैं:
$1$. $17$ को $8$ से विभाजित करें।
$2$. $8 \times 2 = 16$,इसलिए $17 - 16 = 1$।
$3$. भागफल में दशमलव बिंदु लगाएं और शेषफल में $0$ जोड़ें,जिससे यह $10$ हो जाए।
$4$. $8 \times 1 = 8$,इसलिए $10 - 8 = 2$।
$5$. शेषफल में एक और $0$ जोड़ें,जिससे यह $20$ हो जाए।
$6$. $8 \times 2 = 16$,इसलिए $20 - 16 = 4$।
$7$. शेषफल में एक और $0$ जोड़ें,जिससे यह $40$ हो जाए।
$8$. $8 \times 5 = 40$,इसलिए $40 - 40 = 0$।
अतः,$\frac{17}{8} = 2.125$।
$1$. $17$ को $8$ से विभाजित करें।
$2$. $8 \times 2 = 16$,इसलिए $17 - 16 = 1$।
$3$. भागफल में दशमलव बिंदु लगाएं और शेषफल में $0$ जोड़ें,जिससे यह $10$ हो जाए।
$4$. $8 \times 1 = 8$,इसलिए $10 - 8 = 2$।
$5$. शेषफल में एक और $0$ जोड़ें,जिससे यह $20$ हो जाए।
$6$. $8 \times 2 = 16$,इसलिए $20 - 16 = 4$।
$7$. शेषफल में एक और $0$ जोड़ें,जिससे यह $40$ हो जाए।
$8$. $8 \times 5 = 40$,इसलिए $40 - 40 = 0$।
अतः,$\frac{17}{8} = 2.125$।
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DifficultMCQ
निर्धारित कीजिए कि परिमेय संख्या $\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार शांत है या अशांत आवर्ती। यदि यह शांत है,तो इसका दशमलव प्रसार लिखिए।
A
शांत,$0.140659...$
B
अशांत आवर्ती
C
शांत,$0.1406$
D
शांत,$0.14$
Solution
(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
यदि $q = 2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
यहाँ,$q = 455$ है।
$455$ का अभाज्य गुणनखंडन $5 \times 7 \times 13$ है।
चूंकि अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ के अलावा अन्य गुणनखंड ($7$ और $13$) मौजूद हैं,इसलिए $\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार अशांत आवर्ती है।
यदि $q = 2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
यहाँ,$q = 455$ है।
$455$ का अभाज्य गुणनखंडन $5 \times 7 \times 13$ है।
चूंकि अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ के अलावा अन्य गुणनखंड ($7$ और $13$) मौजूद हैं,इसलिए $\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार अशांत आवर्ती है।
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Medium
परिमेय संख्या $\frac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार लिखिए।
Solution
(N/A) $\frac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम भाग विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. $15$ को $1600$ से विभाजित करें।
$2$. चूंकि $15 < 1600$ है,इसलिए हम दशमलव बिंदु लगाकर $15$ के आगे शून्य बढ़ाते हैं और इसे $15.000000$ बनाते हैं।
$3$. $1600$ का $15000$ में नौ बार भाग जाता है $(1600 \times 9 = 14400)$,जिससे शेषफल $600$ बचता है।
$4$. $0$ नीचे उतारने पर $6000$ प्राप्त होता है। $1600$ का $6000$ में तीन बार भाग जाता है $(1600 \times 3 = 4800)$,जिससे शेषफल $1200$ बचता है।
$5$. $0$ नीचे उतारने पर $12000$ प्राप्त होता है। $1600$ का $12000$ में सात बार भाग जाता है $(1600 \times 7 = 11200)$,जिससे शेषफल $800$ बचता है।
$6$. $0$ नीचे उतारने पर $8000$ प्राप्त होता है। $1600$ का $8000$ में पांच बार भाग जाता है $(1600 \times 5 = 8000)$,जिससे शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार $0.009375$ है।
$1$. $15$ को $1600$ से विभाजित करें।
$2$. चूंकि $15 < 1600$ है,इसलिए हम दशमलव बिंदु लगाकर $15$ के आगे शून्य बढ़ाते हैं और इसे $15.000000$ बनाते हैं।
$3$. $1600$ का $15000$ में नौ बार भाग जाता है $(1600 \times 9 = 14400)$,जिससे शेषफल $600$ बचता है।
$4$. $0$ नीचे उतारने पर $6000$ प्राप्त होता है। $1600$ का $6000$ में तीन बार भाग जाता है $(1600 \times 3 = 4800)$,जिससे शेषफल $1200$ बचता है।
$5$. $0$ नीचे उतारने पर $12000$ प्राप्त होता है। $1600$ का $12000$ में सात बार भाग जाता है $(1600 \times 7 = 11200)$,जिससे शेषफल $800$ बचता है।
$6$. $0$ नीचे उतारने पर $8000$ प्राप्त होता है। $1600$ का $8000$ में पांच बार भाग जाता है $(1600 \times 5 = 8000)$,जिससे शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार $0.009375$ है।
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Medium
परिमेय संख्या $\frac{23}{2^{3} 5^{2}}$ का दशमलव प्रसार लिखिए।
Solution
(N/A) परिमेय संख्या $\frac{23}{2^{3} 5^{2}}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम पहले हर का सरलीकरण करते हैं:
$\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}} = \frac{23}{8 \times 25} = \frac{23}{200}$
अब,हम $23$ को $200$ से विभाजित करते हैं:
$23 \div 200 = 0.115$
वैकल्पिक रूप से,हम $2$ और $5$ की घातों को समान बना सकते हैं:
$\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}} = \frac{23 \times 5}{2^{3} \times 5^{2} \times 5} = \frac{115}{2^{3} \times 5^{3}} = \frac{115}{(2 \times 5)^{3}} = \frac{115}{10^{3}} = \frac{115}{1000} = 0.115$
$\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}} = \frac{23}{8 \times 25} = \frac{23}{200}$
अब,हम $23$ को $200$ से विभाजित करते हैं:
$23 \div 200 = 0.115$
वैकल्पिक रूप से,हम $2$ और $5$ की घातों को समान बना सकते हैं:
$\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}} = \frac{23 \times 5}{2^{3} \times 5^{2} \times 5} = \frac{115}{2^{3} \times 5^{3}} = \frac{115}{(2 \times 5)^{3}} = \frac{115}{10^{3}} = \frac{115}{1000} = 0.115$
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Easy
परिमेय संख्या $\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार लिखिए।
Solution
(N/A) परिमेय संख्या $\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम पहले अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.प.),जो कि $3$ है,से विभाजित करके भिन्न को सरल करते हैं।
$\frac{6}{15} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{2}{5}$.
अब,हम $2$ को $5$ से विभाजित करके $\frac{2}{5}$ को दशमलव में बदलते हैं:
$2 \div 5 = 0.4$.
अतः,$\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार $0.4$ है।
$\frac{6}{15} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{2}{5}$.
अब,हम $2$ को $5$ से विभाजित करके $\frac{2}{5}$ को दशमलव में बदलते हैं:
$2 \div 5 = 0.4$.
अतः,$\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार $0.4$ है।
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Easy
परिमेय संख्या $\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार लिखिए।
Solution
(N/A) परिमेय संख्या $\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम भाग विधि का उपयोग कर सकते हैं या पहले भिन्न को सरल कर सकते हैं।
विधि $1$: भाग विधि
$35$ को $50$ से भाग देने पर:
$35 \div 50 = 0.7$
विधि $2$: हर को $10$ की घात के रूप में बदलकर
$\frac{35}{50} = \frac{35 \times 2}{50 \times 2} = \frac{70}{100} = 0.7$
अतः,$\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार $0.7$ है।
विधि $1$: भाग विधि
$35$ को $50$ से भाग देने पर:
$35 \div 50 = 0.7$
विधि $2$: हर को $10$ की घात के रूप में बदलकर
$\frac{35}{50} = \frac{35 \times 2}{50 \times 2} = \frac{70}{100} = 0.7$
अतः,$\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार $0.7$ है।
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MediumMCQ
निर्धारित कीजिए कि परिमेय संख्या $\frac{77}{210}$ का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती है। यदि यह सांत है,तो इसका दशमलव प्रसार लिखिए।
A
सांत,$0.3666...$
B
असांत आवर्ती,$0.3666...$
C
सांत,$0.36$
D
असांत,$0.366$
Solution
(B) सबसे पहले,भिन्न $\frac{77}{210}$ को उनके महत्तम समापवर्तक $7$ से विभाजित करके सरल कीजिए।
$\frac{77 \div 7}{210 \div 7} = \frac{11}{30}$.
अब,हर $30$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$30 = 2 \times 3 \times 5$.
एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि और केवल यदि उसके हर का अभाज्य गुणनखंड (सरलतम रूप में) $2^n \times 5^m$ के रूप का हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं।
चूंकि हर $30$ में $3$ का गुणनखंड है (जो $2$ या $5$ नहीं है),इसलिए $\frac{11}{30}$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
$11 \div 30$ का भाग करने पर हमें $0.3666...$ या $0.3\overline{6}$ प्राप्त होता है।
$\frac{77 \div 7}{210 \div 7} = \frac{11}{30}$.
अब,हर $30$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$30 = 2 \times 3 \times 5$.
एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि और केवल यदि उसके हर का अभाज्य गुणनखंड (सरलतम रूप में) $2^n \times 5^m$ के रूप का हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं।
चूंकि हर $30$ में $3$ का गुणनखंड है (जो $2$ या $5$ नहीं है),इसलिए $\frac{11}{30}$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
$11 \div 30$ का भाग करने पर हमें $0.3666...$ या $0.3\overline{6}$ प्राप्त होता है।
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