Mix Examples - Real Numbers Questions in Hindi

(A) दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम हर को $2^n \cdot 5^m$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
दी गई संख्या $\frac{33}{2^2 \cdot 5^1}$ है।
$2$ और $5$ के घातों को समान करने के लिए,हम अंश और हर को $5^{(2-1)} = 5^1$ से गुणा करते हैं।
$\frac{33 \cdot 5}{2^2 \cdot 5^1 \cdot 5^1} = \frac{165}{2^2 \cdot 5^2} = \frac{165}{(2 \cdot 5)^2} = \frac{165}{10^2} = \frac{165}{100} = 1.65$.
अतः,दशमलव प्रसार $2$ दशमलव स्थानों के बाद समाप्त हो जाता है।

(B) नहीं।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ और भाजक $b=3$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि:
$a = 3q + r$,जहाँ $0 \leq r < 3$ है।
चूंकि $r$ को $0 \leq r < 3$ शर्त को पूरा करने वाला एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए शेषफल $r$ के संभावित मान $0, 1$ और $2$ हैं।
अतः,यह कथन कि शेषफल केवल $0$ और $1$ हैं,गलत है।

(B) नहीं,प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $4q + 2$ के रूप का नहीं हो सकता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $b$ और धनात्मक पूर्णांक $a = 4$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $b = 4q + r$,जहाँ $0 \le r < 4$ है।
इसका अर्थ है कि शेषफल $r$ के संभावित मान $0, 1, 2,$ और $3$ हैं।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $b$ को निम्नलिखित रूपों में से किसी एक में व्यक्त किया जा सकता है: $4q, 4q + 1, 4q + 2,$ या $4q + 3$।
चूँकि एक धनात्मक पूर्णांक $4q, 4q + 1,$ या $4q + 3$ के रूप में भी हो सकता है,इसलिए यह केवल $4q + 2$ के रूप तक सीमित नहीं है।

(B) नहीं,दो संख्याओं का $HCF$ $18$ और $LCM$ $380$ नहीं हो सकता है।
इसका कारण यह है कि किन्हीं भी दो संख्याओं का $HCF$ हमेशा उनके $LCM$ का एक गुणनखंड (factor) होना चाहिए।
इस मामले में,हम जाँचते हैं कि क्या $380$,$18$ से विभाज्य है:
$380 / 18 = 21.11...$
चूंकि $18$,$380$ का गुणनखंड नहीं है,इसलिए ऐसी संख्याएँ मौजूद नहीं हो सकतीं।

(N/A) माना $a$ एक विषम पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी धनात्मक पूर्णांक $b=4$ के लिए,$a = 4k + r$ होता है,जहाँ $0 \leq r < 4$ है।
चूँकि $a$ विषम है,इसलिए $r$ का मान केवल $1$ या $3$ हो सकता है।
स्थिति $1$: यदि $r = 1$ है,तो $a = 4k + 1$ होगा।
$a^2 = (4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1 = 4(4k^2 + 2k) + 1$।
माना $q = 4k^2 + 2k$,जो एक पूर्णांक है। अतः,$a^2 = 4q + 1$।
स्थिति $2$: यदि $r = 3$ है,तो $a = 4k + 3$ होगा।
$a^2 = (4k + 3)^2 = 16k^2 + 24k + 9 = 16k^2 + 24k + 8 + 1 = 4(4k^2 + 6k + 2) + 1$।
माना $q = 4k^2 + 6k + 2$,जो एक पूर्णांक है। अतः,$a^2 = 4q + 1$।
दोनों स्थितियों में,किसी विषम पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $q$ के लिए $4q + 1$ के रूप का होता है।

(B) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि उसके हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^{m} \cdot 5^{n}$ के रूप का हो,जहाँ $m$ और $n$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{129}{2^{2} \cdot 5^{7} \cdot 7^{5}}$ में,हर $q = 2^{2} \cdot 5^{7} \cdot 7^{5}$ है।
चूँकि हर के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ के अलावा एक अन्य गुणनखंड $(7^{5})$ मौजूद है,इसलिए इसका दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।

(A) दी गई संख्या $43.123456789$ है।
चूंकि इस संख्या का दशमलव प्रसार शांत है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत होने के लिए,हर $q$ का अभाज्य गुणनखंड $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप का होना चाहिए,जहाँ $m$ और $n$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
अतः,$q$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ या $5$ या दोनों होंगे।

माना कि $a$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ को $a = 4q + r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $r \in \{0, 1, 2, 3\}$ है।
चूँकि $a$ विषम है,इसलिए $r$ का मान $1$ या $3$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $a = 4q + 1$ है,तो $a^2 = (4q + 1)^2 = 16q^2 + 8q + 1 = 8(2q^2 + q) + 1$। माना $m = 2q^2 + q$,तो $a^2 = 8m + 1$।
स्थिति $2$: यदि $a = 4q + 3$ है,तो $a^2 = (4q + 3)^2 = 16q^2 + 24q + 9 = 16q^2 + 24q + 8 + 1 = 8(2q^2 + 3q + 1) + 1$। माना $m = 2q^2 + 3q + 1$,तो $a^2 = 8m + 1$।
दोनों स्थितियों में,विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $8m + 1$ के रूप का होता है।

(A) दी गई व्यंजक: $\frac{1}{\sqrt{12-\sqrt{140}}}-\frac{1}{\sqrt{8-\sqrt{60}}}-\frac{2}{\sqrt{10+\sqrt{84}}}$
चरण $1$: वर्गमूल के अंदर के पदों को $a+b-2\sqrt{ab}$ के रूप में लिखकर सरल करें।
$= \frac{1}{\sqrt{12-2\sqrt{35}}} - \frac{1}{\sqrt{8-2\sqrt{15}}} - \frac{2}{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}$
चरण $2$: वर्गमूल के अंदर के पदों को द्विपद के वर्ग के रूप में लिखें।
$= \frac{1}{\sqrt{7+5-2\sqrt{7 \times 5}}} - \frac{1}{\sqrt{5+3-2\sqrt{5 \times 3}}} - \frac{2}{\sqrt{7+3+2\sqrt{7 \times 3}}}$
$= \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}} - \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}} - \frac{2}{\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}}$
$= \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$
चरण $3$: हर का परिमेयकरण करें।
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{7-5} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} - \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3}$
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} - \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}$
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$
चरण $4$: भिन्नों को संयोजित करें।
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}-\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2} = \frac{0}{2} = 0$

(A) हमें $\sqrt{3 - \frac{1}{3} \sqrt{56}}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: $\sqrt{3 - \frac{\sqrt{56}}{3}} = \sqrt{\frac{9 - \sqrt{56}}{3}} = \sqrt{\frac{9 - 2\sqrt{14}}{3}}$.
$\sqrt{9 - 2\sqrt{14}}$ को सरल करने के लिए,हम दो ऐसी संख्याएँ $a$ और $b$ ढूँढते हैं जिनका योग $a+b=9$ और गुणनफल $ab=14$ हो। ये संख्याएँ $7$ और $2$ हैं।
अतः,$\sqrt{9 - 2\sqrt{14}} = \sqrt{7} - \sqrt{2}$.
इस प्रकार,व्यंजक $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{7}{3}} - \sqrt{\frac{2}{3}}$ हो जाता है।

(C) $30-2 \sqrt{56}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम इसे $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनके वर्गों का योग $30$ हो और उनका गुणनफल $\sqrt{56}$ हो।
$30-2 \sqrt{56} = 30-2 \sqrt{28 \times 2} = 30-2 \sqrt{7 \times 8}$.
हम $30$ को $(28+2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना व्यंजक $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = x+y-2 \sqrt{xy}$ है।
यहाँ,$x+y = 30$ और $xy = 56$ है।
$x$ और $y$ के लिए हल करने पर,हमें $x=28$ और $y=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$30-2 \sqrt{56} = 28+2-2 \sqrt{28 \times 2} = (\sqrt{28}-\sqrt{2})^2$.
चूँकि $\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2 \sqrt{7}$,इसलिए व्यंजक $(2 \sqrt{7}-\sqrt{2})^2$ बन जाता है।
अतः,वर्गमूल $2 \sqrt{7}-\sqrt{2}$ है।

(D) $12-\sqrt{140}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम इसे $\sqrt{a-b}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सबसे पहले,$\sqrt{140}$ को $\sqrt{4 \times 35} = 2\sqrt{35}$ के रूप में सरल करें।
अतः,व्यंजक $12 - 2\sqrt{35}$ हो जाता है।
हम इसे $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$ के रूप में व्यक्त करना चाहते हैं।
$x + y = 12$ और $2\sqrt{xy} = 2\sqrt{35}$ की तुलना करने पर,हमें $xy = 35$ प्राप्त होता है।
$35$ के ऐसे गुणनखंड जिनका योग $12$ है,वे $7$ और $5$ हैं।
इस प्रकार,$12 - 2\sqrt{35} = 7 + 5 - 2\sqrt{7 \times 5} = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{5} = (\sqrt{7} - \sqrt{5})^2$।
अतः,वर्गमूल $\sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{5})^2} = \sqrt{7} - \sqrt{5}$ है।

(A) $3-\sqrt{5}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम इसे $\sqrt{3-\sqrt{5}}$ के रूप में लिखते हैं।
वर्गमूल के अंदर $\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$\sqrt{\frac{2(3-\sqrt{5})}{2}} = \sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$.
अब,अंश $6-2\sqrt{5}$ को एक पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त करें:
$6-2\sqrt{5} = 5 + 1 - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + (1)^2 - 2(\sqrt{5})(1) = (\sqrt{5}-1)^2$.
इस मान को वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) $\frac{7}{4} + \sqrt{3}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम इसे $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
हम व्यंजक को $\frac{7}{4} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए कि वर्गमूल $(a + b)$ है। तब $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = \frac{7}{4} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$।
पदों की तुलना करने पर,हमें $2ab = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $ab = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
साथ ही,$a^2 + b^2 = \frac{7}{4}$।
मान लीजिए $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $b = 1$ है। तब $a^2 + b^2 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$।
अतः,$\frac{7}{4} + \sqrt{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1)^2$।
इसलिए,वर्गमूल $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ है।

(D) व्यंजक $\frac{\sqrt{4-\sqrt{7}}}{\sqrt{8+3 \sqrt{7}-2 \sqrt{2}}}$ को सरल करने के लिए,आइए अंश और हर को सरल करें।
अंश: $\sqrt{4-\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{7-2\sqrt{7}+1}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{7}-1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}}$.
हर: $\sqrt{8+3\sqrt{7}-2\sqrt{2}}$. यह व्यंजक जटिल प्रतीत होता है। यदि हम हर को $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$ मान लें,तो $\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = \sqrt{7}+1$ होगा।
अतः,$\frac{\sqrt{4-\sqrt{7}}}{\sqrt{8+2\sqrt{7}}} = \frac{(\sqrt{7}-1)/\sqrt{2}}{\sqrt{7}+1} = \frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}(\sqrt{7}+1)}$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,इस व्यंजक का सरलीकरण $1$ प्राप्त होता है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम भिन्न को उसके सरलतम रूप में बदलने के बाद हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
सबसे पहले,$\frac{55}{150}$ को उनके महत्तम समापवर्तक $5$ से विभाजित करके सरल करें:
$\frac{55 \div 5}{150 \div 5} = \frac{11}{30}$.
अब,हर $30$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें:
$30 = 2 \times 3 \times 5$.
एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि और केवल यदि हर के अभाज्य गुणनखंडन में केवल $2$ और $5$ की घातें हों।
चूंकि हर $30$ में $3$ का एक गुणनखंड है (जो $2$ या $5$ नहीं है),इसलिए दशमलव प्रसार अशांत आवर्ती है।
$11 \div 30$ का भाग करने पर हमें $0.3666...$ या $0.3\overline{6}$ प्राप्त होता है।

(C) $6+\sqrt{35}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए इसे $2$ से गुणा और भाग करते हैं:
$\sqrt{6+\sqrt{35}} = \sqrt{\frac{2(6+\sqrt{35})}{2}} = \sqrt{\frac{12+2\sqrt{35}}{2}}$
अब,हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $12$ और गुणनफल $35$ हो। ये संख्याएँ $7$ और $5$ हैं।
अतः,$12+2\sqrt{35} = 7+5+2\sqrt{7 \times 5} = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} = (\sqrt{7}+\sqrt{5})^2$.
इसलिए,$\sqrt{\frac{12+2\sqrt{35}}{2}} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करते हैं:
$\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5}) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}$.

(D) $56-24 \sqrt{5}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम मानते हैं कि यह $(a-b\sqrt{c})^2 = a^2 + b^2c - 2ab\sqrt{c}$ के रूप में है।
$56-24\sqrt{5}$ की तुलना $a^2+b^2c - 2ab\sqrt{c}$ से करने पर,हमें $2ab\sqrt{c} = 24\sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $a=6$ और $b\sqrt{c} = 2\sqrt{5}$ है।
तब $a^2 + b^2c = 6^2 + (2\sqrt{5})^2 = 36 + 20 = 56$ होता है।
यह दी गई अभिव्यक्ति से मेल खाता है।
अतः,$\sqrt{56-24\sqrt{5}} = 6-2\sqrt{5}$ है।

(A) $55-14 \sqrt{6}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम मानते हैं कि यह $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ के रूप में है।
हम व्यंजक को $55 - 2 \times 7 \times \sqrt{6}$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $a = 7$ और $b = \sqrt{6}$ है।
तब $a^2 + b^2 = 7^2 + (\sqrt{6})^2 = 49 + 6 = 55$ होता है।
यह दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।
अतः,$55 - 14 \sqrt{6} = 7^2 + (\sqrt{6})^2 - 2(7)(\sqrt{6}) = (7-\sqrt{6})^2$ है।
इस प्रकार,वर्गमूल $\sqrt{(7-\sqrt{6})^2} = 7-\sqrt{6}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई व्यंजक: $\frac{3+\sqrt{6}}{17 \sqrt{3}-2 \sqrt{32}+3 \sqrt{18}-4 \sqrt{48}}$
हर के पदों को सरल करने पर:
$2 \sqrt{32} = 2 \sqrt{16 \times 2} = 2 \times 4 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$
$3 \sqrt{18} = 3 \sqrt{9 \times 2} = 3 \times 3 \sqrt{2} = 9 \sqrt{2}$
$4 \sqrt{48} = 4 \sqrt{16 \times 3} = 4 \times 4 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3}$
इन मानों को हर में प्रतिस्थापित करने पर:
$17 \sqrt{3} - 8 \sqrt{2} + 9 \sqrt{2} - 16 \sqrt{3}$
समान पदों को समूहित करने पर:
$(17 \sqrt{3} - 16 \sqrt{3}) + (9 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
अब व्यंजक इस प्रकार है: $\frac{3+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
अंश का गुणनखंड करने पर: $3 + \sqrt{6} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} + \sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$
मान रखने पर: $\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3}$

(C) सबसे पहले,$289$ का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
हम जानते हैं कि $17 \times 17 = 289$,इसलिए $\sqrt{289} = 17$ है।
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $\sqrt{289} + 1 = 17 + 1 = 18$।
चूंकि $18$ एक पूर्ण संख्या है,इसलिए यह पूर्णांकों के समुच्चय में आता है।
अतः,$\sqrt{289} + 1$ एक पूर्णांक है।

(A) $\sqrt{7+2 \sqrt{5}}$ व्यंजक को सरल बनाने के लिए,हम दो ऐसी संख्याएँ $a$ और $b$ ढूँढते हैं ताकि $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 7 + 2\sqrt{5}$ हो।
पदों की तुलना करने पर,हमें $a^2 + b^2 = 7$ और $2ab = 2\sqrt{5}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $ab = \sqrt{5}$।
यदि हम $a = \sqrt{5}$ और $b = 1$ मान लें,तो $a^2 + b^2 = (\sqrt{5})^2 + (1)^2 = 5 + 1 = 6$ होता है।
चूँकि $6 \neq 7$,इसलिए इस व्यंजक को $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ के रूप में सरल नहीं किया जा सकता जहाँ $a$ और $b$ परिमेय संख्याएँ हों।
अतः,$\sqrt{7+2 \sqrt{5}}$ का अस्तित्व $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ के रूप वाली द्विपद करणी के रूप में नहीं है।

(C) व्यंजक $\sqrt{8+4 \sqrt{3}}$ को सरल बनाने के लिए,हम इसे $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सबसे पहले,व्यंजक को $\sqrt{8 + 2 \cdot 2 \sqrt{3}} = \sqrt{8 + 2 \sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{8 + 2 \sqrt{12}}$ के रूप में लिखें।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $8$ हो और गुणनफल $12$ हो।
ये संख्याएँ $6$ और $2$ हैं,क्योंकि $6+2=8$ और $6 \times 2=12$ होता है।
इसलिए,$\sqrt{8 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$।

(B) किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n \geq 1$ के लिए,व्यंजक $10^{n}$ को $10 \times 10 \times 10 \times \dots \times 10$ ($n$ बार) के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $10^{1} = 10$,$10^{2} = 100$,$10^{3} = 1000$,आदि,यह स्पष्ट है कि $10$ की प्रत्येक घात का अंतिम अंक $0$ होता है।
अतः,$10^{n}$ का अंतिम अंक $0$ है।

(C) $2^{9} \cdot 5^{135}$ व्यंजक का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए,हम $2$ और $5$ के गुणनखंडों को समूहित करके व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं।
हम जानते हैं कि $2 \cdot 5 = 10$ होता है।
हम $2^{9} \cdot 5^{135}$ को $2^{9} \cdot 5^{9} \cdot 5^{126}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह सरल होकर $(2 \cdot 5)^{9} \cdot 5^{126} = 10^{9} \cdot 5^{126}$ हो जाता है।
चूंकि $10^{9}$ एक ऐसी संख्या है जो $9$ शून्य पर समाप्त होती है,और $5^{126}$ एक ऐसी संख्या है जो $5$ पर समाप्त होती है (क्योंकि $5$ की कोई भी घात $5$ पर ही समाप्त होती है),इसलिए $10^{9} \cdot 5^{126}$ का गुणनफल $9$ शून्य पर समाप्त होगा।
अतः,व्यंजक का अंतिम अंक $0$ है।

(D) $3k$ $(k \in Z)$ का रूप $3$ के गुणजों को दर्शाता है,जैसे $\ldots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, \ldots$.
इन $3$ के गुणजों में $1$ जोड़ने या $1$ घटाने पर हमें $3k + 1$ या $3k - 1$ के रूप की संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
चूँकि $3k$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए $3k \pm 1$ के रूप की किसी भी संख्या को $3$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ या $2$ प्राप्त होता है।
अतः,ये संख्याएँ $3$ से विभाज्य नहीं हैं।

(D) व्यंजक $P(n) = n(n+1)(n+2)$ है।
चूंकि $n$ एक धनात्मक सम पूर्णांक है,इसलिए सबसे छोटा मान $n=2$ है।
$n=2$ के लिए,$P(2) = 2 \times 3 \times 4 = 24$ है।
$n=4$ के लिए,$P(4) = 4 \times 5 \times 6 = 120$ है।
$n=6$ के लिए,$P(6) = 6 \times 7 \times 8 = 336$ है।
हम देखते हैं कि $24$,$120$ और $336$ सभी $24$ से विभाज्य हैं।
सामान्य तौर पर,तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल $n(n+1)(n+2)$ हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य होता है। चूंकि $n$ सम है,इसलिए कारकों में से एक $4$ का गुणज होगा और दूसरा सम होगा,जो $8$ से विभाज्यता सुनिश्चित करता है। अतः,यह गुणनफल $6 \times 4 = 24$ से विभाज्य है।

(B) भिन्न $\frac{12}{35}$ के लिए,हम पहले हर $q = 35$ की जाँच करते हैं।
हर का अभाज्य गुणनखंडन $q = 5 \times 7$ है।
एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत तब होता है जब हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड $2^n \times 5^m$ के रूप में हों,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
चूँकि हर $35$ में अभाज्य गुणनखंड $7$ है (जो $2$ या $5$ नहीं है),इसलिए $\frac{12}{35}$ का दशमलव प्रसार अशांत आवर्ती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) सबसे पहले,भिन्न $\frac{42}{35}$ को उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.प.),जो $7$ है,से विभाजित करके सरल करें।
$\frac{42 \div 7}{35 \div 7} = \frac{6}{5}$.
अब,हर को $10$ की घात बनाकर भिन्न को दशमलव में बदलें:
$\frac{6}{5} = \frac{6 \times 2}{5 \times 2} = \frac{12}{10} = 1.2$.
चूंकि दशमलव प्रसार $1.2$ सीमित अंकों के बाद समाप्त हो जाता है,इसलिए यह एक सांत दशमलव प्रसार है।

(D) दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम हर को $10$ की घात बनाकर भिन्न को दशमलव में बदलते हैं।
$\frac{47}{500} = \frac{47 \times 2}{500 \times 2} = \frac{94}{1000} = 0.094$.
दशमलव प्रसार $0.094$ में,दशमलव बिंदु के बाद $3$ अंक हैं।

(C) $\frac{337}{125}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर दोनों को $8$ से गुणा करके हर को $10$ की घात में बदल सकते हैं।
$\frac{337}{125} = \frac{337 \times 8}{125 \times 8}$
$= \frac{2696}{1000}$
$= 2.696$

(B) $(\sqrt{3}+2)^{2}$ को हल करने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = \sqrt{3}$ और $b = 2$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{3}+2)^{2} = (\sqrt{3})^{2} + 2(\sqrt{3})(2) + (2)^{2}$
$= 3 + 4\sqrt{3} + 4$
$= 7 + 4\sqrt{3}$.

(C) गणितज्ञ $Al-Khwarizmi$ (अल-ख्वारिज्मी) ने मध्य पूर्व और बाद में पश्चिमी दुनिया में भारतीय अंक प्रणाली और गणितीय अवधारणाओं को पेश करने और लोकप्रिय बनाने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। उनके कार्य,विशेष रूप से बीजगणित और दशमलव प्रणाली से संबंधित,भारतीय गणितीय ग्रंथों से अत्यधिक प्रभावित थे।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $3 + \sqrt{16}$ है।
हम जानते हैं कि $\sqrt{16} = 4$ होता है।
इस मान को अभिव्यक्ति में रखने पर: $3 + 4 = 7$ प्राप्त होता है।
चूंकि $7$ को $p/q$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $p=7$ और $q=1$ (दोनों पूर्णांक हैं और $q \neq 0$),इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(D) $27$ को $4$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम भाग देते हैं:
$27 \div 4 = 6$ और शेषफल प्राप्त होता है।
$4 \times 6 = 24$.
शेषफल $= 27 - 24 = 3$.
अतः,शेषफल $3$ है।

(B) हमें व्यंजक $(5k+1)^2$ दिया गया है।
सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$(5k+1)^2 = (5k)^2 + 2(5k)(1) + (1)^2$
$= 25k^2 + 10k + 1$
$= 5(5k^2 + 2k) + 1$
यहाँ,व्यंजक $5q + 1$ के रूप में है,जहाँ $q = 5k^2 + 2k$ एक पूर्णांक है।
अतः,जब $(5k+1)^2$ को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(C) $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या $9999$ है।
$95$ से विभाज्य $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $9999$ को $95$ से विभाजित करते हैं।
$9999 \div 95 = 105$ और शेषफल प्राप्त होता है।
$9999 = 95 \times 105 + 14$.
यहाँ शेषफल $14$ है।
$95$ से विभाज्य $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम सबसे बड़ी $4$ अंकों की संख्या में से शेषफल को घटाते हैं:
$9999 - 14 = 9985$.
अतः,$9985$ वह सबसे बड़ी $4$ अंकों की पूर्णांक संख्या है जो $95$ से विभाज्य है।

(B) माना $a$ कोई भी धनात्मक पूर्णांक है। किसी भी पूर्णांक $a$ को $6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4,$ या $6k+5$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $k ge 0$ है।
प्रत्येक स्थिति के लिए हम $a^2 \pmod{6}$ की गणना करते हैं:
$1$. यदि $a = 6k$,तो $a^2 = 36k^2 = 6(6k^2)$,अतः $a^2 \equiv 0 \pmod{6}$.
$2$. यदि $a = 6k+1$,तो $a^2 = 36k^2 + 12k + 1 = 6(6k^2 + 2k) + 1$,अतः $a^2 \equiv 1 \pmod{6}$.
$3$. यदि $a = 6k+2$,तो $a^2 = 36k^2 + 24k + 4 = 6(6k^2 + 4k) + 4$,अतः $a^2 \equiv 4 \pmod{6}$.
$4$. यदि $a = 6k+3$,तो $a^2 = 36k^2 + 36k + 9 = 36k^2 + 36k + 6 + 3 = 6(6k^2 + 6k + 1) + 3$,अतः $a^2 \equiv 3 \pmod{6}$.
$5$. यदि $a = 6k+4$,तो $a^2 = 36k^2 + 48k + 16 = 36k^2 + 48k + 12 + 4 = 6(6k^2 + 8k + 2) + 4$,अतः $a^2 \equiv 4 \pmod{6}$.
$6$. यदि $a = 6k+5$,तो $a^2 = 36k^2 + 60k + 25 = 36k^2 + 60k + 24 + 1 = 6(6k^2 + 10k + 4) + 1$,अतः $a^2 \equiv 1 \pmod{6}$.
अतः,संभावित शेषफल $0, 1, 3, 4$ हैं। शेषफल $2$ और $5$ संभव नहीं हैं। दिए गए विकल्पों में से,$2$ सही उत्तर है।

(C) माना $d = HCF(a - b, a + b)$ है।
अतः $d$ उनके योग और अंतर दोनों को विभाजित करता है।
$d$,$(a + b) + (a - b) = 2a$ को विभाजित करता है।
$d$,$(a + b) - (a - b) = 2b$ को विभाजित करता है।
चूंकि $d$,$2a$ और $2b$ को विभाजित करता है,इसलिए $d$,$HCF(2a, 2b) = 2 \times HCF(a, b)$ को भी विभाजित करेगा।
दिया गया है कि $HCF(a, b) = 1$,इसलिए $d$,$2 \times 1 = 2$ को विभाजित करता है।
अतः,$d$ का मान $1$ या $2$ हो सकता है।
उदाहरण के लिए,यदि $a = 3, b = 2$ है,तो $HCF(3, 2) = 1$,तब $HCF(3-2, 3+2) = HCF(1, 5) = 1$ होगा।
यदि $a = 3, b = 1$ है,तो $HCF(3, 1) = 1$,तब $HCF(3-1, 3+1) = HCF(2, 4) = 2$ होगा।
अतः,सही उत्तर $1$ या $2$ है।

(C) मान लीजिए कि चार क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n, (n+1), (n+2),$ और $(n+3)$ हैं।
इन पूर्णांकों का गुणनफल $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$ है।
यह व्यंजक $24 \times \binom{n+3}{4}$ के बराबर है।
चूंकि $\binom{n+3}{4}$ हमेशा एक पूर्णांक होता है,इसलिए गुणनफल $P$ को $24$ से विभाज्य होना चाहिए।
उदाहरण के लिए,यदि $n=1$ है,तो गुणनफल $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ है,जो $24$ से विभाज्य है।
यदि $n=2$ है,तो गुणनफल $2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$ है,जो $24 \times 5$ है,जो भी $24$ से विभाज्य है।

(A) हमें व्यंजक $2^m \cdot 5^n$ दिया गया है जहाँ $m, n \in \mathbb{N}$ है।
हम जानते हैं कि $2 \cdot 5 = 10$ होता है।
यदि $m \ge n$ है,तो $2^m \cdot 5^n = 2^{m-n} \cdot (2^n \cdot 5^n) = 2^{m-n} \cdot 10^n$ होगा।
यदि $n > m$ है,तो $2^m \cdot 5^n = 5^{n-m} \cdot (2^m \cdot 5^m) = 5^{n-m} \cdot 10^m$ होगा।
दोनों ही स्थितियों में,व्यंजक में $10$ का एक गुणनखंड मौजूद है,इसलिए संख्या का अंतिम अंक हमेशा $0$ होगा।
अतः,$2^m \cdot 5^n$ का अंतिम अंक $0$ है।

(C) भिन्न $\frac{337}{125}$ को सांत दशमलव रूप में बदलने के लिए,हम अंश और हर दोनों को $8$ से गुणा कर सकते हैं ताकि हर $10$ की घात बन जाए।
$\frac{337 \times 8}{125 \times 8} = \frac{2696}{1000}$.
$1000$ से भाग देने पर दशमलव बिंदु तीन स्थान बाईं ओर खिसक जाता है।
$\frac{2696}{1000} = 2.696$.

(C) मान लीजिए कि चार क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n, (n+1), (n+2),$ और $(n+3)$ हैं।
उनका गुणनफल $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$ है।
हम जानते हैं कि $k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $k!$ (k फैक्टोरियल) से विभाज्य होता है।
यहाँ,$k = 4$ है,इसलिए गुणनफल $4!$ से विभाज्य होगा।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
अतः,किन्हीं चार क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $24$ से विभाज्य होता है।

(A) $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या $9999$ है।
$95$ से विभाज्य $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $9999$ को $95$ से विभाजित करते हैं।
$9999 \div 95 = 105.2526...$
यहाँ पूर्णांक भाग $105$ है।
अब,सबसे बड़ा गुणज ज्ञात करने के लिए $105$ को $95$ से गुणा करें:
$105 \times 95 = 9975$.
अतः,$95$ से विभाज्य $4$ अंकों की सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या $9975$ है।

(B) माना कि कोई धनात्मक पूर्णांक $n$ है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक को $3q$,$3q + 1$,या $3q + 2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $q \ge 0$ एक पूर्णांक है।
स्थिति $1$: यदि $n = 3q$ है,तो $n^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$,जहाँ $m = 3q^2$ है।
स्थिति $2$: यदि $n = 3q + 1$ है,तो $n^2 = (3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3q^2 + 2q$ है।
स्थिति $3$: यदि $n = 3q + 2$ है,तो $n^2 = (3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3q^2 + 4q + 1$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा $3m$ या $3m + 1$ के रूप में ही होता है। यह कभी भी $3m + 2$ के रूप में नहीं हो सकता। इसलिए,दिया गया कथन असत्य है।

(B) यह कथन $False$ (असत्य) है।
प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक $2n$ के रूप का होता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
हालाँकि यह सच है कि कुछ सम पूर्णांकों को $4q + 2$ (जहाँ $q$ एक पूर्णांक है) के रूप में लिखा जा सकता है,लेकिन सभी सम पूर्णांक इस रूप का पालन नहीं करते हैं।
उदाहरण के लिए,पूर्णांक $2$ को $4(0) + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है,लेकिन पूर्णांक $4$ को किसी भी पूर्णांक $q$ के लिए $4q + 2$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,क्योंकि $4q + 2 = 4 \implies 4q = 2 \implies q = 0.5$,जो कि एक पूर्णांक नहीं है।

(B) मान लीजिए कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n$ और $n+1$ हैं।
उनका गुणनफल $P = n(n+1) = n^2 + n$ है।
चूंकि दो क्रमागत पूर्णांकों में से एक संख्या हमेशा सम (even) होती है,इसलिए उनका गुणनफल $n(n+1)$ हमेशा एक सम संख्या होती है।
एक सम संख्या हमेशा $2$ से विभाज्य होती है।
अतः,दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $2$ से विभाज्य होता है।