HCF and LCM by Prime Factorisation Questions in Hindi

(N/A) चूंकि $12576 > 4052$ है,हम $12576$ और $4052$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$12576 = 4052 \times 3 + 420$
चूंकि शेषफल $420 \neq 0$ है,हम $4052$ और $420$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$4052 = 420 \times 9 + 272$
चूंकि शेषफल $272 \neq 0$ है,हम $420$ और $272$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$420 = 272 \times 1 + 148$
चूंकि शेषफल $148 \neq 0$ है,हम $272$ और $148$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$272 = 148 \times 1 + 124$
चूंकि शेषफल $124 \neq 0$ है,हम $148$ और $124$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$148 = 124 \times 1 + 24$
चूंकि शेषफल $24 \neq 0$ है,हम $124$ और $24$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$124 = 24 \times 5 + 4$
चूंकि शेषफल $4 \neq 0$ है,हम $24$ और $4$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$24 = 4 \times 6 + 0$
अब शेषफल $0$ प्राप्त हो गया है,इसलिए प्रक्रिया यहीं समाप्त होती है। इस चरण में भाजक $4$ है। अतः,$12576$ और $4052$ का $HCF$ $4$ है।

(D) परात में न्यूनतम स्थान घेरने के लिए,हमें प्रत्येक ढेरी में बर्फियों की संख्या को अधिकतम करना होगा। यह $420$ और $130$ के महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ को खोजने के बराबर है।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए:
$420 = 130 \times 3 + 30$
$130 = 30 \times 4 + 10$
$30 = 10 \times 3 + 0$
$420$ और $130$ का $HCF$ $10$ है।
अतः,मिठाई विक्रेता परात में स्थान को न्यूनतम करने के लिए प्रत्येक ढेरी में $10$ बर्फियां रख सकती है।

(A) $135$ और $225$ का $HCF$ यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके ज्ञात करने के लिए:
चूंकि $225 > 135$,हम $225$ और $135$ पर विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$225 = 135 \times 1 + 90$
चूंकि शेषफल $90 \neq 0$ है,हम $135$ और $90$ पर विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$135 = 90 \times 1 + 45$
अब,हम नए भाजक $90$ और नए शेषफल $45$ को लेते हैं,और विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$90 = 45 \times 2 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,प्रक्रिया यहीं समाप्त होती है।
इस चरण पर भाजक $45$ है,इसलिए $135$ और $225$ का $HCF$ $45$ है।

(B) $196$ और $38220$ का $HCF$ यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके ज्ञात करने के लिए:
चूंकि $38220 > 196$,हम $38220$ और $196$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$38220 = 196 \times 195 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए प्रक्रिया यहीं समाप्त हो जाती है।
इस चरण पर भाजक $196$ है।
अतः,$196$ और $38220$ का $HCF$ $196$ है।

(C) दी गई संख्याएँ $867$ और $255$ हैं।
चूँकि $867 > 255$,हम $867$ और $255$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$867 = 255 \times 3 + 102$
चूँकि शेषफल $102 \neq 0$ है,हम $255$ और $102$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$255 = 102 \times 2 + 51$
चूँकि शेषफल $51 \neq 0$ है,हम $102$ और $51$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$102 = 51 \times 2 + 0$
चूँकि शेषफल $0$ है,प्रक्रिया यहीं समाप्त होती है।
इस चरण पर भाजक $51$ है।
अतः,$867$ और $255$ का $HCF$ $51$ है।

(A) स्तंभों की अधिकतम संख्या जिसमें वे मार्च कर सकते हैं,वह $616$ और $32$ का म.स.प. $(HCF)$ ज्ञात करने पर प्राप्त होगी।
$HCF$ ज्ञात करने के लिए हम यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं:
$616 = 32 \times 19 + 8$
$32 = 8 \times 4 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए $616$ और $32$ का म.स.प. $8$ है।
अतः,वे अधिकतम $8$ स्तंभों में मार्च कर सकते हैं।

(N/A) सबसे पहले,हम दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$20 = 2^2 \times 5^1$
$HCF$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लेते हैं:
$HCF(6, 20) = 2^1 = 2$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल लेते हैं:
$LCM(6, 20) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$
अतः,$HCF$ $2$ है और $LCM$ $60$ है।

(B) $96$ और $404$ का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है:
$96 = 2^5 \times 3$
$404 = 2^2 \times 101$
$HCF$ संख्याओं में प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है:
$HCF(96, 404) = 2^2 = 4$
संबंध $LCM(a, b) \times HCF(a, b) = a \times b$ का उपयोग करते हुए:
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{HCF(96, 404)}$
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{4}$
$LCM(96, 404) = 96 \times 101 = 9696$

(C) हमारे पास संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन है:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
$HCF$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लेते हैं:
$HCF(6, 72, 120) = 2^1 \times 3^1 = 6$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल लेते हैं:
$LCM(6, 72, 120) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 360$
अतः,$HCF$ $6$ है और $LCM$ $360$ है।

(A) सबसे पहले,दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
$HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल है:
$HCF = 13$
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल है:
$LCM = 2 \times 7 \times 13 = 182$
अब,संबंध को सत्यापित कीजिए:
दो संख्याओं का गुणनफल $= 26 \times 91 = 2366$
$HCF \times LCM = 13 \times 182 = 2366$
चूँकि $2366 = 2366$,इसलिए $LCM \times HCF =$ दो संख्याओं का गुणनफल संबंध सत्यापित होता है।

(B) सबसे पहले,दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए:
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2^2 \times 23 = 2 \times 2 \times 23$
$HCF$ ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लें:
$HCF = 2^1 = 2$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल लें:
$LCM = 2^2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 4 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460$
अब,संबंध को सत्यापित करें:
दोनों संख्याओं का गुणनफल $= 510 \times 92 = 46920$
$HCF \times LCM = 2 \times 23460 = 46920$
चूंकि $46920 = 46920$,इसलिए $LCM \times HCF =$ दोनों संख्याओं का गुणनफल संबंध सत्यापित होता है।

(C) सबसे पहले,संख्याओं का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$336 = 2^4 \times 3 \times 7$
$54 = 2 \times 3^3$
$HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल है:
$HCF = 2^1 \times 3^1 = 6$
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल है:
$LCM = 2^4 \times 3^3 \times 7 = 16 \times 27 \times 7 = 3024$
अब,संबंध को सत्यापित कीजिए:
दोनों संख्याओं का गुणनफल $= 336 \times 54 = 18144$
$LCM \times HCF = 3024 \times 6 = 18144$
चूंकि $18144 = 18144$,इसलिए संबंध सत्यापित होता है।

(D) $12, 15$ और $21$ का $LCM$ और $HCF$ अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
$12 = 2^{2} \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
चरण $2$: $HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल $3$ है,और इसकी सबसे छोटी घात $3^{1}$ है।
अतः,$HCF = 3$।
चरण $3$: $LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ शामिल अभाज्य गुणनखंड $2, 3, 5$ और $7$ हैं।
उनकी सबसे बड़ी घातें $2^{2}, 3^{1}, 5^{1}$ और $7^{1}$ हैं।
$LCM = 2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1} \times 7^{1} = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$।

(A) $17, 23$ और $29$ का अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा $LCM$ और $HCF$ ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन लिखिए।
$17 = 1 \times 17$
$23 = 1 \times 23$
$29 = 1 \times 29$
चरण $2$: $HCF$ ज्ञात कीजिए।
$HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
चूंकि $1$ के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए $HCF = 1$ है।
चरण $3$: $LCM$ ज्ञात कीजिए।
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है।
$LCM = 17 \times 23 \times 29 = 11339$।
अतः,$HCF = 1$ और $LCM = 11339$ है।

(B) $8, 9$ और $25$ का $LCM$ और $HCF$ अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन लिखिए:
$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
$9 = 3 \times 3 = 3^2$
$25 = 5 \times 5 = 5^2$
चरण $2$: $HCF$ (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात कीजिए:
$HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है। चूँकि $1$ के अलावा कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए $HCF = 1$ है।
चरण $3$: $LCM$ (लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात कीजिए:
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^2$
$LCM = 8 \times 9 \times 25$
$LCM = 72 \times 25 = 1800$
अतः,$LCM = 1800$ और $HCF = 1$ है।

(C) हमें दिया गया है कि $HCF (306, 657) = 9$ है।
हम जानते हैं कि दो संख्याओं,उनके $HCF$ और उनके $LCM$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$LCM (a, b) \times HCF (a, b) = a \times b$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$LCM (306, 657) \times 9 = 306 \times 657$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए,संख्याओं के गुणनफल को उनके $HCF$ से विभाजित करें:
$LCM (306, 657) = \frac{306 \times 657}{9}$
सबसे पहले,$306$ को $9$ से विभाजित करें:
$306 \div 9 = 34$
अब,परिणाम को $657$ से गुणा करें:
$LCM (306, 657) = 34 \times 657 = 22338$
अतः,$LCM (306, 657)$ का मान $22338$ है।

(B) सोनिया और रवि पुनः प्रारंभिक बिंदु पर कब मिलेंगे,यह ज्ञात करने के लिए हमें उनके द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
सोनिया को $18$ मिनट और रवि को $12$ मिनट लगते हैं।
$18$ का अभाज्य गुणनखंडन = $2 \times 3^2$.
$12$ का अभाज्य गुणनखंडन = $2^2 \times 3$.
$LCM(18, 12) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
अतः,वे $36$ मिनट बाद पुनः प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे।

(B) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $65$ और $117$ का $HCF$ ज्ञात करने पर:
$117 = 65 \times 1 + 52$
$65 = 52 \times 1 + 13$
$52 = 13 \times 4 + 0$
अतः,$HCF(65, 117) = 13$ है।
दिया गया है कि $HCF$ को $65m - 117$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए:
$65m - 117 = 13$
$65m = 13 + 117$
$65m = 130$
$m = \frac{130}{65}$
$m = 2$

(C) चूंकि $70$ और $125$ को किसी संख्या से विभाजित करने पर क्रमशः $5$ और $8$ शेषफल बचते हैं।
इन शेषफलों को दी गई संख्याओं से घटाने पर हमें प्राप्त होता है:
$70 - 5 = 65$
$125 - 8 = 117$
अभीष्ट संख्या $65$ और $117$ का म.स.प. $(HCF)$ है।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करने पर:
$117 = 65 \times 1 + 52$
$65 = 52 \times 1 + 13$
$52 = 13 \times 4 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए म.स.प. $13$ है।
अतः,$13$ वह सबसे बड़ी संख्या है जो $70$ और $125$ को विभाजित करने पर क्रमशः $5$ और $8$ शेषफल छोड़ती है।

(D) दिया गया है कि,$a = x^3 y^2 = x \times x \times x \times y \times y$.
और $b = x y^3 = x \times y \times y \times y$.
दो संख्याओं का $HCF$ संख्याओं में शामिल प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ,उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $x$ और $y$ हैं।
$x$ की सबसे छोटी घात $x^1$ है और $y$ की सबसे छोटी घात $y^2$ है।
अतः,$HCF(a, b) = x^1 \times y^2 = x y^2$.

(A) दिया गया है कि,$p = a b^{2}$ और $q = a^{3} b$,जहाँ $a$ और $b$ अभाज्य संख्याएँ हैं।
$LCM(p, q)$ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजकों में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेते हैं।
यहाँ अभाज्य गुणनखंड $a$ और $b$ हैं।
$a$ की उच्चतम घात $a^{3}$ है (जो $q$ में है)।
$b$ की उच्चतम घात $b^{2}$ है (जो $p$ में है)।
अतः,$LCM(p, q) = a^{3} \times b^{2} = a^{3} b^{2}$.

(C) $1$ से $10$ तक की सभी संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालना होगा।
$1$ से $10$ तक की प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन:
$1 = 1$
$2 = 2^1$
$3 = 3^1$
$4 = 2^2$
$5 = 5^1$
$6 = 2^1 \times 3^1$
$7 = 7^1$
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$10 = 2^1 \times 5^1$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल लेते हैं:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5 \times 7$
$LCM = 72 \times 35 = 2520$
अतः,$1$ से $10$ तक की सभी संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटी संख्या $2520$ है।

(A) $HCF$ (महत्तम समापवर्तक) वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई दोनों संख्याओं को विभाजित करती है।
यह दिया गया है कि $525$ और $3000$ संख्याएँ $3, 5, 15, 25$ और $75$ से विभाज्य हैं,इसलिए इनमें सबसे बड़ी संख्या $75$ है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग करके औचित्य:
$3000 = 525 \times 5 + 375$
$525 = 375 \times 1 + 150$
$375 = 150 \times 2 + 75$
$150 = 75 \times 2 + 0$
चूँकि जब भाजक $75$ है तो शेषफल $0$ प्राप्त होता है,इसलिए $HCF(525, 3000) = 75$ है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या दो संख्याएँ सह-अभाज्य हैं,उनका म.स.प. $(HCF)$ $1$ होना चाहिए। हम यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं:
$396 = 231 \times 1 + 165$
$231 = 165 \times 1 + 66$
$165 = 66 \times 2 + 33$
$66 = 33 \times 2 + 0$
चूँकि म.स.प. $33$ है (जो $1$ नहीं है),इसलिए संख्याएँ $231$ और $396$ सह-अभाज्य नहीं हैं।

(B) $847$ और $2160$ का $HCF$ यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिदम का उपयोग करके ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरण अपनाते हैं:
$2160 = 847 \times 2 + 466$
$847 = 466 \times 1 + 381$
$466 = 381 \times 1 + 85$
$381 = 85 \times 4 + 41$
$85 = 41 \times 2 + 3$
$41 = 3 \times 13 + 2$
$3 = 2 \times 1 + 1$
$2 = 1 \times 2 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए इस चरण पर भाजक $1$ ही $HCF$ है।
यदि दो संख्याओं का $HCF$ $1$ होता है,तो उन्हें सह-अभाज्य संख्याएँ कहा जाता है। अतः,$847$ और $2160$ का $HCF$ $1$ है,इसलिए वे सह-अभाज्य हैं।

(D) माना $a = 693$,$b = 567$,और $c = 441$ है।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,$a = bq + r$,जहाँ $0 \le r < b$ है।
सबसे पहले,हम $693$ और $567$ का $HCF$ ज्ञात करते हैं:
$693 = 567 \times 1 + 126$
$567 = 126 \times 4 + 63$
$126 = 63 \times 2 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए $HCF(693, 567) = 63$ है।
अब,हम प्राप्त परिणाम $(63)$ और शेष संख्या $(441)$ का $HCF$ ज्ञात करते हैं:
$441 = 63 \times 7 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए $HCF(63, 441) = 63$ है।
अतः,$441, 567, 693$ का $HCF$ $63$ है।

(A) चूंकि $1251, 9377$ और $15628$ को विभाजित करने पर क्रमशः $1, 2$ और $3$ शेषफल प्राप्त होते हैं,इसलिए इन शेषफलों को संख्याओं में से घटाने पर हमें ऐसी संख्याएँ प्राप्त होती हैं जो अभीष्ट संख्या से पूर्णतः विभाज्य हैं।
$1251 - 1 = 1250$
$9377 - 2 = 9375$
$15628 - 3 = 15625$
अभीष्ट संख्या $1250, 9375$ और $15625$ का $HCF$ है।
यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथम $a = bq + r$ का उपयोग करते हुए:
सबसे पहले,$15625$ और $9375$ का $HCF$ ज्ञात करें:
$15625 = 9375 \times 1 + 6250$
$9375 = 6250 \times 1 + 3125$
$6250 = 3125 \times 2 + 0$
अतः,$HCF(15625, 9375) = 3125$.
अब,$3125$ और $1250$ का $HCF$ ज्ञात करें:
$3125 = 1250 \times 2 + 625$
$1250 = 625 \times 2 + 0$
अतः,$HCF(3125, 1250) = 625$.
इस प्रकार,$625$ वह सबसे बड़ी संख्या है जो $1251, 9377$ और $15628$ को विभाजित करने पर क्रमशः $1, 2$ और $3$ शेषफल देती है।

(D) न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए ताकि प्रत्येक व्यक्ति पूर्ण कदमों में समान दूरी तय कर सके,हमें कदमों की माप $40\, cm$,$42\, cm$ और $45\, cm$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालना होगा।
सबसे पहले,हम प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$40 = 2^3 \times 5$
$42 = 2 \times 3 \times 7$
$45 = 3^2 \times 5$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेंगे:
$LCM(40, 42, 45) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5 \times 7$
$LCM = 72 \times 35$
$LCM = 2520$
अतः,प्रत्येक व्यक्ति को न्यूनतम $2520\, cm$ की दूरी चलनी चाहिए।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम जाँचते हैं कि क्या हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
सबसे पहले,भिन्न $\frac{77}{210}$ को उनके महत्तम समापवर्तक $7$ से विभाजित करके सरल करें:
$\frac{77 \div 7}{210 \div 7} = \frac{11}{30}$.
अब,हर $30$ का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$30 = 2 \times 3 \times 5$.
चूँकि हर के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ के अलावा $3$ भी एक गुणनखंड है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{11}{30}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।

(D) परिमेय संख्या $\frac{257}{5000}$ का हर $5000$ है।
सबसे पहले,हम $5000$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$5000 = 5 \times 1000 = 5 \times 10^3 = 5 \times (2 \times 5)^3 = 5 \times 2^3 \times 5^3 = 2^3 \times 5^4$.
यह $2^m \times 5^n$ के रूप में है,जहाँ $m = 3$ और $n = 4$ ऋणेतर पूर्णांक हैं।
बिना वास्तविक विभाजन के दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम $2$ और $5$ के घातांकों को समान करते हैं:
$\frac{257}{5000} = \frac{257}{2^3 \times 5^4}$.
घातांक को $4$ बनाने के लिए,हम अंश और हर को $2^1$ से गुणा करते हैं:
$\frac{257 \times 2}{2^3 \times 5^4 \times 2^1} = \frac{514}{2^4 \times 5^4} = \frac{514}{(2 \times 5)^4} = \frac{514}{10^4}$.
$\frac{514}{10000} = 0.0514$.
अतः,इसका दशमलव प्रसार $0.0514$ है।

(B) यहाँ,$210 > 55$ है।
यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका $a = bq + r$ का प्रयोग करने पर:
$210 = 55 \times 3 + 45$
$55 = 45 \times 1 + 10$
$45 = 10 \times 4 + 5$
$10 = 5 \times 2 + 0$
चूँकि शेषफल $0$ प्राप्त हो गया है,इस चरण का भाजक ही म.स.प. है।
अतः,$g.c.d.(210, 55) = 5$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक ढेर में बर्फी की संख्या $d$ है।
चूंकि प्रत्येक ढेर में समान संख्या में बर्फी होनी चाहिए,इसलिए $d$ को $420$ और $130$ का एक सामान्य भाजक होना चाहिए।
ट्रे का न्यूनतम क्षेत्रफल घेरने के लिए,ढेरों की संख्या कम से कम होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक ढेर में बर्फी की संख्या $(d)$ को $420$ और $130$ का महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ होना चाहिए।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए:
$420 = 130 \times 3 + 30$
$130 = 30 \times 4 + 10$
$30 = 10 \times 3 + 0$
अंतिम गैर-शून्य भाजक $10$ है।
इसलिए,$GCD(420, 130) = 10$.
अतः,प्रत्येक ढेर में अधिकतम $10$ बर्फी रखी जा सकती है।

(A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक ढेर की ऊँचाई समान हो और ढेरों की संख्या न्यूनतम हो (जिससे सतह का क्षेत्रफल न्यूनतम हो),हमें अंग्रेजी पुस्तकों $(56)$ और गुजराती पुस्तकों $(72)$ की संख्या का महत्तम समापवर्तक ($HCF$ या $GCD$) ज्ञात करना होगा।
चरण $1$: $56$ और $72$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें।
$56 = 2^3 \times 7$
$72 = 2^3 \times 3^2$
चरण $2$: $GCD$ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल होता है।
$GCD(56, 72) = 2^3 = 8$.
अतः,प्रत्येक ढेर में रखी जा सकने वाली पुस्तकों की अधिकतम संख्या $8$ है।

(A) यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $12576$ और $4052$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: चूँकि $12576 > 4052$,हम $12576$ और $4052$ पर यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$12576 = 4052 \times 3 + 420$
चरण $2$: चूँकि शेषफल $420 \neq 0$ है,हम $4052$ और $420$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$4052 = 420 \times 9 + 272$
चरण $3$: चूँकि शेषफल $272 \neq 0$ है,हम $420$ और $272$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$420 = 272 \times 1 + 148$
चरण $4$: चूँकि शेषफल $148 \neq 0$ है,हम $272$ और $148$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$272 = 148 \times 1 + 124$
चरण $5$: चूँकि शेषफल $124 \neq 0$ है,हम $148$ और $124$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$148 = 124 \times 1 + 24$
चरण $6$: चूँकि शेषफल $24 \neq 0$ है,हम $124$ और $24$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$124 = 24 \times 5 + 4$
चरण $7$: चूँकि शेषफल $4 \neq 0$ है,हम $24$ और $4$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$24 = 4 \times 6 + 0$
चूँकि अब शेषफल $0$ है,इस चरण पर भाजक ही म.स.प. है।
अतः,$12576$ और $4052$ का म.स.प. $4$ है।

(C) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $117$ और $65$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: चूंकि $117 > 65$,हम $117$ और $65$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$117 = 65 \times 1 + 52$
चरण $2$: चूंकि शेषफल $52 \neq 0$ है,हम $65$ और $52$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$65 = 52 \times 1 + 13$
चरण $3$: चूंकि शेषफल $13 \neq 0$ है,हम $52$ और $13$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$52 = 13 \times 4 + 0$
चूंकि शेषफल अब $0$ है,इस चरण पर भाजक ही म.स.प. है।
अतः,$117$ और $65$ का म.स.प. $13$ है।

(D) $240$ और $6552$ का $g.c.d.$ यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: $6552$ और $240$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लागू करने पर:
$6552 = 240 \times 27 + 72$
चरण $2$: $240$ और $72$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$240 = 72 \times 3 + 24$
चरण $3$: $72$ और $24$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$72 = 24 \times 3 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए इस चरण पर भाजक ही $g.c.d.$ है।
अतः,$240$ और $6552$ का $g.c.d.$ $24$ है।

(A) $155$ और $1385$ का म.स.प. यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
चरण $1$: $1385$ और $155$ पर यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका लागू करने पर:
$1385 = 155 \times 8 + 145$
चरण $2$: $155$ और $145$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$155 = 145 \times 1 + 10$
चरण $3$: $145$ और $10$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$145 = 10 \times 14 + 5$
चरण $4$: $10$ और $5$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$10 = 5 \times 2 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए इस चरण पर भाजक ही म.स.प. है।
अतः,$155$ और $1385$ का म.स.प. $5$ है।

(B) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $75$ और $243$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम प्रमेय $a = bq + r$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $0 \le r < b$ है।
चरण $1$: $243$ को $75$ से विभाजित करने पर:
$243 = 75 \times 3 + 18$
चरण $2$: $75$ को $18$ से विभाजित करने पर:
$75 = 18 \times 4 + 3$
चरण $3$: $18$ को $3$ से विभाजित करने पर:
$18 = 3 \times 6 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए इस चरण में भाजक ही म.स.प. है।
अतः,$75$ और $243$ का म.स.प. $3$ है।

(C) वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए जो $245$ और $1029$ को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में $5$ शेषफल छोड़ती है,हम पहले दोनों संख्याओं में से शेषफल को घटाते हैं:
$245 - 5 = 240$
$1029 - 5 = 1024$
अब,हमें $240$ और $1024$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
$240$ का अभाज्य गुणनखंड = $2^4 \times 3 \times 5$
$1024$ का अभाज्य गुणनखंड = $2^{10}$
$HCF$ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है:
$HCF(240, 1024) = 2^4 = 16$.
अतः,सबसे बड़ी संख्या $16$ है।

(D) वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए जो $2053$ और $967$ को विभाजित करने पर क्रमशः $5$ और $7$ शेषफल देती है,हम पहले दी गई संख्याओं में से शेषफल को घटाते हैं।
$2053 - 5 = 2048$
$967 - 7 = 960$
अब,हमें $2048$ और $960$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करते हुए:
$2048 = 2^{11}$
$960 = 2^6 \times 3 \times 5$
$HCF$ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल होता है:
$HCF = 2^6 = 64$
अतः,सबसे बड़ी संख्या $64$ है।

(A) दी गई संख्याएँ $a = 96$ और $b = 404$ हैं।
सबसे पहले,$96$ और $404$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें:
$96 = 2^5 \times 3$
$404 = 2^2 \times 101$
$g.c.d.(96, 404)$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल है:
$g.c.d.(96, 404) = 2^2 = 4$.
सूत्र $g.c.d.(a, b) \times l.c.m.(a, b) = a \times b$ का उपयोग करने पर:
$4 \times l.c.m.(96, 404) = 96 \times 404$
$l.c.m.(96, 404) = \frac{96 \times 404}{4}$
$l.c.m.(96, 404) = 96 \times 101 = 9696$.

(B) दिया गया गुणधर्म: $g.c.d. (a, b) \times l.c.m. (a, b) = a \times b$।
सबसे पहले,$26$ और $91$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
अतः,$g.c.d. (26, 91) = 13$।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $13 \times l.c.m. (26, 91) = 26 \times 91$।
$l.c.m. (26, 91) = \frac{26 \times 91}{13}$।
$l.c.m. (26, 91) = 2 \times 91 = 182$।

(A) माना प्रत्येक ढेर में पुस्तकों की संख्या $d$ है।
चूंकि सभी ढेरों की ऊंचाई समान होनी चाहिए और पुस्तकें समान मोटाई की हैं,इसलिए $d$ को $96, 240$ और $336$ का एक सामान्य भाजक होना चाहिए।
ढेरों की संख्या को न्यूनतम करने के लिए,हमें प्रति ढेर पुस्तकों की संख्या $d$ को अधिकतम करना होगा। अतः,$d = \text{म.स.प.}(96, 240, 336)$।
अभाज्य गुणनखंडन:
$96 = 2^5 \times 3$
$240 = 2^4 \times 3 \times 5$
$336 = 2^4 \times 3 \times 7$
$\text{म.स.प.}(96, 240, 336) = 2^4 \times 3 = 16 \times 3 = 48$।
अतः,प्रत्येक ढेर में $48$ पुस्तकें हैं।
अंग्रेजी की पुस्तकों के ढेरों की संख्या $= \frac{96}{48} = 2$।
हिंदी की पुस्तकों के ढेरों की संख्या $= \frac{240}{48} = 5$।
गणित की पुस्तकों के ढेरों की संख्या $= \frac{336}{48} = 7$।
इसलिए,ढेरों की संख्या क्रमशः $2, 5$ और $7$ है।

(N/A) चरण $1$: $96$ का अभाज्य गुणनखंडन:
$96 = 2^5 \times 3^1$
चरण $2$: $404$ का अभाज्य गुणनखंडन:
$404 = 2^2 \times 101^1$
चरण $3$: $\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है:
$\text{g.c.d.}(96, 404) = 2^2 = 4$
चरण $4$: $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है:
$\text{l.c.m.}(96, 404) = 2^5 \times 3^1 \times 101^1 = 32 \times 3 \times 101 = 9696$
अतः,$\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) $4$ है और $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) $9696$ है।

(N/A) चरण $1$: संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए:
$144 = 2^4 \times 3^2$
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$
$192 = 2^6 \times 3^1$
चरण $2$: $\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लीजिए:
$\text{g.c.d.} = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$
चरण $3$: $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल लीजिए:
$\text{l.c.m.} = 2^6 \times 3^2 \times 5^1 = 64 \times 9 \times 5 = 2880$

(N/A) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का उपयोग करके $\text{l.c.m.}$ और $\text{g.c.d.}$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$84 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1$
$90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$
$120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
$\text{g.c.d.}$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल है:
$\text{g.c.d.}(84, 90, 120) = 2^1 \times 3^1 = 6$
$\text{l.c.m.}$ संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल है:
$\text{l.c.m.}(84, 90, 120) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 2520$

(A) दी गई संख्याएँ $17$,$23$ और $29$ हैं।
चूंकि $17$,$23$ और $29$ तीनों अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है:
$17 = 17^1 \times 1^1$
$23 = 23^1 \times 1^1$
$29 = 29^1 \times 1^1$
$\text{GCD}$ (म.स.प.) प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है। यहाँ,एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड $1$ है।
$\text{GCD}(17, 23, 29) = 1$
$\text{LCM}$ (ल.स.प.) संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है।
$\text{LCM}(17, 23, 29) = 17 \times 23 \times 29$
$17 \times 23 = 391$
$391 \times 29 = 11339$
अतः,$\text{LCM} = 11339$ और $\text{GCD} = 1$।

(D) दिया गया है कि $\text{g.c.d.}(306, 657) = 9$ (क्योंकि $306 = 2 \times 3^2 \times 17$ और $657 = 3^2 \times 73$ का अभाज्य गुणनखंडन करने पर,$\text{g.c.d.} = 3^2 = 9$ प्राप्त होता है)।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$.
मान रखने पर: $9 \times \text{l.c.m.}(306, 657) = 306 \times 657$.
$\text{l.c.m.}(306, 657) = \frac{306 \times 657}{9}$.
$\text{l.c.m.}(306, 657) = 34 \times 657 = 22338$.

(A) माना कि दो संख्याओं का $\text{g.c.d.} = x$ है।
दिया गया है कि $\text{l.c.m.}$,$\text{g.c.d.}$ का $14$ गुना है,इसलिए $\text{l.c.m.} = 14x$.
$\text{l.c.m.}$ और $\text{g.c.d.}$ का योग $600$ है,इसलिए $14x + x = 600$.
$15x = 600 \implies x = 40$.
अतः,$\text{g.c.d.} = 40$ और $\text{l.c.m.} = 14 \times 40 = 560$.
हम जानते हैं कि दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$\text{l.c.m.} \times \text{g.c.d.} = a \times b$.
यहाँ $a = 280$ दिया गया है,इसलिए $560 \times 40 = 280 \times b$.
$b = \frac{560 \times 40}{280} = 2 \times 40 = 80$.
अतः,दूसरी संख्या $80$ है।

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके $\text{g.c.d.}$ और $\text{l.c.m.}$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$
यह दिया गया है कि $\text{g.c.d.}$ $16$ है और दोनों संख्याओं का गुणनफल $(a \times b)$ $3072$ है,इसलिए हम इन मानों को सूत्र में रख सकते हैं:
$16 \times \text{l.c.m.} = 3072$
$\text{l.c.m.}$ ज्ञात करने के लिए,$3072$ को $16$ से विभाजित करें:
$\text{l.c.m.} = \frac{3072}{16}$
$\text{l.c.m.} = 192$
अतः,दोनों संख्याओं का $\text{l.c.m.}$ $192$ है।