HCF and LCM by Prime Factorisation Questions in Hindi

(C) वे शुरुआती बिंदु पर फिर से कब मिलेंगे,यह जानने के लिए हमें कुशान और राजन द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
कुशान द्वारा लिया गया समय = $18$ मिनट।
राजन द्वारा लिया गया समय = $12$ मिनट।
$18$ का अभाज्य गुणनखंड = $2 \times 3^2$।
$12$ का अभाज्य गुणनखंड = $2^2 \times 3$।
$LCM(18, 12) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$।
अतः,वे $36$ मिनट बाद फिर से शुरुआती बिंदु पर मिलेंगे।

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि परिमेय संख्या $\frac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं,हम पहले भिन्न को सरल करते हैं।
$\frac{15}{1600} = \frac{3}{320}$.
हर $320 = 32 \times 10 = 2^5 \times 2 \times 5 = 2^6 \times 5^1$ है।
चूंकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n=6$ और $m=1$ ऋणेतर पूर्णांक हैं,इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{3}{2^6 \times 5^1} = \frac{3 \times 5^5}{2^6 \times 5^6} = \frac{3 \times 3125}{10^6} = \frac{9375}{1000000} = 0.009375$ लिखते हैं।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि परिमेय संख्या $\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं,हम हर के अभाज्य गुणनखंडों की जाँच करते हैं।
चरण $1$: $3125$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
$3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$.
चरण $2$: एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि $q$ के अभाज्य गुणनखंड $2^n \times 5^m$ के रूप में हों,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
यहाँ,$q = 5^5 = 2^0 \times 5^5$ है। चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए इस परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है।
चरण $3$: दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,अंश और हर को $2^5$ से गुणा करें ताकि हर $10$ की घात बन जाए।
$\frac{13}{3125} = \frac{13 \times 2^5}{5^5 \times 2^5} = \frac{13 \times 32}{10^5} = \frac{416}{100000} = 0.00416$.

(0.7) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
यहाँ,हर $50 = 2^1 \times 5^2$ है।
चूँकि अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए: $\frac{35}{50} = \frac{35 \times 2}{50 \times 2} = \frac{70}{100} = 0.7$.

(D) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $196$ और $38220$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम बड़ी संख्या को $a = bq + r$ के रूप में लिखते हैं,जहाँ $0 \le r < b$ है।
चरण $1$: $38220$ को $196$ से विभाजित करने पर:
$38220 = 196 \times 195 + 0$.
चूँकि शेषफल $0$ है,इसलिए इस चरण में भाजक ही म.स.प. है।
अतः,$196$ और $38220$ का म.स.प. $196$ है।

(A) $867$ और $255$ का म.स.प. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: चूँकि $867 > 255$,हम $867$ और $255$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$867 = 255 \times 3 + 102$
चरण $2$: चूँकि शेषफल $102 \neq 0$ है,हम $255$ और $102$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$255 = 102 \times 2 + 51$
चरण $3$: चूँकि शेषफल $51 \neq 0$ है,हम $102$ और $51$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$102 = 51 \times 2 + 0$
चूँकि अब शेषफल $0$ है,इस चरण पर भाजक ही म.स.प. है।
अतः,$867$ और $255$ का म.स.प. $51$ है।

(N/A) चरण $1$: दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2^2 \times 23$
चरण $2$: $\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लीजिए।
$\text{g.c.d.} (510, 92) = 2^1 = 2$
चरण $3$: $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल लीजिए।
$\text{l.c.m.} (510, 92) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 17^1 \times 23^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460$

(N/A) चरण $1$: $72$ और $90$ का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए।
$72 = 2^3 \times 3^2$
$90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$
चरण $2$: $\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लीजिए।
$\text{g.c.d.}(72, 90) = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$
चरण $3$: $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) ज्ञात करने के लिए प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल लीजिए।
$\text{l.c.m.}(72, 90) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 360$

(N/A) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का उपयोग करके म.स.प. और ल.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
म.स.प. प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है:
$\text{म.स.प.}(12, 15, 21) = 3^1 = 3$
ल.स.प. प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है:
$\text{ल.स.प.}(12, 15, 21) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$
अतः,म.स.प. $3$ है और ल.स.प. $420$ है।

(A) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का उपयोग करके $\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) और $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$25 = 5^2$
$\text{g.c.d.}$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है। चूंकि कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए $\text{g.c.d.}$ $1$ है।
$\text{l.c.m.}$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है:
$\text{l.c.m.} = 2^3 \times 3^2 \times 5^2$
$\text{l.c.m.} = 8 \times 9 \times 25$
$\text{l.c.m.} = 72 \times 25 = 1800$.

(N/A) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
यहाँ,हर $200$ है।
$200$ का अभाज्य गुणनखंडन $200 = 2^3 \times 5^2$ है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{23}{200}$ का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम हर को $10$ की घात के रूप में लिख सकते हैं:
$\frac{23}{200} = \frac{23 \times 5}{200 \times 5} = \frac{115}{1000} = 0.115$.

(A) दोनों ब्रांडों के लिए समान चॉकलेट की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें $24$ और $15$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
$24$ का अभाज्य गुणनखंडन = $2^3 \times 3^1$.
$15$ का अभाज्य गुणनखंडन = $3^1 \times 5^1$.
$LCM(24, 15) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.
पहले ब्रांड के लिए बॉक्स की संख्या ज्ञात करने के लिए ($24$ चॉकलेट प्रति पैक): $120 / 24 = 5$ बॉक्स।
दूसरे ब्रांड के लिए बॉक्स की संख्या ज्ञात करने के लिए ($15$ चॉकलेट प्रति पैक): $120 / 15 = 8$ बॉक्स।
अतः,पहले प्रकार के $5$ बॉक्स और दूसरे प्रकार के $8$ बॉक्स खरीदने होंगे।

(A) वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए जो $615$ और $963$ को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में $6$ शेषफल छोड़ती है,हम पहले दोनों संख्याओं में से शेषफल को घटाते हैं।
$615 - 6 = 609$
$963 - 6 = 957$
अब,हमें $609$ और $957$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
$609$ का अभाज्य गुणनखंडन = $3 \times 7 \times 29$
$957$ का अभाज्य गुणनखंडन = $3 \times 11 \times 29$
उभयनिष्ठ गुणनखंड $3$ और $29$ हैं।
$HCF = 3 \times 29 = 87$.
अतः,सबसे बड़ी संख्या $87$ है।

(B) $626$,$3127$ और $15628$ को विभाजित करने पर क्रमशः $1$,$2$ और $3$ शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम दी गई संख्याओं में से उनके शेषफल को घटाते हैं:
$626 - 1 = 625$
$3127 - 2 = 3125$
$15628 - 3 = 15625$
अब,हमें $625$,$3125$ और $15625$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
$625$ का अभाज्य गुणनखंडन = $5^4$
$3125$ का अभाज्य गुणनखंडन = $5^5$
$15625$ का अभाज्य गुणनखंडन = $5^6$
$HCF$ सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है,जो $5^4 = 625$ है।
अतः,सबसे बड़ी संख्या $625$ है।

(C) तीनों विमाओं ($15\,m$,$12\,m$ और $21\,m$) को सटीक रूप से मापने वाली सबसे लंबी छड़ ज्ञात करने के लिए,हमें इन तीन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ निकालना होगा।
चरण $1$: प्रत्येक विमा का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$15 = 3 \times 5$
$12 = 2^2 \times 3$
$21 = 3 \times 7$
चरण $2$: उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की पहचान करें।
$15$,$12$ और $21$ में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल $3$ है।
चरण $3$: $HCF$ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल होता है।
$HCF(15, 12, 21) = 3$.
अतः,वह सबसे लंबी छड़ जो विमाओं को सटीक रूप से माप सकती है,उसकी लंबाई $3\,m$ है।

(D) $15$,$55$ और $99$ से विभाजित होने वाली पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करते हैं।
चरण $1$: संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन:
$15 = 3 \times 5$
$55 = 5 \times 11$
$99 = 3^2 \times 11$
चरण $2$: प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर $LCM$ की गणना करें:
$LCM(15, 55, 99) = 3^2 \times 5 \times 11 = 9 \times 5 \times 11 = 495$.
चरण $3$: पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या $10000$ है।
$10000$ को $495$ से विभाजित करने पर:
$10000 \div 495 = 20.202...$
चरण $4$: पाँच अंकों का सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के लिए,हम अगला पूर्णांक भागफल लेते हैं,जो $21$ है।
$495 \times 21 = 10395$.
अतः,$15$,$55$ और $99$ से विभाजित होने वाली पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या $10395$ है।

(A) यह पता लगाने के लिए कि घंटियाँ कब एक साथ बजेंगी,हमें $8$,$12$,$15$ और $18$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
अभाज्य गुणनखंडन:
$8 = 2^3$
$12 = 2^2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$18 = 2 \times 3^2$
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$ सेकंड।
इसका अर्थ है कि घंटियाँ हर $360$ सेकंड में एक साथ बजती हैं,जो $360 / 60 = 6$ मिनट के बराबर है।
एक घंटे ($60$ मिनट) में,वे कुल $60 / 6 = 10$ बार एक साथ बजेंगी।
चूंकि हम शुरुआत वाली घंटी को छोड़ रहे हैं,इसलिए कुल संख्या $10$ ही रहेगी।

(B) माना कि दो क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ $n$ और $n+1$ हैं,जहाँ $n \in \mathbb{N}$ है।
$n$ और $n+1$ का कोई भी उभयनिष्ठ भाजक उनके अंतर को भी विभाजित करेगा।
उनका अंतर $(n+1) - n = 1$ है।
$1$ का एकमात्र धनात्मक भाजक $1$ है।
अतः,$n$ और $n+1$ का महत्तम समापवर्तक $(\text{g.c.d.})$ $1$ है।

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके $\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) और $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$
दिया गया है कि $\text{g.c.d.} = 18$ और दोनों संख्याओं का गुणनफल $(a \times b) = 6480$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$18 \times \text{l.c.m.} = 6480$
$\text{l.c.m.} = \frac{6480}{18}$
$\text{l.c.m.} = 360$
अतः,दोनों संख्याओं का $\text{l.c.m.}$ $360$ है।

(A) परिभाषा के अनुसार,एक अभाज्य संख्या $1$ से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होता है।
चूंकि $k_{1}$ और $k_{2}$ दो भिन्न अभाज्य पूर्णांक हैं,इसलिए उनके बीच $1$ के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
किन्हीं दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,उनके $\text{H.C.F.}$ (म.स.प.) और $\text{L.C.M.}$ (ल.स.प.) के बीच का संबंध इस प्रकार है: $a \times b = \text{H.C.F.}(a, b) \times \text{L.C.M.}(a, b)$.
चूंकि $k_{1}$ और $k_{2}$ भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका $\text{H.C.F.}(k_{1}, k_{2}) = 1$ होगा।
अतः,$k_{1} \times k_{2} = 1 \times \text{L.C.M.}(k_{1}, k_{2})$.
इस प्रकार,$\text{L.C.M.}(k_{1}, k_{2}) = k_{1} k_{2}$ होगा।

(C) $24$ और $63$ का $\text{g.c.d.}$ (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करने के लिए,हम दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$24 = 2^3 \times 3^1$
$63 = 3^2 \times 7^1$
$\text{g.c.d.}$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $3$ है।
दोनों में $3$ की सबसे छोटी घात $3^1 = 3$ है।
अतः,$\text{g.c.d.}$ $(24, 63) = 3$.

(D) $36$ और $94$ का $\text{l.c.m.}$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके अभाज्य गुणनखंड करेंगे:
$36 = 2^2 \times 3^2$
$94 = 2 \times 47$
$\text{l.c.m.}$ संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$\text{l.c.m.} = 2^2 \times 3^2 \times 47$
$\text{l.c.m.} = 4 \times 9 \times 47$
$\text{l.c.m.} = 36 \times 47 = 1692$

(D) $12$ और $40$ का महत्तम समापवर्तक (g.c.d.) इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:
$12$ का अभाज्य गुणनखंड: $12 = 2^2 \times 3^1$.
$40$ का अभाज्य गुणनखंड: $40 = 2^3 \times 5^1$.
महत्तम समापवर्तक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल है: $2^2 = 4$.
दिया गया समीकरण: $\text{g.c.d.}(12, 40) = 40 + 4x$.
मान रखने पर: $4 = 40 + 4x$.
दोनों पक्षों से $40$ घटाने पर: $4 - 40 = 4x$.
$-36 = 4x$.
$4$ से भाग देने पर: $x = -9$.

(A) भिन्न $\frac{6}{15}$ का दशमलव रूप ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $3$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करते हैं।
$\frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$.
अब,$\frac{2}{5}$ को दशमलव में बदलने के लिए,हम अंश और हर दोनों को $2$ से गुणा करते हैं ताकि हर $10$ हो जाए:
$\frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 0.4$.
अतः,$\frac{6}{15}$ का दशमलव रूप $0.4$ है।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ और लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{GCD}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$
दिया गया है $a = 336$ और $b = 52$।
सबसे पहले,$336$ और $52$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$336 = 2^4 \times 3 \times 7$
$52 = 2^2 \times 13$
अतः,$\text{GCD}(336, 52) = 2^2 = 4$।
अब,सूत्र का उपयोग करते हुए:
$4 \times \text{LCM}(336, 52) = 336 \times 52$
$\text{LCM}(336, 52) = \frac{336 \times 52}{4}$
$\text{LCM}(336, 52) = 84 \times 52 = 4368$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) $115$ और $25$ का $L.C.M.$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके अभाज्य गुणनखंड करेंगे:
$115 = 5 \times 23$
$25 = 5 \times 5 = 5^2$
$L.C.M.$ संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$L.C.M.(115, 25) = 5^2 \times 23$
$L.C.M.(115, 25) = 25 \times 23 = 575$

(C) $28$,$35$ और $91$ का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$28 = 2^2 \times 7$
$35 = 5 \times 7$
$91 = 7 \times 13$
म.स.प. सभी संख्याओं में मौजूद उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ,एकमात्र उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $7$ है और इसकी सबसे छोटी घात $7^1$ है।
अतः,म.स.प. $(28, 35, 91) = 7$.

(B) किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अंकगणित की आधारभूत प्रमेय उनके $G$.$C$.$D$. और $L$.$C$.$M$. के बीच एक संबंध स्थापित करती है।
विशेष रूप से,$G$.$C$.$D$. $(a, b)$ और $L$.$C$.$M$. $(a, b)$ का गुणनफल उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।
अतः,$\text{G.C.D.}(a, b) \times \text{L.C.M.}(a, b) = a \times b = ab$.

(A) $15, 21$ और $35$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
$35 = 5 \times 7$
$LCM$ संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM(15, 21, 35) = 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 3 \times 5 \times 7 = 105$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) $40, 60$ और $80$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$40 = 2^3 \times 5^1$
$60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
$80 = 2^4 \times 5^1$
ल.स.प. प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^4 \times 3^1 \times 5^1$
$LCM = 16 \times 3 \times 5$
$LCM = 16 \times 15 = 240$

(D) $20, 30$ और $40$ से विभाजित करने पर $5$ शेषफल देने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम भाजकों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करते हैं।
$LCM(20, 30, 40)$:
$20 = 2^2 \times 5$
$30 = 2 \times 3 \times 5$
$40 = 2^3 \times 5$
$LCM = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.
संख्या $(LCM \times k) + \text{शेषफल}$ के रूप में होनी चाहिए।
यहाँ,$LCM = 120$ और $\text{शेषफल} = 5$ है।
अतः,संख्या $= 120k + 5$ होगी।
$5$ से बड़ी सबसे छोटी धनात्मक संख्या के लिए,हम $k = 1$ लेते हैं।
संख्या $= 120(1) + 5 = 125$।

(C) $24, 36$ और $48$ से विभाज्य सबसे छोटी धनात्मक संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालना होगा।
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$24 = 2^3 \times 3^1$
$36 = 2^2 \times 3^2$
$48 = 2^4 \times 3^1$
चरण $2$: $LCM$ संख्याओं में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^4 \times 3^2$
$LCM = 16 \times 9 = 144$
अतः,अभीष्ट सबसे छोटी संख्या $144$ है।

(D) $2$ से $6$ तक के पूर्णांक $2, 3, 4, 5$ और $6$ हैं।
इन सभी पूर्णांकों से विभाज्य सबसे छोटी धनात्मक संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें $2, 3, 4, 5$ और $6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालना होगा।
प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन:
$2 = 2^1$
$3 = 3^1$
$4 = 2^2$
$5 = 5^1$
$6 = 2^1 \times 3^1$
प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेने पर:
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
अतः,$60$ वह सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जो $2, 3, 4, 5$ और $6$ से विभाज्य है।

(B) $2$ से $10$ तक की प्रत्येक संख्या से विभाज्य सबसे छोटी धनात्मक संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालना होगा।
सबसे पहले,प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन लिखें:
$2 = 2^1$
$3 = 3^1$
$4 = 2^2$
$5 = 5^1$
$6 = 2 \times 3$
$7 = 7^1$
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$10 = 2 \times 5$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल लें:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5 \times 7$
$LCM = 72 \times 35 = 2520$.
अतः,$2$ से $10$ तक की प्रत्येक संख्या से विभाज्य सबसे छोटी धनात्मक संख्या $2520$ है।

(C) संख्याओं के मूलभूत गुणधर्म के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके $\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) और $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) का गुणनफल उन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।
सूत्र: $\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$.
यहाँ,$a = 18$ और $b = 24$ है।
अतः,$\text{g.c.d.}(18, 24) \times \text{l.c.m.}(18, 24) = 18 \times 24$.
गुणनफल करने पर: $18 \times 24 = 432$.

(B) हम जानते हैं कि दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के महत्तम समापवर्तक (g.c.d.) और लघुत्तम समापवर्त्य (l.c.m.) के बीच का मूलभूत संबंध इस प्रकार है:
$\text{l.c.m.} (a, b) \times \text{g.c.d.} (a, b) = a \times b$
दिया गया है कि $\text{g.c.d.} (a, b) = b$,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\text{l.c.m.} (a, b) \times b = a \times b$
दोनों पक्षों को $b$ से विभाजित करने पर (चूंकि $b \in N$,$b \neq 0$):
$\text{l.c.m.} (a, b) = \frac{a \times b}{b} = a$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दो पूर्णांकों $a$ और $b$ का महत्तम समापवर्तक (g.c.d.),जिसे $d = \text{gcd}(a, b)$ के रूप में दर्शाया जाता है,वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक है जो $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करता है।
$1$. परिभाषा के अनुसार,$d$ को $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करना चाहिए,इसलिए $d \mid a$ और $d \mid b$ सत्य है।
$2$. $a$ और $b$ का कोई भी उभयनिष्ठ भाजक $c$,महत्तम समापवर्तक $d$ से छोटा या उसके बराबर होना चाहिए। इसलिए,$c \leqslant d$ सत्य है।
$3$. महत्तम समापवर्तक के गुणधर्म के अनुसार,$a$ और $b$ का कोई भी उभयनिष्ठ भाजक $c$,उनके महत्तम समापवर्तक $d$ को भी विभाजित करता है। इसलिए,$c \mid d$ सत्य है।
$4$. कथन $c > d$ असत्य है क्योंकि यदि $c$ एक उभयनिष्ठ भाजक है,तो वह महत्तम समापवर्तक $d$ से बड़ा नहीं हो सकता है।

(B) इसे हल करने के लिए,हम प्रत्येक जोड़ी के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) और महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) की गणना करते हैं:
$1$. $\text{ल.स.प.}(8, 16, 24)$:
अभाज्य गुणनखंड: $8 = 2^3$,$16 = 2^4$,$24 = 2^3 \times 3^1$.
ल.स.प. = $2^4 \times 3^1 = 16 \times 3 = 48$. ($b$ से मेल खाता है)
$2$. $\text{म.स.प.}(8, 16, 24)$:
सामान्य गुणनखंड: $8 = 2^3$,$16 = 2^4$,$24 = 2^3 \times 3^1$.
म.स.प. = $2^3 = 8$. ($c$ से मेल खाता है)
$3$. $\text{ल.स.प.}(6, 12, 18)$:
अभाज्य गुणनखंड: $6 = 2 \times 3$,$12 = 2^2 \times 3$,$18 = 2 \times 3^2$.
ल.स.प. = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$. ($a$ से मेल खाता है)
$4$. $\text{म.स.प.}(6, 12, 18)$:
सामान्य गुणनखंड: $6 = 2 \times 3$,$12 = 2^2 \times 3$,$18 = 2 \times 3^2$.
म.स.प. = $2^1 \times 3^1 = 6$. ($e$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $(1-b), (2-c), (3-a), (4-e)$ है।

(D) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का $LCM$ $4$ है।

(B) दो संख्याओं का $HCF$ हमेशा उनके $LCM$ को पूर्णतः विभाजित करता है।
दिया गया है कि $HCF(a, b) = 16$ है।
हम प्रत्येक विकल्प की जाँच करते हैं कि क्या वह $16$ से विभाज्य है:
$A) 32 / 16 = 2$ (विभाज्य है)
$B) 72 / 16 = 4.5$ (विभाज्य नहीं है)
$C) 64 / 16 = 4$ (विभाज्य है)
$D) 96 / 16 = 6$ (विभाज्य है)
चूँकि $72$,$16$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए यह $a$ और $b$ का $LCM$ नहीं हो सकता है।

(D) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का $LCM$ $4$ है।

(C) भिन्न अभाज्य संख्याओं $a, b, c$ के लिए,महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) $1$ है,क्योंकि $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
भिन्न अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) उन संख्याओं का गुणनफल होता है,जो $a \times b \times c = abc$ है।
अतः,म.स.प. और ल.स.प. का अनुपात $\frac{\text{म.स.प.}}{\text{ल.स.प.}} = \frac{1}{abc}$ होगा।
इसे $1: abc$ के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(A) $HCF$ और $LCM$ का मूलभूत गुण यह है कि दो संख्याओं का $LCM$ उनके $HCF$ से पूर्णतः विभाज्य होना चाहिए।
दिया गया है $HCF(a, b) = 12$।
हम प्रत्येक विकल्प की जाँच करते हैं कि क्या वह $12$ से विभाज्य है:
$(A)$ $90 \div 12 = 7.5$ (विभाज्य नहीं है)
$(B)$ $24 \div 12 = 2$ (विभाज्य है)
$(C)$ $48 \div 12 = 4$ (विभाज्य है)
$(D)$ $36 \div 12 = 3$ (विभाज्य है)
चूंकि $90$, $12$ से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह $LCM(a, b)$ नहीं हो सकता है।

(B) सबसे पहले,$65$ और $117$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
$\text{HCF}(65, 117)$ उभयनिष्ठ गुणनखंड की सबसे छोटी घात है,जो $13$ है।
दिया गया समीकरण: $\text{HCF}(65, 117) = 65m - 117$
$\text{HCF}$ का मान रखने पर:
$13 = 65m - 117$
दोनों पक्षों में $117$ जोड़ने पर:
$13 + 117 = 65m$
$130 = 65m$
$65$ से भाग देने पर:
$m = \frac{130}{65} = 2$
अतः,$m$ का मान $2$ है।

(C) दो संख्याओं का $LCM$ (लघुत्तम समापवर्त्य) वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जो दोनों संख्याओं से विभाज्य होता है।
चूंकि $p$ और $q$ भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः,दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का $LCM$ उनका गुणनफल होता है।
इस प्रकार,$LCM(p, q) = p \times q = pq$।

(A) $LCM(26, 91)$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
$LCM$ संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM(26, 91) = 2 \times 7 \times 13 = 182$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) एक अभाज्य संख्या $1$ से बड़ी एक ऐसी प्राकृतिक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होता है।
चूंकि $m$ और $n$ भिन्न अभाज्य पूर्णांक हैं,इसलिए $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) हमेशा $1$ होता है क्योंकि उनका एकमात्र उभयनिष्ठ भाजक $1$ है।
अतः,$m$ और $n$ का म.स.प. $1$ है।

(B) किन्हीं भी दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनका $LCM(a, b)$ हमेशा उनके $HCF(a, b)$ से पूर्णतः विभाज्य होता है।
यहाँ,$HCF(a, b) = 25$ दिया गया है।
अतः,$LCM(a, b)$ को $25$ का एक गुणज होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $50 = 25 \times 2$ (संभव है)
$(B)$ $105$ को $25$ से पूर्णतः विभाजित नहीं किया जा सकता है $(105 / 25 = 4.2)$ (असंभव है)
$(C)$ $100 = 25 \times 4$ (संभव है)
$(D)$ $25 = 25 \times 1$ (संभव है)
अतः,$105$ कभी भी $LCM$ नहीं हो सकता है।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,$a \times b = LCM(a, b) \times GCD(a, b)$ संबंध सत्य होता है।
यहाँ दिया गया है कि $LCM(a, b) = a \times b$ है।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a \times b = (a \times b) \times GCD(a, b)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $a \times b$ से विभाजित करने पर,हमें $GCD(a, b) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $1$ है।

(A) $12$,$15$ और $21$ का म.स.प. (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
म.स.प. संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ एकमात्र उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $3$ है और इसकी सबसे छोटी घात $3^1$ है।
अतः,म.स.प. $(12, 15, 21) = 3$.