HCF and LCM by Prime Factorisation Questions in Hindi

(A) $6$ और $20$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
म.स.प. प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ है,और इसकी सबसे छोटी घात $2^1 = 2$ है।
अतः,$6$ और $20$ का म.स.प. $2$ है।

(C) दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जो दोनों संख्याओं से विभाज्य होता है।
किन्हीं भी दो अभाज्य संख्याओं $p$ और $q$ के लिए,चूंकि वे भिन्न हैं,$1$ के अलावा उनका कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
इसलिए,दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का $LCM$ उनका गुणनफल ही होता है।
$LCM(p, q) = p \times q = pq$.

(C) $7, 11$ और $17$ का ल.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले देखते हैं कि ये तीनों संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं।
चूंकि $7, 11$ और $17$ अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए $1$ के अलावा इनका कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अभाज्य संख्याओं के समूह का ल.स.प. उन संख्याओं का गुणनफल ही होता है।
अतः,$LCM(7, 11, 17) = 7 \times 11 \times 17 = 1309$।

(D) $HCF(510, 92)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2 \times 2 \times 23 = 2^2 \times 23$
सबसे कम घात वाला उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $2^1 = 2$ है।
अतः,$HCF(510, 92) = 2$।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके म.स.प. और ल.स.प. के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\text{म.स.प.}(a, b) \times \text{ल.स.प.}(a, b) = a \times b$
दिया गया है:
$\text{म.स.प.} = 9$
$\text{संख्याओं का गुणनफल} (a \times b) = 288$
सूत्र में मान रखने पर:
$9 \times \text{ल.स.प.} = 288$
$\text{ल.स.प.} = \frac{288}{9}$
$\text{ल.स.प.} = 32$
अतः,दोनों संख्याओं का ल.स.प. $32$ है।

(A) $6$ और $20$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके अभाज्य गुणनखंड करते हैं:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
$LCM$ सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
$LCM = 4 \times 3 \times 5 = 60$
अतः,$6$ और $20$ का $LCM$ $60$ है।

(B) किन्हीं भी दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,दो संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ और लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ के गुणनफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $HCF(a, b) \times LCM(a, b) = a \times b$.

(B) $6, 72,$ और $120$ का ल.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 8 \times 15 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
ल.स.प. संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
ल.स.प. $= 2^3 \times 3^2 \times 5^1$
ल.स.प. $= 8 \times 9 \times 5$
ल.स.प. $= 72 \times 5 = 360$
अतः,$6, 72,$ और $120$ का ल.स.प. $360$ है।

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $HCF$ और $LCM$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$a \times b = HCF(a, b) \times LCM(a, b)$
यहाँ $HCF(a, b) = 8$ और $LCM(a, b) = 64$ दिया गया है,इसलिए:
$a \times b = 8 \times 64 = 512$
चूंकि $8$ $HCF$ है,इसलिए $a$ और $b$ दोनों $8$ के गुणज होने चाहिए। मान लीजिए $a = 8x$ और $b = 8y$,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य हैं और $x > y$ (क्योंकि $a > b$ है)।
इन मानों को गुणनफल समीकरण में रखने पर:
$(8x) \times (8y) = 512$
$64xy = 512$
$xy = 8$
$x$ और $y$ के लिए संभावित युग्म $(x, y)$ जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य हैं और $x > y$ है,$(8, 1)$ है।
यदि $x = 8$ और $y = 1$ है,तो $a = 8 \times 8 = 64$ और $b = 8 \times 1 = 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a > b$ है,इसलिए $a = 64$ सही मान है।

(D) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का $LCM$ $4$ है।

(A) $13, 23$ और $31$ का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंड करते हैं:
$13 = 13 \times 1$
$23 = 23 \times 1$
$31 = 31 \times 1$
चूंकि $13, 23$ और $31$ तीनों अभाज्य संख्याएँ हैं और $1$ के अलावा इनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है,इसलिए इनका म.स.प. $1$ है।

(B) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
म.स.प. प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है,जो $2^1 = 2$ है।
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का म.स.प. $2$ है।

(B) हम जानते हैं कि दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए मूलभूत गुणधर्म यह है:
$\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$
यहाँ दिया गया है कि $\text{HCF}(a, b) = 7$ और $\text{LCM}(a, b) = 385$ है।
अतः,$a \times b = 7 \times 385$ होगा।
गुणनफल की गणना करने पर: $7 \times 385 = 2695$।
इस प्रकार,दोनों पूर्णांकों का गुणनफल $2695$ है।

(A) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का ल.स.प. $4$ है।

(B) किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ और लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ का गुणनफल उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$.

(B) $6$,$72$ और $120$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 8 \times 15 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5$
$LCM = 72 \times 5 = 360$
अतः,$6$,$72$ और $120$ का $LCM$ $360$ है।

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $HCF$ और $LCM$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$a \times b = HCF(a, b) \times LCM(a, b)$
यहाँ $HCF(a, b) = 8$ और $LCM(a, b) = 64$ दिया गया है,इसलिए:
$a \times b = 8 \times 64 = 512$
चूँकि $HCF(a, b) = 8$ है,इसलिए $a$ और $b$ दोनों $8$ के गुणज होने चाहिए। मान लीजिए $a = 8x$ और $b = 8y$,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य हैं और $x > y$ ($a > b$ के कारण)।
इन मानों को गुणनफल समीकरण में रखने पर:
$(8x) \times (8y) = 512$
$64xy = 512$
$xy = 8$
$x > y$ और $gcd(x, y) = 1$ के लिए $(x, y)$ के संभावित जोड़े $(8, 1)$ हैं।
यदि $x = 8$ और $y = 1$ है,तो $a = 8 \times 8 = 64$ और $b = 8 \times 1 = 8$ प्राप्त होता है।
$LCM$ की जाँच करने पर: $LCM(64, 8) = 64$,जो दी गई शर्त को पूरा करता है।
अतः,$a = 64$।

(B) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$LCM(2, 4)$ ज्ञात करने के लिए:
$2$ का अभाज्य गुणनखंड $2^1$ है।
$4$ का अभाज्य गुणनखंड $2^2$ है।
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है,जो $2^2 = 4$ है।
अतः,$LCM$ का मान $4$ है।

(A) $13$,$23$ और $31$ का म.स.प. (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करने के लिए:
$1$. $13$ का अभाज्य गुणनखंड = $13 \times 1$.
$2$. $23$ का अभाज्य गुणनखंड = $23 \times 1$.
$3$. $31$ का अभाज्य गुणनखंड = $31 \times 1$.
चूंकि $13$,$23$ और $31$ सभी अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए $1$ के अलावा इनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः,$13$,$23$ और $31$ का म.स.प. $1$ है।

(A) वह सबसे बड़ी धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करने के लिए जो $70$ और $125$ को विभाजित करने पर क्रमशः $5$ और $8$ शेषफल देती है,हमें $(70 - 5)$ और $(125 - 8)$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
चरण $1$: दी गई संख्याओं में से शेषफल को घटाएं।
$70 - 5 = 65$
$125 - 8 = 117$
चरण $2$: $65$ और $117$ का $HCF$ ज्ञात करें।
$65$ का अभाज्य गुणनखंडन = $5 \times 13$ है।
$117$ का अभाज्य गुणनखंडन = $3^2 \times 13$ है।
चरण $3$: न्यूनतम घात वाला उभयनिष्ठ गुणनखंड $13$ है।
अतः,अभीष्ट सबसे बड़ी धनात्मक पूर्णांक $13$ है।

(B) सबसे पहले,अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करके $65$ और $117$ का $\text{HCF}$ (म.स.प.) ज्ञात करें:
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
इसलिए,$\text{HCF}(65, 117) = 13$.
दिया गया समीकरण: $\text{HCF}(65, 117) = 65m - 117$.
$\text{HCF}$ का मान रखने पर:
$13 = 65m - 117$
$13 + 117 = 65m$
$130 = 65m$
$m = \frac{130}{65} = 2$.
अतः,$m$ का मान $2$ है।

(B) हम जानते हैं कि दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $\text{HCF}$ और $\text{LCM}$ के गुणनफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$a \times b = \text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b)$.
यहाँ दिया गया है कि $\text{HCF}(a, b) = 7$ और $\text{LCM}(a, b) = 385$.
इसलिए,$a \times b = 7 \times 385$.
$a \times b = 2695$.
अतः,दोनों पूर्णांकों का गुणनफल $2695$ है।

(C) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
ल.स.प. प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है,जो $2^2 = 4$ है।
अतः,$2$ और $4$ का ल.स.प. $4$ है।

(B) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
म.स.प. प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है,जो $2^1 = 2$ है।
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का म.स.प. $2$ है।

(C) दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जो दोनों संख्याओं से विभाज्य हो।
चूंकि $p$ और $q$ भिन्न अभाज्य पूर्णांक हैं,इसलिए $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः,दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का $LCM$ उनका गुणनफल ही होता है।
इस प्रकार,$\text{LCM}(p, q) = p \times q = pq$.

(A) $LCM(26, 91)$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
$LCM$ संख्याओं में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM(26, 91) = 2 \times 7 \times 13 = 182$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) परिभाषा के अनुसार,एक अभाज्य संख्या $1$ से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होता है।
चूंकि $m$ और $n$ दो भिन्न अभाज्य पूर्णांक हैं,इसलिए $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः,दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) हमेशा $1$ होता है।

(B) दो संख्याओं का $LCM$ हमेशा उनके $HCF$ से पूर्णतः विभाज्य होता है।
यहाँ $HCF(a, b) = 25$ दिया गया है।
हम दिए गए विकल्पों की $25$ से विभाज्यता की जाँच करते हैं:
$1$. $50 / 25 = 2$ (विभाज्य है)
$2$. $105 / 25 = 4.2$ (विभाज्य नहीं है)
$3$. $100 / 25 = 4$ (विभाज्य है)
चूँकि $105$,$25$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए यह उन दो संख्याओं का $LCM$ नहीं हो सकता जिनका $HCF$ $25$ है।

(A) किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके $LCM$ और $GCD$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $a \times b = LCM(a, b) \times GCD(a, b)$.
दिया गया है कि $LCM(a, b) = a \times b$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $a \times b = (a \times b) \times GCD(a, b)$.
दोनों पक्षों को $(a \times b)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $GCD(a, b) = 1$.
अतः,दोनों संख्याओं का म.स.प. $(GCD)$ $1$ है।

(A) $12, 15$ और $21$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
म.स.प. प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल $3$ है और इसकी सबसे छोटी घात $3^1$ है।
अतः,$\text{म.स.प.}(12, 15, 21) = 3$.

(A) $6$ और $20$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके अभाज्य गुणनखंड करेंगे:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
$LCM$ संख्याओं में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
$LCM = 4 \times 3 \times 5 = 60$
अतः,$6$ और $20$ का $LCM$ $60$ है।

(A) हम जानते हैं कि दो संख्याओं, उनके म.स.प. और उनके ल.स.प. के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\text{दो संख्याओं का गुणनफल} = \text{म.स.प.} \times \text{ल.स.प.}$
दिया गया है:
$\text{म.स.प.} = 9$
$\text{दो संख्याओं का गुणनफल} = 288$
सूत्र में मान रखने पर:
$288 = 9 \times \text{ल.स.प.}$
$\text{ल.स.प.} = \frac{288}{9}$
$\text{ल.स.प.} = 32$
अतः, उन दो संख्याओं का ल.स.प. $32$ है।

(B) $HCF(510, 92)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2 \times 2 \times 23 = 2^2 \times 23$
$HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ है,और इसकी सबसे छोटी घात $2^1 = 2$ है।
अतः,$HCF(510, 92) = 2$।

(D) अभाज्य संख्याओं का $LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम उनका गुणा करते हैं क्योंकि $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है।
चूंकि $7$,$11$ और $17$ सभी अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका $LCM$ उनके गुणनफल के बराबर होगा।
$LCM = 7 \times 11 \times 17$
$LCM = 77 \times 17$
$LCM = 1309$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जो दोनों संख्याओं से विभाज्य होता है।
चूंकि $p$ और $q$ भिन्न अभाज्य पूर्णांक हैं,इसलिए $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः,दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का $LCM$ उनका गुणनफल होता है।
इस प्रकार,$\text{LCM}(p, q) = p \times q = pq$.

(A) $6$ और $20$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
म.स.प. प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ है,और इसकी सबसे छोटी घात $2^1 = 2$ है।
अतः,$6$ और $20$ का म.स.प. $2$ है।

(A) दो संख्याओं का $LCM$ हमेशा उनके $HCF$ से विभाज्य होना चाहिए।
यहाँ $HCF(a, b) = 12$ दिया गया है।
प्रत्येक विकल्प की जाँच करते हैं कि क्या वह $12$ से विभाज्य है:
$(A) 90 / 12 = 7.5$ (विभाज्य नहीं है)
$(B) 24 / 12 = 2$ (विभाज्य है)
$(C) 48 / 12 = 4$ (विभाज्य है)
$(D) 60 / 12 = 5$ (विभाज्य है)
चूँकि $90$,$12$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए यह उन दो संख्याओं का $LCM$ नहीं हो सकता जिनका $HCF$ $12$ है।

(B) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का $LCM$ $4$ है।

(B) दो संख्याओं $a$ और $b$ के $HCF$ और $LCM$ का मूल गुण यह है कि $LCM$ को $HCF$ द्वारा पूर्णतः विभाजित होना चाहिए।
दूसरे शब्दों में, $\frac{LCM(a, b)}{HCF(a, b)} = \text{पूर्णांक}$.
यहाँ $HCF(a, b) = 16$ दिया गया है।
प्रत्येक विकल्प की जाँच करने पर:
$1$. $32$ के लिए: $\frac{32}{16} = 2$ (संभव है)।
$2$. $72$ के लिए: $\frac{72}{16} = 4.5$ (पूर्णांक नहीं है, अतः संभव नहीं है)।
$3$. $64$ के लिए: $\frac{64}{16} = 4$ (संभव है)।
इसलिए, $72$ कभी भी $LCM$ नहीं हो सकता।

(B) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$LCM(2, 4)$ ज्ञात करने के लिए:
$2$ का अभाज्य गुणनखंड $2^1$ है।
$4$ का अभाज्य गुणनखंड $2^2$ है।
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है।
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$।
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का $LCM$ $4$ है।

(A) $23, 35,$ और $46$ का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करें।
$23 = 23^1$ (क्योंकि $23$ एक अभाज्य संख्या है)।
$35 = 5^1 \times 7^1$.
$46 = 2^1 \times 23^1$.
चरण $2$: प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात की पहचान करें।
इसमें शामिल अभाज्य गुणनखंड $2, 5, 7,$ और $23$ हैं।
इनकी उच्चतम घातें $2^1, 5^1, 7^1,$ और $23^1$ हैं।
चरण $3$: ल.स.प. ज्ञात करने के लिए इन उच्चतम घातों का गुणा करें।
$LCM = 2^1 \times 5^1 \times 7^1 \times 23^1$
$LCM = 10 \times 7 \times 23$
$LCM = 70 \times 23 = 1610$.

(A) वह सबसे बड़ी धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करने के लिए जो $70$ और $125$ को विभाजित करने पर क्रमशः $5$ और $8$ शेषफल देता है,हम पहले संख्याओं में से शेषफल को घटाते हैं।
$70 - 5 = 65$
$125 - 8 = 117$
अब,हमें $65$ और $117$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF/GCD)$ ज्ञात करना होगा।
$65$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 5 \times 13$
$117$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 3^2 \times 13$
उभयनिष्ठ गुणनखंड $13$ है।
अतः,सबसे बड़ी धनात्मक पूर्णांक $13$ है।

(B) सबसे पहले,अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करके $65$ और $117$ का $HCF$ ज्ञात करें:
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
अतः,$HCF(65, 117) = 13$ है।
दिया गया समीकरण: $65m - 117 = HCF(65, 117)$।
$HCF$ का मान रखने पर: $65m - 117 = 13$।
दोनों पक्षों में $117$ जोड़ने पर: $65m = 13 + 117$।
$65m = 130$।
$65$ से भाग देने पर: $m = 130 / 65$।
$m = 2$।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $\text{HCF}$ (म.स.प.) और $\text{LCM}$ (ल.स.प.) के गुणनफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$a \times b = \text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b)$.
दिया गया है कि $\text{HCF}(a, b) = 7$ और $\text{LCM}(a, b) = 385$.
इसलिए,$a \times b = 7 \times 385$.
गुणनफल की गणना करने पर: $7 \times 385 = 2695$.
अतः,$a \times b = 2695$.

(B) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है,जो $2^2 = 4$ है।
अतः,$2$ और $4$ का $LCM$ $4$ है।

(A) दो अंकों की सबसे छोटी अभाज्य संख्या $11$ है।
दो अंकों की सबसे छोटी भाज्य संख्या $10$ है।
$11$ और $10$ का $HCF$ ज्ञात करने के लिए:
$11$ का अभाज्य गुणनखंड $11^1$ है।
$10$ का अभाज्य गुणनखंड $2^1 \times 5^1$ है।
चूंकि कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए $HCF(11, 10) = 1$ है।

(C) परिभाषा के अनुसार,एक अभाज्य संख्या $1$ से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होता है।
चूंकि $a$ और $b$ दो भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ वह सबसे छोटी धनात्मक पूर्णांक संख्या है जो दोनों संख्याओं से पूर्णतः विभाजित हो जाती है।
किन्हीं भी दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,उनके गुणनफल,$HCF$ और $LCM$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $a \times b = \text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b)$.
चूंकि $a$ और $b$ भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ $1$ होगा।
अतः,$a \times b = 1 \times \text{LCM}(a, b)$.
इसका अर्थ है कि $\text{LCM}(a, b) = ab$ होगा।

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो धनात्मक पूर्णांकों $p$ और $q$ के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $HCF$ और $LCM$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$p \times q = HCF(p, q) \times LCM(p, q)$
दिया गया है कि $HCF(p, q) = p$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$p \times q = p \times LCM(p, q)$
दोनों पक्षों को $p$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $p \neq 0$):
$LCM(p, q) = q$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) किन्हीं भी दो अभाज्य संख्याओं $p_1$ और $p_2$ के लिए,महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) हमेशा $1$ होता है क्योंकि $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है।
दो अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) उनका गुणनफल होता है,अर्थात $p_1 \times p_2$।
दी गई अभाज्य संख्याएँ $7$ और $11$ हैं।
$\text{म}.\text{स}.\text{प}.(7, 11) = 1$।
$\text{ल}.\text{स}.\text{प}.(7, 11) = 7 \times 11 = 77$।
अंतर = $\text{ल}.\text{स}.\text{प}. - \text{म}.\text{स}.\text{प}. = 77 - 1 = 76$।

(A) चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
चरण $2$: $LCM$ सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है:
$LCM(12, 15, 21) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$
चरण $3$: दिए गए समीकरण को $x$ के लिए हल कीजिए:
$420 = 500 + 2x$
$2x = 420 - 500$
$2x = -80$
$x = -40$