HCF and LCM by Prime Factorisation Questions in Hindi

(B) $20 a^{2} b$ और $30 a b^{2}$ का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए:
$1$. $20 a^{2} b$ का अभाज्य गुणनखंडन: $2^{2} \times 5 \times a^{2} \times b$.
$2$. $30 a b^{2}$ का अभाज्य गुणनखंडन: $2 \times 3 \times 5 \times a \times b^{2}$.
$3$. म.स.प. प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है:
- उभयनिष्ठ गुणनखंड $2, 5, a, b$ हैं।
- सबसे छोटी घातें $2^{1}, 5^{1}, a^{1}, b^{1}$ हैं।
- म.स.प. $= 2 \times 5 \times a \times b = 10 ab$.
चूंकि $10 ab \neq 10 a^{2} b^{2}$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(B) $5$ के गुणनखंड $1, 5$ हैं।
$15$ के गुणनखंड $1, 3, 5, 15$ हैं।
उभयनिष्ठ गुणनखंड $1$ और $5$ हैं।
अतः,महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ $5$ है।
चूंकि कथन में $HCF$ $10$ बताया गया है,इसलिए यह कथन असत्य है।

(A) किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ और लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$.
चूंकि $a$ और $b$ क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं,वे सह-अभाज्य (coprime) होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका $HCF$ $1$ है।
अतः,$\text{HCF}(a, b) = 1$.
सूत्र में मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $1 \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$,जिसका अर्थ है $\text{LCM}(a, b) = a \times b$.
इसलिए,$\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = 1 \times (a \times b) = a \times b$.

(A) $25$ और $52$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम उनके अभाज्य गुणनखंड निकालते हैं:
$25 = 5^2$
$52 = 2^2 \times 13$
चूंकि $1$ के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ $1$ है।
अतः,यह कथन सत्य है।

(A) $28$ और $63$ दोनों से विभाज्य सबसे छोटा पूर्णांक ज्ञात करने के लिए,हमें $28$ और $63$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालना होगा।
सबसे पहले,प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए:
$28 = 2^2 \times 7^1$
$63 = 3^2 \times 7^1$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल लीजिए:
$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 7^1$
$LCM = 4 \times 9 \times 7$
$LCM = 36 \times 7 = 252$
अतः,$28$ और $63$ दोनों से विभाज्य सबसे छोटा पूर्णांक $252$ है।

(A) $36$ और $100$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके अभाज्य गुणनखंड करेंगे:
$36 = 2^2 \times 3^2$
$100 = 2^2 \times 5^2$
$LCM$ सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 5^2$
$LCM = 4 \times 9 \times 25$
$LCM = 36 \times 25 = 900$
अतः,$36$ और $100$ का $LCM$ $900$ है।

(A) $65$ और $117$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनका अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड जिसकी घात सबसे कम है,वह $13$ है।
अतः,$65$ और $117$ का म.स.प. $13$ है।

(A) $220$ और $60$ का ल.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$220 = 2^2 \times 5^1 \times 11^1$
$60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
ल.स.प. संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM(220, 60) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 11^1$
$LCM(220, 60) = 4 \times 3 \times 5 \times 11$
$LCM(220, 60) = 12 \times 55 = 660$
अतः,$220$ और $60$ का ल.स.प. $660$ है।

(A) $HCF(156, 455)$ ज्ञात करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करते हैं:
$156 = 2^2 \times 3 \times 13$
$455 = 5 \times 7 \times 13$
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $13$ है।
अतः,$HCF(156, 455) = 13$ है।

(Q.1-B, Q.2-A) चरण $1$: $\text{LCM}(7, 49)$ ज्ञात कीजिए।
चूंकि $49$,$7$ का एक गुणज है $(7 \times 7 = 49)$,इसलिए $7$ और $49$ का ल.स.प. $49$ है।
चरण $2$: $\text{LCM}(10, 25)$ ज्ञात कीजिए।
$10$ का अभाज्य गुणनखंडन = $2 \times 5$.
$25$ का अभाज्य गुणनखंडन = $5 \times 5$.
$\text{LCM}(10, 25) = 2 \times 5 \times 5 = 50$.
अतः,$Q.1$ का मिलान $B$ से और $Q.2$ का मिलान $A$ (या $D$) से होता है।

(A-B) $1$. $\text{25 और 10 का म.स.प. ज्ञात करने के लिए:}$
$25$ $\text{का अभाज्य गुणनखंड =}$ $5^2$.
$10$ $\text{का अभाज्य गुणनखंड =}$ $2 \times 5$.
$\text{उभयनिष्ठ गुणनखंड}$ $5$ $\text{है। इसलिए, म.स.प.}$ $(25, 10)$ = $5$.
$2$. $17$ $\text{और}$ $11$ $\text{का ल.स.प. ज्ञात करने के लिए:}$
$\text{चूंकि}$ $17$ $\text{और}$ $11$ $\text{दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए उनका ल.स.प. उनका गुणनफल होता है।}$
$\text{ल.स.प.}$ $(17, 11)$ = $17 \times 11 = 187$.
$\text{अतः, सही मिलान}$ $Q.1-A$ $\text{और}$ $Q.2-B$ $\text{है।}$

(A) $30$ और $72$ का म.स.प. $(HCF)$ ज्ञात करने के लिए:
$30$ का अभाज्य गुणनखंड = $2 \times 3 \times 5$.
$72$ का अभाज्य गुणनखंड = $2^3 \times 3^2$.
उभयनिष्ठ गुणनखंड $2^1$ और $3^1$ हैं।
म.स.प. $(30, 72) = 2 \times 3 = 6$.
$19$ और $23$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए:
चूंकि $19$ और $23$ दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड $1$ है।
म.स.प. $(19, 23) = 1$.
अतः,म.स.प. के मान क्रमशः $6$ और $1$ हैं। सही विकल्प $A$ है।

(A) चरण $1$: $8$ और $6$ का म.स.प. $(HCF)$ ज्ञात करें।
$8$ का अभाज्य गुणनखंड $= 2^3$।
$6$ का अभाज्य गुणनखंड $= 2 \times 3$।
उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ है,इसलिए म.स.प. $(8, 6) = 2$।
चरण $2$: $26$ और $91$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करें।
$26$ का अभाज्य गुणनखंड $= 2 \times 13$।
$91$ का अभाज्य गुणनखंड $= 7 \times 13$।
ल.स.प. $(26, 91) = 2 \times 7 \times 13 = 182$।
अतः,$Q.1$ का मिलान $C$ से और $Q.2$ का मिलान $B$ से होता है।

(A) सोनिया और रवि के पुनः प्रारंभिक बिंदु पर मिलने का समय ज्ञात करने के लिए,हमें उनके द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
सोनिया द्वारा लिया गया समय = $18$ मिनट।
रवि द्वारा लिया गया समय = $12$ मिनट।
$18$ का अभाज्य गुणनखंड = $2 \times 3^2$।
$12$ का अभाज्य गुणनखंड = $2^2 \times 3$।
$LCM(18, 12) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$।
अतः,वे $36$ मिनट बाद पुनः प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके $HCF$ और $LCM$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$HCF(a, b) \times LCM(a, b) = a \times b$
यहाँ $a = 306$,$b = 657$ और $HCF(306, 657) = 9$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$9 \times LCM(306, 657) = 306 \times 657$
$LCM(306, 657) = \frac{306 \times 657}{9}$
$LCM(306, 657) = 34 \times 657$
$LCM(306, 657) = 22338$
अतः,$LCM$ का मान $22338$ है।

(A) अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करके $8$,$9$ और $25$ का $HCF$ और $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
$9 = 3 \times 3 = 3^2$
$25 = 5 \times 5 = 5^2$
चरण $2$: $HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है। चूंकि $1$ के अलावा कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए $HCF$ = $1$ है।
चरण $3$: $LCM$ संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है।
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 72 \times 25 = 1800$.
अतः,$HCF$ = $1$ और $LCM$ = $1800$ है।

(A) दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है:
$17 = 17 \times 1$
$23 = 23 \times 1$
$29 = 29 \times 1$
चूंकि $17, 23$ और $29$ सभी अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए $1$ के अलावा इनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः,महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ = $1$ है।
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल है:
$LCM$ = $17 \times 23 \times 29 = 11339$।
इस प्रकार,$HCF$ = $1$ और $LCM$ = $11339$ है।

(A) $12$,$15$ और $21$ का $HCF$ और $LCM$ अभाज्य गुणनखंडन विधि से ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन लिखें।
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
चरण $2$: $HCF$ (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करें।
$HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल $3$ है,और इसकी सबसे छोटी घात $3^1$ है।
अतः,$HCF = 3$।
चरण $3$: $LCM$ (लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात करें।
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ शामिल अभाज्य गुणनखंड $2, 3, 5$ और $7$ हैं।
उनकी सबसे बड़ी घातें $2^2, 3^1, 5^1$ और $7^1$ हैं।
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$।
इस प्रकार,$HCF = 3$ और $LCM = 420$ है।

(A) चरण $1$: $336$ और $54$ का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए।
$336 = 2^4 \times 3^1 \times 7^1$
$54 = 2^1 \times 3^3$
चरण $2$: $HCF$ ज्ञात कीजिए।
$HCF = 2^{\min(4,1)} \times 3^{\min(1,3)} = 2^1 \times 3^1 = 6$.
चरण $3$: $LCM$ ज्ञात कीजिए।
$LCM = 2^{\max(4,1)} \times 3^{\max(1,3)} \times 7^1 = 2^4 \times 3^3 \times 7 = 16 \times 27 \times 7 = 3024$.
चरण $4$: $HCF \times LCM = \text{दोनों पूर्णांकों का गुणनफल}$ सत्यापित कीजिए।
$HCF \times LCM = 6 \times 3024 = 18144$.
$\text{दोनों पूर्णांकों का गुणनफल} = 336 \times 54 = 18144$.
चूंकि $18144 = 18144$, इसलिए संबंध सत्यापित होता है।

(A) चरण $1$: $510$ और $92$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए।
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2^2 \times 23$
चरण $2$: $HCF$ और $LCM$ ज्ञात कीजिए।
$HCF = 2^1 = 2$
$LCM = 2^2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460$
चरण $3$: संबंध $HCF \times LCM = \text{दोनों संख्याओं का गुणनफल}$ को सत्यापित कीजिए।
$HCF \times LCM = 2 \times 23460 = 46920$
$\text{संख्याओं का गुणनफल} = 510 \times 92 = 46920$
चूंकि $46920 = 46920$,इसलिए संबंध सत्यापित होता है।

(A) चरण $1$: $26$ और $91$ का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए।
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
चरण $2$: $HCF$ और $LCM$ ज्ञात कीजिए।
$HCF = \text{प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल} = 13$.
$LCM = \text{प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल} = 2 \times 7 \times 13 = 182$.
चरण $3$: संबंध $HCF \times LCM = \text{दो संख्याओं का गुणनफल}$ की जाँच कीजिए।
$HCF \times LCM = 13 \times 182 = 2366$.
$\text{दो संख्याओं का गुणनफल} = 26 \times 91 = 2366$.
चूँकि $2366 = 2366$, अतः संबंध सत्यापित होता है।

(B) $140$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$1$. $140$ को सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ से विभाजित करने पर: $140 \div 2 = 70$.
$2$. $70$ को $2$ से विभाजित करने पर: $70 \div 2 = 35$.
$3$. $35$ को अगली अभाज्य संख्या $5$ से विभाजित करने पर: $35 \div 5 = 7$.
$4$. $7$ को अभाज्य संख्या $7$ से विभाजित करने पर: $7 \div 7 = 1$.
अतः,$140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7$.
घातांकीय रूप में,यह $2^2 \times 5 \times 7$ है।

(A) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $867$ और $255$ का $HCF$ ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: चूंकि $867 > 255$,हम $867$ और $255$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$867 = 255 \times 3 + 102$
चरण $2$: चूंकि शेषफल $102 \neq 0$ है,हम $255$ और $102$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$255 = 102 \times 2 + 51$
चरण $3$: चूंकि शेषफल $51 \neq 0$ है,हम $102$ और $51$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$102 = 51 \times 2 + 0$
चूंकि अब शेषफल $0$ है,इस चरण में भाजक ही $HCF$ है।
अतः,$867$ और $255$ का $HCF$ $51$ है।

(A) $135$ और $225$ का $HCF$ यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: चूँकि $225 > 135$,हम $225$ और $135$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$225 = 135 \times 1 + 90$
चरण $2$: चूँकि शेषफल $90 \neq 0$ है,हम $135$ और $90$ पर प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$135 = 90 \times 1 + 45$
चरण $3$: चूँकि शेषफल $45 \neq 0$ है,हम $90$ और $45$ पर प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$90 = 45 \times 2 + 0$
चूँकि शेषफल $0$ है,इस चरण पर भाजक ही $HCF$ है।
अतः,$135$ और $225$ का $HCF$ $45$ है।

(A) अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करके $6$,$72$ और $120$ का $HCF$ और $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
चरण $2$: $HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
$HCF = 2^1 \times 3^1 = 6$
चरण $3$: $LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है।
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 360$
अतः,$HCF$ $6$ है और $LCM$ $360$ है।

(A) चरण $1$: $96$ और $404$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए।
$96 = 2^5 \times 3^1$
$404 = 2^2 \times 101^1$
चरण $2$: प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लेकर $HCF$ ज्ञात कीजिए।
$HCF(96, 404) = 2^2 = 4$.
चरण $3$: संबंध $LCM(a, b) \times HCF(a, b) = a \times b$ का उपयोग कीजिए।
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{HCF(96, 404)}$
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{4} = 96 \times 101 = 9696$.

(A) चरण $1$: दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए।
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
चरण $2$: $HCF$ ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लीजिए।
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $2$ है। इसकी सबसे छोटी घात $2^1$ है।
अतः,$HCF$ = $2$ है।
चरण $3$: $LCM$ ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल लीजिए।
शामिल अभाज्य गुणनखंड $2, 3$ और $5$ हैं।
सबसे बड़ी घातें $2^2, 3^1$ और $5^1$ हैं।
$LCM$ = $2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$ है।
इस प्रकार,$HCF$ = $2$ और $LCM$ = $60$ है।