Revisiting Irrational Numbers Questions in Hindi

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अर्थात,हम ऐसे पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ज्ञात कर सकते हैं कि $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ हो।
मान लीजिए कि $a$ और $b$ में $1$ के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड है। तो हम उस उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग देकर यह मान सकते हैं कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य (coprime) हैं।
अतः,$b\sqrt{3} = a$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $3b^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$3$ से विभाज्य है,और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$a$ भी $3$ से विभाज्य होगा।
अतः,हम किसी पूर्णांक $c$ के लिए $a = 3c$ लिख सकते हैं।
$3b^2 = a^2$ में $a = 3c$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3b^2 = (3c)^2 = 9c^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $b^2 = 3c^2$ मिलता है।
इसका अर्थ है कि $b^2$,$3$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$b$ भी $3$ से विभाज्य है।
अतः,$a$ और $b$ में कम से कम $3$ एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
परंतु यह इस तथ्य का विरोधाभास करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $\sqrt{3}$ परिमेय है। अतः,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$5-\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अर्थात,हम सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ज्ञात कर सकते हैं,ताकि $5-\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $5 - \frac{a}{b} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\sqrt{3} = \frac{5b - a}{b}$ मिलता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{5b - a}{b}$ एक परिमेय संख्या है। इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस स्थापित तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $5-\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $5-\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$3 \sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अर्थात,हम सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ज्ञात कर सकते हैं ताकि $3 \sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{2} = \frac{a}{3b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $3$,$a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{3b}$ एक परिमेय संख्या है,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{2}$ भी एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है और हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $3 \sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम दो पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ज्ञात कर सकते हैं ताकि $\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो,जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं (अर्थात,उनका केवल एक ही उभयनिष्ठ गुणनखंड $1$ है)।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $a^2 = 5b^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$5$ से विभाज्य है,और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$a$ भी $5$ से विभाज्य है।
मान लीजिए $a = 5k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
इस मान को $a^2 = 5b^2$ समीकरण में रखने पर,हमें $(5k)^2 = 5b^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $25k^2 = 5b^2$ या $b^2 = 5k^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $b^2$,$5$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$b$ भी $5$ से विभाज्य है।
चूँकि $a$ और $b$ दोनों $5$ से विभाज्य हैं,उनका उभयनिष्ठ गुणनखंड $5$ है,जो हमारी प्रारंभिक धारणा कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं,का विरोधाभास करता है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt{5}$ परिमेय है,गलत है,और हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{5}$ अपरिमेय है।

(N/A) मान लीजिए कि $3+2 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम दो पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ऐसे ज्ञात कर सकते हैं कि $3+2 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर,हमें $2 \sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$ प्राप्त होता है।
दाएँ पक्ष को सरल करने पर,$2 \sqrt{5} = \frac{a-3b}{b}$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a-3b}{2b}$ एक परिमेय संख्या है। इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
परंतु,यह इस स्थापित तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $3+2 \sqrt{5}$ परिमेय है।
अतः,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $3+2 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) मान लीजिए कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम दो पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ज्ञात कर सकते हैं ताकि $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b}$ हो।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{2} = \frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{b}{a}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस स्थापित तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है और $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $7 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
इसलिए,हम दो पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ऐसे ज्ञात कर सकते हैं कि $7 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a}{7b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{7b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{5}$ को भी एक परिमेय संख्या होना चाहिए।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा कि $7 \sqrt{5}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$7 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $6+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम दो पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ऐसे ज्ञात कर सकते हैं कि $6+\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{2} = \frac{a}{b} - 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{b} - 6 = \frac{a-6b}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
परंतु,यह इस स्थापित तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $6+\sqrt{2}$ परिमेय है।
अतः,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $6+\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) मान लीजिए $r$ एक शून्येतर परिमेय संख्या है और $i$ एक अपरिमेय संख्या है।
मान लीजिए कि उनका गुणनफल $p = r \times i$ परिमेय है।
तो $p = \frac{a}{b}$ होगा,जहाँ $a, b$ पूर्णांक हैं और $b \neq 0$ है।
चूंकि $r$ एक शून्येतर परिमेय संख्या है,इसलिए $r = \frac{p}{q}$ लिखा जा सकता है,जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $p, q \neq 0$ है।
तब $i = \frac{p}{r} = \frac{p}{q} \times \frac{b}{a} = \frac{pb}{qa}$ होगा।
चूंकि $p, b, q, a$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{pb}{qa}$ एक परिमेय संख्या है।
यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $i$ अपरिमेय है।
अतः,एक शून्येतर परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है।
उदाहरण के लिए,$\frac{3}{4} \times \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$,जो एक अपरिमेय संख्या है।

मान लीजिए कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है। मान लीजिए $\sqrt{2}+\sqrt{3} = a$,जहाँ $a$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,$\sqrt{2} = a - \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sqrt{2})^2 = (a - \sqrt{3})^2$
$2 = a^2 + 3 - 2a\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2a\sqrt{3} = a^2 + 3 - 2$
$2a\sqrt{3} = a^2 + 1$
$\sqrt{3} = \frac{a^2 + 1}{2a}$
चूँकि $a$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $\frac{a^2 + 1}{2a}$ भी एक परिमेय संख्या होगी। इसका अर्थ है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
परंतु,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास हमारी प्रारंभिक धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
मान लीजिए $\sqrt{3}+\sqrt{5} = a$,जहाँ $a$ एक परिमेय संख्या है।
तब,$\sqrt{3} = a - \sqrt{5}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sqrt{3})^2 = (a - \sqrt{5})^2$
$3 = a^2 + 5 - 2a\sqrt{5}$ (सर्वसमिका $(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ का उपयोग करते हुए)।
$\sqrt{5}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2a\sqrt{5} = a^2 + 5 - 3$
$2a\sqrt{5} = a^2 + 2$
$\sqrt{5} = \frac{a^2 + 2}{2a}$.
चूँकि $a$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $\frac{a^2 + 2}{2a}$ भी एक परिमेय संख्या होगी।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है,जो इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है और $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि परिमेय संख्या $\frac{29}{343}$ का दशमलव प्रसार शांत है या नहीं,हम हर का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$1$. हर $343 = 7^3$ है।
$2$. एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि और केवल यदि $q$ के अभाज्य गुणनखंड $2^n \times 5^m$ के रूप में हों,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
$3$. चूँकि $343$ का अभाज्य गुणनखंडन $7^3$ है,जिसमें $2$ या $5$ का कोई गुणनखंड नहीं है।
$4$. अतः,इसका दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है। इसलिए,$\frac{29}{343}$ का दशमलव प्रसार शांत नहीं है।

(C) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n 5^m$ के रूप का हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}$ में,हर में $2$ और $5$ के अतिरिक्त $7^5$ का एक गुणनखंड भी मौजूद है।
चूंकि हर के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ के अलावा एक अन्य अभाज्य गुणनखंड $(7)$ शामिल है,इसलिए इस परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating and repeating) है।
अतः,इसका दशमलव प्रसार शांत नहीं है।

(N/A) दिया गया दशमलव प्रसार $0.120120012000120000 \ldots$ है।
$1$. यदि किसी संख्या का दशमलव प्रसार शांत या अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) होता है,तो वह संख्या परिमेय होती है।
$2$. यदि किसी संख्या का दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating non-recurring) होता है,तो वह संख्या अपरिमेय होती है।
$3$. दी गई संख्या $0.120120012000120000 \ldots$ में,अंकों का पैटर्न किसी निश्चित ब्लॉक में दोहराया नहीं जा रहा है और यह समाप्त भी नहीं हो रहा है।
$4$. चूंकि दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती है,इसलिए दी गई संख्या एक अपरिमेय संख्या है।
$5$. क्योंकि यह अपरिमेय है,इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।

(N/A) दी गई संख्या $43. \overline{123456789}$ है।
चूंकि दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) है,इसलिए दी गई संख्या एक परिमेय संख्या है।
एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत (terminating) तभी होता है जब उसके हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^m \times 5^n$ के रूप का हो,जहाँ $m$ और $n$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
चूंकि यह दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है,इसलिए हर $q$ के अभाज्य गुणनखंडों में $2$ या $5$ के अतिरिक्त अन्य अभाज्य गुणनखंड भी होंगे।

(N/A) मान लीजिए कि $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ एक परिमेय संख्या है।
माना $\sqrt{p}+\sqrt{q} = a$,जहाँ $a$ एक शून्येतर परिमेय संख्या है।
तब,$\sqrt{q} = a - \sqrt{p}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sqrt{q})^2 = (a - \sqrt{p})^2$
$q = a^2 + p - 2a\sqrt{p}$.
$\sqrt{p}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2a\sqrt{p} = a^2 + p - q$
$\sqrt{p} = \frac{a^2 + p - q}{2a}$.
चूंकि $a$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए व्यंजक $\frac{a^2 + p - q}{2a}$ भी एक परिमेय संख्या होगी।
हालाँकि,हम जानते हैं कि $\sqrt{p}$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $p$ एक अभाज्य संख्या है।
यह एक विरोधाभास उत्पन्न करता है क्योंकि एक अपरिमेय संख्या कभी भी परिमेय संख्या के बराबर नहीं हो सकती।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है और $\sqrt{p} + \sqrt{q}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम ऐसे सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ प्राप्त कर सकते हैं कि $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$,जहाँ $gcd(a, b) = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $3 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 3b^2$ .......... $(1)$.
चूँकि $3$,$a^2$ को विभाजित करता है,इसलिए $3$,$a$ को भी विभाजित करेगा (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार)।
मान लीजिए $a = 3k$,जहाँ $k$ कोई पूर्णांक है।
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर,$(3k)^2 = 3b^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $9k^2 = 3b^2$ या $b^2 = 3k^2$ मिलता है।
इसका अर्थ है कि $3$,$b^2$ को विभाजित करता है,और इसलिए $3$,$b$ को भी विभाजित करेगा।
इस प्रकार,$3$,$a$ और $b$ दोनों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है,जो हमारी प्रारंभिक धारणा $gcd(a, b) = 1$ का विरोधाभास करता है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt{3}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए,विरोधाभास के लिए,कि $\sqrt[3]{6}$ एक परिमेय संख्या है।
माना $\sqrt[3]{6} = \frac{a}{b}$,जहाँ $a, b \in N$ और $g.c.d.(a, b) = 1$ है।
चूंकि $1 < 6 < 8$,इसलिए $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{6} < \sqrt[3]{8}$,जिसका अर्थ है $1 < \frac{a}{b} < 2$।
इसका अर्थ है कि $b > 1$,क्योंकि यदि $b = 1$ होता,तो $\frac{a}{b}$ एक पूर्णांक होता,लेकिन $1$ और $2$ के बीच कोई पूर्णांक नहीं है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें $6 = \frac{a^3}{b^3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $6b^3 = a^3$।
चूंकि $g.c.d.(a, b) = 1$,इसलिए $g.c.d.(a^3, b^3) = 1$ होगा।
समीकरण $6b^3 = a^3$ से,$b^3$ को $a^3$ का विभाजक होना चाहिए। चूंकि $g.c.d.(a^3, b^3) = 1$ है,यह केवल तभी संभव है जब $b^3 = 1$ हो,अर्थात $b = 1$।
हालाँकि,हमने पहले ही स्थापित कर लिया है कि $b > 1$ है। यह एक विरोधाभास है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt[3]{6}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$\sqrt[3]{6}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) सबसे पहले,हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
मान लीजिए,विरोधाभास के लिए,कि $\frac{\sqrt{2}}{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{b}$ हो।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{2} = \frac{2a}{b}$।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{2a}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह हुआ कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
परंतु,यह इस ज्ञात तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $3+2 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसी सह-अभाज्य पूर्णांक संख्याएँ $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $3+2 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर,हमें $2 \sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3 = \frac{a-3b}{b}$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a-3b}{2b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
परंतु,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $3+2 \sqrt{5}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$3+2 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{7}$ एक परिमेय संख्या है।
तब,ऐसे सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{7} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $7 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 7b^2$।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$7$ से विभाज्य है,और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$a$ भी $7$ से विभाज्य होना चाहिए।
अतः,हम किसी पूर्णांक $k$ के लिए $a = 7k$ लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण $a^2 = 7b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(7k)^2 = 7b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल करने पर $49k^2 = 7b^2$ या $b^2 = 7k^2$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $b^2$,$7$ से विभाज्य है,और इसलिए $b$ भी $7$ से विभाज्य होना चाहिए।
चूंकि $a$ और $b$ दोनों $7$ से विभाज्य हैं,उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $7$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt{7}$ परिमेय है,गलत है,और $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{21}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,दो सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ऐसे विद्यमान हैं कि $\sqrt{21} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $21 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 21b^2$।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$21$ से विभाज्य है,इसलिए $a$ भी $21$ से विभाज्य होना चाहिए (क्योंकि $21$ दो भिन्न अभाज्य संख्याओं $3$ और $7$ का गुणनफल है)।
मान लीजिए $a = 21k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(21k)^2 = 21b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $441k^2 = 21b^2$ या $b^2 = 21k^2$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $b^2$,$21$ से विभाज्य है,इसलिए $b$ भी $21$ से विभाज्य होना चाहिए।
इस प्रकार,$a$ और $b$ का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $21$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है और $\sqrt{21}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) मान लीजिए कि $\sqrt{5}+1$ एक परिमेय संख्या है।
तब,हम इसे $\sqrt{5}+1 = \frac{p}{q}$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{p}{q} - 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\sqrt{5} = \frac{p-q}{q}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $p$ और $q$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{p-q}{q}$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस ज्ञात तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है,और $\sqrt{5}+1$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{3}+\sqrt{7}$ एक परिमेय संख्या है। माना $\sqrt{3}+\sqrt{7} = r$,जहाँ $r$ एक परिमेय संख्या है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = r^2$.
$3 + 7 + 2\sqrt{21} = r^2$.
$10 + 2\sqrt{21} = r^2$.
$2\sqrt{21} = r^2 - 10$.
$\sqrt{21} = \frac{r^2 - 10}{2}$.
चूँकि $r$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $r^2$ भी एक परिमेय संख्या है। अतः,$\frac{r^2 - 10}{2}$ एक परिमेय संख्या है।
यह दर्शाता है कि $\sqrt{21}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,हम जानते हैं कि $\sqrt{21}$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $21$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
यह हमारी इस धारणा का विरोधाभास है कि $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ परिमेय है।
अतः,हमारी धारणा गलत है,और $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$3\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $3\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{2} = \frac{a}{3b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{3b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः हमारी यह धारणा कि $3\sqrt{2}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$3\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) दशमलव प्रसार $0.02003000400005 \ldots$ अनवसानी-अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) है।
चूंकि एक संख्या परिमेय तभी होती है जब उसका दशमलव प्रसार या तो शांत हो या अनवसानी-आवर्ती हो,यह संख्या इस शर्त को पूरा नहीं करती है।
अतः,$0.02003000400005 \ldots$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) दशमलव रूप $5 . \overline{123456}$ अनवसानी आवर्ती (non-terminating and recurring) है। इसलिए,यह एक परिमेय संख्या है।
माना $x = 5 . \overline{123456}$ है।
$\therefore x = 5.123456123456 \ldots$ (समीकरण $1$)
चूंकि $6$ अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $10^6 = 1000000$ से गुणा करने पर:
$\therefore 1000000x = 5123456.123456123456 \ldots$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1000000x - x = 5123456.123456 \ldots - 5.123456 \ldots$
$999999x = 5123451$
$\therefore x = \frac{5123451}{999999}$

(A) दशमलव रूप $3.127$ एक सांत (terminating) दशमलव है।
चूंकि प्रत्येक सांत दशमलव को एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$3.127$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम दशमलव बिंदु को हटाते हैं और $1000$ से भाग देते हैं क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक हैं।
$3.127 = \frac{3127}{1000}$

(A) माना $x = 0.2\overline{35}$.
इसका अर्थ है $x = 0.2353535...$ (समीकरण $1$).
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करें: $10x = 2.353535...$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ को $1000$ से गुणा करें: $1000x = 235.353535...$ (समीकरण $3$).
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाएं:
$1000x - 10x = 235.353535... - 2.353535...$
$990x = 233$.
अतः,$x = \frac{233}{990}$.
चूंकि इस संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(A) माना $x = 18.484848 \ldots$ (समीकरण $1$).
चूंकि पुनरावृत्ति वाला भाग $48$ है,इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 1848.484848 \ldots$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$100x - x = 1848.484848 \ldots - 18.484848 \ldots$
$99x = 1830$.
$x = \frac{1830}{99}$.
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $x = \frac{610}{33}$ प्राप्त होता है।
चूंकि इस संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(A) माना $x = 0.\overline{001}$.
इसका अर्थ है $x = 0.001001001...$ (समीकरण $1$).
चूंकि $3$ अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $10^3 = 1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 1.001001001...$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1000x - x = 1.001001001... - 0.001001001...$
$999x = 1$.
अतः,$x = \frac{1}{999}$.
चूंकि इस संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(N/A) एक संख्या परिमेय होती है यदि उसका दशमलव प्रसार या तो शांत (terminating) हो या अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) हो।
दिए गए दशमलव प्रसार $0.05005000500005 \ldots$ में,अंकों का कोई निश्चित पैटर्न दोहराया नहीं जा रहा है और यह समाप्त भी नहीं हो रहा है।
चूंकि दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating non-repeating) है,इसलिए यह संख्या अपरिमेय है।
अतः,इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।

(D) माना $\sqrt{7+2 \sqrt{10}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $7 + 2 \sqrt{10} = x + y + 2 \sqrt{xy}$ प्राप्त होता है।
परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर,$x + y = 7$ और $2 \sqrt{xy} = 2 \sqrt{10}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $xy = 10$ है।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $7$ और गुणनफल $10$ हो।
$10$ के गुणनखंड $(5, 2)$ हैं ताकि $5 + 2 = 7$ और $5 \times 2 = 10$ हो।
अतः,$x = 5$ और $y = 2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\sqrt{7+2 \sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$।

(A) व्यंजक को सरल करने के लिए,हम प्रत्येक पद का परिमेयकरण (rationalization) करते हैं:
$1$. $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{1(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5} = \sqrt{6}+\sqrt{5}$
$2$. $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$
$3$. $\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$
अब,इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{6}+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}+\sqrt{2}) - (\sqrt{6}-\sqrt{2})$
$= \sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2}$
$= (\sqrt{6} - \sqrt{6}) + (\sqrt{5} - \sqrt{5}) + (\sqrt{2} - \sqrt{2})$
$= 0 + 0 + 0 = 0$

(B) चरण $1$: पहले पद $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ का परिमेयकरण करें।
अंश और हर को $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ से गुणा करने पर:
$\frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.
चरण $2$: दूसरे पद $\frac{4}{\sqrt{10+\sqrt{84}}}$ को सरल करें।
ध्यान दें कि $\sqrt{84} = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21}$.
अतः,$\sqrt{10 + 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{7} + \sqrt{3}$.
इस प्रकार,पद $\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ बन जाता है।
इसका परिमेयकरण करने पर: $\frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$.
चरण $3$: तीसरे पद $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ का परिमेयकरण करें।
अंश और हर को $(\sqrt{7} + \sqrt{5})$ से गुणा करने पर:
$\frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} + \sqrt{5}$.
चरण $4$: सभी पदों को संयोजित करें:
$(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{3}) - (\sqrt{7} + \sqrt{5})$
$= \sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{3} - \sqrt{7} - \sqrt{5} = 0$.

(N/A) व्यंजक को सरल बनाने के लिए,हम प्रत्येक पद के अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करते हैं।
माना व्यंजक $E = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}}} + \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ है।
प्रत्येक पद के अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$E = \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}})} + \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}})}$
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{4-2\sqrt{3}}} + \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2-\sqrt{4+2\sqrt{3}}}$
ध्यान दें कि $4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3}-1)^2$ और $4+2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1)^2$ है।
अतः,$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1$ और $\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3}+1$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{3}-1} + \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2-(\sqrt{3}+1)}$
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1} + \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{1-\sqrt{3}}$
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1} - \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1}$
समान हर लेने पर $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 3-1 = 2$:
$E = \frac{(2\sqrt{2}+\sqrt{6})(\sqrt{3}-1) - (2\sqrt{2}-\sqrt{6})(\sqrt{3}+1)}{2}$
$E = \frac{(2\sqrt{6}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}) - (2\sqrt{6}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}$
$E = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2}) - (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$
$E = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
अतः,व्यंजक का मान $\sqrt{2}$ सिद्ध होता है।

(N/A) मान लीजिए कि,इसके विपरीत,$7 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $7 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a}{7b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{7b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $7 \sqrt{5}$ परिमेय है।
इसलिए,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $7 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$6+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $6+\sqrt{2} = \frac{a}{b}$।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{2} = \frac{a}{b} - 6$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\sqrt{2} = \frac{a - 6b}{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a - 6b}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए,हमारी यह धारणा कि $6+\sqrt{2}$ परिमेय है,गलत है।
अतः,$6+\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$2+\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $2+\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{3} = \frac{a}{b} - 2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\sqrt{3} = \frac{a - 2b}{b}$ मिलता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a - 2b}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस स्थापित तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है,और $2+\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{11}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{11} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $11 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 11b^2$।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$11$ से विभाज्य है। चूँकि $11$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $a$ भी $11$ से विभाज्य होना चाहिए।
मान लीजिए किसी पूर्णांक $k$ के लिए $a = 11k$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $(11k)^2 = 11b^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $121k^2 = 11b^2$ या $b^2 = 11k^2$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $b^2$,$11$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$b$ भी $11$ से विभाज्य है।
चूँकि $a$ और $b$ दोनों $11$ से विभाज्य हैं,उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $11$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है,और $\sqrt{11}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$5+\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $5+\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{3} = \frac{a}{b} - 5$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\sqrt{3} = \frac{a - 5b}{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a - 5b}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए,हमारी यह धारणा कि $5+\sqrt{3}$ परिमेय है,गलत है।
अतः,$5+\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$3+2\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $3+2\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर,हमें $2\sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर को सरल करने पर,$2\sqrt{5} = \frac{a-3b}{b}$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a-3b}{2b}$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $3+2\sqrt{5}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$3+2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $3 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसी सह-अभाज्य पूर्णांक संख्याएँ $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $3 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a}{3b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{3b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी धारणा गलत है और $3 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{5}-\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
मान लीजिए $\sqrt{5}-\sqrt{3} = r$,जहाँ $r$ एक परिमेय संख्या है।
तब,$\sqrt{5} = r + \sqrt{3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(\sqrt{5})^2 = (r + \sqrt{3})^2$।
$5 = r^2 + 3 + 2r\sqrt{3}$।
$5 - 3 - r^2 = 2r\sqrt{3}$।
$2 - r^2 = 2r\sqrt{3}$।
$\sqrt{3} = \frac{2 - r^2}{2r}$।
चूँकि $r$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $\frac{2 - r^2}{2r}$ भी एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$\sqrt{5}-\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\frac{1}{\sqrt{3}}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं,$q \neq 0$,और $p, q$ सह-अभाज्य हैं।
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{p}{q}$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{3} = \frac{q}{p}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p$ और $q$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{q}{p}$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस स्थापित तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है।
इसलिए,$\frac{1}{\sqrt{3}}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{7}-\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
माना $\sqrt{7}-\sqrt{2} = r$,जहाँ $r$ एक शून्येतर परिमेय संख्या है।
तब,$\sqrt{7} = r + \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(\sqrt{7})^2 = (r + \sqrt{2})^2$.
$7 = r^2 + 2 + 2r\sqrt{2}$.
$7 - r^2 - 2 = 2r\sqrt{2}$.
$5 - r^2 = 2r\sqrt{2}$.
$\sqrt{2} = \frac{5 - r^2}{2r}$.
चूँकि $r$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $\frac{5 - r^2}{2r}$ भी एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी धारणा गलत है,और $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) माना वर्गमूल $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $a + b + 2\sqrt{ab} = 8 + \sqrt{63}$ प्राप्त होता है।
परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर,$a + b = 8$ और $2\sqrt{ab} = \sqrt{63}$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण का वर्ग करने पर,$4ab = 63$,अतः $ab = \frac{63}{4}$।
अब,$a$ और $b$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $t^2 - (a+b)t + ab = 0$ है,जो $t^2 - 8t + \frac{63}{4} = 0$ है।
$4$ से गुणा करने पर,$4t^2 - 32t + 63 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 1008}}{8} = \frac{32 \pm 4}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_1 = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$ और $t_2 = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$।
वर्गमूल $\sqrt{\frac{9}{2}} + \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{3 + \sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,$\frac{(3 + \sqrt{7})\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{14}}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) व्यंजक को सरल करने के लिए,हम प्रत्येक पद का परिमेयकरण (rationalization) करते हैं।
पहला पद: $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{2} = \sqrt{10}-\sqrt{6}$.
दूसरा पद: $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{15}-\sqrt{6})}{3} = \sqrt{15}-\sqrt{6}$.
तीसरा पद: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} = \sqrt{15}-\sqrt{10}$.
अब,इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{10}-\sqrt{6}) - (\sqrt{15}-\sqrt{6}) + (\sqrt{15}-\sqrt{10})$
$= \sqrt{10} - \sqrt{6} - \sqrt{15} + \sqrt{6} + \sqrt{15} - \sqrt{10}$
$= 0$.

(B) यदि किसी संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है,तो वह संख्या परिमेय संख्या कहलाती है।
कोई भी सांत दशमलव या अनवसानी आवर्ती दशमलव एक परिमेय संख्या होती है।
दी गई संख्या $2.031\overline{2}$ एक अनवसानी आवर्ती दशमलव है क्योंकि अंक $2$ की पुनरावृत्ति अनंत तक होती है।
अतः,$2.031\overline{2}$ एक परिमेय संख्या है।

(A) $a - \sqrt{b}$ के रूप वाले व्यंजक का परिमेयकारी गुणक ज्ञात करने के लिए,हम इसे इसके संयुग्मी (conjugate) $a + \sqrt{b}$ से गुणा करते हैं ताकि गुणनफल एक परिमेय संख्या प्राप्त हो।
दिया गया व्यंजक $-2 - \sqrt{5}$ है।
माना परिमेयकारी गुणक $x$ है।
हम जानते हैं कि $(-2 - \sqrt{5}) \times (-2 + \sqrt{5}) = (-2)^2 - (\sqrt{5})^2$.
$= 4 - 5 = -1$.
चूंकि $-1$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $-2 + \sqrt{5}$ परिमेयकारी गुणक है।