Revisiting Irrational Numbers Questions in Gujarati

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{3}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
એટલે કે,આપણે એવા પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ શોધી શકીએ કે જેથી $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ થાય.
ધારો કે $a$ અને $b$ માં $1$ સિવાયનો કોઈ સામાન્ય અવયવ છે. તો આપણે તે સામાન્ય અવયવ વડે ભાગાકાર કરીને એવું માની શકીએ કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
તેથી,$b\sqrt{3} = a$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $3b^2 = a^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,અને અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$a$ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,આપણે કોઈ પૂર્ણાંક $c$ માટે $a = 3c$ લખી શકીએ.
$3b^2 = a^2$ માં $a = 3c$ મૂકતા,આપણને $3b^2 = (3c)^2 = 9c^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $b^2 = 3c^2$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b^2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$a$ અને $b$ બંનેમાં ઓછામાં ઓછો $3$ સામાન્ય અવયવ છે.
પરંતુ આ હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
આ વિરોધાભાસ આપણી ખોટી ધારણાને કારણે ઉભો થયો છે કે $\sqrt{3}$ સંમેય છે. તેથી,આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે $\sqrt{3}$ અસંમેય છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$5-\sqrt{3}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
એટલે કે,આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $5-\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ થાય.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $5 - \frac{a}{b} = \sqrt{3}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\sqrt{3} = \frac{5b - a}{b}$ થાય છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{5b - a}{b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે. આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ સંમેય છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વાતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
આ વિરોધાભાસ આપણી ખોટી ધારણાને કારણે ઉદ્ભવ્યો છે કે $5-\sqrt{3}$ સંમેય છે.
તેથી,આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે $5-\sqrt{3}$ અસંમેય છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$3 \sqrt{2}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
એટલે કે,આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ શોધી શકીએ છીએ કે જેથી $3 \sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{2} = \frac{a}{3b}$ મળે છે.
અહીં $3$,$a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a}{3b}$ એ સંમેય સંખ્યા છે,જેનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{2}$ પણ સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{2}$ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે $3 \sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $\sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે બે પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય,જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે (એટલે કે,તેમનો સામાન્ય અવયવ માત્ર $1$ છે).
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $a^2 = 5b^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે,અને અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$a$ પણ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે $a = 5k$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આ કિંમતને $a^2 = 5b^2$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(5k)^2 = 5b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $25k^2 = 5b^2$ અથવા $b^2 = 5k^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b^2$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$a$ અને $b$ બંને $5$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $5$ છે,જે આપણી શરૂઆતની ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt{5}$ સંમેય છે તે ખોટી છે,અને આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે $\sqrt{5}$ અસંમેય છે.

(N/A) ધારો કે $3+2 \sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવી રીતે શોધી શકીએ કે જેથી $3+2 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા,આપણને $2 \sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$ મળે છે.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા,$2 \sqrt{5} = \frac{a-3b}{b}$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{a-3b}{2b}$ એક સંમેય સંખ્યા છે. આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ સંમેય છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
આ વિરોધાભાસ આપણી ખોટી ધારણાને કારણે ઉભો થયો છે કે $3+2 \sqrt{5}$ સંમેય છે.
તેથી,આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે $3+2 \sqrt{5}$ અસંમેય છે.

(B) ધારો કે $\frac{1}{\sqrt{2}}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે બે પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b}$ થાય.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{2} = \frac{b}{a}$ મળે છે.
જેમ કે $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો છે,તેથી $\frac{b}{a}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય છે કે $\sqrt{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
જો કે,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{2}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\frac{1}{\sqrt{2}}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $7 \sqrt{5}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવી રીતે શોધી શકીએ કે જેથી $7 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a}{7b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{a}{7b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
પરંતુ,આ હકીકત એ વાતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{5}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી શરૂઆતની ધારણા કે $7 \sqrt{5}$ એ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$7 \sqrt{5}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $6+\sqrt{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવી રીતે શોધી શકીએ કે જેથી $6+\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{2} = \frac{a}{b} - 6$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{a}{b} - 6 = \frac{a-6b}{b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{2}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ જાણીતી બાબતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
આ વિરોધાભાસ આપણી ખોટી ધારણાને કારણે ઉદ્ભવ્યો છે કે $6+\sqrt{2}$ સંમેય છે.
તેથી,આપણે કહી શકીએ કે $6+\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) ધારો કે $r$ એ શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા છે અને $i$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે તેમનો ગુણાકાર $p = r \times i$ સંમેય છે.
તો $p = \frac{a}{b}$ થાય,જ્યાં $a, b$ પૂર્ણાંક છે અને $b \neq 0$.
$r$ શૂન્યતર સંમેય હોવાથી,$r = \frac{p}{q}$ લખી શકાય,જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $p, q \neq 0$.
તેથી $i = \frac{p}{r} = \frac{p}{q} \times \frac{b}{a} = \frac{pb}{qa}$ થાય.
અહીં $p, b, q, a$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{pb}{qa}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
આ હકીકત $i$ અસંમેય છે તેની વિરુદ્ધ છે.
તેથી,શૂન્યતર સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાનો ગુણાકાર હંમેશા અસંમેય હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$\frac{3}{4} \times \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$,જે એક અસંમેય સંખ્યા છે.

ધારો કે $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ એ સંમેય સંખ્યા છે. ધારો કે $\sqrt{2}+\sqrt{3} = a$,જ્યાં $a$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{2} = a - \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\sqrt{2})^2 = (a - \sqrt{3})^2$
$2 = a^2 + 3 - 2a\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2a\sqrt{3} = a^2 + 3 - 2$
$2a\sqrt{3} = a^2 + 1$
$\sqrt{3} = \frac{a^2 + 1}{2a}$
અહીં $a$ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,$\frac{a^2 + 1}{2a}$ પણ સંમેય સંખ્યા થાય. આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ સંમેય છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{3}$ અસંમેય સંખ્યા છે. આ વિરોધાભાસ આપણી શરૂઆતની ધારણા કે $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ સંમેય છે,તેના કારણે ઉદ્ભવ્યો છે.
તેથી,આપણે કહી શકીએ કે $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $\sqrt{3}+\sqrt{5} = a$,જ્યાં $a$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{3} = a - \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$(\sqrt{3})^2 = (a - \sqrt{5})^2$
$3 = a^2 + 5 - 2a\sqrt{5}$ (નિત્યસમ $(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ નો ઉપયોગ કરતા).
$\sqrt{5}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2a\sqrt{5} = a^2 + 5 - 3$
$2a\sqrt{5} = a^2 + 2$
$\sqrt{5} = \frac{a^2 + 2}{2a}$.
અહીં $a$ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,$\frac{a^2 + 2}{2a}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા થાય.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે,જે હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(D) સંમેય સંખ્યા $\frac{29}{343}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે જાણવા માટે,આપણે છેદના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ.
$1$. છેદ $343 = 7^3$ છે.
$2$. સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ ત્યારે જ શાંત હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
$3$. અહીં $343$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $7^3$ છે,જેમાં $2$ કે $5$ નો કોઈ અવયવ નથી.
$4$. તેથી,આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે. આમ,$\frac{29}{343}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત નથી.

(C) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
આપેલ સંમેય સંખ્યા $\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}$ માં,છેદમાં $2$ અને $5$ ઉપરાંત $7^5$ નો અવયવ પણ છે.
છેદના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $2$ અને $5$ સિવાયનો અન્ય અવિભાજ્ય અવયવ $(7)$ હોવાથી,આ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે.
તેથી,તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત નથી.

(N/A) આપેલ દશાંશ નિરૂપણ $0.120120012000120000 \ldots$ છે.
$1$. જો કોઈ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત અથવા અનંત આવૃત હોય,તો તે સંખ્યા સંમેય છે.
$2$. જો કોઈ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અનાવૃત હોય,તો તે સંખ્યા અસંમેય છે.
$3$. આપેલ સંખ્યા $0.120120012000120000 \ldots$ માં,અંકોની પેટર્ન કોઈ નિશ્ચિત બ્લોકમાં પુનરાવર્તિત થતી નથી અને તે શાંત પણ થતી નથી.
$4$. દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત હોવાથી,આપેલી સંખ્યા અસંમેય સંખ્યા છે.
$5$. તે અસંમેય હોવાથી,તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય નહીં,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.

(N/A) આપેલ સંખ્યા $43. \overline{123456789}$ છે.
અહીં દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત (પુનરાવર્તિત) હોવાથી,આપેલી સંખ્યા એક સંમેય સંખ્યા છે.
કોઈ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત ત્યારે જ હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^m \times 5^n$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત હોવાથી,છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અથવા $5$ સિવાયના અન્ય અવિભાજ્ય અવયવો પણ હશે.

(N/A) ધારો કે $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $\sqrt{p}+\sqrt{q} = a$,જ્યાં $a$ એક શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{q} = a - \sqrt{p}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\sqrt{q})^2 = (a - \sqrt{p})^2$
$q = a^2 + p - 2a\sqrt{p}$.
$\sqrt{p}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2a\sqrt{p} = a^2 + p - q$
$\sqrt{p} = \frac{a^2 + p - q}{2a}$.
અહીં $a$ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,પદ $\frac{a^2 + p - q}{2a}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા જ થાય.
પરંતુ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{p}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $p$ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
આ એક વિરોધાભાસ છે કારણ કે અસંમેય સંખ્યા ક્યારેય સંમેય સંખ્યાને સમાન ન હોઈ શકે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\sqrt{p} + \sqrt{q}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,$\sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે એવી પરસ્પર અવિભાજ્ય ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ શોધી શકીએ કે જેથી $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$,જ્યાં $gcd(a, b) = 1$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $3 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 3b^2$ .......... $(1)$.
અહીં $3$ એ $a^2$ ને ભાગે છે,તેથી $3$ એ $a$ ને પણ ભાગશે (અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ).
ધારો કે $a = 3k$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,$(3k)^2 = 3b^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $9k^2 = 3b^2$ અથવા $b^2 = 3k^2$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $3$ એ $b^2$ ને ભાગે છે,અને તેથી $3$ એ $b$ ને પણ ભાગશે.
આમ,$3$ એ $a$ અને $b$ બંનેનો સામાન્ય અવયવ છે,જે આપણી ધારણા $gcd(a, b) = 1$ નો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt{3}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,વિરોધાભાસ માટે,$\sqrt[3]{6}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $\sqrt[3]{6} = \frac{a}{b}$,જ્યાં $a, b \in N$ અને $g.c.d.(a, b) = 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 < 6 < 8$,તેથી $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{6} < \sqrt[3]{8}$,જેનો અર્થ છે કે $1 < \frac{a}{b} < 2$.
આનો અર્થ એ છે કે $b > 1$,કારણ કે જો $b = 1$ હોય,તો $\frac{a}{b}$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા બને,પરંતુ $1$ અને $2$ ની વચ્ચે કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને $6 = \frac{a^3}{b^3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $6b^3 = a^3$.
કારણ કે $g.c.d.(a, b) = 1$,તેથી $g.c.d.(a^3, b^3) = 1$ થાય.
સમીકરણ $6b^3 = a^3$ પરથી,$b^3$ એ $a^3$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. પરંતુ $g.c.d.(a^3, b^3) = 1$ હોવાથી,આ માત્ર ત્યારે જ શક્ય છે જો $b^3 = 1$ હોય,એટલે કે $b = 1$.
પરંતુ,આપણે અગાઉ સાબિત કર્યું છે કે $b > 1$. આ એક વિરોધાભાસ છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt[3]{6}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$\sqrt[3]{6}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) પ્રથમ,છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
ધારો કે,વિરોધાભાસ માટે,$\frac{\sqrt{2}}{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{2} = \frac{2a}{b}$.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{2a}{b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આથી,$\sqrt{2}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા સાબિત થાય છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ જાણીતી બાબતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\frac{1}{\sqrt{2}}$ એ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$\frac{1}{\sqrt{2}}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $3+2 \sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવી પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ મળે કે જેથી $3+2 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા,આપણને $2 \sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3 = \frac{a-3b}{b}$ મળે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$ મળે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{a-3b}{2b}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $3+2 \sqrt{5}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$3+2 \sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{7}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{7} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $7 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 7b^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે,અને અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$a$ પણ $7$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $a = 7k$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને $a^2 = 7b^2$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(7k)^2 = 7b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $49k^2 = 7b^2$ અથવા $b^2 = 7k^2$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $b^2$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે,અને તેથી $b$ પણ $7$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ બંને $7$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $7$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt{7}$ સંમેય છે તે ખોટી છે,અને $\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{21}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,બે પરસ્પર અવિભાજ્ય ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવા મળે કે જેથી $\sqrt{21} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $21 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 21b^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $21$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $a$ પણ $21$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ (કારણ કે $21$ એ બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $3$ અને $7$ નો ગુણાકાર છે).
ધારો કે $a = 21k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(21k)^2 = 21b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $441k^2 = 21b^2$ અથવા $b^2 = 21k^2$ થાય છે.
આ સૂચવે છે કે $b^2$ એ $21$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $b$ પણ $21$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ નો સામાન્ય અવયવ $21$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\sqrt{21}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) ધારો કે $\sqrt{5}+1$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે તેને $\sqrt{5}+1 = \frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{p}{q} - 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sqrt{5} = \frac{p-q}{q}$ મળે છે.
જેમ કે $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે,તેથી $\frac{p-q}{q}$ એક સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
જોકે,આ જાણીતી હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી પ્રાથમિક ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{5}+1$ એક અસંમેય સંખ્યા જ હોવી જોઈએ.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{3}+\sqrt{7}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે. ધારો કે $\sqrt{3}+\sqrt{7} = r$,જ્યાં $r$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = r^2$.
$3 + 7 + 2\sqrt{21} = r^2$.
$10 + 2\sqrt{21} = r^2$.
$2\sqrt{21} = r^2 - 10$.
$\sqrt{21} = \frac{r^2 - 10}{2}$.
જેમ કે $r$ એ સંમેય સંખ્યા છે,તેથી $r^2$ પણ એક સંમેય સંખ્યા છે. તેથી,$\frac{r^2 - 10}{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આ સૂચવે છે કે $\sqrt{21}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
જોકે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{21}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $21$ એ પૂર્ણ વર્ગ નથી.
આ આપણી ધારણા કે $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ સંમેય છે તેનાથી વિરોધાભાસી છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા જ હોવી જોઈએ.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$3\sqrt{2}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $3\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{2} = \frac{a}{3b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a}{3b}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{2}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{2}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
આથી,આપણી ધારણા કે $3\sqrt{2}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
તેથી,$3\sqrt{2}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) દશાંશ વિસ્તરણ $0.02003000400005 \ldots$ એ અનંત અને અનાવૃત (non-terminating and non-recurring) છે.
કોઈ સંખ્યા સંમેય ત્યારે જ કહેવાય જો તેનું દશાંશ વિસ્તરણ શાંત અથવા અનંત આવૃત હોય.
આ સંખ્યા આ શરતનું પાલન કરતી નથી.
તેથી,$0.02003000400005 \ldots$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) દશાંશ સ્વરૂપ $5 . \overline{123456}$ એ અનંત અને આવૃત છે. તેથી,તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $x = 5 . \overline{123456}$.
$\therefore x = 5.123456123456 \ldots$ (સમીકરણ $1$)
અહીં $6$ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $10^6 = 1000000$ વડે ગુણતા:
$\therefore 1000000x = 5123456.123456123456 \ldots$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1000000x - x = 5123456.123456 \ldots - 5.123456 \ldots$
$999999x = 5123451$
$\therefore x = \frac{5123451}{999999}$

(A) દશાંશ સ્વરૂપ $3.127$ એ શાંત દશાંશ છે.
દરેક શાંત દશાંશ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$3.127$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરીએ છીએ અને $1000$ વડે ભાગીએ છીએ કારણ કે દશાંશ ચિહ્ન પછી ત્રણ અંકો છે.
$3.127 = \frac{3127}{1000}$

(A) ધારો કે $x = 0.2\overline{35}$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = 0.2353535...$ (સમીકરણ $1$).
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણો: $10x = 2.353535...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને $1000$ વડે ગુણો: $1000x = 235.353535...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરો:
$1000x - 10x = 235.353535... - 2.353535...$
$990x = 233$.
તેથી,$x = \frac{233}{990}$.
આ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(A) ધારો કે $x = 18.484848 \ldots$ (સમીકરણ $1$).
અહીં પુનરાવર્તિત ભાગ $48$ છે,તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 1848.484848 \ldots$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$100x - x = 1848.484848 \ldots - 18.484848 \ldots$
$99x = 1830$.
$x = \frac{1830}{99}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{610}{33}$ મળે છે.
આ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(A) ધારો કે $x = 0.\overline{001}$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = 0.001001001...$ (સમીકરણ $1$).
અહીં $3$ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુને $10^3 = 1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 1.001001001...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 1.001001001... - 0.001001001...$
$999x = 1$.
તેથી,$x = \frac{1}{999}$.
આ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) જો કોઈ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત અથવા અનંત આવૃત હોય,તો તે સંખ્યા સંમેય છે.
આપેલ દશાંશ નિરૂપણ $0.05005000500005 \ldots$ માં,અંકોનું પુનરાવર્તન થતું નથી અને તે શાંત પણ થતું નથી.
આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત અનાવૃત હોવાથી,આ સંખ્યા અસંમેય છે.
તેથી,તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય નહીં,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.

(D) ધારો કે $\sqrt{7+2 \sqrt{10}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $7 + 2 \sqrt{10} = x + y + 2 \sqrt{xy}$ મળે છે.
સંમેય અને અસંમેય ભાગોની સરખામણી કરતા,$x + y = 7$ અને $2 \sqrt{xy} = 2 \sqrt{10}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $xy = 10$.
આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો સરવાળો $7$ અને ગુણાકાર $10$ હોય.
$10$ ના અવયવો $(5, 2)$ છે જેથી $5 + 2 = 7$ અને $5 \times 2 = 10$ થાય.
આમ,$x = 5$ અને $y = 2$ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{7+2 \sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$.

(A) આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે દરેક પદનું સંમેયીકરણ કરીશું:
$1$. $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{1(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5} = \sqrt{6}+\sqrt{5}$
$2$. $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$
$3$. $\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$
હવે,આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\sqrt{6}+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}+\sqrt{2}) - (\sqrt{6}-\sqrt{2})$
$= \sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2}$
$= (\sqrt{6} - \sqrt{6}) + (\sqrt{5} - \sqrt{5}) + (\sqrt{2} - \sqrt{2})$
$= 0 + 0 + 0 = 0$

(B) પગલું $1$: પ્રથમ પદ $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ નું સંમેયીકરણ કરો.
અંશ અને છેદને $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ વડે ગુણતા:
$\frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.
પગલું $2$: બીજા પદ $\frac{4}{\sqrt{10+\sqrt{84}}}$ નું સાદું રૂપ આપો.
નોંધો કે $\sqrt{84} = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21}$.
તેથી,$\sqrt{10 + 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{7} + \sqrt{3}$.
આમ,પદ $\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ બને છે.
તેનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$.
પગલું $3$: ત્રીજા પદ $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ નું સંમેયીકરણ કરો.
અંશ અને છેદને $(\sqrt{7} + \sqrt{5})$ વડે ગુણતા:
$\frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} + \sqrt{5}$.
પગલું $4$: બધા પદોને ભેગા કરતા:
$(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{3}) - (\sqrt{7} + \sqrt{5})$
$= \sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{3} - \sqrt{7} - \sqrt{5} = 0$.

(N/A) પદાવલિને સરળ બનાવવા માટે,આપણે દરેક પદના અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણીએ છીએ.
ધારો કે પદાવલિ $E = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}}} + \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ છે.
દરેક પદના અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$E = \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}})} + \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}})}$
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{4-2\sqrt{3}}} + \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2-\sqrt{4+2\sqrt{3}}}$
અહીં $4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3}-1)^2$ અને $4+2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1)^2$ છે.
તેથી,$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1$ અને $\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3}+1$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{3}-1} + \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2-(\sqrt{3}+1)}$
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1} + \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{1-\sqrt{3}}$
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1} - \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1}$
છેદ સમાન કરતા $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 3-1 = 2$:
$E = \frac{(2\sqrt{2}+\sqrt{6})(\sqrt{3}-1) - (2\sqrt{2}-\sqrt{6})(\sqrt{3}+1)}{2}$
$E = \frac{(2\sqrt{6}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}) - (2\sqrt{6}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}$
$E = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2}) - (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$
$E = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
આમ,પદાવલિની કિંમત $\sqrt{2}$ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$7 \sqrt{5}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $7 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a}{7b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a}{7b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
આ વિરોધાભાસ આપણી ખોટી ધારણાને કારણે ઉદ્ભવ્યો છે કે $7 \sqrt{5}$ સંમેય છે.
તેથી,આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે $7 \sqrt{5}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$6+\sqrt{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $6+\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{2} = \frac{a}{b} - 6$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sqrt{2} = \frac{a - 6b}{b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a - 6b}{b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{2}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{2}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $6+\sqrt{2}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$6+\sqrt{2}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$2+\sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $2+\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{3} = \frac{a}{b} - 2$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sqrt{3} = \frac{a - 2b}{b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a - 2b}{b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ સ્થાપિત તથ્યનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{3}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી શરૂઆતની ધારણા ખોટી છે,અને $2+\sqrt{3}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા જ હોવી જોઈએ.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{11}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{11} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $11 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 11b^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે. $11$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,$a$ પણ $11$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $a = 11k$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(11k)^2 = 11b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $121k^2 = 11b^2$ અથવા $b^2 = 11k^2$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $b^2$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $11$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$a$ અને $b$ બંને $11$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $11$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{11}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$5+\sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $5+\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{3} = \frac{a}{b} - 5$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sqrt{3} = \frac{a - 5b}{b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a - 5b}{b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $5+\sqrt{3}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$5+\sqrt{3}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$3+2\sqrt{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $3+2\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા,આપણને $2\sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$ મળે છે.
જમણી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા,$2\sqrt{5} = \frac{a-3b}{b}$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a-3b}{2b}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $3+2\sqrt{5}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$3+2\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $3 \sqrt{5}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવી પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ મળે કે જેથી $3 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a}{3b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{a}{3b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $3 \sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા જ છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{5}-\sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $\sqrt{5}-\sqrt{3} = r$,જ્યાં $r$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{5} = r + \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $(\sqrt{5})^2 = (r + \sqrt{3})^2$.
$5 = r^2 + 3 + 2r\sqrt{3}$.
$5 - 3 - r^2 = 2r\sqrt{3}$.
$2 - r^2 = 2r\sqrt{3}$.
$\sqrt{3} = \frac{2 - r^2}{2r}$.
કારણ કે $r$ એ સંમેય સંખ્યા છે,તેથી $\frac{2 - r^2}{2r}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
જોકે,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{3}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$\sqrt{5}-\sqrt{3}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\frac{1}{\sqrt{3}}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે,$q \neq 0$,અને $p, q$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{p}{q}$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{3} = \frac{q}{p}$ મળે છે.
જેમ કે $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે,તેથી $\frac{q}{p}$ એક સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
જો કે,આ હકીકત $\sqrt{3}$ અસંમેય છે તે સ્થાપિત તથ્યનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી શરૂઆતની ધારણા ખોટી છે.
આમ,$\frac{1}{\sqrt{3}}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{7}-\sqrt{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $\sqrt{7}-\sqrt{2} = r$,જ્યાં $r$ એ શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{7} = r + \sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $(\sqrt{7})^2 = (r + \sqrt{2})^2$.
$7 = r^2 + 2 + 2r\sqrt{2}$.
$7 - r^2 - 2 = 2r\sqrt{2}$.
$5 - r^2 = 2r\sqrt{2}$.
$\sqrt{2} = \frac{5 - r^2}{2r}$.
કારણ કે $r$ એ સંમેય સંખ્યા છે,તેથી $\frac{5 - r^2}{2r}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ થાય છે કે $\sqrt{2}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
જોકે,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) ધારો કે વર્ગમૂળ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $a + b + 2\sqrt{ab} = 8 + \sqrt{63}$ મળે છે.
સંમેય અને અસંમેય ભાગોની સરખામણી કરતા,$a + b = 8$ અને $2\sqrt{ab} = \sqrt{63}$ મળે છે.
બીજા સમીકરણનો વર્ગ કરતા,$4ab = 63$,તેથી $ab = \frac{63}{4}$.
હવે,$a$ અને $b$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (a+b)t + ab = 0$ છે,એટલે કે $t^2 - 8t + \frac{63}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા,$4t^2 - 32t + 63 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 1008}}{8} = \frac{32 \pm 4}{8}$ મળે છે.
આમ,$t_1 = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$ અને $t_2 = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$.
તેથી વર્ગમૂળ $\sqrt{\frac{9}{2}} + \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{3 + \sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ થાય.
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,$\frac{(3 + \sqrt{7})\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{14}}{2}$ મળે છે.

(B) આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે દરેક પદનું સંમેયીકરણ કરીશું.
પ્રથમ પદ: $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{2} = \sqrt{10}-\sqrt{6}$.
બીજું પદ: $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{15}-\sqrt{6})}{3} = \sqrt{15}-\sqrt{6}$.
ત્રીજું પદ: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} = \sqrt{15}-\sqrt{10}$.
હવે,આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\sqrt{10}-\sqrt{6}) - (\sqrt{15}-\sqrt{6}) + (\sqrt{15}-\sqrt{10})$
$= \sqrt{10} - \sqrt{6} - \sqrt{15} + \sqrt{6} + \sqrt{15} - \sqrt{10}$
$= 0$.

(B) જો કોઈ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક હોય અને $q \neq 0$ હોય,તો તે સંખ્યાને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
કોઈપણ શાંત દશાંશ અથવા અનંત આવૃત દશાંશ સંખ્યા એ સંમેય સંખ્યા હોય છે.
આપેલ સંખ્યા $2.031\overline{2}$ એ અનંત આવૃત દશાંશ છે કારણ કે અંક $2$ નું અનંત સુધી પુનરાવર્તન થાય છે.
તેથી,$2.031\overline{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.

(A) $a - \sqrt{b}$ સ્વરૂપની પદાવલિનો સંમેયીકરણ અવયવ શોધવા માટે,આપણે તેને તેના અનુબદ્ધ (conjugate) $a + \sqrt{b}$ વડે ગુણીએ છીએ જેથી ગુણાકાર એક સંમેય સંખ્યા મળે.
આપેલ પદાવલિ $-2 - \sqrt{5}$ છે.
ધારો કે સંમેયીકરણ અવયવ $x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(-2 - \sqrt{5}) \times (-2 + \sqrt{5}) = (-2)^2 - (\sqrt{5})^2$.
$= 4 - 5 = -1$.
અહીં $-1$ એ એક સંમેય સંખ્યા હોવાથી,$-2 + \sqrt{5}$ એ સંમેયીકરણ અવયવ છે.