Revisiting Irrational Numbers Questions in Gujarati

(B) આપેલ સંખ્યા $0.123123123...$ ને $0.\overline{123}$ તરીકે લખી શકાય છે.
દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને આવૃત હોવાથી,તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$.
ધારો કે $x = 0.123123...$ (સમીકરણ $1$).
બંને બાજુ $1000$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $1000x = 123.123123...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 123.123123... - 0.123123...$
$999x = 123$
$x = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$.
આ સંખ્યાને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતી હોવાથી,તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(D) સંમેયીકરણ અવયવ એટલે એવી સંખ્યા કે જેને આપેલ અસંમેય સંખ્યા સાથે ગુણવાથી પરિણામ સંમેય સંખ્યા મળે.
$5 \sqrt{2}$ પદ માટે,અસંમેય ભાગ $\sqrt{2}$ છે.
$\sqrt{2}$ ને સંમેય બનાવવા માટે,આપણે તેને $\sqrt{2}$ વડે ગુણીએ છીએ કારણ કે $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$5 \sqrt{2}$ નો સંમેયીકરણ અવયવ $\sqrt{2}$ છે.

(A) કરણી (surd) એટલે એવી અસંમેય સંખ્યા જે કોઈ સંમેય સંખ્યાનું મૂળ હોય,જેમ કે $\sqrt[n]{x}$,જ્યાં $x$ સંમેય સંખ્યા છે અને પરિણામ અસંમેય મળે છે.
$\pi$ એ ટ્રાન્સસેન્ડન્ટલ (transcendental) સંખ્યા છે. તે અસંમેય છે,પરંતુ તેને કોઈ પણ સંમેય સંખ્યાના $n$-ઘાત મૂળ તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી. તેથી,$\pi$ એ એવી અસંમેય સંખ્યા છે જે કરણી નથી.
$\sqrt{16} = 4$,જે સંમેય સંખ્યા છે.
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,જે કરણી છે.
$3\sqrt{27} = 3 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$,જે કરણી છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે. તેનું દશાંશ નિરૂપણ $1.7320508\ldots$ છે.
આ કિંમતને $2$ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણે ત્રીજો દશાંશ અંક જોઈએ છીએ,જે $2$ છે. કારણ કે $2 < 5$ છે,તેથી આપણે બીજા દશાંશ અંકને તે જ રાખીશું.
તેથી,$\sqrt{3}$ ની $2$ દશાંશ સ્થળ સુધીની આશરે કિંમત $1.73$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{3}$ ની કિંમત આશરે $1.732$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{1.732}$.
ભાગાકાર કરતા,આપણને $\frac{1}{1.732} \approx 0.5773$ મળે છે.
આ કિંમતને $2$ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.58$ મળે છે.

(D) $\sqrt{2}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે,જેની આશરે કિંમત $1.41421356...$ છે.
આ કિંમતને $2$ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણે ત્રીજા દશાંશ અંકને જોઈએ છીએ,જે $4$ છે. કારણ કે $4 < 5$ છે,તેથી આપણે બીજા દશાંશ અંકને તે જ રાખીશું.
તેથી,$\sqrt{2}$ ની $2$ દશાંશ સ્થળ સુધીની આશરે કિંમત $1.41$ થાય છે.

(C) ધારો કે બે અનુબદ્ધ દ્વિપદી કરણીઓ $(a + \sqrt{b})$ અને $(a - \sqrt{b})$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$ થાય છે.
અહીં $a$ અને $b$ સંમેય સંખ્યાઓ હોવાથી,$a^2 - b$ પણ એક સંમેય સંખ્યા જ મળે છે.
તેથી,બે અનુબદ્ધ દ્વિપદી કરણીઓનો ગુણાકાર હંમેશા એક સંમેય સંખ્યા હોય છે.

(C) દ્વિપદી કરણીના બે પદો વચ્ચેની નિશાની બદલીને અનુબદ્ધ કરણી મેળવવામાં આવે છે.
$a+\sqrt{b}$ સ્વરૂપની દ્વિપદી કરણી માટે,તેની અનુબદ્ધ કરણી $a-\sqrt{b}$ થાય છે.
આપેલ પદ $3+\sqrt{2}$ છે,તેથી આપણે કરણીવાળા ભાગની નિશાની બદલીશું.
આમ,$3+\sqrt{2}$ ની અનુબદ્ધ કરણી $3-\sqrt{2}$ છે.

(D) $\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$ પદાવલિને સરળ બનાવવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો સરવાળો $5$ થાય અને ગુણાકાર $6$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $3$ અને $2$ છે.
આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$\sqrt{5+2 \sqrt{6}} = \sqrt{(3+2)+2 \sqrt{3 \times 2}}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sqrt{3+2+2 \sqrt{3} \sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2+2 \sqrt{3} \sqrt{2}}$
$= \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}$
$= \sqrt{3}+\sqrt{2}$

(A) $\frac{1}{3+\sqrt{8}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(3-\sqrt{8})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{1}{3+\sqrt{8}} = \frac{1}{3+\sqrt{8}} \times \frac{3-\sqrt{8}}{3-\sqrt{8}}$
છેદમાં નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{3-\sqrt{8}}{(3)^2 - (\sqrt{8})^2}$
$= \frac{3-\sqrt{8}}{9-8}$
$= \frac{3-\sqrt{8}}{1}$
$= 3-\sqrt{8}$

(C) $\sqrt{12-\sqrt{140}}$ પદને સરળ બનાવવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $\sqrt{140}$ ને $2\sqrt{35}$ તરીકે લખીએ છીએ.
આમ,પદ $\sqrt{12-2\sqrt{35}}$ બને છે.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો સરવાળો $12$ અને ગુણાકાર $35$ થાય. આ સંખ્યાઓ $7$ અને $5$ છે.
આપણે $12$ ને $(7+5)$ અને $35$ ને $(7 \times 5)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$\sqrt{12-2\sqrt{35}} = \sqrt{(7+5)-2\sqrt{7 \times 5}}$.
નિત્યસમ $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}$ મળે છે.
તેથી,અંતિમ જવાબ $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ છે.

(C) અસંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$. તેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત હોય છે.
$1$. $\sqrt{4} = 2$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$2$. $0.010101...$ એ આવૃત દશાંશ છે,જેને $1/99$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
$3$. $\pi$ (પાઈ) એ જાણીતી અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત છે.
$4$. $5$ ને $5/1$ તરીકે લખી શકાય છે,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સંખ્યા $\pi$ ને વર્તુળના પરિઘ અને તેના વ્યાસના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
તે અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યા છે, જેનો અર્થ છે કે તેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
તેથી, $\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે।

(D) સંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે અને $q \neq 0$ છે.
$1$. $\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $7$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા નથી.
$2$. $3\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $\pi$ અસંમેય છે.
$3$. $0.101000...$ એ અનંત અનાવૃત દશાંશ છે,તેથી તે અસંમેય સંખ્યા છે.
$4$. $0.25$ ને $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ તરીકે લખી શકાય છે,જે $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં છે.
તેથી,$0.25$ એ સંમેય સંખ્યા છે.

(A) આપેલી સંખ્યા $0.01111...$ છે,જેને $0.0\bar{1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને આવૃત હોવાથી,તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
ધારો કે $x = 0.0111...$ (સમીકરણ $1$).
$10$ વડે ગુણતા: $10x = 0.1111...$ (સમીકરણ $2$).
$100$ વડે ગુણતા: $100x = 1.1111...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $100x - 10x = 1.1111... - 0.1111...$.
$90x = 1$.
$x = \frac{1}{90}$.
આ સંખ્યાને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતી હોવાથી,તે સંમેય સંખ્યા છે.

(B) જે સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ હોય, તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે।
$\pi$ એ વર્તુળનો પરિઘ અને તેના વ્યાસનો ગુણોત્તર છે।
તેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત છે।
તેથી, $\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે।

(B) જો કોઈ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોય અને $q \neq 0$ હોય, તો તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
$\sqrt{2}$ ને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી, તેથી તે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
આમ, $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $\sqrt{1+1}$ છે.
વર્ગમૂળની અંદરનો સરવાળો કરતા: $1+1 = 2$.
તેથી,પદાવલિ $\sqrt{2}$ બને છે.
$2$ એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા ન હોવાથી,$\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સંખ્યા $0.01111...$ છે,જેને $0.0\overline{1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને આવૃત હોવાથી,તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
ધારો કે $x = 0.0111...$ (સમીકરણ $1$).
$10$ વડે ગુણતા: $10x = 0.1111...$ (સમીકરણ $2$).
$100$ વડે ગુણતા: $100x = 1.1111...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $100x - 10x = 1.1111... - 0.1111...$.
$90x = 1$.
$x = \frac{1}{90}$.
આ સંખ્યાને $\frac{1}{90}$ અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવી શકાતી હોવાથી,તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(B) સંખ્યા $\pi$ ને વર્તુળના પરિઘ અને તેના વ્યાસના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
તે અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સ્વરૂપ ધરાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$ છે।
તેથી,$\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે।

(B) જે સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે અને $q \neq 0$ હોય,તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
કારણ કે $\sqrt{2}$ ને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી,તેથી તે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
આમ,$\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) આપેલ પદ $\sqrt{1+1}$ છે.
સૌ પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરનો સરવાળો કરો: $1+1 = 2$.
તેથી,પદ $\sqrt{2}$ બને છે.
કારણ કે $2$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા નથી,તેથી $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $0.9999...$ દશાંશ અભિવ્યક્તિને $0.\bar{9}$ તરીકે લખી શકાય છે.
દશાંશ ચિહ્ન પછી અંક $9$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી તે અનંત અને આવૃત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
વધુમાં,$0.9999... = 1$ થાય છે,જે એક સંમેય સંખ્યા છે,અને તમામ સંમેય સંખ્યાઓની દશાંશ અભિવ્યક્તિ કાં તો શાંત અથવા અનંત અને આવૃત હોય છે.

(D) સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ (જ્યાં $q$ એ $2^n \cdot 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય) ના દશાંશ નિરૂપણમાં દશાંશ સ્થળની સંખ્યા $\max(n, m)$ દ્વારા મળે છે.
જોકે,$\frac{p}{q}$ અપૂર્ણાંક માટે જ્યાં $q$ એ $2^n \cdot 5^m$ સ્વરૂપમાં ન હોય,ત્યારે દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત હોય છે.
$\frac{3}{113}$ માટે,છેદ $113$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને તે $2^n \cdot 5^m$ સ્વરૂપમાં નથી.
તેથી,તેનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે.
જો પ્રશ્નનો અર્થ આવૃત દશાંશના આવર્તનની લંબાઈ હોય,તો અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ માટે,આવર્તનની લંબાઈ $p-1$ ને ભાગે છે.
$p = 113$ માટે,આવર્તનની લંબાઈ $112$ છે.

(B) દશાંશ અભિવ્યક્તિ $0.9999...$ ને $0.\bar{9}$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં અંક $9$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી તે અનંત અને આવૃત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
વધુમાં,ગાણિતિક રીતે $0.9999... = 1$ થાય છે,જે એક સંમેય સંખ્યા છે,અને તમામ સંમેય સંખ્યાઓની દશાંશ અભિવ્યક્તિ કાં તો શાંત અથવા અનંત અને આવૃત હોય છે.

(D) સંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે.
$1$. $\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $7$ એ પૂર્ણ વર્ગ નથી.
$2$. $3\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $\pi$ અસંમેય છે.
$3$. $0.101000...$ એ અનંત અનાવૃત દશાંશ છે,તેથી તે અસંમેય સંખ્યા છે.
$4$. $0$ ને $\frac{0}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે,જે સંમેય સંખ્યાની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,$0$ એ સાચી સંમેય સંખ્યા છે.

(B) સંખ્યા $\pi$ ને વર્તુળના પરિઘ અને તેના વ્યાસના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
તે અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યા છે,જેનો અર્થ છે કે તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$.
તેથી,$\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે।

(A) ધારો કે $x = 1. \overline{23} = 1.232323...$
$100$ વડે ગુણતા,આપણને $100x = 123.232323...$ મળે છે.
$100x$ માંથી $x$ બાદ કરતા,$99x = 122$ મળે,તેથી $x = \frac{122}{99}$.
હવે,$3.2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$.
સરવાળો $\frac{122}{99} + \frac{16}{5} = \frac{122 \times 5 + 16 \times 99}{99 \times 5} = \frac{610 + 1584}{495} = \frac{2194}{495}$ થાય.
આ સરવાળાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$
આ પદાવલિ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,આપણે તેને $(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$.
$-1$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
આમ,આ પદાવલિ અસંમેય સંખ્યા નથી.

(B) સંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યા એવી સંખ્યા તરીકે કરવામાં આવે છે જેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે.
$\sqrt{2}$ એ અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યા છે $(1.41421356...)$.
તેને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતી ન હોવાથી,તે અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{2}$ એ સંમેય સંખ્યા નથી.

(B) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$7\sqrt{5}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $7\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a}{7b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a}{7b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $7\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા જ હોવી જોઈએ.

(B) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{2}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 2b^2$.
આ દર્શાવે છે કે $a^2$ બેકી સંખ્યા છે,તેથી $a$ પણ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
ધારો કે $a = 2k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(2k)^2 = 2b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4k^2 = 2b^2$ અથવા $b^2 = 2k^2$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે $b^2$ બેકી સંખ્યા છે,તેથી $b$ પણ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ બંને બેકી સંખ્યા હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $2$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\sqrt{2}$ અસંમેય છે.

(B) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$3 + 2\sqrt{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવા મળે કે જેથી $3 + 2\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતાં,આપણને $2\sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$ મળે છે.
$2\sqrt{5} = \frac{a - 3b}{b}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a - 3b}{2b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a - 3b}{2b}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ અસંમેય છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $3 + 2\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{2}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 2b^2$.
આ દર્શાવે છે કે $a^2$ બેકી સંખ્યા છે,અને તેથી $a$ પણ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
ધારો કે $a = 2k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(2k)^2 = 2b^2$ મળે છે,તેથી $4k^2 = 2b^2$,જેનું સાદું રૂપ $b^2 = 2k^2$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે $b^2$ બેકી સંખ્યા છે,અને તેથી $b$ પણ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ બંને બેકી હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $2$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{2}$ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{2}$ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 2b^2$.
આ દર્શાવે છે કે $a^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$a$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે (અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ).
તેથી,આપણે કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $a = 2k$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને $a^2 = 2b^2$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(2k)^2 = 2b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4k^2 = 2b^2$ અથવા $b^2 = 2k^2$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે $b^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$a$ અને $b$ બંનેમાં ઓછામાં ઓછો $2$ સામાન્ય અવયવ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt{2}$ સંમેય છે તે ખોટી છે,અને $\sqrt{2}$ અસંમેય જ હોવી જોઈએ.

(A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{2}$ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવા મળે કે જેથી $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 2b^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$a$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે (અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ).
તેથી,આપણે $a = 2k$ લખી શકીએ,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આ કિંમતને $a^2 = 2b^2$ માં મૂકતા,આપણને $(2k)^2 = 2b^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $4k^2 = 2b^2$ અથવા $b^2 = 2k^2$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$a$ અને $b$ બંનેનો સામાન્ય અવયવ ઓછામાં ઓછો $2$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{2}$ અસંમેય છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$3\sqrt{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $3\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
આને $\sqrt{2} = \frac{a}{3b}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a}{3b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{2}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{2}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $3\sqrt{2}$ એ સંમેય સંખ્યા છે તે ખોટી છે.
આમ,$3\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$5 - \sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવા મળે કે જેથી $5 - \sqrt{3} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $5 - \frac{a}{b} = \sqrt{3}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{5b - a}{b} = \sqrt{3}$ થાય છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{5b - a}{b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $5 - \sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા જ હોવી જોઈએ.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 2b^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ $a$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $a = 2k$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આ કિંમત $a^2 = 2b^2$ માં મૂકતા,આપણને $(2k)^2 = 2b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $4k^2 = 2b^2$ અથવા $b^2 = 2k^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $b$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ બંને $2$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $2$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.