Mix Examples - Real Numbers Questions in Gujarati

(A) દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે છેદને $2^n \cdot 5^m$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ.
આપેલી સંખ્યા $\frac{33}{2^2 \cdot 5^1}$ છે.
$2$ અને $5$ ના ઘાતાંક સમાન કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $5^{(2-1)} = 5^1$ વડે ગુણીએ છીએ.
$\frac{33 \cdot 5}{2^2 \cdot 5^1 \cdot 5^1} = \frac{165}{2^2 \cdot 5^2} = \frac{165}{(2 \cdot 5)^2} = \frac{165}{10^2} = \frac{165}{100} = 1.65$.
આમ,દશાંશ નિરૂપણ $2$ દશાંશ સ્થળ પછી શાંત થાય છે.

(B) ના.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $a$ અને ભાજક $b=3$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી:
$a = 3q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 3$.
અહીં $r$ એ $0 \leq r < 3$ શરતનું પાલન કરતો પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી શેષ $r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1$ અને $2$ છે.
તેથી,શેષ માત્ર $0$ અને $1$ જ હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(B) ના,દરેક ધન પૂર્ણાંક $4q + 2$ સ્વરૂપનો હોઈ શકે નહીં.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $b$ અને ધન પૂર્ણાંક $a = 4$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $b = 4q + r$,જ્યાં $0 \le r < 4$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે શેષ $r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2,$ અને $3$ છે.
તેથી,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $b$ ને નીચેનામાંથી કોઈ એક સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે: $4q, 4q + 1, 4q + 2,$ અથવા $4q + 3$.
આમ,ધન પૂર્ણાંક $4q, 4q + 1,$ અથવા $4q + 3$ સ્વરૂપમાં પણ હોઈ શકે છે,તેથી તે માત્ર $4q + 2$ સ્વરૂપ પૂરતું મર્યાદિત નથી.

(B) ના,બે સંખ્યાઓનો $HCF$ $18$ અને $LCM$ $380$ હોઈ શકે નહીં.
આનું કારણ એ છે કે કોઈપણ બે સંખ્યાઓનો $HCF$ હંમેશા તેમના $LCM$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
અહીં,આપણે તપાસીએ છીએ કે શું $380$ એ $18$ વડે વિભાજ્ય છે:
$380 / 18 = 21.11...$
જેથી $18$ એ $380$ નો અવયવ નથી,તેથી આવી સંખ્યાઓનું અસ્તિત્વ હોઈ શકે નહીં.

(N/A) ધારો કે $a$ એક અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $b=4$ માટે,$a = 4k + r$ મળે,જ્યાં $0 \leq r < 4$.
$a$ અયુગ્મ હોવાથી,$r$ ની કિંમત માત્ર $1$ અથવા $3$ હોઈ શકે.
કિસ્સો $1$: જો $r = 1$ હોય,તો $a = 4k + 1$.
$a^2 = (4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1 = 4(4k^2 + 2k) + 1$.
ધારો કે $q = 4k^2 + 2k$,જે એક પૂર્ણાંક છે. આમ,$a^2 = 4q + 1$.
કિસ્સો $2$: જો $r = 3$ હોય,તો $a = 4k + 3$.
$a^2 = (4k + 3)^2 = 16k^2 + 24k + 9 = 16k^2 + 24k + 8 + 1 = 4(4k^2 + 6k + 2) + 1$.
ધારો કે $q = 4k^2 + 6k + 2$,જે એક પૂર્ણાંક છે. આમ,$a^2 = 4q + 1$.
બંને કિસ્સાઓમાં,અયુગ્મ પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈ પૂર્ણાંક $q$ માટે $4q + 1$ સ્વરૂપમાં મળે છે.

(B) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{m} \cdot 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
આપેલ સંમેય સંખ્યા $\frac{129}{2^{2} \cdot 5^{7} \cdot 7^{5}}$ માં,છેદ $q = 2^{2} \cdot 5^{7} \cdot 7^{5}$ છે.
અહીં છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ સિવાયનો અન્ય અવયવ $(7^{5})$ હોવાથી,આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.

(A) આપેલી સંખ્યા $43.123456789$ છે.
આ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોવાથી,તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
કોઈ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય,તો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $m$ અને $n$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
તેથી,$q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો માત્ર $2$ અથવા $5$ અથવા બંને હશે.

ધારો કે $a$ એક એકી ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $a$ ને $a = 4q + r$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $r \in \{0, 1, 2, 3\}$ છે.
$a$ એકી હોવાથી,$r$ ની કિંમત $1$ અથવા $3$ હોવી જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $a = 4q + 1$ હોય,તો $a^2 = (4q + 1)^2 = 16q^2 + 8q + 1 = 8(2q^2 + q) + 1$. ધારો કે $m = 2q^2 + q$,તો $a^2 = 8m + 1$.
કિસ્સો $2$: જો $a = 4q + 3$ હોય,તો $a^2 = (4q + 3)^2 = 16q^2 + 24q + 9 = 16q^2 + 24q + 8 + 1 = 8(2q^2 + 3q + 1) + 1$. ધારો કે $m = 2q^2 + 3q + 1$,તો $a^2 = 8m + 1$.
બંને કિસ્સાઓમાં,એકી ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ $8m + 1$ સ્વરૂપમાં મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1}{\sqrt{12-\sqrt{140}}}-\frac{1}{\sqrt{8-\sqrt{60}}}-\frac{2}{\sqrt{10+\sqrt{84}}}$
પગલું $1$: વર્ગમૂળની અંદરના પદોને $a+b-2\sqrt{ab}$ સ્વરૂપમાં લખીને સાદું રૂપ આપો.
$= \frac{1}{\sqrt{12-2\sqrt{35}}} - \frac{1}{\sqrt{8-2\sqrt{15}}} - \frac{2}{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}$
પગલું $2$: વર્ગમૂળની અંદરના પદોને દ્વિપદીના વર્ગ તરીકે દર્શાવો.
$= \frac{1}{\sqrt{7+5-2\sqrt{7 \times 5}}} - \frac{1}{\sqrt{5+3-2\sqrt{5 \times 3}}} - \frac{2}{\sqrt{7+3+2\sqrt{7 \times 3}}}$
$= \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}} - \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}} - \frac{2}{\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}}$
$= \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$
પગલું $3$: છેદનું સંમેયીકરણ કરો.
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{7-5} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} - \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3}$
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} - \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}$
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$
પગલું $4$: અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો-બાદબાકી કરો.
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}-\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2} = \frac{0}{2} = 0$

(A) આપણે $\sqrt{3 - \frac{1}{3} \sqrt{56}}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,પદાવલિને ફરીથી લખતા: $\sqrt{3 - \frac{\sqrt{56}}{3}} = \sqrt{\frac{9 - \sqrt{56}}{3}} = \sqrt{\frac{9 - 2\sqrt{14}}{3}}$.
$\sqrt{9 - 2\sqrt{14}}$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ શોધીએ જેનો સરવાળો $a+b=9$ અને ગુણાકાર $ab=14$ થાય. આ સંખ્યાઓ $7$ અને $2$ છે.
તેથી,$\sqrt{9 - 2\sqrt{14}} = \sqrt{7} - \sqrt{2}$.
આમ,પદાવલિ $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{7}{3}} - \sqrt{\frac{2}{3}}$ બને છે.

(C) $30-2 \sqrt{56}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે તેને $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેમના વર્ગોનો સરવાળો $30$ થાય અને તેમનો ગુણાકાર $\sqrt{56}$ થાય.
$30-2 \sqrt{56} = 30-2 \sqrt{28 \times 2} = 30-2 \sqrt{7 \times 8}$.
આપણે $30$ ને $(28+2)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે પદાવલિ $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = x+y-2 \sqrt{xy}$ છે.
અહીં,$x+y = 30$ અને $xy = 56$ છે.
$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x=28$ અને $y=2$ મળે છે.
આમ,$30-2 \sqrt{56} = 28+2-2 \sqrt{28 \times 2} = (\sqrt{28}-\sqrt{2})^2$.
કારણ કે $\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2 \sqrt{7}$,તેથી પદાવલિ $(2 \sqrt{7}-\sqrt{2})^2$ બને છે.
તેથી,વર્ગમૂળ $2 \sqrt{7}-\sqrt{2}$ છે.

(D) $12-\sqrt{140}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે તેને $\sqrt{a-b}$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ.
પ્રથમ,$\sqrt{140}$ ને $\sqrt{4 \times 35} = 2\sqrt{35}$ તરીકે સાદું રૂપ આપો.
તેથી,પદાવલિ $12 - 2\sqrt{35}$ બને છે.
આપણે તેને $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માંગીએ છીએ.
$x + y = 12$ અને $2\sqrt{xy} = 2\sqrt{35}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $xy = 35$ મળે છે.
$35$ ના એવા અવયવો જેનો સરવાળો $12$ થાય તે $7$ અને $5$ છે.
આમ,$12 - 2\sqrt{35} = 7 + 5 - 2\sqrt{7 \times 5} = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{5} = (\sqrt{7} - \sqrt{5})^2$.
તેથી,વર્ગમૂળ $\sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{5})^2} = \sqrt{7} - \sqrt{5}$ થાય.

(A) $3-\sqrt{5}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે તેને $\sqrt{3-\sqrt{5}}$ તરીકે લખીએ છીએ.
વર્ગમૂળની અંદર $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\sqrt{\frac{2(3-\sqrt{5})}{2}} = \sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$.
હવે,અંશ $6-2\sqrt{5}$ ને પૂર્ણવર્ગ તરીકે દર્શાવો:
$6-2\sqrt{5} = 5 + 1 - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + (1)^2 - 2(\sqrt{5})(1) = (\sqrt{5}-1)^2$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) $\frac{7}{4} + \sqrt{3}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે તેને $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ.
આપણે પદને $\frac{7}{4} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે વર્ગમૂળ $(a + b)$ છે. તો $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = \frac{7}{4} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.
પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $2ab = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે,તેથી $ab = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
વળી,$a^2 + b^2 = \frac{7}{4}$.
ધારો કે $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $b = 1$. તો $a^2 + b^2 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$.
આમ,$\frac{7}{4} + \sqrt{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1)^2$.
તેથી,વર્ગમૂળ $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ છે.

(D) પદાવલિ $\frac{\sqrt{4-\sqrt{7}}}{\sqrt{8+3 \sqrt{7}-2 \sqrt{2}}}$ ને સાદું રૂપ આપવા માટે,ચાલો અંશ અને છેદનું સાદું રૂપ આપીએ.
અંશ: $\sqrt{4-\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{7-2\sqrt{7}+1}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{7}-1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}}$.
છેદ: $\sqrt{8+3\sqrt{7}-2\sqrt{2}}$. આ પદાવલિ જટિલ જણાય છે. જો આપણે છેદને $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$ તરીકે લઈએ,તો $\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = \sqrt{7}+1$ થાય.
તેથી,$\frac{\sqrt{4-\sqrt{7}}}{\sqrt{8+2\sqrt{7}}} = \frac{(\sqrt{7}-1)/\sqrt{2}}{\sqrt{7}+1} = \frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}(\sqrt{7}+1)}$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,આ પદાવલિનું સાદું રૂપ $1$ મળે છે.

(B) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંકને તેના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં ફેરવ્યા પછી છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
પ્રથમ,$\frac{55}{150}$ ને તેના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $5$ વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{55 \div 5}{150 \div 5} = \frac{11}{30}$.
હવે,છેદ $30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ:
$30 = 2 \times 3 \times 5$.
જો છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં માત્ર $2$ અને $5$ ના ઘાત હોય,તો જ દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં છેદ $30$ માં $3$ નો અવયવ હોવાથી (જે $2$ કે $5$ નથી),દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.
$11 \div 30$ નો ભાગાકાર કરતા આપણને $0.3666...$ અથવા $0.3\overline{6}$ મળે છે.

(C) $6+\sqrt{35}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,પદાવલિને પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે તેને $2$ વડે ગુણી અને ભાગતા:
$\sqrt{6+\sqrt{35}} = \sqrt{\frac{2(6+\sqrt{35})}{2}} = \sqrt{\frac{12+2\sqrt{35}}{2}}$
હવે,આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો સરવાળો $12$ અને ગુણાકાર $35$ થાય. આ સંખ્યાઓ $7$ અને $5$ છે.
તેથી,$12+2\sqrt{35} = 7+5+2\sqrt{7 \times 5} = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} = (\sqrt{7}+\sqrt{5})^2$.
આમ,$\sqrt{\frac{12+2\sqrt{35}}{2}} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5}) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}$.

(D) $56-24 \sqrt{5}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે ધારીએ છીએ કે તે $(a-b\sqrt{c})^2 = a^2 + b^2c - 2ab\sqrt{c}$ સ્વરૂપમાં છે.
$56-24\sqrt{5}$ ની સરખામણી $a^2+b^2c - 2ab\sqrt{c}$ સાથે કરતા,આપણને $2ab\sqrt{c} = 24\sqrt{5}$ મળે છે.
ધારો કે $a=6$ અને $b\sqrt{c} = 2\sqrt{5}$ છે.
તો $a^2 + b^2c = 6^2 + (2\sqrt{5})^2 = 36 + 20 = 56$ થાય છે.
આ આપેલ પદાવલિ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,$\sqrt{56-24\sqrt{5}} = 6-2\sqrt{5}$ થાય.

(A) $55-14 \sqrt{6}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે ધારીએ કે તે $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે પદાવલિને $55 - 2 \times 7 \times \sqrt{6}$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $a = 7$ અને $b = \sqrt{6}$ છે.
તો $a^2 + b^2 = 7^2 + (\sqrt{6})^2 = 49 + 6 = 55$ થાય.
આ આપેલ પદાવલિ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$55 - 14 \sqrt{6} = 7^2 + (\sqrt{6})^2 - 2(7)(\sqrt{6}) = (7-\sqrt{6})^2$.
આમ,વર્ગમૂળ $\sqrt{(7-\sqrt{6})^2} = 7-\sqrt{6}$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{3+\sqrt{6}}{17 \sqrt{3}-2 \sqrt{32}+3 \sqrt{18}-4 \sqrt{48}}$
છેદના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$2 \sqrt{32} = 2 \sqrt{16 \times 2} = 2 \times 4 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$
$3 \sqrt{18} = 3 \sqrt{9 \times 2} = 3 \times 3 \sqrt{2} = 9 \sqrt{2}$
$4 \sqrt{48} = 4 \sqrt{16 \times 3} = 4 \times 4 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3}$
આ કિંમતો છેદમાં મૂકતા:
$17 \sqrt{3} - 8 \sqrt{2} + 9 \sqrt{2} - 16 \sqrt{3}$
સમાન પદોને સાથે લેતા:
$(17 \sqrt{3} - 16 \sqrt{3}) + (9 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
હવે પદાવલિ આ મુજબ થશે: $\frac{3+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
અંશના અવયવ પાડતા: $3 + \sqrt{6} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} + \sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$
કિંમત મૂકતા: $\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3}$

(C) સૌ પ્રથમ,$289$ નું વર્ગમૂળ શોધો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $17 \times 17 = 289$,તેથી $\sqrt{289} = 17$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકો: $\sqrt{289} + 1 = 17 + 1 = 18$.
$18$ એ પૂર્ણ સંખ્યા હોવાથી,તે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણમાં આવે છે.
તેથી,$\sqrt{289} + 1$ એ એક પૂર્ણાંક છે.

(A) $\sqrt{7+2 \sqrt{5}}$ પદને સરળ બનાવવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ શોધીએ કે જેથી $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 7 + 2\sqrt{5}$ થાય.
પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $a^2 + b^2 = 7$ અને $2ab = 2\sqrt{5}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $ab = \sqrt{5}$.
જો આપણે $a = \sqrt{5}$ અને $b = 1$ લઈએ,તો $a^2 + b^2 = (\sqrt{5})^2 + (1)^2 = 5 + 1 = 6$ થાય.
અહીં $6 \neq 7$ હોવાથી,આ પદને $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ સ્વરૂપમાં સરળ બનાવી શકાતું નથી જ્યાં $a$ અને $b$ સંમેય સંખ્યાઓ હોય.
આમ,$\sqrt{7+2 \sqrt{5}}$ એ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ સ્વરૂપની દ્વિપદી કરણી તરીકે અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(C) $\sqrt{8+4 \sqrt{3}}$ પદને સરળ બનાવવા માટે,આપણે તેને $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ.
સૌ પ્રથમ,પદને $\sqrt{8 + 2 \cdot 2 \sqrt{3}} = \sqrt{8 + 2 \sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{8 + 2 \sqrt{12}}$ તરીકે ફરીથી લખો.
આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો સરવાળો $8$ અને ગુણાકાર $12$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $6$ અને $2$ છે,કારણ કે $6+2=8$ અને $6 \times 2=12$.
તેથી,$\sqrt{8 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$.

(B) કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n \geq 1$ માટે,પદાવલિ $10^{n}$ ને $10 \times 10 \times 10 \times \dots \times 10$ ($n$ વખત) તરીકે લખી શકાય છે.
આમ,$10^{1} = 10$,$10^{2} = 100$,$10^{3} = 1000$ વગેરે,તે સ્પષ્ટ છે કે $10$ ની દરેક ઘાતનો છેલ્લો અંક $0$ હોય છે.
તેથી,$10^{n}$ નો છેલ્લો અંક $0$ છે.

(C) $2^{9} \cdot 5^{135}$ પદાવલિનો છેલ્લો અંક શોધવા માટે,આપણે $2$ અને $5$ ના અવયવોને જૂથબદ્ધ કરીને પદાવલિને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2 \cdot 5 = 10$.
આપણે $2^{9} \cdot 5^{135}$ ને $2^{9} \cdot 5^{9} \cdot 5^{126}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
આનું સાદું રૂપ $(2 \cdot 5)^{9} \cdot 5^{126} = 10^{9} \cdot 5^{126}$ થાય છે.
$10^{9}$ એ $9$ શૂન્યમાં અંત પામતી સંખ્યા છે,અને $5^{126}$ એ $5$ માં અંત પામતી સંખ્યા છે (કારણ કે $5$ ની કોઈપણ ઘાત $5$ માં જ અંત પામે છે),તેથી $10^{9} \cdot 5^{126}$ નો ગુણાકાર $9$ શૂન્યમાં અંત પામશે.
તેથી,પદાવલિનો છેલ્લો અંક $0$ છે.

(D) $3k$ $(k \in Z)$ સ્વરૂપ એ $3$ ના ગુણકો દર્શાવે છે,જેમ કે $\ldots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, \ldots$.
આ $3$ ના ગુણકોમાં $1$ ઉમેરતા અથવા $1$ બાદ કરતા આપણને $3k + 1$ અથવા $3k - 1$ સ્વરૂપની સંખ્યાઓ મળે છે.
કારણ કે $3k$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $3k \pm 1$ સ્વરૂપની કોઈપણ સંખ્યાને $3$ વડે ભાગતા શેષ $1$ અથવા $2$ વધે છે.
આથી,આ સંખ્યાઓ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.

(D) પદાવલિ $P(n) = n(n+1)(n+2)$ છે.
કારણ કે $n$ એ ધન બેકી પૂર્ણાંક છે,તેથી તેની સૌથી નાની કિંમત $n=2$ છે.
$n=2$ માટે,$P(2) = 2 \times 3 \times 4 = 24$.
$n=4$ માટે,$P(4) = 4 \times 5 \times 6 = 120$.
$n=6$ માટે,$P(6) = 6 \times 7 \times 8 = 336$.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $24$,$120$ અને $336$ એ તમામ $24$ વડે વિભાજ્ય છે.
સામાન્ય રીતે,ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $n(n+1)(n+2)$ હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. $n$ બેકી હોવાથી,અવયવોમાંથી એક $4$ નો ગુણક હશે અને બીજો બેકી સંખ્યા હશે,જે $8$ વડે વિભાજ્યતા સુનિશ્ચિત કરે છે. આમ,આ ગુણાકાર $6 \times 4 = 24$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) અપૂર્ણાંક $\frac{12}{35}$ માટે,આપણે પ્રથમ છેદ $q = 35$ ને તપાસીએ.
છેદનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $q = 5 \times 7$ છે.
કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત ત્યારે જ હોય જો છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં છેદ $35$ માં અવિભાજ્ય અવયવ $7$ છે (જે $2$ કે $5$ નથી),તેથી $\frac{12}{35}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંક $\frac{42}{35}$ ને તેના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગ.સા.અ.),જે $7$ છે,તેના વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપો.
$\frac{42 \div 7}{35 \div 7} = \frac{6}{5}$.
હવે,છેદને $10$ ની ઘાતમાં ફેરવીને અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરો:
$\frac{6}{5} = \frac{6 \times 2}{5 \times 2} = \frac{12}{10} = 1.2$.
અહીં દશાંશ અભિવ્યક્તિ $1.2$ એ નિશ્ચિત અંકો પછી અટકી જાય છે,તેથી તે સાંત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.

(D) દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે છેદને $10$ ની ઘાતમાં ફેરવીને અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ.
$\frac{47}{500} = \frac{47 \times 2}{500 \times 2} = \frac{94}{1000} = 0.094$.
દશાંશ નિરૂપણ $0.094$ માં,દશાંશ ચિહ્ન પછી $3$ અંકો છે.

(C) $\frac{337}{125}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને $8$ વડે ગુણીને છેદને $10$ ની ઘાતમાં ફેરવી શકીએ છીએ.
$\frac{337}{125} = \frac{337 \times 8}{125 \times 8}$
$= \frac{2696}{1000}$
$= 2.696$

(B) $(\sqrt{3}+2)^{2}$ ઉકેલવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \sqrt{3}$ અને $b = 2$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(\sqrt{3}+2)^{2} = (\sqrt{3})^{2} + 2(\sqrt{3})(2) + (2)^{2}$
$= 3 + 4\sqrt{3} + 4$
$= 7 + 4\sqrt{3}$.

(C) ગણિતશાસ્ત્રી $Al-Khwarizmi$ (અલ-ખ્વારિઝમી) એ મધ્ય પૂર્વમાં અને ત્યારબાદ પશ્ચિમી વિશ્વમાં ભારતીય અંક પદ્ધતિ અને ગાણિતિક ખ્યાલોને રજૂ કરવામાં અને લોકપ્રિય બનાવવામાં મહત્વની ભૂમિકા ભજવી હતી. તેમના કાર્યો,ખાસ કરીને બીજગણિત અને દશાંશ પદ્ધતિને લગતા કાર્યો,ભારતીય ગાણિતિક ગ્રંથોથી ખૂબ પ્રભાવિત હતા.

(A) આપેલ પદાવલિ $3 + \sqrt{16}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{16} = 4$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $3 + 4 = 7$ મળે.
$7$ ને $p/q$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે,જ્યાં $p=7$ અને $q=1$ (બંને પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$),તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(D) $27$ ને $4$ વડે ભાગતાં મળતી શેષ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ:
$27 \div 4 = 6$ અને શેષ વધે છે.
$4 \times 6 = 24$.
શેષ $= 27 - 24 = 3$.
તેથી,શેષ $3$ મળે છે.

(B) અહીં આપણને પદાવલિ $(5k+1)^2$ આપેલ છે.
નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$(5k+1)^2 = (5k)^2 + 2(5k)(1) + (1)^2$
$= 25k^2 + 10k + 1$
$= 5(5k^2 + 2k) + 1$
અહીં,આ પદાવલિ $5q + 1$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $q = 5k^2 + 2k$ એ એક પૂર્ણાંક છે.
તેથી,જ્યારે $(5k+1)^2$ ને $5$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $1$ વધે છે.

(C) $4$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $9999$ છે.
$95$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $4$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $9999$ ને $95$ વડે ભાગીશું.
$9999 \div 95 = 105$ અને શેષ વધે છે.
$9999 = 95 \times 105 + 14$.
અહીં શેષ $14$ છે.
$95$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $4$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌથી મોટી $4$ અંકની સંખ્યામાંથી શેષ બાદ કરીશું:
$9999 - 14 = 9985$.
આમ,$9985$ એ $95$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $4$ અંકની સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.

(B) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધનપૂર્ણાંક છે. કોઈપણ પૂર્ણાંક $a$ ને $6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4,$ અથવા $6k+5$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $k ge 0$ છે.
દરેક કિસ્સા માટે આપણે $a^2 \pmod{6}$ ની ગણતરી કરીએ:
$1$. જો $a = 6k$,તો $a^2 = 36k^2 = 6(6k^2)$,તેથી $a^2 \equiv 0 \pmod{6}$.
$2$. જો $a = 6k+1$,તો $a^2 = 36k^2 + 12k + 1 = 6(6k^2 + 2k) + 1$,તેથી $a^2 \equiv 1 \pmod{6}$.
$3$. જો $a = 6k+2$,તો $a^2 = 36k^2 + 24k + 4 = 6(6k^2 + 4k) + 4$,તેથી $a^2 \equiv 4 \pmod{6}$.
$4$. જો $a = 6k+3$,તો $a^2 = 36k^2 + 36k + 9 = 36k^2 + 36k + 6 + 3 = 6(6k^2 + 6k + 1) + 3$,તેથી $a^2 \equiv 3 \pmod{6}$.
$5$. જો $a = 6k+4$,તો $a^2 = 36k^2 + 48k + 16 = 36k^2 + 48k + 12 + 4 = 6(6k^2 + 8k + 2) + 4$,તેથી $a^2 \equiv 4 \pmod{6}$.
$6$. જો $a = 6k+5$,તો $a^2 = 36k^2 + 60k + 25 = 36k^2 + 60k + 24 + 1 = 6(6k^2 + 10k + 4) + 1$,તેથી $a^2 \equiv 1 \pmod{6}$.
આમ,શક્ય શેષ $0, 1, 3, 4$ છે. શેષ $2$ અને $5$ શક્ય નથી. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$2$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે $d = HCF(a - b, a + b)$.
તેથી $d$ એ તેમના સરવાળા અને તફાવત બંનેને ભાગે છે.
$d$ એ $(a + b) + (a - b) = 2a$ ને ભાગે છે.
$d$ એ $(a + b) - (a - b) = 2b$ ને ભાગે છે.
જેহেতু $d$ એ $2a$ અને $2b$ ને ભાગે છે,તેથી $d$ એ $HCF(2a, 2b) = 2 \times HCF(a, b)$ ને પણ ભાગશે.
આપેલ છે કે $HCF(a, b) = 1$,તેથી $d$ એ $2 \times 1 = 2$ ને ભાગે છે.
આમ,$d$ ની કિંમત $1$ અથવા $2$ હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $a = 3, b = 2$ હોય,તો $HCF(3, 2) = 1$,તેથી $HCF(3-2, 3+2) = HCF(1, 5) = 1$.
જો $a = 3, b = 1$ હોય,તો $HCF(3, 1) = 1$,તેથી $HCF(3-1, 3+1) = HCF(2, 4) = 2$.
તેથી,જવાબ $1$ અથવા $2$ છે.

(C) ધારો કે ચાર ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n, (n+1), (n+2),$ અને $(n+3)$ છે.
આ પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$ છે.
આ પદાવલિ $24 \times \binom{n+3}{4}$ ને સમાન છે.
કારણ કે $\binom{n+3}{4}$ હંમેશા એક પૂર્ણાંક હોય છે,તેથી ગુણાકાર $P$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $n=1$ હોય,તો ગુણાકાર $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ થાય,જે $24$ વડે વિભાજ્ય છે.
જો $n=2$ હોય,તો ગુણાકાર $2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$ થાય,જે $24 \times 5$ છે,જે પણ $24$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) અહીં આપણને પદાવલિ $2^m \cdot 5^n$ આપેલ છે જ્યાં $m, n \in \mathbb{N}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2 \cdot 5 = 10$ થાય છે.
જો $m \ge n$ હોય,તો $2^m \cdot 5^n = 2^{m-n} \cdot (2^n \cdot 5^n) = 2^{m-n} \cdot 10^n$.
જો $n > m$ હોય,તો $2^m \cdot 5^n = 5^{n-m} \cdot (2^m \cdot 5^m) = 5^{n-m} \cdot 10^m$.
બંને કિસ્સામાં,પદાવલિમાં $10$ નો ગુણક હોવાથી,તે સંખ્યાનો અંતિમ અંક હંમેશા $0$ જ આવશે.
તેથી,$2^m \cdot 5^n$ નો અંતિમ અંક $0$ છે.

(C) અપૂર્ણાંક $\frac{337}{125}$ ને સાન્ત દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને $8$ વડે ગુણી શકીએ છીએ જેથી છેદ $10$ ની ઘાત બની જાય.
$\frac{337 \times 8}{125 \times 8} = \frac{2696}{1000}$.
$1000$ વડે ભાગાકાર કરવાથી દશાંશ ચિહ્ન ત્રણ સ્થાન ડાબી બાજુ ખસે છે.
$\frac{2696}{1000} = 2.696$.

(C) ધારો કે ચાર ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n, (n+1), (n+2),$ અને $(n+3)$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $k!$ (k ફેક્ટોરિયલ) વડે વિભાજ્ય હોય છે.
અહીં,$k = 4$ છે,તેથી ગુણાકાર $4!$ વડે વિભાજ્ય હશે.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
તેથી,કોઈપણ ચાર ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $24$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.

(A) $4$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $9999$ છે.
$95$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $4$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $9999$ ને $95$ વડે ભાગીશું.
$9999 \div 95 = 105.2526...$
અહીં પૂર્ણાંક ભાગ $105$ છે.
હવે,સૌથી મોટો ગુણક શોધવા માટે $105$ નો $95$ સાથે ગુણાકાર કરો:
$105 \times 95 = 9975$.
આમ,$95$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવો $4$ અંકનો મોટામાં મોટો પૂર્ણાંક $9975$ છે.

(B) ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાક $n$ છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાકને $3q$,$3q + 1$,અથવા $3q + 2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $q \ge 0$ કોઈ પૂર્ણાક છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 3q$ હોય,તો $n^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$,જ્યાં $m = 3q^2$.
કિસ્સો $2$: જો $n = 3q + 1$ હોય,તો $n^2 = (3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3q^2 + 2q$.
કિસ્સો $3$: જો $n = 3q + 2$ હોય,તો $n^2 = (3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3q^2 + 4q + 1$.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાકનો વર્ગ હંમેશા $3m$ અથવા $3m + 1$ સ્વરૂપમાં જ હોય છે. તે ક્યારેય $3m + 2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં. તેથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(B) આ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
દરેક ધન બેકી પૂર્ણાંક $2n$ સ્વરૂપનો હોય છે,જ્યાં $n$ એક પૂર્ણાંક છે.
જોકે એ સાચું છે કે કેટલાક બેકી પૂર્ણાંકોને $4q + 2$ (જ્યાં $q$ એક પૂર્ણાંક છે) સ્વરૂપે લખી શકાય છે,પરંતુ બધા જ બેકી પૂર્ણાંકો આ સ્વરૂપનું પાલન કરતા નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,પૂર્ણાંક $2$ ને $4(0) + 2$ તરીકે લખી શકાય છે,પરંતુ પૂર્ણાંક $4$ ને કોઈપણ પૂર્ણાંક $q$ માટે $4q + 2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતો નથી,કારણ કે $4q + 2 = 4 \implies 4q = 2 \implies q = 0.5$,જે પૂર્ણાંક નથી.

(B) ધારો કે બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n$ અને $n+1$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $P = n(n+1) = n^2 + n$ થાય.
બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાંથી એક સંખ્યા હંમેશા બેકી (even) હોય છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $n(n+1)$ હંમેશા બેકી સંખ્યા જ મળે.
કોઈપણ બેકી સંખ્યા હંમેશા $2$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $2$ વડે વિભાજ્ય છે.