Revisiting Irrational Numbers Questions in Hindi

(B) दी गई संख्या $0.123123123...$ को $0.\overline{123}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) है,इसलिए इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
माना $x = 0.123123...$ (समीकरण $1$)।
दोनों पक्षों को $1000$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $1000x = 123.123123...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1000x - x = 123.123123... - 0.123123...$
$999x = 123$
$x = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$।
चूंकि इस संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(D) परिमेयकारी गुणक वह संख्या है जिसे किसी दी गई अपरिमेय संख्या से गुणा करने पर परिणाम एक परिमेय संख्या प्राप्त होती है।
$5 \sqrt{2}$ व्यंजक के लिए,अपरिमेय भाग $\sqrt{2}$ है।
$\sqrt{2}$ को परिमेय बनाने के लिए,हम इसे $\sqrt{2}$ से गुणा करते हैं क्योंकि $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$,जो एक परिमेय संख्या है।
अतः,$5 \sqrt{2}$ का परिमेयकारी गुणक $\sqrt{2}$ है।

(A) करणी (surd) को एक परिमेय संख्या के अपरिमेय मूल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जैसे $\sqrt[n]{x}$,जहाँ $x$ एक परिमेय संख्या है और परिणाम अपरिमेय होता है।
$\pi$ एक ट्रांसेंडेंटल (transcendental) संख्या है। यह अपरिमेय है,लेकिन इसे किसी भी परिमेय संख्या के $n$-वें मूल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए,$\pi$ एक ऐसी अपरिमेय संख्या है जो करणी नहीं है।
$\sqrt{16} = 4$,जो एक परिमेय संख्या है।
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,जो एक करणी है।
$3\sqrt{27} = 3 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$,जो एक करणी है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। इसका दशमलव प्रसार $1.7320508\ldots$ है।
इस मान को $2$ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित (round off) करने के लिए,हम तीसरे दशमलव अंक को देखते हैं,जो $2$ है। चूँकि $2 < 5$ है,इसलिए हम दूसरे दशमलव अंक को वैसा ही रहने देंगे।
अतः,$\sqrt{3}$ का $2$ दशमलव स्थानों तक अनुमानित मान $1.73$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\sqrt{3}$ का मान लगभग $1.732$ होता है।
इसलिए,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{1.732}$.
भाग देने पर,हमें $\frac{1}{1.732} \approx 0.5773$ प्राप्त होता है।
इस मान को $2$ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.58$ प्राप्त होता है।

(D) $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है,जिसका लगभग मान $1.41421356...$ होता है।
इस मान को $2$ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित (round off) करने के लिए,हम तीसरे दशमलव अंक को देखते हैं,जो $4$ है। चूँकि $4 < 5$ है,इसलिए हम दूसरे दशमलव अंक को वैसा ही रहने देते हैं।
अतः,$\sqrt{2}$ का $2$ दशमलव स्थानों तक लगभग मान $1.41$ है।

(C) मान लीजिए कि दो संयुग्मी द्विपद करणी $(a + \sqrt{b})$ और $(a - \sqrt{b})$ हैं।
उनका गुणनफल $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$ होता है।
चूंकि $a$ और $b$ परिमेय संख्याएँ हैं,इसलिए $a^2 - b$ भी एक परिमेय संख्या ही प्राप्त होती है।
अतः,दो संयुग्मी द्विपद करणी का गुणनफल हमेशा एक परिमेय संख्या होता है।

(C) एक द्विपद करणी के दो पदों के बीच के चिह्न को बदलकर संयुग्मी करणी प्राप्त की जाती है।
$a+\sqrt{b}$ के रूप वाली द्विपद करणी के लिए,इसकी संयुग्मी करणी $a-\sqrt{b}$ होती है।
दी गई अभिव्यक्ति $3+\sqrt{2}$ है,इसलिए हम करणी वाले भाग का चिह्न बदल देंगे।
अतः,$3+\sqrt{2}$ की संयुग्मी करणी $3-\sqrt{2}$ है।

(D) $\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$ व्यंजक को सरल बनाने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका योग $5$ हो और गुणनफल $6$ हो।
ये दो संख्याएँ $3$ और $2$ हैं।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\sqrt{5+2 \sqrt{6}} = \sqrt{(3+2)+2 \sqrt{3 \times 2}}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{3+2+2 \sqrt{3} \sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2+2 \sqrt{3} \sqrt{2}}$
$= \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}$
$= \sqrt{3}+\sqrt{2}$

(A) $\frac{1}{3+\sqrt{8}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3-\sqrt{8})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{1}{3+\sqrt{8}} = \frac{1}{3+\sqrt{8}} \times \frac{3-\sqrt{8}}{3-\sqrt{8}}$
हर में सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{3-\sqrt{8}}{(3)^2 - (\sqrt{8})^2}$
$= \frac{3-\sqrt{8}}{9-8}$
$= \frac{3-\sqrt{8}}{1}$
$= 3-\sqrt{8}$

(C) व्यंजक $\sqrt{12-\sqrt{140}}$ को सरल बनाने के लिए,हम पहले $\sqrt{140}$ को $2\sqrt{35}$ के रूप में लिखते हैं।
इस प्रकार,व्यंजक $\sqrt{12-2\sqrt{35}}$ हो जाता है।
हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका योग $12$ और गुणनफल $35$ हो। ये संख्याएँ $7$ और $5$ हैं।
हम $12$ को $(7+5)$ और $35$ को $(7 \times 5)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\sqrt{12-2\sqrt{35}} = \sqrt{(7+5)-2\sqrt{7 \times 5}}$।
सर्वसमिका $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$ का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,परिणाम $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ है।

(C) एक अपरिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $p/q$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। इसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) होता है।
$1$. $\sqrt{4} = 2$,जो एक परिमेय संख्या है।
$2$. $0.010101...$ एक आवर्ती दशमलव है,जिसे $1/99$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$3$. $\pi$ (पाई) एक प्रसिद्ध अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होता है।
$4$. $5$ को $5/1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो एक परिमेय संख्या है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) संख्या $\pi$ को वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह एक अनवसानी-अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) दशमलव है, जिसका अर्थ है कि इसे $p/q$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
इसलिए, $\pi$ एक अपरिमेय संख्या है।

(D) एक परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$1$. $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $7$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
$2$. $3\pi$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $\pi$ अपरिमेय है।
$3$. $0.101000...$ एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव है,जो इसे एक अपरिमेय संख्या बनाता है।
$4$. $0.25$ को $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $\frac{p}{q}$ के रूप में है।
अतः,$0.25$ एक परिमेय संख्या है।

(A) दी गई संख्या $0.01111...$ है,जिसे $0.0\bar{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating and repeating) है,इसलिए इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
माना $x = 0.0111...$ (समीकरण $1$)।
$10$ से गुणा करने पर: $10x = 0.1111...$ (समीकरण $2$)।
$100$ से गुणा करने पर: $100x = 1.1111...$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर: $100x - 10x = 1.1111... - 0.1111...$।
$90x = 1$।
$x = \frac{1}{90}$।
चूंकि इस संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(B) एक संख्या को परिमेय कहा जाता है यदि उसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$\pi$ एक गणितीय स्थिरांक है जिसे वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसका दशमलव निरूपण अनवसानी-अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) होता है।
इसलिए, $\pi$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) एक संख्या को परिमेय कहा जाता है यदि उसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
चूंकि $\sqrt{2}$ को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) दी गई व्यंजक $\sqrt{1+1}$ है。
वर्गमूल के अंदर का योग करने पर: $1+1 = 2$ प्राप्त होता है。
अतः,व्यंजक $\sqrt{2}$ हो जाता है。
चूंकि $2$ एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है,इसलिए $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है。
अतः,सही विकल्प $B$ है。

(A) दी गई संख्या $0.01111...$ है,जिसे $0.0\overline{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating and repeating) है,इसलिए इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
माना $x = 0.0111...$ (समीकरण $1$)।
$10$ से गुणा करने पर: $10x = 0.1111...$ (समीकरण $2$)।
$100$ से गुणा करने पर: $100x = 1.1111...$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर: $100x - 10x = 1.1111... - 0.1111...$।
$90x = 1$।
$x = \frac{1}{90}$।
चूंकि इस संख्या को भिन्न $\frac{1}{90}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(B) संख्या $\pi$ को वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह एक अनवसानी-अनावर्ती दशमलव है,जिसका अर्थ है कि इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
इसलिए,$\pi$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) एक संख्या को परिमेय कहा जाता है यदि उसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
चूंकि $\sqrt{2}$ को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,$\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) दिया गया व्यंजक $\sqrt{1+1}$ है।
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर का योग ज्ञात करें: $1+1 = 2$.
अतः,व्यंजक $\sqrt{2}$ हो जाता है।
चूंकि $2$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $0.9999...$ दशमलव प्रसार को $0.\bar{9}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि दशमलव बिंदु के बाद अंक $9$ अनंत तक दोहराया जाता है,इसलिए यह एक अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) दशमलव प्रसार है।
इसके अतिरिक्त,$0.9999... = 1$ होता है,जो एक परिमेय संख्या है,और सभी परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो शांत होता है या अनवसानी आवर्ती होता है।

(D) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ (जहाँ $q$,$2^n \cdot 5^m$ के रूप में हो) के दशमलव प्रसार में दशमलव स्थानों की संख्या $\max(n, m)$ द्वारा दी जाती है।
हालाँकि,$\frac{p}{q}$ भिन्न के लिए जहाँ $q$,$2^n \cdot 5^m$ के रूप में नहीं है,दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating and repeating) होता है।
$\frac{3}{113}$ के लिए,हर $113$ एक अभाज्य संख्या है और यह $2^n \cdot 5^m$ के रूप में नहीं है।
इसलिए,दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।
यदि प्रश्न का अर्थ आवर्ती दशमलव की अवधि (period length) है,तो एक अभाज्य संख्या $p$ के लिए,अवधि की लंबाई $p-1$ को विभाजित करती है।
$p = 113$ के लिए,अवधि की लंबाई $112$ है।

(B) दशमलव प्रसार $0.9999...$ को $0.\bar{9}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि अंक $9$ अनंत तक दोहराया जाता है,इसलिए यह एक अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) दशमलव प्रसार है।
इसके अलावा,गणितीय रूप से $0.9999... = 1$ होता है,जो एक परिमेय संख्या है,और सभी परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो शांत होता है या अनवसानी आवर्ती होता है।

(D) एक परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$1$. $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $7$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
$2$. $3\pi$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $\pi$ अपरिमेय है।
$3$. $0.101000...$ एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव है,जो इसे एक अपरिमेय संख्या बनाता है।
$4$. $0$ को $\frac{0}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो परिमेय संख्या की शर्त को पूरा करता है।
अतः,$0$ सही परिमेय संख्या है।

(B) संख्या $\pi$ को वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह एक अनवसानी-अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) दशमलव है,जिसका अर्थ है कि इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
इसलिए,$\pi$ एक अपरिमेय संख्या है।

(A) मान लीजिए $x = 1. \overline{23} = 1.232323...$
$100$ से गुणा करने पर,हमें $100x = 123.232323...$ प्राप्त होता है।
$100x$ में से $x$ घटाने पर,$99x = 122$ मिलता है,इसलिए $x = \frac{122}{99}$.
अब,$3.2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$.
योग $\frac{122}{99} + \frac{16}{5} = \frac{122 \times 5 + 16 \times 99}{99 \times 5} = \frac{610 + 1584}{495} = \frac{2194}{495}$ है।
चूंकि इस योग को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(B) दिया गया व्यंजक: $(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$
यह $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ के रूप में है।
यहाँ,हम इसे $(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$.
चूंकि $-1$ एक पूर्णांक है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
अतः,यह व्यंजक एक अपरिमेय संख्या नहीं है।

(B) एक परिमेय संख्या को ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$\sqrt{2}$ एक अनवसानी और अनावर्ती दशमलव संख्या है $(1.41421356...)$।
चूंकि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या नहीं है।

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$7\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $7\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a}{7b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{7b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{5}$ भी एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए,हमारी धारणा गलत है और $7\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $2 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 2b^2$।
यह दर्शाता है कि $a^2$ सम है,इसलिए $a$ भी सम होना चाहिए।
मान लीजिए $a = 2k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $(2k)^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4k^2 = 2b^2$ या $b^2 = 2k^2$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $b^2$ सम है,इसलिए $b$ भी सम होना चाहिए।
चूंकि $a$ और $b$ दोनों सम हैं,उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है और $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$3 + 2\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ऐसे मौजूद हैं कि $3 + 2\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर,हमें $2\sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$ प्राप्त होता है।
$2\sqrt{5} = \frac{a - 3b}{b}$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a - 3b}{2b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a - 3b}{2b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
परंतु,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी धारणा गलत है और $3 + 2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $2 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 2b^2$।
यह दर्शाता है कि $a^2$ सम है,और इसलिए $a$ भी सम होना चाहिए।
मान लीजिए $a = 2k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $(2k)^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $4k^2 = 2b^2$,जो सरल होकर $b^2 = 2k^2$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $b^2$ सम है,और इसलिए $b$ भी सम होना चाहिए।
चूंकि $a$ और $b$ दोनों सम हैं,उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है,और $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $2 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 2b^2$।
यह दर्शाता है कि $a^2$,$2$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$a$ भी $2$ से विभाज्य है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार)।
अतः,हम किसी पूर्णांक $k$ के लिए $a = 2k$ लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण $a^2 = 2b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2k)^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4k^2 = 2b^2$ या $b^2 = 2k^2$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $b^2$,$2$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$b$ भी $2$ से विभाज्य है।
इस प्रकार,$a$ और $b$ दोनों में कम से कम $2$ एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt{2}$ परिमेय है,गलत है,और $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।

(A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $2 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 2b^2$।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$2$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$a$ भी $2$ से विभाज्य है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार)।
अतः,हम $a = 2k$ लिख सकते हैं,जहाँ $k$ कोई पूर्णांक है।
इस मान को $a^2 = 2b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2k)^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4k^2 = 2b^2$ या $b^2 = 2k^2$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $b^2$,$2$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$b$ भी $2$ से विभाज्य है।
इस प्रकार,$a$ और $b$ दोनों का कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है,और $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$3\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
तब,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $3\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ है।
इसे $\sqrt{2} = \frac{a}{3b}$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{3b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $3\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है,गलत है।
इसलिए,$3\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$5 - \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ऐसे मौजूद हैं कि $5 - \sqrt{3} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $5 - \frac{a}{b} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{5b - a}{b} = \sqrt{3}$ मिलता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{5b - a}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी धारणा गलत है और $5 - \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $2 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 2b^2$।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$2$ से विभाज्य है,इसलिए अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार $a$ भी $2$ से विभाज्य होना चाहिए।
मान लीजिए $a = 2k$,जहाँ $k$ कोई पूर्णांक है।
इस मान को $a^2 = 2b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2k)^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $4k^2 = 2b^2$ या $b^2 = 2k^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $b^2$,$2$ से विभाज्य है,इसलिए $b$ भी $2$ से विभाज्य होना चाहिए।
चूँकि $a$ और $b$ दोनों $2$ से विभाज्य हैं,उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है और $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।