Fundamental Theorem of Arithmetic Questions in Hindi

(N/A) हम जानते हैं कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक को किसी पूर्णांक $m$ के लिए $6m, 6m + 1, 6m + 2, 6m + 3, 6m + 4$ या $6m + 5$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
एक विषम धनात्मक पूर्णांक $6m + 1, 6m + 3$ या $6m + 5$ के रूप में होता है।
अब,हम इन रूपों का वर्ग करते हैं:
$1.$ $(6m + 1)^2 = 36m^2 + 12m + 1 = 6(6m^2 + 2m) + 1 = 6q + 1$,जहाँ $q = 6m^2 + 2m$ एक पूर्णांक है।
$2.$ $(6m + 3)^2 = 36m^2 + 36m + 9 = 36m^2 + 36m + 6 + 3 = 6(6m^2 + 6m + 1) + 3 = 6q + 3$,जहाँ $q = 6m^2 + 6m + 1$ एक पूर्णांक है।
$3.$ $(6m + 5)^2 = 36m^2 + 60m + 25 = 36m^2 + 60m + 24 + 1 = 6(6m^2 + 10m + 4) + 1 = 6q + 1$,जहाँ $q = 6m^2 + 10m + 4$ एक पूर्णांक है।
अतः,किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा $6q + 1$ या $6q + 3$ के रूप का होता है।

(N/A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ और $6$ के लिए,ऐसे अऋणात्मक पूर्णांक $q$ और $r$ विद्यमान हैं कि $a = 6q + r$,जहाँ $0 \leq r < 6$ है।
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$a^3 = (6q + r)^3 = 216q^3 + r^3 + 3(6q)(r)(6q + r)$
$a^3 = (216q^3 + 108q^2r + 18qr^2) + r^3 \quad \dots(i)$
स्थिति $I$: यदि $r = 0$ है,तो $a^3 = 216q^3 = 6(36q^3) = 6m$,जहाँ $m = 36q^3$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 108q^2 + 18q) + 1 = 6(36q^3 + 18q^2 + 3q) + 1 = 6m + 1$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 216q^2 + 72q) + 8 = (216q^3 + 216q^2 + 72q + 6) + 2 = 6(36q^3 + 36q^2 + 12q + 1) + 2 = 6m + 2$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 324q^2 + 162q) + 27 = (216q^3 + 324q^2 + 162q + 24) + 3 = 6(36q^3 + 54q^2 + 27q + 4) + 3 = 6m + 3$ है।
स्थिति $V$: यदि $r = 4$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 432q^2 + 288q) + 64 = (216q^3 + 432q^2 + 288q + 60) + 4 = 6(36q^3 + 72q^2 + 48q + 10) + 4 = 6m + 4$ है।
स्थिति $VI$: यदि $r = 5$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 540q^2 + 450q) + 125 = (216q^3 + 540q^2 + 450q + 120) + 5 = 6(36q^3 + 90q^2 + 75q + 20) + 5 = 6m + 5$ है।
अतः,$6q + r$ के रूप के किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $6m + r$ के रूप का होता है।

(N/A) माना कि $n$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$n$ को किसी पूर्णांक $q \ge 0$ के लिए $3q, 3q+1,$ या $3q+2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
स्थिति $1$: यदि $n = 3q$ है,तो $n, 3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n+2 = 3q+2$ और $n+4 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ है,जिनमें से कोई भी $3$ से विभाज्य नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $n = 3q+1$ है,तो $n+2 = 3q+1+2 = 3q+3 = 3(q+1)$ है,जो $3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n = 3q+1$ और $n+4 = 3q+1+4 = 3q+5 = 3(q+1)+2$ है,जिनमें से कोई भी $3$ से विभाज्य नहीं है।
स्थिति $3$: यदि $n = 3q+2$ है,तो $n+4 = 3q+2+4 = 3q+6 = 3(q+2)$ है,जो $3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n = 3q+2$ और $n+2 = 3q+2+2 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ है,जिनमें से कोई भी $3$ से विभाज्य नहीं है।
अतः,सभी संभावित स्थितियों में,$n, n+2$ या $n+4$ में से ठीक एक ही $3$ से विभाज्य है।

(N/A) किन्हीं तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों को $n, (n+1),$ और $(n+2)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $n$ कोई धनात्मक पूर्णांक है $(n \in \mathbb{N})$।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $n$ को $3q, 3q+1,$ या $3q+2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $q$ एक ऋणेतर पूर्णांक है।
स्थिति $1$: यदि $n = 3q$ है,तो $n$,$3$ से विभाज्य है।
स्थिति $2$: यदि $n = 3q + 1$ है,तो $n + 2 = (3q + 1) + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1)$,जो $3$ से विभाज्य है।
स्थिति $3$: यदि $n = 3q + 2$ है,तो $n + 1 = (3q + 2) + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1)$,जो $3$ से विभाज्य है।
अतः,सभी संभावित स्थितियों में,तीन क्रमागत पूर्णांकों $n, n+1,$ या $n+2$ में से एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है।

(N/A) माना $a = n^{3} - n.$
व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें प्राप्त होता है $a = n(n^{2} - 1).$
सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $a = (n - 1)n(n + 1).$
यह व्यंजक तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल दर्शाता है।
किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,कम से कम एक संख्या सम (अर्थात $2$ से विभाज्य) होती है और ठीक एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है।
चूंकि $2$ और $3$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए उनका गुणनफल $2 \times 3 = 6$ इन तीन क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल को पूर्णतः विभाजित करेगा।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $(n - 1)n(n + 1)$ हमेशा $6$ से विभाज्य है।
इस प्रकार,$n^{3} - n$,$6$ से विभाज्य है।

(N/A) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ को $5q, 5q+1, 5q+2, 5q+3,$ या $5q+4$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $q$ एक ऋणेतर पूर्णांक है।
प्रत्येक स्थिति के लिए हम ${n, n+4, n+8, n+12, n+16}$ के समुच्चय की विभाज्यता की जाँच करते हैं:
$1$. यदि $n = 5q$ है,तो $n$,$5$ से विभाज्य है।
$2$. यदि $n = 5q+1$ है,तो $n+4 = 5q+1+4 = 5q+5 = 5(q+1)$,जो $5$ से विभाज्य है।
$3$. यदि $n = 5q+2$ है,तो $n+8 = 5q+2+8 = 5q+10 = 5(q+2)$,जो $5$ से विभाज्य है।
$4$. यदि $n = 5q+3$ है,तो $n+12 = 5q+3+12 = 5q+15 = 5(q+3)$,जो $5$ से विभाज्य है।
$5$. यदि $n = 5q+4$ है,तो $n+16 = 5q+4+16 = 5q+20 = 5(q+4)$,जो $5$ से विभाज्य है।
प्रत्येक स्थिति में,पाँच व्यंजकों में से केवल एक ही $5$ से विभाज्य है।

(N/A) माना कि तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n$,$n+1$ और $n+2$ हैं।
हम जानते हैं कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ को $3m$,$3m+1$ या $3m+2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $m$ एक ऋणेतर पूर्णांक है।
स्थिति $1$: यदि $n = 3m$ है,तो $n$,$3$ से विभाज्य है। यहाँ,$n+1 = 3m+1$ और $n+2 = 3m+2$ हैं,जिन्हें $3$ से भाग देने पर क्रमशः $1$ और $2$ शेषफल प्राप्त होते हैं। अतः,केवल $n$,$3$ से विभाज्य है।
स्थिति $2$: यदि $n = 3m+1$ है,तो $n+1 = 3m+2$ और $n+2 = 3m+3 = 3(m+1)$ होता है। यहाँ,केवल $n+2$,$3$ से विभाज्य है।
स्थिति $3$: यदि $n = 3m+2$ है,तो $n+1 = 3m+3 = 3(m+1)$ और $n+2 = 3m+4 = 3(m+1)+1$ होता है। यहाँ,केवल $n+1$,$3$ से विभाज्य है।
निष्कर्ष: सभी संभावित स्थितियों में,तीन क्रमागत पूर्णांकों $n$,$n+1$ और $n+2$ में से ठीक एक ही संख्या $3$ से विभाज्य है।

हम जानते हैं कि कोई भी धनात्मक पूर्णांक $n$,$2m$ या $2m+1$ के रूप में होता है,जहाँ $m$ एक ऋणेतर पूर्णांक है।
स्थिति $1$: यदि $n = 2m$ है,तो
$n^{2} - n = (2m)^{2} - (2m) = 4m^{2} - 2m = 2(2m^{2} - m)$.
चूँकि $2(2m^{2} - m)$,$2$ का एक गुणज है,इसलिए $n^{2} - n$,$2$ से विभाज्य है।
स्थिति $2$: यदि $n = 2m + 1$ है,तो
$n^{2} - n = (2m + 1)^{2} - (2m + 1) = (4m^{2} + 4m + 1) - 2m - 1 = 4m^{2} + 2m = 2(2m^{2} + m)$.
चूँकि $2(2m^{2} + m)$,$2$ का एक गुणज है,इसलिए $n^{2} - n$,$2$ से विभाज्य है।
अतः,दोनों स्थितियों में,प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $n^{2} - n$,$2$ से विभाज्य है।

$(1)$ $k=1$ के लिए,$10^{1}+1=11$. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$11 = 11 \times 1 + 0$. अतः,भागफल $1$ है और शेषफल $0$ है।
$(2)$ $k=2$ के लिए,$10^{2}+1=101$. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$101 = 11 \times 9 + 2$. अतः,भागफल $9$ है और शेषफल $2$ है।
$(3)$ $k=3$ के लिए,$10^{3}+1=1001$. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$1001 = 11 \times 91 + 0$. अतः,भागफल $91$ है और शेषफल $0$ है।
$(4)$ $k=4$ के लिए,$10^{4}+1=10001$. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$10001 = 11 \times 909 + 2$. अतः,भागफल $909$ है और शेषफल $2$ है।
$(5)$ $k=5$ के लिए,$10^{5}+1=100001$. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$100001 = 11 \times 9091 + 0$. अतः,भागफल $9091$ है और शेषफल $0$ है।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ को किसी पूर्णांक $q \ge 0$ के लिए $3q, 3q+1,$ या $3q+2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
स्थिति $1$: यदि $n = 3q$ है,तो $n$ संख्या $3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n+2 = 3q+2$ (शेष $2$) और $n+4 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ (शेष $1$) है। अतः,केवल $n$ ही $3$ से विभाज्य है।
स्थिति $2$: यदि $n = 3q+1$ है,तो $n+2 = (3q+1)+2 = 3q+3 = 3(q+1)$,जो $3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n = 3q+1$ (शेष $1$) और $n+4 = 3q+5 = 3(q+1)+2$ (शेष $2$) है। अतः,केवल $n+2$ ही $3$ से विभाज्य है।
स्थिति $3$: यदि $n = 3q+2$ है,तो $n+4 = (3q+2)+4 = 3q+6 = 3(q+2)$,जो $3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n = 3q+2$ (शेष $2$) और $n+2 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ (शेष $1$) है। अतः,केवल $n+4$ ही $3$ से विभाज्य है।
निष्कर्ष: सभी संभावित स्थितियों में,$n, n+2, n+4$ में से ठीक एक संख्या $3$ से विभाज्य है।

(N/A) माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n$ और $n+1$ हैं,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
उनका गुणनफल $P = n(n+1) = n^2 + n$ है।
हम $n$ के लिए दो स्थितियों पर विचार कर सकते हैं:
स्थिति $1$: यदि $n$ सम है,तो किसी पूर्णांक $k$ के लिए $n = 2k$ होगा। अतः,$P = 2k(2k+1) = 2(2k^2 + k)$,जो स्पष्ट रूप से $2$ से विभाज्य है।
स्थिति $2$: यदि $n$ विषम है,तो किसी पूर्णांक $k$ के लिए $n = 2k+1$ होगा। अतः,$P = (2k+1)(2k+1+1) = (2k+1)(2k+2) = 2(2k+1)(k+1)$,जो भी $2$ से विभाज्य है।
चूँकि दोनों स्थितियों में गुणनफल $2$ से विभाज्य है,इसलिए किन्हीं भी दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $2$ से विभाज्य होता है।

(N/A) माना कि $a$ कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b=6$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = 6q + r$,जहाँ $0 \le r < 6$ है।
चूंकि $r$ का मान $0, 1, 2, 3, 4, 5$ हो सकता है,इसलिए $a$ के संभावित रूप $6q, 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4$ और $6q+5$ हैं।
यदि $a = 6q, 6q+2$ या $6q+4$ है,तो $a$ एक सम संख्या है क्योंकि ये $2$ से विभाज्य हैं (उदाहरण के लिए,$6q = 2(3q)$)।
चूंकि $a$ एक विषम पूर्णांक है,इसलिए यह $6q, 6q+2$ या $6q+4$ के रूप में नहीं हो सकता है।
अतः,कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $6q+1, 6q+3$ या $6q+5$ के रूप का ही होगा। $q$ को $m$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $6m+1, 6m+3$ या $6m+5$ के रूप प्राप्त होते हैं।

(N/A) माना कि $a$ कोई पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $a$ और भाजक $b=3$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = 3q + r$,जहाँ $0 \le r < 3$ है।
अतः,$r$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $r = 0$ है,तो $a = 3q$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2)$। माना $m = 3q^2$,तो $a^2 = 3m$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $r = 1$ है,तो $a = 3q + 1$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1$। माना $m = 3q^2 + 2q$,तो $a^2 = 3m + 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $3$: यदि $r = 2$ है,तो $a = 3q + 2$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1$। माना $m = 3q^2 + 4q + 1$,तो $a^2 = 3m + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी स्थितियों में पूर्णांक का वर्ग $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है।

(A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,हम $a$ को $a = 3q + r$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $r \in \{0, 1, 2\}$ और $q \ge 0$ है।
स्थिति $1$: यदि $r = 0$ है,तो $a = 3q$। दोनों पक्षों का घन करने पर,$a^3 = (3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3) = 9m$,जहाँ $m = 3q^3$ है।
स्थिति $2$: यदि $r = 1$ है,तो $a = 3q + 1$। दोनों पक्षों का घन करने पर,$a^3 = (3q + 1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1 = 9m + 1$,जहाँ $m = 3q^3 + 3q^2 + q$ है।
स्थिति $3$: यदि $r = 2$ है,तो $a = 3q + 2$। दोनों पक्षों का घन करने पर,$a^3 = (3q + 2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8 = 9m + 8$,जहाँ $m = 3q^3 + 6q^2 + 4q$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m$,$9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है।

चूंकि $a$ और $b$ विषम धनात्मक पूर्णांक हैं,हम उन्हें $a = 2m + 1$ और $b = 2n + 1$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $m$ और $n$ अऋणात्मक पूर्णांक हैं और $m > n$ है।
अब,योग पर विचार करें: $\frac{a+b}{2} = \frac{(2m+1) + (2n+1)}{2} = \frac{2m + 2n + 2}{2} = m + n + 1$.
इसके बाद,अंतर पर विचार करें: $\frac{a-b}{2} = \frac{(2m+1) - (2n+1)}{2} = \frac{2m - 2n}{2} = m - n$.
मान लीजिए $S = m + n + 1$ और $D = m - n$ है।
इन दोनों परिणामों के बीच का अंतर ज्ञात करें: $S - D = (m + n + 1) - (m - n) = 2n + 1$.
चूंकि $2n + 1$ एक विषम संख्या है,इसलिए $S$ और $D$ का अंतर विषम है।
यदि दो पूर्णांकों का अंतर विषम है,तो उनमें से एक सम और दूसरा विषम होना चाहिए।
अतः,$\frac{a+b}{2}$ और $\frac{a-b}{2}$ में से एक संख्या विषम है और दूसरी सम है।

(A) दिया गया है कि धनात्मक पूर्णांक $6m + 5$ के रूप में है,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
हम व्यंजक $6m + 5$ को $6m + 3 + 2$ के रूप में लिख सकते हैं।
पहले दो पदों से $3$ उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $3(2m + 1) + 2$ प्राप्त होता है।
माना $n = 2m + 1$ है। चूँकि $m$ एक पूर्णांक है,इसलिए $n$ भी एक पूर्णांक होगा।
इस व्यंजक में $n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3n + 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$6m + 5$ के रूप का कोई भी पूर्णांक $3n + 2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(N/A) हम व्यंजक $n^{3}-n$ का गुणनखंड इस प्रकार कर सकते हैं:
$n^{3}-n = n(n^{2}-1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)$.
यह व्यंजक तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल दर्शाता है।
किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,कम से कम एक संख्या सम ($2$ से विभाज्य) होती है और ठीक एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है।
चूंकि इस गुणनफल में $2$ और $3$ दोनों का गुणनखंड मौजूद है,इसलिए पूरा गुणनफल $2 \times 3 = 6$ से विभाज्य होना चाहिए।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $n^{3}-n$,$6$ से विभाज्य है।

(N/A) मान लीजिए कि $a$ और $b$ दो विषम धनात्मक पूर्णांक हैं। किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक को किसी पूर्णांक $n$ के लिए $2n + 1$ या $2n - 1$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
मान लीजिए $a = 2m + 1$ और $b = 2n + 1$ है,जहाँ $m$ और $n$ पूर्णांक हैं।
तब,$a^{2} = (2m + 1)^{2} = 4m^{2} + 4m + 1 = 4(m^{2} + m) + 1$.
इसी प्रकार,$b^{2} = (2n + 1)^{2} = 4n^{2} + 4n + 1 = 4(n^{2} + n) + 1$.
अब,$a^{2} + b^{2} = [4(m^{2} + m) + 1] + [4(n^{2} + n) + 1] = 4(m^{2} + m + n^{2} + n) + 2$.
मान लीजिए $k = m^{2} + m + n^{2} + n$. तो $a^{2} + b^{2} = 4k + 2$.
चूंकि $a^{2} + b^{2} = 2(2k + 1)$,यह स्पष्ट रूप से एक सम संख्या है।
हालाँकि,जब $4k + 2$ को $4$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $2$ प्राप्त होता है। इसलिए,$a^{2} + b^{2}$ संख्या $4$ से विभाज्य नहीं है।

(B) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $81$ और $237$ का $g.c.d.$ ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: $237$ और $81$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लागू करने पर $(237 > 81)$:
$237 = 81 \times 2 + 75$
चरण $2$: $81$ और $75$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$81 = 75 \times 1 + 6$
चरण $3$: $75$ और $6$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$75 = 6 \times 12 + 3$
चरण $4$: $6$ और $3$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$6 = 3 \times 2 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए इस चरण पर भाजक ही $g.c.d.$ है।
अतः,$81$ और $237$ का $g.c.d.$ $3$ है।

(B) दी गई व्यंजक: $7 \times 11 \times 13 + 13$
$13$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$= 13 \times (7 \times 11 + 1)$
$= 13 \times (77 + 1)$
$= 13 \times 78$
$= 13 \times (13 \times 6)$
$= 2 \times 3 \times 13^2 = 1014$
भाज्य संख्या वह धनात्मक पूर्णांक है जिसका $1$ और स्वयं के अतिरिक्त कम से कम एक अन्य भाजक हो।
चूंकि $1014$ को अभाज्य गुणनखंडों $(2, 3, 13)$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।

(N/A) यदि $6^{n}$ का अंतिम अंक $0$ है,तो यह $10$ से विभाज्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसे $2$ और $5$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
$6^{n}$ का अभाज्य गुणनखंडन $(2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$ है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,किसी भी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है। $6^{n}$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ और $3$ हैं।
चूंकि $5$,$6^{n}$ का अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए $6^{n}$,$5$ से विभाज्य नहीं है।
अतः,$6^{n}$,$10$ से विभाज्य नहीं हो सकता है,जिसका अर्थ है कि किसी भी प्राकृत संख्या $n \in N$ के लिए $6^{n}$ का अंतिम अंक $0$ नहीं हो सकता है।

(A) $156$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम इसका अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$156 = 2 \times 78$
$78 = 2 \times 39$
$39 = 3 \times 13$
इन गुणनखंडों को संयोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13 = 2^{2} \times 3 \times 13$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $96$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$96 = 2 \times 48$
$96 = 2 \times 2 \times 24$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 12$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 6$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$
अतः,$96 = 2^{5} \times 3$.

(C) $404$ को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम इसका अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$404 = 2 \times 202$
$202 = 2 \times 101$
चूंकि $101$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $404$ का अभाज्य गुणनखंडन $2 \times 2 \times 101$ होगा,जिसे $2^{2} \times 101$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) $5005$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$5005$ संख्या $5$ से विभाज्य है: $5005 \div 5 = 1001$.
अब,हम $1001$ का गुणनखंडन करते हैं। यह $2, 3$ या $5$ से विभाज्य नहीं है। $7$ के लिए जाँच करने पर: $1001 \div 7 = 143$.
इसके बाद,हम $143$ का गुणनखंडन करते हैं। यह $7$ से विभाज्य नहीं है। $11$ के लिए जाँच करने पर: $143 \div 11 = 13$.
चूंकि $13$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए अभाज्य गुणनखंडन $5 \times 7 \times 11 \times 13$ है।

(A) $7429$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
चरण $1$: छोटी अभाज्य संख्याओं से विभाज्यता की जाँच करें। $7429$ संख्या $2, 3, 5, 7, 11,$ या $13$ से विभाज्य नहीं है।
चरण $2$: $17$ से जाँच करें: $7429 \div 17 = 437$।
चरण $3$: $437$ को $19$ से विभाज्यता के लिए जाँचें: $437 \div 19 = 23$।
चरण $4$: चूँकि $23$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए अभाज्य गुणनखंडन $17 \times 19 \times 23$ है।

(N/A) भाज्य संख्या एक ऐसी धनात्मक पूर्णांक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कम से कम एक अन्य भाजक होता है।
दी गई व्यंजक: $7 \times 11 \times 17 + 17$.
हम व्यंजक से $17$ को उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं:
$7 \times 11 \times 17 + 17 = 17 \times (7 \times 11 + 1)$.
अब,कोष्ठक के अंदर की व्यंजक को सरल करें:
$17 \times (77 + 1) = 17 \times 78$.
चूंकि $78$ को $2 \times 39$ या $2 \times 3 \times 13$ के रूप में और अधिक गुणनखंडित किया जा सकता है,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$17 \times 2 \times 3 \times 13$.
चूंकि इस संख्या को $1$ और स्वयं के अलावा अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।

(B) एक भाज्य संख्या वह धनात्मक पूर्णांक है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कम से कम एक और विभाजक (गुणनखंड) होता है।
दी गई व्यंजक: $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5$.
हम व्यंजक से $5$ को उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं:
$= 5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1)$
$= 5 \times (1008 + 1)$
$= 5 \times 1009$
चूंकि संख्या को दो गुणनखंडों ($5$ और $1009$) के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जो दोनों $1$ से बड़े हैं,इसलिए इसके $1$ और स्वयं के अलावा अन्य गुणनखंड हैं।
अतः,दी गई संख्या एक भाज्य संख्या है।

(N/A) किसी संख्या का अंत $0$ अंक के साथ होने के लिए,उसके अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ का होना आवश्यक है।
$8$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^3$ है।
इसलिए,$8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$ होता है।
$8^n$ के अभाज्य गुणनखंडन में केवल $2$ ही अभाज्य गुणनखंड है।
चूंकि $8^n$ के अभाज्य गुणनखंडन में $5$ मौजूद नहीं है,इसलिए किसी भी प्राकृतिक संख्या $n \in N$ के लिए $8^n$ का अंत $0$ अंक के साथ होना असंभव है।

(N/A) किसी संख्या के $0$ पर समाप्त होने के लिए,उसे $10$ से विभाज्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में कम से कम एक जोड़ी अभाज्य गुणनखंड $2$ और $5$ होनी चाहिए।
$21$ का अभाज्य गुणनखंडन $3 \times 7$ है।
इसलिए,$21^{n}$ का अभाज्य गुणनखंडन $(3 \times 7)^{n} = 3^{n} \times 7^{n}$ है।
चूंकि $21^{n}$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $3$ और $7$ हैं,इसलिए इसमें अभाज्य गुणनखंड $2$ या $5$ शामिल नहीं हैं।
अभाज्य गुणनखंड $2$ और $5$ की अनुपस्थिति के कारण,$21^{n}$ संख्या $10$ से विभाज्य नहीं है।
अतः,$21^{n}$ किसी भी प्राकृतिक संख्या $n \in N$ के लिए $0$ पर समाप्त नहीं हो सकता है।

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि $5^{n} \times 6^{n}$ शून्य पर समाप्त होता है या नहीं,हमें यह जांचना होगा कि क्या यह $10$ से विभाज्य है। यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ का कम से कम एक जोड़ा हो,तो वह संख्या $10$ से विभाज्य होती है।
दी गई अभिव्यक्ति: $5^{n} \times 6^{n}$.
हम $6^{n}$ का गुणनखंड कर सकते हैं: $(2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$.
इस मान को अभिव्यक्ति में रखने पर: $5^{n} \times 2^{n} \times 3^{n} = (2 \times 5)^{n} \times 3^{n} = 10^{n} \times 3^{n}$.
चूंकि इस अभिव्यक्ति को $10^{n} \times 3^{n}$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए यह सभी $n \in N$ के लिए $10$ से विभाज्य है।
अतः,$5^{n} \times 6^{n}$ किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए हमेशा शून्य पर समाप्त होता है।

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत है,हम हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
यदि $q = 2^n \times 5^m$ है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार सांत होता है।
यहाँ,भिन्न $\frac{64}{455}$ है।
सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि क्या भिन्न अपने सरलतम रूप में है। $64$ और $455$ का म.स.प. $1$ है,इसलिए यह अपने सरलतम रूप में है।
अब,हर $455$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$455 = 5 \times 91 = 5 \times 7 \times 13$.
चूँकि हर के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ के अलावा अन्य गुणनखंड ($7$ और $13$) मौजूद हैं,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार सांत नहीं है। इसका दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।

(D) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
दी गई भिन्न $\frac{13}{125}$ के लिए:
$1$. हर का अभाज्य गुणनखंडन: $125 = 5^3 = 2^0 \times 5^3$.
$2$. चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है (जहाँ $n=0, m=3$),इसलिए इस परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है।
$3$. दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हर को $10$ की घात के रूप में बदलते हैं:
$\frac{13}{125} = \frac{13 \times 2^3}{5^3 \times 2^3} = \frac{13 \times 8}{10^3} = \frac{104}{1000} = 0.104$.

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ के अभाज्य गुणनखंडों की जाँच करते हैं। यदि $q = 2^n \times 5^m$ (जहाँ $n, m \ge 0$) है,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
यहाँ,हर $343$ है।
$343$ का अभाज्य गुणनखंड $7^3$ है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में नहीं है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{29}{343}$ का दशमलव प्रसार शांत नहीं है; इसका दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड की जाँच करते हैं। यदि $q = 2^n \times 5^m$ (जहाँ $n, m \ge 0$) है,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
सबसे पहले,भिन्न को सरल करने पर: $\frac{77}{210} = \frac{7 \times 11}{7 \times 30} = \frac{11}{30}$.
यहाँ हर $30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$ है।
चूंकि हर के अभाज्य गुणनखंड में $2$ और $5$ के अलावा $3$ का गुणनखंड भी मौजूद है,इसलिए इसका दशमलव प्रसार अशांत और आवर्ती है।

(A) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
यहाँ,हर $8 = 2^3 = 2^3 \times 5^0$ है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{17}{8}$ का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए: $\frac{17}{8} = \frac{17 \times 125}{8 \times 125} = \frac{2125}{1000} = 2.125$.

(C) $24+2 \sqrt{119}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए कि $\sqrt{24+2 \sqrt{119}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $24+2 \sqrt{119} = x + y + 2 \sqrt{xy}$ प्राप्त होता है।
परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर,$x + y = 24$ और $xy = 119$ प्राप्त होता है।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $24$ और गुणनफल $119$ हो।
ये संख्याएँ $17$ और $7$ हैं,क्योंकि $17+7=24$ और $17 \times 7 = 119$ होता है।
अतः,$\sqrt{24+2 \sqrt{119}} = \sqrt{17} + \sqrt{7}$ है।

(A) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं।
यहाँ,हर $8 = 2^3 = 2^3 \times 5^0$ है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{19}{8}$ का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम $19$ को $8$ से विभाजित करेंगे:
$19 \div 8 = 2.375$.

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड की जाँच करते हैं।
यदि $q = 2^n \times 5^m$ है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
यहाँ,हर $343 = 7^3$ है।
चूँकि हर के अभाज्य गुणनखंड में $2$ या $5$ के अलावा एक अन्य गुणनखंड $(7)$ मौजूद है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{17}{343}$ का दशमलव प्रसार शांत नहीं है; इसका दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत है,हम इसके सरलतम रूप में हर $q$ के अभाज्य गुणनखंडों की जाँच करते हैं।
सबसे पहले,भिन्न को सरल करने पर: $\frac{9}{30} = \frac{3 \times 3}{3 \times 10} = \frac{3}{10}$.
यहाँ हर $10 = 2^1 \times 5^1$ है।
चूँकि हर का अभाज्य गुणनखंड $2^n \times 5^m$ के रूप में है (जहाँ $n, m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं),इसलिए इस परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव प्रसार ज्ञात करने पर: $\frac{3}{10} = 0.3$.

(N/A) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं।
यहाँ,$q = 256 = 2^8$ है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ (जहाँ $n=8, m=0$) के रूप में है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{19}{256}$ का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर को $5^8$ से गुणा करते हैं:
$\frac{19}{2^8} \times \frac{5^8}{5^8} = \frac{19 \times 390625}{10^8} = \frac{7421875}{100000000} = 0.07421875$.

(B) किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार कितने अंकों के बाद समाप्त (शांत) होगा,यह ज्ञात करने के लिए हम हर को $2^n \times 5^m$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $\frac{43}{2^{4} \times 5^{3}}$।
$2$ और $5$ की घातों को समान करने के लिए,हम अंश और हर को $5^1$ से गुणा करते हैं:
$\frac{43 \times 5^1}{2^{4} \times 5^{3} \times 5^1} = \frac{43 \times 5}{2^{4} \times 5^{4}} = \frac{215}{(2 \times 5)^{4}} = \frac{215}{10^4} = \frac{215}{10000} = 0.0215$.
अतः,दशमलव प्रसार $4$ अंकों के बाद समाप्त हो जाता है।

(D) $(3k+2)^2$ को $3$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक का विस्तार करते हैं:
$(3k+2)^2 = (3k)^2 + 2(3k)(2) + 2^2$
$= 9k^2 + 12k + 4$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$= 9k^2 + 12k + 3 + 1$
$= 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$
चूंकि $3(3k^2 + 4k + 1)$ स्पष्ट रूप से $3$ से विभाज्य है,इसलिए जब व्यंजक को $3$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(A) बेज़ौट का तत्समक यह बताता है कि किन्हीं दो पूर्णांकों $a$ और $b$ (जो दोनों शून्य न हों) के लिए,ऐसे पूर्णांक $x$ और $y$ मौजूद होते हैं कि $ax + by = \text{gcd}(a, b)$ हो,जहाँ $\text{gcd}(a, b)$ $a$ और $b$ का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) है।

(B) एक पूर्णांक को विषम कहा जाता है यदि वह $2$ से विभाज्य न हो।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $a$ को $a = bq + r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $0 \le r < b$ है।
$2$ से विभाज्यता के लिए,हम $b = 2$ लेते हैं।
अतः,$a = 2k + r$,जहाँ $r$ का मान $0$ या $1$ हो सकता है।
यदि $r = 0$ है,तो $a = 2k$ होता है,जो एक सम पूर्णांक है।
यदि $r = 1$ है,तो $a = 2k + 1$ होता है,जो एक विषम पूर्णांक है।
इसलिए,प्रत्येक विषम पूर्णांक किसी पूर्णांक $k$ के लिए $2k + 1$ के रूप में होता है।

(A) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय और परिमेय संख्याओं के गुणों के अनुसार,एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ (जहाँ $p$ और $q$ सह-अभाज्य हैं) का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि और केवल यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^{m} 5^{n}$ के रूप का हो,जहाँ $m$ और $n$ अऋण पूर्णांक हैं।
अतः,$\frac{p}{q}$ का दशमलव रूप एक सांत दशमलव प्रसार है।

(A) $\frac{9}{1600}$ का दशमलव प्रसार कितने अंकों के बाद समाप्त होगा,यह ज्ञात करने के लिए हम हर (denominator) का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे।
$1600 = 16 \times 100 = 2^4 \times 10^2 = 2^4 \times (2 \times 5)^2 = 2^4 \times 2^2 \times 5^2 = 2^6 \times 5^2$.
अब,भिन्न $\frac{9}{2^6 \times 5^2}$ है।
$2$ और $5$ की घातों को समान करने के लिए,हम अंश और हर को $5^4$ से गुणा करेंगे:
$\frac{9 \times 5^4}{2^6 \times 5^2 \times 5^4} = \frac{9 \times 625}{2^6 \times 5^6} = \frac{5625}{(2 \times 5)^6} = \frac{5625}{10^6}$.
चूंकि हर $10^6$ है,इसलिए दशमलव प्रसार $6$ अंकों के बाद समाप्त हो जाएगा।

(C) दो करणी (surds) को सजातीय करणी कहा जाता है यदि उनके सरलतम रूप में करणीगत भाग (radicand) समान हो।
सबसे पहले,$\sqrt{12}$ को सरल करते हैं:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$.
अब,विकल्पों की जाँच करते हैं:
$A) \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$
$B) \sqrt{36} = 6$ (यह एक परिमेय संख्या है,करणी नहीं)
$C) \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$
$D) \sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15}$
चूँकि $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ और $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ है,दोनों में अपरिमेय गुणनखंड $\sqrt{3}$ समान है।
अतः,$\sqrt{12}$ और $\sqrt{48}$ सजातीय करणी हैं।

(B) दो करणी (surds) 'सजातीय करणी' कहलाती हैं यदि सरलीकरण के बाद उनका करणी भाग समान हो।
$A) \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ और $\sqrt{16} = 4$। ये सजातीय करणी नहीं हैं।
$B) \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ और $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$। दोनों में करणी भाग $\sqrt{2}$ समान है,इसलिए ये सजातीय करणी हैं।
$C) \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ और $\sqrt{6}$। ये सजातीय करणी नहीं हैं।
$D) \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ और $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$। ये सजातीय करणी नहीं हैं।
अतः,सही युग्म $\sqrt{18}$ और $\sqrt{50}$ है।

(D) किसी भी विषम पूर्णांक $n$ को $2k+1$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
वैकल्पिक रूप से,किसी भी विषम पूर्णांक $n$ को $n = 4k \pm 1$ के रूप में दर्शाया जा सकता है या मान रखकर जांचा जा सकता है।
मान लीजिए $n = 1$,तो $n^{2}-1 = 1^{2}-1 = 0$ ($8$ से विभाज्य है)।
मान लीजिए $n = 3$,तो $n^{2}-1 = 3^{2}-1 = 9-1 = 8$ ($8$ से विभाज्य है)।
मान लीजिए $n = 5$,तो $n^{2}-1 = 5^{2}-1 = 25-1 = 24$ ($8$ से विभाज्य है)।
सामान्य प्रमाण: चूंकि $n$ विषम है,$n = 2k+1$।
$n^{2}-1 = (2k+1)^{2}-1 = 4k^{2}+4k+1-1 = 4k(k+1)$।
चूंकि $k(k+1)$ दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,यह हमेशा एक सम संख्या होती है,अर्थात $k(k+1) = 2m$।
इसलिए,$n^{2}-1 = 4(2m) = 8m$।
अतः,$n^{2}-1$ हमेशा $8$ से विभाज्य है।