Fundamental Theorem of Arithmetic Questions in Hindi

(A) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a = bq + r,$ जहाँ शेषफल $r$ को शर्त $0 \leq r < b$ को संतुष्ट करना चाहिए। इसका अर्थ है कि शेषफल $r$ का मान $0$ के बराबर या उससे बड़ा और भाजक $b$ से छोटा होता है। अतः,सही शर्त $0 \leq r < b$ है।

(B) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \leqslant r < b$ होता है।
इस प्रश्न में,हमें $b = 7$ दिया गया है।
शर्त $0 \leqslant r < b$ में $b = 7$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $0 \leqslant r < 7$ प्राप्त होता है।
अतः,शेषफल $r$ के लिए सही शर्त $0 \leqslant r < 7$ है।

(D) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \le r < b$ होता है।
इस प्रश्न में,$b = 5$ है।
अतः,$r$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4$ हैं।
चूंकि $r$ का मान $5$ से कम होना चाहिए,इसलिए $r = 6$ संभव नहीं है।

(A) हमें व्यंजक $2^{m} \cdot 5^{n}$ दिया गया है,जहाँ $m, n \in N$ (प्राकृत संख्याएँ) हैं।
हम व्यंजक को $2^{m} \cdot 5^{n} = 2^{m-n} \cdot 2^{n} \cdot 5^{n}$ (यदि $m \ge n$) या $2^{m} \cdot 5^{m} \cdot 5^{n-m}$ (यदि $n > m$) के रूप में लिख सकते हैं।
स्थिति $1$: यदि $m = n$ है,तो $2^{m} \cdot 5^{m} = (2 \cdot 5)^{m} = 10^{m}$। $10^{m}$ का अंतिम अंक $0$ है।
स्थिति $2$: यदि $m > n$ है,तो $2^{m} \cdot 5^{n} = 2^{m-n} \cdot (2 \cdot 5)^{n} = 2^{m-n} \cdot 10^{n}$। चूँकि $2^{m-n}$ एक सम संख्या है और $10^{n}$ का अंतिम अंक $0$ है,इसलिए गुणनफल का अंतिम अंक $0$ होगा।
स्थिति $3$: यदि $n > m$ है,तो $2^{m} \cdot 5^{n} = (2 \cdot 5)^{m} \cdot 5^{n-m} = 10^{m} \cdot 5^{n-m}$। $n > m$ के लिए $5^{n-m}$ का अंतिम अंक हमेशा $5$ होता है और $10^{m}$ का अंतिम अंक $0$ होता है,इसलिए गुणनफल का अंतिम अंक $0$ होगा।
सभी स्थितियों में,अंतिम अंक $0$ प्राप्त होता है।

(C) किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ के लिए,जहाँ $q = 2^n \cdot 5^m$ हो,दशमलव के बाद अंकों की संख्या $\max(n, m)$ द्वारा निर्धारित होती है।
दिए गए व्यंजक $\frac{18}{5^3}$ में,हर को $2^0 \cdot 5^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$n = 0$ और $m = 3$ है।
अतः,दशमलव के बाद अंकों की संख्या $\max(0, 3) = 3$ होगी।
वैकल्पिक रूप से,$\frac{18}{5^3} = \frac{18 \cdot 2^3}{5^3 \cdot 2^3} = \frac{18 \cdot 8}{10^3} = \frac{144}{1000} = 0.144$ है।
चूँकि दशमलव बिंदु के बाद $3$ अंक हैं,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(C) किसी भी प्राकृतिक संख्या $n \in N$ के लिए (जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$):
यदि $n = 1$ है,तो $5^1 = 5$ है।
यदि $n = 2$ है,तो $5^2 = 25$ है।
यदि $n = 3$ है,तो $5^3 = 125$ है।
यदि $n = 4$ है,तो $5^4 = 625$ है।
यह देखा जा सकता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$5^n$ का अंतिम अंक हमेशा $5$ ही होता है।

(C) किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $5^n$ का अंतिम अंक ज्ञात करने हेतु,आइए $5$ की घातों का अवलोकन करें:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
प्रत्येक स्थिति में,अंतिम अंक (इकाई का अंक) $5$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$5^n$ का अंतिम अंक हमेशा $5$ होता है।

(A) हमें व्यंजक $2^5 \cdot 5^5$ दिया गया है।
घातांक के नियम $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5$
$= 10^5$
$= 100000$
$100000$ का अंतिम अंक $0$ है।

(C) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$1$ से बड़ी प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अभाज्य गुणनखंडों के आने वाले क्रम को छोड़कर,यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है। इस प्रमेय को 'अद्वितीय गुणनखंडन प्रमेय' के रूप में भी जाना जाता है।

(B) $5^{25}$ का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए,हम $5$ की घातों का अवलोकन करते हैं:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
यह देखा गया है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$5^n$ का अंतिम अंक हमेशा $5$ होता है।
अतः,$5^{25}$ का अंतिम अंक $5$ है।

(C) किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $5^n$ का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए,आइए $5$ की घातों का अवलोकन करें:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
जैसा कि हम देख सकते हैं,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$5^n$ का परिणाम हमेशा $5$ अंक पर समाप्त होता है। अतः,अंतिम अंक हमेशा $5$ होता है।

(C) $30$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करने के लिए,हम इसे सबसे छोटी अभाज्य संख्याओं से विभाजित करते हैं:
$30 \div 2 = 15$
$15 \div 3 = 5$
$5 \div 5 = 1$
अतः,$30$ का अभाज्य गुणनखंडन $2 \times 3 \times 5$ है।

(A) जब $(5k+1)^2$ को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करके व्यंजक का विस्तार करते हैं।
$(5k+1)^2 = (5k)^2 + 2(5k)(1) + (1)^2$
$= 25k^2 + 10k + 1$
अब,हम इस व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$= 5(5k^2 + 2k) + 1$
चूंकि $5(5k^2 + 2k)$ स्पष्ट रूप से $5$ से विभाज्य है,इसलिए पूरे व्यंजक को $5$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(B) $5^{25}$ का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए,हम $5$ की घातों का अवलोकन करते हैं:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
चूंकि $5$ की किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात का अंतिम अंक हमेशा $5$ होता है,इसलिए $5^{25}$ का अंतिम अंक $5$ है।

(C) किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $5^n$ का अंतिम अंक ज्ञात करने हेतु:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
जैसा कि देखा जा सकता है,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$5$ को स्वयं से $n$ बार गुणा करने पर प्राप्त संख्या का अंतिम अंक हमेशा $5$ ही होता है। अतः,$5^n$ का अंतिम अंक हमेशा $5$ होता है।

(A) मान लीजिए कि तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n, (n+1)$,और $(n+2)$ हैं।
इन पूर्णांकों का गुणनफल $P = n(n+1)(n+2)$ है।
यह व्यंजक तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल दर्शाता है।
हम जानते हैं कि $k$ क्रमागत पूर्णांकों के किसी भी समूह में,हमेशा $k!$ (k फैक्टोरियल) का कम से कम एक गुणज होता है।
$k=3$ के लिए,गुणनफल हमेशा $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ से विभाज्य होता है।
उदाहरण के लिए,यदि $n=1$ है,तो $1 \times 2 \times 3 = 6$ ($6$ से विभाज्य है)।
यदि $n=2$ है,तो $2 \times 3 \times 4 = 24$ ($6$ से विभाज्य है)।
यदि $n=3$ है,तो $3 \times 4 \times 5 = 60$ ($6$ से विभाज्य है)।
अतः,किन्हीं तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $6$ से विभाज्य होता है।

(C) $30$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करने के लिए,हम इसे सबसे छोटी अभाज्य संख्याओं से विभाजित करते हैं:
$30 = 2 \times 15$
$15 = 3 \times 5$
अतः,$30 = 2 \times 3 \times 5$.
चूंकि $2, 3,$ और $5$ सभी अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए सही अभाज्य गुणनखंडन $2 \times 3 \times 5$ है।

(C) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$1$ से बड़ी प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है,सिवाय उस क्रम के जिसमें अभाज्य गुणनखंड आते हैं। इसका अर्थ है कि किसी भी दी गई भाज्य संख्या के लिए,अभाज्य गुणनखंडों का समूह निश्चित होता है,चाहे उन्हें किसी भी क्रम में लिखा जाए। इसलिए,यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है।

(C) दशमलव स्थानों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम हर को $2^n \times 5^m$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
दिया गया भिन्न: $\frac{35457}{6250}$.
$6250$ का अभाज्य गुणनखंड: $6250 = 625 \times 10 = 5^4 \times (2 \times 5) = 2^1 \times 5^5$.
दशमलव स्थानों की संख्या $2$ और $5$ के घातांकों में से अधिकतम मान द्वारा निर्धारित होती है,जो कि $\max(1, 5) = 5$ है।
अतः,दशमलव निरूपण $5$ दशमलव स्थानों के बाद समाप्त हो जाता है।

(C) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ और भाजक $b=4$ के लिए,$a = 4m + r$ होता है,जहाँ $r$ का मान $0, 1, 2, 3$ हो सकता है।
यदि $r=0$ है,तो $a = 4m = 2(2m)$,जो सम है।
यदि $r=1$ है,तो $a = 4m+1$,जो विषम है।
यदि $r=2$ है,तो $a = 4m+2 = 2(2m+1)$,जो सम है।
यदि $r=3$ है,तो $a = 4m+3$,जो विषम है।
अतः,कोई भी विषम धनात्मक पूर्णांक $4m+1$ या $4m+3$ के रूप में होता है।

(C) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \le r < b$ होता है।
इस प्रश्न में,$b = 5$ है।
अतः,शेषफल $r$ के लिए संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4$ हैं।
चूंकि $r$ का मान $5$ से कम होना चाहिए,इसलिए $r = 6$ संभव नहीं है।

(B) किसी भी प्राकृतिक संख्या $a$ को $6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4,$ या $6k+5$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
प्रत्येक स्थिति के लिए $a^2 \pmod{6}$ की गणना करने पर:
$1) (6k)^2 = 36k^2 = 6(6k^2) \equiv 0 \pmod{6}$
$2) (6k+1)^2 = 36k^2 + 12k + 1 = 6(6k^2 + 2k) + 1 \equiv 1 \pmod{6}$
$3) (6k+2)^2 = 36k^2 + 24k + 4 = 6(6k^2 + 4k) + 4 \equiv 4 \pmod{6}$
$4) (6k+3)^2 = 36k^2 + 36k + 9 = 6(6k^2 + 6k + 1) + 3 \equiv 3 \pmod{6}$
$5) (6k+4)^2 = 36k^2 + 48k + 16 = 6(6k^2 + 8k + 2) + 4 \equiv 4 \pmod{6}$
$6) (6k+5)^2 = 36k^2 + 60k + 25 = 6(6k^2 + 10k + 4) + 1 \equiv 1 \pmod{6}$
संभावित शेषफल $0, 1, 3, 4$ हैं।
अतः,शेषफल $2$ और $5$ संभव नहीं हैं।

(C) किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $5^n$ का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए,आइए $5$ की घातों का अवलोकन करें:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
जैसा कि हम देख सकते हैं,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$5^n$ का अंतिम अंक हमेशा $5$ होता है।

(B) किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ के लिए,जहाँ $q = 2^n \cdot 5^m$ हो,दशमलव के बाद अंकों की संख्या $\max(n, m)$ के बराबर होती है।
यहाँ दिया गया भिन्न $\frac{15}{2^2}$ है।
यहाँ हर $2^2 \cdot 5^0$ है।
इसे $2^n \cdot 5^m$ से तुलना करने पर,हमें $n = 2$ और $m = 0$ प्राप्त होता है।
$n$ और $m$ का अधिकतम मान $\max(2, 0) = 2$ है।
अतः,दशमलव प्रसार $2$ अंकों के बाद समाप्त हो जाता है।
सत्यापन: $\frac{15}{2^2} = \frac{15}{4} = 3.75$,जिसमें दशमलव के बाद $2$ अंक हैं।

(B) हमें व्यंजक $(6k+1)^2$ दिया गया है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$(6k+1)^2 = (6k)^2 + 2(6k)(1) + 1^2$
$= 36k^2 + 12k + 1$
प्रथम दो पदों से $6$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$= 6(6k^2 + 2k) + 1$
मान लीजिए $m = 6k^2 + 2k$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
अतः व्यंजक $6m + 1$ के रूप में प्राप्त होता है।
जब $6m + 1$ को $6$ से विभाजित किया जाता है,तो भागफल $m$ प्राप्त होता है और शेषफल $1$ बचता है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $p/q$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड की जाँच करते हैं। यदि $q$ का रूप $2^n \times 5^m$ है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
यहाँ,भिन्न $44/625$ है।
हर $625 = 5^4$ है।
चूँकि हर $2^0 \times 5^4$ के रूप में है,यह शांत दशमलव प्रसार की शर्त को पूरा करता है।
अतः,$44/625$ एक शांत दशमलव है।

(A) हमें व्यंजक $2^5 \cdot 5^5$ दिया गया है।
घातांक के नियम $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5$
$= 10^5$
$= 100,000$
$100,000$ का अंतिम अंक $0$ है।

(C) किसी भी प्राकृतिक संख्या $n \in N$ के लिए,$5^n$ का अर्थ है $5$ का स्वयं से $n$ बार गुणा।
$n = 1$ के लिए,$5^1 = 5$ है।
$n = 2$ के लिए,$5^2 = 25$ है।
$n = 3$ के लिए,$5^3 = 125$ है।
$n = 4$ के लिए,$5^4 = 625$ है।
जैसा कि देखा जा सकता है,किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $5^n$ का अंतिम अंक हमेशा $5$ ही होता है।

(C) किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ के लिए,जहाँ $q = 2^n \cdot 5^m$ है,दशमलव स्थानों की संख्या $\max(n, m)$ के बराबर होती है।
यहाँ दिया गया व्यंजक $\frac{18}{5^{3}}$ है,जिसे हम $\frac{18}{2^0 \cdot 5^3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,$n = 0$ और $m = 3$ है।
अतः,दशमलव स्थानों की संख्या $\max(0, 3) = 3$ होगी।
इस प्रकार,दशमलव प्रसार $3$ दशमलव स्थानों के बाद समाप्त हो जाएगा।

(B) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = bq + r$,जहाँ शेषफल $r$ शर्त $0 \leq r < b$ को संतुष्ट करता है। इसका अर्थ है कि शेषफल $r$ शून्य हो सकता है या शून्य से बड़ा हो सकता है,लेकिन यह सदैव भाजक $b$ से छोटा होना चाहिए।

(A) हमें व्यंजक $2^{m} \cdot 5^{n}$ दिया गया है,जहाँ $m, n \in N$ है।
हम इसे $2^{m-n} \cdot (2 \cdot 5)^{n}$ के रूप में लिख सकते हैं यदि $m \ge n$ हो,या $5^{n-m} \cdot (2 \cdot 5)^{m}$ के रूप में यदि $n > m$ हो।
दोनों ही स्थितियों में,व्यंजक में $(2 \cdot 5) = 10$ का एक गुणनखंड मौजूद है।
किसी भी धनात्मक पूर्णांक को $10$ से गुणा करने पर प्राप्त संख्या का अंतिम अंक हमेशा $0$ होता है।
उदाहरण के लिए,यदि $m=1, n=1$ है,तो $2^1 \cdot 5^1 = 10$ (अंतिम अंक $0$ है)।
यदि $m=2, n=1$ है,तो $2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$ (अंतिम अंक $0$ है)।
यदि $m=1, n=2$ है,तो $2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$ (अंतिम अंक $0$ है)।
अतः,अंतिम अंक हमेशा $0$ होगा।

(C) भिन्न $\frac{1}{32}$ को दशमलव रूप में बदलने के लिए,हम भाग करते हैं।
$1$ को $32$ से विभाजित करने पर:
$1 \div 32 = 0.03125$.
वैकल्पिक रूप से,हम $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5}$ लिख सकते हैं।
दशमलव में बदलने के लिए,अंश और हर को $5^5$ से गुणा करें:
$\frac{1 \times 5^5}{2^5 \times 5^5} = \frac{3125}{10^5} = \frac{3125}{100000} = 0.03125$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि और केवल यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^m \cdot 5^n$ के रूप में हो,जहाँ $m$ और $n$ ऋणेतर पूर्णांक हैं।
ऋणेतर पूर्णांकों में सभी प्राकृतिक संख्याएँ $(N)$ और शून्य $(0)$ शामिल होते हैं।
अतः,$m, n \in N \cup \{0\}$.

(C) $\frac{2517}{6250}$ का दशमलव प्रसार कितने दशमलव स्थानों के बाद शांत होगा,यह ज्ञात करने के लिए हमें हर को $2^n \times 5^m$ के रूप में व्यक्त करना होगा।
सबसे पहले,हर $6250$ का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$6250 = 625 \times 10 = 5^4 \times (2 \times 5) = 2^1 \times 5^5$।
किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार $k$ दशमलव स्थानों के बाद शांत होता है,जहाँ $q = 2^n \times 5^m$ में $k = \max(n, m)$ होता है।
यहाँ,$n = 1$ और $m = 5$ है।
अतः,$k = \max(1, 5) = 5$।
इस प्रकार,दशमलव प्रसार $5$ दशमलव स्थानों के बाद शांत होगा।

(B) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत (terminating) होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
$1$. $\frac{17}{32}$ के लिए: $32 = 2^5$। चूँकि यह $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसका दशमलव प्रसार शांत है।
$2$. $\frac{17}{248}$ के लिए: $248 = 8 \times 31 = 2^3 \times 31^1$। चूँकि इसमें $2$ और $5$ के अलावा एक अन्य गुणनखंड $(31)$ है,इसलिए इसका दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।
$3$. $\frac{17}{160}$ के लिए: $160 = 16 \times 10 = 2^4 \times 2 \times 5 = 2^5 \times 5^1$। चूँकि यह $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसका दशमलव प्रसार शांत है।
अतः,$\frac{17}{248}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।

(D) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ (जहाँ $q \neq 0$) के दशमलव निरूपण में दशमलव के बाद अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले भिन्न को उसके सरलतम रूप में लिखते हैं।
$\frac{7}{80}$ पहले से ही अपने सरलतम रूप में है।
अगला चरण,हर $q = 80$ का अभाज्य गुणनखंडन करना है।
$80 = 2^4 \times 5^1$.
दशमलव के बाद अंकों की संख्या हर के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ या $5$ के अधिकतम घातांक के बराबर होती है।
यहाँ,घातांक $4$ और $1$ हैं। अधिकतम घातांक $4$ है।
अतः,$\frac{7}{80}$ के दशमलव निरूपण में दशमलव बिंदु के बाद $4$ अंक होंगे।
सत्यापन: $\frac{7}{80} = \frac{7 \times 125}{80 \times 125} = \frac{875}{10000} = 0.0875$.

(D) एक गुणनखंड वृक्ष में, किसी संख्या को उसके गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जाता है।
गुणधर्म का उपयोग करते हुए: $\text{संख्या} = \text{गुणनखंड}_1 \times \text{गुणनखंड}_2$।
पहली शाखा के लिए, $x$, $2$ और $5$ का गुणनफल है, इसलिए $x = 2 \times 5 = 10$।
दूसरी शाखा के लिए, $y$, $x$ और $2$ का गुणनफल है, इसलिए $y = x \times 2 = 10 \times 2 = 20$।
अतः, $x$ और $y$ के मान क्रमशः $10$ और $20$ हैं।

(B) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ को $a = bq + r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $0 \le r < b$ है।
यदि हम $b = 2$ लेते हैं,तो $r$ के संभावित मान $0$ और $1$ हैं।
अतः,$a = 2m + 0 = 2m$ (जो एक सम पूर्णांक है) या $a = 2m + 1$ (जो एक विषम पूर्णांक है)।
इसलिए,कोई भी विषम धनात्मक पूर्णांक $2m + 1$ के रूप का होता है।

(C) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \le r < b$ होता है।
इस प्रश्न में,$b = 5$ है।
अतः,$r$ के लिए शर्त $0 \le r < 5$ है।
इसका अर्थ है कि $r$ के संभावित मान ${0, 1, 2, 3, 4}$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$5$ का मान $r$ के लिए संभव नहीं है क्योंकि $r$ का मान भाजक $5$ से छोटा होना चाहिए।

(A) हमें व्यंजक $2^{3} \times 5^{125}$ दिया गया है।
सबसे पहले,$2^{3} = 8$ की गणना करें।
अब,व्यंजक $8 \times 5^{125}$ हो जाता है।
हम इसे $8 \times 5 \times 5^{124} = 40 \times 5^{124}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि किसी भी संख्या को $40$ से गुणा करने पर अंत में $0$ आता है,इसलिए व्यंजक का अंतिम अंक $0$ है।

(B) संख्या की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$3 \times 15 \times 11 + 11$
$= 11 \times (3 \times 15 + 1)$
$= 11 \times (45 + 1)$
$= 11 \times 46$
$= 11 \times 2 \times 23$
चूंकि इस संख्या को $1$ और स्वयं के अलावा अन्य अभाज्य गुणनखंडों $(2, 11, 23)$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।

(A) माना कि धनात्मक पूर्णांक $x = 3q + 1$ है।
इस पूर्णांक का वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम $x^2 = (3q + 1)^2$ की गणना करते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 = (3q)^2 + 2(3q)(1) + (1)^2$
$x^2 = 9q^2 + 6q + 1$
हम पहले दो पदों से $3$ उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं:
$x^2 = 3(3q^2 + 2q) + 1$
माना कि $m = 3q^2 + 2q$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
अतः,$x^2 = 3m + 1$ है।
इसलिए,यह कथन सत्य है।

(A) माना तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n, (n+1)$ और $(n+2)$ हैं।
किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,कम से कम एक संख्या सम ($2$ से विभाज्य) होती है और ठीक एक संख्या $3$ का गुणज होती है।
चूंकि गुणनफल में कम से कम एक गुणनखंड $2$ और एक गुणनखंड $3$ होता है,इसलिए गुणनफल $2 \times 3 = 6$ से विभाज्य होना चाहिए।
उदाहरण के लिए,यदि $n=1$ है,तो गुणनफल $1 \times 2 \times 3 = 6$ है,जो $6$ से विभाज्य है।
यदि $n=2$ है,तो गुणनफल $2 \times 3 \times 4 = 24$ है,जो $6$ से विभाज्य है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) मान लीजिए कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n$ और $n+1$ हैं।
उनका गुणनफल $P = n(n+1)$ है।
चूंकि $n$ और $n+1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,उनमें से एक सम (even) और दूसरा विषम (odd) होगा।
एक सम संख्या हमेशा $2$ से विभाज्य होती है।
इसलिए,एक सम संख्या और एक विषम संख्या का गुणनफल हमेशा सम होता है,जिसका अर्थ है कि यह $2$ से विभाज्य है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(B) $\frac{p}{2^n \cdot 5^m}$ के रूप वाली परिमेय संख्या के लिए दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम घातांकों $n$ और $m$ में से अधिकतम मान देखते हैं।
यहाँ दिए गए व्यंजक $\frac{7}{2^3 \cdot 5^4}$ में,$n = 3$ और $m = 4$ है।
दशमलव स्थानों की संख्या $\max(n, m) = \max(3, 4) = 4$ द्वारा निर्धारित होती है।
अतः,दशमलव निरूपण में दशमलव बिंदु के बाद $4$ अंक होंगे।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं,हम हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
यदि $q$,$2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार सांत होता है।
यहाँ,$q = 3125$ है।
$3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$ है।
चूँकि $3125$ को $2^0 \times 5^5$ के रूप में लिखा जा सकता है,यह $2^n \times 5^m$ की शर्त को पूरा करता है।
इसलिए,$\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार सांत है।

(C) एक भाज्य संख्या वह धनात्मक पूर्णांक है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कम से कम एक और भाजक होता है।
प्रथम व्यंजक के लिए: $7 \times 11 \times 13 + 13 = 13 \times (7 \times 11 + 1) = 13 \times (77 + 1) = 13 \times 78 = 13 \times 13 \times 6$.
चूँकि इस संख्या को $1$ और स्वयं के अलावा अन्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।
द्वितीय व्यंजक के लिए: $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5 = 5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1) = 5 \times (1008 + 1) = 5 \times 1009$.
चूँकि $1009$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए इस संख्या के गुणनखंड $1, 5, 1009$ और वह संख्या स्वयं है। चूँकि इसके दो से अधिक गुणनखंड हैं,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।

(B) किसी भी संख्या के $0$ पर समाप्त होने के लिए,उसके अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ का होना आवश्यक है।
$6^n$ का अभाज्य गुणनखंडन $(2 \times 3)^n = 2^n \times 3^n$ है।
चूंकि $6^n$ के अभाज्य गुणनखंडन में केवल $2$ और $3$ हैं,इसमें $5$ का गुणनखंड नहीं है।
अतः,अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए $6^n$ अंक $0$ पर समाप्त नहीं हो सकता है।

(A) $7429$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम क्रमिक रूप से अभाज्य संख्याओं द्वारा विभाज्यता की जाँच करते हैं।
$7429$ संख्या $2, 3, 5, 7, 11$ या $13$ से विभाज्य नहीं है।
$17$ से भाग देने पर: $7429 \div 17 = 437$ प्राप्त होता है।
अब,हम $437$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं।
$19$ से भाग देने पर: $437 \div 19 = 23$ प्राप्त होता है।
चूंकि $23$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए अभाज्य गुणनखंडन $17 \times 19 \times 23$ है।

(A) $5005$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम अभाज्य संख्याओं द्वारा क्रमिक विभाजन करते हैं:
$1$. चूँकि अंतिम अंक $5$ है,यह $5$ से विभाज्य है: $5005 \div 5 = 1001$।
$2$. अब,$1001$ को अगली अभाज्य संख्या $7$ से विभाजित करें: $1001 \div 7 = 143$।
$3$. इसके बाद,$143$ को अगली अभाज्य संख्या $11$ से विभाजित करें: $143 \div 11 = 13$।
$4$. अंत में,$13$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $13 \div 13 = 1$।
अतः,$5005$ का अभाज्य गुणनखंडन $5 \times 7 \times 11 \times 13$ है।