Volume of a Combination of Solids Questions in Gujarati

(D) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^{2} h$ છે.
અહીં આપેલ છે કે ઘનફળ $V = 550 \, cm^{3}$ અને ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$550 = \frac{22}{7} \times (5)^{2} \times h$
$550 = \frac{22}{7} \times 25 \times h$
$h = \frac{550 \times 7}{22 \times 25}$
$h = \frac{3850}{550}$
$h = 7 \, cm$.
આમ,નળાકારની ઊંચાઈ $7 \, cm$ છે.

(B) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 21 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^{2} \times 21$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 21$
$V = 22 \times 25 \times \frac{21}{21}$
$V = 22 \times 25 = 550 \, cm^{3}$.

(B) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $V = \frac{1}{3} \times \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
અહીં,પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= 60 \, cm^{2}$ અને ઊંચાઈ $= 15 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times 60 \times 15$
$V = 20 \times 15 = 300 \, cm^{3}$.
તેથી,શંકુનું ઘનફળ $300 \, cm^{3}$ થાય.

(A) ધારો કે શંકુ અને નળાકાર બંનેની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેમની ઊંચાઈ $h$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શંકુના ઘનફળ અને નળાકારના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_{cone}}{V_{cylinder}} = \frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{1}{3}$ થાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $1: 3$ છે.

(C) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V_{cylinder} = \pi r^{2} h$ છે.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
આપેલ છે કે બંને આકારો માટે ત્રિજ્યા $(r)$ અને ઊંચાઈ $(h)$ સમાન છે,તેથી આપણે તેમના ઘનફળની સરખામણી કરી શકીએ:
$V_{cylinder} = \pi r^{2} h$
કારણ કે $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$,આપણે લખી શકીએ કે $\pi r^{2} h = 3 \times (\frac{1}{3} \pi r^{2} h)$.
તેથી,$V_{cylinder} = 3 \times V_{cone}$.

(C) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 3 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 3 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (3)^{2} \times 3$
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 3$
$V = 9 \pi \, cm^{3}$.

(B) ગોળાના ઘનફળ $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે બે ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે. આપેલ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $8:27$ છે.

(B) નળાકારનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે。
અહીં ત્રિજ્યા $r = 1.4 \, m$ અને ઊંચાઈ $h = 4 \, m$ આપેલ છે。
કિંમતો મૂકતા,$V = \frac{22}{7} \times (1.4)^2 \times 4$.
$V = \frac{22}{7} \times 1.96 \times 4 = 22 \times 0.28 \times 4 = 24.64 \, m^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, m^3 = 1000 \, \text{લિટર}$,તેથી ટાંકીની ક્ષમતા લિટરમાં $24.64 \times 1000 = 24640 \, \text{લિટર}$ થાય。

(B) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 6 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 21 \, cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6)^{2} \times 21$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 36 \times 21$.
$V = 22 \times 36 = 792 \, cm^{3}$.

(C) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
આપેલ છે: $V = 9504\,cm^{3}$,$r = 18\,cm$ અને $\pi = \frac{22}{7}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$9504 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (18)^{2} \times h$
$9504 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 324 \times h$
$9504 = 22 \times 108 \times \frac{h}{7}$
$9504 = 2376 \times \frac{h}{7}$
$h = \frac{9504 \times 7}{2376}$
$h = 4 \times 7 = 28\,cm$.
આમ,શંકુની ઊંચાઈ $28\,cm$ છે.

(B) શંકુના આડછેદનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર: $V = \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$ છે.
અહીં આપેલ છે: $r_{1} = 3\,cm$,$r_{2} = 2\,cm$,અને $h = 21\,cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times (3^{2} + 2^{2} + 3 \times 2)$
$V = 22 \times (9 + 4 + 6)$
$V = 22 \times 19$
$V = 418\,cm^{3}$.
આમ,ગ્લાસની ક્ષમતા $418\,cm^{3}$ છે.

(B) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
ધારો કે બે નળાકારની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે,અને તેમની ઊંચાઈઓ $h_1$ અને $h_2$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}$ અને $\frac{h_1}{h_2} = \frac{4}{5}$.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{4}{5}\right)$.
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{9}{16} \times \frac{4}{5} = \frac{9 \times 4}{16 \times 5} = \frac{9}{4 \times 5} = \frac{9}{20}$.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $9:20$ છે.

(C) ગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 1.5\,cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times (1.5)^{3}$
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times 1.5 \times 1.5 \times 1.5$
$V = 4 \times \pi \times 0.5 \times 1.5 \times 1.5$
$V = 2 \times \pi \times 2.25$
$V = 4.5 \pi\,cm^{3}$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r' = 2r$ થાય.
નવું ઘનફળ $V' = \frac{4}{3} \pi (r')^3$ દ્વારા મળે છે.
સૂત્રમાં $r' = 2r$ મૂકતા,આપણને $V' = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$ મળે છે.
તેથી,$V' = 8V$.
આમ,ઘનફળ મૂળ ઘનફળના $8$ ગણું થાય છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા શંકુનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
આ સૂત્ર સમાન પાયાની ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ ધરાવતા નળાકારના ઘનફળના ત્રીજા ભાગનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે બે ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે. આપેલ છે કે $r_1 : r_2 = 3 : 4$.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
તેથી,બે ગોળાઓના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ થશે.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા,$\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{3}{4} \right)^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$ મળે.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $27:64$ છે.

(C) ગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
અહીં $V = 4.5 \pi \, cm^3$ આપેલ છે,તેથી:
$4.5 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3$
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા:
$4.5 = \frac{4}{3} r^3$
$r^3 = 4.5 \times \frac{3}{4} = \frac{45}{10} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{8}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$r = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} = 1.5 \, cm$
વ્યાસ $d = 2r$ હોવાથી:
$d = 2 \times 1.5 = 3 \, cm$.

(B) કદ (ઘનફળ) એટલે ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થે રોકેલી જગ્યા.
આંતરરાષ્ટ્રીય એકમ પદ્ધતિ $(SI)$ માં,લંબાઈનો મૂળભૂત એકમ મીટર $(m)$ છે.
કદ એ ત્રણ પરિમાણોનો ગુણાકાર (લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ $\times$ ઊંચાઈ) હોવાથી,તેનો એકમ લંબાઈના એકમનો ઘન થાય છે.
તેથી,કદનો એકમ $m \times m \times m = m^3$ છે.
- $m$ એ લંબાઈનો એકમ છે.
- $m^2$ એ ક્ષેત્રફળનો એકમ છે.
- $cm^2$ પણ ક્ષેત્રફળનો એકમ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સમઘન ટાંકીનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \text{બાજુ}^3$ છે.
અહીં બાજુની લંબાઈ $1\, m$ આપેલી છે,તેથી ઘનફળ $V = (1\, m)^3 = 1\, m^3$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1\, m^3 = 1000\, \text{લિટર}$.
તેથી,ટાંકીમાં સંગ્રહ કરી શકાતા પાણીની મહત્તમ માત્રા $1000\, \text{લિટર}$ છે.

(D) સમઘન ટાંકીનું ઘનફળ $V$ શોધવાનું સૂત્ર $V = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$ છે.
આપેલ માપ $2 \,m \times 2 \,m \times 2 \,m = 8 \,m^{3}$ છે.
$m^{3}$ ને $cm^{3}$ માં ફેરવવા માટે, આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \,m = 100 \,cm$, તેથી $1 \,m^{3} = (100 \,cm)^{3} = 1,000,000 \,cm^{3} = 10^{6} \,cm^{3}$.
આમ, $8 \,m^{3} = 8 \times 10^{6} \,cm^{3}$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $1 \,m^{3} = 1000 \text{ લીટર}$.
તેથી, $8 \,m^{3} = 8000 \text{ લીટર}$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
$1000 \text{ લીટર} = 1 \text{ કિલોલીટર}$ હોવાથી, $8000 \text{ લીટર} = 8 \text{ કિલોલીટર}$ થાય. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
આમ, વિકલ્પ $A, B$ અને $C$ ત્રણેય સાચા હોવાથી, સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1\,m = 100\,cm = 10^2\,cm$.
$1\,m^3$ ની કિંમત $cm^3$ માં શોધવા માટે,આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓનો ઘન કરીએ છીએ:
$1\,m^3 = (10^2\,cm)^3$
$1\,m^3 = (10^2)^3\,cm^3$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$1\,m^3 = 10^{2 \times 3}\,cm^3 = 10^6\,cm^3$.
તેથી,$1\,m^3 = 10^6\,cm^3$.

(B) અર્ધગોલકનો વ્યાસ $d = 1 \, cm$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{1}{2} \, cm$ થાય.
અર્ધગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{2}{3} \pi \left( \frac{1}{2} \right)^3$
$V = \frac{2}{3} \pi \left( \frac{1}{8} \right)$
$V = \frac{2 \pi}{24} = \frac{\pi}{12} \, cm^3$.

(D) આપેલા ભાગોને જોડવા માટે,આપણે પ્રમાણિત ઘનફળના સૂત્રોને ઓળખીએ છીએ:
$1$. લંબાઈ $l$,પહોળાઈ $b$ અને ઊંચાઈ $h$ ધરાવતા લંબઘનનું ઘનફળ $V = lbh$ છે. તેથી,$1$ એ $d$ સાથે જોડાય છે.
$2$. ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ ધરાવતા શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે. તેથી,$2$ એ $a$ સાથે જોડાય છે.
$3$. ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ ધરાવતા નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^{2} h$ છે. તેથી,$3$ એ $b$ સાથે જોડાય છે.
$4$. ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે. તેથી,$4$ એ $c$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડ $(1-d), (2-a), (3-b), (4-c)$ છે.