Volume of a Combination of Solids Questions in Gujarati

(C) ધારો કે ત્રણ સમઘનની ધાર અનુક્રમે $3x, 4x$ અને $5x \, \text{cm}$ છે.
ત્રણેય સમઘનનું કુલ ઘનફળ $V = (3x)^3 + (4x)^3 + (5x)^3 = 27x^3 + 64x^3 + 125x^3 = 216x^3 \, \text{cm}^3$ થાય.
ધારો કે નવા બનેલા સમઘનની બાજુ $a$ છે. આ નવા સમઘનનું ઘનફળ $a^3 = 216x^3$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a = 6x$.
$a$ બાજુવાળા સમઘનનો વિકર્ણ $d = a\sqrt{3}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં વિકર્ણ $12\sqrt{3} \, \text{cm}$ આપેલ છે,તેથી $a\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$,એટલે કે $a = 12 \, \text{cm}$.
$a = 6x$ હોવાથી,$6x = 12$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.
તેથી,ત્રણેય સમઘનની ધાર અનુક્રમે $3(2) = 6 \, \text{cm}$,$4(2) = 8 \, \text{cm}$ અને $5(2) = 10 \, \text{cm}$ છે.

(D) આપેલ છે કે,ત્રણ નક્કર સમઘનની બાજુઓ અનુક્રમે $3 \, cm$,$4 \, cm$ અને $5 \, cm$ છે。
સમઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = (\text{બાજુ})^3$ છે。
પ્રથમ સમઘનનું ઘનફળ $= (3)^3 = 27 \, cm^3$.
બીજા સમઘનનું ઘનફળ $= (4)^3 = 64 \, cm^3$.
ત્રીજા સમઘનનું ઘનફળ $= (5)^3 = 125 \, cm^3$.
ત્રણેય સમઘનનું કુલ ઘનફળ $= 27 + 64 + 125 = 216 \, cm^3$.
ધારો કે નવા બનેલા સમઘનની બાજુનું માપ $R \, cm$ છે。
તેથી,નવા સમઘનનું ઘનફળ $= R^3$.
કુલ ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,$R^3 = 216$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$R = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$.
આમ,નવા બનેલા સમઘનની બાજુનું માપ $6 \, cm$ છે。

(A) આપેલ છે,લંબઘનનું માપ $= 9 \, cm \times 11 \, cm \times 12 \, cm$.
લંબઘનનું ઘનફળ $= 9 \times 11 \times 12 = 1188 \, cm^3$.
ગોળાકાર છરાનો વ્યાસ $= 3 \, cm$.
છરાની ત્રિજ્યા,$r = \frac{3}{2} = 1.5 \, cm$.
એક ગોળાકાર છરાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.5)^3$.
એક છરાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.375 = \frac{99}{7} \approx 14.143 \, cm^3$.
છરાની સંખ્યા $= \frac{\text{લંબઘનનું ઘનફળ}}{\text{એક છરાનું ઘનફળ}} = \frac{1188}{99/7} = \frac{1188 \times 7}{99} = 12 \times 7 = 84$.
આમ,$84$ છરા બનાવી શકાય છે.

(B) આપેલ છે, આડછેદનું ઘનફળ $= 28.49 \, \text{લીટર} = 28.49 \times 1000 \, \text{સેમી}^3 = 28490 \, \text{સેમી}^3$ (કારણ કે $1 \, \text{લીટર} = 1000 \, \text{સેમી}^3$).
ઉપરના ભાગની ત્રિજ્યા $(r_1) = 28 \, \text{સેમી}$.
નીચેના ભાગની ત્રિજ્યા $(r_2) = 21 \, \text{સેમી}$.
ધારો કે ડોલની ઊંચાઈ $h \, \text{સેમી}$ છે.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $28490 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times h \times (28^2 + 21^2 + 28 \times 21)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times (784 + 441 + 588)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times 1813$.
$h = \frac{28490 \times 21}{22 \times 1813}$.
$h = \frac{598290}{39886} = 15 \, \text{સેમી}$.

(C) ધારો કે શંકુ $ORN$ છે,જેની પાયાની ત્રિજ્યા $r_1 = 8 \, cm$ અને ઊંચાઈ $OM = 12 \, cm$ છે.
ધારો કે $P$ એ $OM$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $OP = PM = \frac{12}{2} = 6 \, cm$.
સમતલ પાયાને સમાંતર હોવાથી,$\triangle OPD \sim \triangle OMN$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ,$\frac{OP}{OM} = \frac{PD}{MN}$.
$\frac{6}{12} = \frac{PD}{8} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{PD}{8} \Rightarrow PD = 4 \, cm$.
આ સમતલ શંકુને એક નાનો શંકુ (ઉપરનો ભાગ) અને એક શંકુના આડછેદ (નીચેનો ભાગ) માં વિભાજિત કરે છે.
નાના શંકુનું ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi (PD)^2 (OP) = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (6) = 32 \pi \, cm^3$.
મૂળ શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi (MN)^2 (OM) = \frac{1}{3} \pi (8)^2 (12) = 256 \pi \, cm^3$.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $V_2 = V - V_1 = 256 \pi - 32 \pi = 224 \pi \, cm^3$.
નાના શંકુ અને આડછેદના ઘનફળનો ગુણોત્તર $V_1 : V_2 = 32 \pi : 224 \pi = 1 : 7$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે,નક્કર સમઘનની બાજુ $(a) = 7 \, cm$.
શંકુ આકારની પોલાણ (શંકુ) ની ઊંચાઈ,$h = 7 \, cm$.
શંકુ આકારની પોલાણ (શંકુ) ની ત્રિજ્યા,$r = 3 \, cm$.
સમઘનનું ઘનફળ $= a^3 = (7)^3 = 343 \, cm^3$.
શંકુ આકારની પોલાણ (શંકુ) નું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3)^2 \times 7$.
$= \frac{1}{3} \times 22 \times 9 = 66 \, cm^3$.
બાકી રહેલા ઘનનું ઘનફળ $=$ સમઘનનું ઘનફળ $-$ શંકુ આકારની પોલાણનું ઘનફળ.
$= 343 - 66 = 277 \, cm^3$.
આમ,બાકી રહેલા ઘનનું ઘનફળ $277 \, cm^3$ છે.

(D) આઈસ્ક્રીમનો કોન એ અર્ધગોલક અને શંકુનું સંયોજન છે.
આપેલ છે કે,અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 5 \, cm$.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^{3} = \frac{5500}{21} \approx 261.90 \, cm^{3}$.
હવે,શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 5 \, cm$.
આઈસ્ક્રીમના કોનની કુલ ઊંચાઈ $10 \, cm$ છે. અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $5 \, cm$ હોવાથી,શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $(h)$ $= 10 - 5 = 5 \, cm$ થશે.
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^{2} \times 5 = \frac{2750}{21} \approx 130.95 \, cm^{3}$.
આઈસ્ક્રીમના કોનનું કુલ ઘનફળ $= 261.90 + 130.95 = 392.85 \, cm^{3}$.
$\frac{1}{6}$ ભાગ ખાલી રહેતો હોવાથી,ભરેલા આઈસ્ક્રીમનું ઘનફળ કુલ ઘનફળના $\frac{5}{6}$ ભાગનું થશે.
આઈસ્ક્રીમનું જરૂરી ઘનફળ $= \frac{5}{6} \times 392.85 = 5 \times 65.475 = 327.375 \approx 327.4 \, cm^{3}$.

(A) આપેલ છે,લખોટીનો વ્યાસ $= 1.4 \,cm$.
$\therefore$ લખોટીની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{1.4}{2} = 0.7 \,cm$.
એક ગોળાકાર લખોટીનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0.7)^3 = \frac{4}{3} \pi (0.343) = \frac{1.372}{3} \pi \,cm^3$.
આપેલ છે,નળાકાર બીકરનો વ્યાસ $= 7 \,cm$.
$\therefore$ બીકરની ત્રિજ્યા $(R) = \frac{7}{2} = 3.5 \,cm$.
પાણીના સ્તરમાં થયેલો વધારો $(h) = 5.6 \,cm$.
બીકરમાં વિસ્થાપિત (વધેલા) પાણીનું ઘનફળ $= \pi R^2 h = \pi (3.5)^2 (5.6) = \pi (12.25) (5.6) = 68.6 \pi \,cm^3$.
ધારો કે લખોટીઓની સંખ્યા $n$ છે.
તેથી,$n \times (\text{એક લખોટીનું ઘનફળ}) = \text{વધેલા પાણીનું ઘનફળ}$.
$n \times \frac{1.372}{3} \pi = 68.6 \pi$.
$n = \frac{68.6 \times 3}{1.372} = \frac{205.8}{1.372} = 150$.
આમ,$150$ લખોટીઓની જરૂર પડશે.

(B) આપેલ છે કે,નક્કર લંબઘન સીસાના ટુકડામાંથી ગોળાકાર સીસાના છરા બનાવવામાં આવે છે.
$\therefore$ ગોળાકાર સીસાના છરાની સંખ્યા $= \frac{\text{નક્કર લંબઘન સીસાના ટુકડાનું ઘનફળ}}{\text{એક ગોળાકાર સીસાના છરાનું ઘનફળ}}$ ......$(i)$
ગોળાકાર સીસાના છરાનો વ્યાસ $= 4.2 \, cm$ છે.
$\therefore$ ગોળાકાર સીસાના છરાની ત્રિજ્યા,$r = \frac{4.2}{2} = 2.1 \, cm$.
ગોળાકાર સીસાના છરાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1 = 38.808 \, cm^3$.
લંબઘન સીસાના ટુકડાનું ઘનફળ $= l \times b \times h = 66 \times 42 \times 21 = 58212 \, cm^3$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,
ગોળાકાર સીસાના છરાની સંખ્યા $= \frac{58212}{38.808} = 1500$.
આમ,જરૂરી ગોળાકાર સીસાના છરાની સંખ્યા $1500$ છે.

(C) આપેલ છે કે,સીસાના નક્કર સમઘનમાંથી ગોળાકાર સીસાના છરા બનાવવામાં આવે છે.
$\therefore$ ગોળાકાર સીસાના છરાની સંખ્યા $= \frac{\text{સીસાના નક્કર સમઘનનું ઘનફળ}}{\text{એક ગોળાકાર સીસાના છરાનું ઘનફળ}}$ ...........$(i)$
આપેલ છે કે,ગોળાકાર સીસાના છરાનો વ્યાસ $= 4 \,cm$.
$\Rightarrow$ ગોળાકાર સીસાના છરાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{4}{2} = 2 \,cm$.
એક ગોળાકાર સીસાના છરાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2)^3 = \frac{4 \times 22 \times 8}{3 \times 7} = \frac{704}{21} \,cm^3$.
આપેલ છે કે,નક્કર સમઘનની બાજુ $(a) = 44 \,cm$.
નક્કર સમઘનનું ઘનફળ $= a^3 = (44)^3 = 44 \times 44 \times 44 = 85184 \,cm^3$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,
ગોળાકાર સીસાના છરાની સંખ્યા $= \frac{44 \times 44 \times 44}{\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 8} = \frac{44 \times 44 \times 44 \times 3 \times 7}{4 \times 22 \times 8} = 11 \times 21 \times 11 = 2541$.
આમ,જરૂરી ગોળાકાર સીસાના છરાની સંખ્યા $2541$ છે.

(D) આપેલ છે કે,દીવાલ ઈંટો અને મોર્ટારની મદદથી બનાવવામાં આવે છે.
ઈંટોની સંખ્યા $= \frac{\text{દીવાલનું કુલ કદ} - (\frac{1}{10} \text{ભાગનું દીવાલનું કદ})}{\text{એક ઈંટનું કદ}}$ .........$(i)$
દીવાલની લંબાઈ $(l) = 24 \, m$,જાડાઈ $(b) = 0.4 \, m$,ઊંચાઈ $(h) = 6 \, m$.
દીવાલનું કુલ કદ $= l \times b \times h = 24 \times 0.4 \times 6 = 57.6 \, m^3$.
મોર્ટાર દ્વારા રોકાયેલ કદ $= \frac{1}{10} \times 57.6 = 5.76 \, m^3$.
ઈંટો દ્વારા રોકાયેલ કદ $= 57.6 - 5.76 = 51.84 \, m^3$.
ઈંટનું માપ $= 25 \, cm \times 16 \, cm \times 10 \, cm = 0.25 \, m \times 0.16 \, m \times 0.10 \, m$.
એક ઈંટનું કદ $= 0.25 \times 0.16 \times 0.10 = 0.004 \, m^3$.
ઈંટોની સંખ્યા $= \frac{51.84}{0.004} = \frac{51840}{4} = 12960$.
આમ,દીવાલ બનાવવા માટે વપરાયેલી ઈંટોની જરૂરી સંખ્યા $12960$ છે.

(A) ધાતુની ગોળાકાર તકતી એ મૂળભૂત રીતે એક પાતળો નળાકાર છે.
ધાતુની ગોળાકાર તકતી માટે:
વ્યાસ $= 1.5\, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $(r) = \frac{1.5}{2} = 0.75\, cm$.
ઊંચાઈ $(h) = 0.2\, cm$.
એક તકતીનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \pi \times (0.75)^2 \times 0.2 = \pi \times 0.5625 \times 0.2 = 0.1125\pi\, cm^3$.
મોટા નળાકાર માટે:
વ્યાસ $= 4.5\, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $(R) = \frac{4.5}{2} = 2.25\, cm$.
ઊંચાઈ $(H) = 10\, cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi R^2 H = \pi \times (2.25)^2 \times 10 = \pi \times 5.0625 \times 10 = 50.625\pi\, cm^3$.
જરૂરી તકતીઓની સંખ્યા $= \frac{\text{નળાકારનું ઘનફળ}}{\text{એક તકતીનું ઘનફળ}} = \frac{50.625\pi}{0.1125\pi} = \frac{506250}{1125} = 450$.
આમ,જરૂરી ધાતુની ગોળાકાર તકતીઓની સંખ્યા $450$ છે.

(N/A) ડોલની ક્ષમતા (ઘનફળ) નું સૂત્ર $V = \frac{\pi h}{3} [r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2]$ છે.
અહીં $h = 30 \, cm$,$r_1 = 20 \, cm$ અને $r_2 = 10 \, cm$ છે.
ક્ષમતા $= \frac{3.14 \times 30}{3} [20^2 + 10^2 + 20 \times 10] = 31.4 [400 + 100 + 200] = 31.4 \times 700 = 21980 \, cm^3$.
$1000 \, cm^3 = 1 \, litre$ હોવાથી,ક્ષમતા $21.98 \, litres$ થાય.
$Rs. \, 25$ પ્રતિ $litre$ ના ભાવે દૂધની કિંમત $21.98 \times 25 = Rs. \, 549.50$ થાય.
ત્રાંસી ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{30^2 + (20 - 10)^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} \approx 31.62 \, cm$.
ડોલની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ (ઉપરથી ખુલ્લી) = વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + તળિયાનું ક્ષેત્રફળ: $A = \pi l (r_1 + r_2) + \pi r_2^2$.
$A = 3.14 \times 31.62 \times (20 + 10) + 3.14 \times 10^2 = 3.14 \times 31.62 \times 30 + 314 = 2978.56 + 314 = 3292.56 \, cm^2 \approx 3292.6 \, cm^2$.

(D) ધારો કે અર્ધગોળાકાર ગુંબજની ત્રિજ્યા $r$ મીટર છે અને ઇમારતની કુલ ઊંચાઈ $h$ મીટર છે.
ગુંબજનો પાયાનો વ્યાસ કુલ ઊંચાઈના $\frac{2}{3}$ જેટલો હોવાથી,$2r = \frac{2}{3}h$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{h}{3}$.
ધારો કે નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $H$ છે. તો $H = h - r = h - \frac{h}{3} = \frac{2}{3}h$ મીટર.
ઇમારતની અંદરની હવાનું ઘનફળ એ અર્ધગોળાકાર ગુંબજનું ઘનફળ અને નળાકાર ભાગના ઘનફળનો સરવાળો છે.
ઘનફળ $= \frac{2}{3}\pi r^3 + \pi r^2 H = \frac{2}{3}\pi (\frac{h}{3})^3 + \pi (\frac{h}{3})^2 (\frac{2}{3}h) = \frac{2}{3}\pi (\frac{h^3}{27}) + \pi (\frac{h^2}{9}) (\frac{2}{3}h) = \frac{2\pi h^3}{81} + \frac{2\pi h^3}{27} = \frac{2\pi h^3 + 6\pi h^3}{81} = \frac{8\pi h^3}{81}$.
આપેલ છે કે ઘનફળ $67 \frac{1}{21} = \frac{1408}{21} \, m^3$ છે.
તેથી,$\frac{8}{81} \times \frac{22}{7} \times h^3 = \frac{1408}{21}$.
$h^3 = \frac{1408}{21} \times \frac{81 \times 7}{8 \times 22} = \frac{1408}{21} \times \frac{567}{176} = 8 \times 27 = 216$.
$h = \sqrt[3]{216} = 6 \, m$.

(A) ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h \, cm$ છે.
આપેલ છે કે,શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $r = 6 \, cm$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6)^2 h = \frac{36 \pi h}{3} = 12 \pi h \, cm^3$ થાય.
આપેલ છે કે,અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $R = 8 \, cm$ છે.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $V_{hemisphere} = \frac{2}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi (8)^3 = \frac{2}{3} \pi (512) = \frac{1024 \pi}{3} \, cm^3$ થાય.
અર્ધગોલકને ઓગાળીને શંકુ બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન થશે:
$12 \pi h = \frac{1024 \pi}{3}$
$h = \frac{1024 \pi}{3 \times 12 \pi} = \frac{1024}{36} = \frac{256}{9} \approx 28.44 \, cm$.
આમ,શંકુની ઊંચાઈ $28.44 \, cm$ છે.

(B) આપેલ છે કે,લંબચોરસ ટાંકીના પાયાના માપ $= 11 \,m \times 6 \,m$ અને પાણીની ઊંચાઈ $= 5 \,m$ છે.
લંબચોરસ ટાંકીમાં પાણીનું ઘનફળ $= 11 \times 6 \times 5 = 330 \,m^3$ થાય.
વળી,નળાકાર ટાંકીની ત્રિજ્યા $r = 3.5 \,m$ આપેલ છે.
ધારો કે નળાકાર ટાંકીમાં પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ $h$ છે. નળાકાર ટાંકીમાં પાણીનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
$V = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times h = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times h = 22 \times 0.5 \times 3.5 \times h = 38.5 h \,m^3$ થાય.
પાણીનું સ્થાનાંતર કરતી વખતે ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી:
$38.5 h = 330$.
$h = \frac{330}{38.5} = \frac{3300}{385} \approx 8.571 \,m$ થાય.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ $8.6 \,m$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે બાહ્ય લંબાઈ $(l) = 36 \, cm$,બાહ્ય પહોળાઈ $(b) = 25 \, cm$ અને બાહ્ય ઊંચાઈ $(h) = 16.5 \, cm$ છે. લોખંડની જાડાઈ $x = 1.5 \, cm$ છે.
ખુલ્લા બોક્સનું બાહ્ય ઘનફળ $= l \times b \times h = 36 \times 25 \times 16.5 = 14850 \, cm^3$.
ખુલ્લા બોક્સ માટે,આંતરિક પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
આંતરિક લંબાઈ $(l_i) = l - 2x = 36 - 2(1.5) = 36 - 3 = 33 \, cm$.
આંતરિક પહોળાઈ $(b_i) = b - 2x = 25 - 2(1.5) = 25 - 3 = 22 \, cm$.
આંતરિક ઊંચાઈ $(h_i) = h - x = 16.5 - 1.5 = 15 \, cm$ (કારણ કે તે ખુલ્લું બોક્સ છે,તેથી માત્ર તળિયાની જાડાઈ બાદ કરવામાં આવે છે).
આંતરિક ઘનફળ $= l_i \times b_i \times h_i = 33 \times 22 \times 15 = 10890 \, cm^3$.
જરૂરી લોખંડનું ઘનફળ = બાહ્ય ઘનફળ - આંતરિક ઘનફળ
$= 14850 - 10890 = 3960 \, cm^3$.
બોક્સનું વજન = લોખંડનું ઘનફળ $\times$ ઘનતા
$= 3960 \, cm^3 \times 7.5 \, g/cm^3 = 29700 \, g = 29.7 \, kg$.

(D) આપેલ છે કે,ફાઉન્ટેન પેનના બેરલની લંબાઈ $h = 7 \, cm$ છે.
વ્યાસ $d = 5 \, mm = 0.5 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.25 \, cm$ થાય.
નળાકાર બેરલનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (0.25)^2 \times 7 = 22 \times 0.0625 = 1.375 \, cm^3$.
આપેલ છે કે $1.375 \, cm^3$ શાહી વડે $3300$ શબ્દો લખી શકાય છે.
બોટલમાં શાહીનું ઘનફળ $= \frac{1}{5} \, L = \frac{1}{5} \times 1000 \, cm^3 = 200 \, cm^3$.
$200 \, cm^3$ શાહી વડે લખાતા શબ્દોની સંખ્યા $= \frac{3300}{1.375} \times 200$.
$= \frac{3300 \times 200}{1.375} = \frac{660000}{1.375} = 480000$ શબ્દો.

(A) આપેલ છે,પાણીના પ્રવાહની ઝડપ $= 10 \, m/min = 1000 \, cm/min$.
પાઇપની ત્રિજ્યા $r = \frac{5 \, mm}{2} = 2.5 \, mm = 0.25 \, cm$.
પાઇપના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi \times (0.25)^2 = 0.0625 \pi \, cm^2$.
દર મિનિટે વહેતા પાણીનું ઘનફળ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઝડપ} = 0.0625 \pi \times 1000 = 62.5 \pi \, cm^3$.
શંકુ આકારના પાત્રનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi R^2 H$,જ્યાં $R = 20 \, cm$ અને $H = 24 \, cm$.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi \times (20)^2 \times 24 = 8 \pi \times 400 = 3200 \pi \, cm^3$.
જરૂરી સમય $= \frac{\text{પાત્રનું ઘનફળ}}{\text{દર મિનિટે વહેતું ઘનફળ}} = \frac{3200 \pi}{62.5 \pi} = \frac{3200}{62.5} = 51.2 \, \text{મિનિટ}$.
$51.2 \, \text{મિનિટ }= 51 \, \text{મિનિટ }+ 0.2 \times 60 \, \text{સેકન્ડ }= 51 \, \text{મિનિટ }\, 12 \, \text{સેકન્ડ}$.

(D) આપેલ છે: તળાવની લંબાઈ $= 50\, m$,તળાવની પહોળાઈ $= 44\, m$.
પાણીના સ્તરમાં જરૂરી વધારો $= 21\, cm = 0.21\, m$.
તળાવમાં જરૂરી પાણીનું ઘનફળ $= 50 \times 44 \times 0.21 = 462\, m^3$.
પાઇપની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{14}{2} = 7\, cm = 0.07\, m$.
પાણીની ઝડપ $= 15\, km/h = 15000\, m/h$.
$1\, h$ માં પાઇપમાંથી વહેતા પાણીનું ઘનફળ $= \pi r^2 \times \text{ઝડપ} = \frac{22}{7} \times (0.07)^2 \times 15000$.
$= \frac{22}{7} \times 0.0049 \times 15000 = 22 \times 0.0007 \times 15000 = 231\, m^3$.
$462\, m^3$ પાણી ભરવા માટે જરૂરી સમય $= \frac{\text{કુલ જરૂરી ઘનફળ}}{\text{પ્રતિ કલાક વહેતું ઘનફળ}} = \frac{462}{231} = 2\, h$.
આમ,જરૂરી સમય $2\, h$ છે.

(A) આપેલ છે કે,એક નક્કર લોખંડના લંબઘન બ્લોકને ઓગાળીને પોલા નળાકાર પાઈપમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.
લંબઘન બ્લોકનું ઘનફળ $= l \times b \times h = 4.4 \, m \times 2.6 \, m \times 1 \, m = 11.44 \, m^3$.
પોલા નળાકાર પાઈપની આંતરિક ત્રિજ્યા $(r_i) = 30 \, cm = 0.3 \, m$.
પાઈપની જાડાઈ $= 5 \, cm = 0.05 \, m$.
બાહ્ય ત્રિજ્યા $(r_e) = r_i + \text{જાડાઈ} = 0.3 \, m + 0.05 \, m = 0.35 \, m$.
પોલા નળાકાર પાઈપનું ઘનફળ $= \pi (r_e^2 - r_i^2) h_1$,જ્યાં $h_1$ એ પાઈપની લંબાઈ છે.
ઘનફળ $= \frac{22}{7} \times (0.35^2 - 0.3^2) \times h_1 = \frac{22}{7} \times (0.1225 - 0.09) \times h_1 = \frac{22}{7} \times 0.0325 \times h_1$.
ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી: $11.44 = \frac{22}{7} \times 0.0325 \times h_1$.
$h_1 = \frac{11.44 \times 7}{22 \times 0.0325} = \frac{80.08}{0.715} = 112 \, m$.
આમ,પાઈપની લંબાઈ $112 \, m$ છે.

(B) ધારો કે જ્યારે $500$ વ્યક્તિઓ લંબઘન તળાવમાં ડૂબકી મારે છે ત્યારે પાણીના સ્તરમાં થતો વધારો $h \, m$ છે.
આપેલ છે કે,
લંબઘન તળાવની લંબાઈ $= 80 \, m$
લંબઘન તળાવની પહોળાઈ $= 50 \, m$
હવે,તળાવમાં પાણીના સ્તરમાં થતા વધારાનું ઘનફળ:
ઘનફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$
ઘનફળ $= 80 \times 50 \times h = 4000h \, m^3$
એક વ્યક્તિ દ્વારા પાણીનું સરેરાશ વિસ્થાપન $= 0.04 \, m^3$
તેથી,$500$ વ્યક્તિઓ દ્વારા પાણીનું કુલ વિસ્થાપન $= 500 \times 0.04 \, m^3 = 20 \, m^3$
પ્રશ્ન મુજબ,પાણીના સ્તરમાં થતા વધારાનું ઘનફળ એ $500$ વ્યક્તિઓ દ્વારા પાણીના કુલ વિસ્થાપન જેટલું છે:
$4000h = 20$
$h = \frac{20}{4000} \, m$
$h = \frac{1}{200} \, m = 0.005 \, m$
ઊંચાઈને સેન્ટિમીટર $(cm)$ માં ફેરવવા માટે:
$h = 0.005 \times 100 \, cm = 0.5 \, cm$
આમ,તળાવમાં પાણીના સ્તરમાં જરૂરી વધારો $0.5 \, cm$ છે.

(C) આપેલ છે,લંબઘન બોક્સના માપ $= 16 \,cm \times 8 \,cm \times 8 \,cm$.
લંબઘન બોક્સનું ઘનફળ $= 16 \times 8 \times 8 = 1024 \,cm^3$.
એક કાચના ગોળાની ત્રિજ્યા $(r) = 2 \,cm$.
એક કાચના ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 8 = \frac{704}{21} \approx 33.524 \,cm^3$.
$16$ કાચના ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ $= 16 \times 33.524 = 536.384 \,cm^3$.
ભરેલા પાણીનું ઘનફળ $= \text{લંબઘન બોક્સનું ઘનફળ} - 16 \text{ કાચના ગોળાઓનું ઘનફળ}$.
પાણીનું ઘનફળ $= 1024 - 536.384 = 487.616 \,cm^3$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઘનફળ $487.6 \,cm^3$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: દૂધના પાત્રની ઊંચાઈ $(h) = 16 \, cm$,નીચેના છેડાની ત્રિજ્યા $(r) = 8 \, cm$ અને ઉપરના છેડાની ત્રિજ્યા $(R) = 20 \, cm$.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર: $V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + r^2 + Rr)$.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 16 \times (20^2 + 8^2 + 20 \times 8)$
$V = \frac{22 \times 16}{21} \times (400 + 64 + 160)$
$V = \frac{352}{21} \times 624$
$V = \frac{219648}{21} \approx 10459.43 \, cm^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{લિટર}$,તેથી લિટરમાં ઘનફળ $V = \frac{10459.43}{1000} = 10.45943 \, \text{લિટર}$.
$Rs. \, 22$ પ્રતિ લિટરના ભાવે દૂધની કિંમત:
કિંમત $= 10.45943 \times 22 = Rs. \, 230.107 \approx Rs. \, 230.12$.

(N/A) આપેલ છે,નળાકાર ડોલના પાયાની ત્રિજ્યા $(R) = 18 \,cm$.
ડોલની ઊંચાઈ $(H) = 32 \,cm$.
નળાકાર ડોલમાં રહેલી રેતીનું ઘનફળ $= \pi R^2 H = \pi \times (18)^2 \times 32 = 10368 \pi \,cm^3$.
ધારો કે શંકુ આકારના ઢગલાની ત્રિજ્યા $r \,cm$ અને તેની ઊંચાઈ $h = 24 \,cm$ છે.
શંકુ આકારના ઢગલાનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 \times 24 = 8 \pi r^2 \,cm^3$.
રેતીનું ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,$8 \pi r^2 = 10368 \pi$.
$r^2 = \frac{10368}{8} = 1296$.
$r = \sqrt{1296} = 36 \,cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ એ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ દ્વારા મળે છે.
$l = \sqrt{36^2 + 24^2} = \sqrt{1296 + 576} = \sqrt{1872}$.
$l = 12\sqrt{13} \approx 43.27 \,cm$.
આમ,ઢગલાની ત્રિજ્યા $36 \,cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ આશરે $43.27 \,cm$ છે.

(D) આપેલ છે કે,અર્ધગોળાકાર વાટકાની ત્રિજ્યા,$r = 9 \,cm$.
અર્ધગોળાકાર વાટકાનું ઘનફળ $V_{bowl} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 9^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 729 = 486 \pi \,cm^3$ છે.
દરેક નળાકાર બોટલની ત્રિજ્યા $R = 1.5 \,cm$ અને ઊંચાઈ $h = 4 \,cm$ છે.
એક નળાકાર બોટલનું ઘનફળ $V_{bottle} = \pi R^2 h = \pi \times (1.5)^2 \times 4 = \pi \times 2.25 \times 4 = 9 \pi \,cm^3$ છે.
જરૂરી બોટલોની સંખ્યા $= \frac{V_{bowl}}{V_{bottle}} = \frac{486 \pi}{9 \pi} = 54$.
તેથી,વાટકો ખાલી કરવા માટે $54$ બોટલોની જરૂર પડશે.

(N/A) $(i)$ જ્યારે કોઈ નક્કર પદાર્થને પાણીથી ભરેલા પાત્રમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે બહાર નીકળેલા પાણીનું ઘનફળ તે પદાર્થના ડૂબેલા ભાગના ઘનફળ જેટલું હોય છે.
$(ii)$ નળાકારમાં શરૂઆતમાં રહેલા પાણીનું કુલ ઘનફળ એ નળાકારના ઘનફળ જેટલું હોય છે.
$(iii)$ નળાકારમાં બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ $=$ (નળાકારનું કુલ ઘનફળ) $-$ (શંકુનું ઘનફળ).
આપેલ છે:
શંકુની ઊંચાઈ $(h_1)$ $= 120 \,cm$
શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 60 \,cm$
નળાકારની ઊંચાઈ $(h_2)$ $= 180 \,cm$
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 60 \,cm$
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times (60)^2 \times 120 = 144000 \pi \,cm^3$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 h_2 = \pi \times (60)^2 \times 180 = 648000 \pi \,cm^3$.
શંકુ સંપૂર્ણપણે ડૂબેલો હોવાથી,બહાર નીકળેલા પાણીનું ઘનફળ શંકુના ઘનફળ જેટલું એટલે કે $144000 \pi \,cm^3$ થશે.
નળાકારમાં બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ $= 648000 \pi - 144000 \pi = 504000 \pi \,cm^3$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા:
ઘનફળ $= 504000 \times \frac{22}{7} = 72000 \times 22 = 1584000 \,cm^3$.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા $(1 \,m^3 = 10^6 \,cm^3)$:
ઘનફળ $= \frac{1584000}{1000000} \,m^3 = 1.584 \,m^3$.
આમ,નળાકારમાં બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ $1.584 \,m^3$ છે.

આપેલ છે:
ટાંકીની ત્રિજ્યા, $r_1 = 40\,cm$
ધારો કે અડધા કલાકમાં ટાંકીમાં પાણીના સ્તરમાં થતો વધારો $h_1\,cm$ છે.
નળાકાર પાઇપની આંતરિક ત્રિજ્યા, $r_2 = 1\,cm$
પાણીના વહેવાનો દર $= 80\,cm/s$
સમય $= 30$ મિનિટ $= 30 \times 60 = 1800$ સેકન્ડ
$1800$ સેકન્ડમાં પાઇપમાંથી બહાર આવતા પાણીના સ્તંભની લંબાઈ:
$h_2 = 80 \times 1800 = 144000\,cm$
\textbf{કદના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ:}
ટાંકીમાં પાણીનું કદ = પાઇપમાંથી વહેલું પાણીનું કદ
$\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2$
$40^2 \times h_1 = 1^2 \times 144000$
$1600 \times h_1 = 144000$
$h_1 = \frac{144000}{1600} = 90\,cm$
\textbf{અંતિમ જવાબ:}
અડધા કલાકમાં ટાંકીમાં પાણીનું સ્તર $90\,cm$ જેટલું વધશે.

(C) આપેલ છે કે,છતની લંબાઈ $= 22 \, m$ અને છતની પહોળાઈ $= 20 \, m$.
ધારો કે વરસાદનું માપ $a \, cm = \frac{a}{100} \, m$ છે.
છત પર એકત્રિત થયેલ પાણીનું ઘનફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{વરસાદની ઊંચાઈ} = 22 \times 20 \times \frac{a}{100} = \frac{22a}{5} \, m^3$.
નળાકાર પાત્રની ત્રિજ્યા $r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, m$.
નળાકાર પાત્રની ઊંચાઈ $h = 3.5 \, m = \frac{7}{2} \, m$.
નળાકાર પાત્રનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (1)^2 \times \frac{7}{2} = 11 \, m^3$.
છત પરથી એકત્રિત થયેલ પાણી નળાકાર પાત્રને ભરે છે,તેથી બંને ઘનફળ સમાન છે:
$\frac{22a}{5} = 11$.
$a = \frac{11 \times 5}{22} = 2.5 \, cm$.
આમ,વરસાદનું માપ $2.5 \, cm$ છે.

(B) શંકુની ત્રિજ્યા $=$ અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા $= r = 15\, cm$ અને શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = 25\, cm$.
શંકુ માટે,$l^{2} = r^{2} + h^{2}$.
$\therefore h^{2} = l^{2} - r^{2} = 25^{2} - 15^{2} = 625 - 225 = 400 = (20)^{2}$.
તેથી,$h = 20\, cm$.
સંયુક્ત ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $=$ શંકુનું ઘનફળ $+$ અર્ધગોળાનું ઘનફળ.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^{2} h + \frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{1}{3} \pi r^{2} (h + 2r)$.
કિંમતો મૂકતા: ઘનફળ $= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 15 \times 15 \times (20 + 2 \times 15)$.
ઘનફળ $= 3.14 \times 5 \times 15 \times (20 + 30) = 3.14 \times 75 \times 50 = 3.14 \times 3750 = 11775\, cm^{3}$.
આમ,આપેલ ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $11775\, cm^{3}$ છે.

(C) નળાકારની ત્રિજ્યા $=$ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $= r = 8.4 \,cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $h =$ કુલ ઊંચાઈ $-$ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા.
$h = 52.8 - 8.4 = 44.4 \,cm$.
સંયુક્ત ટાંકીનું ઘનફળ $=$ નળાકારનું ઘનફળ $+$ અર્ધગોલકનું ઘનફળ.
$V = \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 = \pi r^2 (h + \frac{2}{3} r)$.
$V = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 \times (44.4 + \frac{2}{3} \times 8.4)$.
$V = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 \times (44.4 + 5.6)$.
$V = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 \times 50$.
$V = 22 \times 1.2 \times 8.4 \times 50 = 11088 \,cm^3$.
કારણ કે $1000 \,cm^3 = 1 \,\text{લિટર}$,તેથી લિટરમાં ઘનફળ $\frac{11088}{1000} = 11.088 \,\text{લિટર}$ થાય.

(D) શંકુની ત્રિજ્યા $=$ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $= r = 15 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $h = \text{કુલ ઊંચાઈ} - \text{અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા} = 55 - 15 = 40 \, cm$.
સંયુક્ત ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $=$ શંકુનું ઘનફળ $+$ અર્ધગોલકનું ઘનફળ.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{1}{3} \pi r^2 (h + 2r)$.
કિંમતો મૂકતા: ઘનફળ $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 15 \times 15 \times (40 + 2 \times 15)$.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 225 \times (40 + 30) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 225 \times 70$.
ઘનફળ $= 22 \times 75 \times 10 = 16500 \, cm^3$.

(A) નળાકારની ત્રિજ્યા $=$ દરેક અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $= r = 2.1 \,m$.
નળાકારની ઊંચાઈ $h =$ ટાંકીની કુલ ઊંચાઈ $- 2 \times$ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $= 9.2 - 2 \times 2.1 = 5 \,m$.
સંયુક્ત ટાંકીનું ઘનફળ $=$ નળાકારનું ઘનફળ $+ 2 \times$ અર્ધગોલકનું ઘનફળ
$= \pi r^{2} h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^{3}) = \pi r^{2} (h + \frac{4}{3} r)$
$= \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times (5 + \frac{4}{3} \times 2.1)$
$= \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times (5 + 2.8) = \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 7.8 = 108.108 \,m^{3}$.
કારણ કે $1 \,m^{3} = 1000$ લિટર,
લિટરમા ઘનફળ $= 108.108 \times 1000 = 1,08,108$ લિટર.
આમ,ટાંકીમાં $1,08,108$ લિટર પેટ્રોલ સમાઈ શકે છે.

(B) નળાકારની ત્રિજ્યા $=$ દરેક શંકુની ત્રિજ્યા $= r = 10 \,cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $H = 40 \,cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = 26 \,cm$.
શંકુ માટે,$l^2 = r^2 + h^2$,જ્યાં $h$ એ શંકુની ઊંચાઈ છે.
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24 \,cm$.
સંયુક્ત પાત્રનું ઘનફળ $=$ નળાકારનું ઘનફળ $+ 2 \times$ શંકુનું ઘનફળ.
ઘનફળ $= \pi r^2 H + 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h) = \pi r^2 (H + \frac{2}{3} h)$.
કિંમતો મૂકતા: ઘનફળ $= \frac{22}{7} \times 10^2 \times (40 + \frac{2}{3} \times 24) = \frac{22}{7} \times 100 \times (40 + 16) = \frac{22}{7} \times 100 \times 56$.
ઘનફળ $= 22 \times 100 \times 8 = 17600 \,cm^3$.
કારણ કે $1000 \,cm^3 = 1 \,\text{લિટર}$,લિટરમાં ઘનફળ $\frac{17600}{1000} = 17.6 \,\text{લિટર}$ થાય.
આમ,મોડેલ $17.6 \,\text{લિટર}$ પાણી સમાવી શકે છે.

(C) આ ઘન પદાર્થ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે રહેલા બે શંકુનો બનેલો છે.
આપેલ છે:
નળાકાર અને શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ = $7\, cm$.
દરેક શંકુની ઊંચાઈ $(h_1)$ = $18\, cm$.
ઘન પદાર્થની કુલ ઊંચાઈ $(H)$ = $64\, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h_2)$ = $H - 2 \times h_1 = 64 - 2(18) = 64 - 36 = 28\, cm$.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ + $2 \times$ શંકુનું ઘનફળ.
ઘનફળ = $\pi r^2 h_2 + 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h_1)$.
ઘનફળ = $\pi r^2 (h_2 + \frac{2}{3} h_1)$.
ઘનફળ = $\frac{22}{7} \times 7^2 \times (28 + \frac{2}{3} \times 18)$.
ઘનફળ = $22 \times 7 \times (28 + 12) = 154 \times 40 = 6160\, cm^3$.

(D) આ પદાર્થનું ઘનફળ એ શંકુના ઘનફળ અને અર્ધગોળાના ઘનફળનો સરવાળો છે.
આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 14 \, cm$,શંકુની ઊંચાઈ $h = 32 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 32 = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 32 = \frac{19712}{3} \, cm^3$.
અર્ધગોળાનું ઘનફળ $V_2 = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 = \frac{2}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 14 = \frac{17248}{3} \, cm^3$.
કુલ ઘનફળ $V = V_1 + V_2 = \frac{19712 + 17248}{3} = \frac{36960}{3} = 12320 \, cm^3$.

(A) આ ઘન પદાર્થ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે રહેલા બે શંકુઓનો બનેલો છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $21 \, cm$.
દરેક શંકુની ઊંચાઈ $(h_{cone})$ = $30 \, cm$.
ઘન પદાર્થની કુલ ઊંચાઈ = $140 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h_{cyl})$ = કુલ ઊંચાઈ - $2 \times h_{cone} = 140 - 2(30) = 140 - 60 = 80 \, cm$.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ + $2 \times$ શંકુનું ઘનફળ.
નળાકારનું ઘનફળ = $\pi r^2 h_{cyl} = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 80 = 22 \times 3 \times 21 \times 80 = 1,10,880 \, cm^3$.
બે શંકુનું ઘનફળ = $2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h_{cone}) = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 30 = 2 \times 22 \times 21 \times 30 = 27,720 \, cm^3$.
કુલ ઘનફળ = $1,10,880 + 27,720 = 1,38,600 \, cm^3$.

(B) આ ઘન પદાર્થ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે બે અર્ધગોલકનો બનેલો છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $4.2 \, cm$.
ઘન પદાર્થની કુલ ઊંચાઈ = $15 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h)$ = કુલ ઊંચાઈ - $2 \times$ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા = $15 - 2(4.2) = 15 - 8.4 = 6.6 \, cm$.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ + $2 \times$ અર્ધગોલકનું ઘનફળ.
ઘનફળ = $\pi r^2 h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^3) = \pi r^2 (h + \frac{4}{3} r)$.
ઘનફળ = $\frac{22}{7} \times (4.2)^2 \times (6.6 + \frac{4}{3} \times 4.2)$.
ઘનફળ = $\frac{22}{7} \times 17.64 \times (6.6 + 5.6) = 22 \times 2.52 \times 12.2$.
ઘનફળ = $55.44 \times 12.2 = 676.368 \, cm^3$.

(C) ભમરડો એ શંકુ અને અર્ધગોલકનો બનેલો છે જે તેમના પાયા પર જોડાયેલા છે. શંકુ અને અર્ધગોલક બંનેની ત્રિજ્યા $r = 2.8 \, cm$ છે. શંકુની ઊંચાઈ $h = 6.4 \, cm$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.8)^2 \times 6.4 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7.84 \times 6.4 \approx 52.53 \, cm^3$.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $V_{hemi} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.8)^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 21.952 \approx 46.03 \, cm^3$.
કુલ ઘનફળ $V = V_{cone} + V_{hemi} = 52.53 + 46.03 = 98.56 \, cm^3$.

(A) પાત્ર નળાકાર અને અર્ધગોલકનું બનેલું છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $8.4 \,cm$.
અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ = $8.4 \,cm$.
પાત્રની કુલ ઊંચાઈ $(H)$ = $52.8 \,cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h)$ = $H - r = 52.8 - 8.4 = 44.4 \,cm$.
પાત્રનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ + અર્ધગોલકનું ઘનફળ.
ઘનફળ = $\pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 = \pi r^2 (h + \frac{2}{3} r)$.
ઘનફળ = $\frac{22}{7} \times (8.4)^2 \times (44.4 + \frac{2}{3} \times 8.4)$.
ઘનફળ = $\frac{22}{7} \times 70.56 \times (44.4 + 5.6) = \frac{22}{7} \times 70.56 \times 50$.
ઘનફળ = $22 \times 10.08 \times 50 = 11088 \,cm^3$.
$1000 \,cm^3 = 1 \,\text{લિટર}$ હોવાથી,લિટરમાં ઘનફળ = $11088 / 1000 = 11.088 \,\text{લિટર}$.

(A) આપેલ છે: શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ = $15 \, cm$,તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $25 \, cm$.
સૌ પ્રથમ,$l^2 = r^2 + h^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ શોધો.
$h^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$.
$h = \sqrt{400} = 20 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ = $\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 15^2 \times 20 = 3.14 \times 225 \times \frac{20}{3} = 3.14 \times 75 \times 20 = 3.14 \times 1500 = 4710 \, cm^3$.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ = $\frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times 15^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times 3375 = 2 \times 3.14 \times 1125 = 7065 \, cm^3$.
ઘન પદાર્થનું કુલ ઘનફળ = શંકુનું ઘનફળ + અર્ધગોલકનું ઘનફળ = $4710 + 7065 = 11775 \, cm^3$.

(B) આ ઘન પદાર્થ એક અર્ધગોલક પર મૂકવામાં આવેલા શંકુનો બનેલો છે.
આપેલ છે: અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ = $15 \, cm$.
ઘન પદાર્થની કુલ ઊંચાઈ $(H)$ = $55 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ = $H - r = 55 - 15 = 40 \, cm$.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ = શંકુનું ઘનફળ + અર્ધગોલકનું ઘનફળ.
શંકુનું ઘનફળ = $\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (15)^2 \times 40 = 3000 \pi \, cm^3$.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ = $\frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times (15)^3 = 2250 \pi \, cm^3$.
કુલ ઘનફળ = $3000 \pi + 2250 \pi = 5250 \pi \, cm^3$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,કુલ ઘનફળ = $5250 \times 3.14 = 16485 \, cm^3$. નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $16500 \, cm^3$ છે.

(C) નળાકાર કૂવા માટે,ત્રિજ્યા $r = \frac{5.4}{2} = 2.7 \, m$ અને ઊંડાઈ $h = 20 \, m$ છે.
ખોદવામાં આવેલી માટીનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi \times (2.7)^2 \times 20 \, m^3$ થાય.
આ માટીને $R = 15 \, m$ ત્રિજ્યાવાળી ગોળાકાર જમીન પર $H$ ઊંચાઈ સુધી પાથરવામાં આવે છે. આ પાથરેલી માટીનું ઘનફળ $V = \pi R^2 H = \pi \times (15)^2 \times H \, m^3$ થાય.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $\pi \times (2.7)^2 \times 20 = \pi \times (15)^2 \times H$.
$H = \frac{2.7 \times 2.7 \times 20}{15 \times 15} = \frac{7.29 \times 20}{225} = \frac{145.8}{225} = 0.648 \, m$.
ઊંચાઈને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $H = 0.648 \times 100 = 64.8 \, cm$.
આમ,જમીનની સપાટીમાં થયેલો વધારો $64.8 \, cm$ છે.

(D) ગોળાની ત્રિજ્યા $R = 21 \,cm$.
ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (21)^3 \,cm^3$.
નળાકાર તાર માટે,વ્યાસ $= 0.5 \,cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{0.5}{2} = 0.25 = \frac{1}{4} \,cm$.
ધારો કે તારની લંબાઈ $h \,cm$ છે.
તારનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \pi (\frac{1}{4})^2 h \,cm^3$.
ગોળાને ઓગાળીને તાર બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન થાય:
$\pi (\frac{1}{4})^2 h = \frac{4}{3} \pi (21)^3$
$\frac{1}{16} h = \frac{4}{3} \times 21 \times 21 \times 21$
$h = 16 \times 4 \times 7 \times 21 \times 21$
$h = 64 \times 7 \times 441 = 197568 \,cm$.
મીટરમાં ફેરવવા માટે $100$ વડે ભાગતા:
$h = \frac{197568}{100} = 1975.68 \,m$.
આમ,તારની લંબાઈ $1975.68 \,m$ છે.

(A) ધારો કે મોટા ધાતુના ગોળાની ત્રિજ્યા $r = 42\, cm$ છે અને દરેક નાના દડાની ત્રિજ્યા $R\, cm$ છે.
મોટા ગોળાનું ઘનફળ એ $8000$ નાના દડાઓના કુલ ઘનફળ જેટલું થાય.
ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$
$8000$ દડાઓનું ઘનફળ $= 8000 \times \frac{4}{3} \pi R^3$
ઘનફળને સરખાવતા: $8000 \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi r^3$
$8000 R^3 = r^3$
$8000 R^3 = (42)^3$
$R^3 = \frac{42 \times 42 \times 42}{8000}$
$R^3 = \left(\frac{42}{20}\right)^3$
$R = \frac{42}{20} = 2.1\, cm$
આમ,દરેક નાના દડાની ત્રિજ્યા $2.1\, cm$ છે.

(B) નળાકારની ત્રિજ્યા $r = 15\, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 20\, cm$ છે.
દરેક દડાની ત્રિજ્યા $R = 3\, cm$ છે.
ધારો કે $n$ દડાઓ બનાવવામાં આવે છે.
ઓગાળીને ફરીથી આકાર આપતી વખતે ઘનફળ સમાન રહે છે:
$n$ દડાઓનું ઘનફળ $=$ નળાકારનું ઘનફળ
$n \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \pi r^2 h$
$n \times \frac{4}{3} \times (3)^3 = (15)^2 \times 20$
$n \times \frac{4}{3} \times 27 = 225 \times 20$
$n \times 36 = 4500$
$n = \frac{4500}{36} = 125$
આમ,$125$ દડાઓ બનાવવામાં આવે છે.

(C) ગોળાની ત્રિજ્યા $R = 18 \,cm$ છે.
દરેક નળાકાર માટે,ત્રિજ્યા $r = 3 \,cm$ અને ઊંચાઈ $h = 12 \,cm$ છે.
ધારો કે $n$ નળાકારો બને છે.
$n$ નળાકારોનું ઘનફળ = ગોળાનું ઘનફળ.
$n \times \pi r^{2} h = \frac{4}{3} \pi R^{3}$.
$n \times r^{2} h = \frac{4}{3} R^{3}$.
$n \times 3^{2} \times 12 = \frac{4}{3} \times 18^{3}$.
$n \times 9 \times 12 = \frac{4}{3} \times 5832$.
$n \times 108 = 7776$.
$n = \frac{7776}{108} = 72$.
આમ,$72$ નળાકારો ઉત્પન્ન થાય છે.

(D) ધાતુના ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 21 \,cm$ છે.
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times (21)^3 = 4 \times \pi \times 441 \times 7 = 12348 \pi \,cm^3$.
તાર નળાકાર આકારનો છે જેની ત્રિજ્યા $R = 0.5 \,cm$ અને લંબાઈ $h$ છે. તારનું ઘનફળ $V = \pi R^2 h$ છે.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $12348 \pi = \pi \times (0.5)^2 \times h$.
$12348 = 0.25 \times h$.
$h = \frac{12348}{0.25} = 12348 \times 4 = 49392 \,cm$.
લંબાઈને મીટરમાં ફેરવવા માટે,$100$ વડે ભાગતા: $h = \frac{49392}{100} = 493.92 \,m$.

(A) આપેલ છે: ધાતુના ગોળાનો વ્યાસ $D = 12 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 6 \, cm$.
નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $r = 0.3 \, cm$.
ધારો કે બનતા ગોળાઓની સંખ્યા $n$ છે.
ઓગાળતી વખતે અને ફરીથી બનાવતી વખતે ઘનફળ સમાન રહે છે,તેથી મોટા ગોળાનું ઘનફળ એ $n$ નાના ગોળાઓના ઘનફળના સરવાળા જેટલું થાય.
$V_{\text{large}} = n \times V_{\text{small}}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n \times r^3$
$n = \frac{R^3}{r^3} = \left( \frac{R}{r} \right)^3$
$n = \left( \frac{6}{0.3} \right)^3 = (20)^3$
$n = 8000$.
આમ,બનતા ગોળાઓની સંખ્યા $8000$ છે.

(B) ધાતુના નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi \times (6)^2 \times 4 = 144\pi \, cm^3$ છે.
દરેક દડાનો વ્યાસ $1 \, cm$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_{ball} = 0.5 \, cm$ થાય.
એક ગોળાકાર દડાનું ઘનફળ $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0.5)^3 = \frac{4}{3} \pi (0.125) = \frac{0.5}{3} \pi = \frac{1}{6} \pi \, cm^3$ થાય.
બનાવી શકાતા દડાની સંખ્યા $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{ball}} = \frac{144\pi}{\frac{1}{6}\pi} = 144 \times 6 = 864$ છે.