Volume of a Combination of Solids Questions in Gujarati

(B) શેડની અંદરની હવાનું ઘનફળ (જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ કે મશીનરી ન હોય ત્યારે) લંબઘન અને અર્ધ-નળાકારના ઘનફળના સરવાળા જેટલું હોય છે.
લંબઘનના પરિમાણો $\text{લંબાઈ }= 15\,m,$ $\text{પહોળાઈ }= 7\,m,$ અને $\text{ઊંચાઈ }= 8\,m$ છે.
લંબઘનનું ઘનફળ $= \text{લંબાઈ }\times \text{પહોળાઈ }\times \text{ઊંચાઈ }= 15 \times 7 \times 8 = 840\,m^3.$
અર્ધ-નળાકારનો વ્યાસ $7\,m$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = 3.5\,m = \frac{7}{2}\,m$ થાય. નળાકારની લંબાઈ $15\,m$ છે.
અર્ધ-નળાકારનું ઘનફળ $= \frac{1}{2} \times (\pi r^2 h) = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 15 = 288.75\,m^3.$
શેડનું કુલ ઘનફળ $= 840 + 288.75 = 1128.75\,m^3.$
મશીનરી દ્વારા રોકાયેલી જગ્યા $= 300\,m^3.$
$20$ કામદારો દ્વારા રોકાયેલી જગ્યા $= 20 \times 0.08 = 1.6\,m^3.$
રોકાયેલી કુલ જગ્યા $= 300 + 1.6 = 301.6\,m^3.$
શેડમાં હવાનું ઘનફળ $= 1128.75 - 301.6 = 827.15\,m^3.$

(C) આપેલ છે કે,નળાકાર ગ્લાસનો અંદરનો વ્યાસ $= 5 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2.5 \, cm$. ઊંચાઈ $h = 10 \, cm$.
ગ્લાસની આભાસી ક્ષમતા એ નળાકારનું ઘનફળ છે:
આભાસી ક્ષમતા $= \pi r^2 h = 3.14 \times (2.5)^2 \times 10 = 3.14 \times 6.25 \times 10 = 196.25 \, cm^3$.
વાસ્તવિક ક્ષમતા ગ્લાસના તળિયે રહેલા અર્ધગોળાકાર ભાગના ઘનફળ જેટલી ઓછી થાય છે:
અર્ધગોળાકારનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times (2.5)^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times 15.625 = 32.70833... \approx 32.71 \, cm^3$.
વાસ્તવિક ક્ષમતા $= \text{આભાસી ક્ષમતા} - \text{અર્ધગોળાકારનું ઘનફળ} = 196.25 - 32.71 = 163.54 \, cm^3$.

(D) ધારો કે $BPC$ એ અર્ધગોલક છે અને $ABC$ એ અર્ધગોલકના પાયા પર રહેલો શંકુ છે.
અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $BO$ (તેમજ શંકુની) $= \frac{1}{2} \times 4 \, cm = 2 \, cm$.
તેથી,રમકડાનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^3 + \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
$= \left[ \frac{2}{3} \times 3.14 \times (2)^3 + \frac{1}{3} \times 3.14 \times (2)^2 \times 2 \right] \, cm^3 = 25.12 \, cm^3$.
હવે,ધારો કે લંબવૃત્તીય નળાકાર $EFGH$ આપેલ ઘન પદાર્થને પરિબદ્ધ કરે છે. લંબવૃત્તીય નળાકારના પાયાની ત્રિજ્યા $= HP = BO = 2 \, cm$,અને તેની ઊંચાઈ $EH = AO + OP = (2 + 2) \, cm = 4 \, cm$ છે.
તેથી,જરૂરી ઘનફળનો તફાવત $=$ લંબવૃત્તીય નળાકારનું ઘનફળ $-$ રમકડાનું ઘનફળ.
$= (3.14 \times 2^2 \times 4 - 25.12) \, cm^3$.
$= (50.24 - 25.12) \, cm^3 = 25.12 \, cm^3$.
આમ,બંને ઘનફળ વચ્ચેનો જરૂરી તફાવત $= 25.12 \, cm^3$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે,
શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $(h)$ $=$ શંકુ આકારના ભાગની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 1\, cm$.
અર્ધગોલક ભાગની ત્રિજ્યા $(r)$ $=$ શંકુ આકારના ભાગની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 1\, cm$.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $=$ શંકુ આકારના ભાગનું ઘનફળ $+$ અર્ધગોલક ભાગનું ઘનફળ.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3$.
કિંમતો મૂકતા:
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi (1)^2 (1) + \frac{2}{3} \pi (1)^3$.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi + \frac{2}{3} \pi = \frac{3}{3} \pi = \pi\, cm^3$.

(B) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે:
દરેક શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $(h_1) = 2\, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h_2) = 12 - (2 \times \text{શંકુની ઊંચાઈ}) = 12 - (2 \times 2) = 12 - 4 = 8\, cm$.
નળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) =$ શંકુની ત્રિજ્યા $= \frac{3}{2} = 1.5\, cm$.
મોડેલમાં રહેલી હવાનું ઘનફળ $=$ નળાકારનું ઘનફળ $+ 2 \times$ શંકુનું ઘનફળ.
ઘનફળ $= \pi r^2 h_2 + 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h_1)$.
ઘનફળ $= \pi r^2 (h_2 + \frac{2}{3} h_1) = \pi \times (\frac{3}{2})^2 \times (8 + \frac{2}{3} \times 2)$.
ઘનફળ $= \pi \times \frac{9}{4} \times (8 + \frac{4}{3}) = \pi \times \frac{9}{4} \times (\frac{24+4}{3}) = \pi \times \frac{9}{4} \times \frac{28}{3}$.
ઘનફળ $= \pi \times 3 \times 7 = 21 \pi$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,ઘનફળ $= 21 \times \frac{22}{7} = 3 \times 22 = 66\, cm^3$.

(C) અહીં જોઈ શકાય છે કે:
નળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) =$ અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{2.8}{2} = 1.4\,cm$.
દરેક અર્ધગોળાકાર ભાગની લંબાઈ $=$ અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $= 1.4\,cm$.
નળાકાર ભાગની લંબાઈ $(h) = 5 - 2 \times$ (અર્ધગોળાકાર ભાગની લંબાઈ) $= 5 - 2 \times 1.4 = 2.2\,cm$.
એક ગુલાબજાંબુનું ઘનફળ $=$ નળાકાર ભાગનું ઘનફળ $+ 2 \times$ અર્ધગોળાકાર ભાગનું ઘનફળ
$= \pi r^2 h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^3) = \pi r^2 h + \frac{4}{3} \pi r^3$
$= \frac{22}{7} \times (1.4)^2 \times 2.2 + \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.4)^3$
$= 13.552 + 11.49866... \approx 25.05\,cm^3$.
$45$ ગુલાબજાંબુનું કુલ ઘનફળ $= 45 \times 25.05 = 1127.25\,cm^3$.
ખાંડની ચાસણીનું ઘનફળ $= 30\%$ કુલ ઘનફળના
$= \frac{30}{100} \times 1127.25 = 338.175\,cm^3$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ચાસણીનું ઘનફળ આશરે $338\,cm^3$ થાય.

(D) $\text{લાકડાના સ્ટેન્ડનું ઘનફળ એ લંબઘનના ઘનફળમાંથી ચાર શંકુ આકારના ખાડાઓના ઘનફળને બાદ કરવાથી મળે છે.}
\text{લંબઘનના પરિમાણો: લંબાઈ } (l) = 15 \, cm,\text{પહોળાઈ } (b) = 10 \, cm,\text{ઊંચાઈ } (H) = 3.5 \, cm.
\text{લંબઘનનું ઘનફળ } = l \times b \times H = 15 \times 10 \times 3.5 = 525 \, cm^3.
\text{દરેક શંકુ આકારના ખાડાના પરિમાણો: ત્રિજ્યા } (r) = 0.5 \, cm,\text{ઊંડાઈ } (h) = 1.4 \, cm.
\text{એક શંકુનું ઘનફળ } = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.5)^2 \times 1.4.
\text{ચાર શંકુનું ઘનફળ } = 4 \times \left( \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times 1.4 \right) = 4 \times \left( \frac{1}{3} \times 22 \times 0.25 \times 0.2 \right) = 4 \times \left( \frac{1.1}{3} \right) = \frac{4.4}{3} \approx 1.4667 \, cm^3.
\text{લાકડાનું ઘનફળ } = 525 - 1.4667 = 523.5333 \, cm^3.
\text{બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઘનફળ } 523.53 \, cm^3 \text{ મળે છે.}$

(A) શંકુ આકારના પાત્રની ઊંચાઈ $(h)$ $= 8 \, cm$.
શંકુ આકારના પાત્રની ત્રિજ્યા $(r_1)$ $= 5 \, cm$.
દરેક સીસાની ગોળીની ત્રિજ્યા $(r_2)$ $= 0.5 \, cm$.
ધારો કે પાત્રમાં નાખેલી સીસાની ગોળીઓની સંખ્યા $n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બહાર નીકળેલા પાણીનું ઘનફળ એ નાખેલી સીસાની ગોળીઓના કુલ ઘનફળ જેટલું હોય છે.
બહાર નીકળેલું પાણી $= \frac{1}{4} \times$ શંકુનું ઘનફળ.
$\frac{1}{4} \times (\frac{1}{3} \pi r_1^2 h) = n \times (\frac{4}{3} \pi r_2^3)$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{3} \pi$ દૂર કરતા:
$\frac{1}{4} r_1^2 h = 4 n r_2^3$.
$r_1^2 h = 16 n r_2^3$.
કિંમતો મૂકતા:
$5^2 \times 8 = 16 \times n \times (0.5)^3$.
$25 \times 8 = 16 \times n \times (\frac{1}{2})^3$.
$200 = 16 \times n \times \frac{1}{8}$.
$200 = 2n$.
$n = 100$.
આમ,પાત્રમાં નાખેલી સીસાની ગોળીઓની સંખ્યા $100$ છે.

(B) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે:
મોટા નળાકારની ઊંચાઈ $(h_1) = 220 \,cm$
મોટા નળાકારની ત્રિજ્યા $(r_1) = \frac{24}{2} = 12 \,cm$
નાના નળાકારની ઊંચાઈ $(h_2) = 60 \,cm$
નાના નળાકારની ત્રિજ્યા $(r_2) = 8 \,cm$
થાંભલાનું કુલ ઘનફળ $=$ મોટા નળાકારનું ઘનફળ $+$ નાના નળાકારનું ઘનફળ
$= \pi r_1^2 h_1 + \pi r_2^2 h_2$
$= \pi(12)^2 \times 220 + \pi(8)^2 \times 60$
$= \pi(144 \times 220 + 64 \times 60)$
$= 3.14 \times (31680 + 3840)$
$= 3.14 \times 35520 = 111532.8 \,cm^3$
$1 \,cm^3$ લોખંડનું દળ $= 8 \,g$
થાંભલાનું કુલ દળ $= 111532.8 \times 8 = 892262.4 \,g$
$1 \,kg = 1000 \,g$ હોવાથી,$kg$ માં દળ $= \frac{892262.4}{1000} = 892.2624 \,kg \approx 892.262 \,kg$.

(C) અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r)$ = શંકુ આકારના ભાગની ત્રિજ્યા $(r)$ = $60\, cm$.
ઘન પદાર્થના શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $(h_2)$ = $120\, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h_1)$ = $180\, cm$.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $60\, cm$.
નળાકારમાં બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ - ઘન પદાર્થનું ઘનફળ.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ = શંકુનું ઘનફળ + અર્ધગોલકનું ઘનફળ = $\frac{1}{3}\pi r^2 h_2 + \frac{2}{3}\pi r^3$.
બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ = $\pi r^2 h_1 - (\frac{1}{3}\pi r^2 h_2 + \frac{2}{3}\pi r^3)$.
કિંમતો મૂકતા: $\pi(60)^2(180) - (\frac{1}{3}\pi(60)^2 \times 120 + \frac{2}{3}\pi(60)^3)$.
$= \pi(60)^2 [180 - (40 + 40)] = \pi(3600)(100) = 360,000\pi\, cm^3$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,ઘનફળ $\approx 360,000 \times 3.14159 = 1,130,973.36\, cm^3$.
$1\, m^3 = 1,000,000\, cm^3$ હોવાથી,$m^3$ માં ઘનફળ $\approx 1.131\, m^3$ થાય.

(D) નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h) = 8 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r_{2}) = \frac{2}{2} = 1 \, cm$.
ગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r_{1}) = \frac{8.5}{2} = 4.25 \, cm$.
પાત્રનું ઘનફળ $=$ ગોળાનું ઘનફળ $+$ નળાકારનું ઘનફળ.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} + \pi r_{2}^{2} h$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times 3.14 \times (4.25)^{3} + 3.14 \times (1)^{2} \times 8$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times 3.14 \times 76.765625 + 3.14 \times 8$.
ઘનફળ $= 321.392 + 25.12 = 346.512 \, cm^{3}$.
ગણતરી કરેલ ઘનફળ $346.512 \, cm^{3}$ હોવાથી,બાળકની $345 \, cm^{3}$ ની માપણી ખોટી છે.

(A) શંકુનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
આપેલ કિંમતો $r = 6\, cm$ અને $h = 24\, cm$ મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 24 = \frac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 24 = 288\pi\, cm^3$.
ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે. ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
આકાર બદલ્યા પછી માટીનું ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,આપણે બંને ઘનફળને સરખાવીએ:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 288\pi$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા અને $\frac{3}{4}$ વડે ગુણતા:
$R^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 72 \times 3 = 216$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$R = \sqrt[3]{216} = 6\, cm$.
આમ,ગોળાની ત્રિજ્યા $6\, cm$ છે.

(D) ઓવરહેડ ટાંકીમાં રહેલા પાણીનું ઘનફળ એ સંપમાંથી કાઢવામાં આવેલા પાણીના ઘનફળ જેટલું હોય છે.
ઓવરહેડ ટાંકી (નળાકાર) નું ઘનફળ $= \pi r^2 h = 3.14 \times 0.6 \, m \times 0.6 \, m \times 0.95 \, m = 1.07388 \, m^3$.
સંપ (લંબઘન) નું ઘનફળ $= l \times b \times h = 1.57 \, m \times 1.44 \, m \times 0.95 \, m = 2.14776 \, m^3$.
સંપમાં બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ $= 2.14776 \, m^3 - 1.07388 \, m^3 = 1.07388 \, m^3$.
ધારો કે સંપમાં બાકી રહેલા પાણીની ઊંચાઈ $H$ છે. સંપના પાયાનું ક્ષેત્રફળ અચળ રહેતું હોવાથી,$l \times b \times H = 1.07388 \, m^3$.
$1.57 \, m \times 1.44 \, m \times H = 1.07388 \, m^3$.
$2.2608 \, m^2 \times H = 1.07388 \, m^3$.
$H = \frac{1.07388}{2.2608} \, m = 0.475 \, m = 47.5 \, cm$.
ક્ષમતાનો ગુણોત્તર $= \frac{\text{ટાંકીની ક્ષમતા}}{\text{સંપની ક્ષમતા}} = \frac{1.07388}{2.14776} = \frac{1}{2}$.
આમ,ટાંકીની ક્ષમતા એ સંપની ક્ષમતા કરતા અડધી છે.

(A) તાંબાના સળિયાનું ઘનફળ નળાકારના ઘનફળના સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ વ્યાસ $= 1 \,cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.5 \,cm$. લંબાઈ $h = 8 \,cm$.
ઘનફળ $= \pi \times (0.5)^2 \times 8 = \pi \times 0.25 \times 8 = 2\pi \,cm^3$.
જ્યારે સળિયાને ખેંચીને તાર બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે ઘનફળ સમાન રહે છે.
નવા તારની લંબાઈ $18 \,m = 1800 \,cm$ છે.
ધારો કે તારની ત્રિજ્યા $r_w$ છે. તારનું ઘનફળ $\pi \times r_w^2 \times 1800$ થાય.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $\pi \times r_w^2 \times 1800 = 2\pi$.
$r_w^2 = \frac{2\pi}{1800\pi} = \frac{1}{900}$.
$r_w = \sqrt{\frac{1}{900}} = \frac{1}{30} \,cm$.
તારની જાડાઈ (વ્યાસ) $= 2 \times r_w = 2 \times \frac{1}{30} = \frac{1}{15} \,cm$.
$\frac{1}{15} \,cm \approx 0.0667 \,cm = 0.67 \,mm$.

(16.5) અર્ધગોળાકાર ટાંકીની ત્રિજ્યા $r = \frac{3}{2} \, m = 1.5 \, m$ છે.
અર્ધગોળાકાર ટાંકીનું કુલ ઘનફળ $V = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.5)^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{27}{8} = \frac{99}{14} \, m^3$ છે.
$1 \, m^3 = 1000 \, \text{લીટર}$ હોવાથી,કુલ ઘનફળ $\frac{99}{14} \times 1000 = \frac{99000}{14} \, \text{લીટર}$ થાય.
આપણે ટાંકીનું અડધું પાણી ખાલી કરવાનું છે,તેથી ખાલી કરવાના પાણીનું ઘનફળ $\frac{1}{2} \times \frac{99000}{14} = \frac{99000}{28} \, \text{લીટર}$ થાય.
પાણી ખાલી કરવાનો દર $3 \frac{4}{7} = \frac{25}{7} \, \text{લીટર}/\text{સેકન્ડ}$ છે.
સેકન્ડમાં લાગતો સમય $= \frac{\text{ઘનફળ}}{\text{દર}} = \frac{99000}{28} \div \frac{25}{7} = \frac{99000}{28} \times \frac{7}{25} = \frac{99000}{100} = 990 \, \text{સેકન્ડ}$.
મિનિટમાં ફેરવવા માટે,$60$ વડે ભાગતા: $990 \div 60 = 16.5 \, \text{મિનિટ}$.

(A) ગોળાની ત્રિજ્યા $(r_1) = 4.2 \, cm$.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r_2) = 6 \, cm$.
ધારો કે નળાકારની ઊંચાઈ $h$ છે.
ગોળાને ઓગાળીને નળાકાર બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન રહેશે.
ગોળાનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ
$\frac{4}{3} \pi r_1^3 = \pi r_2^2 h$
$\frac{4}{3} \times (4.2)^3 = (6)^2 \times h$
$\frac{4}{3} \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2 = 36 \times h$
$h = \frac{4 \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2}{3 \times 36}$
$h = \frac{4 \times 74.088}{108}$
$h = \frac{296.352}{108} = 2.744 \, cm$.
આમ,નળાકારની ઊંચાઈ $2.744 \, cm$ થશે.

(B) ધારો કે ત્રણ ધાતુના ગોળાઓની ત્રિજ્યા $r_1 = 6 \, cm$,$r_2 = 8 \, cm$ અને $r_3 = 10 \, cm$ છે.
ધારો કે નવા નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોળાઓને ઓગાળીને એક નવો ગોળો બનાવવામાં આવતો હોવાથી,નવા ગોળાનું ઘનફળ એ ત્રણેય ગોળાઓના ઘનફળના સરવાળા જેટલું થશે.
ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
તેથી,$\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3$.
બંને બાજુ $\frac{4}{3} \pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $r^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$.
કિંમતો મૂકતા: $r^3 = 6^3 + 8^3 + 10^3$.
$r^3 = 216 + 512 + 1000 = 1728$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $r = \sqrt[3]{1728} = 12 \, cm$.
આમ,નવા બનેલા ગોળાની ત્રિજ્યા $12 \, cm$ છે.

(C) કૂવાનો આકાર નળાકાર છે.
કૂવાની ઊંડાઈ $(h) = 20\, m$.
કૂવાના વર્તુળાકાર છેડાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{7}{2}\, m = 3.5\, m$.
પ્લેટફોર્મનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 22\, m \times 14\, m = 308\, m^2$.
ધારો કે પ્લેટફોર્મની ઊંચાઈ $H$ છે.
કૂવામાંથી ખોદવામાં આવેલી માટીનું ઘનફળ એ પ્લેટફોર્મ પર પાથરેલી માટીના ઘનફળ જેટલું હોય છે:
કૂવામાંથી નીકળેલી માટીનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 20 = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 20 = 22 \times 7 \times 5 = 770\, m^3$.
પ્લેટફોર્મ પરની માટીનું ઘનફળ $= \text{પ્લેટફોર્મનું ક્ષેત્રફળ} \times H = 308 \times H$.
ઘનફળને સરખાવતા: $308 \times H = 770$.
$H = \frac{770}{308} = 2.5\, m$.
તેથી,પ્લેટફોર્મની ઊંચાઈ $2.5\, m$ થશે.

(D) કૂવાનો આકાર નળાકાર છે.
કૂવાની ઊંડાઈ $(h_1) = 14 \, m$.
કૂવાની ત્રિજ્યા $(r_1) = \frac{3}{2} \, m = 1.5 \, m$.
ઓટલાની પહોળાઈ $= 4 \, m$.
ઓટલો પોલા નળાકાર (વર્તુળાકાર વલય) ના આકારમાં છે,જેની આંતરિક ત્રિજ્યા $r_1 = 1.5 \, m$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $r_2 = r_1 + \text{પહોળાઈ} = 1.5 + 4 = 5.5 \, m = \frac{11}{2} \, m$ છે.
ધારો કે ઓટલાની ઊંચાઈ $h_2$ છે.
કૂવામાંથી ખોદેલી માટીનું ઘનફળ = ઓટલો બનાવવા માટે વપરાયેલી માટીનું ઘનફળ.
$\pi \times r_1^2 \times h_1 = \pi \times (r_2^2 - r_1^2) \times h_2$
$\pi \times (1.5)^2 \times 14 = \pi \times ((5.5)^2 - (1.5)^2) \times h_2$
$2.25 \times 14 = (30.25 - 2.25) \times h_2$
$31.5 = 28 \times h_2$
$h_2 = \frac{31.5}{28} = 1.125 \, m$.
આમ,ઓટલાની ઊંચાઈ $1.125 \, m$ થશે.

(A) નળાકાર પાત્રની ઊંચાઈ $(h_1) = 15 \, cm$.
નળાકાર પાત્રની ત્રિજ્યા $(r_1) = \frac{12}{2} = 6 \, cm$.
નળાકાર પાત્રનું ઘનફળ $= \pi r_1^2 h_1 = \pi \times (6)^2 \times 15 = 540\pi \, cm^3$.
આઈસ્ક્રીમ કોન માટે,ત્રિજ્યા $(r_2) = \frac{6}{2} = 3 \, cm$ અને ઊંચાઈ $(h_2) = 12 \, cm$.
કોનની ઉપરના ભાગમાં સમાન ત્રિજ્યા $(r_2 = 3 \, cm)$ વાળો અર્ધગોળક છે.
એક આઈસ્ક્રીમ કોનનું ઘનફળ $= \text{શંકુનું ઘનફળ} + \text{અર્ધગોળકનું ઘનફળ} = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 + \frac{2}{3} \pi r_2^3$.
એક આઈસ્ક્રીમ કોનનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi (3)^2 (12) + \frac{2}{3} \pi (3)^3 = 36\pi + 18\pi = 54\pi \, cm^3$.
ધારો કે ભરી શકાય તેવા કોનની સંખ્યા $n$ છે.
$n = \frac{\text{નળાકારનું ઘનફળ}}{\text{એક આઈસ્ક્રીમ કોનનું ઘનફળ}} = \frac{540\pi}{54\pi} = 10$.
તેથી,$10$ આઈસ્ક્રીમ કોન ભરી શકાય છે.

(B) સિક્કાઓ નળાકાર આકારના હોય છે.
નળાકાર સિક્કાની ઊંચાઈ $(h_1) = 2 \,mm = 0.2 \,cm$.
સિક્કાના વર્તુળાકાર છેડાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{1.75}{2} = 0.875 \,cm$.
ધારો કે જરૂરી લંબઘન બનાવવા માટે $n$ સિક્કા ઓગાળવામાં આવે છે.
$n$ સિક્કાઓનું ઘનફળ $=$ લંબઘનનું ઘનફળ
$n \times \pi \times r^2 \times h_1 = l \times b \times h$
$n \times \frac{22}{7} \times (0.875)^2 \times 0.2 = 5.5 \times 10 \times 3.5$
$n = \frac{5.5 \times 10 \times 3.5 \times 7}{22 \times (0.875)^2 \times 0.2}$
$n = \frac{192.5 \times 7}{22 \times 0.765625 \times 0.2} = \frac{1347.5}{3.36875} = 400$.
તેથી,આવા લંબઘન બનાવવા માટે ઓગાળવામાં આવતા સિક્કાઓની સંખ્યા $400$ છે.

(N/A) નળાકાર ડોલની ઊંચાઈ $(h_1) = 32 \, cm$.
નળાકાર ડોલના પાયાની ત્રિજ્યા $(r_1) = 18 \, cm$.
શંકુ આકારના ઢગલાની ઊંચાઈ $(h_2) = 24 \, cm$.
ધારો કે શંકુ આકારના ઢગલાના પાયાની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
રેતીનું ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી:
નળાકાર ડોલની રેતીનું ઘનફળ $=$ શંકુ આકારના ઢગલાની રેતીનું ઘનફળ.
$\pi \times r_1^2 \times h_1 = \frac{1}{3} \pi \times r_2^2 \times h_2$
$\pi \times 18^2 \times 32 = \frac{1}{3} \pi \times r_2^2 \times 24$
$18^2 \times 32 = r_2^2 \times 8$
$r_2^2 = \frac{324 \times 32}{8} = 324 \times 4 = 1296$
$r_2 = \sqrt{1296} = 36 \, cm$.
હવે,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{r_2^2 + h_2^2}$ દ્વારા મળે છે.
$l = \sqrt{36^2 + 24^2} = \sqrt{1296 + 576} = \sqrt{1872}$.
$l = \sqrt{144 \times 13} = 12\sqrt{13} \, cm$.
આમ,ઢગલાની ત્રિજ્યા $36 \, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $12\sqrt{13} \, cm$ છે.

(N/A) નહેરના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $6 \, m \times 1.5 \, m = 9 \, m^2$ છે.
પાણીની ઝડપ $10 \, km/h = \frac{10000 \, m}{60 \, min} = \frac{500}{3} \, m/min$ છે.
$30 \, \text{minutes}$ માં નહેરમાંથી વહેતા પાણીનું ઘનફળ:
$V = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 9 \, m^2 \times \frac{500}{3} \, m/min \times 30 \, min = 45000 \, m^3$.
ધારો કે સિંચાઈ કરેલ વિસ્તાર $A$ છે. સિંચાઈ માટે જરૂરી પાણીનું ઘનફળ $A \times \text{ઊંડાઈ}$ થશે.
આપેલ ઊંડાઈ $= 8 \, cm = 0.08 \, m$.
ઘનફળને સરખાવતા:
$A \times 0.08 \, m = 45000 \, m^3$
$A = \frac{45000}{0.08} \, m^2 = 562500 \, m^2$.
આમ,$30 \, \text{minutes}$ માં સિંચાઈ થયેલ વિસ્તાર $562500 \, m^2$ છે.

(A) પાઇપની ત્રિજ્યા $(r_1) = \frac{20 \,cm}{2} = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
પાઇપના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_1^2 = \pi \times (0.1)^2 = 0.01 \pi \,m^2$.
પાણીની ઝડપ $= 3 \,km/h = \frac{3000 \,m}{60 \,min} = 50 \,m/min$.
$1 \,\text{મિનિટમાં}$ પાઇપમાંથી વહેતા પાણીનું ઘનફળ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઝડપ} = 0.01 \pi \times 50 = 0.5 \pi \,m^3$.
નળાકાર ટાંકીની ત્રિજ્યા $(r_2) = \frac{10 \,m}{2} = 5 \,m$.
નળાકાર ટાંકીની ઊંડાઈ $(h_2) = 2 \,m$.
નળાકાર ટાંકીનું ઘનફળ $= \pi r_2^2 h_2 = \pi \times (5)^2 \times 2 = 50 \pi \,m^3$.
ધારો કે ટાંકી ભરાતા $t \,\text{મિનિટ}$ લાગે છે.
$t \,\text{મિનિટમાં}$ ટાંકીમાં ભરાયેલ પાણીનું ઘનફળ $= t \times 0.5 \pi \,m^3$.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $t \times 0.5 \pi = 50 \pi$.
$t = \frac{50}{0.5} = 100 \,\text{મિનિટ}$.
આમ,ટાંકી $100 \,\text{મિનિટમાં}$ ભરાઈ જશે.

(C) બીબાનો આકાર શંકુના આડછેદ જેવો છે.
આપેલ છે: વર્તુળાકાર મુખના વ્યાસ $d_1 = 35 \,cm$ અને $d_2 = 30 \,cm$ છે.
તેથી ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{35}{2} = 17.5 \,cm$ અને $r_2 = \frac{30}{2} = 15 \,cm$ થાય.
ઊભી ઊંચાઈ $h = 14 \,cm$ છે.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times (17.5^2 + 15^2 + 17.5 \times 15) \,cm^3$.
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times (306.25 + 225 + 262.5) \,cm^3$.
$V = \frac{44}{3} \times 793.75 \,cm^3 = 11641.67 \,cm^3$.
આપેલ છે કે $1 \,cm^3$ ગોળનું દળ $1.2 \,g$ છે.
કુલ દળ $= 11641.67 \times 1.2 \,g = 13970.004 \,g$.
$kg$ માં ફેરવતા: $13970.004 \div 1000 = 13.97 \,kg$.
આશરે કિંમત લેતા,દળ $14 \,kg$ થાય.

(B) જ્યારે કોઈ વસ્તુને પાણીથી સંપૂર્ણ ભરેલા પાત્રમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે બહાર આવતા પાણીનું કદ એ ડૂબાડેલી વસ્તુના કદ જેટલું હોય છે.
અહીં,વસ્તુ એક ગોળાકાર લખોટો છે જેની ત્રિજ્યા $r = 2.1 \, cm$ છે.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3$.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1$.
$V = 4 \times 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 2.1$.
$V = 88 \times 0.1 \times 4.41$.
$V = 8.8 \times 4.41 = 38.808 \, cm^3$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,બહાર આવતા પાણીનું ઘનફળ $38.8 \, cm^3$ થાય.

(C) સમઘન આઈસ્ક્રીમની ઈંટનું ઘનફળ $V_{cube} = a^3$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a = 22 \, cm$ છે.
$V_{cube} = 22 \times 22 \times 22 = 10648 \, cm^3$.
એક આઈસ્ક્રીમ કોનનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 2 \, cm$ અને $h = 7 \, cm$ છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$V_{cone} = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 2^2 \times 7 = \frac{1}{3} \times 22 \times 4 = \frac{88}{3} \, cm^3$.
આઈસ્ક્રીમ મેળવનાર બાળકોની સંખ્યા એ ઈંટનું કુલ ઘનફળ ભાગ્યા એક કોનનું ઘનફળ છે.
બાળકોની સંખ્યા $= \frac{V_{cube}}{V_{cone}} = \frac{10648}{88/3} = \frac{10648 \times 3}{88}$.
$10648 \div 88 = 121$.
બાળકોની સંખ્યા $= 121 \times 3 = 363$.

(D) શંકુનો આડછેદ ત્યારે બને છે જ્યારે શંકુને તેના પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા કાપવામાં આવે છે.
ધારો કે આડછેદની ઊંચાઈ $h$ છે અને બે વર્તુળાકાર છેડાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_{1}$ અને $r_{2}$ છે.
શંકુના આડછેદના ઘનફળ $V$ નું સૂત્ર મૂળ મોટા શંકુ અને ઉપરથી કાપેલા નાના શંકુના ઘનફળના તફાવત પરથી મેળવવામાં આવે છે.
શંકુના આડછેદના ઘનફળનું પ્રમાણિત સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સમઘનમાંથી કાપી શકાતા સૌથી મોટા લંબવૃત્તીય શંકુનું ઘનફળ શોધવા માટે,શંકુના પાયાનો વ્યાસ સમઘનની ધાર જેટલો અને શંકુની ઊંચાઈ સમઘનની ધાર જેટલી હોવી જોઈએ.
આપેલ સમઘનની ધાર,$a = 4.2 \,cm$.
તેથી,શંકુની ત્રિજ્યા,$r = \frac{a}{2} = \frac{4.2}{2} = 2.1 \,cm$.
શંકુની ઊંચાઈ,$h = a = 4.2 \,cm$.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^2 \times 4.2$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.41 \times 4.2$.
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 0.63 \times 4.2$.
$V = 22 \times 0.21 \times 4.2$.
$V = 4.62 \times 4.2 = 19.404 \,cm^3$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $19.4 \,cm^3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,સમઘનની ધાર $= 22 \, cm$.
સમઘનનું ઘનફળ $= (22)^3 = 10648 \, cm^3$.
સમઘનનો $\frac{1}{8}$ ભાગ ખાલી રહે છે,તેથી લખોટીઓ દ્વારા ભરાયેલ જગ્યા $= 10648 \times (1 - \frac{1}{8}) = 10648 \times \frac{7}{8} = 9317 \, cm^3$.
લખોટીનો વ્યાસ $= 0.5 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.25 \, cm$.
એક ગોળાકાર લખોટીનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.25)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{1}{64} = \frac{11}{168} \approx 0.065476 \, cm^3$.
લખોટીઓની સંખ્યા $= \frac{\text{ભરાયેલ ઘનફળ}}{\text{એક લખોટીનું ઘનફળ}} = \frac{9317}{11/168} = \frac{9317 \times 168}{11} = 142296$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $142244$ છે.

(B) આપેલ છે કે,ગોલીય કવચનો આંતરિક વ્યાસ $= 4 \, cm$ અને બાહ્ય વ્યાસ $= 8 \, cm$ છે.
ગોલીય કવચની આંતરિક ત્રિજ્યા,$r_1 = \frac{4}{2} = 2 \, cm$.
ગોલીય કવચની બાહ્ય ત્રિજ્યા,$r_2 = \frac{8}{2} = 4 \, cm$.
ગોલીય કવચનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi (r_2^3 - r_1^3) = \frac{4}{3} \pi (4^3 - 2^3) = \frac{4}{3} \pi (64 - 8) = \frac{4}{3} \pi (56) = \frac{224}{3} \pi \, cm^3$.
ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h \, cm$ છે અને પાયાની ત્રિજ્યા $R = \frac{8}{2} = 4 \, cm$ છે.
કવચને ઓગાળીને શંકુ બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન થાય:
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (4)^2 h = \frac{16}{3} \pi h$.
ઘનફળને સરખાવતા: $\frac{16}{3} \pi h = \frac{224}{3} \pi$.
$16h = 224$.
$h = \frac{224}{16} = 14 \, cm$.
આમ,શંકુની ઊંચાઈ $14 \, cm$ છે.

(C) આપેલ છે,લંબઘનનું માપ $= 49 \, cm \times 33 \, cm \times 24 \, cm$.
લંબઘનનું ઘનફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 49 \times 33 \times 24 = 38808 \, cm^3$.
ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોલકનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
લંબઘનને ઓગાળીને ગોલક બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન થાય:
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 38808$
$\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3 = 38808$
$r^3 = \frac{38808 \times 3 \times 7}{4 \times 22}$
$r^3 = 441 \times 21 = 9261$
$r = \sqrt[3]{9261} = 21 \, cm$.
આમ,ગોલકની ત્રિજ્યા $21 \, cm$ છે.

(D) દીવાલનું ઘનફળ $= 270 \times 300 \times 350 = 28,350,000 \,cm^3$.
દીવાલના કુલ ઘનફળનો $\frac{1}{8}$ ભાગ મસાલા દ્વારા રોકાયેલો હોવાથી,ઈંટો દ્વારા રોકાયેલું ઘનફળ કુલ ઘનફળના $\frac{7}{8}$ ભાગ જેટલું થાય.
ઈંટો દ્વારા રોકાયેલું ઘનફળ $= 28,350,000 \times \frac{7}{8} = 24,806,250 \,cm^3$.
એક ઈંટનું ઘનફળ $= 22.5 \times 11.25 \times 8.75 = 2,214.84375 \,cm^3$.
ઈંટોની સંખ્યા $= \frac{\text{ઈંટો દ્વારા રોકાયેલું ઘનફળ}}{\text{એક ઈંટનું ઘનફળ}} = \frac{24,806,250}{2,214.84375} = 11,200$.
આમ,દીવાલ બનાવવા માટે વપરાયેલી ઈંટોની સંખ્યા $11,200$ છે.

(A) આપેલ છે કે,નળાકારનો વ્યાસ $= 2 \, cm$.
તેથી,નળાકારની ત્રિજ્યા $(R) = 1 \, cm$ અને ઊંચાઈ $(h) = 16 \, cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi R^2 h = \pi \times (1)^2 \times 16 = 16 \pi \, cm^3$.
ધારો કે દરેક નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યા $r \, cm$ છે.
એક ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
નળાકારમાંથી $12$ ગોળાઓ બનાવવામાં આવતા હોવાથી,$12$ ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ એ નળાકારના ઘનફળ જેટલું થાય.
$12 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = 16 \pi$.
$16 \pi r^3 = 16 \pi$.
$r^3 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $r = 1 \, cm$.
દરેક ગોળાનો વ્યાસ $= 2r = 2 \times 1 = 2 \, cm$.

(C) આપેલ છે કે,નળાકારનો વ્યાસ $=$ અર્ધગોળાનો વ્યાસ $= 0.5\, cm$ (કારણ કે બંને અર્ધગોળાઓ નળાકાર સાથે જોડાયેલા છે).
$\therefore$ નળાકારની ત્રિજ્યા $(r) =$ અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{0.5}{2} = 0.25\, cm$ (કારણ કે વ્યાસ $= 2 \times$ ત્રિજ્યા).
કેપ્સ્યુલની કુલ લંબાઈ $= 2\, cm$.
કેપ્સ્યુલના નળાકાર ભાગની લંબાઈ $(h) = \text{કુલ લંબાઈ} - (\text{ડાબા અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા} + \text{જમણા અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા})$.
$h = 2 - (0.25 + 0.25) = 2 - 0.5 = 1.5\, cm$.
હવે,કેપ્સ્યુલની ક્ષમતા $=$ નળાકાર ભાગનું ઘનફળ $+ 2 \times$ અર્ધગોળાનું ઘનફળ.
ક્ષમતા $= \pi r^2 h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^3) = \pi r^2 (h + \frac{4}{3} r)$.
કિંમતો મૂકતા:
ક્ષમતા $= \frac{22}{7} \times (0.25)^2 \times (1.5 + \frac{4}{3} \times 0.25)$.
ક્ષમતા $= \frac{22}{7} \times 0.0625 \times (1.5 + 0.3333) = \frac{22}{7} \times 0.0625 \times 1.8333 \approx 0.36\, cm^3$.
આમ,કેપ્સ્યુલની ક્ષમતા $0.36\, cm^3$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ ઘન પદાર્થને એક આકારમાંથી બીજા આકારમાં બદલવામાં આવે છે,ત્યારે વપરાયેલ પદાર્થનો કુલ જથ્થો સમાન રહે છે. તેથી,નવા આકારનું ઘનફળ અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) આપેલ છે કે,બાલદીના ઉપરના છેડાનો વ્યાસ $D = 44 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 22 \, cm$.
બાલદીના નીચેના છેડાનો વ્યાસ $d = 24 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 12 \, cm$.
બાલદીની ઊંચાઈ $h = 35 \, cm$.
બાલદીનો આકાર શંકુના આડછેદ (frustum) જેવો છે.
બાલદીની ક્ષમતા (ઘનફળ) શોધવાનું સૂત્ર: $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)$.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 35 \times (22^2 + 12^2 + 22 \times 12)$.
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 5 \times (484 + 144 + 264)$.
$V = \frac{110}{3} \times 892$.
$V = \frac{98120}{3} \approx 32706.67 \, cm^3$.
કારણ કે $1000 \, cm^3 = 1 \, L$,તેથી ક્ષમતા $32706.67 / 1000 \approx 32.7 \, L$ થાય.

(B) False (ખોટું).
ધારો કે મૂળ સ્ટીલના દડાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ઓગાળ્યા પછી બનેલા દરેક નવા દડાની ત્રિજ્યા $r_{1}$ છે.
મૂળ દડાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
આઠ નવા દડાનું કુલ ઘનફળ $8 \times V_{1} = 8 \times \left( \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} \right)$ થાય.
ઓગાળવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,$\frac{4}{3} \pi r^{3} = 8 \times \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}$ મળે.
બંને બાજુ $\frac{4}{3} \pi$ વડે ભાગતા,$r^{3} = 8 r_{1}^{3}$ મળે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$r = 2 r_{1}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $r_{1} = \frac{r}{2}$.
તેથી,દરેક નવા દડાની ત્રિજ્યા મૂળ ત્રિજ્યાના $\frac{1}{2}$ ગણી છે,$\frac{1}{8}$ ગણી નથી.

(A) સાચું.
પાત્રની વાસ્તવિક ક્ષમતા એટલે તેની અંદર રહેલી ખાલી જગ્યાનું કુલ ઘનફળ,જેમાં કોઈ પદાર્થ ભરી શકાય છે. આપેલી આકૃતિમાં,નળાકારના પાયામાંથી એક અર્ધગોળાકાર ભાગ કાપી લેવામાં આવ્યો છે. તેથી,પાત્રની અંદર ઉપલબ્ધ જગ્યાનું ઘનફળ એ નળાકારના ઘનફળમાંથી અર્ધગોલકનું ઘનફળ બાદ કરવાથી મળે છે.

(B) ખોટું (False).
કારણ કે નક્કર દડો $a$ બાજુવાળા સમઘન બોક્સમાં બરાબર બંધ બેસે છે,તેથી દડાનો વ્યાસ એ સમઘનની બાજુ $a$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,દડાની ત્રિજ્યા $r = \frac{a}{2}$ થાય.
ગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
આ સૂત્રમાં $r = \frac{a}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{a}{2} \right)^{3} = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{a^{3}}{8} \right) = \frac{1}{6} \pi a^{3}$.
અહીં $\frac{1}{6} \pi a^{3} \neq \frac{4}{3} \pi a^{3}$ હોવાથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) ખોટું (False).
શંકુના આડછેદના ઘનફળનું સાચું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi h(r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$ છે,જ્યાં $h$ એ આડછેદની શિરોલંબ ઊંચાઈ છે અને $r_{1}, r_{2}$ એ તેના વર્તુળાકાર છેડાઓની ત્રિજ્યાઓ છે. આપેલ પદાવલિમાં $r_{1}r_{2}$ પદ માટે ધન ચિહ્નને બદલે ઋણ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે.

(TRUE) સાચું.
આપણે જાણીએ છીએ કે નળાકાર પાત્રની ક્ષમતા (ઘનફળ) $V_{cylinder} = \pi r^{2} h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અર્ધગોળાની ક્ષમતા (ઘનફળ) $V_{hemisphere} = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,અર્ધગોળાકાર ભાગ નીચેના ભાગમાં ઉપરની તરફ ઉપસેલો છે,જેનો અર્થ છે કે તે નળાકારની અંદર જગ્યા રોકે છે. તેથી,પાત્રની ક્ષમતા એ નળાકારના ઘનફળમાંથી અર્ધગોળાનું ઘનફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
પાત્રની ક્ષમતા = $V_{cylinder} - V_{hemisphere}$
$= \pi r^{2} h - \frac{2}{3} \pi r^{3}$
$= \pi r^{2} (h - \frac{2}{3} r)$
$= \frac{\pi r^{2}}{3} (3h - 2r)$.

(D) નક્કર ધાતુના ગોળાનું ઘનફળ $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 10.5 \, cm$ છે.
$V_s = \frac{4}{3} \pi (10.5)^3 \, cm^3$.
એક શંકુનું ઘનફળ $V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 3.5 \, cm$ અને $h = 3 \, cm$ છે.
$V_c = \frac{1}{3} \pi (3.5)^2 \times 3 \, cm^3 = \pi (3.5)^2 \, cm^3$.
બનતા શંકુઓની સંખ્યા એ ગોળાના કુલ ઘનફળને એક શંકુના ઘનફળ વડે ભાગવાથી મળે છે.
$\text{શંકુઓની સંખ્યા} = \frac{V_s}{V_c} = \frac{\frac{4}{3} \pi (10.5)^3}{\pi (3.5)^2} = \frac{4 \times 10.5 \times 10.5 \times 10.5}{3 \times 3.5 \times 3.5} = 4 \times 3 \times 3 \times 3.5 = 126$.

(N/A) ગ્લાસના ઉપરના પાયાની ત્રિજ્યા $(r_1) = \frac{4}{2} = 2 \, cm$.
ગ્લાસના નીચેના પાયાની ત્રિજ્યા $(r_2) = \frac{2}{2} = 1 \, cm$.
ગ્લાસની ઊંચાઈ $(h) = 14 \, cm$.
ગ્લાસની ક્ષમતા $=$ શંકુના આડછેદનું ઘનફળ
$= \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times (2^2 + 1^2 + 2 \times 1)$
$= \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times (4 + 1 + 2)$
$= \frac{44}{3} \times 7 = \frac{308}{3} \, cm^3 = 102 \frac{2}{3} \, cm^3$.
તેથી,ગ્લાસની ક્ષમતા $102 \frac{2}{3} \, cm^3$ છે.

(B) અહીં જોઈ શકાય છે કે તારનો $1$ આંટો નળાકારની $3 \,mm$ $(0.3 \,cm)$ ઊંચાઈને આવરી લે છે.
આંટાની સંખ્યા $= \frac{\text{નળાકારની ઊંચાઈ}}{\text{તારનો વ્યાસ}} = \frac{12 \,cm}{0.3 \,cm} = 40$ આંટા.
$1$ આંટામાં જરૂરી તારની લંબાઈ $=$ નળાકારના પાયાનો પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \pi \times 5 = 10 \pi \,cm$.
$40$ આંટામાં તારની કુલ લંબાઈ $= 40 \times 10 \pi = 400 \pi \,cm \approx 1256.64 \,cm$.
તારની ત્રિજ્યા $= \frac{0.3 \,cm}{2} = 0.15 \,cm$.
તારનું ઘનફળ $=$ તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $\times$ તારની કુલ લંબાઈ $= \pi (0.15)^2 \times 1256.64 \approx 88.826 \,cm^3$.
તારનું દળ $=$ ઘનફળ $\times$ ઘનતા $= 88.826 \,cm^3 \times 8.88 \,g/cm^3 \approx 788.77 \,g$.
ગણતરી માટે $\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા: લંબાઈ $= 400 \times \frac{22}{7} = \frac{8800}{7} \approx 1257.14 \,cm$. ઘનફળ $= \pi \times (0.15)^2 \times \frac{8800}{7} \approx 88.93 \,cm^3$. દળ $= 88.93 \times 8.88 \approx 789.7 \,g$. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $789.41 \,g$ છે.

(D) કુંડનું કુલ કદ $V_{cistern} = 150 \times 120 \times 110 = 1980000 \,cm^3$ છે.
કુંડમાં પહેલેથી રહેલા પાણીનું કદ $129600 \,cm^3$ છે.
ભરવા માટે બાકી રહેલું કદ $V_{fill} = 1980000 - 129600 = 1850400 \,cm^3$ છે.
ધારો કે $n$ ઈંટોની સંખ્યા છે. એક ઈંટનું કદ $V_{brick} = 22.5 \times 7.5 \times 6.5 = 1096.875 \,cm^3$ છે.
દરેક ઈંટ તેના કદના $\frac{1}{17}$ ભાગ જેટલું પાણી શોષે છે,તેથી પાણીમાં એક ઈંટ દ્વારા રોકાયેલ અસરકારક કદ $V_{eff} = V_{brick} - \frac{1}{17} V_{brick} = \frac{16}{17} V_{brick}$ થશે.
કુંડને ભરવા માટે,$n$ ઈંટોનું કુલ કદ ભરવાપાત્ર કદ જેટલું હોવું જોઈએ: $n \times V_{eff} = V_{fill}$.
$n \times \frac{16}{17} \times 1096.875 = 1850400$.
$n \times \frac{16}{17} \times \frac{8775}{8} = 1850400$.
$n \times \frac{2 \times 8775}{17} = 1850400$.
$n = \frac{1850400 \times 17}{17550} = 1792$.

(N/A) ખીણનું ક્ષેત્રફળ $= 7280 \, km^2 = 7280 \times (1000 \, m)^2 = 7.28 \times 10^9 \, m^2$.
વરસાદની ઊંડાઈ $= 10 \, cm = 0.1 \, m$.
કુલ વરસાદનું ઘનફળ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંડાઈ} = 7.28 \times 10^9 \, m^2 \times 0.1 \, m = 7.28 \times 10^8 \, m^3$.
એક નદીનું ઘનફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંડાઈ} = 1072 \, km \times 75 \, m \times 3 \, m = 1072000 \, m \times 75 \, m \times 3 \, m = 2.412 \times 10^8 \, m^3$.
આવી ત્રણ નદીઓનું કુલ ઘનફળ $= 3 \times 2.412 \times 10^8 \, m^3 = 7.236 \times 10^8 \, m^3$.
આમ,$7.28 \times 10^8 \, m^3 \approx 7.236 \times 10^8 \, m^3$ હોવાથી,કુલ વરસાદ એ આવી ત્રણ નદીઓના ઘનફળની લગભગ સમાન છે.

(N/A) ધારો કે $ABC$ એક શંકુ છે. તેના પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા કાપતા એક આડછેદ $DECB$ મળે છે.
ધારો કે શંકુના આડછેદના બંને છેડાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_{1}$ અને $r_{2}$ છે અને આડછેદની ઊંચાઈ $h$ છે.
$\triangle ABG$ અને $\triangle ADF$ માં,$DF \parallel BG$ છે.
$\therefore \triangle ABG \sim \triangle ADF.$
$\frac{DF}{BG} = \frac{AF}{AG} = \frac{AD}{AB}.$
$\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{h_{1}-h}{h_{1}} = 1 - \frac{h}{h_{1}}.$
$\frac{h}{h_{1}} = 1 - \frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{r_{1}-r_{2}}{r_{1}}.$
$h_{1} = \frac{r_{1}h}{r_{1}-r_{2}}.$
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $=$ શંકુ $ABC$ નું ઘનફળ $-$ શંકુ $ADE$ નું ઘનફળ.
$= \frac{1}{3} \pi r_{1}^{2} h_{1} - \frac{1}{3} \pi r_{2}^{2}(h_{1}-h).$
$= \frac{\pi}{3} [r_{1}^{2} h_{1} - r_{2}^{2}(h_{1}-h)].$
$= \frac{\pi}{3} [r_{1}^{2} (\frac{r_{1}h}{r_{1}-r_{2}}) - r_{2}^{2} (\frac{r_{1}h}{r_{1}-r_{2}} - h)].$
$= \frac{\pi}{3} [\frac{r_{1}^{3}h}{r_{1}-r_{2}} - r_{2}^{2} (\frac{r_{1}h - r_{1}h + r_{2}h}{r_{1}-r_{2}})].$
$= \frac{\pi}{3} [\frac{r_{1}^{3}h - r_{2}^{3}h}{r_{1}-r_{2}}].$
$= \frac{\pi h}{3} [\frac{r_{1}^{3} - r_{2}^{3}}{r_{1}-r_{2}}].$
$= \frac{\pi h}{3} [\frac{(r_{1}-r_{2})(r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})}{r_{1}-r_{2}}].$
$= \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2}).$

(A) સૌ પ્રથમ,બધા માપને મીટરમાં ફેરવો: પહોળાઈ $= 300 \,cm = 3 \,m$,ઊંડાઈ $= 120 \,cm = 1.2 \,m$,ઝડપ $= 20 \,km/h = 20000 \,m/h$.
$1 \,\text{કલાકમાં}$ નહેરમાંથી વહેતા પાણીનું ઘનફળ $= \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંડાઈ} \times \text{ઝડપ} = 3 \times 1.2 \times 20000 = 72000 \,m^3$.
$20 \,\text{મિનિટમાં}$ વહેતા પાણીનું ઘનફળ $= \frac{72000 \times 20}{60} = 24000 \,m^3$.
ધારો કે સિંચાઈ કરવા માટેનો વિસ્તાર $A \,m^2$ છે. સિંચાઈ માટે જરૂરી પાણીનું ઘનફળ $= \text{વિસ્તાર} \times \text{પાણીની ઊંડાઈ}$.
આપેલ ઊંડાઈ $= 8 \,cm = 0.08 \,m$.
તેથી,$A \times 0.08 = 24000$.
$A = \frac{24000}{0.08} = 300000 \,m^2$.
$1 \,\text{હેક્ટર }= 10000 \,m^2$ હોવાથી,હેક્ટરમાં વિસ્તાર $= \frac{300000}{10000} = 30 \,\text{હેક્ટર}$.

(B) ધારો કે આપેલ શંકુની ઊંચાઈ $h$ છે. શંકુને તેની અક્ષના મધ્યબિંદુમાંથી અને પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા બે ભાગમાં વિભાજિત કરતા,આપણને ઉપરના ભાગમાં એક નાનો શંકુ અને નીચેના ભાગમાં શંકુનો આડછેદ મળે છે.
બે સમરૂપ ત્રિકોણોમાં,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે. ધારો કે નાના શંકુની ત્રિજ્યા $r$ છે. ત્રિકોણોની સમરૂપતા દ્વારા,આપણને મળે છે $\frac{r}{4} = \frac{h/2}{h} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$r = 2 \, cm$.
નાના શંકુનું ઘનફળ $(V_1)$ = $\frac{1}{3} \pi r^2 (h/2) = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (h/2) = \frac{2}{3} \pi h$.
મૂળ શંકુનું ઘનફળ $(V)$ = $\frac{1}{3} \pi (4)^2 h = \frac{16}{3} \pi h$.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $(V_2)$ = $V - V_1 = \frac{16}{3} \pi h - \frac{2}{3} \pi h = \frac{14}{3} \pi h$.
નાના શંકુના ઘનફળ અને શંકુના આડછેદના ઘનફળનો ગુણોત્તર = $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{2}{3} \pi h}{\frac{14}{3} \pi h} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:7$ છે.