Volume of a Combination of Solids Questions in Gujarati

(C) ધાતુના નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. અહીં $r = 2\, cm$ અને $h = 8\, cm$ લેતા,$V_{cylinder} = \pi \times (2)^2 \times 8 = 32\pi\, cm^3$ મળે.
$0.5\, cm$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r_b = 0.25\, cm = 1/4\, cm$) ધરાવતા એક ગોળાકાર દડાનું ઘનફળ $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r_b^3 = \frac{4}{3} \pi (1/4)^3 = \frac{4}{3} \pi \times \frac{1}{64} = \frac{\pi}{48}\, cm^3$ થાય.
બનાવી શકાતા દડાની સંખ્યા $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{ball}} = \frac{32\pi}{\pi/48} = 32 \times 48 = 1536$ થાય.

(D) ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
જ્યારે ત્રણ ગોળાઓને ઓગાળીને એક નવો ગોળો બનાવવામાં આવે,ત્યારે કુલ ઘનફળ સમાન રહે છે.
ધારો કે ત્રણ ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 3 \, cm$,$r_2 = 4 \, cm$ અને $r_3 = 5 \, cm$ છે.
ધારો કે નવા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
ત્રણેય ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ $V_{total} = \frac{4}{3} \pi (r_1^3 + r_2^3 + r_3^3)$ થાય.
નવા ગોળાનું ઘનફળ $V_{new} = \frac{4}{3} \pi R^3$ થાય.
ઘનફળને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi (3^3 + 4^3 + 5^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$R^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$.
$R = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$.

(A) ધાતુના ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 6 \, cm$ છે.
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times (6)^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 216 = 288 \pi \, cm^3$.
તાર નળાકાર આકારનો છે જેનો વ્યાસ $1 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = 0.5 \, cm = \frac{1}{2} \, cm$ થાય.
ધારો કે તારની લંબાઈ $h$ છે. નળાકાર તારનું ઘનફળ $V = \pi R^2 h$ થાય.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $288 \pi = \pi \times (\frac{1}{2})^2 \times h$.
$288 = \frac{1}{4} \times h$.
$h = 288 \times 4 = 1152 \, cm$.
$100 \, cm = 1 \, m$ હોવાથી,મીટરમાં લંબાઈ $1152 / 100 = 11.52 \, m$ થાય.

(B) કૂવામાંથી બહાર કાઢેલી માટીનું ઘનફળ એ કૂવા દ્વારા બનતા નળાકારના ઘનફળ જેટલું હોય છે.
માટીનું ઘનફળ = $\pi r^2 h = \pi \times (2)^2 \times 50 = 200\pi \, m^3$.
ધારો કે વર્તુળાકાર પ્લોટની સપાટીમાં થયેલો વધારો $H$ મીટર છે.
આ માટીને $R = 40 \, m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર પ્લોટ પર પાથરવામાં આવે છે.
પાથરેલી માટીનું ઘનફળ એ $40 \, m$ ત્રિજ્યા અને $H$ ઊંચાઈ ધરાવતા નળાકારના ઘનફળ જેટલું થાય.
ઘનફળ = $\pi R^2 H = \pi \times (40)^2 \times H = 1600\pi H \, m^3$.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $1600\pi H = 200\pi$.
$H = \frac{200}{1600} = \frac{1}{8} \, m$.
ઊંચાઈને $cm$ માં ફેરવવા માટે,$100$ વડે ગુણતા: $H = \frac{1}{8} \times 100 = 12.5 \, cm$.

(C) ધાતુના શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. આપેલ કિંમતો $r = 5 \, cm$ અને $h = 8 \, cm$ મૂકતા,$V_{cone} = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (8) = \frac{200}{3} \pi \, cm^3$ મળે.
$0.5 \, cm$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r_b = 0.25 \, cm = \frac{1}{4} \, cm$) ધરાવતા દરેક ગોળાકાર દડાનું ઘનફળ $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r_b^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{4})^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{64}) = \frac{1}{48} \pi \, cm^3$ થાય.
બનતા દડાઓની સંખ્યા $n = \frac{V_{cone}}{V_{ball}} = \frac{\frac{200}{3} \pi}{\frac{1}{48} \pi} = \frac{200}{3} \times 48 = 200 \times 16 = 3200$ થાય.

(D) ધાતુના ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 6 \, cm$ છે.
$V = \frac{4}{3} \pi (6)^3 = \frac{4}{3} \pi (216) = 288 \pi \, cm^3$.
તાર નળાકાર આકારનો છે જેની ત્રિજ્યા $R = 0.4 \, cm$ અને લંબાઈ $h$ છે. નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi R^2 h$ છે.
ઓગાળવાની અને ફરીથી આકાર આપવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન ઘનફળ સમાન રહે છે,તેથી:
$288 \pi = \pi (0.4)^2 h$
$288 = 0.16 \times h$
$h = \frac{288}{0.16} = \frac{28800}{16} = 1800 \, cm$.
લંબાઈને મીટરમાં ફેરવવા માટે,આપણે $100$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$h = \frac{1800}{100} = 18 \, m$.

(A) $21\,cm$ વ્યાસ ધરાવતા ધાતુના ગોળાનું ઘનફળ (ત્રિજ્યા $R = 10.5\,cm$ અથવા $21/2\,cm$) $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{21}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \times \frac{9261}{8} = \frac{3087}{2} \pi \, cm^3$ છે.
$7\,cm$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r = 3.5\,cm$ અથવા $7/2\,cm$) અને $3\,cm$ ઊંચાઈ ધરાવતા એક શંકુનું ઘનફળ $V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{7}{2})^2 \times 3 = \pi \times \frac{49}{4} = 12.25 \pi \, cm^3$ છે.
શંકુની સંખ્યા $n = \frac{V_s}{V_c} = \frac{3087 \pi / 2}{49 \pi / 4} = \frac{3087}{2} \times \frac{4}{49} = \frac{3087 \times 2}{49} = 63 \times 2 = 126$ મળે.
આમ,$126$ શંકુ બનાવી શકાય છે.

(B) શંકુના આડછેદ આકારની ડોલ માટે,મોટી ત્રિજ્યા $r_{1} = 28\,cm$,નાની ત્રિજ્યા $r_{2} = 7\,cm$ અને ઊંચાઈ $h = 45\,cm$ છે.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર:
$V = \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 45 \times (28^{2} + 7^{2} + 28 \times 7)$
$V = \frac{22 \times 15}{7} \times (784 + 49 + 196)$
$V = \frac{22 \times 15}{7} \times 1029$
$V = 22 \times 15 \times 147$
$V = 48510\,cm^{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $1000\,cm^{3} = 1\,\text{લિટર}$:
$V = \frac{48510}{1000}\,\text{લિટર }= 48.51\,\text{લિટર}$
આમ,ડોલ $48.51\,\text{લિટર}$ પાણી સમાવી શકે છે.

(D) શંકુના આડછેદ માટે,પાયાનો પરિઘ $C_1 = 2 \pi r_1 = 48 \, cm$,તેથી $r_1 = \frac{24}{\pi} \, cm$.
ઉપરના ભાગનો પરિઘ $C_2 = 2 \pi r_2 = 36 \, cm$,તેથી $r_2 = \frac{18}{\pi} \, cm$.
આડછેદની ઊંચાઈ $h = 11 \, cm$ છે.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \pi (11) \left[ (\frac{24}{\pi})^2 + (\frac{18}{\pi})^2 + (\frac{24}{\pi})(\frac{18}{\pi}) \right]$.
$V = \frac{11 \pi}{3} \left[ \frac{576}{\pi^2} + \frac{324}{\pi^2} + \frac{432}{\pi^2} \right]$.
$V = \frac{11 \pi}{3} \left[ \frac{1332}{\pi^2} \right] = \frac{11 \times 1332}{3 \pi} = \frac{11 \times 444}{\pi} = \frac{4884}{\pi}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,$V = \frac{4884 \times 7}{22} = 222 \times 7 = 1554 \, cm^3$.

(A) આપેલ છે: વ્યાસ $D_1 = 32 \,cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r_1 = 16 \,cm$. વ્યાસ $D_2 = 20 \,cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r_2 = 10 \,cm$. ઊંચાઈ $h = 8 \,cm$.
$1$. તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{8^2 + (16 - 10)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \,cm$.
$2$. વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ = $\pi(r_1 + r_2)l = 3.14 \times (16 + 10) \times 10 = 3.14 \times 26 \times 10 = 816.4 \,cm^2$.
$3$. ઘનફળ $V = \frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (16^2 + 10^2 + 16 \times 10) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (256 + 100 + 160) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times 516 = 3.14 \times 8 \times 172 = 4320.64 \,cm^3$.

(B) શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $V$ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)$ છે.
આપેલ છે: $R = 28 \, cm$, $r = 21 \, cm$, અને $V = 28.490 \, \text{litres} = 28490 \, cm^3$ (કારણ કે $1 \, \text{litre} = 1000 \, cm^3$).
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$28490 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times h \times (28^2 + 21^2 + 28 \times 21)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times (784 + 441 + 588)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times (1813)$.
$28490 = \frac{39886}{21} \times h$.
$h = \frac{28490 \times 21}{39886} = \frac{598290}{39886} = 15 \, cm$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 9\, cm$,$r_2 = 3\, cm$,અને ઊંચાઈ $h = 8\, cm$.
પ્રથમ,તિર્યક ઊંચાઈ $l$ ની ગણતરી $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો.
$l = \sqrt{8^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\, cm$.
શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $\pi(r_1 + r_2)l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$CSA = 3.14 \times (9 + 3) \times 10 = 3.14 \times 12 \times 10 = 376.8\, cm^2$.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $\frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (9^2 + 3^2 + 9 \times 3) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (81 + 9 + 27) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times 117$.
$V = 3.14 \times 8 \times 39 = 979.68\, cm^3$.

(A) આપેલ છે: શંકુ અને અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા $r = 6 \, cm$,શંકુની ઊંચાઈ $h = 8 \, cm$.
પ્રથમ,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ શોધો: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
ઘન પદાર્થની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ = શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
$CSA$ = $\pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r) = 3.14 \times 6 \times (10 + 2 \times 6) = 18.84 \times (10 + 12) = 18.84 \times 22 = 414.48 \, cm^2$.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ = શંકુનું ઘનફળ + અર્ધગોળાનું ઘનફળ.
ઘનફળ = $\frac{1}{3}\pi r^2h + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^2(h + 2r) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 6^2 \times (8 + 2 \times 6) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 36 \times (8 + 12) = 3.14 \times 12 \times 20 = 37.68 \times 20 = 753.6 \, cm^3$.

(A) ટાંકી નળાકાર અને બે અર્ધગોલકોની બનેલી છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $21\, cm$.
અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ = $21\, cm$.
ટાંકીની કુલ ઊંચાઈ = $62\, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h)$ = કુલ ઊંચાઈ - $2 \times$ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા = $62 - 2(21) = 62 - 42 = 20\, cm$.
ટાંકીનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ + $2 \times$ અર્ધગોલકનું ઘનફળ.
ઘનફળ = $\pi r^2 h + 2 \times (2/3) \pi r^3 = \pi r^2 (h + 4/3 r)$.
ઘનફળ = $(22/7) \times (21)^2 \times (20 + (4/3) \times 21) = (22/7) \times 441 \times (20 + 28) = 22 \times 63 \times 48 = 66528\, cm^3$.
$1000\, cm^3 = 1\, \text{લિટર}$ હોવાથી, લિટરમાં ઘનફળ = $66528 / 1000 = 66.528\, \text{લિટર}$.

(C) ટાંકી એક નળાકાર અને બે અર્ધગોલકોની બનેલી છે.
નળાકાર અને અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા, $r = 24 / 2 = 12 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ, $h = 78 - (12 + 12) = 78 - 24 = 54 \, cm$.
ટાંકીનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ + $2 \times$ અર્ધગોલકનું ઘનફળ.
ઘનફળ = $\pi r^2 h + 2 \times (2/3 \pi r^3) = \pi r^2 (h + 4/3 r)$.
ઘનફળ = $3.14159 \times (12)^2 \times (54 + 4/3 \times 12) = 3.14159 \times 144 \times 70$.
ઘનફળ = $31667.2 \approx 31667 \, cm^3$.
$1000 \, cm^3 = 1 \, \text{લિટર}$ હોવાથી, લિટરમાં ઘનફળ $31667 / 1000 = 31.667 \, \text{લિટર} \approx 31.68 \, \text{લિટર}$ થાય.

(D) ટાંકી એક નળાકાર અને બે સમાન શંકુઓની બનેલી છે.
નળાકાર અને શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ = $14 / 2 = 7 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h_1)$ = $20 \, cm$.
દરેક શંકુની ઊંચાઈ $(h_2)$ = $12 \, cm$.
ટાંકીનું કુલ ઘનફળ = (નળાકારનું ઘનફળ) + $2$ $\times$ (શંકુનું ઘનફળ).
નળાકારનું ઘનફળ = $\pi r^2 h_1 = (22/7) \times 7^2 \times 20 = 22 \times 7 \times 20 = 3080 \, cm^3$.
એક શંકુનું ઘનફળ = $(1/3) \pi r^2 h_2 = (1/3) \times (22/7) \times 7^2 \times 12 = 22 \times 7 \times 4 = 616 \, cm^3$.
કુલ ઘનફળ = $3080 + 2 \times 616 = 3080 + 1232 = 4312 \, cm^3$.

(A) આ ઘન પદાર્થ એક શંકુ અને એક અર્ધગોલકનો બનેલો છે જે તેમના પાયા પર જોડાયેલા છે.
શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ = $0.6 \ m$.
શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ = $1.6 \ m$.
અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ = $0.6 \ m$.
શંકુનું ઘનફળ = $\frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \times \pi \times (0.6)^{2} \times 1.6 = 0.192 \pi \ m^{3}$.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ = $\frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \times \pi \times (0.6)^{3} = 0.144 \pi \ m^{3}$.
કુલ ઘનફળ = $0.192 \pi + 0.144 \pi = 0.336 \pi \ m^{3}$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,કુલ ઘનફળ $\approx 0.336 \times 3.14159 \approx 1.05557 \ m^{3}$,જે આશરે $1.056 \ m^{3}$ થાય છે.

(B) નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. અહીં વ્યાસ $= 1 \, cm$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 0.5 \, cm = \frac{1}{2} \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 4 \, cm$ છે.
$V_{cylinder} = \pi \times (\frac{1}{2})^2 \times 4 = \pi \times \frac{1}{4} \times 4 = \pi \, cm^3$.
એક ગોળાકાર દડાનું ઘનફળ $V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે. અહીં ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{8} \, cm$ છે.
$V_{sphere} = \frac{4}{3} \times \pi \times (\frac{1}{8})^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times \frac{1}{512} = \frac{\pi}{3 \times 128} = \frac{\pi}{384} \, cm^3$.
બનતા દડાઓની સંખ્યા $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{sphere}} = \frac{\pi}{\frac{\pi}{384}} = 384$ થાય.

(C) ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ધારો કે મોટા ધાતુના ગોળાની ત્રિજ્યા $R = 42 \, cm$ છે અને નાના દડાની ત્રિજ્યા $r = 1.4 \, cm$ છે.
બનાવી શકાતા દડાની સંખ્યા $n$ એ મોટા ગોળાના ઘનફળ અને એક નાના દડાના ઘનફળના ગુણોત્તર જેટલી હોય છે:
$n = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = \left( \frac{R}{r} \right)^3$.
કિંમતો મૂકતા:
$n = \left( \frac{42}{1.4} \right)^3 = (30)^3$.
$n = 27,000$.
આમ,$27,000$ દડા બનાવી શકાય છે.

(D) ધાતુના નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi \times (4)^2 \times 3 = 48\pi\, cm^3$ છે.
એક ગોળાકાર દડાનું ઘનફળ $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times (0.5)^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 0.125 = \frac{0.5}{3}\pi = \frac{1}{6}\pi\, cm^3$ છે.
બનાવી શકાય તેવા દડાની સંખ્યા $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{ball}} = \frac{48\pi}{\frac{1}{6}\pi} = 48 \times 6 = 288$ થાય.

(A) અર્ધગોળાકાર વાટકાનું ઘનફળ $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 9 \, cm$ છે.
$V_h = \frac{2}{3} \times \pi \times (9)^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 729 = 486 \pi \, cm^3$.
એક નળાકાર બોટલનું ઘનફળ $V_c = \pi r_c^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં વ્યાસ $d = 3 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r_c = 1.5 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 4 \, cm$ છે.
$V_c = \pi \times (1.5)^2 \times 4 = \pi \times 2.25 \times 4 = 9 \pi \, cm^3$.
ભરી શકાતી બોટલોની સંખ્યા $n = \frac{V_h}{V_c} = \frac{486 \pi}{9 \pi} = 54$ થાય.
આમ,$54$ બોટલો ભરી શકાય છે.

(A) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
પ્રથમ નળાકાર માટે: $r_1 = 3.5 \, cm$,$h_1 = 10 \, cm$. ઘનફળ $V_1 = \pi (3.5)^2 (10) = \pi (12.25)(10) = 122.5 \pi \, cm^3$.
બીજા નળાકાર માટે: $r_2 = 7 \, cm$,$h_2 = 10 \, cm$. ઘનફળ $V_2 = \pi (7)^2 (10) = \pi (49)(10) = 490 \pi \, cm^3$.
બંને નળાકારનું કુલ ઘનફળ = $V_1 + V_2 = 122.5 \pi + 490 \pi = 612.5 \pi \, cm^3$.
ધારો કે નવા નળાકારની ત્રિજ્યા $R$ છે અને તેની ઊંચાઈ $H = 50 \, cm$ છે.
નવા નળાકારનું ઘનફળ $V_{new} = \pi R^2 H = \pi R^2 (50)$ થાય.
ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,$50 \pi R^2 = 612.5 \pi$.
$R^2 = \frac{612.5}{50} = 12.25$.
$R = \sqrt{12.25} = 3.5 \, cm$.

(B) શંકુના આડછેદના ઘનફળનું સૂત્ર: $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ છે.
આપેલ છે: $r_1 = 14 \, cm$,$r_2 = 7 \, cm$,અને $h = 12 \, cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12 \times (14^2 + 7^2 + 14 \times 7)$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12 \times (196 + 49 + 98)$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12 \times (343)$
$V = 22 \times 4 \times 49 = 4312 \, cm^3$.

(A) આપેલ છે: $R = 28 \, cm$,$r = 7 \, cm$,$h = 72 \, cm$.
પ્રથમ,તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{72^2 + (28 - 7)^2} = \sqrt{5184 + 441} = \sqrt{5625} = 75 \, cm$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= \pi(R + r)l = \frac{22}{7} \times (28 + 7) \times 75 = 22 \times 5 \times 75 = 8250 \, cm^2$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $= \text{CSA} + \pi R^2 + \pi r^2 = 8250 + \frac{22}{7} \times (28^2 + 7^2) = 8250 + \frac{22}{7} \times (784 + 49) = 8250 + 22 \times 119 = 8250 + 2618 = 10868 \, cm^2$.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 72 \times (28^2 + 7^2 + 28 \times 7) = \frac{22 \times 24}{7} \times (784 + 49 + 196) = \frac{528}{7} \times 1029 = 528 \times 147 = 77616 \, cm^3$.

(B) શંકુનું ઘનફળ,જેની પાયાની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે,તેનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.

(A) ગોલક એ ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થ છે જેમાં સપાટી પરનું દરેક બિંદુ કેન્દ્રથી સમાન અંતર $r$ પર હોય છે. ગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
અર્ધગોલક એ ગોલકનો બરાબર અડધો ભાગ છે. તેથી,અર્ધગોલકનું ઘનફળ એ ગોલકના ઘનફળ કરતાં અડધું હોય છે.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{ગોલકનું ઘનફળ})$
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \pi r^{3}$.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકનું ઘનફળ $V$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) નળાકાર કે જેની પાયાની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ હોય તેનું ઘનફળ પાયાના ક્ષેત્રફળ અને નળાકારની ઊંચાઈના ગુણાકાર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે.
પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^{2}$.
તેથી,નળાકારનું ઘનફળ $= \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ} = \pi r^{2} h$.

(C) ગોલકનો વ્યાસ $d = 10 \, cm$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, cm$ થાય.
ગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \pi (5)^3$
$V = \frac{4}{3} \pi (125)$
$V = \frac{500}{3} \pi \, cm^3$.

(A) ગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 1.5 \text{ cm} = \frac{3}{2} \text{ cm}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{3}{2} \right)^3$
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{27}{8} \right)$
$V = \left( \frac{4}{3} \times \frac{27}{8} \right) \pi$
$V = \left( \frac{1}{1} \times \frac{9}{2} \right) \pi$
$V = 4.5 \pi \text{ cm}^3$.

(D) શંકુના આડછેદના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ છે.
આપેલ છે: $r_1 = 6 \, cm$,$r_2 = 4 \, cm$ અને $h = 9 \, cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \pi (9) (6^2 + 4^2 + 6 \times 4)$
$V = 3 \pi (36 + 16 + 24)$
$V = 3 \pi (76)$
$V = 228 \pi \, cm^3$.
આમ,ઘનફળ $228 \pi \, cm^3$ છે.

(A) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે,જ્યાં $V$ એ ઘનફળ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $V = 550 \, cm^3$,$r = 5 \, cm$ અને $\pi \approx \frac{22}{7}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $550 = \frac{22}{7} \times (5)^2 \times h$.
$550 = \frac{22}{7} \times 25 \times h$.
$550 = \frac{550}{7} \times h$.
$h = 550 \times \frac{7}{550}$.
$h = 7 \, cm$.

(B) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 12 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (5)^{2} \times 12$
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12$
$V = \pi \times 25 \times 4$
$V = 100 \pi \, cm^{3}$.
તેથી,શંકુનું ઘનફળ $100 \, \pi \, cm^{3}$ થાય.

(C) ધારો કે બે શંકુના વ્યાસ $d_1$ અને $d_2$ છે,અને તેમની ઊંચાઈ $h_1$ અને $h_2$ છે.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_1:d_2 = 2:3$ છે,તેથી તેમની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_1:r_2 = 2:3$ થશે.
તેમની ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $h_1:h_2 = 9:4$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ થશે.
આપેલા ગુણોત્તરની કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{9}{4}\right) = \frac{4}{9} \times \frac{9}{4} = 1$.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(D) ગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે મૂળ ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
તેથી મૂળ ઘનફળ $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ થાય.
જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r$ થાય.
નવું ઘનફળ $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$ મળે.
આમ,$V_2 = 8 \times V_1$.
તેથી,નવું ઘનફળ મૂળ ગોલકના ઘનફળના $8$ ગણું થાય છે.

(B) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^{2} h$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 5 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \pi \times (5)^{2} \times 5$
$V = \pi \times 25 \times 5$
$V = 125\pi \, cm^{3}$.
આમ,નળાકારનું ઘનફળ $125\pi \, cm^{3}$ થાય.

(C) અર્ધગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 3 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{2}{3} \times \pi \times (3)^{3}$
$V = \frac{2}{3} \times \pi \times 27$
$V = 2 \times \pi \times 9$
$V = 18 \pi \, cm^{3}$.
આમ,અર્ધગોલકનું ઘનફળ $18 \pi \, cm^{3}$ થાય.

(D) ધારો કે બે નળાકારના વ્યાસ $d_1$ અને $d_2$ છે,અને તેમની ઊંચાઈ $h_1$ અને $h_2$ છે.
આપેલ છે કે,$d_1:d_2 = 3:4$,તેથી ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1:r_2 = 3:4$ થાય.
આપેલ છે કે,$h_1:h_2 = 4:5$.
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{4}{5}\right) = \frac{9}{16} \times \frac{4}{5} = \frac{9 \times 1}{4 \times 5} = \frac{9}{20}$.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $9:20$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r' = 2r$ થાય.
નવું ઘનફળ $V' = \frac{4}{3} \pi (r')^3$ દ્વારા મળે છે.
સૂત્રમાં $r' = 2r$ મૂકતા,આપણને મળે છે $V' = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$.
તેથી,$V' = 8V$.
આમ,ઘનફળ મૂળ ઘનફળના $8$ ગણું થાય છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકનું ઘનફળ $V$ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
અર્ધગોલક એ ગોલકનો બરાબર અડધો ભાગ હોવાથી,તેનું ઘનફળ ગોલકના ઘનફળ કરતાં અડધું હોય છે.
તેથી,અર્ધગોલકનું ઘનફળ $= \frac{1}{2} \times (\frac{4}{3} \pi r^{3}) = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ થાય.

(B) $1-$ રૂપિયાનો સિક્કો નળાકાર આકારનો હોય છે.
નળાકારનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \pi r^{2} h$ છે,જ્યાં $r$ એ પાયાની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ સિક્કાની જાડાઈ (ઊંચાઈ) છે.
તેથી,$1-$ રૂપિયાના સિક્કાનું ઘનફળ $V = \pi r^{2} h$ થાય.

(B) જ્યારે શંકુને તેના પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા કાપવામાં આવે ત્યારે શંકુનો આડછેદ (frustum) બને છે.
ધારો કે $h$ એ આડછેદની ઊંચાઈ છે,અને $r_{1}$ તથા $r_{2}$ એ બે વર્તુળાકાર પાયાની ત્રિજ્યાઓ છે.
શંકુના આડછેદના ઘનફળ $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{3} \pi h(r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$
તેથી,વિકલ્પ $B$ એ સાચું સૂત્ર છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ litre}$ એ $10 \text{ cm}$ બાજુ ધરાવતા સમઘનનું ઘનફળ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $(\text{બાજુ})^3$ દ્વારા મળે છે,તેથી:
$1 \text{ litre} = (10 \text{ cm})^3 = 10 \times 10 \times 10 \text{ cm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$.
આમ,$1 \text{ litre} = 1000 \text{ cm}^3$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, m = 100 \, cm$.
તેથી,$1 \, m^3 = (100 \, cm) \times (100 \, cm) \times (100 \, cm) = 1,000,000 \, cm^3$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $1 \, \text{લીટર} = 1000 \, cm^3$.
$cm^3$ ને લીટરમાં ફેરવવા માટે,આપણે $1000$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ.
આમ,$1,000,000 \, cm^3 / 1000 = 1000 \, \text{લીટર}$.
તેથી,$1 \, m^3 = 1000 \, \text{લીટર}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ m^{3} = 1000 \ \text{લીટર}$.
વળી,$1 \ \text{કિલોલીટર} = 1000 \ \text{લીટર}$.
તેથી,$1 \ m^{3} = 1 \ \text{કિલોલીટર}$.

(D) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2 \pi r h$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $\pi r^{2} h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$CSA$ અને ઘનફળ આંકડાકીય રીતે સમાન છે:
$2 \pi r h = \pi r^{2} h$
બંને બાજુને $\pi r h$ વડે ભાગતા (ધારો કે $r \neq 0$ અને $h \neq 0$):
$2 = r$
તેથી,નળાકારની ત્રિજ્યા $2$ એકમ છે.

(C) નળાકારની ત્રિજ્યા $r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{14\, cm}{2} = 7\, cm$ થાય.
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
સૂત્રમાં $r = 7\, cm$ અને $h = 10\, cm$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 10$
$V = \frac{22}{7} \times 49 \times 10$
$V = 22 \times 7 \times 10$
$V = 1540\, cm^3$.
આમ,નળાકારનું ઘનફળ $1540\, cm^3$ છે.

(D) નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^{2}$ છે.
અહીં પાયાનું ક્ષેત્રફળ $20 \, cm^{2}$ આપેલું છે,તેથી $\pi r^{2} = 20 \, cm^{2}$ થાય.
નળાકારના ઘનફળ $V$ નું સૂત્ર $V = \pi r^{2} h$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$V = (20 \, cm^{2}) \times (5 \, cm) = 100 \, cm^{3}$ મળે.
આમ,નળાકારનું ઘનફળ $100 \, cm^{3}$ છે.

(B) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
અહીં આપેલ છે કે ઘનફળ $V = 20 \pi \, cm^3$ અને ઊંચાઈ $h = 5 \, cm$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $20 \pi = \pi r^2 \times 5$.
બંને બાજુ $5 \pi$ વડે ભાગતા,આપણને $r^2 = 4$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$r = 2 \, cm$ મળે છે.
વ્યાસ $d$ એ ત્રિજ્યા કરતા બમણો હોય છે: $d = 2r = 2 \times 2 = 4 \, cm$.