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Mix Examples - Triangles Questions in Hindi
Class 10 Mathematics · Triangles · Mix Examples - Triangles
109+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 9 of 109 questions in Hindi
101
DifficultMCQ
आयत $ABCD$ में,$AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + DA^{2} = 338$ है,तो $AC = \ldots$
A
$13$
B
$5$
C
$12$
D
$26$
Solution
(A) आयत $ABCD$ में,हम जानते हैं कि सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $CD = AB$ और $DA = BC$.
साथ ही,$\angle B = 90^{\circ}$.
दिया गया समीकरण: $AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + DA^{2} = 338$.
समान भुजाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $AB^{2} + BC^{2} + AB^{2} + BC^{2} = 338$.
$2(AB^{2} + BC^{2}) = 338$.
$AB^{2} + BC^{2} = 169$.
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
अतः,$AC^{2} = 169$.
$AC = \sqrt{169} = 13$.
साथ ही,$\angle B = 90^{\circ}$.
दिया गया समीकरण: $AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + DA^{2} = 338$.
समान भुजाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $AB^{2} + BC^{2} + AB^{2} + BC^{2} = 338$.
$2(AB^{2} + BC^{2}) = 338$.
$AB^{2} + BC^{2} = 169$.
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
अतः,$AC^{2} = 169$.
$AC = \sqrt{169} = 13$.
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DifficultMCQ
$\Delta ABC$ में,$m \angle B = 45^{\circ}$ और $\overline{AM}$ एक शीर्षलंब (altitude) है,$M \in \overline{BC}$। यदि $BC = 7$ और $AM = 4$ है,तो $AC = \ldots$
A
$4$
B
$2.5$
C
$5$
D
$10$
Solution
(C) $\Delta AMB$ में,$m \angle M = 90^{\circ}$ और $m \angle B = 45^{\circ}$ है।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle MAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ होगा।
चूंकि $m \angle MAB = m \angle B = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\Delta AMB$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
अतः,$AM = BM = 4$ होगा।
दिया गया है कि $M \in \overline{BC}$,इसलिए $BC = BM + MC$ होगा।
$7 = 4 + MC$,जिसका अर्थ है कि $MC = 7 - 4 = 3$ होगा।
अब,समकोण $\Delta AMC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$
$AC^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25$
$AC = \sqrt{25} = 5$।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle MAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ होगा।
चूंकि $m \angle MAB = m \angle B = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\Delta AMB$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
अतः,$AM = BM = 4$ होगा।
दिया गया है कि $M \in \overline{BC}$,इसलिए $BC = BM + MC$ होगा।
$7 = 4 + MC$,जिसका अर्थ है कि $MC = 7 - 4 = 3$ होगा।
अब,समकोण $\Delta AMC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$
$AC^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25$
$AC = \sqrt{25} = 5$।
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DifficultMCQ
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB^{2} + AD^{2} = 200$ और $BD = 12$ है। तो $AC = \ldots$
A
$12$
B
$8$
C
$16$
D
$20$
Solution
(C) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,मान लीजिए $\overline{AC} \cap \overline{BD} = \{O\}$ है।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $O$,$\overline{AC}$ और $\overline{BD}$ का मध्य बिंदु है।
अतः,$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2}(12) = 6$.
$\Delta ABD$ में,$\overline{AO}$ भुजा $\overline{BD}$ पर माध्यिका है।
अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,$AB^{2} + AD^{2} = 2(AO^{2} + BO^{2})$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $200 = 2(AO^{2} + 6^{2})$.
$100 = AO^{2} + 36$.
$AO^{2} = 100 - 36 = 64$.
$AO = \sqrt{64} = 8$.
चूंकि $O$,$\overline{AC}$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $AC = 2 AO = 2 \times 8 = 16$.
चूंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $O$,$\overline{AC}$ और $\overline{BD}$ का मध्य बिंदु है।
अतः,$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2}(12) = 6$.
$\Delta ABD$ में,$\overline{AO}$ भुजा $\overline{BD}$ पर माध्यिका है।
अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,$AB^{2} + AD^{2} = 2(AO^{2} + BO^{2})$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $200 = 2(AO^{2} + 6^{2})$.
$100 = AO^{2} + 36$.
$AO^{2} = 100 - 36 = 64$.
$AO = \sqrt{64} = 8$.
चूंकि $O$,$\overline{AC}$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $AC = 2 AO = 2 \times 8 = 16$.
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MediumMCQ
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB^{2} + BC^{2} = 260$ और $AC = 18$ है। तो $BD = \ldots$
A
$7$
B
$14$
C
$18$
D
$14 \sqrt{2}$
Solution
(B) एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,उसके विकर्णों के वर्गों का योग उसकी चारों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इसे समांतर चतुर्भुज नियम कहा जाता है: $AC^{2} + BD^{2} = 2(AB^{2} + BC^{2})$.
यहाँ $AB^{2} + BC^{2} = 260$ और $AC = 18$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर: $18^{2} + BD^{2} = 2(260)$.
$324 + BD^{2} = 520$.
$BD^{2} = 520 - 324$.
$BD^{2} = 196$.
$BD = \sqrt{196} = 14$.
इसे समांतर चतुर्भुज नियम कहा जाता है: $AC^{2} + BD^{2} = 2(AB^{2} + BC^{2})$.
यहाँ $AB^{2} + BC^{2} = 260$ और $AC = 18$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर: $18^{2} + BD^{2} = 2(260)$.
$324 + BD^{2} = 520$.
$BD^{2} = 520 - 324$.
$BD^{2} = 196$.
$BD = \sqrt{196} = 14$.
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MediumMCQ
एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप $18$ है। तो,इसके शीर्षलंब (altitude) की लंबाई $\ldots \ldots \ldots$ है।
A
$6$
B
$3$
C
$6 \sqrt{3}$
D
$3 \sqrt{3}$
Solution
(D) एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप $P = 3 \times \text{भुजा}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $P = 18$ दिया गया है,इसलिए $18 = 3 \times \text{भुजा}$,जिसका अर्थ है कि $\text{भुजा} = 6$ है।
समबाहु त्रिभुज के शीर्षलंब $(h)$ का सूत्र $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा}$ है।
भुजा का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3 \sqrt{3}$।
यहाँ $P = 18$ दिया गया है,इसलिए $18 = 3 \times \text{भुजा}$,जिसका अर्थ है कि $\text{भुजा} = 6$ है।
समबाहु त्रिभुज के शीर्षलंब $(h)$ का सूत्र $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा}$ है।
भुजा का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3 \sqrt{3}$।
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MediumMCQ
निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प भाग $I$ और भाग $II$ की जानकारी का सही मिलान करता है?
| भाग $I$ | भाग $II$ |
|---|---|
| $1.$ $\Delta ABC$ में,$\angle B$ समकोण है और $\overline{BM}$ माध्यिका है। | $a. AB^2 + BC^2 = 2(BD^2 + CD^2)$ |
| $2.$ $\Delta ABC$ में,$\angle A$ समकोण है और $\overline{AD}$ शीर्षलंब है। | $b. BC = \frac{1}{2} AB$ |
| $3.$ $\Delta ABC$ में,$m\angle C = 90^\circ$ और $m\angle A = 30^\circ$ है। | $c. AC^2 = CD \cdot BC$ |
| $4.$ $\Delta ABC$ में,$\overline{BD}$ माध्यिका है। | $d. BM = \frac{1}{2} AC$ |
A
$(1-d), (2-a), (3-c), (4-b)$
B
$(1-d), (2-c), (3-b), (4-a)$
C
$(1-c), (2-d), (3-b), (4-a)$
D
$(1-b), (2-c), (3-a), (4-d)$
Solution
(B) $1.$ समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है। अतः,$BM = \frac{1}{2} AC$ $(1-d)$.
$2.$ समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में कर्ण पर शीर्षलंब $\overline{AD}$ के लिए,समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार,$AC^2 = CD \cdot BC$ संबंध प्राप्त होता है $(2-c)$.
$3.$ $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ त्रिभुज में,$30^\circ$ के सम्मुख भुजा कर्ण की आधी होती है। यहाँ,$BC$,$30^\circ$ के सम्मुख है,इसलिए $BC = \frac{1}{2} AB$ $(3-b)$.
$4.$ अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ में माध्यिका $\overline{BD}$ के लिए,$AB^2 + BC^2 = 2(BD^2 + CD^2)$ होता है $(4-a)$.
अतः,सही मिलान $(1-d), (2-c), (3-b), (4-a)$ है।
$2.$ समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में कर्ण पर शीर्षलंब $\overline{AD}$ के लिए,समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार,$AC^2 = CD \cdot BC$ संबंध प्राप्त होता है $(2-c)$.
$3.$ $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ त्रिभुज में,$30^\circ$ के सम्मुख भुजा कर्ण की आधी होती है। यहाँ,$BC$,$30^\circ$ के सम्मुख है,इसलिए $BC = \frac{1}{2} AB$ $(3-b)$.
$4.$ अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ में माध्यिका $\overline{BD}$ के लिए,$AB^2 + BC^2 = 2(BD^2 + CD^2)$ होता है $(4-a)$.
अतः,सही मिलान $(1-d), (2-c), (3-b), (4-a)$ है।
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DifficultMCQ
$\Delta PQR$ में,$\angle Q$ एक समकोण है। यदि $PQ = 8$ और $QR = 15$ है,तो $\Delta PQR$ की तीनों भुजाओं को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या $\ldots \ldots$ है।
A
$7$
B
$10$
C
$17$
D
$3$
Solution
(D) $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ है।
अतः,$\overline{PR}$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$ है।
$PR^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$ है।
$PR = \sqrt{289} = 17$ है।
समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $(r)$ ज्ञात करने का सूत्र $r = \frac{PQ + QR - PR}{2}$ है।
$r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{23 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3$ है।
अतः,$\overline{PR}$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$ है।
$PR^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$ है।
$PR = \sqrt{289} = 17$ है।
समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $(r)$ ज्ञात करने का सूत्र $r = \frac{PQ + QR - PR}{2}$ है।
$r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{23 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3$ है।
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MediumMCQ
$\triangle ABC$ में,$m \angle B = 90^\circ$,$AB = 4$ और $BC = 3$ है। तो त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
A
$4$
B
$1$
C
$2$
D
$3$
Solution
(B) एक समकोण त्रिभुज में,अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{AB + BC - AC}{2}$ होता है।
सबसे पहले,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण $AC$ ज्ञात करते हैं: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
अब,मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $r = \frac{4 + 3 - 5}{2} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
अतः,अंतःवृत्त की त्रिज्या $1$ है।
सबसे पहले,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण $AC$ ज्ञात करते हैं: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
अब,मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $r = \frac{4 + 3 - 5}{2} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
अतः,अंतःवृत्त की त्रिज्या $1$ है।
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DifficultMCQ
निम्नलिखित में से कौन सा समूह भाग $I$ के डेटा को भाग $II$ के डेटा के साथ सही ढंग से मिलाता है?
| भाग $I$ | भाग $II$ |
| $1.$ $\Delta ABC$ में,$AB=3, BC=4, AC=5$ | $a.$ अंतःत्रिज्या $= 1$ |
| $2.$ $\Delta PQR$ में,$PQ=5, QR=12, PR=13$ | $b.$ अंतःत्रिज्या $= 2$ |
| $3.$ $\Delta XYZ$ में,$XY=8, YZ=15, XZ=17$ | $c.$ अंतःत्रिज्या $= 3$ |
| $4.$ $\Delta MNP$ में,$MN=20, NP=21, MP=29$ | $d.$ अंतःत्रिज्या $= 6$ |
A
$(1-a), (2-b), (3-c), (4-d)$
B
$(1-c), (2-d), (3-a), (4-b)$
C
$(1-d), (2-c), (3-b), (4-a)$
D
$(1-b), (2-a), (3-d), (4-c)$
Solution
(D) एक समकोण त्रिभुज जिसकी भुजाएँ $a, b$ और कर्ण $c$ हैं,के लिए अंतःत्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{a+b-c}{2}$ होता है।
$1.$ $\Delta ABC$ के लिए भुजाएँ $3, 4, 5$ हैं: $r = \frac{3+4-5}{2} = \frac{2}{2} = 1$। यह $(b)$ से मेल खाता है।
$2.$ $\Delta PQR$ के लिए भुजाएँ $5, 12, 13$ हैं: $r = \frac{5+12-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$। यह $(a)$ से मेल खाता है।
$3.$ $\Delta XYZ$ के लिए भुजाएँ $8, 15, 17$ हैं: $r = \frac{8+15-17}{2} = \frac{6}{2} = 3$। यह $(d)$ से मेल खाता है।
$4.$ $\Delta MNP$ के लिए भुजाएँ $20, 21, 29$ हैं: $r = \frac{20+21-29}{2} = \frac{12}{2} = 6$। यह $(c)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(1-b), (2-a), (3-d), (4-c)$ है।
$1.$ $\Delta ABC$ के लिए भुजाएँ $3, 4, 5$ हैं: $r = \frac{3+4-5}{2} = \frac{2}{2} = 1$। यह $(b)$ से मेल खाता है।
$2.$ $\Delta PQR$ के लिए भुजाएँ $5, 12, 13$ हैं: $r = \frac{5+12-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$। यह $(a)$ से मेल खाता है।
$3.$ $\Delta XYZ$ के लिए भुजाएँ $8, 15, 17$ हैं: $r = \frac{8+15-17}{2} = \frac{6}{2} = 3$। यह $(d)$ से मेल खाता है।
$4.$ $\Delta MNP$ के लिए भुजाएँ $20, 21, 29$ हैं: $r = \frac{20+21-29}{2} = \frac{12}{2} = 6$। यह $(c)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(1-b), (2-a), (3-d), (4-c)$ है।
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