Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(A) समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं। मान लीजिए भुजा की लंबाई $s$ है।
परिमाप $68$ दिया गया है,इसलिए $4s = 68$,जिसका अर्थ है $s = 17$।
समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि $AC = 30$,इसलिए $AO = AC / 2 = 15$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AO^2 + BO^2 = AB^2$।
मान रखने पर: $15^2 + BO^2 = 17^2$।
$225 + BO^2 = 289$।
$BO^2 = 289 - 225 = 64$।
$BO = \sqrt{64} = 8$।
चूंकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $BD = 2 \times BO = 2 \times 8 = 16$।

(C) $\Delta PQR$ में,$\overline{PM}$ एक माध्यिका है।
अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$PQ^{2} + PR^{2} = 2(PM^{2} + QM^{2})$
यहाँ $PQ^{2} + PR^{2} = 148$ और $PM = 7$ दिया गया है:
$148 = 2(7^{2} + QM^{2})$
$74 = 49 + QM^{2}$
$QM^{2} = 74 - 49$
$QM^{2} = 25$
$QM = 5$
चूँकि $\overline{PM}$ एक माध्यिका है,$M$,$\overline{QR}$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$QR = 2 \times QM = 2 \times 5 = 10$.

(D) $\Delta XYZ$ में,$\overline{XN}$ एक माध्यिका है।
अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$XY^2 + XZ^2 = 2(XN^2 + YN^2)$
$200 = 2(8^2 + YN^2)$
$100 = 64 + YN^2$
$YN^2 = 36$
$YN = 6$
चूँकि $\overline{XN}$ एक माध्यिका है,$N$,$\overline{YZ}$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$YZ = 2 \times YN = 2 \times 6 = 12$.

(A) $\Delta ABC$ में,$\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है।
अतः,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है।
$BD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2}(16) = 8$.
$\Delta ABC$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$10^2 + AC^2 = 2((\sqrt{58})^2 + 8^2)$
$100 + AC^2 = 2(58 + 64)$
$100 + AC^2 = 2(122)$
$100 + AC^2 = 244$
$AC^2 = 244 - 100$
$AC^2 = 144$
$AC = \sqrt{144} = 12$.

(B) $\Delta ABC$ में,$\overline{AD}$ एक माध्यिका है।
अतः $D,$ $\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है।
इसलिए $BC = 2BD = 2(4) = 8.$
$\Delta ABC$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
$AB^2 + 7^2 = 2(7^2 + 4^2)$
$AB^2 + 49 = 2(49 + 16)$
$AB^2 + 49 = 2(65)$
$AB^2 + 49 = 130$
$AB^2 = 130 - 49 = 81$
$AB = 9$
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC = 9 + 8 + 7 = 24.$

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\overline{AD}$,$\overline{BE}$ और $\overline{CF}$ माध्यिकाएँ हैं। अतः,$D$,$E$ और $F$ क्रमशः $\overline{BC}$,$\overline{AC}$ और $\overline{AB}$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\Delta ABC$ में माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
चूँकि $BD = \frac{1}{2}BC$,इसलिए:
$AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + 2(\frac{BC}{2})^2 = 2AD^2 + \frac{BC^2}{2}$
$2AD^2 = AB^2 + AC^2 - \frac{BC^2}{2} \quad \dots(1)$
इसी प्रकार,माध्यिकाओं $\overline{BE}$ और $\overline{CF}$ के लिए:
$2BE^2 = AB^2 + BC^2 - \frac{AC^2}{2} \quad \dots(2)$
$2CF^2 = AC^2 + BC^2 - \frac{AB^2}{2} \quad \dots(3)$
समीकरणों $(1)$,$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = (AB^2 + AB^2 - \frac{AB^2}{2}) + (BC^2 + BC^2 - \frac{BC^2}{2}) + (AC^2 + AC^2 - \frac{AC^2}{2})$
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = \frac{3}{2}AB^2 + \frac{3}{2}BC^2 + \frac{3}{2}AC^2$
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = \frac{3}{2}(AB^2 + BC^2 + AC^2)$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$4(AD^2 + BE^2 + CF^2) = 3(AB^2 + BC^2 + AC^2)$

(D) अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ के लिए जिसमें $\overline{BC}$ पर $\overline{AD}$ माध्यिका है,निम्नलिखित संबंध सत्य है:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
दिया गया है कि $AB^2 + AC^2 = 122$ और $AD = 6$,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$122 = 2(6^2 + BD^2)$
$122 = 2(36 + BD^2)$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$61 = 36 + BD^2$
$BD^2 = 61 - 36$
$BD^2 = 25$
$BD = \sqrt{25} = 5$
चूंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,इसलिए $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,अतः $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 5 = 10$.

(A) $\Delta ABC$ में माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $18^2 + 14^2 = 2(14^2 + BD^2)$
$324 + 196 = 2(196 + BD^2)$
$520 = 2(196 + BD^2)$
$260 = 196 + BD^2$
$BD^2 = 260 - 196 = 64$
$BD = 8$
चूंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,इसलिए $BD = DC = 8$ होगा।
अतः,$BC = BD + DC = 8 + 8 = 16$।
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + AC + BC = 18 + 14 + 16 = 48$।

(C) अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ के लिए जिसमें $\overline{BC}$ पर $\overline{AD}$ माध्यिका है:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
यहाँ $AB = 8, AC = 15$ और $AD = 8.5$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$8^2 + 15^2 = 2(8.5^2 + BD^2)$
$64 + 225 = 2(72.25 + BD^2)$
$289 = 2(72.25 + BD^2)$
$144.5 = 72.25 + BD^2$
$BD^2 = 144.5 - 72.25 = 72.25$
$BD = \sqrt{72.25} = 8.5$
चूंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 8.5 = 17$.

(D) $\Delta XYZ$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय (Apollonius's Theorem) के अनुसार,जहाँ $\overline{XM}$ भुजा $\overline{YZ}$ पर माध्यिका है:
$XY^2 + XZ^2 = 2(XM^2 + YM^2)$
दिया गया है $XY = 20$,$XZ = 21$ और $XM = 14.5$।
मान रखने पर:
$20^2 + 21^2 = 2(14.5^2 + YM^2)$
$400 + 441 = 2(210.25 + YM^2)$
$841 = 2(210.25 + YM^2)$
$420.5 = 210.25 + YM^2$
$YM^2 = 420.5 - 210.25 = 210.25$
$YM = \sqrt{210.25} = 14.5$
चूंकि $\overline{XM}$ माध्यिका है,इसलिए $M$,$\overline{YZ}$ का मध्य-बिंदु है,अतः $YZ = 2 \times YM$।
$YZ = 2 \times 14.5 = 29$।

(D) $\Delta XYZ$ में,$\overline{XM}$ भुजा $\overline{YZ}$ पर एक माध्यिका है।
माध्यिका की परिभाषा के अनुसार,$M$,$\overline{YZ}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $YM = MZ = 30.5$ है।
अतः,भुजा $YZ$ की लंबाई $YZ = YM + MZ = 30.5 + 30.5 = 61$ है।
हम $\Delta XYZ$ के लिए माध्यिका $\overline{XM}$ के साथ अपोलोनियस प्रमेय का उपयोग करते हैं:
$XY^2 + XZ^2 = 2(XM^2 + YM^2)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $11^2 + XZ^2 = 2(30.5^2 + 30.5^2)$।
$121 + XZ^2 = 2(930.25 + 930.25)$।
$121 + XZ^2 = 2(1860.5)$।
$121 + XZ^2 = 3721$।
$XZ^2 = 3721 - 121$।
$XZ^2 = 3600$।
$XZ = \sqrt{3600} = 60$।

(N/A) माना $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
समांतर चतुर्भुज के नियम के अनुसार,चारों भुजाओं के वर्गों का योग दोनों विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
माना भुजाएँ $AB$,$BC$,$CD$ और $DA$ हैं। चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AB = CD$ और $BC = DA$ है।
$\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,जहाँ $BO$ माध्यिका है ($O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है):
$AB^2 + BC^2 = 2(BO^2 + AO^2)$
$AD^2 + CD^2 = 2(DO^2 + AO^2)$
चूँकि $O$,$BD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BO = DO$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2(BO^2 + AO^2 + DO^2 + AO^2) = 2(2BO^2 + 2AO^2) = 4BO^2 + 4AO^2$।
चूँकि $BD = 2BO$ और $AC = 2AO$ है,इसलिए $BD^2 = 4BO^2$ और $AC^2 = 4AO^2$ होगा।
अतः,$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$।

(C) दिया गया है कि $\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m \angle Q = 90^\circ$ है।
$PQ$ और $QR$ भुजाएँ हैं और $PR$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $PQ^2 + QR^2 = PR^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5^2 + QR^2 = 13^2$।
$25 + QR^2 = 169$।
$QR^2 = 169 - 25 = 144$।
$QR = \sqrt{144} = 12$।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times PQ \times QR = \frac{1}{2} \times 5 \times 12$।
$\text{Area} = 5 \times 6 = 30$।

(B) माना वर्ग की भुजा की लंबाई $s$ है।
वर्ग का परिमाप $4s$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $4s = 40$, इसलिए $s = 10$ है।
वर्ग के विकर्ण लंबाई में समान होते हैं।
$s$ भुजा वाले वर्ग के विकर्ण $d$ की लंबाई $d = s \sqrt{2}$ होती है।
अतः, $AC = BD = 10 \sqrt{2}$ है।
इसलिए, $AC + BD = 10 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} = 20 \sqrt{2}$।

(D) $\Delta ABC$ में माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
यहाँ $AB^2 + AC^2 = 338$ और $AD = 5$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$338 = 2(5^2 + BD^2)$
$338 = 2(25 + BD^2)$
$169 = 25 + BD^2$
$BD^2 = 169 - 25 = 144$
$BD = \sqrt{144} = 12$
चूँकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 12 = 24$.

(D) समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए $AM = x$ और $DM = y$ है।
चूंकि विकर्ण $M$ पर $90^{\circ}$ के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $\triangle AMB$ एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AM^2 + BM^2 = AB^2$।
दिया गया है कि $AM + DM = 17$,इसलिए $x + y = 17$,जिसका अर्थ है $y = 17 - x$।
$\triangle AMB$ में,$x^2 + BM^2 = 13^2 = 169$।
$\triangle AMD$ में,$x^2 + y^2 = AD^2$। चूंकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं,इसलिए $AD = AB = 13$।
अतः,$x^2 + y^2 = 169$।
$y = 17 - x$ प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + (17 - x)^2 = 169$।
$x^2 + 289 - 34x + x^2 = 169$।
$2x^2 - 34x + 120 = 0$।
$x^2 - 17x + 60 = 0$।
$(x - 12)(x - 5) = 0$।
अतः,$x = 12$ या $x = 5$।
यदि $x = 12$ है,तो $y = 17 - 12 = 5$।
यदि $x = 5$ है,तो $y = 17 - 5 = 12$।
चूंकि $AC > BD$,इसलिए $AM > DM$,जिसका अर्थ है $x > y$। अतः,$x = 12$ और $y = 5$।
$DM = y = 5$।
चूंकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $BD = 2 \times DM = 2 \times 5 = 10$।

(C) माना $AB = x$ है।
दिया है $BC - AB = 7$,इसलिए $BC = x + 7$।
दिया है $AC - BC = 2$,इसलिए $AC = BC + 2 = (x + 7) + 2 = x + 9$।
चूंकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$x^2 + (x + 7)^2 = (x + 9)^2$
$x^2 + x^2 + 14x + 49 = x^2 + 18x + 81$
$2x^2 + 14x + 49 = x^2 + 18x + 81$
$x^2 - 4x - 32 = 0$
$(x - 8)(x + 4) = 0$
लंबाई हमेशा धनात्मक होती है,इसलिए $x = 8$।
अतः,$AB = 8$,$BC = 15$,और $AC = 17$।
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + BC + AC = 8 + 15 + 17 = 40$।

(D) आयत $\square ABCD$ में,सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $AB = CD$ और $BC = DA$ है।
दिया गया समीकरण: $AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + DA^{2} = 128$ है।
बराबर भुजाओं को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $AB^{2} + BC^{2} + AB^{2} + BC^{2} = 128$ है।
इसे सरल करने पर: $2(AB^{2} + BC^{2}) = 128$ है।
$2$ से भाग देने पर: $AB^{2} + BC^{2} = 64$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ है।
अतः,$AC^{2} = 64$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$AC = \sqrt{64} = 8$ है।

(B) भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल $36 \sqrt{3}$ है,इसलिए हम समीकरण बना सकते हैं:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 36 \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{4} a^2 = 36$.
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$a^2 = 36 \times 4 = 144$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$a = \sqrt{144} = 12$.
अतः,इसकी भुजा की माप $12$ है।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC = 25$ और आधार $BC = 14$ है।
चूंकि $\overline{AM}$ आधार $BC$ पर एक शीर्षलंब है,एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्ष से आधार पर डाला गया लंब माध्यिका का भी कार्य करता है।
इसलिए,$M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
समकोण त्रिभुज $\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$25^2 = AM^2 + 7^2$
$625 = AM^2 + 49$
$AM^2 = 625 - 49 = 576$
$AM = \sqrt{576} = 24$.
अतः,शीर्षलंब $AM$ की लंबाई $24$ है।

(B) चित्र से,कुल $4$ चरण (सीढ़ियाँ) हैं।
कुल क्षैतिज दूरी (आधार) $= 4 \times 20 \, cm = 80 \, cm = 0.8 \, m$.
कुल ऊर्ध्वाधर दूरी (ऊँचाई) $= 4 \times 15 \, cm = 60 \, cm = 0.6 \, m$.
बिंदु $A$ और $B$ के बीच की दूरी एक समकोण त्रिभुज का कर्ण बनाती है,जिसका आधार $0.8 \, m$ और ऊँचाई $0.6 \, m$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB = \sqrt{(0.8)^2 + (0.6)^2} = \sqrt{0.64 + 0.36} = \sqrt{1.00} = 1 \, m$.

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ होता है।
$2$. समकोण $\Delta ABD$ में,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$ होता है। चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = \frac{1}{2} BC$। अतः,$AD^{2} = AB^{2} + (\frac{1}{2} BC)^{2} = AB^{2} + \frac{1}{4} BC^{2}$।
$3$. समकोण $\Delta CBF$ में,$CF^{2} = BC^{2} + BF^{2}$ होता है। चूँकि $F$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BF = \frac{1}{2} AB$। अतः,$CF^{2} = BC^{2} + (\frac{1}{2} AB)^{2} = BC^{2} + \frac{1}{4} AB^{2}$।
$4$. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $AD^{2} + CF^{2} = (AB^{2} + \frac{1}{4} BC^{2}) + (BC^{2} + \frac{1}{4} AB^{2})$।
$5$. सरल करने पर: $AD^{2} + CF^{2} = (1 + \frac{1}{4}) AB^{2} + (1 + \frac{1}{4}) BC^{2} = \frac{5}{4} AB^{2} + \frac{5}{4} BC^{2}$।
$6$. $\frac{5}{4}$ को कॉमन लेने पर: $AD^{2} + CF^{2} = \frac{5}{4} (AB^{2} + BC^{2})$।
$7$. चूँकि $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ है,इसलिए हमें $AD^{2} + CF^{2} = \frac{5}{4} AC^{2}$ प्राप्त होता है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\overline{AM}$ भुजा $\overline{BC}$ पर शीर्षलंब है,अतः $\angle AMB = 90^{\circ}$ और $\angle AMC = 90^{\circ}$ है।
$\Delta AMC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$।
चूँकि $M$,$BC$ पर स्थित है,इसलिए $MC = BC - BM$ होगा।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $AC^{2} = AM^{2} + (BC - BM)^{2}$।
वर्ग का विस्तार करने पर: $AC^{2} = AM^{2} + BC^{2} + BM^{2} - 2 \cdot BC \cdot BM$।
$\Delta AMB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^{2} = AM^{2} + BM^{2}$।
समीकरण में $AM^{2} + BM^{2} = AB^{2}$ रखने पर: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2 \cdot BC \cdot BM$।
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(N/A) $\Delta AMC$ में,$\angle AMC = 90^{\circ}$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$ है।
चूंकि $MC = MB + BC$,इसलिए $AC^{2} = AM^{2} + (MB + BC)^{2}$ होगा।
वर्ग का विस्तार करने पर,$AC^{2} = AM^{2} + MB^{2} + BC^{2} + 2 \cdot MB \cdot BC$ प्राप्त होता है।
$\Delta AMB$ में,$\angle AMB = 90^{\circ}$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^{2} = AM^{2} + MB^{2}$ है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} + 2 \cdot BC \cdot BM$ प्राप्त होता है।

(D) एक त्रिभुज समकोण त्रिभुज होता है यदि सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो (पाइथागोरस प्रमेय: $a^2 + b^2 = c^2$)।
विकल्प $A$ के लिए: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$। यह एक समकोण त्रिभुज है।
विकल्प $B$ के लिए: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$। यह एक समकोण त्रिभुज है।
विकल्प $C$ के लिए: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$। यह एक समकोण त्रिभुज है।
विकल्प $D$ के लिए: $8^2 + 24^2 = 64 + 576 = 640$,जबकि $26^2 = 676$। चूँकि $640 \neq 676$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज नहीं है।

(D) दिया गया है कि $\Delta XYZ$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m\angle X = 90^{\circ}$ है।
यहाँ,$YZ$ कर्ण है और $XY$ एक भुजा है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $XY^2 + XZ^2 = YZ^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $8^2 + XZ^2 = 17^2$.
$64 + XZ^2 = 289$.
$XZ^2 = 289 - 64 = 225$.
$XZ = \sqrt{225} = 15$.
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times XY \times XZ$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 4 \times 15 = 60$.

(A) $\Delta ABC$ में माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
चूंकि $\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है,इसलिए $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{18}{2} = 9$।
इन मानों को प्रमेय में रखने पर:
$8^2 + AC^2 = 2(7^2 + 9^2)$
$64 + AC^2 = 2(49 + 81)$
$64 + AC^2 = 2(130)$
$64 + AC^2 = 260$
$AC^2 = 260 - 64$
$AC^2 = 196$
$AC = \sqrt{196} = 14$।

(C) सबसे पहले,$\Delta ABC$ की सबसे बड़ी भुजा की पहचान करें। यहाँ $AB = 4$,$BC = 2\sqrt{3} \approx 3.46$ और $AC = 2\sqrt{7} \approx 5.29$ है। चूँकि $AC$ सबसे बड़ी भुजा है,हमें भुजा $AC$ पर खींची गई माध्यिका $BD$ की लंबाई ज्ञात करनी है।
$\Delta ABC$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय (Apollonius Theorem) का उपयोग करने पर:
$AB^2 + BC^2 = 2(BD^2 + AD^2)$
चूँकि $D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AD = AC/2 = (2\sqrt{7})/2 = \sqrt{7}$ होगा।
मान रखने पर: $4^2 + (2\sqrt{3})^2 = 2(BD^2 + (\sqrt{7})^2)$
$16 + 12 = 2(BD^2 + 7)$
$28 = 2(BD^2 + 7)$
$14 = BD^2 + 7$
$BD^2 = 7$
$BD = \sqrt{7}$.

(C) समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
यह विभाजन समचतुर्भुज के भीतर चार सर्वांगसम त्रिभुज बनाता है।
इसलिए,$\Delta OAB \cong \Delta OCB \cong \Delta OCD \cong \Delta OAD$.
चूंकि ये चार त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर हैं:
$\text{Area}(\Delta OAB) = \text{Area}(\Delta OCB) = \text{Area}(\Delta OCD) = \text{Area}(\Delta OAD)$.
समचतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल इन चार त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग है:
$\text{Area}(\square ABCD) = \text{Area}(\Delta OAB) + \text{Area}(\Delta OCB) + \text{Area}(\Delta OCD) + \text{Area}(\Delta OAD)$.
समान क्षेत्रफलों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{Area}(\square ABCD) = 4 \times \text{Area}(\Delta OAB)$.
अतः,$\text{Area}(\Delta OAB) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\square ABCD)$.

(B) $\Delta ABC$ में,$D$,$E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित होता है: $\Delta AFE$,$\Delta FBD$,$\Delta EDC$ और $\Delta DEF$।
इसलिए,$\text{Area}(\Delta AFE) = \text{Area}(\Delta FBD) = \text{Area}(\Delta EDC) = \text{Area}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC)$।
चतुर्भुज $BDEF$,$\Delta FBD$ और $\Delta DEF$ से बना है।
अतः,$\text{Area}(BDEF) = \text{Area}(\Delta FBD) + \text{Area}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \text{Area}(\Delta ABC)$।

(D) $\Delta ABC$ में,चूँकि $P, Q$ और $R$ क्रमशः भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं,त्रिभुज चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है: $\Delta ARQ, \Delta RBP, \Delta QPC$ और $\Delta PQR$.
इसलिए,$Area(\Delta ARQ) = Area(\Delta RBP) = Area(\Delta QPC) = Area(\Delta PQR) = \frac{1}{4} Area(\Delta ABC)$.
चतुर्भुज $BCQR$ इन तीन त्रिभुजों से बना है: $\Delta RBP, \Delta QPC$ और $\Delta PQR$.
अतः,$Area(BCQR) = Area(\Delta RBP) + Area(\Delta QPC) + Area(\Delta PQR) = \frac{1}{4} Area(\Delta ABC) + \frac{1}{4} Area(\Delta ABC) + \frac{1}{4} Area(\Delta ABC) = \frac{3}{4} Area(\Delta ABC)$.

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
$\Delta ABC$ के लिए,क्षेत्रफल को दो प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है:
$1. \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times BC \times AM$
$2. \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times AB \times CN$
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times AB \times CN$
$BC \times AM = AB \times CN$
दिए गए मान रखने पर: $15 \times 9.6 = 12 \times CN$
$144 = 12 \times CN$
$CN = \frac{144}{12} = 12$
अतः,$CN = 12$.

(C) $\Delta ABC$ में,$E$,$\overline{AC}$ का मध्य-बिंदु है।
इसलिए,$AC = 2EC$ $(1)$.
$\Delta BEC$ में,रेखा $DK$,$\overline{BC}$ के मध्य-बिंदु $D$ से होकर गुजरती है और $\overline{BE}$ के समांतर है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा,$K$,$\overline{EC}$ का मध्य-बिंदु है।
इसलिए,$EC = 2EK$ $(2)$.
$(2)$ का मान $(1)$ में रखने पर,हमें $AC = 2(2EK) = 4EK$ प्राप्त होता है।

(C) $\triangle OPQ$ और $\triangle OSR$ में,हमें $OQ = OR$ दिया गया है।
साथ ही,$\angle POQ = \angle SOR$ है क्योंकि ये शीर्षाभिमुख कोण हैं।
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा त्रिभुजों को सर्वांगसम सिद्ध करने के लिए,हमें कोण $\angle POQ$ और $\angle SOR$ से लगी हुई एक और भुजा के बराबर होने की आवश्यकता है।
कोणों से लगी भुजाएँ $\triangle OPQ$ में $OP$ और $OQ$ हैं,और $\triangle OSR$ में $OS$ और $OR$ हैं।
चूंकि हमारे पास पहले से ही $OQ = OR$ है,इसलिए $SAS$ शर्त को पूरा करने के लिए हमें $OP = OS$ की आवश्यकता है।
अतः,$OP = OS$ की शर्त पर्याप्त है।

(D) $\Delta ABC$ में,$m \angle A = 90^{\circ}$ और $\overline{AD}$ कर्ण $\overline{BC}$ पर एक शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,$AB^{2} = BD \cdot BC$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\sqrt{5})^{2} = 2 \cdot BC$।
$5 = 2 \cdot BC$।
$BC = \frac{5}{2} = 2.5$।
अतः,कर्ण $\overline{BC}$ की लंबाई $2.5$ है।

(A) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM}$ कर्ण $AC$ पर एक शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,$AB^2 = AM \cdot AC$ होता है।
दिया गया है कि $AB = \sqrt{10}$ और $AM = 2.5$ है।
मान रखने पर: $(\sqrt{10})^2 = 2.5 \cdot AC$.
$10 = 2.5 \cdot AC$.
$AC = \frac{10}{2.5} = 4$.
चूंकि $AC = AM + MC$,इसलिए $4 = 2.5 + MC$ होगा।
$MC = 4 - 2.5 = 1.5$.

(C) $\Delta PQR$ में,चूँकि $m\angle Q = 90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$ होता है।
अतः,$PQ^{2} = PR^{2} - QR^{2}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$PQ^{2} = (a^{2} + b^{2})^{2} - (a^{2} - b^{2})^{2}$।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + y)^{2} - (x - y)^{2} = 4xy$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x = a^{2}$ और $y = b^{2}$ है:
$PQ^{2} = 4(a^{2})(b^{2}) = 4a^{2}b^{2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$PQ = \sqrt{4a^{2}b^{2}} = 2ab$।

(B) माना $AB = AC = x$ है।
$\Delta ABC$ में,$m \angle A = 90^\circ$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + AC^2 = BC^2$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + x^2 = (\sqrt{2} a)^2$ है।
$2x^2 = 2a^2$ है।
$x^2 = a^2$,इसलिए $x = a$ (चूंकि $a \in R^+$ है)।
अतः,$AB = AC = a$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times AC$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{1}{2} a^2$ है।

(C) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर एक शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर शीर्षलंब के गुणधर्म के अनुसार:
$AB^{2} = AM \cdot AC$ और $BC^{2} = MC \cdot AC$
इन दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$AB^{2} - BC^{2} = AM \cdot AC - MC \cdot AC$
$AB^{2} - BC^{2} = AC(AM - MC)$
यहाँ $AB^{2} - BC^{2} = 175$ और $AM - MC = 7$ दिया गया है,मान रखने पर:
$175 = AC(7)$
$AC = \frac{175}{7}$
$AC = 25$

(A) दिया गया है कि $\square PQRS$ एक आयत है।
आयत $PQRS$ का क्षेत्रफल $= PQ \cdot QR = 12$.
आसन्न भुजाओं का योग $PQ + QR = 7$.
$\triangle PQR$ में,$\angle Q = 90^\circ$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
हम जानते हैं कि $(PQ + QR)^2 = PQ^2 + QR^2 + 2(PQ \cdot QR)$.
इसलिए,$PQ^2 + QR^2 = (PQ + QR)^2 - 2(PQ \cdot QR)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $PR^2 = (7)^2 - 2(12)$.
$PR^2 = 49 - 24 = 25$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$PR = 5$.

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$m \angle A = m \angle B + m \angle C$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$।
$m \angle B + m \angle C$ के स्थान पर $m \angle A$ रखने पर,हमें $m \angle A + m \angle A = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 m \angle A = 180^{\circ}$,इसलिए $m \angle A = 90^{\circ}$।
चूंकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कोण $A$ समकोण है,इसलिए $BC$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BC^2 = AB^2 + AC^2$।
$AB = 7$ और $BC = 25$ दिया गया है,इसलिए $25^2 = 7^2 + AC^2$।
$625 = 49 + AC^2$,इसलिए $AC^2 = 625 - 49 = 576$।
अतः,$AC = \sqrt{576} = 24$।
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + BC + AC = 7 + 25 + 24 = 56$।

(D) माना $\overline{AC}$ सीढ़ी है और $\overline{AB}$ दीवार की ऊँचाई है।
$\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ है।
यहाँ $AC = 6.5 \, m$ और $AB = 6 \, m$ दिया गया है।
$6.5^2 = 6^2 + BC^2$
$42.25 = 36 + BC^2$
$BC^2 = 42.25 - 36 = 6.25$
$BC = \sqrt{6.25} = 2.5 \, m$ है।
अतः,सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से $2.5 \, m$ दूर है।

(C) $\Delta ABC$ में,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$\overline{AD}$ एक माध्यिका है।
अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
$7^2 + 5^2 = 2(5^2 + BD^2)$
$49 + 25 = 2(25 + BD^2)$
$74 = 2(25 + BD^2)$
$37 = 25 + BD^2$
$BD^2 = 12$
$BD = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
चूँकि $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BC = 2 \times BD = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

(C) $\Delta ABC$ में,$\overline{AD}$,$\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है।
अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$ होता है।
दिया गया है कि $AB^2 + AC^2 = 148$ और $AD = 7$ है।
मान रखने पर: $148 = 2(7^2 + BD^2)$।
$148 = 2(49 + BD^2)$।
$74 = 49 + BD^2$।
$BD^2 = 74 - 49 = 25$।
$BD = \sqrt{25} = 5$।
चूंकि $\overline{AD}$ माध्यिका है,इसलिए $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,अतः $BC = 2 \times BD$ होगा।
$BC = 2 \times 5 = 10$।

(B) $\Delta ADC$ में,$\angle D = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AD^{2} + CD^{2}$ है।
$25^{2} = AD^{2} + 7^{2}$ है।
$625 = AD^{2} + 49$ है।
$AD^{2} = 625 - 49 = 576$ है।
$AD = \sqrt{576} = 24$ है।
आयत $ABCD$ का परिमाप $= 2(AD + CD) = 2(24 + 7) = 2(31) = 62$ है।

(B) समचतुर्भुज $XYZW$ में,मान लीजिए कि विकर्ण $XZ$ और $YW$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,$OX = \frac{1}{2} XZ = \frac{1}{2} \times 14 = 7$ और $OY = \frac{1}{2} YW = \frac{1}{2} \times 48 = 24$.
समकोण त्रिभुज $\Delta XOY$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$XY^2 = OX^2 + OY^2$
$XY^2 = 7^2 + 24^2$
$XY^2 = 49 + 576 = 625$
$XY = \sqrt{625} = 25$.

(C) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में,$m \angle Q : m \angle R : m \angle P = 1 : 2 : 1$ है।
माना कोण $x, 2x, x$ हैं।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $x + 2x + x = 180^{\circ}$,जिससे $4x = 180^{\circ}$,अर्थात $x = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$m \angle Q = 45^{\circ}$,$m \angle R = 90^{\circ}$ और $m \angle P = 45^{\circ}$ है।
चूंकि $m \angle P = m \angle Q$ है,इसलिए इनके सम्मुख भुजाएँ बराबर होंगी,अर्थात $QR = PR$।
समकोण $\Delta PQR$ में $(m \angle R = 90^{\circ})$,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PQ^2 = PR^2 + QR^2$
चूंकि $QR = PR$ है,इसलिए $PQ^2 = PR^2 + PR^2 = 2PR^2$ होगा।
दिया है $PQ = 2 \sqrt{6}$,इसलिए $PQ^2 = (2 \sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$।
अतः,$24 = 2PR^2$,जिसका अर्थ है कि $PR^2 = 12$।
वर्गमूल लेने पर,$PR = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(D) $\Delta ABC$ में,$\overline{AB} \cong \overline{AC}$,जिसका अर्थ है कि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समद्विबाहु त्रिभुज में,आधार पर खींची गई माध्यिका,आधार पर लंब (शीर्षलंब) भी होती है।
इसलिए,$\overline{AD} \perp \overline{BC}$,अतः $\overline{AD}$ आधार $\overline{BC}$ के सापेक्ष त्रिभुज की ऊँचाई है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BC \times AD$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 18 \times 12$
क्षेत्रफल $= 9 \times 12 = 108$.

(A) $\Delta ABC$ में,कोणों का योग $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^\circ$ होता है।
दिया गया है कि $m \angle A + m \angle C = m \angle B$,इसलिए $m \angle B + m \angle B = 180^\circ$,यानी $2 m \angle B = 180^\circ$,जिसका अर्थ है कि $m \angle B = 90^\circ$ है।
चूंकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ होगा।
मान लीजिए $AC = 17x$ और $AB = 15x$ है। दिया गया है कि $BC = 8$,इसलिए $(17x)^2 = (15x)^2 + 8^2$ होगा।
$289x^2 = 225x^2 + 64$।
$64x^2 = 64$,इसलिए $x^2 = 1$,जिसका अर्थ है $x = 1$।
अतः,$AB = 15(1) = 15$ और $AC = 17(1) = 17$ है।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AB$ होगा।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 4 \times 15 = 60$।

(B) समबाहु त्रिभुज का परिमाप का सूत्र है: $P = 3 \times \text{भुजा}$.
यहाँ $P = 12$ दिया गया है,इसलिए $12 = 3 \times \text{भुजा}$.
अतः,भुजा की लंबाई $\text{भुजा} = \frac{12}{3} = 4$ है।
समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{भुजा}^2$.
भुजा का मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}$.