Similarity of Triangles and Basic Proportionality Theorem Questions in Hindi

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$DE || BC$,जहाँ $D$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ पर स्थित बिंदु हैं।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
अतः,$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर:
$\frac{DB}{AD} = \frac{EC}{AE}$.
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$\frac{DB}{AD} + 1 = \frac{EC}{AE} + 1$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{DB + AD}{AD} = \frac{EC + AE}{AE}$.
चूँकि $DB + AD = AB$ और $EC + AE = AC$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$.
पुनः व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$.
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) आइए हम $AC$ को मिलाएँ जो $EF$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करता है (आकृति देखें)।
दिया है: $AB \parallel DC$ और $EF \parallel AB$ है।
चूँकि एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं,इसलिए $EF \parallel DC$ है।
अब,$\Delta ADC$ में,चूँकि $EG \parallel DC$ है (क्योंकि $EF \parallel DC$),आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AG}{GC} \quad ...(1)$
इसी प्रकार,$\Delta CAB$ में,चूँकि $GF \parallel AB$ है (क्योंकि $EF \parallel AB$),आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार:
$\frac{CG}{AG} = \frac{CF}{BF}$
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AG}{GC} = \frac{BF}{FC} \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC}$।

(N/A) यह दिया गया है कि $\frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR}$।
थेल्स प्रमेय के विलोम (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) के अनुसार,$ST \parallel QR$ है।
इसलिए,$\angle PST = \angle PQR$ (संगत कोण) $...(1)$
साथ ही,यह दिया गया है कि $\angle PST = \angle PRQ$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें $\angle PQR = \angle PRQ$ प्राप्त होता है।
चूँकि भुजाओं $PQ$ और $PR$ के सम्मुख कोण बराबर हैं,इसलिए भुजाएँ भी बराबर होनी चाहिए।
अतः,$PQ = PR$ है।
इस प्रकार,$\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) $(i)$ माना $EC = x \text{ cm}.$
यह दिया गया है कि $DE || BC.$
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
$\frac{1.5}{3} = \frac{1}{x}$
$x = \frac{3 \times 1}{1.5}$
$x = 2$
$\therefore EC = 2 \text{ cm}.$
$(ii)$ माना $AD = x \text{ cm}.$
यह दिया गया है कि $DE || BC.$
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
$\frac{x}{7.2} = \frac{1.8}{5.4}$
$x = \frac{1.8 \times 7.2}{5.4}$
$x = 2.4$
$\therefore AD = 2.4 \text{ cm}.$

(N/A) थेल्स प्रमेय के विलोम (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) के अनुसार,$EF || QR$ तभी होगा यदि $\frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}$ हो।
दिए गए मान हैं:
$PE = 3.9 \ cm$
$EQ = 3 \ cm$
$PF = 3.6 \ cm$
$FR = 2.4 \ cm$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{PE}{EQ} = \frac{3.9}{3} = 1.3$
$\frac{PF}{FR} = \frac{3.6}{2.4} = 1.5$
चूंकि $\frac{PE}{EQ} \neq \frac{PF}{FR}$ $(1.3 \neq 1.5)$,इसलिए $EF$ के $QR$ के समांतर होने की शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,$EF, QR$ के समांतर नहीं है।

(N/A) दिया है:
$PE = 4 \, cm, QE = 4.5 \, cm, PF = 8 \, cm, RF = 9 \, cm$.
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,यदि कोई रेखा एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{PE}{EQ} = \frac{4}{4.5} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.
$\frac{PF}{FR} = \frac{8}{9}$.
चूंकि $\frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}$,इसलिए आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा,$EF, QR$ के समांतर है $(EF || QR)$.

(A) दिया है: $PQ = 1.28 \, cm, PR = 2.56 \, cm, PE = 0.18 \, cm, PF = 0.36 \, cm$.
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,यदि कोई रेखा एक त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
अनुपातों की गणना करते हैं:
$\frac{PE}{PQ} = \frac{0.18}{1.28} = \frac{18}{128} = \frac{9}{64}$
$\frac{PF}{PR} = \frac{0.36}{2.56} = \frac{36}{256} = \frac{9}{64}$
चूंकि $\frac{PE}{PQ} = \frac{PF}{PR} = \frac{9}{64}$ है,इसलिए रेखा $EF$ भुजाओं $PQ$ और $PR$ को समान अनुपात में विभाजित करती है।
अतः,आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा,$EF || QR$ है।

(N/A) दी गई आकृति में,$LM \parallel CB$ है।
$\triangle ABC$ में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AL}{AC} \quad ...(i)$
इसी प्रकार,$\triangle ADC$ में,चूँकि $LN \parallel CD$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AN}{AD} = \frac{AL}{AC} \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ से,हम देखते हैं कि दायाँ पक्ष समान है।
अतः,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD}$

(N/A) $\Delta ABC$ में,$DE \parallel AC$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{BD}{DA} = \frac{BE}{EC} \quad ...(i)$
$\Delta BAE$ में,$DF \parallel AE$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{BD}{DA} = \frac{BF}{FE} \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,चूँकि बायाँ पक्ष समान है,इसलिए दायाँ पक्ष भी समान होगा:
$\frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC}$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) $\Delta POQ$ में,$DE \parallel OQ$ है।
अतः,$\frac{PE}{EQ} = \frac{PD}{DO}$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) $...(i)$
$\Delta POR$ में,$DF \parallel OR$ है।
अतः,$\frac{PF}{FR} = \frac{PD}{DO}$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) $...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}$
अतः,$EF \parallel QR$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम)।

(N/A) $\Delta POQ$ में,$AB \parallel PQ$ है।
अतः,$\frac{OA}{AP} = \frac{OB}{BQ}$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) $...(i)$
$\Delta POR$ में,$AC \parallel PR$ है।
अतः,$\frac{OA}{AP} = \frac{OC}{CR}$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) $...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{OB}{BQ} = \frac{OC}{CR}$
अतः,$BC \parallel QR$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा)।

(N/A) मान लीजिए एक त्रिभुज $ABC$ है जिसमें $P$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है और एक रेखा $PQ$ भुजा $BC$ के समांतर खींची गई है जो $AC$ को $Q$ पर काटती है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (प्रमेय $6.1$) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
अतः,हमारे पास है:
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AP = PB$,जिसका अर्थ है कि $\frac{AP}{PB} = 1$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 = \frac{AQ}{QC}$
$\Rightarrow AQ = QC$
यह सिद्ध करता है कि $Q$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,अर्थात रेखा $PQ$ तीसरी भुजा $AC$ को समद्विभाजित करती है।

(N/A) मान लीजिए एक त्रिभुज $ABC$ है जिसमें $P$ और $Q$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं।
दिया है: $AP = PB$ और $AQ = QC$.
सिद्ध करना है: $PQ \parallel BC$.
उपपत्ति:
चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AP = PB$,जिसका अर्थ है कि $\frac{AP}{PB} = 1$.
चूँकि $Q$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AQ = QC$,जिसका अर्थ है कि $\frac{AQ}{QC} = 1$.
उपरोक्त दोनों समीकरणों से,हमें प्राप्त होता है कि $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$.
प्रमेय $6.2$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम) के अनुसार,यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
अतः,$PQ \parallel BC$.

(N/A) बिंदु $O$ से होकर एक रेखा $EF$ खींचिए,इस प्रकार कि $EF \parallel CD$ हो।
$\triangle ADC$ में,चूँकि $EO \parallel CD$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC} \quad ...(1)$
चूँकि $AB \parallel CD$ और $EF \parallel CD$ है,इसलिए $EF \parallel AB$ होगा।
$\triangle ABD$ में,चूँकि $EO \parallel AB$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD} \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AO}{BO} = \frac{OC}{OD}$

(N/A) दिए गए प्रश्न के लिए निम्नलिखित आकृति पर विचार करें।
एक रेखा $OE \parallel AB$ खींचिए ताकि $E, AD$ पर स्थित हो।
$\triangle ABD$ में,चूँकि $OE \parallel AB$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD}$ $...(1)$
हालाँकि,यह दिया गया है कि:
$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO}$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{CO}$
$\triangle ADC$ में,चूँकि $\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा,हमारे पास है:
$EO \parallel DC$
चूँकि हमने $OE \parallel AB$ की रचना की थी और हमने सिद्ध किया कि $EO \parallel DC$,तो इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि:
$AB \parallel DC$
अतः,$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है क्योंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर है।

(N/A) मान लीजिए $AB$ लैंप-पोस्ट है और $CD$ लैंप-पोस्ट से $4\, \text{सेकंड}$ तक दूर चलने के बाद लड़की की स्थिति है।
आकृति से,आप देख सकते हैं कि $DE$ लड़की की छाया है। मान लीजिए $DE = x$ मीटर है।
अब,$BD = 1.2\, m/s \times 4\, s = 4.8\, m$.
ध्यान दें कि $\Delta ABE$ और $\Delta CDE$ में:
$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$ (प्रत्येक $90^{\circ}$ है क्योंकि लैंप-पोस्ट और लड़की दोनों जमीन पर लंबवत खड़े हैं)।
$\angle E = \angle E$ (उभयनिष्ठ कोण)।
अतः,$\Delta ABE \sim \Delta CDE$ ($AA$ समरूपता कसौटी से)।
इसलिए,$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD}$.
यहाँ $AB = 3.6\, m$ और $CD = 90\, cm = 0.9\, m$ दिया गया है।
$\frac{4.8 + x}{x} = \frac{3.6}{0.9}$.
$\frac{4.8 + x}{x} = 4$.
$4.8 + x = 4x$.
$3x = 4.8$.
$x = 1.6\, m$.
अतः,$4\, \text{सेकंड}$ तक चलने के बाद लड़की की छाया की लंबाई $1.6\, m$ है।

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में $DE \parallel BC$,इसलिए आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ होगा।
अतः,संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$.
यहाँ $AD = 2 \, cm$ और $BD = 3 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $AB = AD + BD = 2 + 3 = 5 \, cm$ होगा।
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{2}{5} = \frac{DE}{7.5}$.
$DE$ के लिए हल करने पर: $DE = \frac{2}{5} \times 7.5$.
$DE = 2 \times 1.5 = 3 \, cm$.

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,हम पाइथागोरस प्रमेय के विलोम की जाँच करेंगे,जो कहता है कि यदि सबसे लंबी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है,तो वह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
दी गई भुजाएँ $AB = 24 \, cm$,$BC = 10 \, cm$ और $AC = 26 \, cm$ हैं।
भुजाओं के वर्गों की गणना करें:
$AB^2 = 24^2 = 576 \, cm^2$
$BC^2 = 10^2 = 100 \, cm^2$
$AC^2 = 26^2 = 676 \, cm^2$
अब,दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग करें:
$AB^2 + BC^2 = 576 + 100 = 676 \, cm^2$
चूँकि $AB^2 + BC^2 = AC^2$ $(576 + 100 = 676)$ है,इसलिए यह त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें शीर्ष $B$ पर समकोण है।

(B) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,$PQ \parallel EF$ तभी होगा यदि $\frac{DP}{PE} = \frac{DQ}{QF}$ हो।
यहाँ $DP = 5 \, cm$ और $DE = 15 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $PE = DE - DP = 15 - 5 = 10 \, cm$ होगा।
अतः,अनुपात $\frac{DP}{PE} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ है।
साथ ही,$DQ = 6 \, cm$ और $QF = 18 \, cm$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $\frac{DQ}{QF} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ है।
चूँकि $\frac{DP}{PE} \neq \frac{DQ}{QF}$ (अर्थात $\frac{1}{2} \neq \frac{1}{3}$),इसलिए रेखा $PQ$,$EF$ के समांतर नहीं है।

(A) दिया है: $PQ = 12.5 \, cm$,$PA = 5 \, cm$,$BR = 6 \, cm$ और $PB = 4 \, cm$ है।
सबसे पहले,$AQ$ की लंबाई ज्ञात कीजिए:
$AQ = PQ - PA = 12.5 - 5 = 7.5 \, cm$ है।
अब,अनुपातों की गणना कीजिए:
$\frac{PA}{AQ} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$ ......$(i)$
$\frac{PB}{BR} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ......$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हम देखते हैं कि:
$\frac{PA}{AQ} = \frac{PB}{BR}$
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
अतः,$AB \parallel QR$ है।

(N/A) दिया है: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ और $\angle ADE = \angle AED$.
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
अतः,$DE \parallel BC$.
चूंकि $DE \parallel BC$ और $AB$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए संगत कोण बराबर होंगे:
$\angle ADE = \angle ABC$ ....... $(1)$
इसी प्रकार,चूंकि $DE \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है:
$\angle AED = \angle ACB$ ....... $(2)$
हमें दिया गया है कि $\angle ADE = \angle AED$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से मान इस समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle ABC = \angle ACB$.
$\triangle ABC$ में,चूंकि आधार के कोण बराबर हैं $(\angle B = \angle C)$,इसलिए इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होनी चाहिए।
अतः,$AB = AC$.
चूंकि $\triangle ABC$ की दो भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(B) दिया गया है,$DE \parallel AB$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
अतः,$\frac{CD}{AD} = \frac{CE}{BE}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x+3}{3x+19} = \frac{x}{3x+4}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$(x+3)(3x+4) = x(3x+19)$
$3x^2 + 4x + 9x + 12 = 3x^2 + 19x$
$3x^2 + 13x + 12 = 3x^2 + 19x$
दोनों पक्षों से $3x^2$ घटाने पर:
$13x + 12 = 19x$
$19x - 13x = 12$
$6x = 12$
$x = \frac{12}{6} = 2$.
अतः,$x$ का अभीष्ट मान $2$ है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$AD \perp BC$ है।
सिद्ध करना है: $AB^2 + CD^2 = BD^2 + AC^2$ है।
उपपत्ति:
समकोण $\Delta ADB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$ --- $(1)$
समकोण $\Delta ADC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AD^2 + CD^2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$AB^2 - AC^2 = (AD^2 + BD^2) - (AD^2 + CD^2)$
$AB^2 - AC^2 = AD^2 + BD^2 - AD^2 - CD^2$
$AB^2 - AC^2 = BD^2 - CD^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB^2 + CD^2 = BD^2 + AC^2$
इति सिद्धम्।

(N/A) $BL$ और $CM$ त्रिभुज $\Delta ABC$ की माध्यिकाएँ हैं,जिसमें $\angle A = 90^{\circ}$ है।
$\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$ $...(1)$
$\Delta ABL$ में,चूँकि $L$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AL = AC/2$:
$BL^2 = AB^2 + AL^2 = AB^2 + (AC/2)^2 = AB^2 + AC^2/4$
$4BL^2 = 4AB^2 + AC^2$ $...(2)$
$\Delta CMA$ में,चूँकि $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AM = AB/2$:
$CM^2 = AC^2 + AM^2 = AC^2 + (AB/2)^2 = AC^2 + AB^2/4$
$4CM^2 = 4AC^2 + AB^2$ $...(3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$4(BL^2 + CM^2) = 4AB^2 + AC^2 + 4AC^2 + AB^2$
$4(BL^2 + CM^2) = 5AB^2 + 5AC^2$
$4(BL^2 + CM^2) = 5(AB^2 + AC^2)$
समीकरण $(1)$ का उपयोग करने पर,$AB^2 + AC^2 = BC^2$,अतः:
$4(BL^2 + CM^2) = 5BC^2$.

(N/A) $O$ से होकर एक रेखा $PQ \parallel BC$ खींचिए,ताकि $P$,$AB$ पर और $Q$,$DC$ पर स्थित हो।
अब,$PQ \parallel BC$ है।
अतः,$PQ \perp AB$ और $PQ \perp DC$ (क्योंकि $\angle B = 90^{\circ}$ और $\angle C = 90^{\circ}$)।
इसलिए,$\angle BPQ = 90^{\circ}$ और $\angle CQP = 90^{\circ}$।
अतः,$BPQC$ और $APQD$ दोनों आयत हैं।
अब,$\Delta OPB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OB^{2} = BP^{2} + OP^{2}$ $...(1)$
इसी प्रकार,$\Delta OQD$ में:
$OD^{2} = OQ^{2} + DQ^{2}$ $...(2)$
$\Delta OQC$ में,हमारे पास है:
$OC^{2} = OQ^{2} + CQ^{2}$ $...(3)$
और $\Delta OAP$ में,हमारे पास है:
$OA^{2} = AP^{2} + OP^{2}$ $...(4)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$OB^{2} + OD^{2} = BP^{2} + OP^{2} + OQ^{2} + DQ^{2}$
चूंकि $BP = CQ$ और $DQ = AP$ (आयत $BPQC$ और $APQD$ की सम्मुख भुजाएँ):
$OB^{2} + OD^{2} = CQ^{2} + OP^{2} + OQ^{2} + AP^{2}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$OB^{2} + OD^{2} = (CQ^{2} + OQ^{2}) + (AP^{2} + OP^{2})$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ का उपयोग करने पर:
$OB^{2} + OD^{2} = OC^{2} + OA^{2}$।

(A) त्रिभुज की दी गई भुजाएँ $7 \, cm, 24 \, cm$ और $25 \, cm$ हैं।
यह जाँचने के लिए कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है,हम पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का उपयोग करते हैं,जो यह बताता है कि यदि सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है,तो वह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
सबसे पहले,हम दी गई भुजाओं के वर्ग की गणना करते हैं:
$7^2 = 49$
$24^2 = 576$
$25^2 = 625$
अब,हम जाँचते हैं कि क्या दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे बड़ी भुजा के वर्ग के बराबर है:
$49 + 576 = 625$
चूंकि $7^2 + 24^2 = 25^2$,इसलिए दी गई भुजाएँ पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं।
अतः,यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा उसका कर्ण होती है। इस प्रकार,कर्ण की लंबाई $25 \, cm$ है।

(N/A) त्रिभुज की दी गई भुजाएँ $3 \text{ cm}, 8 \text{ cm}$ और $6 \text{ cm}$ हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार,यदि त्रिभुज की दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे बड़ी भुजा के वर्ग के बराबर है,तो वह एक समकोण त्रिभुज होता है।
यहाँ,भुजाओं के वर्ग इस प्रकार हैं:
$3^2 = 9$
$6^2 = 36$
$8^2 = 64$
दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग जाँचने पर:
$3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$
चूँकि $45 \neq 64$ (अर्थात $3^2 + 6^2 \neq 8^2$),इसलिए समकोण त्रिभुज की शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,दिया गया त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज नहीं है।

(NONE) दिया गया है कि त्रिभुज की भुजाएँ $50 \text{ cm}, 80 \text{ cm}$ और $100 \text{ cm}$ हैं।
यह जाँचने के लिए कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है,हम पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का उपयोग करते हैं,जिसके अनुसार यदि किसी त्रिभुज में सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है,तो वह एक समकोण त्रिभुज होता है।
भुजाओं के वर्गों की गणना करें:
$50^2 = 2500$
$80^2 = 6400$
$100^2 = 10000$
अब,दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग ज्ञात करें:
$50^2 + 80^2 = 2500 + 6400 = 8900$
इसकी तुलना सबसे बड़ी भुजा के वर्ग से करें:
$8900 \neq 10000$
चूँकि $50^2 + 80^2 \neq 100^2$,इसलिए दिया गया त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,दिया गया त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज नहीं है।

(A) दी गई भुजाएँ $13\, cm, 12\, cm$ और $5\, cm$ हैं।
इन भुजाओं की लंबाइयों का वर्ग करने पर,हमें $169, 144$ और $25$ प्राप्त होते हैं।
स्पष्टतः,$144 + 25 = 169$ है।
अर्थात्,$12^2 + 5^2 = 13^2$ है।
दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं।
इसलिए,यह एक समकोण त्रिभुज है।
हम जानते हैं कि समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा कर्ण होती है।
अतः,इस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई $13\, cm$ है।

(N/A) दिया गया है कि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\angle C = 90^{\circ}$ है।
चूंकि यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है,इसलिए इसकी दो भुजाएं बराबर होंगी,अतः $AC = CB$ होगा।
$\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर (जो बिंदु $C$ पर समकोण है),हमें प्राप्त होता है:
$AC^{2} + CB^{2} = AB^{2}$
चूंकि $AC = CB$ है,इसलिए समीकरण में $CB$ को $AC$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$AC^{2} + AC^{2} = AB^{2}$
$2AC^{2} = AB^{2}$
अतः,यह सिद्ध होता है कि $AB^{2} = 2AC^{2}$।

(N/A) दिया गया है कि,
$AB^2 = 2 AC^2$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$AB^2 = AC^2 + AC^2$
चूंकि यह दिया गया है कि $AC = BC$,हम $AC$ के एक पद के स्थान पर $BC$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
यह समीकरण पाइथागोरस प्रमेय के विलोम को संतुष्ट करता है,जो यह बताता है कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है,तो पहली भुजा के सम्मुख कोण समकोण होता है।
अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $C$ पर स्थित है।

(N/A) माना कि $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है और $AD$ उसका शीर्षलंब है।
हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज में शीर्षलंब सम्मुख भुजा को समद्विभाजित करता है।
$\therefore BD = DC = a$
$\triangle ADB$ में,$\angle ADB = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AD^2 + DB^2 = AB^2$
$\Rightarrow AD^2 + a^2 = (2a)^2$
$\Rightarrow AD^2 + a^2 = 4a^2$
$\Rightarrow AD^2 = 3a^2$
$\Rightarrow AD = a\sqrt{3}$
एक समबाहु त्रिभुज में,सभी शीर्षलंब लंबाई में समान होते हैं।
अतः,प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई $a\sqrt{3}$ होगी।

(N/A) माना $ABCD$ एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\Delta AOB, \Delta BOC, \Delta COD,$ और $\Delta AOD$ में,
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB^2 = AO^2 + OB^2$ $...(1)$
$BC^2 = BO^2 + OC^2$ $...(2)$
$CD^2 = CO^2 + OD^2$ $...(3)$
$AD^2 = AO^2 + OD^2$ $...(4)$
इन सभी समीकरणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = 2(AO^2 + OB^2 + OC^2 + OD^2)$
चूंकि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AO = OC = AC/2$ और $BO = OD = BD/2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2((AC/2)^2 + (BD/2)^2 + (AC/2)^2 + (BD/2)^2)$
$= 2(2(AC/2)^2 + 2(BD/2)^2)$
$= 2(AC^2/2 + BD^2/2)$
$= AC^2 + BD^2$
अतः,समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

(A) माना $OA$ दीवार है और $AB$ सीढ़ी है,जहाँ $OA = 8\, m$ और $AB = 10\, m$ है।
चूँकि दीवार जमीन पर लंबवत है,$\triangle AOB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle AOB = 90^\circ$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = OA^2 + OB^2$ होता है।
मान रखने पर: $(10)^2 = (8)^2 + OB^2$.
$100 = 64 + OB^2$.
$OB^2 = 100 - 64 = 36$.
$OB = \sqrt{36} = 6\, m$.
अतः,सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी $6\, m$ है।

(N/A) माना $OB$ खंभा है और $AB$ तार है। खंभा ऊर्ध्वाधर है,इसलिए $\triangle AOB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle AOB = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
$AB^{2} = OB^{2} + OA^{2}$
$(24\, m)^{2} = (18\, m)^{2} + OA^{2}$
$576\, m^{2} = 324\, m^{2} + OA^{2}$
$OA^{2} = (576 - 324)\, m^{2} = 252\, m^{2}$
$OA = \sqrt{252}\, m = \sqrt{36 \times 7}\, m = 6\sqrt{7}\, m$
अतः,आधार से दूरी $6\sqrt{7}\, m$ (लगभग $15.87\, m$) है।

(N/A) $\triangle ACE$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC^{2} + CE^{2} = AE^{2}$ $...(1)$
$\triangle BCD$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$BC^{2} + CD^{2} = BD^{2}$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC^{2} + CE^{2} + BC^{2} + CD^{2} = AE^{2} + BD^{2}$ $...(3)$
$\triangle CDE$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$DE^{2} = CD^{2} + CE^{2}$ $...(4)$
$\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}$ $...(5)$
समीकरण $(4)$ और समीकरण $(5)$ के मानों को समीकरण $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB^{2} + DE^{2} = AE^{2} + BD^{2}$
अतः,$AE^{2} + BD^{2} = AB^{2} + DE^{2}$।

(N/A) $\triangle ACD$ के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC^{2} = AD^{2} + DC^{2}$
$AD^{2} = AC^{2} - DC^{2}$ $...(1)$
$\triangle ABD$ के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB^{2} = AD^{2} + DB^{2}$
$AD^{2} = AB^{2} - DB^{2}$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$AC^{2} - DC^{2} = AB^{2} - DB^{2}$ $...(3)$
यह दिया गया है कि $DB = 3CD$ है। चूँकि $BC = DB + CD$,इसलिए $BC = 3CD + CD = 4CD$ है।
$\therefore CD = \frac{BC}{4}$ और $DB = 3CD = \frac{3BC}{4}$ है।
इन मानों को समीकरण $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC^{2} - \left(\frac{BC}{4}\right)^{2} = AB^{2} - \left(\frac{3BC}{4}\right)^{2}$
$AC^{2} - \frac{BC^{2}}{16} = AB^{2} - \frac{9BC^{2}}{16}$
$16AC^{2} - BC^{2} = 16AB^{2} - 9BC^{2}$
$16AB^{2} - 16AC^{2} = 8BC^{2}$
$8$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2AB^{2} = 2AC^{2} + BC^{2}$

(N/A) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा $a$ है,और $AE$,$\Delta ABC$ का $BC$ पर खींचा गया शीर्षलंब है।
चूंकि $AE$ एक समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब है,यह आधार $BC$ को समद्विभाजित करता है।
$\therefore BE = EC = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.
समकोण त्रिभुज $\Delta ABE$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AE^{2} = AB^{2} - BE^{2} = a^{2} - (\frac{a}{2})^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{3a^{2}}{4}$.
अतः,$AE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
दिया है कि $BD = \frac{1}{3} BC = \frac{a}{3}$.
अब,$DE = BE - BD = \frac{a}{2} - \frac{a}{3} = \frac{3a - 2a}{6} = \frac{a}{6}$.
समकोण त्रिभुज $\Delta ADE$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AD^{2} = AE^{2} + DE^{2}$.
मान रखने पर:
$AD^{2} = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2} + (\frac{a}{6})^{2} = \frac{3a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{36}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $36$ लेने पर:
$AD^{2} = \frac{27a^{2} + a^{2}}{36} = \frac{28a^{2}}{36} = \frac{7a^{2}}{9}$.
चूंकि $a = AB$,इसलिए $AD^{2} = \frac{7 AB^{2}}{9}$.
अतः,$9 AD^{2} = 7 AB^{2}$.
इति सिद्धम।

(N/A) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा $a$ है,और $AE$,$\triangle ABC$ का शीर्षलंब है।
चूंकि समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब आधार को समद्विभाजित करता है,
$BE = EC = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$
समकोण $\triangle ABE$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB^2 = AE^2 + BE^2$
$AB = a$ और $BE = \frac{a}{2}$ का मान रखने पर:
$a^2 = AE^2 + (\frac{a}{2})^2$
$a^2 = AE^2 + \frac{a^2}{4}$
$AE^2$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$AE^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$
$AE^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4}$
$AE^2 = \frac{3a^2}{4}$
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$4AE^2 = 3a^2$
अतः,यह सिद्ध होता है कि $4 \times$ (शीर्षलंब का वर्ग) $= 3 \times$ (एक भुजा का वर्ग)।

(B) दिया गया है कि,$AB = 6\sqrt{3} \text{ cm}$,$AC = 12 \text{ cm}$,और $BC = 6 \text{ cm}$ है।
भुजाओं के वर्गों की गणना करने पर:
$AB^2 = (6\sqrt{3})^2 = 36 \times 3 = 108$
$BC^2 = (6)^2 = 36$
$AC^2 = (12)^2 = 144$
अब,यह देखा जा सकता है कि:
$AB^2 + BC^2 = 108 + 36 = 144$
चूँकि $AB^2 + BC^2 = AC^2$,इसलिए यह त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय के विलोम को संतुष्ट करता है।
अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,जिसमें कर्ण $AC$ के सम्मुख कोण समकोण है।
इस प्रकार,$\angle B = 90^\circ$ है।
अतः,सही उत्तर $(B)$ है।

(N/A) रचना: एक रेखाखंड $RT$ खींचिए जो $PS$ के समांतर हो और बढ़ाई गई रेखाखंड $QP$ को बिंदु $T$ पर प्रतिच्छेद करे।
दिया गया है कि,$PS$,$\angle QPR$ का कोण समद्विभाजक है।
इसलिए,$\angle QPS = \angle SPR \quad \dots(1)$
रचना के अनुसार,$PS \parallel TR$ और $QT$ एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए,$\angle QPS = \angle QTR$ (संगत कोण) $\quad \dots(2)$
साथ ही,$PS \parallel TR$ और $PR$ एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए,$\angle SPR = \angle PRT$ (एकांतर अंतःकोण) $\quad \dots(3)$
समीकरण $(1)$,$(2)$,और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle QTR = \angle PRT$
$\Delta PTR$ में,चूंकि $\angle QTR = \angle PRT$,इसलिए इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
अतः,$PT = PR \quad \dots(4)$
$\Delta QTR$ में,चूंकि $PS \parallel TR$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{QS}{SR} = \frac{QP}{PT}$
समीकरण $(4)$ से $PT = PR$ का मान उपरोक्त व्यंजक में रखने पर:
$\frac{QS}{SR} = \frac{PQ}{PR}$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) $\triangle ADB$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB^{2} = AD^{2} + BD^{2} \quad \dots(1)$
$\triangle ADC$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC^{2} = AD^{2} + DC^{2}$
चूंकि $DC = DB + BC$,हम लिख सकते हैं:
$AC^{2} = AD^{2} + (DB + BC)^{2}$
$AC^{2} = AD^{2} + DB^{2} + BC^{2} + 2DB \cdot BC$
समीकरण $(1)$ से $AD^{2} + DB^{2} = AB^{2}$ का मान रखने पर:
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} + 2BC \cdot BD$

(N/A) $\triangle ADB$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AD^{2} + DB^{2} = AB^{2}$
$\Rightarrow AD^{2} = AB^{2} - DB^{2} \dots(1)$
$\triangle ADC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AD^{2} + DC^{2} = AC^{2}$
समीकरण $(1)$ से $AD^{2}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(AB^{2} - BD^{2}) + DC^{2} = AC^{2}$
चूंकि $D$,$BC$ पर स्थित है,इसलिए $DC = BC - BD$ होगा। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$AB^{2} - BD^{2} + (BC - BD)^{2} = AC^{2}$
$AB^{2} - BD^{2} + (BC^{2} + BD^{2} - 2BC \cdot BD) = AC^{2}$
$AB^{2} + BC^{2} - 2BC \cdot BD = AC^{2}$
अतः,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2BC \cdot BD$ सिद्ध हुआ।

(N/A) $\Delta AMD$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AM^{2} + MD^{2} = AD^{2} \dots(1)$
$\Delta AMC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AM^{2} + MC^{2} = AC^{2}$
चूँकि $MC = MD + DC$,इसलिए:
$AM^{2} + (MD + DC)^{2} = AC^{2}$
$AM^{2} + MD^{2} + DC^{2} + 2MD \cdot DC = AC^{2}$
समीकरण $(1)$ से $AM^{2} + MD^{2} = AD^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$AD^{2} + DC^{2} + 2MD \cdot DC = AC^{2}$
चूँकि $AD$ एक माध्यिका है,$DC = \frac{BC}{2}$। यह मान रखने पर:
$AD^{2} + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2} + 2MD \cdot \left(\frac{BC}{2}\right) = AC^{2}$
$AD^{2} + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2} + BC \cdot DM = AC^{2}$
अतः,$AC^{2} = AD^{2} + BC \cdot DM + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2}$ सिद्ध होता है।

(A) माना $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
माना हम बढ़ाई गई भुजा $AB$ पर लंब $DE$ और भुजा $DC$ पर $AF$ खींचते हैं।
$\triangle DEA$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$DE^{2} + EA^{2} = DA^{2} \dots (i)$
$\triangle DEB$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$DE^{2} + EB^{2} = DB^{2}$
$DE^{2} + (EA + AB)^{2} = DB^{2}$
$(DE^{2} + EA^{2}) + AB^{2} + 2EA \times AB = DB^{2}$
$DA^{2} + AB^{2} + 2EA \times AB = DB^{2} \dots (ii)$
$\triangle AFC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC^{2} = AF^{2} + FC^{2}$
$AC^{2} = AF^{2} + (DC - FD)^{2}$
$AC^{2} = AF^{2} + DC^{2} + FD^{2} - 2DC \times FD$
$AC^{2} = (AF^{2} + FD^{2}) + DC^{2} - 2DC \times FD$
$AC^{2} = AD^{2} + DC^{2} - 2DC \times FD \dots (iii)$
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$AB = CD \dots (iv)$ और $BC = AD \dots (v)$.
$\triangle DEA$ और $\triangle AFD$ में:
$\angle DEA = \angle AFD = 90^{\circ}$
$\angle EAD = \angle ADF$ (क्योंकि $EA \parallel DF$)
$AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
इसलिए,$\triangle EAD \cong \triangle FDA$ ($AAS$ सर्वांगसमता कसौटी)।
इसका अर्थ है $EA = DF \dots (vi)$।
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$DB^{2} + AC^{2} = DA^{2} + AB^{2} + 2EA \times AB + AD^{2} + DC^{2} - 2DC \times FD$
$AB = DC$ और $EA = DF$ का उपयोग करने पर:
$DB^{2} + AC^{2} = AD^{2} + AB^{2} + 2EA \times AB + AD^{2} + AB^{2} - 2AB \times EA$
$DB^{2} + AC^{2} = 2AD^{2} + 2AB^{2}$
चूंकि $AD = BC$ और $AB = CD$:
$AC^{2} + BD^{2} = AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + DA^{2}$.

(N/A) मान लीजिए कि हम $BA$ को $P$ तक इस प्रकार बढ़ाते हैं कि $AP = AC$ हो। $PC$ को मिलाइए।
दिया गया है कि,
$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$
चूंकि $AP = AC$,हम $AC$ के स्थान पर $AP$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AP}$
$\Delta BPC$ में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के विलोम का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AD \parallel PC$
अतः,$\angle BAD = \angle APC$ (संगत कोण) $\dots(1)$
और,$\angle DAC = \angle ACP$ (एकांतर अंतः कोण) $\dots(2)$
रचना के अनुसार,हमारे पास $AP = AC$ है,जिसका अर्थ है कि $\Delta APC$ में,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं:
$\angle APC = \angle ACP \dots(3)$
समीकरण $(1), (2),$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BAD = \angle DAC$
अतः,$AD$,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है।

(1:16) दिया गया है कि,$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$,थेल्स प्रमेय के विलोम (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) के अनुसार,$DE \parallel BC$ है।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\Delta ADE \sim \Delta ABC$ है।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
अतः,$\frac{\text{Area}(\Delta ADE)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.
अब,निर्देशांक $A(4, 6)$,$B(1, 5)$ और $C(7, 2)$ का उपयोग करके $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |4(5 - 2) + 1(2 - 6) + 7(6 - 5)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |4(3) + 1(-4) + 7(1)| = \frac{1}{2} |12 - 4 + 7| = \frac{1}{2} |15| = 7.5$ वर्ग इकाई।
$\Delta ADE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{16} \times \text{Area}(\Delta ABC) = \frac{1}{16} \times 7.5 = \frac{7.5}{16} = \frac{15}{32}$ वर्ग इकाई।
$\Delta ADE$ के क्षेत्रफल और $\Delta ABC$ के क्षेत्रफल का अनुपात $1:16$ है।

(A) दिया गया है,एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AB \parallel DC$ है। $P$ और $Q$ क्रमशः $AD$ और $BC$ पर स्थित बिंदु हैं,इस प्रकार कि $PQ \parallel DC$ है। अतः,$AB \parallel PQ \parallel DC$ है।
$BD$ को मिलाइए। मान लीजिए कि $BD$,$PQ$ को बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$\triangle ABD$ में,$PO \parallel AB$ (क्योंकि $PQ \parallel AB$ है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{AP}{PD} = \frac{BO}{OD}$ .......$(i)$
$\triangle BDC$ में,$OQ \parallel DC$ (क्योंकि $PQ \parallel DC$ है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{BQ}{QC} = \frac{BO}{OD}$ .......$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AP}{PD} = \frac{BQ}{QC}$
दिए गए मान $PD = 18 \, cm$,$BQ = 35 \, cm$ और $QC = 15 \, cm$ रखने पर:
$\frac{AP}{18} = \frac{35}{15}$
$AP = \frac{35 \times 18}{15}$
$AP = \frac{7 \times 18}{3} = 7 \times 6 = 42 \, cm$
अतः,$AD = AP + PD = 42 \, cm + 18 \, cm = 60 \, cm$।

(N/A) दिया है: एक त्रिभुज $ABC$ जिसमें $AC^2 = AB^2 + BC^2$ है।
सिद्ध करना है: $\angle B = 90^{\circ}$।
रचना: एक $\triangle PQR$ की रचना कीजिए जिसमें $\angle Q = 90^{\circ}$,$PQ = AB$ और $QR = BC$ हो।
उपपत्ति:
$\triangle PQR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PR^2 = PQ^2 + QR^2$
चूंकि $PQ = AB$ और $QR = BC$,इसलिए:
$PR^2 = AB^2 + BC^2$ ...... $(1)$
दिया गया है कि $AC^2 = AB^2 + BC^2$ ...... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$PR^2 = AC^2$,जिसका अर्थ है कि $PR = AC$।
अब,$\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ में:
$AB = PQ$ (रचना से)
$BC = QR$ (रचना से)
$AC = PR$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
इसलिए,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ है।
अतः,$CPCT$ द्वारा $\angle B = \angle Q$ है।
चूंकि रचना से $\angle Q = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle B = 90^{\circ}$ सिद्ध होता है।

(N/A) माना एक $\triangle ABC$ है जिसमें $BC$ के समांतर एक रेखा $DE$,$AB$ को $D$ पर और $AC$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध करना है: $DE$ दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है,अर्थात्,$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$।
रचना: $BE$ और $CD$ को मिलाइए और $EF \perp AB$ तथा $DG \perp AC$ खींचिए।
उपपत्ति: यहाँ,$\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle BDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AD \times EF}{\frac{1}{2} \times DB \times EF} = \frac{AD}{DB}$ ......$(i)$ [चूंकि,त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$]
इसी प्रकार,$\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle DEC)} = \frac{\frac{1}{2} \times AE \times DG}{\frac{1}{2} \times EC \times DG} = \frac{AE}{EC}$ ......$(ii)$
अब,चूंकि $\triangle BDE$ और $\triangle DEC$ एक ही समांतर रेखाओं $DE$ और $BC$ के बीच स्थित हैं और एक ही आधार $DE$ पर हैं,इसलिए,$\text{ar}(\triangle BDE) = \text{ar}(\triangle DEC)$ ......$(iii)$
समीकरण $(i), (ii)$ और $(iii)$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$।
इति सिद्धम्।