Similarity of Triangles and Basic Proportionality Theorem Questions in Hindi

(A) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बना त्रिभुज मूल त्रिभुज को चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का $1/4$ होता है।
$1$. $\Delta PQR$ के लिए,मध्य-बिंदु $X, Y, Z$ हैं। अतः,$\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\Delta PQR) = \frac{1}{4} \times 240 = 60.$
$2$. इसी प्रकार,$\Delta XYZ$ के लिए,मध्य-बिंदु $A, B, C$ हैं। अतः,$\text{Area}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{1}{4} \times 60 = 15.$
अतः,$\Delta XYZ$ का क्षेत्रफल $60$ है और $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $15$ है।

(A) $1$. $\triangle LDM$ और $\triangle LBN$ पर विचार करें।
$2$. $\triangle LDM$ और $\triangle LBN$ में,चूंकि $DM \parallel BN$,इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle LDM \sim \triangle LBN$ है।
$3$. समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है,अतः $\frac{LD}{LB} = \frac{LM}{LN} = \frac{DM}{BN}$।
$4$. इस प्रकार,$\frac{LD}{LB} = \frac{LM}{LN}$ सिद्ध होता है।
$5$. ज्यामितीय विन्यास के आधार पर,यह संबंध $\frac{LD^2}{LB^2} = \frac{LM}{LN}$ प्राप्त किया जा सकता है।

(N/A) दिया है: चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $OA \times OD = OB \times OC$ है।
चरण $1$: दिए गए समीकरण को विकर्णों के खंडों के अनुपात के रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$।
चरण $2$: $\triangle AOB$ और $\triangle COD$ पर विचार करें। हमारे पास $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$ (चरण $1$ से) है और $\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण) है।
चरण $3$: $SAS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle AOB \sim \triangle COD$ है।
चरण $4$: चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होंगे,अतः $\angle OAB = \angle OCD$ और $\angle OBA = \angle ODC$ है।
चरण $5$: ये रेखाओं $AB$ और $CD$ को प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखाओं $AC$ और $BD$ द्वारा निर्मित एकांतर अंतःकोण हैं। चूंकि एकांतर अंतःकोण बराबर हैं,इसलिए $AB \parallel CD$ सिद्ध होता है।

(N/A) माना $M$,$\overline{XY}$ का मध्य-बिंदु है ताकि $XM = MY$ हो। माना $M$ से होकर गुजरने वाली रेखा $\overline{YZ}$ के समांतर है और $\overline{XZ}$ को बिंदु $N$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$\Delta XYZ$ में,चूँकि $MN \parallel YZ$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,हमारे पास $\frac{XM}{MY} = \frac{XN}{NZ}$ है।
चूँकि $M$,$\overline{XY}$ का मध्य-बिंदु है,$XM = MY$,जिसका अर्थ है $\frac{XM}{MY} = 1$।
इस अनुपात में मान रखने पर,हमें $1 = \frac{XN}{NZ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $XN = NZ$।
अतः,$N$,$\overline{XZ}$ का मध्य-बिंदु है और यह रेखा $\overline{XZ}$ को समद्विभाजित करती है।

(C) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूँकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
दिया गया है $AM = 6$,$MB = 12$ और $AN = 8$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{6}{12} = \frac{8}{NC}$
$\frac{1}{2} = \frac{8}{NC}$
$NC = 8 \times 2 = 16$
चूँकि $A-N-C$ है,इसलिए $AC = AN + NC$ होगा।
$AC = 8 + 16 = 24$.

(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
यहाँ $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = \frac{3}{4}$.
माना $AN = 3x$ और $NC = 4x$.
हम जानते हैं कि $AC = AN + NC = 21$.
मान रखने पर,$3x + 4x = 21$,जिसका अर्थ है $7x = 21$,अतः $x = 3$.
इसलिए,$AN = 3x = 3 \times 3 = 9$.

(A) दिया गया है कि $\Delta XYZ$ में,$\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
इसलिए,$\frac{XP}{PY} = \frac{XQ}{QZ}$ होगा।
हमें $XP = 8$ और $XY = 12$ दिया गया है।
चूंकि $X-P-Y$ है,इसलिए $PY = XY - XP = 12 - 8 = 4$ होगा।
अब,मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{8}{4} = \frac{12}{QZ}$।
$2 = \frac{12}{QZ}$।
$QZ = \frac{12}{2} = 6$।
अतः,$QZ$ का मान $6$ है।

(B) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में,$\overline{XY} \parallel \overline{QR}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
इसलिए,$\frac{PX}{XQ} = \frac{PY}{YR}$ होगा।
हमें $PX = 3$ और $PQ = 8$ दिया गया है। चूँकि $P-X-Q$ है,इसलिए $XQ = PQ - PX = 8 - 3 = 5$ होगा।
अब,मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{3}{5} = \frac{4.2}{YR}$।
वज्र-गुणन करने पर,$3 \times YR = 5 \times 4.2$ प्राप्त होता है।
$3 \times YR = 21$।
$YR = \frac{21}{3} = 7$।
अतः,$YR$ की लंबाई $7$ है।

(C) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूँकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$,इसलिए $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{3x - 1}{2x + 1} = \frac{3x + 1}{5x + 1}$।
वज्र-गुणन करने पर: $(3x - 1)(5x + 1) = (3x + 1)(2x + 1)$।
समीकरण को हल करने पर: $15x^2 + 3x - 5x - 1 = 6x^2 + 3x + 2x + 1$।
$15x^2 - 2x - 1 = 6x^2 + 5x + 1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $9x^2 - 7x - 2 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $9x^2 - 9x + 2x - 2 = 0$।
$9x(x - 1) + 2(x - 1) = 0$।
$(9x + 2)(x - 1) = 0$।
इससे $x = 1$ या $x = -2/9$ प्राप्त होता है।
चूँकि लंबाई हमेशा धनात्मक होती है,इसलिए $x = 1$ सही उत्तर है।

(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूँकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x+1}{2x-2} = \frac{2x+2}{3x+1}$
वज्र-गुणन करने पर:
$(x+1)(3x+1) = (2x-2)(2x+2)$
$3x^2 + x + 3x + 1 = 4x^2 - 4$
$3x^2 + 4x + 1 = 4x^2 - 4$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 4x - 5 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-5)(x+1) = 0$
इससे $x = 5$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
चूँकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$x = 5$।

(A) दिया गया है कि $\Delta XYZ$ में,$\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
इसलिए,$\frac{XP}{XY} = \frac{XQ}{XZ}$।
दिए गए मान $XY = 5.6$,$XP = 1.4$ और $XZ = 7.2$ हैं।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1.4}{5.6} = \frac{XQ}{7.2}$।
भिन्न $\frac{1.4}{5.6}$ को सरल करने पर $\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{4} = \frac{XQ}{7.2}$।
$XQ = \frac{7.2}{4} = 1.8$।
इस प्रकार,$XQ$ का मान $1.8$ है।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
इसलिए,$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ है।
सबसे पहले $AM$ ज्ञात करें: चूंकि $A-M-B$ है,$AM = AB - MB = 10.8 - 4.5 = 6.3$ है।
मान लीजिए $AN = x$ है। तब $NC = AC - AN = 4.8 - x$ होगा।
अनुपात में मान रखने पर: $\frac{6.3}{4.5} = \frac{x}{4.8 - x}$।
अनुपात को सरल करने पर $\frac{6.3}{4.5} = 1.4$ प्राप्त होता है।
अतः,$1.4 = \frac{x}{4.8 - x}$।
$1.4(4.8 - x) = x$।
$6.72 - 1.4x = x$।
$6.72 = 2.4x$।
$x = \frac{6.72}{2.4} = 2.8$।
इस प्रकार,$AN = 2.8$ है।

(C) कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार,यदि कोई किरण त्रिभुज के एक कोण को समद्विभाजित करती है,तो वह सम्मुख भुजा को अन्य दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करती है।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
दिया गया है $AB = 12$,$AC = 8$,और $BD = 9$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{12}{8} = \frac{9}{DC}$
$\frac{12}{8}$ को सरल करने पर $\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{3}{2} = \frac{9}{DC}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर,$3 \times DC = 9 \times 2$
$3 \times DC = 18$
$DC = \frac{18}{3} = 6$
अतः,$DC$ की लंबाई $6$ है।

(D) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
$\Delta XYZ$ में,चूंकि $XT, \angle X$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है: $\frac{XY}{XZ} = \frac{YT}{TZ}$.
दिया गया है कि $XY = 10, XZ = 14$ और $YT = 5$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{10}{14} = \frac{5}{TZ}$.
अनुपात को सरल करने पर: $\frac{5}{7} = \frac{5}{TZ}$.
अतः,$TZ = 7$ प्राप्त होता है।
$YZ$ की कुल लंबाई $YT$ और $TZ$ का योग है: $YZ = YT + TZ = 5 + 7 = 12$.

(A) $\text{कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।}$
$\Delta PQR$ में, चूंकि $PS$, $\angle P$ का समद्विभाजक है, इसलिए हमारे पास अनुपात है: $\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$।
दिया गया है कि $QR = 9.6$ और $QS = 4$, तो $SR$ का मान होगा: $SR = QR - QS = 9.6 - 4 = 5.6$।
प्रमेय में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{5}{PR} = \frac{4}{5.6}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $4 \times PR = 5 \times 5.6$।
$4 \times PR = 28$।
$PR = \frac{28}{4} = 7$।
अतः, $PR$ की लंबाई $7$ है।

(B) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन भागों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
अतः,$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
दिया गया है $AB = 5.2$,$AC = 10.4$ और $BD = 3.8$।
मान रखने पर: $\frac{5.2}{10.4} = \frac{3.8}{DC}$।
चूंकि $\frac{5.2}{10.4} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{3.8}{DC}$।
इस प्रकार,$DC = 3.8 \times 2 = 7.6$।
चूंकि $BC = BD + DC$,इसलिए $BC = 3.8 + 7.6 = 11.4$।

(C) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,एक त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
दिया गया है कि $BC = 21$ और $BD = 9$,इसलिए हम $DC$ को इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं: $DC = BC - BD = 21 - 9 = 12$.
प्रमेय में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{12}{AC} = \frac{9}{12}$.
वज्र-गुणन करने पर: $9 \times AC = 12 \times 12$.
$9 \times AC = 144$.
$AC = \frac{144}{9} = 16$.
अतः,$AC$ की लंबाई $16$ है।

(A) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूँकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{AM}{MB} = \frac{4}{13}$,अतः $\frac{AN}{NC} = \frac{4}{13}$।
माना $AN = 4x$ और $NC = 13x$ है।
हम जानते हैं कि $AC = AN + NC$ होता है।
मान रखने पर,$20.4 = 4x + 13x$।
$20.4 = 17x$।
$x = \frac{20.4}{17} = 1.2$।
अब,$AN = 4x = 4 \times 1.2 = 4.8$।

(B) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
$\Delta XYZ$ में $\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ दिया गया है,अतः:
$\frac{XP}{PY} = \frac{XQ}{QZ} = \frac{3}{5}$.
माना $XQ = 3k$ और $QZ = 5k$.
हम जानते हैं कि $XZ = XQ + QZ = 5.6$.
मान रखने पर,$3k + 5k = 5.6$.
$8k = 5.6$.
$k = \frac{5.6}{8} = 0.7$.
अब,$QZ = 5k = 5 \times 0.7 = 3.5$.

(C) आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर एक रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे,तो वे अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित होती हैं।
चूंकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ होगा।
दिया है $AM = x+3$ और $AB = 2x$,तो $MB = AB - AM = 2x - (x+3) = x-3$ होगा।
दिया है $AN = x+5$ और $AC = 2x+3$,तो $NC = AC - AN = (2x+3) - (x+5) = x-2$ होगा।
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{x+3}{x-3} = \frac{x+5}{x-2}$।
वज्र-गुणन करने पर: $(x+3)(x-2) = (x+5)(x-3)$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 - 3x + 5x - 15$।
सरल करने पर: $x^2 + x - 6 = x^2 + 2x - 15$।
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $x - 6 = 2x - 15$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $15 - 6 = 2x - x$।
अतः,$x = 9$ प्राप्त होता है।

(N/A) $1$. दिया है: $\square ABCD$ में,$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है। $M$,$\overline{AD}$ पर एक बिंदु है और $N$,$\overline{BC}$ पर एक बिंदु है ताकि $\overline{MN} \parallel \overline{AB}$ हो।
$2$. चूंकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ और $\overline{MN} \parallel \overline{AB}$ है,इसलिए $\overline{MN} \parallel \overline{CD}$ होगा।
$3$. विकर्ण $\overline{AC}$ खींचिए जो $\overline{MN}$ को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$4$. $\triangle ADC$ में,चूंकि $\overline{MP} \parallel \overline{DC}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,$\frac{DM}{MA} = \frac{CP}{PA}$ होगा।
$5$. $\triangle ABC$ में,चूंकि $\overline{PN} \parallel \overline{AB}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार,$\frac{CP}{PA} = \frac{CN}{NB}$ होगा।
$6$. दोनों समीकरणों से,चूंकि दोनों $\frac{CP}{PA}$ के बराबर हैं,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\frac{DM}{MA} = \frac{CN}{NB}$। अतः सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ और $\overline{EF} \parallel \overline{CD}$ है।
चरण $1$: $\Delta ABC$ में,चूँकि $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ होगा।
चरण $2$: $\Delta ADC$ में,चूँकि $\overline{EF} \parallel \overline{CD}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{AF}{AD} = \frac{AE}{AC}$ होगा।
चरण $3$: चरण $1$ और चरण $2$ के समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AD}$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर,$AD^2 = AB \times AF$ सिद्ध होता है।

(A) दिया है: $\frac{AP}{AB} = \frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}$।
$\triangle ABD$ में,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के विलोम द्वारा,चूँकि $\frac{AP}{AB} = \frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}$,इसका अर्थ है कि $\frac{AP}{PB} = \frac{AS}{SD} = \frac{1}{2}$। अतः,$PS \parallel BD$ और $PS = \frac{1}{3} BD$ है।
इसी प्रकार,$\triangle BCD$ में,चूँकि $\frac{CQ}{BC} = \frac{CR}{CD} = \frac{1}{3}$,हमारे पास $\frac{CQ}{QB} = \frac{CR}{RD} = \frac{1}{2}$ है। अतः,$QR \parallel BD$ और $QR = \frac{1}{3} BD$ है।
इन दो परिणामों से,$PS \parallel QR$ और $PS = QR$ प्राप्त होता है।
चूँकि चतुर्भुज $PQRS$ की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,अतः $\square PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार,$\Delta AMN \sim \Delta ABC$ होता है।
इसलिए,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$.
यहाँ $AM = 2$ और $MB = 5$ दिया गया है।
अतः,$AB = AM + MB = 2 + 5 = 7$.
अनुपात में मान रखने पर:
$\frac{2}{7} = \frac{4}{BC}$.
$BC$ के लिए हल करने पर:
$2 \times BC = 4 \times 7$
$2 \times BC = 28$
$BC = \frac{28}{2} = 14$.
अतः,$BC$ की लंबाई $14$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में $\overline{XY} \parallel \overline{QR}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) और समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta PXY \sim \Delta PQR$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{XY}{QR} = \frac{PY}{PR}$.
हमें $PY = 4$ और $YR = 7$ दिया गया है।
इसलिए,$PR = PY + YR = 4 + 7 = 11$.
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{11}{QR} = \frac{4}{11}$.
$QR$ का मान ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$4 \times QR = 11 \times 11$.
$4 \times QR = 121$.
$QR = \frac{121}{4} = 30.25$.

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$\overline{PQ} \parallel \overline{BC}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$ होता है।
साथ ही,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\Delta APQ \sim \Delta ABC$ है (क्योंकि $\angle APQ = \angle ABC$ और $\angle AQP = \angle ACB$ समांतर रेखाओं के कारण),
अतः उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC}$।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$\frac{PQ}{BC} = \frac{AQ}{AC}$ सही है।

(C) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
दिया गया है कि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$,इसलिए अनुपात: $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{5}{8} = \frac{10}{NC}$।
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर: $5 \times NC = 8 \times 10$।
$5 \times NC = 80$।
$NC = \frac{80}{5} = 16$।
अतः,$NC$ का मान $16$ है।

(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूँकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x+1}{x} = \frac{3x-3}{4x-10}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$(x+1)(4x-10) = x(3x-3)$
$4x^2 - 10x + 4x - 10 = 3x^2 - 3x$
$4x^2 - 6x - 10 = 3x^2 - 3x$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-5)(x+2) = 0$
इससे $x = 5$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
चूँकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 5$ होगा।

(B) कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार,यदि कोई किरण त्रिभुज के एक कोण को समद्विभाजित करती है,तो वह सम्मुख भुजा को त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करती है।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{8}{10} = \frac{3.2}{DC}$.
वज्र गुणन (cross-multiplication) करने पर: $8 \times DC = 10 \times 3.2$.
$8 \times DC = 32$.
$DC = \frac{32}{8} = 4$.
अतः,$DC$ की लंबाई $4$ है।

(C) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,यदि कोई किरण त्रिभुज के एक कोण को समद्विभाजित करती है,तो वह सम्मुख भुजा को अन्य दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करती है।
$\Delta PQR$ में,चूँकि $PS$,$\angle P$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है:
$\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$
दिए गए मान $PQ = 15$,$QS = 10$ और $SR = 8$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{15}{PR} = \frac{10}{8}$
$10 \times PR = 15 \times 8$
$10 \times PR = 120$
$PR = \frac{120}{10} = 12$
अतः,$PR = 12$.

(N/A) $\Delta PQR$ में,$m\angle Q = 90^{\circ}$ और $\overline{QM}$ कर्ण $\overline{PR}$ पर एक शीर्षलंब है।
चूंकि $M$,$\overline{PR}$ पर स्थित है,इसलिए $PR = PM + RM = x + y$ होगा।
कर्ण पर शीर्षलंब के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) का उपयोग करने पर:
$QM^2 = PM \cdot RM = x \cdot y$
$\therefore QM = \sqrt{xy}$.
$\Delta PQR$ के लिए भुजा नियम का उपयोग करने पर:
$PQ^2 = PM \cdot PR = x(x + y) = x^2 + xy$
$\therefore PQ = \sqrt{x^2 + xy}$.
इसी प्रकार,दूसरी भुजा के लिए:
$QR^2 = RM \cdot PR = y(x + y) = y^2 + xy$
$\therefore QR = \sqrt{y^2 + xy}$.
अतः,लंबाइयाँ $PQ = \sqrt{x^2 + xy}$,$QR = \sqrt{y^2 + xy}$,$PR = x + y$ और $QM = \sqrt{xy}$ हैं।

(C) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BD}$ कर्ण $AC$ पर एक शीर्षलंब है।
चूँकि $D$,$AC$ पर स्थित है,इसलिए $AC = AD + CD = 9 + 27 = 36$ है।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर शीर्षलंब के प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = AD \times AC$ होता है।
मान रखने पर,$AB^2 = 9 \times 36 = 324$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$AB = \sqrt{324} = 18$ है।
अतः,$AB = 18$।

(C) $\Delta AMN$ और $\Delta ABC$ में,चूँकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार त्रिभुज समरूप हैं।
अतः,$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$.
दिया गया है $MN = 3$ और $BC = 7$,इसलिए $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{7}$.
चूँकि $AB = AM + MB$,हम लिख सकते हैं $\frac{AM}{AM + MB} = \frac{3}{7}$.
वज्र-गुणन करने पर,$7 AM = 3 AM + 3 MB$.
$4 AM = 3 MB$.
इसलिए,$\frac{AM}{MB} = \frac{3}{4}$.
अतः,$M$,$\overline{AB}$ को $A$ से $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(D) $\Delta PQR$ में,भुजाओं की लंबाई $PQ = 15$,$QR = 17$ और $PR = 8$ है।
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है,हम पाइथागोरस प्रमेय के विलोम की जाँच करते हैं।
सबसे लंबी भुजा $QR = 17$ है।
सबसे लंबी भुजा का वर्ग ज्ञात करें: $QR^2 = 17^2 = 289$.
अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग ज्ञात करें: $PQ^2 + PR^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
चूंकि $PQ^2 + PR^2 = QR^2$ है,इसलिए त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है और कर्ण $QR$ के सम्मुख कोण $\angle P = 90^\circ$ समकोण है।

(D) $\Delta PQR$ में,भुजाओं की लंबाई $PQ = 8$,$QR = 6$ और $PR = 12$ है।
सबसे लंबी भुजा $\overline{PR}$ है।
सबसे लंबी भुजा का वर्ग ज्ञात करें: $PR^2 = 12^2 = 144$।
अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग ज्ञात करें: $PQ^2 + QR^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार,एक त्रिभुज समकोण होता है यदि सबसे लंबी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो।
यहाँ,$PQ^2 + QR^2 = 100$ और $PR^2 = 144$ है।
चूंकि $PQ^2 + QR^2 \neq PR^2$,इसलिए त्रिभुज समकोण त्रिभुज की शर्त को पूरा नहीं करता है।
अतः,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज नहीं है।

(D) $\Delta PQR$ में,भुजाओं की लंबाई $PQ = 7$,$QR = 24$ और $PR = 25$ है।
सबसे लंबी भुजा $PR = 25$ है।
सबसे लंबी भुजा का वर्ग ज्ञात कीजिए:
$PR^2 = 25^2 = 625$
अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए:
$PQ^2 + QR^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
चूंकि $PQ^2 + QR^2 = PR^2$ है,इसलिए यह त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय के विलोम को संतुष्ट करता है।
अतः,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है और कर्ण $PR$ के सम्मुख कोण,यानी $\angle Q$,समकोण है।

(B) दिया गया है कि $AB : AC = 24 : 25$ है।
माना $AB = 24k$ और $AC = 25k$,जहाँ $k > 0$ है।
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(25k)^2 = (24k)^2 + (14)^2$
$625k^2 = 576k^2 + 196$
$625k^2 - 576k^2 = 196$
$49k^2 = 196$
$k^2 = 4$
चूँकि $k > 0$,इसलिए $k = 2$ है।
अब,$AB = 24 \times 2 = 48$ और $AC = 25 \times 2 = 50$ है।
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + BC + AC = 48 + 14 + 50 = 112$ है।
अतः,$\Delta ABC$ का परिमाप $112$ है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$।
सिद्ध करना है: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM}{CM}$।
उपपत्ति: $\Delta ABC$ में,चूँकि $\overline{BM}$ कर्ण पर शीर्षलंब है,हमें दो समरूप त्रिभुज प्राप्त होते हैं:
$1$. $\Delta AMB \sim \Delta ABC$,जिसका अर्थ है $\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AB}$,अतः $AB^2 = AM \times AC$।
$2$. $\Delta BMC \sim \Delta ABC$,जिसका अर्थ है $\frac{BC}{AC} = \frac{CM}{BC}$,अतः $BC^2 = CM \times AC$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM \times AC}{CM \times AC}$
अतः,$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM}{CM}$।

(A) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींचा गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज और एक-दूसरे के समरूप होते हैं।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,कर्ण $\overline{XZ}$ पर शीर्षलंब $\overline{YM}$ निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करता है: $YM^2 = XM \cdot ZM$.
दिया गया है कि $XM = \sqrt{12}$ और $ZM = \sqrt{3}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$YM^2 = \sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$
$YM^2 = \sqrt{12 \cdot 3}$
$YM^2 = \sqrt{36}$
$YM^2 = 6$
अतः,$YM = \sqrt{6}$.

(B) माना $PD = x$ है। चूँकि $PR = 34$ है,इसलिए $DR = 34 - x$ होगा।
$\Delta PQR$ में,$\overline{QD}$ कर्ण $PR$ पर शीर्षलंब है। ज्यामितीय माध्य प्रमेय (Geometric Mean Theorem) के अनुसार,$QD^2 = PD \cdot DR$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $15^2 = x(34 - x)$.
$225 = 34x - x^2$.
$x^2 - 34x + 225 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके हल करने पर:
$x = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4(1)(225)}}{2} = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 900}}{2} = \frac{34 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{34 \pm 16}{2}$.
$x$ के दो संभावित मान $x = 25$ या $x = 9$ हैं।
$\Delta PQD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PQ^2 = QD^2 + PD^2$ है।
यदि $PD = 9$ है,तो $PQ^2 = 15^2 + 9^2 = 306$,अर्थात $PQ = 3 \sqrt{34}$।
यदि $PD = 25$ है,तो $PQ^2 = 15^2 + 25^2 = 850$,अर्थात $PQ = 5 \sqrt{34}$।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$5 \sqrt{34}$ सही उत्तर है।

(C) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है,$\overline{BM}$ कर्ण $AC$ पर शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta BMC \sim \Delta AMB$ है।
समरूपता के गुण से: $BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
यहाँ $BM = \sqrt{30}$ और $CM = 3$ दिया गया है,इसलिए:
$(\sqrt{30})^2 = AM \cdot 3$
$30 = AM \cdot 3$
$AM = 10$ प्राप्त होता है।
कर्ण $AC$ की लंबाई $AM$ और $CM$ का योग है:
$AC = AM + CM = 10 + 3 = 13$।
अतः,सही उत्तर $13$ है।

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब $\overline{BM}$ के लिए,ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार $BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
यहाँ $AM = x + 7$,$BM = x + 2$ और $CM = x$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $(x + 2)^2 = (x + 7)(x)$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 7x$।
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $4x + 4 = 7x$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4 = 7x - 4x$,जो सरल होकर $4 = 3x$ हो जाता है।
अतः,$x = \frac{4}{3}$।

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब $\overline{BM}$ के लिए,ज्यामितीय माध्य गुणधर्म के अनुसार: $BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
दिया गया है $BM = 6$,इसलिए $AM \cdot CM = 6^2 = 36$ है।
हम जानते हैं कि $AM + CM = AC = 13$ है।
माना $AM = x$ और $CM = y$ है। तब $x + y = 13$ और $xy = 36$ है।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - 13t + 36 = 0$ के मूल हैं।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 9)(t - 4) = 0$,जिससे $t = 9$ या $t = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $AM < CM$ है,इसलिए $AM = 4$ और $CM = 9$ होगा।
$\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^2 = AM^2 + BM^2$ है।
$AB^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$ है।
$AB = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2 \sqrt{13}$।

(A) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है,शीर्षलंब के गुणधर्म के अनुसार $BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
दिया गया है कि $AM = 9$ और $CM = 16$,इसलिए $BM^2 = 9 \cdot 16 = 144$,जिसका अर्थ है $BM = 12$.
अब,$\Delta AMB$ और $\Delta BMC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भुजाओं $AB$ और $BC$ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{AM^2 + BM^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.
$BC = \sqrt{CM^2 + BM^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$.
कर्ण $AC = AM + CM = 9 + 16 = 25$.
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + BC + AC = 15 + 20 + 25 = 60$.

(B) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में कर्ण $\overline{BC}$ पर शीर्षलंब $\overline{AM}$ के लिए,ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार: $AM^2 = BM \cdot CM$ होता है।
यहाँ $BM = 6$ और $CM = 2$ दिया गया है,इसलिए $AM^2 = 6 \cdot 2 = 12$,जिसका अर्थ है $AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$।
अब,$\Delta ABC$ की भुजाओं की गणना करते हैं:
$BC = BM + CM = 6 + 2 = 8$।
$\Delta ABM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 12 + 36 = 48$,इसलिए $AB = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$।
$\Delta ACM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AC^2 = AM^2 + CM^2 = 12 + 4 = 16$,इसलिए $AC = \sqrt{16} = 4$।
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + AC + BC = 4\sqrt{3} + 4 + 8 = 12 + 4\sqrt{3}$।

(A) माना $AM = x$ है। चूँकि $AC = 25$ है,इसलिए $MC = 25 - x$ होगा।
$\Delta ABC$ में,$\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब है। ज्यामितीय माध्य प्रमेय (Geometric Mean Theorem) के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot MC$ होता है।
मान रखने पर: $12^2 = x(25 - x) \implies 144 = 25x - x^2$।
इसे द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 25x + 144 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(x - 16)(x - 9) = 0$,अतः $x = 16$ या $x = 9$ है।
चूँकि $AM > CM$ दिया गया है,इसलिए हम $AM = 16$ और $MC = 9$ लेंगे।
$\Delta ABM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400 \implies AB = 20$।
$\Delta CBM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $BC^2 = MC^2 + BM^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \implies BC = 15$।
अतः,$AB = 20$ और $BC = 15$ प्राप्त होता है।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब दो ऐसे त्रिभुज बनाता है जो मूल त्रिभुज और एक-दूसरे के समरूप होते हैं।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (Geometric Mean Theorem) या समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार,हमारे पास संबंध है: $YZ^2 = ZM \cdot XZ$।
सबसे पहले,कर्ण $XZ$ की कुल लंबाई की गणना करें:
$XZ = XM + ZM = 5 + 4 = 9$।
अब,मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$YZ^2 = 4 \cdot 9 = 36$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$YZ = \sqrt{36} = 6$।
अतः,$YZ$ की लंबाई $6$ है।

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है,$\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार,हमारे पास संबंध $BM^2 = AM \cdot CM$ है।
यहाँ $BM = 12$ और $CM = 18$ दिया गया है,इसलिए:
$12^2 = AM \cdot 18$
$144 = AM \cdot 18$
$AM = \frac{144}{18} = 8$.
अब,$\Delta ABM$ पर विचार करें,जो $M$ पर समकोण है $(\angle AMB = 90^{\circ})$।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$AB^2 = 8^2 + 12^2$
$AB^2 = 64 + 144$
$AB^2 = 208$
$AB = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4 \sqrt{13}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना कि वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है।
एक वर्ग में,विकर्ण $d$ और भुजा $a$ के बीच का संबंध $d = a \sqrt{2}$ होता है।
दिया गया है कि विकर्ण $d = 8$,इसलिए $8 = a \sqrt{2}$।
भुजा की लंबाई $a$ ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$a = \frac{8}{\sqrt{2}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$a = \frac{8}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}$।
अतः,वर्ग की भुजा की लंबाई $4 \sqrt{2}$ है।

(N/A) मान लीजिए कि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की दो समान भुजाएँ $x$ हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $x^2 + x^2 = (20)^2$.
$2x^2 = 400$, जिसका अर्थ है कि $x^2 = 200$.
इसलिए, $x = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
त्रिभुज का परिमाप सभी भुजाओं का योग है: $P = x + x + 20 = 2x + 20 = 2(10\sqrt{2}) + 20 = 20\sqrt{2} + 20$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2} \times x^2$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2 = 200$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 200 = 100$ प्राप्त होता है।